2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I_百度文库
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2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I
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年高考试题全国卷2理科数学及答案
2004 年高考试题全国卷 2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合 M＝{x|x2＜4 } ，N＝{x|x2－2x－3＜0 } ，则集合 M∩N＝ （A）{x|x＜－2 } （C）{x|－1＜x＜2 } （B）{x|x＞3} （D）{x|2＜x＜3 }（2） limn →1x2 + x ? 2 ＝ x 2 + 4x ? 5 1 2 2 5 1 ＋ 3 i，则 1＋ω＝ 2 2（B）ω2 （D）2 2（A） （C）（B）1 （D）1 4（3）设复数ω＝－ （A）Cω （C） ?11ωω2（4）已知圆 C 与圆(x－1) ＋y ＝1 关于直线 y＝－x 对称，则圆 C 的方程为 （A）(x＋1)2＋y2＝1 （B）x2＋y2＝1 （D）x2＋(y－1)2＝1 （C）x2＋(y＋1)2＝1 （5）已知函数 y＝tan(2x＋φ)的图象过点( （A）－π12,0)，则 φ 可以是 （C）－π6x（B）π6π12（D）π12（6）函数 y＝－e 的图象 （A）与 y＝ex 的图象关于 y 轴对称 － （C）与 y＝e x 的图象关于 y 轴对称（B）与 y＝ex 的图象关于坐标原点对称 － （D）与 y＝e x 的图象关于坐标原点对称（7）已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 心 O 到平面 ABC 的距离为 （A）π2，则球1 3（B）3 3（C）2 3（D）6 3（8）在坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 1，且与点 B(3，1)距离为 2 的直线共有 （A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）41条 （9）已知平面上直线 l 的方向向量 e = (? 和 A1，则 O1 A1 ＝ λ e ，其中 λ ＝ （A）r4 3 , ) ，点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O1 5 5r11 5（B）－11 5（C）2（D）－2（10）函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数 （A）( 3π ) （A）π2，3π ) 2（B）( π ，2 π )（C）(3π 5π ， ) 2 2（D）(2 π ，（11）函数 y＝sin4x＋cos2x 的最小正周期为π4（B）π2（C） π（D）2 π（12）在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 （A）56 个 （B）57 个 （C）58 个 （D）60 个 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． （13）从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 ξ 个红球，则随机变 量 ξ 的概率分布为ξP （14）设 x，y 满足约束条件012? x ≥ 0， ? ? x ≥ y， ?2 x ? y ≤ 1， ?则 z＝3x＋2y 的最大值是 ． 2 2 （15） 设中心在原点的椭圆与双曲线 2x －2y ＝1 有公共的焦点， 且它们的离心率互为倒数， ． 则该椭圆的方程是 （16）下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．2（17） (本小题满分 12 分) 已知锐角三角形 ABC 中，sin(A＋B)＝ (Ⅰ)求证：tanA＝2tanB； (Ⅱ)设 AB＝3，求 AB 边上的高．3 ，sin(A－B)＝ 1 ． 5 5（18）(本小题满分 12 分) 已知 8 个球队中有 3 个弱队，以抽签方式将这 8 个球队分为 A、B 两组，每组 4 个．求 (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率．（19）(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n+2 Sn（n＝1，2，3，…） ．证明： n(Ⅰ)数列{Sn }是等比数列； n(Ⅱ)Sn＋1＝4an．（20）(本小题满分 12 分) ． 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝ 2 ，侧棱 AA1＝1，侧3面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B1C1 的中点为 M． (Ⅰ)求证：CD⊥平面 BDM； (Ⅱ)求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分 12 分) 给定抛物线 C：y2＝4x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点． (Ⅰ)设 l 的斜率为 1，求 OA 与 OB 夹角的大小； (Ⅱ)设 FB ＝ λ AF ，若 λ ∈[4，9]，求 l 在 y 轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx． (1)求函数 f(x)的最大值； (2)设 0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(a+b )＜(b－a)ln2． 242004 年高考试题全国卷 2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． （1）C （2）A （3）C （4）C （7）B （8）B （9）D （10）B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． （13）0.1，0.6，0.33 5（5）A （11）B（6）D （12）C（14）51 5（15）1 2 2 x ＋y ＝1 2（16）②④17．(I)证明：∵sin(A+B)= ,sin(A-B)=2 3 ? ?sin A cos B = 5 tan A ? 5 ?? ? = 2 ，∴ tan A = 2 tan B . 1 tan B ?cos A sin B = 1 ? 5 5 ? 3 4 3 π (II)解：∵ &A+B&π, sin( A + B ) = , ∴ cos( A + B ) = ? , tan( A + B ) = ? 2 5 5 4 tan A + tan B 3 即 = ? ,将 tan A = 2 tan B 代入上式并整理得 2 tan 2 B ? 4 tan B ? 1 = 0 1 ? tan A tan B 4 2± 6 2+ 6 解得 tan B = ,因为 B 为锐角，所以 tan B = ,∴ tan A = 2 tan B =2+ 6 2 2 CD CD 3CD 设 AB 上的高为 CD，则 AB=AD+DB= + = ，由 AB=3 得 CD=2+ 6 tan A tan B 2 + 6 故 AB 边上的高为 2+ 6 C 32 C 52 6 18．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率 2 = ( 7 C84新疆 王新敞奎屯? ?sin A cos B + cos A sin B = ? ∴? ?sin A cos B ? cos A sin B = ? ?新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯3 1 C 32 C 52 C 3 C 5 1 (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率 + = 解 2 C84 C84新疆 王新敞 奎屯19． I）证： 由 a1=1,an+1= （）n+2 Sn(n=1,2,3，…)， nS2 S 2 4a1 S1 2 +1 知 a2= S1=3a1, = = 2, = 1 ,∴ 2 = 2 1 S1 2 2 1 1又 an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3 ， … ), 则 Sn+1-Sn=n+2 Sn(n=1,2,3 ， … ) ， ∴ nSn+1=2(n+1)Sn, n5S n +1 n + 1 = 2 (n=1,2,3，…).故数列{ S n }是首项为 1，公比为 2 的等比数列 Sn n n新疆 王新敞奎屯（II）解：由（I）知， ）S n +1 S = 4 ? n ?1 (n ≥ 2) ，于是 Sn+1=4(n+1)? Sn ?1 =4an(n ≥ 2 ) n ?1 n +1 n ?1又 a2=3S1=3,则 S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数 n≥1 都有 Sn+1=4an.20．解法一 解法一：(I)如图，连结 CA1、AC1、CM，则 CA1= 2 ， 解法一 ∵CB=CA1= 2 ，∴△CBA1 为等腰三角形， 又知 D 为其底边 A1B 的中点，∴CD⊥A1B， ∵A1C1=1，C1B1= 2 ，∴A1B1= 3 ， 又 BB1=1，∴A1B=2，1 ∵△A1CB 为直角三角形，D 为 A1B 的中点，CD= A1B=1， 2AA'AD CA'C'DB CM B' C'M B B'CD=CC1新疆 王新敞 奎屯又 DM= AC1=1 22 ，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM= 2∠CC1M=90°,即 CD⊥DM， 因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线，所以 CD⊥平面 BDM (II)设 F、G 分别为 BC、BD 的中点，连结 B1G、FG、B1F， 则 FG∥CD，FG= CD ∴FG= ，FG⊥BD.新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯1 21 2A1 2A'由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D,知 BD=B1D= A1B=1， 所以△BB1D 是边长为 1 的正三角形，于是 B1G⊥BD，B1G= ∴∠B1GF 是所求二面角的平面角 又 B1F2=B1B2+BF2=1+(2 2 3 )= . 2 2新疆 王新敞 奎屯3 ， 2C F B GD C' M B'B G 2 + FG 2 ? B1F 2 ∴cos∠B1GF= 1 = 2 B1G ? FG(3 2 1 2 3 ) +( ) ? 2 2 2 =? 3 3 3 1 2? ? 2 2 3 3新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯即所求二面角的大小为π-arccos解法二：如图以 C 为原点建立坐标系 解法二 (I):B( 2 ,0,0),B1( 2 ,1,0),A1(0,1,1),D( M(新疆 王新敞 奎屯z2 1 1 , , ), 2 2 2AA'2 2 1 1 ,1,0), CD = ( , , ), A1B = ( 2 ,-1,-1), 2 2 2 2 1 1 DM = (0, ,- ), CD ? A1B = 0, CD ? DM = 0, 2 2F B XD C G B' C' M y∴CD⊥A1B,CD⊥DM. 因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线， 所以 CD⊥平面 BDM (II): 设 BD 中 点 为 G ， 连 结 B1G ， 则新疆 王新敞 奎屯G(3 2 1 1 2 3 1 2 1 1 , , ), BD = (, , )，B1G = (? ,? , ), ∴ BD ? B1G = 0 ， ∴BD⊥B1G， CD⊥BD， 又 4 4 4 2 2 2 4 4 4∴ CD 与 B1G 的夹角 θ 等于所求二面角的平面角，6cos θ =CD ? B1G | CD | ? | B1G |=?3 . 3所以所求二面角的大小为π-arccos3 3新疆 王新敞奎屯21．解： （I）C 的焦点为 F(1,0)，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为 y=x-1. 将 y=x-1 代入方程 y2=4x，并整理得 x2-6x+1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则有 x1+x2=6,x1x2=1，OA ? OB =(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.| OA | ? | OB |=2 2 x12 + y12 ? x2 + y2 =x1 x2 [ x1 x2 + 4( x1 + x2 ) + 16] = 41cos& OA, OB &=OA ? OB | OA | ? | OB |=?3 41 . 41 3 41 . 41所以 OA 与 OB 夹角的大小为 π -arccos解：(II)由题设知 FB = λ AF 得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即 ?新疆 王新敞 奎屯? x2 ? 1 = λ (1 ? x1 )LLL(1) ? y2 = ?λy1 LLLLLL(2)由 (2)得 y22=λ2y12, ∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1 ……………………………………(3) 联立(1)(3)解得 x2=λ.依题意有λ&0. ∴B(λ,2 λ )或 B(λ,-2 λ )，又 F(1,0), 得直线 l 的方程为(λ-1)y=2 λ (x-1)或(λ-1)y=-2 λ (x-1) 当λ∈[4,9]时，l 在 y 轴上的截距为 由 ∴2 λ 2 λ 或λ ?1 λ ?1新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯2 λ 2 2 2 λ = + ，可知 在[4，9]上是递减的， λ ?1 λ ?1 λ +1 λ ?13 2 λ 4 4 2 λ 3 ≤ ≤ ，- ≤ ≤? 4 λ ?1 3 3 λ ?1 4新疆 王新敞 奎屯直线 l 在 y 轴上截距的变化范围是 [? ,? ] U [ , ] 22．(I)解：函数 f(x)的定义域是(-1,∞), f ' (x)= 解4 33 43 4 4 3新疆 王新敞 奎屯1 ? 1 .