这个切向量相乘公式的公式是什么意思？怎么还是偏二元？
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时间：2018-05-13 08:55
隐式给出的平面曲线的法向量公式是什么？_百度知道
隐式给出的平面曲线的法向量公式是什么？
比如，F（x，y）=0表示平面上的某曲线，点P（x0，y0）是该曲线上的任一点，那么这个曲线在P点的法向量和切向量分别是什么？
我有更好的答案
这个曲线在P点的切向量是:(1，dy/dx)这个曲线在P点的法向量是:(1，-1/(dy/dx))dy/dx可以从F（x，y）=0中用隐函数求导求得,.求导以后,代入P点坐标(X0,Y0).，然后解出dy/dx,，dy/dx也就是Y在X=X0处的导数值.法向量和切向量垂直.------------------------------------------数学辅导团琴生贝努里为你解答。
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第8章 多元函数微分学及其应用
第 8 章 多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数．而在实际问题 中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数． 多元函数是一元函数的推广．它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有 许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别 之处在学习中要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数 的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去．§1 多元函数的极限与连续一、平面点集与 n 维空间 平面点集与一元函数的定义域是实数轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集．因 此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念． 1．平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点 P 与二元有 序实数组 ( x, y ) 之间就建立了一一对应．于是，我们常把二元有序实数组 ( x, y ) 与平面上 的点 P 看作是等同的．这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 坐标平面． 坐标平面 二元有序实数组 ( x, y ) 的全体，即 R2= {( x, y ) x, y ∈ R} 就表示坐标平面．坐标平面上满足某种条件 C 的点的集合，称为平面点集 平面点集，记作 平面点集E = {( x, y ) ( x, y ) 满足条件 C} ． 例如，平面上以原点为中心， r 为半径的圆内所有点的集合是 E = {( x, y ) x 2 + y 2 & r 2 } ．现在，我们引入平面中邻域的概念． 设 P0 ( x0 , y0 ) 是平面上一点， 是一正数． δ 与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于 δ 的点 P ( x, y ) 的 全体，称为点 P 的 δ 邻域 点 0 邻域，记为 U ( P0 , δ ) 或 U ( P0 ) ，即U ( P0 , δ ) = {P P0 P & δ } = {( x, y ) ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y0 )2 & δ } ．不包含点 P 在内的邻域称为点 P 的空心 δ 邻域 邻域，记为 U 点 0 042o( P0 , δ ) 或 U o ( P0 ) ，即 U o ( P0 , δ ) = {P 0& P0 P & δ } = {( x, y ) 0 & ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y0 ) 2 & δ } ．在几何上，邻域 U ( P0 , δ ) 就是平面上以点 P0 ( x0 , y0 ) 为中心， δ 为半径的圆的内部 的点 P ( x, y ) 的全体． 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系． 任意一点 P ∈ R 与任意一个点集 E2? R 2 之间必有以下三种关系之一：（1）内点 内点：若存在点 P 的某个邻域 U ( P ) ，使得 U ( P) ? E ，则称点 P 是点集 E 的 内点 内点（见图 8-1） ． 内点 （2）外点 外点：如果存在点 P 的某个邻域 U ( P ) ，使得 U ( P) I E = ? ，则称点 P 是点 外点 集 E 的外点（见图 8-2） ． 外 （3）边界点 边界点：如果在点 P 的任何邻域内既含有属于 E 的点，又含有不属于 E 的点， 边界点 边界点（见图 8-3） E 的边界点的全体称为 E 的边界 ． 边界,记作 ?E ． 则称点 P 是点集 E 的边界点 边界点 边界PE图 8-1PE图 8-2PE图 8-3E 的内点必定属于 E ； E 的外点必定不属于 E ； E 的边界点可能属于 E ，也可能 不属于 E ． 点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点．聚点： 聚点 若点 P 的任何空心邻域 Uo( P0 ) 内总有 E 中的点，则称 P 为点集 E 的聚点 聚 聚点． 聚点点本身可能属于 E 也可能不属于 E ． 显然， E 的内点一定是 E 的聚点， E 的外点一定不是 E 的聚点． 