【数学】求微分方程的通解或特解9-学路网-学习路上 有我相伴
求微分方程的通解或特解9
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求微分方程的通解和特解。向左转|向右转什么是微分方程的通解和特解通解是所有特解的集合,有时会把线性非其次方程对应的其次方程通解叫做通解部分,但是这并不是真正的通解,它甚至都不是原方程的解什么是微分方程的通解和特解?通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数。比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数。微分方程相关,知道特解求通解和其方程所以齐次方程的通解为C1*Y1+C1*Y2=C1*e^(-x)+C2*e^(2x).说明特征根为r1=-1,r2=2。特征方程为r^2-r-2=0。原齐次方程为y''-y'-2y=0。(3)非齐次方程的任一个特解...知道一阶微分方程的通解如何求特解先设特解,根据等号右边的式子设出特解的形式,然后代入解就可以了。做题时常见的几种是:右边是ccosx或csinx型,设特解为y=acosx+bsinx右边是ce^x型,设特解为y=ae^x...求微分方程的通解或特解9(图5)求微分方程的通解或特解9(图10)求微分方程的通解或特解9(图12)求微分方程的通解或特解9(图14)求微分方程的通解或特解9(图22)求微分方程的通解或特解9(图24)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:求微分方程的通解或特解9学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com 知道一阶微分方程的通解如何求特解先设特解,根据等号右边的式子设出特解的形式,然后代入解就可以了。做题时常见的几种是:右边是ccosx或csinx型,设特解为y=acosx+bsinx右边是ce^x型,防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:求这个二阶微分方程的通解和特解(求各位大神将有过程的照片...如图(点击可放大):防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:二阶线性微分方程通解为什么一定用两个特解表示二阶非齐次线性微分方程的特解是它对应的齐次方程的通解中满足一定条件的解防抓取，学路网提供内容。解答见图：======以下答案可供参考======二阶线性非齐次微分方程的通解和特解有什么区别和联系?对应齐次方程的通解和非齐次方程的特接,通解使得原方程左边卫零,特解使得左边方程为f(x),根据线性微分方程的叠加性,两个解相加就得到了非齐次方程的通防抓取，学路网提供内容。供参考答案1:微分方程中解、特解、通解有什么区别啊?统称为微分方程的通解;在微分方程的基础上给出了初始条件(通常给出x和y的值关系)来确定出那个常数,从而确定出一个函数,这个函数即为该微分方程的特解。不知道理解的对防抓取，学路网提供内容。令u＝y/x.，则y＝ux，dy/dx＝du/dx＊x＋u求微分方程通解，要详细步骤答：1）特征方程为r²-5r+6=0,即(r-2)(r-3)=0,得r=2,3设特解y*=a,代入方程得：6a=7,得a=7/6故通解y=C1e^(2x)+C2e^防抓取，学路网提供内容。∴原式化为：一个微分方程求特解的题，请给出详细步骤，谢谢！答：解：∵齐次方程y''-5y'+6y=0的特征方程是r²-5r+6=0，则r1=2，r2=3∴齐次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1防抓取，学路网提供内容。du/dx＊x＋u＝u＋tanu.求微分方程y'''-8y=0的通解答：特征方程r^3-8=0，(r-2)(r^2+2r+4)=0，r=2,-1±√3i因此通解为：y=C1e^(2x)+e^(-x)[C2sin(√3x)+C3cos(防抓取，学路网提供内容。即du/dx＊x＝tanu.已知微分方程的通解怎么求这个微分方程答：因为通解中只有一个任意常数,所以所求微分方程是一阶微分方程,一个一阶微分方程中一定要出现y的导数y',所以求出y',把其中的C消去即可得到微分方程.(x+C)^防抓取，学路网提供内容。分离变量，得如何由传递函数写出微分方程求步骤问：之前只知道微分方程转传函今天做了一道反过来的不会做图片不大清楚...答：微分方程：含有未知函数的导数，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4都是微分方程。一般的、凡防抓取，学路网提供内容。du/tanu＝dx/x求解微分方程接下来怎么求原函数答：如图所示助人为乐记得采纳哦，不懂的话可以继续问我。防抓取，学路网提供内容。两端积分，得怎样求微分方程的一般解，求公式答：y'''+8y=0的特征方程为:λ^3+8=(λ+2)(λ^2-2λ+4)=0有根：λ1=-2,λ2=1+i√3,λ3=1-i√3故方程有y1=e^-2xy2=e^x防抓取，学路网提供内容。ln|sinu|＝ln|x|＋lnC微分方程的通解怎么求？答：二阶常系数齐次线性微分方程解法：特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。(1+y)dx-(1-x)dy=0==&dx-dy+(ydx+xdy)=0==&防抓取，学路网提供内容。∴sinu＝Cx求两个微分方程问：求两个微分方程带步骤，谢谢答：防抓取，学路网提供内容。即sin(y/x)＝Cx.求微分方程答：两边同除xy'=y/x+e^(y/x)令u=y/xdy/dx=d(ux)/dx=xdu/dx+udx/dxxdu/dx+u=u+e^udu/e^u=dx/x-e^-u=lnx+ce^(-防抓取，学路网提供内容。这就是原微分方程的通解！防抓取，学路网提供内容。但愿对你有帮助！饺子，又名“饺饵”是中国的古老传统面食之一，相传是中国东汉南阳医圣张仲景发明的，距今已有一千八百多年的历史了。饺子深受中国广大人民的喜爱，有句民谚：“舒服不如倒着，好吃不如饺子。”很多人都喜欢吃饺子，防抓取，学路网提供内容。供参考答案2:我是军林纵横！今天中国的天空，人们已经渐渐熟视无睹中国的歼8、歼10、歼15、歼16、歼20在空中翱翔！可是，中国这一路，克服多少艰辛，克服多少困苦，又有谁能知道呢？回首这些先进战斗机的建设历程，充满防抓取，学路网提供内容。令u=y/x9月1日起，国内三大运营商将全面取消长途漫游费，意味着中国实施了20多年的手机国内漫游费将成历史。但省内流量还未解决，携号转网，流量资费高等问题还未解决。估计三大运营商资费套餐接下来也会有相应的调整，防抓取，学路网提供内容。则y=xu, y'=u+xu', 代入原方程：这首歌的歌词用比喻的形式表现出一个愿意为爱付出一切的男人形象，就算自己和深爱的羊不是一个物种，也愿意为她变成披着羊皮的狼，足以见这只狼爱得之深，愿意放弃一切，哪怕背弃自己。词曲：刀郎我小心翼翼的接近怕防抓取，学路网提供内容。u+xu'=u+tanu现如今，纸币的防伪技术一直在不断地提升，保障着大家的财产安全。而在古代纸钞（也就是银票）出现后，当时没有高科技的情况下，我们智慧的祖先们是如何实现防伪的呢？跟着文玩姐一起来涨涨姿势～北宋时期，四川出现防抓取，学路网提供内容。xu'=tanu宝宝不吃奶瓶的情况不少，很多妈妈都遇到过这种情况，那么宝宝不吃奶瓶怎么办呢？关于这个问题，妈妈首先要分清是否是宝宝不爱吃奶嘴。我们首先要知道，奶瓶上的奶嘴与母亲的乳头的口感是有很大的区别的，宝宝吃惯了防抓取，学路网提供内容。du/tanu=dx/x地瓜叶，也叫红薯叶，世界被誉为“蔬菜皇后”，“长寿蔬菜”及“抗癌蔬菜”。根据科学的研究的结果可以得出，红薯叶中的营养元素十分的丰富。它含有丰富的蛋白质、胡萝卜素、维生素、铁和钙质。红薯叶具有增强免疫功防抓取，学路网提供内容。du*cosu/sinu=dx/x梁欢「超越原唱」这个词组现在都被滥用成形容词了，动不动就超越原唱，真当全天下所有的原唱都是阿某韩某罗某了？今年出来的无数版「XXX深情演绎洋葱！超感动的声音！超越原唱！」，没见过哪一个真能超越杨宗纬―防抓取，学路网提供内容。d(sinu)/sinu=dx/x我们都知道，市面上的翡翠基本都来自于缅甸，作为玉石之王的翡翠深受我们中国人的欢迎，种水好些的翡翠更是受到热烈的追捧。可作为翡翠的产地缅甸，喜欢翡翠的人却并不多，这究竟是什么原因呢？缅甸人之所以不喜欢翡防抓取，学路网提供内容。积分： ln|sinu|=ln|x|+C1在回答这个问题之前，我们有必要探讨一下“漂亮”的定义。如果单纯比较外表的话，易建联、王仕鹏、刘晓宇、孙悦、郭艾伦等人的老婆/女友，都是一等一的美女，要长相有长相，要身材有身材，而且也足够时尚，走在大街防抓取，学路网提供内容。sinu=Cx首先感谢头条的问题。这个问题事实上很难去估计，做为oppo以较高配置，和超级广告做了成功的营销，各种广告赞助，邀请明星代言，以借明星势头做推广。?无论是oppo还是华为都有众多的粉丝，只是oppo在手防抓取，学路网提供内容。sin(y/x)=Cx成龙家的金毛犬，简直比房祖名还要幸福！成龙大哥与金毛有着不解的情缘。他家里有两只大金毛，名字分别叫：JJ和Jones。成龙大哥对它们是喜爱有加，连过年分红包也都有它们的份呢。大哥还在鲁豫有约里面自曝连防抓取，学路网提供内容。求这个二阶微分方程的通解和特解(求各位大神将有过程的照片...如图(点击可放大):二阶线性微分方程通解为什么一定用两个特解表示二阶非齐次线性微分方程的特解是它对应的齐次方程的通解中满足一定条件的解二阶线性非齐次微分方程的通解和特解有什么区别和联系?对应齐次方程的通解和非齐次方程的特接,通解使得原方程左边卫零,特解使得左边方程为f(x),根据线性微分方程的叠加性,两个解相加就得到了非齐次方程的通解了,举个简单例...微分方程中解、特解、通解有什么区别啊?统称为微分方程的通解;在微分方程的基础上给出了初始条件(通常给出x和y的值关系)来确定出那个常数,从而确定出一个函数,这个函数即为该微分方程的特解。不知道理解的对...
