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四年级1班和2班共96人,2班和3班共89人,3班和4班共86人,1班和4班共多少人?最好有计算过程.
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数学思维训练导引(四年级)
第 1 讲 整数计算综合 内容概述 熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列 的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。 典型问题 兴趣篇 1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125 2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66. 3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。 4. 计算：100－99+98－97+96－95+?+12－11+10. 5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+?－4－3+2+1. 6. 计算：(1+3+5+7+?+199+201) －(2+4+6+8+?+198+200). 7. 计算：1+2+3+4+?+48+49+50+49+48+?+4+3+2+1. 8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的 口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是 指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“8→7， ”在 第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。 如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8” ，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少？ 9. 规定运算“ ? ”为：a ? b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8 ? 10; (2) 10 ? 8. 10. 规定运算“?”为：a?b=a×b－(a+b), 请计算： (1) 5?8; (2) 8?5; (3) (6?5)4; (4)6? (54) 拓展篇 1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(). 2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15. 3. 计算：09－08－. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+??+97+98－99. 5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+?+4×3－3×2－2×1. 6. 在不大于 1000 的自然数中，A 为所有个位数字为 8 的数之和，B 为所有个位数字为 3 的数之和. A 与 B 的差是多少？ 7. 求图 1-1 中所有数的和.8. 已知平方差公式： a ? b ? ( a ? b ) ? ( a ? b ) ，计算：2 220 ? 19 ? 18 ? 17 ? 16 ? 15 ? ? ? 2 ? 12 2 2 2 2 2 221 / 1049. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“ ? ”为：a ? b=a+2b－2, 计算：(1) (8 ? 7) ? 6;(2) 8 ? (7 ? 6)11. 规定运算“ ? ”为：a ? b=(a+1) ×(b－2). 如果 6 ? ( ? ? 5)=91, 那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“ ? ”为选择两数中较大的数的运算， ? ”为选择两数中较小的数的运算，例如：3 ? 5=5， “ 3 ? 5=3 请计算：1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 100.（运算的顺序是从左至右）超越篇 1. 观察下面算式的规律： －+－+－+??一直这样写下去， 那么最 后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从 1, 2, ??, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样 的乘积全部加起来，总和是多少？ 3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－??+4950.4. 已知平方差公式： a ? b ? ( a ? b ) ? ( a ? b ) , 计算：2 2100 ? 99 ? 98 ? 97 ? 96 ? 95 ? 94 ? 93 ? ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 225. a ? b 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：4 ? 3=4+5+6=15, 5 ? 4=5+6+7+8=26, 请计 算：(1) 4 ? 15 (2) 在算式（? ? 7） ? 11=1056 中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算： ? b=a－b+1, a ? b=a×b+1, 用 ? ” ? ” a “ 、 “ 和括号填入下面的式子， 使得等式成立 （不 能用别的计算符号） ：7 3 4 5=22 / 1047.现定义四种操作的规则如下： ①“一分为二” ：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1， 然后除以 2. 例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14. ②“丢三落四” ：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4” ，就将其划掉，例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8. （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下” ：如果一个自然数中包含数字“7” ，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数 字“8” ，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28. （不含数字 7 和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作） ④“十全十美” ：将一个自然数的个位数字换成 0. 例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900. (个位是 0 的自然数不能进行“十全十美”操作) (1) 请写出对 4176 依次进行③①③②④操作后的结果： (2) 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？ (3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是 8. 求有多少个这样的三位数. 图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？第 2 讲 和差倍问题三 内容概述 数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数关系变化的问题；需要利用 比较或分组的方法进行分析的问题。 典型问题 兴趣篇 1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的 3 倍. 将它们插入水塘中，插入水中的长度都是 40 厘米，而露出水面部分的总长为 160 厘米. 请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆 零件的个数相等；如果从乙堆中拿出 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍. 问：甲堆原来有 零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？3. 一个六边形广场的边界上插有 336 面红旗和黄旗. 六边形的每个顶点处都插有红旗，每条边上的红旗数 目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗. 已知每条边上黄旗比红旗的 2 倍还多 12 面，那么每两 面红旗间插有几面共旗？3 / 1044. 爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的 3 倍. 冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了 24 块 砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的 2 倍. 请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？5. 四年级三班买来单价为 5 角的练习本若干. 如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得 15 本；如果 将这些练习本只分给男生，平均每人可得 10 本. 请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多 少本？此时每人应付多少钱？6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多 5 人，比丙校多 7 人. 如果乙、丙两校一共有 40 人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？7. 有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是 83 千克、85 千克和 86 千克. 问：其中最轻的箱子 重多少千克？8. 小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅. 她们看中了两款， 这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子. 其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样. 第一款桌椅中有 6 把椅子，总价为 700 元；第二款桌椅中 有 9 把椅子，总价为 970 元. 请问：一张桌子的价钱是多少元？9. 小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了. 小白兔当天吃了 4 个 胡萝卜， 小黑兔则一口气吃了 12 个胡萝卜. 小白免往后每天都吃 4 个胡萝卜； 小黑兔因为第一天吃得太多， 往后每天只吃 2 个胡萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完. 小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝 卜？10. 一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售. 福特汽车的数量是丰田汽车的 3 倍.如果每周 销售 2 辆丰田汽车和 4 辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下 30 辆福特汽车. 请问：原有丰田汽车和福特 汽车各多少辆？拓展篇 1. 李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的 2 倍，每件产品需要 5 个甲零件和 2 个乙零件，生产 30 件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？4 / 1042. 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花. 其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的 4 倍，也是蓝花盆数的 3 倍，如果蓝花比红花多 20 盆，请问：学校门口一共有多少盆花？3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生. 如果只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如果只分给第二群， 则每只猴子可得 15 粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒，试问：现在将这些花生平均分给三群 猴子，每只可得多少粒？4. 养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的 3 倍. 一天有 10 只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数 是是东院的 2 倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？