例如，点集 D 点；满足 x2= {( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 & 4} ，满足1 & x 2 + y 2 & 4 的一切点是 D 的内+ y 2 = 1 的一切点是 D 的边界点，它们都属于 D ；满足 x 2 + y 2 = 4 的点也是 D 的边界点，但它们不属于 D ；点集 D 连同它的外圆边界上的点都是 D 的聚点． 根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集． 开集：如果点集 E 的点都是 E 的内点，则称 E 为开集 开集． 开集 开集43 闭集：如果点集 E 的所有聚点都属于 E ，则称 E 为闭集． 闭集 闭 例如，集合 {( x, y ) 1 & 而集合 {( x, y ) 1 ≤x 2 + y 2 & 4} 是开集；集合 {( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} 是闭集；x 2 + y 2 & 4} 既非开集，也非闭集．此外，还约定全平面 R 2 和空集 ?既是开集又是闭集． 连通集：若点集 E 中任意两点都可以用完全含于 E 的有限条直线段所组成的折线相 连通集 连接，则称 E 是连通集． 连通集 连通 区域（开区域） ：连通的开集称为区域或开区域 区域或开区域． 区域（开区域） 区域或开区域 闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域 闭区域． 闭区域 闭区域 例如， {( x, y ) 1 &x 2 + y 2 & 4} 是区域； {( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} 是闭区域．有界集： 有界集 对于点集 E ， 如果能包含在以原点为中心的某个圆内， 则称 E 是有界点集 否 有界点集． 有界点集 则称为无界点集 无界点集． 无界点集 例如 {( x, y ) 2． n 维空间 称 n 元有序实数组 ( x1 , x2 ,L xn ) 的全体为 n 维空间 维空间，记为x 2 + y 2 ≤ 1} 是有界闭区域，而 {( x, y ) x 2 + y 2 & 1} 是无界的开区域．R n = {( x1 , x2 ,L , xn ) xi ∈ R, i = 1, 2,L , n} ． R n 中的每个元素 ( x1 , x2 ,L, xn ) 称为 n 维空间中的一个点， xi 称为该点的第 i 个坐标 维空间中的一个点 第 个坐标．设点 M ( x1 , x2 ,L, xn ) ， N ( y1 , y2 ,L, yn ) 为 R 中的两点，我们规定 M ， N 两点 间的距离为nMN = ( y1 ? x1 ) 2 + ( y2 ? x2 ) 2 + L + ( yn ? xn ) 2 ．显然，当 n= 1, 2,3 时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式．n有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到 R 中去．设P0 ∈ R n ， δ 是一正数，那么 R n 中的点集 U ( P0 , δ ) = {P P0 P & δ , P ∈ R n }就称为点 P 的 δ 邻域． 0 有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、区44 域等概念推广到 n 维空间去．二、二元函数的概念1．二元函数的概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一个变量依赖于多个变量的关系，下面 先看几个例子． 例 1 正圆锥体的体积 V 和它的高 h 及底面半径 r 之间有关系 V1 = π r 2h ． r 和 h 当 3在集合 {( r , h) 值与之对应．1 r & 0, h & 0} 内取定一组数时，通过关系式 V = π r 2 h ，V 有唯一确定的 3 RT ，其 V例 2 一定量的理想气体的压强 P 、体积 V 和绝对温度 T 之间有关系 P 中 R 为常数．当 V 、 T 在集合 {(V , T ) V=& 0, T & 0} 内取定一组数时，通过关系式P=RT ， P 有唯一确定的值与之对应． V上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间 存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这 个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对 应．由这些共性便可得到以下二元函数的定义． 定义 1 设 D 是平面上的一个点集，如果对于 D 内任意一点 P ( x, y ) ，变量 z 按照某 一对应法则 f 总有唯一确定的值与之对应，则称 z 是变量 x 、 y 的二元函数 二元函数（或称 z 是点 二元函数P 的函数） ，记作z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D或z = f ( P ), P ∈ D ．其中点集 D 称为函数的定义域 x ，y 称为自变量 z 也称为因变量 数集 {z 定义域， 自变量， 因变量， 定义域 自变量 因变量z = f ( x, y ),( x, y ) ∈ D} 称为该函数的值域． z 是 x ， y 的函数也可记为 z = z ( x, y ) ．按照定义，在例 1 和例 2 中， V 是 h 和 r 的函数， P 是 V 和 T 的函数，它们的定义 域由实际问题来确定．当二元函数仅用算式表示而未注明定义域时，约定其定义域为使算45 式有意义的点的集合． 例 3 求下列函数的定义域． （1） z = ln( x + y ) ； （2） z = arcsin( x + y ) ．