令 f ' (x)=0，解得 x=0，当-1&x&0 时, 1+ x新疆 王新敞 奎屯f ' (x)&0,当 x&0 时, f ' (x)&0，又 f(0)=0，故当且仅当 x=0 时，f(x)取得最大值，最大值是 0 a+b a+b 2a 2b (II)证法一 证法一：g(a)+g(b)-2g( )=alna+blnb-(a+b)ln =a ln + b ln . 证法一 2 2 a+b a+b b?a a?b 由 (I) 的 结 论 知 ln(1+x)-x&0(x&-1, 且 x ≠ 0) ， 由 题 设 0&a&b, 得 & 0,?1 & & 0 ,因此 2a 2b 2a b?a b?a 2b a?b a?b = ? ln(1 + , ln = ? ln(1 + . ln )&? )&? a+b 2a 2a a+b 2b 2b 2a 2b b?a a?b + b ln 所以 a ln &? =0. a+b a+b 2 2 2a a+b 2a 2b a+b 2b 2b 又 & , a ln + b ln &a ln + b ln = (b ? a ) ln & (b ? a ) ln 2. a+b 2b a+b a+b 2b a+b a+b a+b )&(b-a)ln2. 综上 0&g(a)+g(b)-2g( 2 a+x (II)证法二 证法二：g(x)=xlnx, g ' ( x) = ln x + 1 ,设 F(x)= g(a)+g(x)-2g( ), 证法二 2 a+x a+x 则 F ' ( x) = g ' ( x) ? 2[ g ( )]' = ln x = ln . 当 0&x&a 时 F ' ( x) & 0, 因此 F(x)在(0,a)内为减函数 当 2 2 x&a 时 F ' ( x) & 0, 因此 F(x)在(a,+∞)上为增函数 从而，当 x=a 时，F(x)有极小值 F(a) 因为 a+b F(a)=0,b&a,所以 F(b)&0,即 0&g(a)+g(b)-2g( ). 2新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯7设 G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则 G ' ( x) = ln x ? lna+x ? ln 2 = ln x ? ln(a + x). 当 x&0 时, G ' ( x) & 0 ,因此 G(x)在 2 a+b (0,+∞)上为减函数，因为 G(a)=0,b&a,所以 G(b)&0.即 g(a)+g(b)-2g( )&(b-a)ln2. 28年高考理科数学全国卷（ 2005 年高考理科数学全国卷（二）II） （必修+选修 II） 必修+ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 注意事项： 1. 答第 I 卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号、 考试科目涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试题卷上. 3. 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A?B)=P(A)?P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 kk 次的概率 Pn (k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k球的表面积公式S = 4πR 2其中 R 表示球的半径 球的体积公式4 V = πR 3 3其中 R 表示球的半径一、选择题： 1. 函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（A.）C. π D. 2π 4 2 2. 正方体 ABCD―A1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点. 那 ） 么，正方体的过 P、Q、R 的截面图形是（ A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 B.ππ3. 函数 y = 3 x 2 ? 1( x ≤ 0) 的反函数是（ A. y = ( x + 1) 3 ( x ≥ ?1)C. y = ( x + 1) 3 ( x ≥ 0) 4. 已知函数 y = tan ωx在(? A. 0& ω ≤1 C. ω ≥1）B. y = ? ( x + 1) 3 ( x ≥ ?1) D. y = ? ( x + 1) 3 ( x ≥ 0) , ) 内是减函数，则（ 2 2 B. －1≤ ω &0 D. ω ≤－1π π）95. 设 a、b、c、d∈R，若 A. bc+ad≠0 C. bc－ad=0 6. 已知双曲线a + bi 为实数，则（ c + di B. bc－ad≠0 D. bc+ad=0）x2 y2 ? = 1 的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴， 6 3则 F1 到直线 F2M 的距离为（ A.3 6 5 B. 5 6 6）C.6 5 D. 5 67. 锐角三角形的内角 A、B 满足 tanA－ A. sin2A－cosB=0 C. sin2A－sinB=01 =tanB，则有（ sin 2 A B. sin2A+cosB=0 D. sin2A+sinB=0）8. 已知点 A（ 3 ，1） B（0，0）C（ 3 ，0）.设∠BAC 的平分线 AE 与 BC ，相交于 E，那么有 BC = λ CE , 其中λ 等于（A. 2 B.）1 1 C. －3 D. － 2 3 9. 已知集合 M=|x|x2－3x－28≤0|N={x|x2－x－6&0|，则 M∩N 为（ ） A. |x|－4≤x&－2 或 3&x≤7| B. |x|－4&x≤－2 或 3≤x&7| C. |x|x≤－2 或 x&3| D. |x|x&－2 或 x≥3| 10. 点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v=（4，－3） （即点 P 的运动方 且每秒移动的距离为|v|个单位）设开始时点 P 的坐标为 . （－10， ） 10 ， 向与 v 相同， 则 5 秒后点 P 的坐标为（ ） A. （－2，4） B. （－30，25） C. （10，－5） D. （5，－10） 11. 如果 a1，a2，…，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则（ ） B. a1a8＜a4a5 A. a1a8＞a4a5 C. a1＋a8＞a4＋a5 D. a1a8＝a4a5 12. 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面 体的高的最小值为（ ） A.3+2 6 3B. 2 + 2 63C. 4 + 2 63D. 4 3 + 2 6310第 Ⅱ卷 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3. 本卷共 10 小题，共 90 分. 二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.） 13. 圆心为（1，2）且与直线 5x－12y－7=0 相切的圆的方程为 . sin 3α 13 = , 则 tan 2α 14. 设 α 为第四象限的角，若 . sin α 5 15. 在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有 个. 16. 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等， 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥 是正三棱锥.其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.三、解答题： （本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 设函数 18. （本小题满分 12 分） 已知 {a n } 是各项均为正数的等差数列， lg a1 、 lg a 2 、 lg a 4 成等差数列，又 的 x 取值范围。（Ⅰ）证明 {bn } 为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列 {bn } 各项的和 S = d. （注：无穷数列各项的和即当 n → ∞ 时数列前 n 项和的极限） 19. （本小题满分 12 分） 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率 为 0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相 互间没有影响.令 ξ 为本场比赛的局数,求 ξ 的概率分布和数学期望.（精确到 0.0001） 1 ，求数列 {a n } 的首项 a1 和公差 31120. （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥 P―ABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， PD⊥底面 ABCD， AD=PD， E、F 分别为 CD、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF⊥平面 PAB； （Ⅱ）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小. 21. （本小题满分 14 分） P、Q、M、N 四点都在椭圆 x 2 + y2 = 1 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点. 2→ → → → → → 已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 线, 且 PF ? MF = 0. 求四边形 PMQN 的面积的最小 值和最大值。 22. （本小题满分 12 分） 已知 a ≥ 0, 函数f ( x) = ( x 2 ? 2ax)e x . （Ⅰ）当 x 为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设 f (x) 在[－1，1]上是单调函数，求 a 的取值范围.12参考答案 评分说明： 1. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供 参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则。 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分 正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 1. C 2. D 3. B 4. B 5. C 6. C 7. A 8. C 9. A 10. C 11. B 12. C 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。 3 13. ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 14. ? 4 15. 192 16. ①，④ 三. 解答题： 17. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法。考查分析问题的能 力和运算能力。满分 12 分。 解：由于 y = 2 x 是增函数， f ( x) ≥ 2 2 等价于| x + 1|?| x ? 1| ≥ 3 2 (1)（i）当 x ≥ 1 时， | x + 1|?| x ? 1| = 2∴ (1) 式恒成立（ii）当 ?1 & x & 1 时， | x + 1|?| x ? 1| = 2 x(1)式化为 2 x ≥ 3 2即3 ≤ x &1 4（iii）当 x ≤ ?1 时， | x + 1|?| x ? 1| = ?2(1)式无解。 3 综上，x 取值范围是 [ ， + ∞) 4 18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能 力。满分 12 分。 （1）证明：13Q lg a1、 a 2、 a 4 成等差数列 lg lg2 ∴ 2 lg a 2 = lg a1 + lg a 4 ，即 a 2 = a1 ? a 4等差数列 {a n } 的公差为 d，则 (a1 + d ) 2 = a1 (a1 + 3d ) 这样 d 2 = a1 d 从而 d (d ? a1 ) = 0 （i）若 d = 0 ，则 {a n } 为常数列，相应 {b n } 也是常数列 此时 {b n } 是首项为正数，公比为 1 的等比数列。 （ii）若 d = a 1 ≠ 0 ，则a 2 n = a 1 + (2 n ? 1)d = 2 n d，b n =这时 {bn } 是首项 b1 =1 1 1 = ? n a 2n d 21 1 ，公比为 的等比数列 2d 2综上知， {bn } 为等比数列 （II）解：如果无穷等比数列 {b n } 的公比 q = 1 ，则当 n → ∞ 时其前 n 项和 的极限不存在1 1 ，b 1 = 2 2d 1 1 [1 ? ( ) n ] 2 这样， {b n } 的前 n 项和 S n = 2d 1 1? 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 = 则 S = lim S n = lim 2d n→∞ n →∞ 1 d 1? 2 1 由 S = 得公差 d = 3，首项 a 1 = d = 3 3 19. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识 解决实际问题的能力。满分 12 分。 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为1 ? 0.6 = 0.4 比赛 3 局结束有两种情况：甲队胜 3 局或乙队胜 3 局，因而因而 d = a 1 ≠ 0 ，这时公比 q =14P(ξ = 3) = 0.6 3 + 0.4 3 = 0.28 比赛 4 局结束有两种情况：前 3 局中甲队胜 2 局，第 4 局甲队胜；或前 3 局中乙队胜 2 局，第 4 局乙队胜，因而 P(ξ = 4) = C 2 × 0.6 2 × 0.4 × 0.6 + C 2 × 0.4 2 × 0.6 × 0.4 = 0. 比赛 5 局结束有两种情况：前 4 局中甲队胜 2 局、乙队胜 2 局，第五局甲胜 或乙胜，因而 P(ξ = 5) = C 2 × 0.6 2 × 0.4 2 × 0.6 + C 2 × 0.6 2 × 0.4 2 × 0.4 = 0. 所以 ξ 的概率分布为ξP3 0.284 0.37445 0.3456ξ 的期望 Eξ = 3 × P(ξ = 3) + 4 × P(ξ = 4) + 5 × P(ξ = 5)= 3 × 0.28 + 4 × 0.3744 + 5 × 0.3456 = 4.0656 20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维 能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分 12 分。 