高等数学之二阶线性微分方程的解法
09:58:08 |
在高等数学中，经常会考查大家的一个知识点是关于二阶线性微分方程的解法，这一部分内容相对来说考查大家的形式是多种多样的，可以直接给出一个二阶微分方程让大家求解，也可以放在应用中也就是通过给出关系列出微分方程后求解等等，不管是哪种解法，实质上考查大家的就是对于这种方程的求解。下面，我们简单介绍一下二阶线性微分方程的解法。
所以我们知道解二阶微分方程，不管是齐次还是非齐次方程，都需要先求出齐次方程的通解，对于非齐次方程而言，只要再求出来一个特解就可以得到它的通解了，所以解的结构定理为我们求二阶非齐次微分方程提供了一个思路。
对于二阶齐次线性微分方程，它的解题步骤是很固定的，方法如下：
(责任编辑：xiaxi)
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关于二阶微分方程的通解问题，求教~
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若C,C1，C2，C3是任意常数，以下可以作为二阶微分方程的通解的是D
A.y=C1x^2+c2x+c3
B.x^2+y^2=c
C.y=ln(c1x)+ln(c2x)
D.y=c1(sinx)^2+c2(cosx)^2
为什么选D呢，A哪里不对了
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你对A选项求两次导就晓得了
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′小羊 发表于
你对A选项求两次导就晓得了
求导2次A是y'=2c1x+c2& & y''=2c1
然后怎么办呢，代入方程解吗？
答案是说ABC中的任意常数都不是2个，不能看成是二阶微分方的解-------是什么意思
A中最后多了一个C3常数应该没影响啊，不能理解，求指教
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RE: 关于二阶微分方程的通解问题，求教~
echo1992 发表于
求导2次A是y'=2c1x+c2& & y''=2c1
然后怎么办呢，代入方程解吗？
答案是说ABC中的任意常数都不是2个，不 ...
二阶的通解起码有两个未知常数，c选项的两个常数可以合并成一个
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(1) n 阶微分方程的通解中一定含有n个独立常数。（就算公理吧）
不含有独立常数的解，称为微分方程的特解。
含有k个独立常数，（k小于n），的解集，称为“n 阶微分方程的k参数解集”。不是通解。
（2）C 选项中，lnC1+lnC2 是一个独立常数。
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echo1992 发表于
求导2次A是y'=2c1x+c2& & y''=2c1
然后怎么办呢，代入方程解吗？
答案是说ABC中的任意常数都不是2个，不 ...
你去看看全书p266页第二个例题。实在想不通，你就设这个二阶微分方程为y''+py'+qy=f(x),这是他的一般形式，然后把A选项求出的导数带入这个式子，你会发现特解f(x)就等于所给出的式子y=c1x^2+c2x+c3,所以，A选项只是特解的形式，不是通解。。。。。不知道你明白了没有，我自己都说糊涂了。。。
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既然是二阶微分方程，A中不该有X的平方
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A是线性无关的函数x^2,x,1的线性组合，所以A中独立的任意常数有三个，所以它可以是三阶线性微分方程的通解，不可能是二阶微分方程的解。
D是两个线性无关的函数(sinx)^2,(cosx)^2的线性组合，所以D中有独立的任意常数有2个，符合二阶微分方程的通解的要求，以它为通解的二阶微分方程是齐次线性的：sin2x×y''-2cos2x×y'=0。
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无量身上 发表于
既然是二阶微分方程，A中不该有X的平方
为什么，特解中可以含啊，以第一种特解y*=x^k Q（x）e^λx来说，x就可以有多次
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Mengxuer 发表于
A是线性无关的函数x^2,x,1的线性组合，所以A中独立的任意常数有三个，所以它可以是三阶线性微分方程的通解 ...
就是几阶方程有几个独立常数，可以这样理解吗
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