2 2解 （1）要使 ln( x + y ) 有意义，必须有 x + 所以定义域为y & 0，{( x, y ) x + y & 0} ．（见图 8-4） ，这是一个无界开区域． （2）要使 arcsin( x 2 + y 2 ) 有意义，必须有 x 2 + y 2 ≤ 1 ， 所以定义域为{( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1} ．（见图 8-5） ，这是一个有界闭区域．设二元函数 z = f ( x, y ) 的定义域为 D ， 对任一点 ( x, y ) ∈ D ， 必有唯一的 z = f ( x, y ) 与之对应．这样，以 x 为横坐标， y 为纵坐标， z = f ( x, y ) 为竖坐标在空间就确定一个点P ( x, y, z ) ．当 ( x, y ) 取遍 D 上一切点时，相应地得到一个空间点集 {( x, y , z ) z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D} ，这个点集称为二元函数 z = f ( x, y ) 的图形 二元函数 的图形（见图 8-6） ．通常 z = f ( x, y ) 的图形是一张曲 面，函数 f ( x, y ) 的定义域 D 便是该曲面在 xOy 面上的投影． 例如， 由空间解析几何知道，z462 2 = 2 x + 5 y 的图形是一张平面， 而函数 z = x + y 的 图形是旋转抛物面． 2． n 元函数的概念 如果对于 E 中任意一点 P( x1, x2 ,L, xn ) ， 变量 u 按 定义 2 设 E 是 R 中的一个点集， 元函数，记作 照某一对应法则 f 总有唯一确定的值与之对应，则称 u 是定义在 E 上的 n 元函数nu = f ( x1 , x2 , L , xn ), ( x1 , x2 , L , xn ) ∈ E ，或u = f ( P), P ∈ E ．点集 E 称为函数的定义域 定义域，数集 {u 定义域 该函数的值域． 在定义 2 中，分别令 n = 2 和 n 元以上的函数统称为多元函数．u = f ( x1 , x2 ,L, xn ),( x1 , x2 ,L, xn ) ∈ E} 称为= 3 ，便得到二元函数和三元函数的定义，二元及二三、二元函数的极限设二元函数 z = f ( x, y ) 定义在平面点集 D 上， P0 ( x0 , y0 ) 为点集 D 的聚点，我们来 讨论当点 P ( x, y ) → 这里 P ( x, y ) → 距离趋于零，也就是P0 ( x0 , y0 ) ，即点 x → x0 ， y → y0 时函数 z = f ( x, y ) 的极限． P0 ( x0 , y0 ) 是指点 P 以任意的方式趋于 P0 ， 亦即两点 P 与 P 之间的 0 P0 P = ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y0 ) 2 → 0 ．与一元函数的极限概念类似，如果在 P ( x, y ) → 应的函数值P0 ( x0 , y0 ) 的过程中， P ( x, y ) 所对f ( x, y ) 无限接近于一个常数 A ，则称当 P ( x, y ) → P0 ( x0 , y0 ) 时，函数z = f ( x, y ) 以 A 为极限．下面用“ ε ? δ ”语言来描述这个极限的概念．定义 3 设二元函数 z = f ( x, y ) 的定义域为 D ， P0 ( x0 , y0 ) 是 D 的聚点， A 是一个 常数．如果对于任意给定的正数 ε ，总存在正数 δ ，使得当 P( x, y) ∈U 恒有o( P0 ,δ ) I D 时，f ( P ) ? A = f ( x, y ) ? A & ε47 成立，则称当 P ( x, y ) →P0 ( x0 , y0 ) 时函数 z = f ( x, y ) 以 A 为极限 为极限，记为 函 f ( x, y ) = A 或 lim f ( x, y ) = A ，x → x0 y → y0( x , y ) →( x0 , y0 )lim也记作P → P0lim f ( P) = A ．二元函数的极限也称为二重极限 二重极限． 二重极限 例4 设f ( x, y ) = sin x 2 + y 2 ，证明( x , y ) →(0,0)limf ( x, y ) = 0 ．证 这里函数f ( x, y ) 的定义域是 D = R 2 ，点 O(0,0) 显然为 D 的聚点．由于f ( x, y ) ? 0 = sin x 2 + y 2 ? 0 ≤ x 2 + y 2 ，可见，对任意给定的 ε& 0 ，取 δ = ε ，则当0 & ( x ? 0) 2 + ( y ? 0) 2 & δ ，即 P( x, y) ∈Uo(O,δ ) I D 时，恒有f ( x, y ) ? 0 ≤ x 2 + y 2 & ε ，成立，根据二元函数极限的定义，证得( x , y ) →(0,0)limf ( x, y ) = 0 ．我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 P ( x, y ) 以任何方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时，函 数 数f ( x, y ) 都无限接近于同一个常数 A ．因此，当 P 以某种特殊方式趋近于 P0 ，即使函 f ( x, y ) 无限接近于某一常数，也不能断定二重极限存在．但当 P 以某种特殊方式趋近于 P0 时， 函数f (x, y) 的极限不存在， 或者当 P 沿两个特殊方式趋近于 P0 时， 函数 f ( x, y)xy 当 ( x, y ) → (0,0) 时是否存在极限． x + y22分别无限接近于两个不同的常数，则可以断定二重极限不存在． 例 5 讨论f ( x, y ) =解 当点 ( x, y ) 沿着直线 y= kx 趋于 (0,0) 时，有48 xy kx 2 k = lim 2 = ． ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2 x →0 x + k 2 x 2 1+ k2 y = kx lim这与极限定义中当 P ( x, y ) 以任何方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时， 函数 其值因 k 而异，f ( x, y ) 都 xy x + y22无限接近于同一个常数 A 的要求相违背，因此当 ( x, y ) → (0,0) 时， f ( x, y ) = 的极限不存在． 以上关于二元函数极限的有关描述，可相应地推广到一般的 n 元函数 u= f ( P) 即u = f ( x1 , x2 , L , xn ) 上去．多元函数极限的性质和运算法则与一元函数相仿，这里不再重复． 例6 求( x , y ) →(0,0)lim ( x + y )sin1 ． x2 + y 2 1 ≤ 1 ，利用有界函数与无穷小的乘积 x + y22解 因为( x , y ) →(0,0)lim ( x + y ) = 0 ，而 sin是无穷小，即知( x , y ) →(0,0)lim ( x + y )sin1 =0． x + y22sin( x 2 + y 2 ) lim ． 例7 ( x , y ) →(0,0) x2 + y 2解 利用变量替换．令 u= x 2 + y 2 ，当 ( x, y ) → (0,0) 时，有 u → 0 ，因此sin( x 2 + y 2 ) sin u = lim = 1． 2 2 ( x , y ) →(0,0) u →0 x +y u limx2 y ． 例 8 求 lim ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2令 解 利用极坐标变换． x 因此= r cos θ ，y = r sin θ ， ( x, y ) → (0,0) 时， r → 0 ， 当 有49 x2 y r 3 cos 2 θ sin θ = lim = lim r cos 2 θ sin θ = 0 ． 2 ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2 r →0 r →0 r lim四、二元函数的连续有了二元函数极限的概念，仿照一元函数连续性的定义，不难得出二元函数连续性的 定义．P 且 定义 4 设二元函数 z = f ( x, y ) 的定义域为 D ， 0 ( x0 , y0 ) 是 D 的聚点， P0 ∈ D ，如果( x , y ) →( x0 , y0 )limf ( x, y ) = f ( x0 , y0 )（1）则称二元函数 z = f ( x, y ) 在 P 点连续 二元函数 0 点连续． 若记 ?x= x ? x0 ， ?y = y ? y0 ，则称 ?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )为函数f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的全增量 全增量．和一元函数一样，可用增量的形式来描述连续 全增量 lim?z =性，即当( ?x , ?y ) →(0,0) ( ?x , ?y ) →(0,0)limf ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = 0时，f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续．若函数 f ( x, y ) 在 D 上每一点都连续， 则称 f ( x, y ) 在 D 上连续， 上连续， 或称 f ( x, y ) 是 D 上的连续函数． 的连续函数． 间断点． 若 f ( x, y ) 在 P 点不连续，则称 P 是函数 f ( x, y ) 的间断点 间断点 0 0 当函数 f ( x, y ) 在 P 点没有定义；或虽有定义，但当 P 0→ P0 时函数 f ( x, y ) 的极限不存在；或极限虽存在，但极限值不等于该点处的函数值，则 P 都是函数 f ( x, y ) 的间断 0 点．例如，考察函数? xy 0) ， ( x，y ) ≠ (0，， ? f ( x，y ) = ? x 2 + y 2 ?0， ( x，y ) = (0， 0). ?50 例 5 中已说明，( x , y ) → (0,0)limxy 不存在，所以点 (0， 是函数 f ( x，y ) 的间断点． 0) x + y22再如函数 f ( x，y ) =x? y 2 2 在曲线 x = y 上每一点处都没有定义，所以曲线 x = y 2 x? y上每一点都是该函数的间断点． 根据极限的运算法则和多元函数连续性的定义， 不难证明多元连续函数的和、 差、 积、 商（分母不等于零）也都是连续函数．多元连续函数的复合函数也是连续函数． 与一元初等函数类似，多元初等函数 多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子是 多元初等函数 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到 的．例如 sin( x2+ y 2 ) ， ln( x + y ) 都是多元初等函数．根据连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再利用 基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论： 多元初等函数在其定义区域内是连续的． 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或 闭区域． 