方法一： （I）证明：连结 EPQ PD ⊥ 底面ABCD，DE 在平面 ABCD 内∴ PD ⊥ DE ，又 CE＝ED，PD＝AD＝BC ∴ Rt?BCE ? Rt?PDE ∴ PE = BE Q F 为 PB 中点 ∴ EF ⊥ PB 由三垂线定理得 PA ⊥ AB ∴ 在 Rt?PAB 中 PF = AF ，又 PE = BE = EA∴ ?EFP ? ?EFA ∴ EF ⊥ FA15Q PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线 ∴ EF ⊥ 平面 PAB （II）解：不妨设 BC＝1，则 AD＝PD＝1AB = 2，PA = 2 , AC = 3 ∴ ?PAB 为等腰直角三角形， PB＝2， 为其斜边中点， ＝1， AF ⊥ PB 且 F BF 且 Q PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直 ∴ PB ⊥ 平面 AEF 连结 BE 交 AC 于 G，作 GH//BP 交 EF 于 H，则 GH ⊥ 平面 AEF ∠GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角由 ?EGC ~ ?BGA 可知 EG = 由 ?EGH ~ ?EBF 可知 GH =∴ sin ∠GAH = GH 3 = AG 61 1 2 2 3 GB, EG = EB, AG = AC = 2 3 3 31 1 BF = 3 3∴ AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin3 6方法二： 以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系（1）证明： 设 E（a，0，0） ，其中 a & 0 ，则 C（2a，0，0） A（0，1，0） B（2a，1， ， ， 1 1 0） P（0，0，1） F（a， ， ） ， ， 2 2 → → → 1 1 EF = (0, , ) PB = (2a,1,?1) AB = (2a,0,0) 2 2 → → EF ? PB = 0 ∴ EF ⊥ PB ……3 分→ → AB? EF = 0 ∴ EF ⊥ AB又 PB ? 平面 PAB， AB ? 平面 PAB， PB I AB = B16∴ EF ⊥ 平面 PAB（II）解：由 AB = 2 BC ，得 a =2 2→ → 可知 AC = ( 2 ,?1,0), PB = ( 2 ,1,?1) → → → → AC ? PB 3 cos & AC , PB &= → → = 6 | AC | ? | PB | 异面直线 AC、PB 所成的角为 arccos → 2 1 1 AF = ( ,? , ) 2 2 2→ → ∴ AF ? PB = 0 PB ⊥ AF3 6又 PB ⊥ EF ，EF、AF 为平面 AEF 内两条相交直线 ∴ PB ⊥ 平面 AEF∴ AC 与平面 AEF 所成的角为π2? arccos3 3 (= arcsin ) 6 6即 AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin3 621. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间 的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力，满分 14 分。 解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1）且PQ ⊥ MN ，直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k，又PQ 过点 F（0，1） ，故 PQ 方程为 y＝kx＋1将此式代入椭圆方程(2 + k 2 ) x 2 + 2kx ? 1 = 017设 P、Q 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ，则? k ? 2k 2 + 2 ? k + 2k 2 + 2 x1 = , x2 = 2+ k2 2+ k28(1 + k 2 ) 2 从而 | PQ | = ( x1 ? x 2 ) + ( y1 ? y 2 ) = (2 + k 2 ) 22 2 2亦即 | PQ |=2 2 (1 + k 2 ) 2+k21 ，同上可推得 k（i）当 k ≠ 0 时，MN 的斜率为 ?1 2 2 (1 + (? ) 2 ) k | MN |= 1 2 + (? ) 2 k故四边形面积S= 1 | PQ | ? | MN | 2 1 4(1 + k 2 )(1 + 2 ) k = 1 (2 + k 2 )(2 + 2 ) k 1 4(2 + k 2 + 2 ) k = 2 5 + 2k 2 + 2 k 1 令 u = k 2 + 2 ，得 k 4( 2 + u ) 1 S= = 2(1 ? ) 5 + 2u 5 + 2u 1 因为 u = k 2 + 2 ≥ 2 k 16 当 k = ±1 时， u = 2，S = 9 且 S 是以 u 为自变量的增函数 16 所以 ≤ S & 2 9（ii）当 k=0 时，MN 为椭圆长轴， | MN |= 2 2，| PQ |= 2S= 1 ? | PQ | ? | MN |= 2 21816 9 22. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理 和运算能力。满分 12 分。 解： I）对函数 f(x)求导数，得 （综合（i）（ii）知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为 ，f ' ( x) = ( x 2 ? 2ax)e x + (2 x ? 2a )e x = [ x 2 + 2(1 ? a ) x ? 2a ]e x 令 f ' ( x) = 0 ，得 [ x 2 + 2(1 ? a ) x ? 2a ]e x = 0 从而 x 2 + 2(1 ? a ) x ? 2a = 0 解得 x1 = a ? 1 ? 1 + a 2x 2 = a ? 1 + 1 + a 2 ，其中 x1 & x 2当 x 变化时， f ' ( x), f ( x) 的变化如下表：x f’(x) f(x)(?∞, x1 )＋↑x1 0( x1 , x 2 )－↓x2 0( x 2 ,+∞)＋↑极大值极小值即 f(x)在 x＝x1 处取到极大值，在 x = x 2 处取到极小值 当 a ≥ 0 时， x1 & ?1, x 2 ≥ 0, f ( x) 在 ( x1 , x 2 ) 为减函数，在 ( x 2 ,+∞) 为增函数 而当 x & 0 时， f ( x) = x( x ? 2a )e x & 0 ；当 x = 0 时， f ( x) = 0 所以当 x = a ? 1 + 1 + a 2 时，f(x)取得最小值 （II）当 a ≥ 0 时，f(x)在 [?1,1] 上为单调函数的充要条件是 x 2 ≥ 1 即 a ?1+ 1+ a2 ≥ 1 解得 a ≥3 4 3 4综上，f(x)在 [?1,1] 上为单调函数的充分必要条件为 a ≥3 即 a 的取值范围为 [ ,+∞) 419错误！未找到引用源。2006 高考理科数学试题全国 II 卷 高考理科 理科数学试题全国理科试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ 卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事项： 注意事项 １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴 好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 球的表面积公式P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么S = 4π R 2其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式P ( A.B ) = P ( A).P ( B )如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是4 V = π R3 3其中Ｒ表示球的半径Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k一．选择题 （1）已知集合 M = {x | x & 3}, N = { x | log 2 x & 1} ，则 M I N = （A） ? （C） { x |1 & x & 3} （B） { x | 0 & x & 3} （D） { x | 2 & x & 3}（2）函数 y = sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 （A） 2π （3） （B） 4π （C）π4（D）π23 = (1 ? i ) 2 3 i 2（B） ?（A）3 i 2（C） i（D） ?i（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的 比为 （A）3 16（B）9 16（C）3 8（D）9 3220（5）已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭圆x2 + y 2 = 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 3另外一个焦点在 BC 边上，则 ?ABC 的周长是 （A） 2 3 （B）6 （C） 4 3 （D）12（6）函数 y = ln x + 1( x & 0) 的反函数为 （A） y = e （C） y = ex +1( x ∈ R) ( x & 1)（B） y = e （D） y = ex ?1( x ∈ R)x +1x ?1( x & 1)（7）如图，平面 α ⊥ 平面 β ， A ∈ α , B ∈ β , AB 与两平面 α 、 β 所成的角分别为 过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A ' 、 B ', 则 AB : A ' B ' = （A） 2 :1 （C） 3 : 2 （B） 3 :1 （D） 4 : 3A B' A'π4和π6。αB β（8） 函数 y = f ( x) 的图像与函数 g ( x ) = log 2 x ( x & 0) 的图像关于原点对 称，则 f ( x ) 的表达式为 （A） f ( x ) =1 ( x & 0) log 2 x（B） f ( x ) =1 ( x & 0) log 2 (? x)（C） f ( x ) = ? log 2 x ( x & 0)（D） f ( x ) = ? log 2 ( ? x )( x & 0)（9）已知双曲线x2 y2 4 ? 2 = 1 的一条渐近线方程为 y = x ，则双曲线的离心率为 2 a b 3（B）（A）5 34 3（C）5 4（D）3 2（10）若 f (sin x ) = 3 ? cos 2 x, 则 f (cos x ) = （A） 3 ? cos 2 x （C） 3 + cos 2 x （B） 3 ? sin 2 x （D） 3 + sin 2 x（11）设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和，若 （A）S3 1 S = ,则 6 = S6 3 S123 1019（B）1 3（C）1 8（D）1 9（12）函数 f ( x ) =∑ x ? n 的最小值为n =121（A）190（B）171（C）90 理科数学（D）45第ＩＩ卷（非选择题，共 90 分）注意事项： 注意事项： 本卷共 2 页，10 小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （用数字作答） （13）在 ( x + ) 的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。4 101 x（14）已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB = 1, BC = 4, 则边 BC 上的中线 AD 的长为＿＿＿＿＿＿＿。 （15）过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) 2 + y 2 = 4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k = ____ . （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调 查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图（如下图） 。为了分析居民的收入与年 龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人频频/组组 0.4 0.2 0.0001 月月月（元） 00 00 4000中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在 [) （元）月收入段应抽出 人。 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分１２分）已知向量 a = (sin θ ,1), b = (1, cos θ ), ?rrπ2&θ &π2.（I）若r r r r a ⊥ b, 求 θ ; （II）求 a + b 的最大值。（18） （本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取 出 3 箱，再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、 1 件、2 件二等品，其余为一等品。 （I）用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求 ξ 的 分布列及 ξ 的数学期望； （II）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝 购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。 （19） （本小题满分１２分）如图，在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， AB = BC , D 、 E 分别 为 BB1 、 AC1 的中点。 （I）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线； （II）设 AA1 = AC =C1 A1 DB12 AB, 求二面角 A1 ? AD ? C1 的大小。E（20） 本小题１２分） （ 设函数 f ( x ) = ( x + 1) ln( x + 1). 