5. 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸帮冬冬 搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 5 倍；如果冬冬帮爸爸搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬 的 2 倍. 请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？6. 甲班和乙班共 83 人，乙班和丙班共 86 人，丙班和丁班共 88 人. 问：甲班和丁班共多少人？7. 小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出 60 千克与 90 千克之间的重量，因 此他们三人只能两个两个称重. 如果小悦和冬冬一起称，总重量是 73 千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是 80 千克；阿奇和小悦一起称，总重量是 75 千克，三人的体重分别是多少千克？8. 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是 131 人；不算丁班，其余三个班的 总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人. 问：这四个班共有多少人？9. 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满 30 天，工厂将给他一套工作服和 70 玩钱，但由于学校另有 安排，他工作了 20 天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和 20 元钱. 请问：这套工作服值多少元？5 / 10410. 小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看 50 页，接着每天看 15 页；冬冬则打算每天看 22 页，最 后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？11. 某食堂买来的大米的袋数是面粉的 4 倍，该食堂每天消耗面粉 20 袋，大米 60 袋，几天后面粉全部用 完，大米还剩下 200 袋，这个食堂买来大米多少袋？12. 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的 3 倍还多 10 颗，售货员将这些糖包 装成相同的小袋，每袋内装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下 170 颗. 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？超越篇 1. 在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的. 前 20 道题中，小时做对了 15 道；余下的题中，他做对的 题仅是做错的一半，最后一共得了 50 分. 如果满分是 100 分，那么小明做对了多少道题？2. 有四个数，其中每三个数的和分别是 45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是多少？3. 小伟和小杰两人玩游戏牌， 第一轮过后， 小伟赢了小杰 13 张牌， 这时小伟的牌数是小杰的 2 倍少 10 张； 由于得意忘形，小伟在第二、三轮惨败，输了 29 张牌，结果小杰的牌数反而是小伟的 7 倍少 10 张. 求小 伟和小杰原来各有多少张牌？4. 费叔叔买了一台电视机，购买时可以按以下两种方式付款：第一个月付款 750 元，以后每月付 150 元； 或前一半时间每月付 300 元，后一半时间每月付 100 元. 两种付款方式的付款总数及时间都相同.问：这台 电视机的价格是多少元？5. 甲、乙、丙三人乘坐飞机，三人所带行李的重量都超过了免费重量，超出部分必须另付行李费. 甲付 20 元，乙付 40 元，丙付 60 元. 三人的行李共重 150 千克，如果是一个人带这些行李出行，就需要支付 240 元的超重费用. 请问：每人可以免费携带多少千克的行李？6. 小楠的妈妈买回了若干个桔子和梨，其中桔子的个数是梨的 3 倍. 如果全家每天吃 5 个桔子和 2 个梨， 那么一星期后，桔子的个数是梨的 4 倍少 5 个. 原来桔子和梨分别有多少个？6 / 1047. 小真、小想和小看在讨论买《变形金刚》电影票的事，小真现有的钱数是小想的 3 倍，是小看的 2 倍. 小真说： “如果小想给我 15 元钱，我就可以买 3 张电影票 小想说： “如果我给小真 15 元钱，剩下的钱恰好能买 3 个一样的汉堡。 ” 小看说： “如果妈妈再给我 35 元钱，我就刚好能买 2 张电影票和 2 个汉堡 请问：小真原有多少元钱？他们要买的电影票每张多少元？一个汉堡多少元？ 8. 现有三堆糖果，其中第一堆的块数比第二堆多，第二堆的块数比第三堆多. 如果从每堆糖果中各取出一 块，那么剩下的糖果中，第一堆的块数是第二堆的 3 倍；如果从每堆糖果中各取出同样多块，使得第一堆 还剩下 32 块，则第二堆剩下的糖果数是第三堆的 2 倍. 问：原来三堆糖果总共最多有多少块？第 3 讲 还原问题与年龄问题 内容概述 学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的 分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。 典型问题 兴趣篇 1. 某数加上 6，再乘以 6， 再减去 6，再除以 6， 其结果等于 6，则这个数是多少？ 2. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就 把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下 8 两酒，这天他一共遇到 3 家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里 的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？3. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人 的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的 钱增加一倍；这人一连走了 3 个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是 64 枚一元的硬币，那么原来这人 身上有多少元？箱子里有多少元？4. 三棵树上共有 48 只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第 三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有 10 只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树 上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？5. 1997 年张伯伯 45 岁，小方 9 岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的 4 倍？7 / 1046. 今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4 年后，小明的年龄等于他父母年龄差的 3 倍. 今年小明多少岁？7. 今年，父亲年龄是儿子年龄的 5 倍；15 年后，父亲年龄是儿子年龄的 2 倍. 问：现在父子的年龄各是多少？ 8. 兄弟两个年龄之和是 32 岁. 当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的 3 倍.求哥哥现 在的年龄.9. 学生问老师多少岁，老师说： “当我像你这么大时，你刚 3 岁；当你像我这么大时，我已经 39 岁了.” 求 老师和学生现在的年龄.10. 今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多 6 岁, 多少年后，费叔叔的年龄将比他 们三人年龄的总和少 6 岁？拓展篇 1. 有一个数，把它加上 37，再乘以 18，减去 323，得到的结果用 23 去除，商是 16，余数是 11.这个数原 来是多少？2. 果园里有一棵桃树. 有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三 个桃子并摘下了剩下桃子的一半. 这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？3. 地上有 26 地砖，兄弟二人争着去挑. 弟弟抢在前面，刚挑起一些砖， 哥哥赶到了，挑了剩下的砖. 哥 哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半. 弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半. 哥哥不服，弟弟只好再 给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块，请问：最初弟弟准备挑多少块砖？4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经 过三次这样的操作后，甲有 5 块糖，乙有 12 块糖，两个人原来的糖数分别是多少？5. 甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 28 / 104倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了 2 倍，结果丙的钱最多；最 后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数和增加 2 倍，结果三人的钱数一样多，如果他们三人共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？6. 今年张明 15 岁，他父亲 45 岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的 2 倍？多少年前，父亲年龄是 张明年龄的 4 倍？ 7. 12 年前，父亲的年龄是女儿年龄的 11 倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的 3 倍. 请问：多少年后父亲 年龄是女儿年龄的 2 倍？8. 去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的 2 倍. 求哥哥和弟弟现在的年龄。9. 今年父亲的年龄是 48 岁，哥哥的年龄是弟弟的 2 倍, 当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好 等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？10. 学生问老师多少岁，老师说： “当我像你这么大时，你刚 5 岁；当你像我这么大时，我已经 50 岁了。 “求老师和学生现在的年龄。11. 有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9 年后，老师年龄为甲、乙两 学生年龄之和；又过了 3 年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；再过 3 年，老师年龄为乙、丙两学生年龄 之和，求现在各人的年龄。12. 1 年前，父母的年龄和兄弟二人年龄和的 7 倍；4 年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 4 倍，已知 爸爸比妈妈大 2 岁，妈妈今年多少岁？超越篇 1. 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把 自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚； 然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚. 就这样，三人轮流谦让了一阵，结果太阳落山 时，老和尚的水罐里有 10 升水，小和尚的水罐则装着 20 升水. 请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？9 / 1042. 甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加 1 倍； 经过 2005 次这样的操作以后，甲有 10 块糖，乙有 8 块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？10 / 1043. 哥哥对弟弟说： “你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿 园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为 32 岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的 7 倍，求哥 哥获得博士学位的年龄是多少岁。4. 小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说： “当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才 5 岁呢.”