由多元初等函数的连续性， 如果需求极限 lim 区域内的一点，则P → P0 P → P0f ( P ) ，而 P0 正是初等函数 f ( P ) 定义lim f ( P) = f ( P0 ) ．例9 求( x , y ) →(1,2)lim ln( x + y ) ． y ) 是多元初等函数，它的定义域解 函数 ln( x +D = {( x, y ) x + y & 0}是一个区域，而点 (1, 2) ∈ D ，所以( x , y ) →(1,2)lim ln( x + y ) = ln(1 + 2) = ln 3 ．例 10 求( x , y ) →(0,0)limxy ． xy + 1 ? 1解( x , y ) →(0,0)limxy ( xy + 1 + 1) xy = lim xy + 1 ? 1 ( x , y )→(0,0) xy + 1 ? 1 =( x , y ) →(0,0)limxy + 1 + 1 = 2.51 以上运算的最后一步用到了二元函数xy + 1 + 1 在点 (0,0) 的连续性．类似于闭区间上一元连续函数的性质，在有界闭区域上的多元连续函数具有以下几个 重要性质： 最大值、最小值定理） 性质 1（最大值、最小值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有最 大值与最小值； 有界性定理） 性质 2（有界性定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有界； 介值定理） 性质 3（介值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，必能取得介于最大值与最小 值之间的任何值．习题 8-11．判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、闭区域、有界集、无界集，并指 出它们的边界和聚点． （1） D= {( x, y ) x ≠ 0, y ≠ 0} ； 2 （2） D = {( x, y ) y & x } ； （3） D = {( x, y ) x + y ≤ 1} ．2．求下列函数的定义域，并作出定义域的草图：（1） z=x2 + y 2 ； x2 ? y 2（2） z= ln x + ln y ；= sin( x 2 + y 2 ) ．（3） z=arcsin(3 ? x 2 ? y 2 ) x? y2；（4） z3．求下列各极限： （1）( x , y ) →(0,0)lim ( x 2 + y 2 )sinx2 + y21 ； x + y22（2）sin( xy ) ； ( x , y ) →(0,2) x lim( x , y ) →(1,0)（3）( x , y ) →(0,0)lim1 + x2 + y2 ?1 xy ； x + y22；（4）limln( x + e y ) x2 + y 2 x+ y ． x? y．4．证明下列极限不存在： （1）( x , y ) →(0,0)lim（2）( x , y ) →(0,0)lim5．求下列函数的间断点：52 （1） sin1 ； x+ y（2） tan( x2+ y2 ) ．偏导数与全微分 §2 偏导数与全微分一、偏导数1．偏导数定义及其计算 在一元函数中，我们通过函数的增量与自变量增量之比的极限引出了导数的概念，这 个比值的极限刻画了函数对于自变量的变化率．对于多元函数同样需要讨论它的变化率， 由于多元函数的自变量多于一个，使得变化率问题变得较为复杂．在这一节里，我们首先 考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，即讨论只有一个自变量变化，而其余自变量 固定不变（视为常量）时函数的变化率． 定义 1 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，当 y 固定在 y0 ，而 x 在x0 处有增量 ?x 时（点（ x0 + ?x, y0 ）仍在该邻域中） ，相应地函数有增量f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ．如果极限?x → 0limf ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ?x存在，则称此极限为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数 函数 的偏导数，记作?z ， ?x ( x0 , y0 )?f ?x， z x ( x0 , y0 ) 或 f x ( x0 , y0 ) ①，即( x0 , y0 )f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ． ?x → 0 ?x 类似地，函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数 的偏导数定义为 函数 f x ( x0 , y0 ) = lim?y → 0（1）limf ( x0 , y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) ， ?y（2）记作?z ?f ， ?y ( x0 , y0 ) ?y， z y ( x0 , y0 ) 或 f y ( x0 , y0 ) ．( x0 , y0 )①偏导数记号 z x ，f x 也常记作 z ′ ， f x′ ． x53 由偏导数的定义可知， 二元函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， 实际上就是把 y 固定在 y0 时， 一元函数 f ( x, y0 ) 在 x0 点的导数df ( x, y0 ) ； f y ( x0 , y0 ) dx x = x0就是一元函数 f ( x0 , y ) 在 y0 点的导数df ( x0 , y ) dy．