若对所有的 x ≥ 0,CBA22都有 f ( x ) ≥ ax 成立，求实数 a 的取值范围。 （21） （本小题满分为１４分）已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F，A、B 是热线上的两动点， 且 AF = λ FB (λ & 0). 过 A、 两点分别作抛物线的切线， B 设其交点为 M。 证明 FM . AB （I） 为定值； （II）设 ?ABM 的面积为 S，写出 S = f (λ ) 的表达式，并求 S 的最小值。 （22） （本小题满分１２分）设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，且方程 一根为 S n ? 1, n = 1, 2,3,... （I）求 a1 , a2 ; （II）求 {an } 的通项公式uuu ruuu ruuuu uuu r rx 2 ? an x ? an = 0 有2006 高考理科数学参考答案全国 II 卷一、选择题： 1．D 2．D 11．A 12．C 二、填空题： 13．45 三、17. ? 3． A 4．A 5． C 6．B 7． A 8．D 9． A 10．C14．315．2 216． 25π4, 2 +1 17 5018． Eξ =1.219．∠A1FE=60° 20． （－∞，1 ] 21．0, λ = 1 时 S的最小值是422．a1=1 1 1 ，a2= ，an＝ 2 6 n（n＋1)23年普通高等学校招生全国统一考试试题卷( 2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ 理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项： 注意事项： 1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150 分， 考试时间 120 分钟． 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上． 3． 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4． 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或 在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题） 选择题）小题， 在每小题给出的四个选项中， 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 合题目要求的． 参考公式： 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 球的表面积公式P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )如果事件 A，B 相互独立，那么S = 4πR 2其中 R 表示球的半径 球的体积公式P ( A B ) = P ( A) P ( B )如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p )n ? k (k = 0，2， n) 1， …，一、选择题 1． sin 210 = （o4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V=） B． ?A．3 23 2C．1 2）D． ?1 22．函数 y = sin x 的一个单调增区间是（ A． ? ? ， ?? π π? ? 4 4?B． ? ， ?? π 3π ? ?4 4 ?C． ? π， ?? ?3π ? 2 ?D． ?? 3π ? ，π ? 2 ? 2 ?243．设复数 z 满足A． ?2 + i 4．下列四个数中最大的是（ A． (ln 2)21 + 2i = i ，则 z = （ ） z B． ?2 ? i C． 2 ? i） C． ln 2 B． ln(ln 2)D． 2 + iD． ln 25． △ ABC 中， 在 已知 D 是 AB 边上一点， AD = 2 DB， = 若 CD A．uuuruuu uuu r r2 3B．6．不等式 A． (?2， 1)x ?1 & 0 的解集是（ x2 ? 4B． (2， ∞ ) +1 3C． ? ）1 3r uuu r 1 uuu CA + λ CB ， λ =（ 则 3 2 D． ? 3）C． (?2， U (2， ∞) D． ( ?∞， 2) U (1， ∞ ) 1) + ? +则 7． 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长与底面边长相等， AB1 与侧面 ACC1 A1 所成角的 正弦值等于（ A． ） B．6 410 4C．2 2D．3 2）8．已知曲线 y =x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ 4 2B．2 C．1 D．A．31 2）9．把函数 y = e x 的图像按向量 a = (2， 平移，得到 y = f ( x) 的图像，则 f ( x ) = （ 3) A． ex? 3+2B． ex+ 3?2C． ex? 2+3D． ex+ 2?310．从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40 种 B．60 种 C．100 种 D．120 种 11． F1，F2 分别是双曲线 设x2 y2 o ? 2 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 A ， ∠F1 AF2 = 90 使 2 a b）且 AF1 = 3 AF2 ，则双曲线的离心率为（A．5 2B．10 2C．15 2D． 512．设 F 为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点， A，B，C 为该抛物线上三点，若 FA + FB + FC = 0 ， 则 FA + FB + FC = （uuu uuu uuu r r ruuu ruuu ruuu r）25A．9B．6C．4D．3第Ⅱ卷（非选择题） 非选择题）本卷共 10 题，共 90 分 填空题： 小题， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．1? ? 13． (1 + 2 x ) ? x ? ? 的展开式中常数项为 x? ?28． （用数字作答）14．在某项测量中，测量结果 ξ 服从正态分布 N (1，σ )(σ & 0) ．若 ξ 在 (0， 内取值的概 1)2率为 0.4，则 ξ 在 (0， 内取值的概率为 2)．15． 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上． 如果正四棱柱的底面边长为 1cm， 那么该棱柱的表面积为 cm 2 ．16．已知数列的通项 an = ?5n + 2 ，其前 n 项和为 Sn ，则 limSn = n→∞ n 2．小题， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 解答题： 17． （本小题满分 10 分） 在 △ ABC 中，已知内角 A =π ，边 BC = 2 3 ．设内角 B = x ，周长为 y ． 3（1）求函数 y = f ( x) 的解析式和定义域； （2）求 y 的最大值． 18． （本小题满分 12 分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ： “取出的 2 件产 品中至多有 1 件是二等品”的概率 P ( A) = 0.96 ． （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ； （2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件， ξ 表示取出的 2 件产品中二等品的件数， 求 ξ 的分布列． 19． （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 S ? ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧棱 SD ⊥ 底面 ABCD，E，F 分别为 AB，SC 的中点． （1）证明 EF ∥平面 SAD ； （2）设 SD = 2 DC ，求二面角 A ? EF ? D 的大小． SFC D A E B2620． （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y = 4 相切． （1）求圆 O 的方程； （2）圆 O 与 x 轴相交于 A，B 两点，圆内的动点 P 使 PA ， ， 成等比数列，求 PO PBuuu uuu r r PA PB 的取值范围．21． （本小题满分 12 分）1) 设数列 {an } 的首项 a1 ∈ (0，，an =（1）求 {an } 的通项公式；3 ? an ?1 3， ，n = 2， 4，… ． 2（2）设 bn = an 3 ? 2an ，证明 bn & bn +1 ，其中 n 为正整数． 22． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = x 3 ? x ． （1）求曲线 y = f ( x) 在点 M (t，f (t )) 处的切线方程； （2）设 a & 0 ，如果过点 ( a，b) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线，证明： ? a & b & f ( a ) ．272007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案 理科数学试题（必修 选修Ⅱ 选修评分说明： 评分说明： 1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13． ?42 三、解答题 17．解： （1） △ ABC 的内角和 A + B + C = π ，由 A = 应用正弦定理，知 14． 0.8 15． 2 + 4 2 16． ?5 2π 2π ，B & 0，C & 0 得 0 & B & ． 3 3AC =BC 2 3 sin B = sin x = 4sin x ， π sin A sin 3BC ? 2π ? sin C = 4 sin ? ? x?． sin A ? 3 ?AB =因为 y = AB + BC + AC ， 所以 y = 4sin x + 4 sin ?2π ? ? 2π ? ? ? x? + 2 3?0 & x & ?， 3 ? ? 3 ? ?（2）因为 y = 4 ? sin x +? ? ?? 3 1 cos x + sin x ? + 2 3 ? 2 2 ?π? π 5π ? ? ?π = 4 3 sin ? x + ? + 2 3 ? & x + & ?， 6? 6 6 ? ? ?6所以，当 x +π π π = ，即 x = 时， y 取得最大值 6 3 ． 6 2 3， 18．解： （1）记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”28A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” ．则 A0，A1 互斥，且 A = A0 + A1 ，故P( A) = P( A0 + A1 ) = P ( A0 ) + P( A1 ) = (1 ? p ) 2 + C1 p (1 ? p ) 2 = 1 ? p2于是 0.96 = 1 ? p ．2． 解得 p1 = 0.2，p2 = ?0.2 （舍去） （2） ξ 的可能取值为 0，2 ． 1， 若该批产品共 100 件，由（1）知其二等品有 100 × 0.2 = 20 件，故P(ξ = 0) =2 C80 316 = ． 2 C100 495P(ξ = 1) =C1 C1 160 80 20 = ． 2 C100 495 C2 19 20 = ． 2 C100 495P(ξ = 2) =所以 ξ 的分布列为ξP012316 495160 49519 495S19．解法一： （1）作 FG ∥ DC 交 SD 于点 G ，则 G 为 SD 的中点． 连结 AG，FG ∥1 CD ，又 CD ∥ AB ， 2F G故 FG ∥ AE，AEFG 为平行四边形．EF ∥ AG ，又 AG ? 平面 SAD，EF ? 平面 SAD ． 所以 EF ∥平面 SAD ． （2）不妨设 DC = 2 ，则 SD = 4，DG = 2， ADG 为等 △腰直角三角形． 取 AG 中点 H ，连结 DH ，则 DH ⊥ AG ． 又 AB ⊥ 平面 SAD ，所以 AB ⊥ DH ，而 AB I AG = A ，H M C D A E B29所以 DH ⊥ 面 AEF ． 取 EF 中点 M ，连结 MH ，则 HM ⊥ EF ． 连结 DM ，则 DM ⊥ EF ． 故 ∠DMH 为二面角 A ? EF ? D 的平面角tan ∠DMH =DH 2 = = 2． HM 1z S所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arctan 2 ． 解法二： （1）如图，建立空间直角坐标系 D ? xyz ． 设 A( a， 0) S (0， b) ，则 B ( a，a，，C (0，a，， 0，， 0， 0) 0)F? a ? ? a b? E ? a， ，?，F ? 0， ， ? ， 0 ? 2 ? ? 2 2? uuu ? r b? EF = ? ? a， ? ． 0， 2? ?取 SD 的中点 G ? 0， ? ，则 AG = ? ? a， ? ． 0， 0，GM D C y? ?b? 2?uuur? ?b? 2?A xEB Auuu uuur r EF = AG，EF ∥ AG，AG ? 平面 SAD，EF ? 平面 SAD ，所以 EF ∥平面 SAD ．（2）不妨设 A(1， 0) ，则 B (11 0) C (0，0) S (0， 2) E ? 1， ，?，F ? 0， ， ． 0， ， ，， 1，， 0，， 0 1?? 1 ? 2? ?? ?1 ? 2 ?r r uuuu uuu r r ? 1 1 1 ? uuuu ? 1 1 1 ? uuu EF 中点 M ? ， ， ?， = ? ? ， ， ?， = (?1，1) MD EF = 0，MD ⊥ EF MD ? ? EF 0，， ?2 2 2? ? 2 2 2?又 EA = ? 0， ，? ， EA EF = 0，EA ⊥ EF ， ? 0 所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A ? EF ? D 的平面角．uuu r? ?1 2? ?uuu uuu r ruuuu ruuu ruuuu uuu r r uuuu uuu r r MD EA 3 cos & MD， &= uuuu uuu = EA ． r r 3 MD EA所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arccos3 ． 320．