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- Copyright & 2017 www.xue63.com All Rights Reserved求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件的特解：y´sinx=yIny,y|(x=π/2)=e
求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件的特解：y´sinx=yIny,y|(x=π/2)=e
dy/dx*sinx=ylnydy/(ylny)=dx/sinx两边积分：ln|lny|=∫sinxdx/(1-cos^2(x))=-1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx)=...=ln|cscx-cotx|+C所以lny=C(cscx-cotx)令x=π/2：1=C所以lny=cscx-cotxy=e^(cscx-cotx) 再问： -1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx)=...=ln|cscx-cotx|+C(把这里省略号的内容也写出来呀！一下子跳过去了，看不明白呀!省略号的过程也写出来！) 再答： 好吧，我想的是csc的积分是有公式的（虽然我刚才是在网上查的。。。囧） ∫sinxdx/(1-cos^2(x)) =-1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx) =-1/2[-∫d(1-cosx)/(1-cosx)+∫d(1+cosx)/(1+cosx)] =1/2[∫d(1-cosx)/(1-cosx)-∫d(1+cosx)/(1+cosx)] =1/2(ln|1-cosx|-ln|1+cosx|)+C =1/2ln((1-cosx)/(1+cosx))+C =ln|(1-cosx)/sinx|+C （把1/2拿到ln里面变成根号，根号里面上下同时乘1-cosx） =ln|cscx-cotx|+C
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与《求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件的特解：y´sinx=yIny,y|(x=π/2)=e》相关的作业问题
∵y'=e^(2x-y) ==>e^ydy=e^(2x)dx==>e^y=e^(2x)/2+C (C是积分常数)又当x=0时,y=0∴ 1=1/2+C ==>C=1/2故满足所给初始条件的特解e^y=[e^(2x)+1]/2.
答案是y=C*x 再问： 答案是cosy=Ccosx 求过程.~ 再答： sinXcosYdx=cosXsinYdytanXdx=tanYdy两边积分ln(CcosX)=ln(cosY)cosY=CcosX
∵y'sinx=ylny==>dy/(ylny)=dx/sinx==>d(lny)/lny=sinxdx/(sinx)^2==>d(lny)/lny=d(cosx)/((cosx)^2-1)==>d(lny)/lny=(1/2)[1/(cosx-1)-1/(cosx+1)]d(cosx)==>ln│lny│=(1/2)
dy/y=-2dx/xlny=-2lnx+lnCy=C*x^-2代入1=C/4得C=4即x^2*y=4
再答： 有不懂之处请追问，望采纳。
xy'－ylny＝0∫ylny dy = ∫xdx(1/2)∫lny dy^2 = (1/2)x^2y^2lny -∫ ydy = x^2y^2lny - (1/2) y^2 = x^2 + C
dy/dx=10^(x+y)dy/10^y=10^xdx两边积分得-10^(-y)/ln10=10^x/ln10+C-10^(-y)=10^x+C'这就是微分方程的解
1+y'=e^y;1+dy/dx=e^ydy/dx=e^y-1dx/dy=1/(e^y-1)dx/dy=-1+(e^y)/(e^y-1)对y积分x=-y+c+ln(e^y-1)x=ln(c*(e^y-1)/(e^y)),由于c是常数,所以变化过程总是用c来表示求解上面关于y的方程得到：y=-In(1-ce^x)；有什么
(4x-x^2)dy/dx=ydy/y=dx/[x(4-x)]=1/4(1/x+1/(4-x))dx两边积分：ln|y|=1/4∫dx/x+1/4∫dx/(4-x)=1/4ln|x|-1/4ln|4-x|+C=1/4ln|x/(4-x)|+Cy=C*|x/(4-x)|^(1/4) (C≠0)代入x=3,y=1：1=C*
你说的很对,分离变量法解微分方程的时候一定要考虑g(y)=0的情况.最终的通解虽然含有任意常数C（非初值问题）,但不一定就包含了g(y)=0的情况,通常这跟所给通解的形式有关,也有可能这个解带入通解表达式发现是无意义的.给你举几个例子,例如方程y'=P(x)y,P(x)是x的连续函数.这个方程最终的解是包含y=0情况的
全国物理竞赛原则上不考微积分；我觉得只要掌握好求导和积分就可以了,微分方程没必要掌握；即使掌握了,也只有很少的几率为你节省时间,不如专心把物理知识学好
两边同除sinxsiny得cosx/sinxdx+cosy/sinydy=0又根据(sinx)'=cosx,化为：d(sinx)/sinx+d(siny)/siny=0同时积分,均为1/x*dx形式,得：ln|sinx|+C1=-ln|siny|+C2ln|sinx|+ln|siny|=C2-C1=Cln|sinxsi
变量分离适用于解可以将xy分别放置等号两边的方程.形如y'=f(x)g(y)的微分方程就是可分离变量的微分方程 这类方程可以用积分方法求解的 化简得 dy/g(y)=f(x)dx 再两端积分 设 G(y)F(x)分别是是1/g(y),f(x)的原函数 所以 G(y)=F(x)+c就是通解 dy/dx = y/x 是可分
接下来只要将sinx,siny为0的情况讨论一下即可.可以按如下讨论：当x=0或y=0时,代入原微分方程,显然成立,所以,x=0或y=0也是该微分方程的解. 再问： 哦谢谢``` 那如果是(x^2+y^2)dx=xydy呢，解出y^2=2x^2ln|x|+Cx^2 解的过程中x，y均不等于0。最后把x=0，y=0分别代
一阶线性非齐次 再问： 为什么是非齐次啊 再答： 打错了，齐次再问： …答案是齐次，还是一阶线性齐次？ 再答： 再答： 它等号右不为零，所以是 一阶线性非齐次 再答： 这次是对的了。。。不好意思，没睡醒再问： 喔喔谢谢！！！再问： 怎么从原方程化成你的那个的，能把步骤给我看一下吗😭😭 再
(d^2 y)/dx^2 + 4y = 0的通解,不是用一阶线性方程来解.变量分离适用于解可以将xy分别放置等号两边的方程.但是很多一阶线性微分方程并不能将x,y分开写两边,这时候就得考虑下面了.而一阶线性方程是通过变量分离以及其他一些手段预先解出来的一个可以当作公式使用的便利形式.
可分离变量微分方程原方程可化为dp/p=dy/y两边积分可得lnp=lny+cp=C*y 再问： lnp=lny+c是怎么做到p=C*y的 再答： 因为lnp=(lny)+c e^(lnp)=e^((lny)+c)=e^(lny)*e^(c) p=y*e^(c)=y*C=C*y 请采纳！> 问题详情
对一阶线性微分方程的初值问题求特解时，可以采用定积分方法吗？
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提问人：匿名网友
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对一阶线性微分方程的初值问题求特解时，可以采用定积分方法吗？
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1将质量为m的物体垂直上抛，假设初始速度为v0，空气阻力与速度成正比(比例系数为k)，试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系．2设曲线L位于xOy平面的第一象限，L上任意一点M(x，y)处的切线与y轴相交，交点记为A.已知|MA|=|OA|，且L过点，求L的方程.3设非负函数f(x)在[0，+∞)上连续，且它在[0，x]上的平均值等于它在该区间端点处的函数值的几何平均值，求f(x)．4求下列微分方程满足初始条件的特解： (1)(y+x3)dx一2xdy=0，且(2)x2y’+xy=y2，且y|x=1=1； (3)xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)，且y|x=1=0； (4)请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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常微分方程讲义++很详细
第一章初等积分法第 1 讲 微分方程与解第 2讲 变量可分离方程 第 3 讲 齐次微分方程 第 4 讲 一阶线性微分方程 第 5 讲 全微分方程与积分因子 第 6 讲 一阶隐式微分方程 第 7 讲 几种可降阶的高阶方程 第 8 讲 应用举例第二章基本定理第 09 讲 解的存在性与唯一性定理 第 10 讲 解的延展 第 11 讲 奇解与包络 第 12 讲 解对初值的连续依赖性第三章第 13 讲 第 14 讲 第 15 讲线性微分方程组一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念 线性齐次微分方程组的一般理论 线性非齐次微分方程组的一般理论常 系数线性微分方程组的解法(单实根） 第 16 讲 常系数线性微分方程组的解法(复、重根)第四章第 17 讲 18 讲 第 19 讲 第 20 讲线性微分方程n 阶线性微分方程的一般理论第 n 阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性非齐次方程的解法 二阶常系数线性方程与振动现象第五章定性和稳定性理论简介第 21 讲 稳定性概念及李雅普诺夫第二方法 第 22 讲 平面自治系统的基本概念 平面定性理论简介(1) 第 23 讲 平面定性理论简介(2)第1讲微分方程与解微分方程 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 300 多年前，由牛顿(Newton,)和莱布尼兹(Leibniz,)所创立的微 积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方 程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规 律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动 的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照 某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出 来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下 面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. 例 1 物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t=0 时，在距地面高度为 H 处以初始速度 v(0)=v0 垂直 地面下落，求 ss 此物体下落时距离与时间的关系. 解如图 1-1 建立坐标系，设为 t 时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为 ds v?? dt 加速度为质量为 m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力 mg 和空气阻力，当速度不太 大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 F =ma (力=质量× 加速度) 可以列出方程(? = 其中 k ＞0 为阻尼系数，g 是重力加速度.）(1.1)(1.1)式就是一个微分方程，这里 t 是自变量，x 是未知函数，是未知函数对 t 导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为(1.2) 将上式对 t 积分两次得(1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解. 