y = y0如果函数 z = f ( x, y ) 在区域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x 的偏导数都存在， 那么这个偏导 数就是 x ， y 的函数，称它为函数 z = f ( x, y ) 对自变量 x 的偏导函数 的偏导函数，记作?z ?f ， ?x ?xz x 或 f x ( x, y ) ．类似地，可以定义函数 z = f ( x, y ) 对自变量 y 的偏导函数，记作 的偏导函数?z ?f ， ， zy 或 ?y ?yf y ( x, y ) ．偏导函数也简称为偏导数．显然函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是偏导函数 f x ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的函数值； f y ( x0 , y0 ) 就是偏导函数 f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的函数值． 至于实际求 z = f ( x, y ) 的偏导数，并不需要用新的方法，因为偏导数的实质就是把 一个自变量固定， 而将二元函数 z = f ( x, y ) 看成是另一个自变量的一元函数的导数． 计算?f ?f 时，只要把 y 看作常数，而对 x 求导数；类似地，计算 时，只要把 x 看作常数，而 ?x ?y对 y 求导数． 二元以上的函数的偏导数可类似定义． 例如三元函数 u = f ( x, y , z ) 在点 ( x, y , z ) 处对x 的偏导数可定义为f x ( x, y, z ) = lim?x → 0f ( x + ?x, y, z ) ? f ( x, y, z ) ?x其中 ( x, y , z ) 是函数 u = f ( x, y , z ) 的定义域的内点． 求二元以上函数对某个自变量的偏导数也只需把其余自变量都看作常数而对该自变 量求导即可． 例 1 求二元函数 z = arctany 的偏导数． x解 对 x 求偏导数时，把 y 看作常数，则54 ?z = ?xy ? y ? ； ?? ? 2 ? = ? 2 x + y2 ? y? ? x ? 1+ ? ? ?x? 12对 y 求偏导数时，把 x 看作常数，则?z = ?y1 ? y? 1+ ? ? ? x?3 2?1 x = 2 ． x x + y2例 2 设 f ( x, y ) = x + 2 x y ? y ，求 f x (1,3) ， f y (1, 3) ．3 2先求出偏导函数 f x ( x, y ) 和 f y ( x, y ) ， 再求偏导函数在点 (1,3) 的函数值． 解 方法一：f x ( x, y ) = 3 x 2 + 4 xy ，f y ( x, y ) = 2 x 2 ? 3 y 2 ，所以f x (1,3) = 15 ， f y (1, 3) = ?25 ．方法二：将 f x (1,3) 转化为当 y = 3 时，计算一元函数 f ( x, 3) 在 x = 1 处的导数，f ( x, 3) = x3 + 6 x 2 ? 27 ，所以f x (1,3) =df ( x,3) = (3x 2 + 12 x) = 15 ． x =1 dx x =1将 f y (1, 3) 转化为当 x = 1 时，计算一元函数 f (1, y ) 在 y = 3 处的导数，f (1, y ) = 1 + 2 y ? y 3 ，所以f y (1,3) =df (1, y ) dy2= (2 ? 3 y 2 )y =32y =3= ?25 ．2? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? 例 3 已知函数 r = x + y + z ，求证 ? ? + ? ? + ? ? =1． ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ?2 22证 求?r 时，把 y 和 z 看作常数，则 ?x?r = ?xx x2 + y 2 + z 2=x ， r55 由于所给函数关于自变量对称①，所以?r y ?r z = ， = ， ?y r ?z r从而有x2 + y 2 + z 2 ? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? +? ? +? ? = = 1． ? ? r2 ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ?2 22，求证 例 4 已知理想气体的状态方程是 PV = RT （ R 是常数） 证?P ?V ?T ? ? = ?1 ． ?V ?T ?P?P ? = ?V ?V? RT ? ? VRT ? ?=? 2 ， V ? ? R ?= ， ? P ? V ?= ， ? R?V ? ? RT = ? ?T ?T ? P ?T ? ? PV = ? ?P ?P ? R故?P ?V ?T RT R V RT ? ? =? 2 ? ? =? = ?1 ． ?V ?T ?P V P R PV ?P ?V ?T 从例 4 不难说明偏导数的记号 ， ， 是一个整体记号，不能像一元函数的 ?V ?T ?P dy ?P ?V ?T 导数 那样看成分子与分母之商，否则将导致 ? ? = 1 的错误结论． dx ?V ?T ?P2．偏导数的几何意义 在空间直角坐标系中， 二元函数 z = f ( x, y ) 的图像是一个空间曲面 S ． 根据偏导数的 定义， f x ( x0 , y0 ) 就是把 y 固定在 y0 ，一元函数 f ( x, y0 ) 在 x0 点的导数．而在几何上，一 元函数 z = f ( x, y0 ) 表示曲面 S 与平面 y = y0 的交线 C1 : ?? z = f ( x, y ) ，则由一元函数导 ? y = y0数的几何意义知，f x ( x0 , y0 ) 就是曲线 C1 在点 P0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处的切线 P0Tx 对 x 轴的 斜率，即 P0Tx 与 x 轴正向所成倾角的正切 tan α （见图 8-7） ． 