解： （1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y = 4 的距离，30即r=4 =2． 1+ 3得圆 O 的方程为 x 2 + y 2 = 4 ． （2）不妨设 A( x1，，B ( x2，，x1 & x2 ．由 x = 4 即得 0) 0)2A(?2，，B (2， ． 0) 0)PO PB 设 P ( x，y ) ，由 PA ， ， 成等比数列，得( x + 2) 2 + y 2即( x ? 2) 2 + y 2 = x 2 + y 2 ，x2 ? y 2 = 2 ．uuu uuu r r PA PB = (?2 ? x， y ) (2 ? x， y ) ? ?= x2 ? 4 + y2 = 2( y 2 ? 1).由于点 P 在圆 O 内，故 ? 由此得 y 2 & 1 ． 所以 PA PB 的取值范围为 [ ?2， ． 0) 21．解： （1）由 an =2 ? 2 ? x + y & 4， 2 2 ? x ? y = 2. ?uuu uuu r r3 ? an ?1 ，n = 2， 4，…， 3， 2 1 整理得 1 ? an = ? (1 ? an ?1 ) ． 2又 1 ? a1 ≠ 0 ，所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ，公比为 ?1 的等比数列，得 2? 1? an = 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? ? 2?（2）方法一： 由（1）可知 0 & an & 那么， bn +1 ? bn2 2n ?13 ，故 bn & 0 ． 2312 2 = an +1 (3 ? 2an +1 ) ? an (3 ? 2an )3 ? an ? 3 ? an ? ? =? ? ?3 ? 2× 2 ? 2 ? ? 9a = n (an ? 1)2 . 42? 2 ? ? an (3 ? 2an ) ?又由（1）知 an & 0 且 an ≠ 1 ，故 bn +1 ? bn & 0 ，2 2因此 方法二：bn & bn +1，n 为正整数．由（1）可知 0 & an & 因为 an +1 =3 ? an ， 23 ， an ≠ 1 ， 2所以bn +1 = an +1 3 ? 2an +1 =(3 ? an ) an ． 23? 3 ? an ? 由 an ≠ 1 可得 an (3 ? 2an ) & ? ? ， ? 2 ?即? 3 ? an ? 2 an (3 ? 2an ) & ? ? an ? 2 ?2两边开平方得 即an 3 ? 2 an &3 ? an 2an ．bn & bn +1，n 为正整数．22．解： （1）求函数 f ( x ) 的导数； f ′( x ) = 3 x 2 ? 1 ． 曲线 y = f ( x) 在点 M (t，f (t )) 处的切线方程为：y ? f (t ) = f ′(t )( x ? t ) ，即y = (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 ．（2）如果有一条切线过点 ( a，b) ，则存在 t ，使b = (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 ．于是，若过点 ( a，b) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线，则方程2t 3 ? 3at 2 + a + b = 032有三个相异的实数根． 记 则g (t ) = 2t 3 ? 3at 2 + a + b ， g ′(t ) = 6t 2 ? 6at= 6t (t ? a ) ．当 t 变化时， g (t )，g ′(t ) 变化情况如下表：t g ′(t )(?∞， 0)0 0(0，a )a0(a， ∞) ++?+极大值 a + b极小值 b ? f ( a )g (t )由 g (t ) 的单调性，当极大值 a + b & 0 或极小值 b ? f ( a ) & 0 时，方程 g (t ) = 0 最多有 一个实数根； 当 a + b = 0 时，解方程 g (t ) = 0 得 t = 0，t = 数根； 当 b ? f ( a ) = 0 时，解方程 g (t ) = 0 得 t = ? ，t = a ，即方程 g (t ) = 0 只有两个相异 的实数根． 综上，如果过 ( a，b) 可作曲线 y = f ( x) 三条切线，即 g (t ) = 0 有三个相异的实数根，3a ，即方程 g (t ) = 0 只有两个相异的实 2a 2则??a + b & 0， ?b ? f (a ) & 0.即?a & b & f (a) ．332008 年普通高等学校招生全国统一考试贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、 （全国卷Ⅱ：贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、青海、西藏）理科数学(必修+选修Ⅱ 理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．参考公式： 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么球的表面积公式P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )如果事件 A，B 相互独立，那么S = 4πR 2其中 R 表示球的半径 球的体积公式P ( A B ) = P ( A) P ( B )如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么V=4 3 πR 3n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率Pk (k ) = Cnk p k (1 ? p ) n ? k (k = 0，2， ，n) 1， L一、选择题其中 R 表示球的半径1．设集合 M = {m ∈ Z | ?3 & m & 2} ， N = {n ∈ Z | ?1 ≤ n ≤ 3}，则M I N = （ A． {0， 1} B． {?1 0， ，1} C． {0，2} 1， D． {?1 0，2} ，1， ）2 2）2．设 a，b ∈ R 且 b ≠ 0 ，若复数 ( a + bi )3 是实数，则（ A． b = 3a2 2B． a = 3b22C． b = 9a22D． a = 9b3．函数 f ( x) =1 ? x 的图像关于（ ） x A． y 轴对称 B． 直线 y = ? x 对称 C． 坐标原点对称 D． 直线 y = x 对称344．若 x ∈ (e ，，a = ln x，b = 2 ln x，c = ln x ，则（ 1)3?1） D． b & c & a ）A． a & b & cB． c & a & bC． b & a & c? y ≥ x， ? 5．设变量 x，y 满足约束条件： ? x + 2 y ≤ 2， ，则 z = x ? 3 y 的最小值（ ? x ≥ ?2． ? A． ?2 B． ?4 C． ?6 D． ?86．从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同 学又有女同学的概率为（ ） A．9 29B．10 29C．19 29D．20 29）7． (1 ? A． ?4x )6 (1 + x ) 4 的展开式中 x 的系数是（B． ?3 C．3 D．48．若动直线 x = a 与函数 f ( x ) = sin x 和 g ( x ) = cos x 的图像分别交于 M ，N 两点，则MN 的最大值为（A．1 B． 2） C． 3 D．2 ）9．设 a & 1 ，则双曲线 A． ( 2， 2)x2 y2 ? = 1 的离心率 e 的取值范围是（ a 2 (a + 1) 2C． (2， 5) D． (2，5)B． ( 2，5)则 10． 已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点， AE，SD 所 成的角的余弦值为（ ） A．1 3B．2 3C．3 3D．2 311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x + y ? 2 = 0 与 x ? 7 y ? 4 = 0 ，原点在等腰三 角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A．3 B．2 C． ? ）1 3D． ?1 212．已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2， 则两圆的圆心距等于（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．235第Ⅱ卷小题， 把答案填在题中横线上． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 填空题： 13．设向量 a = (1，，b = (2， ，若向量 λ a + b 与向量 c = ( ?4， 7) 共线，则 λ = 2) 3) ? 14．设曲线 y = e 在点 (0， 处的切线与直线 x + 2 y + 1 = 0 垂直，则 a = 1)ax 2．．15．已知 F 是抛物线 C：y = 4 x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A，B 两点．设FA & FB ，则 FA 与 FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地， 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件） 小题， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 解答题： 17． （本小题满分 10 分） 在 △ ABC 中， cos B = ? （Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）设 △ ABC 的面积 S△ ABC =5 4 ， cos C = ． 13 533 ，求 BC 的长． 218． （本小题满分 12 分） 购买某种保险， 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元， 若投保人在购买保险的一年度 内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且 各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为1 ? 0.99910 ．4（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 p ； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不 小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） ．3619． （本小题满分 12 分） 如图，正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AA1 = 2 AB = 4 ，点 E 在 CC1 上且 C1 E = 3EC ． （Ⅰ）证明： A1C ⊥ 平面 BED ； （Ⅱ）求二面角 A1 ? DE ? B 的大小． A1 D1 B1C1E D A 20． （本小题满分 12 分） 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ．已知 a1 = a ， an +1 = S n + 3 ， n ∈ N ．n*C B（Ⅰ）设 bn = S n ? 3 ，求数列 {bn } 的通项公式；n（Ⅱ）若 an +1 ≥ an ， n ∈ N ，求 a 的取值范围．*21． （本小题满分 12 分） 设椭圆中心在坐标原点， A(2，，B (0， 是它的两个顶点，直线 y = kx (k & 0) 与 AB 相交 0) 1) 于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点． （Ⅰ）若 ED = 6 DF ，求 k 的值； （Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值．uuu ruuur22． （本小题满分 12 分） 设函数 f ( x ) =sin x ． 2 + cos x（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何 x ≥ 0 ，都有 f ( x ) ≤ ax ，求 a 的取值范围．372008 年普通高等学校招生全国统一考试贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、青海、 （全国卷Ⅱ：贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、青海、西藏）理科数学试题（ 选修Ⅱ 理科数学试题（必修 + 选修Ⅱ）参考答案和评分参考评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．A 7．B 8．B3．C 9．B4．C 10．C5．D 11．A6．D 12．C ）2 22. 设 a，b ∈ R 且 b ≠ 0 ，若复数 (a + bi )3 是实数，则（A． b = 3a2 2B． a = 3b22C． b = 9a22D． a = 9b ，或二项式定理） 解：(a + bi )3 = a 3 + 3a 2 bi + 3a (bi ) 2 + (bi )3 （←考查和的立方公式，= (a 3 ? 3a b 2 ) + (3a 2 b ? b3 )i∈R ∵ a，b ∈ R 且 b ≠ 0∴ 3a b ? b = 02 3（←考查虚数单位 i 的运算性质）（←题设条件）（←考查复数与实数的概念）∴ b = 3a .2 2故选 A.6. 从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有 男同学又有女同学的概率为（ ）A．9 29B．10 29C．19 29D．20 2938思路 1：设事件 A： “选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学” ，其概率为：P( A) =2 1 1 2 C20C10 + C20C10 3 C30（←考查组合应用及概率计算公式）20 × 19 10 × 9 × 10 + 20 × 2 ×1 = 2 ×1 （←考查组合数公式） 30 × 29 × 28 3 × 2 ×1 10 × 19 × 10 + 10 ×10 × 9 = （←考查运算技能） 10 × 29 × 14 20 = 29故选 D. 思路 2：设事件 A： “选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学” ， “选到的 3 名同学中要么全男同学要么全女同学” 事件 A 的对立事件为 A ： 其概率为：P ( A) = 1 ? P ( A) = 1?3 3 C20 + C10 3 C30（←考查对立事件概率计算公式）（←考查组合应用及概率计算公式）20 × 19 × 8 10 × 9 × 8 + 3 × 2 ×1 3 × 2 × 1 （←考查组合数公式） = 1? 