一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是 两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所 介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程（1.4）（1.5）(? =)（1.6）(′=)（1.7）在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常 微分方程的一般形式可表为 （1.8） 如果在(1.8)中能将 y′解出，则得到方程 （1.9） 或 （1.10）(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程. n 阶隐式方程的一般形式为 （1.11） n 阶显式方程的一般形式为 (1.12) 在方程(1.11)中，如果左端函数 F 对未知函数 y 和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而 言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程 .这样，一个以 y 为未知函数，以 x 为自变量的 n 阶线性微分方程具有如下形式： （1.13）显然，方程(1.4) 是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线 性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程. 通解与特解 微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 定义 1.１ 在区间 I 上连续，且有直到 n 阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在区间 I 上关于 x 的恒等式，则称为方程(1.11)在区间 I 上的一个解.这样，从定义 1.1 1. 函数 y = x2＋Ｃ是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中 C 是任意的常数. 2. 是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中 C 是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解 y =± １，这两个解不包含在上述解中. 3. +∞)上的解， 其中 4. 和 是方程(1.6)在区间(-∞， 是独立的任意常数.是方程(１.７)在 和 是独区间(-∞， +∞)上的解， 其中 立的任意常数.这里，我们仅验证 3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在（－∞，＋∞）上有从而该函数是方程(1.6)的解. 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微 分方程的解中可以包含任意常 数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把 n 阶 常 微 分 方 程 (1.11) 的 含 有 n 个 独 立 的 任 意 常 数 C1 ， C2 ， … ， Cn 的 解 ，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解 分. 由上面的定义，不难看出，函数 分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数 和 是方程(1.7) 不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积的通积分，而函数 y =± １是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定 值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件. 初值问题 例1 和 是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图 a 和图 b 所示.图 a（C1＞固定，C2＞0） 图 b（C1=0,C2＞0）而实际经验表明， 一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是 因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时 t 所满足的关系式，并未考虑 运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运 动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不 同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例 1 中给出的两个初始值条件， 即 初始位置 代入到通解中，推得 x(0)=H 初始速度于是，得到满足上述初值条件的特解为(1.14) 它描述了初始高度为 H，初始速度为 v0 的自由落体运动规律. 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题. 于是我 们称(1.14)是初值问题的解. 对于一个 n 阶方程，初值条件的一般提法是 (1.15) 其中 是自变量的某个取定值，而 是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为(1.16) 初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 对于一阶方程，若 已求出通解 ，只要把初值条件代入通解中，得到方程从中解出 解 对于 n 到 n 个方程式，代入通解，即得满足初值条件的 . 后，代入初值条件(1.15)，得(1.17)如果能从 (1.17) 式中确定出 . 例 2 求方程，代回通解，即得所求初值问题的的满足初值条件 解方程通解为的解.求导数后得将初值条件代入，得到方程组解出和得故所求特解为积分曲线为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象 . 一阶方程 (1.9)的 一个特解 的图象是 xoy 平面上的一条曲线，称为方程 (1.9)的积分曲线 ，而通解 的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解 +C 是 xoy 是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程， 也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将 在第 4 章详细讨论. 最后，我们要指出，本书中按习惯用分别代表 而，分别代表 本 本节要点： 1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程. 2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分. 3．初值问题及初值问题解的求法. 4．解的几何意义，积分曲线. 作业： 练习 1.1 1,2. 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1）（2）（3）（4） 2．验证给出函数是否为相应方程的解（6）（1），，（C 为任意常数）（2），（C 为任意常数）（3） （4）， ，答案： 1．（1）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （5）二阶，非线性 ２．（1）是 （2）是 什么是 1．什第 2（2）一阶，非线性 （4）三阶，非线性 （6）一阶，非线性 （3）不是 （4）是讲变量可分离方程方程？1．什么是变量可分离方程？1．什么是 21．什么是变量可分离方程？ 什形如（1.18） 或 （1.19） 的方程，称为变量可分离方程.我们分别称(1.18)、(1.19)为显式变量可分离方程和微 分形式变量可分离方程． 方程(1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含 x 的函数，另一个因式是只含 y 的函数．而方程(1.19)是(1.18)的微分形式．例如，方 程都是变量可分离方程．而方程都不是变量可分离方程 1.2.1 显式变量可分离方程的解法. 1. 在方程(1.18)中，假设 g(y)是常数，不妨设 g(y)=1.此时方程(1.18)变为(1.20) 设 f(x)在区间(a,b)上连续，那么，求方程(1.20)的解就成为求 f(x)的原函数(不定积分) 的问题.于是由积分上限所确定的函数 (1.21) 就是方程(1.21)的通解，其中 C 量. 2.假设 g(y)不是常数，仍设 f(x)在区间(a,b)上连续，而 若 满足 是方程(1.18)的任意一个解，且 ，则由解的定义，有恒等式 上连续. 是一个固定数， 是自变(1.22) 假设 g(y)≠0，于是可用分离变量法把方程写成(1.23) 将上式两端积分，得到恒等式(1.24) 上面的恒等式表明，当 g(y)≠0 时，方程(1.18)的任意一个解 的隐函数方程 必定满足下面(1.25) 反之，若 是隐函数方程(1.25)的解，则有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的两边对 x 求导数，就推出(1.23)成立，从而(1.22)成立，这就表明了隐函数方程(1.25)的解 也是微分方程(1.18)的解.在具体求解方程时，往往把(1.24)写成不定积分形式(1.26) 由上面的证明可知，当 g(y)≠0 时，微分方程(1.18)与隐函数方程(1.26)是同解方程， 即若由(1.26)解出 ，则它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的隐式表达式，所以(1.26)亦称为方程(1.18)的通积分.在求解过程中，对于通积分(1.26)应该尽量把它演 算 到底，即用初等函数表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式.如果积分不 能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出来了，因为从微分方 程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了. 3. ，使 ，则易见 是方程(1.18)的一个解，这样的解称为常数解. 例 1 求解方程解时，分离变量，方程化为两端积分，即得通积分或 解出，得方程通解另外，也是方程的解.所以在通解中，任意常数 C可以取零. 例 2 求解方程解时，方程的通积分为即解出 y，得到通解另外，方程还有常数解 不包含在上述通解中. 例 3 求方程，它们的满足初始条件 解及的解.时，方程通积分为即因此解出通解为为求满足初始条件 入上解，应有的解，以代可解得 解.代入通解，即得满足的另外，易知为方程的解.显然满足初始条件，故它是所求的第二个解. 另外，通解公式还能帮助我们得到积分曲线族的图象。例如，在例 3 的通解中，当C之中；而当 C 上；另一为正数时，它确定了两条积分曲线，其中一条定义于条 的分布状况.，它位于半平面上.图 1-2描绘了所给方程的积分曲线图 1-2 1.2.2 微分形式变量可分离方程的解法 方程是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x 和 y 在方程中的地位是“平等”的， 即 x 与 y 都可以被认为是自变量或函数. 在求常数解时， 若 则 当 也是方程(1.19)的解. 时，用它除方程(1.19)两端，分离变量，得 ， 则 为方程(1.19)的解.同样， 若 ，上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分例 4 求解方程解，为方程的解.其次，当 时，分离变量得积分，得方程的通积分或本节要点： 1．变量可分离 方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18）与分离变量后的积分方程（1.26） 当 时是同解方程． 3．变量可分离方程一 定存在常数解 ．作业： 练习 1.21．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：,（1）（2）（3）（4）2．求下列初值问题解：（1）（2）（3）（4）答案1. (3)(2) (4)2.(2)(3)(4) 第 3 讲 齐次微分方程1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分 离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变 量可分离的方程. 如果一阶显式方程dy dx y x例如，方程?f ( x , y ) y x（1.9）的右端函数 f(x,y)可以改写为 的函数 g ( )，那么称方程(1.9)为一阶齐次微分方程.?x2 ?y2 sinydy x ?y ? , dx x?ydy ? ? dxx y x2?y2cos x dy dx ?ln x ?lny(x2?y2)dx?xydy?0，可以分别改写成所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以写为(1.27) 1.3.1 齐次方程的解法方程(1.27)的特点是它的右端是一个以 能化为变量可分离方程.