同理， f y ( x0 , y0 ) 就是曲面 S 与平面 x = x0 的交线 C2 : ?? z = f ( x, y ) 在点 P0 处的切线 ? x = x0①若函数表达式中任意两个自变量对调后，仍表示原来的函数，则称函数关于这两个自变量对称．56 P0Ty 对 y 轴的斜率 tan β （见图 8-8） ．图 8-7图 8-83．偏导数与连续的关系 偏导数与连续的关系 我们知道，若一元函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导，则 f ( x) 必在点 x0 处连续．但对于 二元函数 z = f ( x, y ) 来讲，即使在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数都存在，也不能保证函数f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续．这是因为偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) 存在只能保证一元函数 z = f ( x, y0 ) 和 z = f ( x0 , y ) 分别在 x0 和 y0 处连续，但不能保证 ( x, y ) 以任何方式趋 于 ( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x, y ) 都趋于 f ( x0 , y0 ) ． 例 5 求二元函数? xy ， ( x，y ) ≠ (0，， 0) ? f ( x，y ) = ? x 2 + y 2 ?0， ( x，y ) = (0，， 0) ?在点 (0, 0) 处的偏导数，并讨论它在点 (0, 0) 处的连续性． 类似于一元函数， 分段函数分界点处的偏导数 解 点 (0, 0) 是函数 f ( x, y ) 的分界点， 要用定义去求．f x (0, 0) = lim?x → 0f (0 + ?x, 0) ? f (0, 0) 0?0 = lim =0， ?x →0 ?x ?x又由于函数关于自变量 x ， y 是对称的，故 f y (0, 0) = 0 ． 我们在第一节已经知道 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处不连续． 当然， z = f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续也不能保证 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的偏导数存在． 例 6 讨论函数 f ( x, y ) =x 2 + y 2 在点 (0, 0) 处的偏导数与连续性．57 解因为 f ( x, y ) =x 2 + y 2 是多元初等函数，它的定义域 R 2 是一个区域，而(0,0) ∈ R 2 ，因此 f ( x, y ) = x 2 + y 2 在点 (0, 0) 处连续．但 f x (0, 0) = lim?x → 0?x f (0 + ?x, 0) ? f (0, 0) = lim 不存在．由函数关于自变量的对 ?x → 0 ?x ?x称性知， f y (0, 0) 也不存在． 4．高阶偏导数 设函数 z = f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数?z ?z = f x ( x, y ) ， = f y ( x, y ) ， ?x ?y一般来讲，在 D 内 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 仍然是 x ， y 的函数，如果 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 关 于 x ， y 的偏导数也存在，则称 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 的偏导数是函数 z = f (x, y) 的二阶偏导 二阶偏导 数．按照对两个自变量求导次序不同，二元函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数有如下四种情形： 对 x 的二阶偏导数：? ? ?z ? ? 2 z ? 2 f = = f xx ( x, y ) ， ? ?= ?x ? ?x ? ?x 2 ?x 2 ? ? ?z ? ? 2 z ?2 f = = = f xy ( x, y ) ， ? ? ?y ? ?x ? ?x?y ?x?y? ? ?z ? ? 2 z ?2 f = = = f yx ( x, y ) ， ? ? ?x ? ?y ? ?y?x ?y?x先对 x 后对 y 的二阶偏导数：先对 y 后对 x 的二阶偏导数：对 y 的二阶偏导数：? ? ?z ? ? 2 z ? 2 f = = f yy ( x, y ) ①． ? ?= ?y ? ?y ? ?y 2 ?y 2如 果 二 阶 偏 导 数 的偏 导 数 存 在 ， 就 称 它 们 是 函 数 f ( x, y ) 的 三 阶 偏 导 数 ，例 如? ? ? 2 z ? ?3 z ? ? ?2 z ? ?3 z ， 等．类似地，我们可以定义四阶，五阶，…， n 阶 ? ?= ? ?= ?x ? ?x 2 ? ?x 3 ?y ? ?x 2 ? ?x 2 ?y偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 高阶偏导数．如果高阶偏导数中既有对 x 也有对 高阶偏导数①二阶偏导数记号′′ ′′ ′′ ′′ f xx ， f xy ， f yx ， f yy 也常记作 f xx ， f xy ， f yx ， f yy ．