小明对爷爷说： “我 的岁数是您现在的岁数时，我爸都 89 岁了.”请问：小明的爸爸今年多少岁？5. 1996 年时，父母的年龄之和是 78 岁，兄弟二人的年龄之和是 17 岁；4 年后，父亲年龄是弟弟年龄的 4 倍，母亲年龄是哥哥年龄的 3 倍，试问：当父亲年龄是哥哥年龄的 3 倍时是公元多少年？6. 全家 4 口人，父亲比母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 岁，4 年前全家人的年龄之和是 58 岁，而现在是 73 岁，问：现在各人的年龄分别是多少岁？7. 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如 此做了 7 次，这时黑板上三个数的和为 159. 如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为 2008，且所有写 过的数都是整数.请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？8. ；甲、乙、丙三人现在年龄的和是 113 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是 17 岁，请问：乙现 在多少岁？第 4 讲 数阵图初步 内容概述 各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况 下还需要考虑对称性。 典型问题 兴趣篇 1. 在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11.2. 请分别将 1，2，4，6 这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于 15.11 / 1043. 如图 4-3 所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。4. 把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。5. 把 1 至 12 分别填入图 4-5 的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。6. 在如图 4-6 所示的 3×3 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的 三个数字之和都相等。7. 把 1 至 6 分别填入图 4-7 的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13.8. 把 1 至 6 分别填入图 4-8 的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是多 少？最小是多少？9. 把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心 圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。12 / 10410.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么 最下面那个数最小是几？拓展篇 1. 将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都 等于 15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.2. 在图 4-12 中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数， 使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果 已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。3. 图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把 1、2、3、4、5、6、7、8 这八 个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。4. 在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之 和都是 6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是 7.13 / 1045. 请在图 4-15 的每个小圆圈内填入 1 或 2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？6. 把 1 至 8 分别填入图 4-16 的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于 1.7. 在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的 已知数. 请问：标有★的圆圈内填的数是多少？8. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1，2，3，4，5，6，7 这七个数填入图 4-18 的七个方框里， 每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是 多少？9. 把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最 小是多少？最大是多少？10. 把 1 至 11 填入图 4-20 中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。11. 请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。14 / 10415 / 10412. 如图 4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表. 为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？ 武器 威力数 武器 威力数 手枪 1 重机枪 6 步枪 2 迫击炮 7 自动步枪 3 火箭筒 8 冲锋枪 4 加农炮 9 轻机枪 5 榴弹炮 10超越篇 1. 如图 4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将 1 至 12 中的另六个数填入 其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是 28.2. 如图 4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.3. 把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。4. 把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二个圆圈内， 使得每条直线上四个数之和都相等.现在已 经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。16 / 10417 / 1045. 把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数 字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。6. 图 4-28 中一共有 6 条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是 6）填入其中的九个圆圈内，使得每条 直线上圆圈内的数加起来都等于 23.7. 如图 4-29，5×5 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、2、3、4、5 中的一个（其中两个格子 已经分别填入 1 和 2） ，使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请 问： ABCDE 是多少？8. 图 4-30 是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这九个部分中填入 1 至 9 这九个数， 使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？第 5 讲 竖式问题 内容概述 以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转 化为数字谜形式，便于直观地解决问题。 典型问题 兴趣篇 1.如图 5-1 所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”“A” ， 代表“9”“D”代表“0”“H”代表“6”.问： ， ， “I”代表的数字是多少？18 / 1042. （1）在图 5-2 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉 字各代表什么数字？ (2) 在图 5-3 的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各 代表什么数字？3. 在图 5-4 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果 23+解+数+字+谜 =30，那么“ 数字谜 ”所代表的三位数是多少？4. 图 5-5 所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ 北京奥运 ”代表 的四位数是多少？5. 已知图 5-6 所示的乘法竖式成立，那么 ABCDE 是多少？6. (1) 在图 5-7 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分 别代表什么数字？ (2) 在图 5-8 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别 代表什么数字？7. 如图 5-9， 相同的字母表示相同的数字， 不同的字母表示不同的数字， 那么十个方框中数字之和是多少？19 / 1048. 在图 5-10 和图 5-11 中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.9.在图 5-12 所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？10. 有一个四位数，它乘以 9 后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原 来的四位数.拓展篇 1. 在图 5-13 和 5-14 中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值.2. 如图 5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字 A、B、 C 分别是多少？3. 在图 5-16 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且 A&B&C&D. 问： 竖式中的和是多少？20 / 10421 / 1044. 在 图 5-17 的 竖 式 中 ， 相 同 的 汉 字 表 示 相 同 的 数 字 ， 不 同 的 汉 字 表 示 不 同 的 数 字 ， 那 么 “ 携手上海世博会 ”所代表的七位数是多少？5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位 抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是 7826. 小悦原来写的四位数是多少？6. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最 小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数. 求原来的三位数.7. (1) 一个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍， 那么原数最小是多少？ (2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数 的 4 倍，那么原来的五位数是多少/8. 如图 5-18，每一个英文字母代表 0，1，2??9 中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母 A、 Q、T、R、F 分别代表什么数字？9. 图 5-19 中的竖式里， “江”“峡”“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来. 、 、10. 请把如图 5-20 所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？22 / 10411. 请把图 5-21 中的除法竖式补充完整。12. 在图 5-22 的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式.超越篇 1. 图 5-23 是一个加法竖式，其中 E、F、I、N、O、R、S、T、X、Y 表示 0 至 9 中的不同数字，且 F、S 不等于零，这个算式的结果是多少？2. 澳门的拼音和英语写法为 AOMEN 及 MACAO， 我们规定这些字母表示 1 至 9 中的不同数字，那么图 5-24 中竖式的计算结果最大是多少？3. 