30 × 29 × 28 3 × 2 ×1 20 × 19 ×18 + 10 × 9 × 8 = （←考查运算技能） 30 × 29 × 28 20 = 29故选 D.12. 12.已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（ A．1 B． 2 ） C． 3 D．2分析：如果把公共弦长为 2 的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来 就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果 把公共弦长为 2 的相互垂直的两个截球面圆， 想成其中一个恰好是大圆， 那么两圆的圆心距 就是球心到另一个小圆的距离 3 ，问题解决起来就很容易了.二、填空题3913．214．25． 3 + 2 216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边 形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解： （Ⅰ）由 cos B = ?5 12 ，得 sin B = ， 13 13 4 3 由 cos C = ，得 sin C = ． 5 5所以 sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = （Ⅱ）由 S△ ABC =33 ． ??????????????????????????????????????????????? 5 分 6533 1 33 得 × AB × AC × sin A = ， 2 2 2 33 由（Ⅰ）知 sin A = ， 65 故 AB × AC = 65 ， ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8 分 AB × sin B 20 又 AC = = AB ， sin C 13 20 13 故 AB 2 = 65 ， AB = ． 13 2 AB × sin A 11 所以 BC = = ． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10 分 sin C 218．解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10 000 人中出险的人数为 ξ ， 则 ξ ~ B (104，p ) ． （Ⅰ）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则 A 发生当且仅当ξ = 0 ， ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2 分P ( A) = 1 ? P ( A) = 1 ? P (ξ = 0)= 1 ? (1 ? p)10 ，4又 P ( A) = 1 ? 0.999104，故 p = 0.001 ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5 分40（Ⅱ）该险种总收入为 10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 盈利 盈利的期望为410 000ξ + 50 000 ，η = 10 000a ? (10 000ξ + 50 000) ，Eη = 10 000a ? 10 000 Eξ ? 50 000 ，?????????????????????????????????????????????????????? 9 分?3 ?3由 ξ ~ B (10 ， ) 知， Eξ = 10 000 × 10 ， 10Eη = 10 4 a ? 104 Eξ ? 5 × 104 = 10 4 a ? 104 × 104 ×10 ?3 ? 5 ×10 4 ． Eη ≥ 0 ? 104 a ? 10 4 × 10 ? 5 × 104 ≥ 0 ? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥ 15 （元） ．故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12 分 19．解法一： 依题设知 AB = 2 ， CE = 1 ． （Ⅰ）连结 AC 交 BD 于点 F ，则 BD ⊥ AC ． 由三垂线定理知， BD ⊥ A1C ． ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3 分 在平面 A1CA 内，连结 EF 交 A1C 于点 G ， 由于AA1 AC = =2 2， FC CED1 A1 B1C1故 Rt△ A1 AC ∽ Rt△FCE ， ∠AA1C = ∠CFE ，∠CFE 与 ∠FCA1 互余．D 于是 A1C ⊥ EF ． A FHE G C BA1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，所以 A1C ⊥ 平面 BED ． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6 分 （Ⅱ）作 GH ⊥ DE ，垂足为 H ，连结 A1 H ．由三垂线定理知 A1 H ⊥ DE ， 故 ∠A1 HG 是二面角 A1 ? DE ? B 的平面角． ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8 分41EF = CF 2 + CE 2 = 3 ，CG = CE × CF 2 3 2 2 = ， EG = CE ? CG = ． EF 3 3EG 1 1 EF × FD 2 = ， GH = × = ． EF 3 3 DE 15又 A1C =AA12 + AC 2 = 2 6 ， A1G = A1C ? CG =A1G =5 5． HG5 6 ． 3tan ∠A1 HG =所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 5 ． ??????????????????????????????????????????????????????????????? 12 分 解法二： 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz ． 依题设， B (2， 0) C (0， 0) E (0，1) A1 (2， 4) ． 2，， 2，， 2，， 0， A1 z D1 B1 C1E D A x B C yuuur uuu r DE = (0，1) DB = (2， 0) ， 2，， 2，uuur uuuu r A1C = (?2， ? 4)， 1 = (2， 4) ． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3 分 2， DA 0，（Ⅰ）因为 A1C DB = 0 ， A1C DE = 0 ， 故 A1C ⊥ BD ， A1C ⊥ DE ． 又 DB I DE = D ， 所以 A1C ⊥ 平面 DBE ． ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6 分 （Ⅱ）设向量 n = ( x，y，z ) 是平面 DA1 E 的法向量，则uuur uuu ruuur uuurrr r uuur r uuuu n ⊥ DE ， n ⊥ DA1 ．故 2 y + z = 0 ， 2x + 4z = 0 ． 令 y = 1 ，则 z = ?2 ， x = 4 ， n = (4， ? 2) ． ??????????????????????????????????????????????????????????????????? 9 分 1，rr uuur n，1C 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角， A42r uuur r uuur n A1C 14 A cos n，1C = r uuur = ． 42 n A1C所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos 20．解： （Ⅰ）依题意， S n +1 ? S n = an +1 = S n + 3 ，即 S n +1 = 2 S n + 3 ，n n14 ． ?????????????????????????????????????????????????????????????? 12 分 42由此得 S n +1 ? 3n +1= 2( S n ? 3n ) ． ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4 分因此，所求通项公式为bn = S n ? 3n = (a ? 3)2n ?1 ， n ∈ N* ．① ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6 分（Ⅱ）由①知 S n = 3 + ( a ? 3)2n n ?1，n∈N ，*于是，当 n ≥ 2 时，an = S n ? S n ?1 = 3n + (a ? 3) × 2n ?1 ? 3n ?1 ? (a ? 3) × 2n ? 2 = 2 × 3n ?1 + (a ? 3)2 n ? 2 ， an +1 ? an = 4 × 3n ?1 + (a ? 3)2 n ? 2=2n?2? ? 3 ?n ?2 ? ?12 ? ? + a ? 3? ， ? ?2? ? ? ?当 n ≥ 2 时，?3? an +1 ≥ an ? 12 ? ? ?2? ? a ≥ ?9 ．又 a2 = a1 + 3 & a1 ．n?2+ a ? 3≥ 0综上，所求的 a 的取值范围是 [ ?9， ∞ ) ． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12 分 + 21． （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为x2 + y 2 = 1， 4直线 AB，EF 的方程分别为 x + 2 y = 2 ， y = kx ( k & 0) ． ??????????????????????????????????????????????? 2 分43如图，设 D ( x0，kx0 )，E ( x1，kx1 )，F ( x2，kx2 ) ，其中 x1 & x2 ， 且 x1，x2 满足方程 (1 + 4k 2 ) x 2 = 4 ， 故 x2 = ? x1 = y B D O E AF x2 1 + 4k2．①由 ED = 6 DF 知 x0 ? x1 = 6( x2 ? x0 ) ，得 x0 = 由 D 在 AB 上知 x0 + 2kx0 = 2 ，得 x0 = 所以uuu ruuur1 5 10 (6 x2 + x1 ) = x2 = ； 7 7 7 1 + 4k 22 ． 1 + 2k2 10 = ， 1 + 2 k 7 1 + 4k 22化简得 24k ? 25k + 6 = 0 ，2 3 或 k = ． ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6 分 3 8 （ Ⅱ ） 解 法 一 ： 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 ， 点 E，F 到 AB 的 距 离 分 别 为解得 k =h1 =x1 + 2kx1 ? 2 5 x2 + 2kx2 ? 2 5=2(1 + 2k + 1 + 4k 2 ) 5(1 + 4k 2 )，h2 ==2(1 + 2k ? 1 + 4k 2 ) 5(1 + 4k 2 )． ????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9 分又 AB =22 + 1 = 5 ，所以四边形 AEBF 的面积为S=1 AB (h1 + h2 ) 2=1 254(1 + 2k ) 5(1 + 4k 2 )=2(1 + 2k ) 1 + 4k 2 1 + 4k 2 + 4k 1 + 4k 2=2≤2 2 ，当 2k = 1 ，即当 k =1 时，上式取等号．所以 S 的最大值为 2 2 ． ??????????????????????????????? 12 分 2解法二：由题设， BO = 1 ， AO = 2 ．44设 y1 = kx1 ， y2 = kx2 ，由①得 x2 & 0 ， y2 = ? y1 & 0 ， 故四边形 AEBF 的面积为S = S△ BEF + S△ AEF= x2 + 2 y2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9 分= ( x2 + 2 y2 ) 22 2 = x2 + 4 y2 + 4 x2 y2≤ 2( x22 + 4 y22 )=2 2，当 x2 = 2 y2 时，上式取等号．所以 S 的最大值为 2 2 ．?????????????????????????????????????????????????? 12 分 22．解： （Ⅰ） f ′( x ) = 当 2kπ ?(2 + cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2 cos x + 1 = ． ????????????????????????????????????? 2 分 (2 + cos x) 2 (2 + cos x) 22π 2π 1 & x & 2kπ + （ k ∈ Z ）时， cos x & ? ，即 f ′( x ) & 0 ； 3 3 2 2π 4π 1 当 2kπ + & x & 2kπ + （ k ∈ Z ）时， cos x & ? ，即 f ′( x ) & 0 ． 3 3 2因此 f ( x ) 在每一个区间 ? 2kπ ?? ?2π 2π ? ，kπ + 2 ? （ k ∈ Z ）是增函数， 3 3 ?2π 4π ? ? f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ + ，kπ + 2 ? （ k ∈ Z ）是减函数． ???????????????????????????????????? 6 分 3 3 ? ?（Ⅱ）令 g ( x ) = ax ? f ( x ) ，则g ′( x) = a ?2 cos x + 1 (2 + cos x) 2=a?2 3 + 2 + cos x (2 + cos x)221 1? 1 ? = 3? ? ? +a? ． 3 ? 2 + cos x 3 ?故当 a ≥1 时， g ′( x ) ≥ 0 ． 345又 g (0) = 0 ，所以当 x ≥ 0 时， g ( x) ≥ g (0) = 0 ，即 f ( x) ≤ ax ． ?????????????????????????????? 9 分 当0 & a &1 时，令 h( x ) = sin x ? 3ax ，则 h′( x ) = cos x ? 3a ． 