为变元的函数，经过如下的变量变换，它令则有 代入方程(1.27)得（1.28）方程(1.28)是一个变量可分 离方程，当时，分离变量并积分，得到它的通积分（1.29） 或即其中以代入，得到原方程(1.27)的通积分若存在常数，使，则，得是原方程(1.27)的解. 例 1 求解方程解将方程化成令代入上式得即易于看出，为这方程的一个解，从而为原方程的一个解.当 或．两端积分后得将u，并解出 y，便得到原方程的通解在一般情况下，如何判断方程(1.9)是齐次方程呢? 这相当于考虑，什么样的二元函数 所谓的函数.下面我们说明零次齐次函数具有此性质. 对于变元 x 和 y 的常数，有恒等式因此，令，则有因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元 x， y 的零次齐次式. 如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面 要介绍第二 类这种方程. 1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如(1.30)的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， (1.30)的右端函数，对于 x，y 并不是零次齐次函数，然而函数显然，方程（1.31） 则为零次齐次函数.事实上，我们有下面我们将通过变量变换把(1.30)中的 C1 及 C2 消去， 将方程(1.30)的右端函数化成(1.31) 的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程. 令 ( 为待定常数)则代入(1.30)得选取使得(1.32) (1.32)是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关. 如果则(1.32)有唯一组解，把取为这组解，于是(1.30)就化成齐次方程求出这个方程解，并用变换代回，即可得(1.30)的解. 上面的作法其实就是解析几何中 的坐标平移.当 时，直线与直线相交于一点，将二式联立求得交点()，再作坐标平移，就把原点移到().又由于在坐标平移变换 如果成立，这样(1.30)就变成齐次方程了.，则(1.32)没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时方程(1.30)也可化为变量可分离方程求解. 实际上由 ，有成立.下面仅以来讨论，(以讨论相同).1)，此时(1.30)为令，则得到关于 z 的变量可分离方程2) 当中至多有一个为零. 时，由(1.33)必有 ，方程(1.30)成为这是一个变量可分离方程. 当 时，由(1.33)必有 ，方程(1.30)成为这也是一个变量可分离方程. 3) 且 时，由(1.33)有于是，原方程(1.30)成为令则代入上面方程，得到一个关于 z 的方程这也是一个变量可分离方程. 例 2 求解方程解因为方程组有解令 代入原方程，得到新方程令，代入上式，又得到新方程当时，整理得积分得即或以,代回，即得原方程的通积分当 解时，解得 和，还原后又得到原方程的两个本节要点：1．一阶显式方程 数．是齐次方程右端函数是一个零次齐次函2．齐次方程解法的本质是，方程（1.27） 离方程求解．化为变量可分3．方程（1.30）的解法是齐次方程解法的扩展，把一个不是齐次方程的方程，选通 过变量替换化成齐次方程，再按齐次方程求解．作业： 练习 1.3 1.；2. (1), (3).1．解下列方程 (1) (2)(3)(4)(5) 2．解下列方程 (1) (2) 答案： 1.(1) (2)(6),(3),(4)(5) 2.(1) (2)(6) ,,1.4 一阶线性微分方程 本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型.一阶线性微分 方程的形式是（1.34） 如果 ，即(1.35) 称为一阶线性齐次方程.如果 (1.34)为一阶线性非齐次方程. 不恒为零，则称1.4.1 一阶线性非齐次方程的通解 先考虑线性齐次方程(1.35)，注意这里“齐次”的含意与 1.3 节中的不同，这里指的是在(1.34)中不含“自由项”，即.显然，(1.35)是一个变量可分离方程，由 1.2 节易知它的通解是 (1.36) 下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当 C 为常数时，函数 (1.36)的导数，恰等于该函数乘上- p(x),从而(1.36)为齐次方程(1.35)的解.现在要求非 齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数还要有一 的公式，可将(1.36)中的常数 C 变易为函数 C(x)，即令 (1.37) 为方程(1.34)的解，其中 C(x)待定.将(1.37)代入(1.34)，有 .为此，联系到乘积导数即 积分后得把上式代入(1.37)，得到(1.34)的通解公式为 (1.38) 在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可. 例 1 求解方程(1.39)解显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程的通解为由常数变 易法，令为方程(1.39)的解，代入(1.39)有即积分得代回后得原方程(1.39)的通解为例 2 求解方程解显然这也是一个一阶线性非齐次方程. 先解对应齐次方程分离变量后再积分有即 取指数后，得齐次通解由常数变易法，令为非齐次方程(1.40)的解，代入后得即 积分得 于是原方程(1.40)的通解为仔细看一下非齐次方程(1.34)的通解公式(1.38)，我们可以发现它由两项组成.第一项是 对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解.因此有如下的结论：线性非齐 次方程(1.34)的通解，等于它所对应的齐次方程(1.35)的通解与非齐次方程(1.34)的一个特解 之和. 为了求解初值问题常数变易法可采用定积分形式.即(1.37)可取为 （1.41） 代入(1.34)并化简，得积分得代入(1.41)得到将初值条件代入上式，有，于是所求初值问题解为(1.42) 或(1.43)例 3 设函数在上连续且有界，试证明：方程的所有解均在证上有界. 为方程的任一解， 它满足初始值条件 ， 于是，由公式(1.43)，它可以表示为我们只要证在上有界即可.设于是对有原题得证. 1.4.2 伯努利(Bernoulli)方程 形如(1.44) 的方程，称为伯努利方程. 伯努利方程(1.44)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它 可以化成一阶线性方程. 在(1.44)两端除以 ，得(1.45) 为了化成线性方程，令则代入(1.45)得这样，就把(1.44)化成以 z 为未知函数的线性方程了. 例 4 求解方程解这是一个伯努利方程.两端同乘以 2y，得令，代入有这已经是线性方程，它的解为.于是，原方程的解为本节要点： 1．线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常 微分方程的解法上占有重要地位． 2．由常数变易法求得的通解表达式（1.38）或特解表达式（1.43）能帮助我们证明解 的某些渐近性质． 3．伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程．作 业： 练习 1.4, 1.(1),(3),(5),(7) 2.(2),(4)3. 练习 1.4 1．解下列 方程：（1） （5） 2．解下列伯努利方程（3） （7）（2） 3 ．设函数 ， 在（4） 上连续，且 ，（a, b 为常数）．求证：方程 上有界．的一切解在 答案： 1． （1） (5）（3） （7）2． （2） (4）， ，3． （略） 1.5 全微分方程及积分因子 1.5.1 全微分方程 如果微分形式的一阶方程 （1.10） 的左端恰好是一个二元函数 即 (1.46) 则称(1.10)是全微分方程或恰当方程，而函数称为微分式(1.46)的原函数. 例如方程 (1.47) 就是一个全微分方程.因为它的左端恰是二元函数的全微分. 的全微分，全微分方程如何求解呢? 方程可写成的全微分，从而若是(1.47)的解，应有恒等式从而 由此解出（1.48）这说明，全微分方程(1.47)的任一解包含在表达式(1.48)中. 一般地，有如下定理定理 1.1假如 是微分(1.46)的一个原函数，则全微分方程(1.10)的通积分为（１.49）其中 C 为任意常数. 证明先证(1.10)的任一解均满足方程(1.49). 因为为(1.10)的解，故有恒等式因为为(1.10)的原函数，所以有从而于是满足(1.49). 均为(1.10)的解.因为是由(1.49)所确定再证明(1.49)所确定的任意隐函数 的隐函数，所以存在常数 C， 使将上式微分并应用 的原函数的性质，即有是(1.46)从而是方程(1.10)的解，定理证毕. 根据上述定理，为了求解全微分方程(1.10)，只 ，就须求出它的一个原函数 可以得到它的通积分 .下面介绍两种求原函数的方法. 1.求原函数的直接观察法 在某些简单情形下，可以由观察方程(1.10)直接求出它的一个原函数，从而得到它的 通积分.这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式. 例如例 1 求解方程解直接观察方程的左端，有从而方程的左端是一个全微分，原函数为于是原方程的通积分即为或2．求原函数的一般方法.定理 1.2 ， 在矩形区域上连续可微，则方程(1.10)是全微分方程的充要条件是：在 R 上有（1.50）证明，使得所以将以上二式分别对 y 和 x 求偏导数，得到因为 M ，N 连续可微，所以成立，即(1.50)成立. 充分性，设(1.50)在区域 R ，使它满足即由第一个等式，应有其中为y，再满足必须适当选取，使满足由参变量积分的性质和条件(1.50)，上式即为参变量 积分的分析性质: 参变量积分 （1）; 是参变量．若在矩形上连续，则参在区间上可微，并且或从而应取积分后得到因为只要一个就够了，故取.于是，函数 (1.51)就是所求的原函数，而全微分方程(1.10)的通积分是 (1.52) 定理 1.2 不但给出了判断方程(1.10)为全微分方程的充要条件，而且给出了当判别式 (1.50)成立时，(1.51)式就是(1.10)左端的原函数，而(1.52)就是(1.10)的通积分. 例 2 求解方程解因为所以这方程是全微分方程. 平面都连续可微.不妨选取及在整个 xoy(不一定非这么选不可，这么选只是为了简单).故方程通积分为 即为了求全微分方程 (1.10) 满足初值条件 的解，以 代入(1.10)，可定出 C=0.因此方程(1.10)满足初值条件的初值问题的积分为(1.53) 1.5.2 积分因子 以上我们给出了全微分方程的求解公式，但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例 如，下面这个简单方程 (1.54) 就不是全微分方程，因为如果，将上面这个方程两端同乘以，得到方程(1.55) 这是一个全微分方程，因为此时有通常我们称为方程(1.54)的积分因子，因为它可使方程(1.54)变成全微分方程(1.55).一般地，我们有下面的定义. 假如存在这样的连续可微函数 程 ，使方(1.56) 成为全微分方程，我们就把 于看到，当 求解(1.10)，只 须求解(1.56)就可以了，但是如何求得积分因子 呢?下面就来研究求积分因子 的方法. 方程(1.56)是全微分方程的充要条件 为 称为方程(1.10)的一个积分因子.易时，方程(1.10)与(1.56)是同解的.于是，为了展开并整理后，上式化成(1.57) 一般地说，偏微分方程(1.57)是不易求解的.不过，对于某些特殊情况，(1.57)的求解问题 还是比较容易的.下面我们给出两种特殊的积分因子的求法. 1．方程(1.10)存在只与 x 有关的积分因子的充要条件是只与 x 有关，且此时有 (1.58)证明必要性， 若方程(1.10)存在只与有关的积分因子 (1.57)， 则有,这样成为即(1.59) 因为(1.59)左端只与 x 有关，所以它的右端也只与 x 有关.充分性，如果 即只与 x 有关，且是方程(1.59)的解，不难验证，就是(1.10)的一个积分因子. 证毕.2．方程(1.10)存在只与 y 有关的积分因子的充要条件是只与 y 有关，且此时有 (1.60)证明与 1．相似证明. 例 4 求解方程解因为与 y 无关，故原方程存在只与 x 有关的积分因子，由公式(1.58)有将积分因子 通积分为乘以原方程两端，即得全微分方程(1.55)．现取则即本节要点: 1．全微分方程的解法本质是求一个全微分的原函数问题． 2．求原函数的常用方法观察 法，适用于简单方程．公式 法，（1.51）式．3．积分因子的求法要求掌握公式（1.58）和公式（1.60） ，即会求只与 x 有关或只与 y 有关的积分因 子．作业：练习 1.5， 1. (2),(4),(6) 2.(1),(3). 练习 1.5 1．解下列 方程：（2） （6）（4）2．求下列方程的积分因子和积分： （1） 答案 1． （2） （4） （3）（6） 2． （1）（3）1.6 一阶隐式微分方程 前面几节介绍的是求解显式方程（1.9）的一些初等积分 法.本节要讨论如何求解隐式方程 （1.8） 方程(1.8)也称为导数未解出的一阶方程. 