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强韩赵魏，九章色股弦. “三 强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字； “九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章 的名字，我们来用这副有趣的对联做下面的题目： (1)在图 5-25 的竖式中， 相同的汉字代表相同的数字， 不同的汉字代表不同的数字， 如果 “三” 代表 3， “九” 代表 9，请将竖式补充完整. (只需要找出一种解答) (2) 在图 5-26 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“ ”代 勾股弦 表 345，请将竖式补充完整.4. 在图 5-27 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么 ABCDEFG 所代 表的七位数是多少？ 5. 请把图 5-28 中的除法竖式补充完整.23 / 1046. 在图 5-29 所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，请问：被除 数是多少？7. 在图 5-30 的乘法竖式中， “二”代表除以 3 余 2 的数字，即 2、5、8 中的一个； “―”代表除以 3 余 1 的数字，即 1、4、7 中的一个； “零”代表除以 3 余 0 的数字，即 0、3、6、9 中的一个，请填出这个竖式.8. 在图 5-31 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中 W=0. 请用 合适的数字替换字母，使得竖式成立.第 6 讲 行程问题一 内容概述 掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系，掌握基本相遇问题和基本追及问题的解法；学 会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程. 重点掌握画线段图的分析方法. 典型问题 兴趣篇 1. A、 两城相距 240 千米， B 一辆汽车原计划用 6 小时从 A 城到 B 城， 那么汽车每小时应该行驶多少千米？ 实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中停留了 1 小时. 如果要按照原定的时间到达 B 城，汽车在 后一半路程上每小时应该行驶多少千米？2. A、B 两地相距 4800 米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走 60 米， 乙每分钟走 100 米，请问： (1) 甲从 A 走到 B 需要多长时间？ (2) 两个人从出发到相遇需要多长时间？3. 在第 2 题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两个人同时、同向出发. 请问： 乙出发后多久可以追上甲？24 / 1044. 甲、乙两地相距 350 千米，一辆汽车在早上 8 点从甲地出发，以每小时 40 千米的速度开往乙地，2 小 时后另一辆汽车以每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地. 问：什么时候两车在途中相遇？ 5. 小悦和冬冬分别从相距 720 米的两地出发同向而行，且冬冬比小悦先出发 2 分钟，已知小悦的速度是每 分钟 60 米，冬冬的速度为每分钟 50 米，试问：当小悦追上冬冬的时候，冬冬已经走了多少米？6. 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距 350 千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行 40 千米， 小轿车每小时行 60 千米，问： (1) 2 小时后两车相距多少千米？ (2) 经过几小时后两车第一次相距 50 千米？7.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距 300 千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行 40 千 米；小轿车在后，每小时行 60 千米，问： (1) 经过 6 小时后两车相距多少千米？ (2) 经过几小时后两车第一次相距 100 千米？8. 甲、乙两人分别在 A 地和 B 地，甲从 A 地到 B 地需要 20 分钟，乙从 B 地到 A 地需要 30 分钟，如果 两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？9. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶 40 千米，两车 6 小时后相遇， 相遇后它们继续前进，又过了 3 小时，甲车到达 B 地，问：乙车还要过多久才能到达 A 地？10. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走 50 米，乙走完全程要 18 分钟，出 发 3 分钟后，甲、乙仍相距 450 米，问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？拓展篇 1. 甲、乙两地相距 450 千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行，快车每小时行 60 千米，慢车 每小时行 30 千米，试问： (1) 如果两车同时出发，几小时后相遇？ (2) 如果慢车比快车早出发 3 小时，当两车相遇时快车走了多远？2. A、B 两地相距 400 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发，相向而行，甲车的速度为每小时 60 千米， 乙车的速度为每小时 40 千米，请问：25 / 104(1) 从出发算起，多久后甲、乙两车第一次相距 100 千米？ (2) 从出发算起，多久后甲、乙两车第二次相距 100 千米？3. 甲、乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行 300 千米，乙每小时飞行 340 千米， 4 小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用 2 小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？4. 冬冬步行上学，每分钟行 75 米，冬冬离家 12 分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追， 每分钟行 375 米，求爸爸追上冬冬所需要的时间隔。5. 小轿车和大货车上午 9 点同时同向从甲地出发，小轿车每小时开 60 千米，大货车每小时开 48 千米，请 问：下午几点的时候小轿车领先大货车 72 千米/6. 一辆公共汽车早上 6 点从 A 城出发，以每小时 40 千米的速度向 B 城驶去，3 小时后一辆小轿车以每小 时 75 千米的速度也从 A 城出发到 B 城，当小轿车到达 B 城后，公共汽车离 B 城还有 160 千米，问：公共 汽车什么时候到达 B 城？7. 甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行，甲每小时行 36 千米，乙每小时行 30 千米，两车在距离 中点 9 千米处相遇，求东、西两地间的距离。8. 小悦一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶 45 千米，实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行 驶 30 千米，这样就晚到了 2 小时，请问：小悦一家在路上实际花了几个小时？9. 甲从 A 地出发去 B 地办事情，下午 1 点出发，晚上 7 点准时到达，如果他想下午 2 点出发，晚上 7 点 准时到达，每小时就必须多行 2 千米，求 A、B 两地之间的距离.10. 甲、乙两人分别在 A、B 两地同时出发，如果相向而行，1 小时后两人相遇，如果同向而行，3 小时后 甲追上乙，问：甲的步行速度是乙的几倍？26 / 10411. 甲、乙两人分别由 A、B 两地同时出发，相向而行，A、B 两地相距 48 千米，甲的速度是乙的 3 倍， 请问：当甲、乙相遇的时候，甲走了多远？12. 猎狗追兔子，猎狗的速度是兔子的 2 倍，兔子径直往兔洞里跑，猎狗则紧随其后. 现在，猎狗距离洞 口还有 1000 米，当猎狗跑到兔子现在的位置时，兔子距离洞口将还剩 100 米，问：现在兔子距离洞口多 少米？最终兔子会被猎狗追上吗？超越篇 1. 小悦、冬冬骑车从甲地同时出发，同向而行，小悦的速度比冬冬的速度每小时快 4 千米，因此小悦比冬 冬早 20 分钟通过途中的乙地，当冬冬到达乙地时，小悦又前进了 8 千米，求甲、乙两地之间的距离.2. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，6 小时后相遇在中点，如果甲延迟 1 小时出发，乙每小时少走 4 千米，两人仍在中点相遇，请问：甲、乙两地相距多少千米？3. 冬冬平时每天上学都是先步行 10 分钟后再跑步 2 分钟，某天他步行 6 分钟后就开始跑步，结果比平时 早到了 2 分钟，请问：冬冬跑步的速度是步行速度的几倍？4. 阿奇家离学校 1000 米，平时他步行 25 分钟后准时到校，有一天他晚出发 10 分钟，为避免迟到，阿奇 先乘公共汽车，然后步行，结果仍然准时到校，已知公共汽车的速度是阿奇步行速度的 6 倍，请问：阿奇 这天上学步行了多少米？ 5. 甲、乙两车分别从 A、B 两站同时出发，相向而行，已知：甲车速度是乙车的 2 倍，甲、乙到达途中 C 站的时刻依次为 5：00 和 17：00. 问：两车是在几点相遇的？6. 甲、乙两人分别由 A、B 两地同时出发，如果相向而行，1 小时后两人相遇；如果同向而行，且乙先出 发 2 小时，那么甲 3 小时后追上乙. 请问：甲的速度是乙的几倍？7. 如图 6-1 所示， 一条笔直的公路上有 16 个车站 A1, A2, A3 ?? A16, 已知相邻两站之间的距离都相等， 有一天，甲、乙、丙三人都要从第 1 站去第 16 站. 甲先出发，当甲到达第 2 站时，已出发，当乙到达第 3 站时丙出发，如果丙在第 4 站追上乙，甲和丙同时到达第 16 站，那么甲的速度是乙的速度的几倍？27 / 1048. 甲、乙两人分别从相距 24 千米的 A、B 两地同时出发同向而行，一段时间后甲在 C 点追上乙，如果甲 每小时多走 1 千米，而乙每小时少走 1 千米，则甲追上乙的时间会少用 2 小时，且追上的地点与 C 点相距 12 千米，试问：如果甲、乙两人以原速度分别从 A、B 两地同时出发相向而行，需要几个小时相遇？第 7 讲 直线形计算一 内容概述 掌握正方形，长方形，平行四边形，三角形以及梯形的面积计算公式，并能够熟练应用；计算平行四边形 和三角形的面积时，学会选择适当的底和高. 典型问题 兴趣篇 1. 如图 7-1，由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字，如果这个图形的周长是 102 厘米，那么它的面 积是多少平方厘米？2. 如图 7-2，用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片，其中小正方形纸片面积是 49 平方厘米，其中一个长方形纸片的面积为 28 平方厘米，那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方 厘米？3. 如图 7-3，小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放，边长分别是 3、7、9, 图中两个阴影平行四 边形的面积分别是多少？4. 如图 7-4，从梯形 ABCD 中分出两个平行四边形 ABEF 和 CDFG，其中 ABEF 的面积等于 60 平方米， 且 AF 的长度为 10 米，FD 的长度为 4 米，平行四边形 CDFG 的面积等于多少平方米？5. 如图 7-5，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是 8 厘米和 6 厘米，那么左图和右图中阴影 部分的面积分别是多少平方厘米？28 / 1046. 如图 7-6，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 的长度为 8 厘米，那么正方形的面积是多少平方厘米？7. 如图 7-7，平行四边形 ABCD 中，AD 的长度为 20 厘米，高 CH 的长度为 9 厘米，E 是底边 BC 上的一 点，且 Be 长 6 厘米，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？8. 图 7-8 中， 平行四边形 ABCD 的面积是 32 平方厘米， 三角形 CED 是一个直角三角形， 已知 AE=5 厘米， CE=4 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？9. 如图 7-9，在平行四边形 ABCD 中，三角形 BCE 的面积是 42 平方厘米，BC 的长度为 14 厘米，AE 的 长度为 9 厘米，那么平行四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？三角形 ECD 的面积又是多少平方厘米？10. 如图 7-10， 小正方形 ABCD 放在大正方形 EFGH 的上面， 已知小正方形的边长为 4 厘米， 且梯形 AEHD 的面积是 28 平方厘米，那么梯形 AFGD 的面积是多少平方厘米？拓展篇 1. 