3故当 x ∈ [ 0， arccos 3a ) 时， h′( x) & 0 ． 因此 h( x ) 在 [ 0， arccos 3a ) 上单调增加．arccos 3a ) 时， h( x) & h(0) = 0 ， 故当 x ∈ (0，即 sin x & 3ax ． 于是，当 x ∈ (0， arccos 3a ) 时， f ( x) = 当 a ≤ 0 时，有 f ?sin x sin x & & ax ． 2 + cos x 3π ?π? 1 ? = & 0≥ a ． 2 ?2? 2 ?1 ?3 ? ?因此， a 的取值范围是 ? ， ∞ ? ． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12 分 +2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 数学（理工农医类）一- 选择题（每小题 5 分，共 60 分） （1）已知集合 M={x|-3&x≤5},N={x|-5&x&5},则 M∩N= (A) {x|-5&x&5} (B) {x|-3&x&5} (C) {x|-5&x≤5} (D) {x|-3&x≤5} （2）已知复数 z = 1 ? 2i ，那么1 = z 5 2 5 ? i 5 5（C）（A）5 2 5 + i 5 5（B）01 2 + i 5 5（D）1 2 ? i 5 5（3）平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ， a = (2, 0) ， b = 1 则 a + 2b = （A） 3 (B) 2 3 (C) 4 (D)12(4) 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上，则圆 C 的方程为 （A） ( x + 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 2 (C) (B) ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2 (D) ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 246( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 2（5）从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生 都有，则不同的组队方案共有 （A）70 种 （B） 80 种 （C） 100 种 （D）140 种 （6）设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若S6 =3 ，则 S38 3S9 = S6w.w.w. k.s.5.u.c.o.m（A） 2 (7)曲线 y=（B）7 3（C）（D）3x 在点（1，-1）处的切线方程为 x?2(B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1（A）y=x-2(8)已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + ? )的图象如图所示， f ( ) = ?π22 ，则 f (0) = 32 （A） ? 32 (B) 31 (C)21 (D) 2w. w.w. k.s.5.u.c.o.m（9） 已知偶函数 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞) 单调增加， 则满足 f (2 x ? 1) ＜ f ( ) 的 x 取值范围是 （A） （1 31 2 ， ） 3 3(B) ［1 2 ， ） 3 3(C)（1 2 ， ） 2 3(D) ［1 2 ， ） 2 3w.w.w. k. s.5.u.c.o.m10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 ， a2 ，。 aN ，其中收入记为 。。 正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V，那么在图中空 白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A&0,V=S-T (B) A&0,V=S-T (C) A&0, V=S+T （D）A&0, V=S+Tw.w.w. k. s.5.u.c.o.m（11）正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 （12）若 x1 满足 2x+ 2 x =5, x2 满足 2x+2 log 2 (x-1)=5, x1 + x2 = （A）5 2(B)3(C)7 2(D)4（13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的 产量之比为 1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一 层） 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试， 从 由所得的测试结果47算得从第一、 三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h， 二、 1020h， 1032h， 则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h. （14）等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，且 6 S5 ? 5S3 = 5, 则 a4 = （15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m） 。w.w.w. k.s.5.u.c.o .m1/3则该几何体的体积为m3w.w.w. k.s.5.u .c.o.m（16）以知 F 是双曲线x2 y 2 ? = 1 的左焦点， A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点，则 4 12。PF + PA 的最小值为（17） （本小题满分 12 分） 如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ，30 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的 仰角均为 60 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B， D 的距离 （计算结果精确到 0.01km， 2 ≈ 1.414， 6 ≈ 2.449）w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m000（18） （本小题满分 12 分） 如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点 。 （I）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k. s.5.u.c.o.m48（19） （本小题满分 12 分） 某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、 1 3 三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列； （Ⅱ）若目标被击中 2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ， 求 P（A）w.w.w. k.s .5.u.c.o.m（20） （本小题满分 12 分） ， 。 已知，椭圆 C 过点 A (1, ) ，两个焦点为（-1，0）（1，0） （1） 求椭圆 C 的方程； （2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直 线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。w.w.w. k.s.5.u.c.o.m3 2（21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=1 2 x -ax+(a-1) ln x ， a & 1 。 2w.w.w. k.s.5. u.c.o.m（1）讨论函数 f ( x ) 的单调性；49（2）证明：若 a & 5 ，则对任意 x 1 ，x 2 ∈ (0, +∞ ) ，x 1 ≠ x 2 ，有f ( x1 ) ? f ( x2 ) & ?1 。 x1 ? x2请考生在第（22）（23）（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 、 、 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明讲w.w.w. k.s.5. u.c.o.m已知 ? ABC中， AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 AC 上的点 （不与点 A,C 重合） ，延长 BD 至 E。 （1） 求证：AD 的延长线平分 ∠ CDE； （2） 若 ∠ BAC=30， ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ， 求 ? ABC 外接圆的面积。w.w.w. k.s.5. u.c.o.m（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极 点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos（ θ ? 为 C 与 x 轴，y 轴的交点。 （1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标；π3）=1，M,N 分别w.w.w. k. s.5.u.c.o.m50（2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f ( x ) =| x ? 1| + | x ? a | 。 （1） 若 a = ?1, 解不等式 f ( x ) ≥ 3 ； （2）如果 ?x ∈ R , f ( x ) ≥ 2 ,求 a 的取值范围。w.w.w. k. s.5.u.c.o.m参考答案(1) B (10) C (17)解: 在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 在△ABC 中， sin ∠BCA = sin ∠ABC ,ACsin60 o = 3 2+ 6 , 20AB AC(2) D (3) B (11)C (12)C(4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A (13)1013 (14)1 3(15) 4(16)9……5 分即 AB= sin 15 o因此，BD=3 2+ 6 ≈ 0.33km。 20故 B，D 的距离约为 0.33km。 （18） （I）解法一： 取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。……12 分51设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2， 则 MG⊥CD，MG=2，NG=2.因为平面 ABCD⊥平面 DCED， 所以 MG⊥平面 DCEF， 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= 平面 DCEF 所成角的正弦值 解法二： 设正方形 ABCD， DCEF 的边长为 2， D 为坐标原点，分别以射线 DC， 以 DF， 为 x,y,z DA 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2). 又 DA =（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量， 可得 cos( MN , DA )=MN ? DA || MN || DA | =? 6 36，所以 sin∠MNG=6 3为 MN 与……6 分?所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为MN , DA = 6 3cos?……6 分 ……8 分(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面， 则 AB ? 平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB ? 平面 DCEF。又 AB//CD，所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线， 所以 AB//EN。 又 AB//CD//EF， 所以 EN//EF，这与 EN∩EF=E 矛盾，故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. （19）解： （Ⅰ）依题意 X 的分列为 ……12 分52………………6 分（Ⅱ）设 A1 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2. B1 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2. 依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，A = A1 B1 ∪ A1 B1 ∪ A1 B1 ∪ A2 B2 ,所求的概率为P( A) = P( A1 B1 ) + P( A1 B1 ) + P A1 B1） P( A2 B2 ) （ + P( A1 B1 ) + P( A1 ) P( B1 ) + P A1 ) P( B1 ) + P( A2 ) P( B2 ) （0.1× 0.9 + 0.9 × 0.1 + 0.1× 0.1 + 0.3 × 0.3 = 0.28（20）解： （Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ………1 9 3 + 2 = 1 ，解得 b 2 = 3 ， b 2 = ? （舍去） 2 4 1+ b 4b……………4 分所以椭圆方程为x2 y2 + = 1。 4 3 3 x2 y2 ，代入 + = 1得 2 4 3（Ⅱ）设直线 AE 方程为： y = k ( x ? 1) +3 (3 + 4k 2 ) x 2 + 4k (3 ? 2k ) x + 4( ? k )2 ? 12 = 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上，所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF = 2 3 + 4k 2 3 yE = kxE + ? k 2 3 4( + k ) 2 ? 