求解方程(1.8)的问题分两种情况考虑： 1．假如能从(1.8)中把 解出，就得到一个或几个显式方程如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解. 例 1 求解方程解方程左端可以分解因式，得从而得到两个方程这两个方程都可以求积，得到它们都是原方程的解. 2．如果在(1.8)中不能解出 时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其中两类可积类型， 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅰ的特点是，方程中不含 y 或 x ；类型Ⅱ的特点是 y 可以解出或 x 可以解出. 首先， 考虑类型Ⅰ中的方程 （1.61）我们已经知 道，方程(1.61)的一个解 图象是一条曲线，而曲 ，在 平面上的线是可以用参数表示的，称为参数形式解，即是定 义在区间 上的可微函数 使得在上恒成立. ，再显然，如果能从方程(1.61)中求出解 把它参数化，就可以得到(1.61)的参数形式解，但这是没有什么意义的.下面介绍的参 数法，是在方程(1.61)中当 解不出 来时，先把方程(1.61)化成等价的参数形式，然后根据某种恒等式，可以求出原方程(1.61) 的参数形式解.这种求解过程就称为参数法.具体作法如下： (1)方程(1.61)化成参数形式从几何上看， 把这曲线表示为适当的参 数形式 表示 平面上的曲线，可以（1.62） 这里 t 是参数，当然有 （1.63） 成立. (2)求(1.61)的参数形式解 由于(1.62)和沿着(1.61)的任何一条积分曲线上恒满足基本关系式这样，把(1.62)代入上式，得上式两端积分，得到于是，得到方程(1.61)的参数形式通解（1.64）不难验证：将(1.64)代入(1.61)得到(1.63)， 这说明(1.64)确实是(1.61)的参数形式通解. 同理，可以讨论类型Ⅰ的方程 (1.65)设其可以表示的参数形式由于有积分，得从而(1.65)的参数形式通解为例2 解. ，有 原方程的参数形式为由基本关系式有积分得到从而原方程的参数形式通解为也可以消去参数 t，得到原方程的通积分为通解为现在，考虑类型Ⅱ中的方程 （1.66） 从 几 何 上 看 ， 方 程 (1.66)表示 ，这样(1.66)的参数形式是 空间中的曲面，令 ，有(1.67） 同样，由基本关系式有将(1.67)代入上式，得或（1.68）这是一个关于自变量为 x ，未知函数为 p 的方程.如果能求得通解代入到(1.67)的第三个方程中，即得(1.66)的通解如果只能求得(1.68)的通积分则它与(1.67)的第三个方程联立，为(1.66)的参数形式解，若能消去参数 p ，可得(1.66)的通解或通积分. 在上述求解过程 中，请读者注意：当从方程(1.68)中解出 时，只要将其代 ，再积分来求 y． 这 是为什么入(1.67)的第三式，就得到(1.66)的通解了，而不要再将 p呢 ? 因为用参数法求解方程 (1.66) 的实质意义在于：当从 (1.66) 中不能解出时，通过参 数法，把求解(1.66)化为一个以 x 为未知函数的方程(1.68)，一旦从(1.68)中解得 然满足(1.67)中的第三式，即 有，那么它当，而这相当于在(1.66)中先把 成为了原方程(1.66)的通解.解出，又由于方程(1.66)形式的特同理，可以考虑类型Ⅱ的方程 (1.69) 设其参数形式为（1.70） 由其本关系式，有将(1.70)代入上式，得或（1.71） 如果能从(1.71)解出通解 ，代入到(1.70)第三式，即得(1.69)的通积分如果从(1.71)中解出通积分将它与(1.70)第三式联立，将它与(1.70)第三式联立，消去 p ，可得(1.69)的通积分. 例 4 求解方程解原方程的参数形式为(1.72) 由基本关系式有或上式又可化为由 程的一个特解 .，代入(1.72)的第三式，得原再由，解得，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解例 5 求解方程 (1.73) 这里，假定 是二次可微函数. 解(1.73)的参数形式为(1.74） 由基本关系式有整理得由，得，代入(1.74)的第三式，得原方程通解 (1.75)由于， 由解得隐函数,代入(1.74)第三式，得到原方程的一个特解 (1.76) （隐函数存在定理及求导公式)，隐函数存在定理及求导公式 隐函数方程 设 在点 （1） 的某一领域内满足①具有连续偏导数； ② ③ ； ，则方程（1）在 的某领域内恒能唯 ， ，一确定一个单值连续且有连续导数的函数 并且（2） （2）称为隐函数求导公式. 方程(1.73)称为克莱洛(Clairaut)方程.由(1.75)式可知，它的通解恰好是在方程(1.73)中用 C 而成.本节要点： 1．求解隐式方程时，首先考虑用第一种解法，即尽可能化成显式方程求解，其次再 考虑用参数法求解． 2．理解好参数解法原理，类型 Ⅰ和类型Ⅱ解法的原理是一样的．例如方程 参数解法的原理是： （1）方程 （1.61）与其参数化方程 在 平面上等价．(1.62)（2）由解出（1.62）的解．(1.64) (3)（1.64）是（1.61）的参数形式解，因为3．类型Ⅱ方程解法的基本思想是，先通过等价关系解得，然后代入原方程，从而得到到原方程的通解．作业： 练习 1.6 2，4，6，8，10. 练习 1.6求解下列方程 2． 6． 10． 答案 2． 6． 10． 第 7 讲 几种可降阶的高阶方程 几种可降阶的高阶方程本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高 阶方程通过某些变 换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法”. 1.7.1 第一种可降阶的高阶方程 方程 （1.78） 4． . , ， 4． 8．这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为.这时只要令(1.78)中就化成 （1.79） 如果(1.79)能求出通解则由对积分，就可以求出 y 来了. 例 1 求解方程解令则有通解为从而积分四次，得到原方程的 通解第二种可降阶的高阶方程 方程这类方程的特点是不显含自变量 x，这时，总可以利用代换 使方程降低一阶.以二阶方程，为例.令，于是有代入原方程，就有&这是一个关于未知函数 p&的一阶方程.如果由它可求得则有这是一个关于的变量可分离方程，可求得通积分. 例2 求解方程 ．解令,则代入原方程得或积分后得&其中 a&为任意常数. 解出 p&得 或积分后得其中 b 为任意常数.于是有或其中为任意常数.1.7.3 恰当导数方程假如方 程 （1.80） 的左端恰为某一函数 对 x 的导数，即(1.80)可化为则(1.80)称为恰当导数方程. 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显 然可降低一阶，成为之后再设法求解这个方程. 例 3 求解方程 解易知可将方程写成 .故有即 . 积分后即得通解例4求解方程.解先将两端同乘不为 0 的因子，则有故，从而通解为这一段解法技巧较高，关键是配导数的方法.初等积分法小结 1．5 种基本解法分量变量法常数变易法 因子法：化为全微分方程积分参数法降阶法 2．初等积分法的历史地位 自 1676 年微分方程的研究工作开始，其后 100 多年间是初等积分发展的重要时期． 1841 年法国数（Liouville）指出：绝大多数常微分方程不能用初等积分求解，例如方程就不能用初等积分求解．这说明初等积分法有相当的局限性．但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认为是常微分方程中非常有用的解题 方法之一，也是初学者的基本训练之一． 作业：练习 1.7 1-8练习 1.7 求 解下列方程 1． 2．3．4．5．6．7．8．答案1．2．3．4．5．6．7．8．5第 8 讲 应用举例一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三 个步骤：I．建立方程 对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列 出微分方 程和相应初值条件 II ．求解方程 III．分析问题 通过已求得的解的性质，分析实际问题. 1.8.1 等角轨线 我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定 的角度.这样的曲线称为己知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时，等角轨线就称为 正交轨线.等角轨线在其它很多学科(如天文、气象等)中都有应用.下面就来介绍求等角轨 线的方法. 首先把问题进一步提明确一些． 设在(x,y)平面上，给定一个单参数曲线族(C)： 与 中每一条曲线的交角都是定角 (图 1-3). .求这样的曲线 ，使得图 1-3 设 的方程为 也就是要先求得 . 为了求 ，我们先来求出 所应满足的微分方程， ，的关系式.条件告诉我们 与的曲线相交成定角于是，可以想见，和必然应当与中的曲线及其切线的斜率有一个关系.事实上，当时，有或(1.81)当时，有(1.82) 又因为在交点处， ，即曲线族 所满足的微分方程 (1.8) 只要把 和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得 所应满足的方程了.如何 ,于是，如果我们能求得 的关系求(1.8)呢?采用分析法. 设 为 中任一条曲线，于是存在相应的 C，使得因为要求的关系，将上式对 x 求导数，得 (1.84)这样，将上两式联立，即由(1.85) 消去 C，就得到 所应当满足的关系这个关系称为曲线族的微分方程. 于是，等角轨线()的微分方程就是(1.86) 而正交轨线的微分方程为(1.87) 为了避免符号的烦琐，以上两个方程可以不用 ，而仍用 ，只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了. 为了求得等角轨线或正交轨线，我们只需 求解上述两个方程即可. 例 1 求直线束 首先求直线族 将 对求 x 导,得 的等角轨线和正交轨线.解 的微分方程. ，由消去 C，就得到的微分方程当时，由(1.86)知道，等角轨线的微分方程为或及即积分后得到或如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线(图 1-4).图 1-4如果，由(1.87)可知，正交轨线的微分方程为即或 为同心圆族故正交轨线 (图 1-5).图 1-5 1.8.2 动力学问题 前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律 这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度 a，a 是 位移对时间的二阶导数. 列出微分方程的关键就在于找到外力 f 和位移及对时间的导数 ――速度的关系. 列出微分方程了.在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解条件，如初值条件等. 例 2 物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大 的情况下(低于音速的 4／5)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试证明在这种情况 下，落体存在极限速度 解 设物体质量为 。 ，空气阻力系数为 ，又设在时刻 物体的下落速度为 ，于是在时刻 物体所受的合外力为 (重力-空气阻力) 这里，建立的坐标系，使得重力 方向向下，与运动方向一致，空气阻力方向向上，与运动方向相反。从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程（1.88） 因为是自由落体，所以有 (1.89) 解(1.88)，由(1.89)有积分得或解出 v，得当时,有(1.90) 据测定， ,其中 为物体形状有关常数， 为介质密度，为物体在地面上的投影面积. 人们正是根据公式(1.90)，来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的 .在落地速度 与 一定时，可定出 s 来.1.8.3 增长与衰减问题碳定年代 法 考古、地质学等方面的专家常用 物或化石的年代. 碳―14 的蜕变规律 碳―14 是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氮气作用生成的 一种具放射性的物质 ，这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收， 是放射性的， (碳－14)测定法(通常称为碳定年代法)去估计文而动物又以植物作食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内.由于无论存在于空气中或生物体内它都在不断蜕变，我们先求出这种蜕变规律 . 通常假设 蜕变速度与该时刻 的存量成正比. 的存量为 x(t),生物体的死亡时间记为 ，此时 含设在时刻 t(年)生物体中 量为 ，则由假设，初值问题(1.96）的解为 (1.97） 其中，k＞0 为常数，k 前置负号表示 线递减，而常数 k 可由半衰期确定.