如图 7-11，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中栽种 茄子的面积是 16 平方米，栽种黄瓜的面积是 28 平方米，栽种豆角的面积是 32 平方米，栽种莴笋的面积 是 72 平方米， 而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形， 请问： 剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？2. 如图 7-12，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了 1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是 24 平 方米，那么花坛的面积是多少平方米？29 / 1043. 如图 7-13，八个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周长是 84 厘米，那么大长方 形的面积是多少？30 / 1044. 如图 7-14，两个边长 10 厘米的正方形相互错开 3 厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？5. 如图 7-15， 两个直角三角形拼成一个四边形， 然后在其中添加了阴影部分， 请按照图中给出的线段长度， 求出阴影部分的面积.6.如图 7-16，长方形 ABCD 的长为 18 厘米，宽为 10 厘米，P 是 BC 上一点，且 CP 为 4 厘米，又已知 E、 F、G 分别是 AB、AD、CD 边上的中点，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？7. 如图 7-17，正方形 ABCD 被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分，其中上、下两个部分都是等 腰直角三角形，已知两条截线的长度都是 6 厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘米？8. 如图 7-18，ABFE 和 CDEF 都是长方形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的 面积是多少平方厘米？9. 如图 7-19，把小正方形的每边延长 2 厘米后，得到一个大正方形，大正方形的面积比小正方形的面积大 36 平方厘米，那么小正方形的边长是多少厘米？31 / 10410. 如图 7-20，在直角梯形 ABCD 中，三角形 ABE 和三角形 CDE 都是等腰直角三角形，且 BC=20 厘米， 那么直角梯形 ABCD 的面积是多少？11. 如图 7-21，平行四边形的一边长为 15 厘米，这条边上的高为 6 厘米，一条线段将此平行四边形分成了 两部分，它们的面积相差 18 平方厘米，请问：其中梯形的上底是多少厘米？12. 如图 7-22，梯形 ABCD 的上底 AD 长 5 厘米，下底 BC 长 12 厘米，腰 CD 的长为 8 厘米，过 B 点向 CD 作出的垂线 BE 的长为 9 厘米，那么梯形 ABCD 的面积是多少？超越篇 1. 图 7-23 中有三个大小不同的正方形， 其中大正方形的周长比小正方形的周长大 8， 大正方形的面积比中 正方形的面积大 12，大正方形的面积是多少？2. 如图 7-24，两个小正方形把大正方形分成了三个部分，外层环形部分的面积为 168，中层环形部分的面 积为 96，如果三个正方形的边长构成等差数列，那么大正方形的面积是多少？3. 图 7-25 是一块正方形的地板砖示意图， 其中 AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，红色小正方形的 面积是 4，四块绿色小三角形的面积总和是 18，求大正方形 ABCD 的面积.4. 图 7-26 中梯形面积为 45，高为 6，已知三角形 ADE 的面积为 5，则三角形 BEC 的面积是多少？32 / 1045. 如图 7-27，直角梯形 ABCD 中，AB=15（厘米） ，BC=12（厘米） AF 垂直于 AB，阴影部分的面积为 ， 15 平方厘米，问梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？6. 如图 7-28，ABCD 是梯形，ABFD 是平行四边形，CDEF 是正方形，AGHF 是长方形，又知 AD=14 厘 米，BC=22 厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米？7. 如图 7-29，ABCD 是一个长方形，E 点在 CD 的延长线上，已知 AB=5，BC=12，且三角形 AFE 的面积 等于 20，那么三角形 CFE 的面积等于多少？8. 如图 7-30，等腰梯形 ABCD 中，交于 O 点的两条对角线互相垂直，三角形 ECB 是直角三角形，OC 比 AO 长 20 厘米，已知三角形 ADE 的面积是 250 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积为多少平方厘米？第 8 讲 抽屉原理一 内容概述 理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考虑某些问题时，需要利用最 不利原则进行分析. 典型问题 兴趣篇 1. 学校周末要组织四个班的同学去春游，有三个地点可供选择：石景山游乐园、植物园和动物园，如果一 个班只能去一个地点，试说明：一定有两个班要去同一个地点.2. 小悦，冬冬和阿奇到费步步家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有 19 块巧克力， 如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到 7 块巧克力，但不一定有人拿到 8 块.33 / 1043. 任意 40 个人中，至少有几个人属于同一生肖？ 4. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多，一次至少要取几颗 珠子，才能保证其中一定有两颗颜色相同？5. 某校的小学生中，年龄最小的 6 岁，最大的 13 岁，从这个学校中至少选几个学生，就能保证其中一定 有三个学生的年龄相同？6. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各 10 支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支， 才能保证其中一定有 4 支是同一种颜色的铅笔？7. 口袋里装有红、黄、蓝、绿这 4 种颜色的球，且每种颜色的球都有 4 个，小华闭着眼睛从口袋里往外摸 球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？8. 一副扑克牌共 54 张，其中有 2 张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块 4 种花色的牌各 13 张，那么： （1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？ （2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有 3 张牌是红桃？ （3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有 5 张牌是同一花色的？ 9. 把 40 块巧克力放入 A、B、C、D 四个盒子内，如图 8-1，A 盒中放的最多，放了 13 块，且四个盒子内 装的巧克力的数量依次减少，那么： （1）D 盒最少可以装几块？ （2）D 盒最多可以装几块？10. 圆桌周围恰好有 12 把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐，当再有一人入座时，就必须和已就坐的某 个人相邻，问：已就坐的最少有多少人？拓展篇 1. 红领巾小学今年入学的一年级新生中有 370 人是在同一年出生的. 试说明：他们中一定有两个人是在同 一天出生的.2.某公司决定派 95 名员工去 8 个不同的城市进行市场调查，是不是一定有 12 个人会去同一城市？“一定 有 13 个人去同一城市”这个说法正确吗？ 3. 一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放” （没有放到格子外的） ，那么至少 要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一格内？34 / 1044. 一个鱼缸里有很多条鱼，共有 5 个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有 5 条相同品种的鱼？ 5. 冬冬把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出 4 枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保 证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色） 6. 在一个盒子里装着形状相同的 3 种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果 冻都有 20 个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻. 请问： （1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？ （2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？7. 一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有 10 个，黄色的有 8 个，蓝色的有 3 个，绿 色的有 1 个，请问： （1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？ （2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？8. 一副扑克牌共 54 张，其中有 2 张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块 4 种花色的牌各 13 张，现在要从 中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有 3 张， 那么最少要取出多少张牌？9. 黑色、白色、黄色、红色的筷子各有 8 根，混杂放在一起，在黑暗中取出一些筷子. 要使得这些筷子能 够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双） ，那么最少要取多少根才能保证达到要求？10. 将 1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜子、8 只黄袜子和 9 只绿袜子放入一个布袋里，请问： （1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？ （2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）11. 31 个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？12. 现有 10 把钥匙分别能开 10 把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁. 最少要试验多少次才能保证使全 部的钥匙和锁相匹配？超越篇 1. 体育馆里有足球、篮球和排球 3 种球，一个班的 50 名学生去借球，每人最少借 1 个，最多可以借 2 个， 请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？35 / 1042. 把 31 个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过 3 个，那么至少有几只猴子得到的桃子一样 多？ 3. 有 37 个数，每个数为 0 或 1. 要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时，总能找到 6 个 1 连排在 一起，问：其中最少有多少个数是 1？4. 有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字，其中写 0 的有 1 个，写 1 的有 2 个，写 2 的 有 3 个，??，写 9 的有 10 个. 如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球 中必有 3 个，它们上面的数字恰好组成 678？ （考虑“9”倒过来看是“6” ）5. 一个袋子中有三种不同颜色的球共 20 个，其中红球 7 个，黄球 5 个，绿球 8 个，现在阿奇闭着眼睛从 中取球，要保证有一种颜色的球不少于 4 个，则至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种 颜色的球不少于 3 个，则至少要取出多少个球？6. 50 个苹果分给 8 个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到多少个？如果 1 号小朋友最多给 2 个， 2 号最多给 4 个，3 号最多给 6 个，??8 号最多给 16 个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到多少个？7. 