12 xF = 2 3 + 4k 2 3 yE = ? kxE + + k 2所以直线 EF 的斜率 K EF =………8 分又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以―K 代 K，可得y F ? y E ? k ( xF + xE ) + 2 k 1 = = 2 xF ? xE xF ? xE53即直线 EF 的斜率为定值，其值为1 。 2……12 分(21)解：(1) f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) 。f ' ( x) = x ? a +a ? 1 x 2 ? ax + a ? 1 ( x ? 1)( x + 1 ? a ) = = 2分 x x x（i）若 a ? 1 = 1 即 a = 2 ,则( x ? 1) 2 f ( x) = x'故 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 & 1 ,而 a & 1 ,故 1 & a & 2 ,则当 x ∈ ( a ? 1,1) 时， f ' ( x ) & 0 ; 当 x ∈ (0, a ? 1) 及 x ∈ (1, +∞) 时， f ' ( x ) & 0 故 f ( x ) 在 ( a ? 1,1) 单调减少，在 (0, a ? 1), (1, +∞) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 & 1 ,即 a & 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少，在 (0,1), ( a ? 1, +∞) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x ) = f ( x ) + x=1 2 x ? ax + (a ? 1) ln x + x 2则 g ′( x) = x ? ( a ? 1) +a ?1 a ?1 ≥ 2 xg ? (a ? 1) = 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x由 于 1&a&5, 故 g ′( x ) & 0 ， 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 ， 从 而 当 x1 & x2 & 0 时 有g ( x1 ) ? g ( x2 ) & 0 ，即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) + x1 ? x2 & 0 ，故f ( x1 ) ? f ( x2 ) & ?1 ，当 0 & x1 & x2 x1 ? x2时，有f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) = & ?1 ?????12 分 ???? x1 ? x2 x2 ? x1（22）解： （Ⅰ）如图，设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A，B，C，D 四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC 又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,54且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE. （Ⅱ）设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ACB=75 , ∴∠OCH=60 . 设圆半径为 r,则 r+ （23）解：3 r=2+ 3 ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 π 。 20 0 0π （Ⅰ）由 ρ cos(θ ? ) = 1得3ρ ( cos θ +1 23 sin θ ) = 1 2从而 C 的直角坐标方程为1 3 x+ y =1 2 2 即 x + 3y = 2θ = 0时，ρ = 2，所以M (2,0) θ= π2 时，ρ = 2 3 2 3 π ，所以N ( , ) 3 3 2（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为 (0,2 3 ) 3(1. 3 2 3 π ), 则P点的极坐标为( , ), 3 3 6所以 P 点的直角坐标为所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = π , ρ ∈ (?∞,+∞) ρ （24）解： （Ⅰ）当 a=-1 时，f(x)=x-1+x+1. 由 f(x)≥3 得 x-1+x+1|≥3 （）x≤-1 时，不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥355绝密★ 绝密★启用前年普通高等学校招生全国统一考试(课标版) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(课标版) 理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24） 题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案的标 号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字） 笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。565、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。 参考公式： 样本数据 x1 , x 2 ,L x n 的标准差 锥体体积公式s=1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x)2 + L + ( xn ? x) 2 ] n1 V = Sh 3其中 S 为底面面积， h 为高 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。k.Com]其中 x 为样本平均数 柱体体积公式V = Sh其中 S 为底面面积， h 为高 第I卷S = 4π R 24 V = π R3 3其中 R 为球的半径一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． （1）已知集合 A = x x ≤ 2, x ∈ R ， B = x （A） ( 0, 2 ) （2）已知复数 z = （B） [ 0, 2]{}{x ≤ 4, x ∈ Z ，则 A I B =（D） {0,1, 2}}（C） {0, 2}(3 +i1 ? 3i)2， z 是 z 的共轭复数，则 z ? z（A）1 4（B）1 2（C）1（D）2（3）曲线 y =x 在点 ( ?1, ?1) 处的切线方程为 x+2（B） y = 2 x ? 1 （C） y = ?2 x ? 3 （D） y = ?2 x ? 2（A） y = 2 x + 1（4） 如图， 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动， 其初始位置为 P0 角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为(2, ? 2 ，)57[来源:学科网]（5）已知命题p1 ：函数 y = 2 x ? 2? x 在 R 为增函数， p2 ：函数 y = 2 x + 2 ? x 在 R 为减函数，则在命题 q1 ： p1 ∨ p2 ， q2 ： p1 ∧ p2 ， q3 ： ( ? p1 ) ∨ p2 和 q4 ： p1 ∧ ( ? p2 ) 中，真命题是 （A） q1 ， q3 （B） q2 ， q3 （C） q1 ， q4 （D） q2 ， q4（6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒 ，对于没有发芽的种子，每粒需 再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400（7）如果执行右面的框图，输入 N = 5 ，则输出的数等于5 4 4 （B） 5 6 （C） 5 5 （D） 6（A） （8）设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = x ? 8 ( x ≥ 0 ) ，则 x f ( x ? 2 )＞0 =3{}（A） x x ＜- 2或x＞4 （C） x x ＜0或x＞6{}（B） x x ＜0或x＞4{} }{}（D） x x ＜- 2或x＞2{581 + tan 4 2 = （9 ）若 cos α = ? ， α 是第三象限的角，则 α 5 1 ? tan 2 1 1 （A） ? （B） （C）2 （D） ?2 2 2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为 （A） π a2α（B） π a7 32（C）11 2 πa 3（D） 5π a2? lg x , 0＜x ≤ 10, ? 若 a，b，c 互不相等，且 f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) ， （11）已知函数 f ( x ) = ? 1 ?? x + 6, x＞10 ? 2则 abc 的取值范围是 （A） (1,10 ) （B） ( 5, 6 ) （C） (10,12 ) （D） ( 20, 24 )（12）已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两 点，且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 （A）x2 y 2 ? =1 3 6（B）x2 y 2 ? =1 4 5（C）x2 y 2 ? =1 6 3（D）x2 y 2 ? =1 5 4第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须 做答。第（22 ）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13） 设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近 似计算积分∫10f ( x)dx ,先产生两组（每组 N 个）区间[0,1]上的均匀随机数 x1 , x2 …, xN 和y1 , y2 …, y N ,由此得到 N 个点（ x1 ， y1 ） （i=1,2,…,N）,在数出其中满足 y1 ≤ f ( x1 ) （（ i=1,2, … ,N ） 的 点 数 N1 ， 那 么 由 随 机 模 拟 方 法 可 得 积 分 ） 为 . (14)正视图为一个三角形的几何体可以是 (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 = 0 相切于点 为 . ．(写出三种) B(2,1) ． 则 圆 C 的 方 程∫10f ( x)dx 的 近 似 值59(16)在 ?ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=1 DC, ∠ABC =120°，AD=2，若 ?ADC 的面积为 23 ? 3 ，则 ∠BAC =.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 l2 分) 设数列 {an } 满足 a1 = 2 ， an +1 ? an = 3 2 （Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式： （Ⅱ）令 bn = nan ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . (18)(本小题满分 12 分) 如圈，己知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD, AC ⊥BD 垂足为 H,PH 是四棱锥的 高，E 为 AD 中点. （Ⅰ) 证明：PE⊥BC （Ⅱ）若 ∠APB = ∠ADB =60°，求直线 PA 与平 面 PEH 所成角的正弦值.2 n ?1(19)(本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下：（Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （Ⅱ）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？60（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者 提供帮助的老年人的比例？说明理由.(20)（本小题满分 12 分） 设 F1 , F2 分别是椭圆 E:x2 y2 + = 1（a&b&0）的左、右焦点，过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相 a2 b2较于 A,B 两点，且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. （Ⅰ)求 E 的离心率； （Ⅱ）设点 P（0,-1）满足 PA = PB ,求 E 的方程.(21)（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)= e ? 1 ? x ? ax .x 2（Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; （Ⅱ）若当 x≥0 时 f(x)≥0，求 a 的取值范围.[来源:Z*xx*k.Com][来源:Zxxk.Com]请考生在第（22）（23）（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 、 、 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分) 选修 4―1；几何证明选讲 如图，已知圆上的弧 AC = BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （Ⅰ) ∠ACE = ∠BCD ; （Ⅱ） BC = BE × CD ;261(23) （本小题满分 10 分）选修 4―4;坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? （Ⅰ)当 α =? x = 1 + t cos α . ? x = cos θ , （t 为参数） ，圆 C2 : ? ? y = t sin α , ? y = sin θ ,时，求 C1 与 C2 的交点坐标；( θ 为参数)，π3（Ⅱ）过坐标原 点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A,P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求 P 点轨 迹的}