记 的存量是递减的.(1.97)表明 的半衰期为 T，则有 是按指数曲(1.98) 将(1.98)代入(1.97)得即有 (1.99) 碳定年代法的根据 由于活着的生物通过新陈代射不断摄取 的 ，使得活着的生物体内的 因而尸体内的 与空气中有相同的含量，而生物死之后，它停止摄取由于不断蜕变而不断减少.碳定年代法就是根据死亡之后生物体内的 定生物的死亡时间的. 碳定年代法的计算 由(1.99)解得蜕变减少量的变化情况来判(1.100) 由于 得 不便于测量，我们可把(1.100)做如下修改.对(1.97)式两边求导，而上面两式相除，得将上式代入(1.100)，得(1.101) 这样由(1.101)可知，只要知道生物体中在死亡时 的蜕变速度 中 的蜕变速度 和现在时刻 t，就可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体 的蜕变速度相同.的蜕变速度与生物体死亡时代生物体中 马王堆一号墓年代的确定马王堆一号墓于 1972 年 8 月出土，其时测得出土的木炭标本的 数为 29.78/分，而新砍伐烧成的木炭中 半衰期为 5568 年.这样，我们可以把 (1.101)，得平均原子蜕变 的平均原子蜕变数为 38.37／分，又知 ＝38.37／分，=29.78／分，T=5568 年代入(年) 这样就估算出马王堆一号墓大约是在 2000 多年前. 作业：练习 1.8 1,2,4,6,7 练习 1.8 1．求抛物线族 的正交轨线．2．求曲线族的正交轨线，其中为参数． ．4．求一曲线．使其上每一点的切线斜率为该点横坐标的 2 倍，且通过点6．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比． （1）如果过 4 小时的细菌数即为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？ （2）如果在 3 小时的时候，有细菌数 么在开始时有多少细菌？ 7．重为 100kg 的物体，在与水平面成 30° 的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦 ，试求： （1）物体运动的微分方程； （2）求 5 s 后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度． 答案 1． 2． 个，在 5 小时的时候有 个，那4． 7． （2）第二章6． （1）8 倍， （2） 时， ，个 ， ．基本定理第 09 讲 解的存在性与唯一性定理 第 10 讲 解的延展 第 11 讲 奇解与包络 第 12 讲 解对初值的连续依赖性 2.1 常微分方程的几何解释我们在 1.1 节已经给出了微分方程及其解的定义.本节将就一 阶显式方程(1.9) 给出这些定义的几何解释.由这些解释，我们可以从方程(1.9)本身的特性了解到它 的任一解所应具有的某些几何特征.首先，我们要给出“线素场”的概念.设(1.9)的右端函 数 以点 在区域 G 内有定义(图 2-1),即对 G 内任意一点 为中点，作一单位线段，使其斜率恰为 ， 都存在确定值 ，称为在 的线素. .于是在 G 内每一点都有一个线素.我们说，方程(1.9)在区域 G 上确定了一个线素场.图 2-1 例 1 试讨论方程所确定的线素场. 解右端函数除 oy 轴以外的左右两个半平面处处有定义，因而方程在这两个半平面 上都确定了线素场.易于看出这个线素场在点 线重合(图 2-2). 的线素与过原点(0,0)和点 的射图 2-2 例 2 考虑方程所确定的线素场. 解右端函数除了 ox 轴以外的上下两个半平面上都有定义，方程在每一点 定的线素都与原点到该点的射线垂直(图 2-3). 所确图 2-3 s在例 1 中，右端函数在 y 轴上无定义(变为无限).在例 2 中，右端函数在x轴上无定义(变为无限).为了进行弥补，一般的，当方程（1.9）的右端函数 我们同时考虑方程在某些点取无限值时，(1.9)′ 易见，在 取无限值的点， .于是,可以说线素场在这些点平行于oy 轴. 例如，在例 1 中，同时考虑方程在例 2 中，同时考虑方程这样，这两个方程，除点(0,0)外，都在全平面上确定了线素场. 下面来讨论方程(1.9)的 解与它确定的线素场的关系 .前面，我们已经把(1.9)的解 的图象称为(1.9)的积分曲线. 定理 2.1 曲线 L 为(1.9)的积分曲线的充要条件是：在 L 上任一点，L 的切线与(1.9) 所确定的线素场在该点的线素重合；亦即 L 在每点均与线素场的线素相切. 证明（略）这个定理表明这样一个事实：(1.9)的积分曲线在其上每一点都与线素场 的线素相切. 或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线. 2.2 解的存在唯一性定理本节利用逐次逼近法，来证明微分方 程(2.1) 的初值问题(2.2) 的解的存在与唯一性定理. 2.2.1 存在性与唯一性定理的叙述 定理 2.2 ( 存在与唯一性定理 ) 如果方程 (2.1) 的右端函数 在闭矩形域上满足如下条件： (1) 在 R 上连续; (2)在 R 上关于变量 y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数 N，使对于 R 上任 何一对点 和 有不等式：则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解其中 在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强 的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数 存在并有界， 定理有 在闭矩形域 R 上关于 y 的偏导数.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值其中 满足 兹条件.，从而.如果在 R 上连续，它在 R 上当然就满足李普希2.现对定理中的数 h0 做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图 2-5 所示 的情况. 这时，过点 的积图 2-5 分 曲 线 当 或 时 ， 其 中 或下 边界 ， .于是， 当，到 达 R 的 上边 界 时，曲线 的解未必在整个区间便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2) 上存在.但是，由 2.1 节的常微分方程的几何解释可知，定理 2.1 就是要证明：在线素场 R 中，存在唯一一条过点 的积分曲线 在 R 上连 它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切. 现在定理假定 续,从而存在于是，如果从点引两条斜率分别等于 M 和-M 的直线，则积分曲线(如果存在的话)必被限制在图 2-6 的带阴影的两个区域内，因此，只要我们 取则过点 之中.的积分曲线(如果存在的话)当 x 在区间上变化时， 必位于 R图 2-6 2.2.2 存在性的证明 求解初值问题（2.2） 求解积分方程（2.3）.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在上存在而且唯一就行了.下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进 行: 1.构造逐次近似序列.近似序列或写成的每一项都在上有定义，这是因为于是．这样，我们在区间 按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)上，2. 证明近似序列 “ 函数序列的一致收敛 1．设在区间上一致收敛（序列）.（1） ，数列是定义在 I 上的函数序列，若对收敛，则称为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函 数，称为极限函数．设此函数为 2．若对 ，当 ，即，总存在一个只与 有关的自然数 N，使得对 I 上任何一点 时，有 ，则称序列（1）在 I 上一致收敛．证明分如下二步： （1） 序 列 在 上一致收敛（级数） ． “函数项级数的一致收敛 1．设函数项级数 上一致收敛 级 数 （ 2.7 ）在（1）在区 间 I 上收敛于和函数 ，即对 ，数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列=由数列极限定义，对，，使得时，有2．级数（1）在 I 上一致收敛 得对 ，当 时，有对， ．，使3．若函数项级数（1）的每一项都在 I 上连续，并且在 I 上一致收敛， 则（1）的和函数 因为级数 （2.7） 的部分和 在 I 上连续．（2）级数（2.7）在上一致收敛．用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法， “函数项级数的一致收敛判别法 （魏尔斯特拉斯优级数判别法） 函数项级数（1） 若函数项级数（1）在区间 I 上满足 （I ） ；（II ）正项级数 收敛．则函数项级 数（1）在区间 I 上一致收敛．数项级数收 敛的判别法 （比值判别法，达朗贝尔（ ）判别法）若正项级数的后项与前项的比值的极限等于：则当时级数收敛，时（或）时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散． 上 不 仅 收 敛 ， 而 且 一 致 收 敛 . 设 其 和函 数为 在区间 连续，因而 上一致收敛于 也是连续的. .由 于级数 (2.7) 在区间 ，从 而 近 似 序 列 在区间上 3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解.在 n次近似序列（2.6）两端取极限有因为 所以要证明 是积分方程（2.3）的解，即成立，只需证明下面用“ε-N 语言”证明上面的极限成立．我们先利用李普希兹 条件，作下面的估计：由于序列 上一致收敛，因此，对任给 ε&0,存在自然数 上所有 x 恒有 从而 ,当在区间 时，对区间由此推得换句话说，我们得到现在对恒等式(2.6)两端取极 限，就得到 此即表明函数 是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.2.2.3 唯一性的证明下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有 用的不等式，即贝尔 曼(Bellman)不等式. 贝尔 曼引理 设 y(x)为区间 上非负的连续函数， .若存在使得 y(x)满足不等式 (2.9) 则有 证明先证明 令 上式两端同乘以因子 的情形. ，于是从(2,9)式立即有 ,则有上式两端从 x0 到 x 积分，则有即由(2.9)知，,从而由上式得到的情形类似可证，引理证毕. 积分方程(2.3) 解的唯一性证明，采用反证法. 假设积分方程(2.3)除了解 上，必有 事实上，因为 之外，还另外有解 . ，我们下面要证明：在及将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有令 ，即 ., 从而由贝尔曼引理可知，在上有至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完. 2.2.4 二点说明为了加深对定理的理解， 下面我们再作二点说明. 1.（见教材） 2.如果方程(2.1)是线性方程，即其中 p(x)和 q(x)在区间上连续，我们不难验证，此时方程的右端函数关于 y满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理 2.2 中的方法，可以证明对任意初始值 . 线性方程满足 的解在整个区间 上有定义.事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项(2.6)在区间上存在且连续即可.由定理 2.2 知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否 是必要的呢?下面的例子回答了这个问题. 例 1 试证方程经过 xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 证明右端函数除 x 轴外的上、下平面都满足定理 2.2 的条件，因此对于 何点 ，该方程满足 的解都存在且唯一. 于是，只有对于轴外任 轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性. 我们注意到 y = 0 为方程的解. 当 y ≠0 时，因为故可得通解为为上半平面的通解, 这些解不可能 y = 0 相交.因此，对于 了初值解的唯一性. 但是，为下半平面的通解. 轴上的点 ，只有 y = 0 通过，从而保证因为故不可能存在使得从而方程右端函数在 y = 0 的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李 普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件. 