888 名学生站成一个圆圈，如果任意连续 32 人中，至多有 9 名男生，那么男生的人数最多有多少人？8. 新春佳节，商场举办抽奖活动，抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有 32、30、28、26、24 张，每 次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付 2 元钱，奖励方式如下：用 15 张同色的奖券换一架相同颜色 的飞机模型，用 11 张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用 4 张同色的奖券换一架相同颜色的摩托 车模型. 请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？ 第 9 讲 多位数与小数 内容概述 求解含有小数的四则运算问题，除了运用已学的各种整数计算方法外，还可以移动小数点来简化计算，求 解带有省略号的多位数的四则运算问题，一般采用从简单情况出发找规律，通过算式的变形进行凑整、直 接列竖式等方法。 典型问题 兴趣篇 1. 李老师在黑板上写了四个算式：①7469÷ 0.7; ②7.469÷ 0.007 ③0.7469÷ 0.07 ④746.9÷ 请 把 7. 它们按照商从小到大的顺序排列起来.36 / 1042. 计算：÷5.795×579.5 3. 计算：13.64×0.25÷1.1. 4. 计算：24×(0.123+0.127) ×0.125×(2.52+1.48) 5. 计算：(3.74+3.76+3.78+3.8+3.82) ×0.04÷24×60.6. 计算：1.25×3.14+125×0.×0.00229.7. 计算：3.51×49+35.1×5.1+99×51.8. 计算：19+199+1999+??+199?9.10 个 99. 求和式 3+33+333+??33?3 计算结果的万位数字.10 个 310. 计算：333??33×333??34.10 个 3 9个3拓展篇 1. 计算：(1) ? 4.2 ? 5 ? ?1 ? 0.25 ? 9.1 ? 0.7 ? ? ? 0.004 ? ? (2)4.5×4.8÷0.25÷15÷0.24. 2.在下面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立. 所填的数应该是多少？ 22.5－(□×3.2－2.4×□) ÷3.2=10. 3. 计算： （1）299.9×19.98－199.8×29.97; (2) 3.14+64.8×0.537×25+5.37×6.48×75－8×64.8×0.125×53.7. 4. 计算：27.8×28.7－27.7×28.8.5. 计算：24.25×7.19+0.23×281+1.25×0.81.6. 计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+??+0.99.37 / 1047. 计算： （1）28+208+2008+?+200?08;100 个 0(2) 98+998+9998+?+99?98.10 个 98. 计算：3+33+333+3333+?+33?3. 9. 计算：× 个 310. 计算：82×.11. 计算： （1）99?9×99?9+199?9；100 个 9 100 个 9 100 个 9（2）33?3×66?6.20 个 3 20 个 612. 求算式 99?9×88?8÷66?6 的计算结果的各位数字之和.2000 个 9 2000 个 8 2000 个 6超越篇 1. 计算：(1+1.2+1.23+1.234)×(1.2+1.23+1.234+1.2345)－(1+1.2+1.23+1.234+1.2345)×(1.2+1.23+1.234).2. 一个数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原数的 4 倍，等于 27.6，原来这个数是多少？3. 计算：44?4－66?6?+88?800?0.40 个 4 20 个 6 20 个 8 10 个 04. 计算：888?882－111?112.2000 个 8 2000 个 15. 求算式 888?8×333?3 的计算结果的各位数字之和.300 个 8 300 个 36. 计算：3+3.3+3.33+3.333+?+3.33?3.38 / 10499 个 37.已知数 444?46.222?24 是某一个小数的平方，请问：这个数是多少的平方？8. 计算以下各数的数字和：(1) 11?1；99 个 1 99 个 1(2) 11?1100 个 1 100 个 1第 10 讲 平均数问题 内容概述 掌握平均数的基本概念，学会利用基准数法计算平均数，通过总量的变化计算平均数的变化，分析多组数 的平均数与总平均数之间的关系. 典型问题 兴趣篇 1. 阿奇参加射击比赛，他一共打了 10 枪，每枪都射中靶子，位置如图 10-1 中的“×”所示. 图中数字表 示击中靶子各部位能得到的分数. 请问：阿奇此次打靶的平均分是多少？2. 请求出 103, 109, 105, 101, 110, 102, 106, 104 这 8 个数的平均数.3. 飞碟工厂一周生产的机器台数的统计表破损，如图 10-2 所示，表中缺少几个数字，请你根据这张统计 表，求出星期三和星期四的产量.4. 甲、乙、丙、丁四个小队拾松果，甲、乙、丙三队平均每队拾 24 千克，乙、丙、丁三队平均每队拾 26 千克，已知丁队拾 28 千克，那么甲队拾多少千克？5. 阿奇参加了 5 次天文知识兑赛，平均分是 82 分. 如果不算分数最高的那次，其余 4 次的平均成绩为 80 分. 阿奇这 5 次兑赛的最高分是多少？6. 张村有 25 户人家，李村有 20 户人家. 去年张村平均每户收入 4.4 万元，李村平均每户收入 3.5 万元. 去 年两村平均每户收入多少万元？今年李村有 3 户人家收入增加，这 3 户平均每户多收入 6000 元. 请问：今 年两村平均每户收入多少万元？7. 8 个数的平均数为 50，若把其中的一个数改为 90，平均数就变成 60. 被改动的数原来是多少？39 / 1048. 小悦参加了若干次考试，在最后一次考试时她发现：如果这次考试得 97 分，那么她的平均分是 90 分； 如果这次考试得 73 分，那么她的平均分数是 87 分，小悦一共参加了多少次考试？9. 宇宙汽车厂有甲、乙两个车间生产零件. 甲车间有 57 名工人，每人每天平均生产 132 个零件，乙车间 每人每天平均生产 163 个零件，两个车间每人每天平均生产 144 个零件. 请问：乙车间有多少名工人？10. 甲、乙、丙三个班的人数分别为 45、57、54. 已知甲班的平均分为 91.5 分，乙班的平均分为 89.5 分， 三个班的总平均分为 92.5 分，求丙班的平均分.拓展篇 1. 有鸡、鸭、鸽子、麻雀四只小动物. 鸽子重 0.6 千克；鸡的重量比鸽子的 2 倍少 0.2 千克；鸭的重量比 鸡多 0.5 千克；麻雀的重量比鸽子少 0.4 千克，求这四只动物的平均重量.2. 求下列 20 个数的平均数： 306, 312, 306, 308, 314, 304, 318, 311, 313, 315, 314, 310, 320, 300, 316, 320, 312, 314, 315.3. 小悦在商场买了 3 斤水果糖、1 斤花生糖和 2 斤奶糖. 已知水果糖每斤 8 元，花生糖每斤 7 元，奶糖每 斤 10 元. 问：小悦买的糖果平均每斤多少钱？4. 四年级一班有 6 名女学生，她们的平均身高是 140 厘米. 如果她们当中有 1 人离开，剩下 5 人的平均身 高就变成 135 厘米，请问：离开的那个女生身高是多少厘米？5. 35 个数排成 5 行 7 列. 7 列的平均数分别为 39、41、40、45、42、39、41，前 4 行的平均数分别为 42、 39、44、41. 请求出最后一行的平均数.6. 汽车配件厂有 150 名工人，平均每人每天能生产 200 个零件. 后来部分工人的设备被改良了，这些工人 每人每天可以多生产 30 个零件，此时工厂平均每人每天能生产 213 个零件. 请问：有多少名工人的设备被 改良了？7. 黑板上有 7 个数， 平均数为 55. 如果把其中一个数改为 140， 则平均数变为 64， 求被改动的数是多少. 如 果再将其余 6 个数都乘以 2, 求此时 7 个数的平均数.8. 甲班有 33 人，乙班有 22 人. 在一次考试中，甲班的平均分是 80 分，甲班和乙班的总平均分是 82 分，40 / 104求乙班的平均分.9. 某单位男职工人数是女职工人数的 2 倍， 男职工的平均年龄是 31 岁， 女职工的平均年龄是 40 岁. 请问： 该单位全体职工的平均年龄是多少岁？10. 甲班有 25 人，乙班有 75 人. 甲班和乙班的总平均分是 90 分，如果甲班的平均分比乙班的平均分高 5 分，那么乙班的平均分是多少？ 11. 功夫小学四年级一班和二班共有学生 100 名. 在一次数学考试中，两班学生的总平均分是 75.4 分，其 中一班的平均分是 73 分，二班的平均分是 78 分. 请问：一班和二班的人数之差是多少？12. 冬冬期末考试语文、数学、英语、地理、历史五科中的四科成绩如下：语文 88 分，数学 99 分，地理 94 分，历史 95 分. 英语成绩比五科的总平均分低 2.4 分，冬冬英语的得分是多少？超越篇 1. 小明参加了六次数学测验，这六次测验有一个总平均分，后四次测验的平均分比总平均分多 3 分，第一 次、第二次、第六次这三次测验的平均分要比总平均分少 3.6 分. 请问：前五次测验的平均分与总平均分 相比，高还是低？差多少分？2. A、B、C、D、E 这五人在一次满分为 100 分的考试中，得分互不相同，并且都是大于 91 的整数. 如果 A、B、C 三人的平均分为 95 分；B、C、D 三人的平均分为 94 分；A 是第一名；E 得 96 分是第三名. 请 问：D 考了多少分？3. 老师在黑板上写出了若干个从 1 开始的连续自然数 1，2，3，?，后来擦掉其中的一个数，剩下的数的 平均数是 10.8. 求被擦掉的那个自然数.4. 四年级五班有 50 名同学，在一次数学考试后，王老师把这些学生按成绩排了名次，发现前 30 名的平均 分比后 20 名的平均分多 12 分. 一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前 30 名的平均分加上后 20 名的 平均分， 再除以 2， 错误地认为这就是全班同学的平均分， 这样做全班的平均成绩是提高了， 还是降低了？ 请算出提高或降低了多少分？5. 某次数学兑赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人. 现在将一等奖中最后 4 人调整为二等奖，那么得二等奖 的学生的平均分就提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分就提高了 3 分. 请问：原来一等奖学生的平均分 比二等奖学生的平均分多多少？41 / 1046. 小新家有 5 口人，分别是：爷爷、奶奶、爸爸、妈妈还有小新. 今年，爷爷 75 岁，奶奶比 5 人的平均 年龄大 26 岁，爸爸 34 岁，妈妈比 5 人的平均年龄小 13 岁，小新又比妈妈小 21 岁. 请你根据以上的信息， 求出小新刚出生时爸爸多少岁.7. 一次考试， 男生的平均分比总平均分高 2 分， 女生的平均分比总平均分低 1 分. 男生的总分数是 942 分， 女生的总分数是 1800 分，求：男、女生各有多少人？8. 少年歌手大奖赛的裁判小组由若干人组成，每名裁判员给歌手的评分最高为 10 分. 第一名歌手演唱后 的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是 9.64 分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数 的平均分是 9.60 分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是 9.68 分. 请问：所有裁判 员所给分数中的最低分最少可以是多少？这时，大奖赛的裁判员共有多少名？第 11 讲 几何图形剪拼 内容概述 与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼 办法. 典型问题 兴趣篇 1. 如图 11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图 11-2，ABCDEF 是正六边形，O 是它的中心，画出线段 PQ 后，就把正六边形 ABCDEF 分成了 两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出 3 条线段，把正六边形分成 6 个形状、大小都相同的图形？能 否画出几条线段，把正六边形分成 3 个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成 3 个形状、大小都相同的五边形？3. 如图 11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把 纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？42 / 1044. 请把图 11-4 中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图 11-5 沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图 11-6， 三角形和六角星的每条边长都相等， 那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出 来.7. 如图 11-7， 左图是由五个相同大小的小正方形拼成的， 右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图 11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形. （1）如果要求两种小正方形一共有 6 个，应该怎么分？ （2）如果要求两种小正方形一共有 7 个，应该怎么分？9. 如图 11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下： （1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？ （2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图 11-10 是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇 1. 请在图 11-11 中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分， （如果两个图形通过旋43 / 104转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图 11-12 沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图 11-13 分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出 4 种不同的分法.4.如图 11-14， 从一张边长为 7 厘米的正方形纸片中， 最多能裁出多少个长 4 厘米、 1 厘米的长方形纸条？ 宽 请画图说明剪裁方法.5. 将图 11-15 分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有 A、B、C、D.6. 将边长分别为 3 厘米和 4 厘米的两个正方形切割成四块， 然后将它们拼成一个边长是 5 厘米的大正方形， 请在图 11-16 中画出切割线和拼接线.7. 请将图 11-17 剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图 11-18 分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割 线，并画出正方形的拼接图.9. 图 11-19 中长方形的长和宽分别是 9 厘米和 4 厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.44 / 10410. 有一张长方形纸片，按图 11-20 所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的 边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为 4 厘米、宽为 3 厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方 形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为 1、2、3、4 的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为 5 的大正方形，那么最少需要纸 片多少张？请画出具体的拼法. 超越篇 1. 将图 11-21 沿格线分割成大小、形状完全相同的四个部分，你能想出几种方法？（如果两个图形通过旋 转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 如图 11-22，长方形的长和宽分别是 25 厘米和 16 厘米. 请把这个长方形剪成两块，再拼成一个正方形.3. 图 11-23 的左图是一块 25×49（单位：厘米）的长方形纸片，现在要沿虚线将它分成三块，再拼成右图 所示的边长为 35 厘米的正方形纸片. 请用实线标明剪切和拼接的方法，在这里，虚线划分成的小长方形的 大小均为 5×7 （单位：厘米）.4.将图 11-24 沿格线分割成七个形状不同的长方形（包含正方形） ，请在图中用实线标出分割线.45 / 1045. 图 11-25 是由 5 个小正方形组成的一个“十字架”. 请将它剪成若干块，然后拼成一个大正方形.6. 如图 11-26，一个大长方形左上角缺少一个 2×3 的小长方形. 请把这个图形分成三部分，再拼成一个正 方形.7. 有一个大正方形，现在要把它分割为 12 个小正方形，那么： （1）要形成 2 种面积不同的小正方形，可以如何分割？ （2）要形成 3 种面积不同的小正方形，可以如何分割？ （3）要形成 4 种面积不同的小正方形，可以如何分割？8.请画出一个三角形，并把它分成大小形状都完全相同的 5 个小三角形. 如果要分为完全相同的 13 个小三 角形，该如何画？ 第 12 讲 复杂竖式 内容概述 需要较强推理能力的竖式问题．学会运用奇偶分析、整体分析、分粪讨论等技巧性较高的方法． 典型问题 兴趣篇 1．图 12-1 是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．请把竖式用数字 表示出来．2．在图 12-2 中的各个方框内填人恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的 5 个数字从上向下看，恰 好是图 12-3 中顺时针次序的连续 5 个数字，十位上的 5 个数字也有这样的性质．请问：竖式中计算的结果 是多少?46 / 1043. 请把 1 至 9 这 9 个数字填在图 12-4 的方框中（其中有 3 个数字已经填好） ，使得加法和乘法这两个算式 都成立.4. 图 12-5 是一个乘法竖式，请在其中的 10 个方框内分别填入 0 至 9 这 10 个数字，使得竖式成立.5.如图 12-6， 在乘法竖式的每个方框中填入一个数字， 使其成为正确的竖式， 那么所得的乘积应该是多少？6. 如图 12-7， 在乘法竖式的每个方框中填入一个数字， 使其成为正确的竖式， 那么所得的乘积应该是多少？ 7. 在图 12-8 的方框内填入恰当的数字， 可以得到一个正确的乘法竖式. 已知这样的填法有两种， 这两种填 法所得到的两个不同的乘积相差多少？8. 在图 12-9 的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案. 9. 请把图 12-10 中的除法竖式补充完整.47 / 10410. 请把图 12-11 中的除法竖式补充完整. 这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？ 拓展篇 1. 在图 12-12 中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 已知个位向十 位的进位为 2，且 E 是奇数，则 A、B、C、D 分别代表什么数字？2. 在图 12-13 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请给出两种使竖式成立的填法.3. 在图 12-14 所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的 字母代表不同的数字，请问：A、B、C、D 各代表什么数字？4. 在图 12-15 所示的乘法竖式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的 汉字代表不同的数字. 请问：这个乘法算式最后的乘积是多少？5. 图 12-16 是一个乘法竖式，其中的每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同 的汉字代表不同的数字. 试问：当算式成立时， 巴西法国争夺冠军 ”所代表的八位数是多少？ “6. 如图 12-17，请把这个乘法竖式补充完整.7. 如图 12-18，请把这个乘法竖式补充完整.48 / 1048. 请把图 12-19 中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？（注意本题有小数点）9. 在如图 12-20 所示的除法竖式中，在各个方框里填入适当的数字后可使竖式成立，那么在这 15 个方框 中填入的数字最多能有多少个是偶数？49 / 10410. 在图 12-21 的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请问：被除数DEFGF 是多少？11. 请把图 12-22 中的除法竖式补充完整.12. 请在图 12-23 中的每个方框内填入恰当的数字，使得除法竖式成立.超越篇 1.在图 12-24 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，这个算式的结果 是多少？2.在图 12-25 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请问： money 所 代表的五位数最多是多少？3. 在图 12-26 的乘法竖式中，a、b、c、d、e 分别代表不同的数字，且 a+b+c=e. 请问 adde ：所代表的四 位数是多少？4. 请把图 12-27 中的除法竖式补充完整.50 / 1045. 在图 12-28 的竖式中， “奇”代表奇数， “偶”代表偶数，请把竖式补充完整.6. 在图 12-29 的方框内填入适当的数字，使下面的小数除法竖式成立.7. 电子数字 0 至 9 如图 12-30 所示，图 12-31 是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模湖不清. 请 将图 12-31 中的电子数字恢复，并将它写成横式：8. 请将图 12-32 中的除法竖式补充完整.51 / 104第 13 讲 横式问题 内容概述 横式中的填空格和字母破译问题，熟练应用尾数分析、首位估算、分情况试算等方法；对于较复杂的题目， 一般从约束条件较多、可能性较少的算式入手；某些横式问题，可以转化为竖式问题求解. 典型问题 兴趣篇 1. 请在下面两个算式的方框中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称. (1) 12×23□=□32×21； （2）□8×891=198×8□. 2. 在算式□17×2□=3□□3 的方框中填入适当的数字，使得等式成立.3.在“□，□8，□97”的三个方框内分别填入恰当的数字，可以使这 3 个数的平均数是 150，那么填入的 3 个数字的和是多少？4.在算式 3×□□=□□□的 5 个方框中，分别填入 0、1、2、3、4 这 5 个数字，使等式成立. 请问：得到 的乘积是多少？5. 在下面这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请把算式用数字表示出来.USA ? USSR ? PEACE6. 在算式 ABA ? ABA ? CCDCC 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请问： “ ABC D ”所代表的四位数是什么？7. 将 1 至 9 这 9 个数字分别填入下面三个算式的方框中（每个数字只能用一次） ，使得各个等式都成立.8. 下面两个算式是由 1 至 9 这 9 个数字组成的，其中数字 5 已经填好，请将其余的数字填入方框中，使得 各等式成立.9. 将 0、1、2、3、4、5、7 这 7 个数字分别填入算式□□+□=□×□=□□的 7 个方框内（每个数字只能 用一次） ，使得等式成立.52 / 10410. 在算式 小山羊 × × =2000 中， “小”“山”“羊”各代表一个不同的数字，那么 、 、 小羊 小 山 × × “ 小山羊 ”所代表的三位数是什么？ + 拓展篇 1. 请在下面两个算式的方框中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称. （1）12×46□=□64×21； （2）□3××3□.2. 在算式 6□□4÷56=□0□的每个方框中填入一个恰当的数字，使得等式成立.3.在算式 1□□+1□□+1□□+1□□=□□4 的每个方框内填入同一个数字，使得等式成立. 所填的数字是 多少？4. 满足等式□□□□×□=8888□的被乘数是多少？5. 等式巨人 54=39×学校 6 是由 1 至 9 这 9 个数字组成的，其中有 5 个数字已经填好. 请问： “巨人学校” 所代表的四位数是多少？6. 在乘法算式 ABC ? ABC ? ABDBD 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请 问：最后的乘积是多少？7. 将 1 至 9 这 9 个数字分别填入下面四个算式的方框中（每个数字只能用一次） ，使得四个等式都成立.8. 将 1 至 7 这 7 个数字分别填入算式□×□=□÷□=□+□－□的方框中（每个数字只能用一次） ，使得 等式成立.9. 将 0、1、2、3、4、5、6 这 7 个数字进行适当组合后填入算式○×○=□=○÷○的圆圈和方框中，每个53 / 104数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式. 请问：填在方框内的数是多少？ 10. 将 1 至 9 这 9 个数字填入算式□+□=□□□÷□□□+1=6－□的方框中（每个数字只能用一次） ，使 等式成立. 请问：除法算式中的被除数是多少？11. 在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“迎+春+杯”等 于多少？12. 在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么 的四位数是什么？所代表超越篇 1. 算式 59+□□□÷□1=□7 是由 1 至 9 这 9 个数字组成的，其中 1、5、7、9 已经填好，请把其余的数字 填入方框中，使得等式成立.2. 