为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在， 唯一性问题仍是一个值得研究的课题. 下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数 f(x, y)在 R 上连续，不能保证任何 初值问题(2.2)的解是唯一的. 例 2 讨论方程解的唯一性. 解方程的右端函数 求得通解 ,在全平面连续，当 时，用分离变量法可，C 为任意常数. 又 y=0 也是方程的一个特解，积分曲线如图 2-7.图 2-7 从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过 x 轴上任一点 的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为 的 a 和 b. ，它可表为：对任意满足本节要点： 1．一阶显式方程在其定义域内定义了一个线素场，积分曲线在其上每一点都与线 素场的线素相切． 2．解的存在唯一性定理的证明． 3．定理条件的理解 （1）李普希兹条件是保证解唯一的充分条件而非必要条件． （2）仅有连续条件不能保证解唯一． （3）定理的结论：解的存在区间是局部的． 作业： 练习 2.1 1. 练习 2.21,2,3,4. 1．试画出下列各方程的积分曲线图：（1）（为常数）（2）（3）（4）（5）答案（略） 练习 2.21．试判断方程在区域（1） 上是否满足定理 2.1 的条件？（2）2．判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且惟一？ （1） （3） （2） （4）答案 练习 2.2 1． （1）不满足（2）满足 2． （1）整个 xoy 平面（2）整个 xoy 平面 （3）除 y 轴 x= 0 外的整个 xoy 平面（4）除 x 轴 y = 0 外的整个 xoy 平面3．对，4．，，，练习 2.23．讨论方程 一切解．在怎样的区域中满足定理 2.2 的条件．并求通过的4．试用逐次逼近法方程求满足初值条件的近似解：，，，第 10 讲 解的延展上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到， 这个定理的结果是 局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数 f(x,y)存在区域 D 可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩 大. 2.3.1 延展解、不可延展解的定义 定义 2.1 设 2）还有一个在区间 (1) (2)当 则称解 时， 是可延展的，并称 ，则称 是 在 I２上的一个延展解.否则， 是初值问题(2.2)的一个不可延展 是初值问题（2，2）在区间 上的解 ，且满足 上的一个解，如果（2，如果不存在满足上述条件的解 .3.2 不可延展解的存在性 定义 2.2 设 在以解，(亦称饱和解).这里区间 I１和Ｉ２可以是开的也可以是闭的.定义在开区域上，如果对于 D 上任一点，都存 的关于 y 满为中心的，完全属于 D 的闭矩形域 R，使得在 R 上足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域 R 的大小以及常数 N 可以不同，则称 在 D 上关于 y 满足局部李普希兹条件. 定理 2.3 如果方程(2.1)的右端函数 李普希兹条件，则对任何 证明思路：仅证 任取点 上有定义． 又点 存在唯一解 在 = 方向， （ 在区域 上连续，且对 y 满足局部，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解. 方向同理） ． 存在唯一解 在 =上有定义．图 2―8 由解的唯一性，在 I0 和 I1 的公共部分上， 延展解． 继续这种延展过程，直到一个解 展了，这个解就是不可延展解， 这样，就完成了定理的证明． 显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间.因为如果区间右端点 那么解 延展到 的曲线可以达到 的右方，这与 .于是点 是闭的， ，它再也不能向左右两方延 就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间， 的一个，由定理 2.2，可将 是不可延展解矛盾. 同理，这个区间的左端点也必定是开的. 2.3.3 不可延展解在端点的性状 下面讨论初值问题(2.2)的不可延展解 的端点时的性状 引理设 是有界开区域， 在 D０上有界 、且对 y ， 当x 趋于区间满足局部李普希兹条件.如果 解，则当 证明首先证明极限是初值问题(2.2)在 D０上的不可延展 时，相应积分曲线上的点 都趋于 D０的边界.的存在性.事实上，由于初值问题(2.2)的解满足下面的积分方程因此对任意,有由柯西收敛判别准则， “柯西收敛准则 1．数列 ， 2． 收敛 对 ， N ，使当，就有 存在 ， ．3． A&0，使当 ，总有 可知 和 都存在. ，现证明 .利用反证法，假如是 ，使得解 可以延到 ．” 对 ， 时，总有 存在 对 ， N，使当记 D０的 边 界 为是 D０的内点，则由定理 2.2 可知，存在 区间 点 上，这与 β 是不可延展解 属于 D０的边界点.同理，点 现在我们可以给出不可延展解的重要性质： 定理 2.4 如果方程(2.1)的右端函数的存在区间的右端点的假设矛盾.因此 也属于 D０的边界点.证毕.在(有界或无界)区域 D 上连续，且关于 y ，方程(2.1)的以 为初满足局部李普希兹条件，那么对于 D 上任意一点 值的不可延展解 线上的点 都趋于 D 的边界. ，使得 ，当时，相应积分曲证明作有界区域且. 显然，当 D 为平面上有界区域时，只要取 Dn 为 D 的边界 的内侧邻域即可.当 D为无界时，可取 D 与闭圆域的交集 对于区域 D１，由于.如此取的 Dn 满足上面的条件. ，由引理可知积分曲线 可以到达 D１的边界 又可以到达 的边界点点 A１和 B１．对于区域 D２，再次利用引理，积分曲线A２和 B２．如此继续下去，积分曲线可以到达 Dn 的边界点 An 和 Bn，于是我们在积分曲 线上得到两个点列 ．因为当 ,分别趋于 D 的边界，证毕． 注 1. “积分曲线趋于 D 的边界”是指积分曲线上的点 无限接近，但是极限不一定存在. 通常把向 到. 推论在定理 2.4 中的右行不可延展解的存在区间必为下列情形之一： (1)［ (2)［ ，＋∞） ，(见图 2-9-1)，或 ，b)，b 为有限数在后一种情形下，有且仅有下面二种可能 无界；(见图 2-9-2), 右侧延展的解称为右行解，反之则称为左行解.由上面的证明，不难得 当 和可以与①当 x→b-0 时， ② 注 2. 图 2-9-3). 若在［x0, b］上有界，且 在［x0,b)上有界时，若 存在有限值 d，那么(b,d) ,(见不存在，x→b-0 .(见图 2-9-4).时，的值振荡, 那么左行不可延展解的存在区间有相同结论.图 2-9-1图 2-9-2图 2-9-3图 2-9-4例 1 试讨论方程通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间.解此时区域 D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通 解是故通过(1,1)的积分曲线为它向左可无限延展，而当 x →2-0 时，y →+∞,所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图 2-10.图 2-10 通过(3,-1)的积分曲线为它向左不能无限延展，因为当 x →2+0 时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞). 顺便指出：这个方程只有解 y = 0 可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域 D 的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去. 例 2 讨论方程解的存在区间. 解方程右端函数在无界区域 满足李普希兹条件，其通解为 内连续，且对 y过 D１内任一点的初值解.图 2-11在(0,+∞)上有定义，且当 x→＋0 时，该积分曲线上的点无限接近 D１的边界线 x=0，但 不趋向其上任一点(图 2-11).在区域内的讨论是 的. 延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推 论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的. 例 3 考虑方程 类似假设 方程满足及在平面上连续，试证明：对于任意及,的解都在(-∞,+∞)上存在.图 2-12 证明根据题设，可以证明方程右端函数在整个 唯一性定理的条件.易于看到， 任意， 唯一性， 的解 平面上满足延展定理及存在与为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知，满足 上的点应当无限远离原点，但是，由解的 ，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从又不能穿过直线而这解应在(-∞,+∞)上存在(图 2-12). 本节要点： 1．不可延展解的定义． 2．不可延展一定存在． 3．不可延展在区间端点的性状． （1）右端函数 与不可延展解的关系，（2）如何判断方程解在(-∞,+∞)上整体存 在．作业：练习 2.3 1,2,3 练习 2.3 1．试证明：对于任意的 及满足条件 的 ，方程的解在上存在．2．指出方程的每一个解的最大存在区间，以及当 趋于这区间的右端点时解的性状． 3．设 在整个平面上连续有界，对 有连续偏导数，试证明方程 义．答案 1．提示：的任一解在区间上有定和是解．2．提示：是解．3．见学习指导典型例题的例 32.4.1 奇解在本章 2.2 节的例 2的通解是，还有所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏 .这样的解在许多方程 中存在. 例 1 求方程的所有解. 解该方程的通解是此外还有两个特解和.由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图 2-13 所示，图 2-13显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。本节主要讨论一阶隐式方程 (1.8) 和一阶显式方程(1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理 条件的区域内。对于方程(1.9)，由定理无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程那么对每一个方程，应用定理 2.2 即可。 其次对于方程(1.8)，如果函数 F(x,y,y′)对所有变量连续且有连续偏导数，并且在 的邻域内有成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得其中函数 f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。因此，我们 可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。 定义 2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。由上述定义，可见 2.2 节例 2 中的解 的奇解。 2.4.2 不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数 续且 在区域的奇解，而例 1 中的解和上有定义，如果在 D 上连在 D 上有界(或连续)，那么由本章定理 2.2，方程的任一解是唯一的，从而在 D 内一定不存在奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个 有定义的区域 D 内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域 上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。 例 2 判断下列方程(1) 是否存在奇解。 解(1)方程右端函数(2),均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解。 (2) 方程右端函数 在区域 上有定义且连续，在 y &x 上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有 y=x，即若方程(2)有奇解必定是 y=x，然而 y=x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解。 2.4.3 包络线及奇解的求法 下面， 我们从几何的角度给出一 个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分 求它奇解的方法。 当任意常数 C 给出了一个单参数曲线族(C)，其中 C为参数，我们来定义(C)的包络线。