请将 2、3、4、5、6、7、8、9 这 8 个数字分别填入算式（□+□+□+□）÷（□+□+□）=□的方框中， 使得等式成立.3.算式□×□=9□□÷5□=□□是由 1 至 9 这 9 个数字组成的，其中 5，9 已经填好，请将其余的数字填入 方框中，使得等式成立.4.在算式 12345÷□□=□99?7 的方框内填入适当的数字后，可以使其成为正确的等式. 求其中的除数.5. 算式 × +细= × 是由 1、2、3、4 这 4 个数字组成的，且相同的汉字代表相同的数 字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ ”所代表的四位数是多少？6. 已知 A、B、C、D、E、F、G、H、L、K 分别代表 0 至 9 中的不同数字，且有下列 4 个等式成立；D ? E ? L ? F , E ? E ? HE , C ? K ? G , H ? H ? ? ? H ? B ，求 A+C7. 请将 1 至 9 这 9 个数字填入算式□□×□÷□=□□□－□－□的方框内，每个数字只填一次，要求等 号左边 4 个方框填偶数数字，右边 5 个方框填奇数数字，使等式成立. 8.在乘法算式“ ABCBD ? ABCBD ? CCCBCCBBCB ”中，相同的字母表示相同数字，不同的字母表示54 / 104不同的数字，已知 A=8，求 B+C+D 的值.第 14 讲 行程问题二 内容概述 参与运动的某些对象自身具有长度的行程问题．涉及多个对象的行程问题，一般需要从其中两个对象 入手进行分析，并把所得的结论与其他对象联系起来． 1． (1)费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走 60 米，迎面开过来一列长 300 米的火车．从火 车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了 20 秒．求火车的速度． (2)小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒 2 米．这时从小悦背后开来一列火车， 从车头追上她到车尾离开她共用了 18 秒．已知火车速度是每秒 17 米，求火车的长度．2． (1)一列火车长 180 米，每秒行 20 米，这列火车通过 320 米的大桥，需要多长时间? (2)一列火车以每秒 20 米的速度通过一座长 200 米的大桥，共用 21 秒，这列火车长多少米?3．一列火车长 180 米，每秒行 20 米；另一列火车长 200 米，每秒行 18 米．两车相向而行，它们从车头 相遇到车尾相离要经过多长时间?4. 甲火车长 370 米，每秒行 15 米；乙火车长 350 米，每秒行 21 米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完 全超过甲车需要多长时间？5．许三多所在的钢七连队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进．许三多以每秒 3 米的速度从队尾跑到队 头需要多长时间?然后从队头返回队尾，又需要多长时间?6．甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 60 千米．坐在甲车上的小坤从乙车 车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用 13 秒, 问：乙车全长多少米?7． 现有两列火车同时同方向齐头行进， 快车每秒行 18 米， 慢车每秒行 10 米， 12 秒后快车超过慢车． 行 如 果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则 9 秒后快车超过慢车．请问：快车和慢车的车长分别是多少 米? 8． 有甲、 丙三人， 乙、 甲每分钟走 40 米， 乙每分钟走 50 米， 丙每分钟走 60 米. A、 两地相距 2700 米． B 甲、 乙两人从 A、B 两地同时出发相向而行，他们出发 15 分钟后，丙从 B 地出发去追赶乙．请问：甲在与乙55 / 104相遇之后多少分钟又与丙相遇?又过了多少分钟丙才追上乙?9．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 50 米，丙每分钟走 40 米. 如果甲从 A 地，乙和丙 从 B 地，三人同时出发相向而行．甲和乙相遇后，过了 15 分钟又与丙相遇．求 A、B 两地的距离．10．东、西两城相距 75 千米．小明从东向西走，每小时走 6.5 千米；小强从西向东走，每小时走 6 千米； 小辉骑自行车从东向西走，每小时行 15 千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了 小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，??这样往返，直到三人在途中相遇为止．请问：小辉共 骑了多少千米?拓展篇 1． (1)一列火车长 400 米，以每分钟 800 米的速度通过一条长 2800 米的隧道，需要多长时间?(2)一列火车长 720 米，每秒行驶 15 米，全车通过一个山洞用了 64 秒．这个山洞长多少米?2．一列火车通过一座长 1000 米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用 120 秒，而火车完全在桥上的 时间是 80 秒．你知道火车有多长吗?它的速度是多少?3．有一列客车和一列货车，客车长 400 米，每秒行驶 20 米；货车长 800 米，每秒行驶 10 米．试问：如 果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间?如果两车同向而行，客车赶超货车(从追上到完全超过) 需要多长时间?4．一列客车和一列货车同向而行，货车在前，客车在后．已知客车通过 460 米长的隧道用 30 秒，通过 410 米长的隧道用 28 秒．又已知货车长 160 米，每小时行驶 54 千米．请问：客车从追上到离开这列货车需要 多少秒?5．与铁路平行的一条小路上，有一个行人与一个骑车人同时向南行进，行人速度为每小时 3.6 千米，骑车 人速度为每小时 10.8 千米．这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒钟，通过骑车人 用 26 秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米? 6．人大附小组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒 2 米，宋老师以每秒 4 米的速度从队尾跑到队头， 再回到队尾，共用 6 分钟．请问：队伍的总长是多少米?7．阿奇在一条与铁路平行的小路上行走，有一列客车迎面开来，40 秒后经过阿奇. 如果这列客车从阿奇56 / 104的背后开来，60 秒后经过阿奇．试问：如果阿奇站着不动，客车多长时间可以经过阿奇? 8．一列货车和一列客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小明在客车内沿着客车前 进的方向向前走，小明发现货车用 140 秒就超过了他．已知小明在客车内行走的速度为每秒 l 米，客车的 速度为每秒 20 米，客车长 350 米，货车长 280 米．求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间． 9．甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时 52 千米和每小时 40 千米，两车同时从 A 地出发到 B 地去，出发 6 小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了 1 小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速 度是多少?10．甲、乙两人同时从 A 地出发向 B 地前进，甲骑车，乙步行．与此同时，丙从 B 地出发向 A 地前进．甲 骑 9 千米后与丙相遇，而乙走 6 千米后就与丙相遇．如果甲骑车的速度是乙步行速度的 3 倍，求 A、B 两 地的距离．11．甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍．现在甲从 A 地 向 B 地行进，乙、丙两人从 B 地向 A 地行进．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车．途中，当 甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车 给乙骑，自己又重新改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：三人之中谁最先到达目的地?谁最 后到达目的地?12．A、B 两城相距 56 千米，甲、乙、丙三人分别以每小时 6 千米、5 千米、4 千米的速度前进．甲、乙 两人从 A 城，丙从 B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点?超越篇 1．米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：00 货车追上了米老鼠，又过了 30 秒，货车超过了它； ’另有一列客车迎面驶来，9：30 客车和米老鼠相遇，又过了 12 秒客车离开了它．如 果客车的长度是货车的 2 倍，客车的速度是货车的 3 倍．请问：客车和货车什么时间相遇?两车错车需要 多长时间? 2．货车和客车相向而行，两车在 A 点迎面相遇，在 B 点错开，A 点和 B 两点之间的距离为 150 米．已知 客车的长度为 450 米，速度为每小时 108 公里，货车的速度为每小时 72 公里．如果货车比客车长，那么 货车的长度是多少?3．铁路旁有一条小路，一列长 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去．14 时 10 分追上向北 行走的一位工人， 秒后离开这个工人； 时 16 分迎面遇到一个向南走的学生， 秒后离开这个学生． 15 14 12 请 问：工人与学生将在何时相遇?4．A、B 两地相距 120 千米，甲、乙两人分别骑车从 A、B 两地同时相向出发，甲速度为每小时 50 千米，57 / 104出发后 1 小时 30 分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇 6 分钟后，甲与迎面骑 车而来的丙相遇，而丙在 c 地追上乙．若甲以每小时 44 千米的速度，乙以每小时比原速度快 6 千米的车 速，两人同时分别从 A、B 出发相向而行，则甲、乙二人在 C 点相遇，问丙的车速是多少? 5．快、中、慢三辆车同时从甲地出发追赶前方的骑车人，分别用 6 分钟、12 分钟、20 分钟追上，已知快 车每小时行 24 千米，中车每小时行 20 千米，求慢车每小时行多少千米． 6．快、中、慢三辆车同时从甲地出发开往乙地，与此同时冬冬以每分钟 100 米的速度沿公路走向甲地．已 知快车出发 30 分钟后在途中遇上冬冬， 中车出发 35 分钟后遇上冬冬． 三辆车到达乙地的时候分别用了 100 分钟、120 分钟、150 分钟．请问：慢车出发多长时间后可以遇上冬冬?7. 铁路旁的一条平行小路上， 有一行人与一骑车人早上同时从 A 城出发向南前进， 行人速度为每小时 7． 2 千米，骑车人速度为每小时 18 千米．途中，有一列火车从他们背后开过来，9 点 10 分恰好追上行人，而 且从行人身边通过用了 20 秒钟；9 点 18 分恰好追上骑车人，从骑车人身边通过用 26 秒钟．请问：这列火 车的车身总长是多少米?行人与骑车人早上何时从 A 城出发?他们出发时，火车头离 A 城还有多少千米?8. 铁路货运调度站有 A、B 两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车，它们的车长正好构成一个等 差数列，其中乙车的车长居中. 最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于 A 信号灯处，而车 头则冲着 B 信号灯的方向，乙车的车尾则位于 B 信号灯处，车头则冲着 A 的方向. 现在，三列火车同时出 发向前行驶，10 秒之后三列火车的车头恰好相遇. 再过 15 秒，甲车恰好完全超过丙车，而丙车也正好完 全和乙车错开. 请问：甲、乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？第 15 讲 加法原理与乘法原理 内容概述 理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类 与分步；学习用标数法解决各类路径问题． 1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有 9 个，西餐厅有 3 个，日式餐厅有 2 个．他准备找一家餐厅吃饭， 一共有多少种不同的选择?2．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有 3 种，热菜有 20 种．他打算主食和热菜各买 1 种，一共有多少种 不同的买法?3．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有 多少种不同的写法? 4．传说地球上有 7 颗不同的龙珠，如果找齐这 7 颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪 恶的沙鲁找到了这 7 颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇 见神龙?58 / 1045．用红、黄、蓝三种颜色给图 15-1 的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的}