定 义 2.4 设给定单参数曲线族 (2.10) 其中 C 对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线 L，其上任一点均有(C) 中某一 曲线与 L 相切，且在 L 上不同点，L 与(C)中不同曲线相切，那么称此曲线 L 为曲线族 (C)的包络线或简称包络。见图 2-14图 2-14 定理 2.5 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线 L 是(1.9)的奇积分曲线。 证明只须证明(C)的包络线 L 是方程(1.9)的积分曲线即可。 设 p(x,y)为 L 上任一点，由包络线定义，必有(C)中一曲线 l 过 p 点，且与 L 相切，即 l 与 L 在 p 点有公共切线。由于 l 是积分曲线，它在 p 点的切线应与方程(1.9)所定义的线 素场在该点的方向一致，所以 L 在 p 点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。这 就表明 L 在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而 L 是(1.9)的积分曲 线。证毕。 有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的 问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。 定理 2.6 若 L 是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的 C-判别式(2.11) 反之，若从(2.11)解得连续可微曲线： 且满足为非退化条件），则 是曲线族的包络线 . 和（ ,称证明对 L 上任取一点 p(x,y)，由包络线定义，有(C)中一条曲线 l 在 p 点与 L 相切， 设 l 所对应的参数为 C，故 L 上的点坐标 x 和 y 均是 C 的连续可微函数，设为又因为 p(x,y)在 l 上，故有恒等式 (2.12) L 在 p 点的切线斜率为l 在 p 点的切线斜率为因为 l 与 L 在 p 点相切，故有，即有关系式 (2.13)另一方面，在(2.12)式两端对 C 求导得此式与(2.13)比较，无论是在 有下式同时为零，或不同时为零的情况下均(2.14) 成立.即包络线满足 C-判别式(2.11). 反之，在 上任取一点 q(C)=(Φ(C),ψ(C)),则有(2.15) 成立. 因为 不同时为零，所以对(2.10)在 q 点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线 ,它在 q 点的斜率为(2.16)另一方面，Γ 在 q 点的斜率为(2.17) 现在，由(2.15)的第一式对 C 求导得再利用(2.15)的第二式推出 (2.18) 因为 和 分别不同时为零， 所以， 由(2.18)、 (2.17)和(2.16)推出 ,即曲线族(2.10)中有曲线 γ 在 q 点与曲线 Γ 相切.因此，Γ 是曲线族(2.10)的包络线。例3 解在本章 2.2的奇解. 由 C-判别式解得 原方程的奇解..由于 例 4 求方程,所以为的奇解。 解由上面的例 ,由 C-判别式(2.19) 的第二式解出代入第一式，得到 因为 奇解。例 5 求克莱洛方程。 ，故 为方程的的奇解，其中 Ψ。解由第 1 章 1.6 节的例 2 可知该方程的通解为C-判别式为(2.19) 因为 的奇解.即克莱洛方程总有奇解。 本节要点： 1.奇解的定义。 2.不存在奇解的判别方法。 （1）全平面上解唯一 不存在奇解。 （2）不满足解唯一的区域上没有方程的解 奇解。 3.求奇解的包络线求法。包 络线 满足 C―判别式。 无 ,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程在非蜕化条件下，从 C 包络线。作业：练习 2.4 1., 2., 3，。 第 11 讲作业： 练习 2.4 1．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解，并作图．（1）（2）（3） 2．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在 轴上的截距之和为 1． 3．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数．答案1．（1）有，（2）无（3）有，2．3．2.5 把初值 经过点解对初值的连续依赖性直到现在，我们都是 看成固定的数值，然后再去研究微分方程(2.1) 的解.这个解是自变量 x 的函数.易于看出，当初值 x0 和 y0 变动时， 的函数.例如，对应的解也要跟着变动.所以，方程(2.1)的解也应该是初值 方程过点的解为 的解是所有变量，它显然是所有变量 , ,和的函数.对于一般情形， 的函数，我们采用记号.按记号的定义，应有 现在提出一个应用上很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的? 我们 知道，很多自然现象的研究都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解.但是这些初值 是要通过实验来测定的，因此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小 误差引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问题的解在实用上就不 会有多大的价值.所以，实际应用上经常要求，在所研究的现象的某个有限过程中，当初 值 , 变化不大时，相应的解变化不大.下面给出其数学上的确切的定义.定义 2.5 设初值问题的解 使得对于满足在区间，存在 的一切 ，相应初值问题(2.2)的解,上存在，且有则称初值问题(2.2)的解 续依赖于初值 ， (图 2-16)。在点连图 2-16定理 2.7(解对初值连续依赖定理)设 f(x,y)在区域 D 内连续，且关于变量 y 满足李普希兹 条 件 . 如 果 ， 初 值 问 题 (2.2) 有 解 ,则对任意，存在，使对于满足 ,且 当时 ，的任意，初值问题(2.2) 的解 也在区间 上有定义，且有证明，选取，使得闭区域 U：整个含在区域 D 内，这是能够做到的，因为区域 D 是开的，且当 ,所以，只要 2 选取足够小，以曲线时， 为中线，宽为的带开域 U 就整个包含在区域 D 内，如图 2-17 所示.图 2-17 选取 满足其中 N 为李普希兹常数，，另外，还要保证闭正方形含于带形区域 U的内部。由存在唯一性定理可知，对于任一 的某领域上存在唯一解 ，且在 尚有定义的区间上，有 (2.20） 另外，还有对上述两式作差并估值：由贝尔曼不等式，则有(2.21) 因此，只要在尚有定义的区间上，就有(2.21)式成立.下面我们要证明： 在区间 似证明. 因为解 是，由解的延展定理，解 它在向右延展时必须由 必须在 穿出区域 上有定义，定理证毕. 不能越过曲线 ，但 上有定义，只证 在区间 上有定义，对区间 可类可以延展到无限接近区域 D 的边界，于是，例 1 考虑与 2.2 节例 1 类似的方程 易知 为解， ,下半平面通解为 .积分曲线大致如图 2-18。可以看到，对于 是，在 上，无 论图 2-18 轴上的初值,在任意有限的闭区间上解对初值连续依赖，但 ,如 的积分曲线(即 何 接近 ，当充分大时，过的积分曲线就不能与过)任意接近了。这个例子说明，解在有限闭区间上对初值的连续依赖性不能推出解在无限区间上对 初值的连续依赖性，讨论后一问题属于稳定性理论，我们将在第五章作简略的介绍.第三章 线性微分方程组第 13 讲 一阶微分方程组及 一阶线性微分方程组的一般概念 第 14 讲 线性齐次微分方程组的一般理论第 15 讲 线性非齐次微分方程组的一般理论常系 数线性微分方程组的解法(单实根） 第 16 讲 常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 3．1 一阶微分方程组在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法 及其解的性质.但 是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或 者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点 与时间及点的坐标 的速度 的关系为且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。因为和,所以这个问题其实就是求一阶微分方 程组的满足初始条件的解 另外，在 n 阶微分方程。（1.12） 中,令 就可以把它化成等价的一阶微分方程组注意，这是一个含 n 个未知函数 含有 n的一阶微分方程组。的一阶微分方程组的一般形式为：(3.1)方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数使得在上有恒等式含有 n的解称为(3.1)的通解.如果通解满足方程组则称后者为(3.1)的通积分. 如果已求得(3.1)的通解或通积分， 要求满足初始条件 (3.2) 的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于 式，如果从其中解得 到所求的初值问题的解. 为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1).令 n 维向量函数 ，再代回通解或通积分中，就得 的 n 个方程并定义则(3.1)可记成向量形式(3.3) 初始条件(3.2)可记为, 其中 (3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为(3.2)′(3.4) 这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一 步，对 n 维向量 Y ,定义易于证明以下性质： 1. 2. 3.对任意常数 4. 5. 6.对任意常数 ，有 7. 8. 称‖Y‖和‖A‖分别为向量 Y 和矩阵 A 的范数。进而还有如下性质 ，有 ,当且仅当 Y = 0(0 表示零向量，下同);有了 n 意 x，有上的任则称在 在上上按范数收敛于 按范数一致收敛于上的 x 。另外，如果对 n 维向量函数 F(x)有则称连续.有了以上准备，完全类似于第二章定理 2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理. 定理 3.1 如果函数 F(x,Y)在 n+1 维空间的区域上满足： 1) 连续； 2)关于 Y 满足李普希兹条件，即存在 N&0,使对于 R 上任意两点 有 ， ，则存在,使初值问题(3.4)的解在上存在且唯一，其中。 定理的证明方法与定理 2.2 完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 (3.5) 同解.为证(3.5)的解在 成。 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的 连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量 y 换成向量 Y 即可。最后，我们 要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个 解是二维空间 xoy 平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3) 的一个解就是 n+1 维空间(x,Y)中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线。 3.2 一阶线性微分方程组的一般概念 如果在一阶微分方程组 (3.1) 中，函数 是线性的，即(3.1)可以写成 ，关于 上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理 2.2 的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完(3.6)则称(3.6)为一阶线性微分方程组。我们总假设(3.6) 的系数 某个区间 及 上连续。 在为了方便，可以把(3.6)写成向量形式.为此,记及根据 3.1 节的记号，(3.6)就可以写成向量形式(3.7) 如果在 I ,方程组(3.7)变成(3.8) 我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组。 如果(3.8)与(3.7)中 A(x)相同，则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于 一阶线性微分方程的结果类似，我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解 的存在与唯一性定理. 定理 3.1′如果(3.7)中的 A(x)及 F(x)在区间 I 以及任意给定的 上连续，则对于 上任一，方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成.它的结论与定理 3.1 的不同之处是定理 3.1 的解的存在区 间}