58 y 的偏导数，则此高阶偏导数称为混合偏导数 混合偏导数，例如 混合偏导数例 7 求函数 z = e 解 由于x+2 y?2 z ?2 z ， ． ?x?y ?y?x的所有二阶偏导数．?z ?z = e x + 2 y ， = 2e x + 2 y ， ?x ?y因此有? 2 z ? ? ?z ? ? x + 2 y = ? ? = (e ) = e x + 2 y ， ?x 2 ?x ? ?x ? ?x ?2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = (e x + 2 y ) = 2e x + 2 y ， ?x?y ?y ? ?x ? ?y?2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = (2e x + 2 y ) = 2e x + 2 y， ?y?x ?x ? ?y ? ?x ? 2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = (2e x + 2 y ) = 4e x + 2 y . ?y 2 ?y ? ?y ? ?y在此例中，两个二阶混合偏导数相等，即?2 z ?2 z = ，但这个结论并非对任何函数 ?x?y ?y?x成立，只有在满足一定条件时，二阶混合偏导数才与求偏导的次序无关．对此，我们不加 证明地给出下面的定理．?2 z ?2 z 及 在区域 D 内连续， 定理 1 如果函数 z = f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 ?x?y ?y?x那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等． 换句话说，两个二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关． 对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数．而且高阶混合偏导数在偏 导数连续的条件下也与求偏导的次序无关． 例 8 验证函数 z = ln 证 因为 z = lnx 2 + y 2 满足拉普拉斯（Laplace）方程?2 z ?2 z + = 0． ?x 2 ?y 2x2 + y 2 =1 ln( x 2 + y 2 ) ，所以 259 ?z x = 2 ， ?x x + y 2 ? 2 z ? ? ?z ? ? (x2 + y2 ) ? x ? 2x x y 2 ? x2 ， = ? ?= ( )= = 2 ?x 2 ?x ? ?x ? ?x x 2 + y 2 ( x2 + y 2 )2 ( x + y 2 )2利用函数关于自变量的对称性，在?2 z 的结果中，将 x 与 y 互换，便得到 ?x 2?2 z x2 ? y2 = ， ?y 2 ( x 2 + y 2 ) 2因此?2 z ?2 z y2 ? x2 x2 ? y 2 + 2 = 2 + 2 = 0． ?x 2 ?y ( x + y 2 )2 ( x + y 2 ) 2二、全微分1．全微分的定义 我们知道一元函数 y = f ( x) 在点 x0 可微是指：如果当自变量 x 在 x0 处有增量 ?x 时， 函数增量 ?y 可表示为 ?y = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) = A?x + o( ?x) ，其中 A 与 ?x 无关，o(?x) 是当 ?x → 0 时较 ?x 高阶的无穷小量，则称 y = f ( x) 在点 x0 可微，并称 A?x 为 f ( x) 在点 x0 处的微分，记为 dy = A?x ．对于二元函数，我们也用类似的方法来定义可微性及全微分． 定义 2 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，点 ( x0 + ?x, y0 + ?y ) 为 该邻域内任意一点，若函数在点 ( x0 , y0 ) 处的全增量?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )可表示为?z = A?x + B?y + o( ρ ) ，2 2（3）其中 A ， B 仅与点 ( x0 , y0 ) 有关，而与 ?x ， ?y 无关， ρ =(?x) + (?y ) ， o( ρ ) 是当ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量，即 limρ →0o( ρ )ρ= 0， 则称函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处是，即 （4）可微的，并称 A?x + B?y 为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分 全微分，记作 dz ( x 可微的 全微分0 , y0 )dz ( x , y ) = A?x + B?y ．0 02．可微性条件 定理 2（可微的必要条件） 若 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则 （1） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续； （2） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的偏导数存在，且 A = f x ( x0 , y0 ) ， B = f y ( x0 , y0 ) ．60 证（1） 设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，根据可微的定义有?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = A?x + B?y + o( ρ ) ，当 ( ?x, ?y ) → (0, 0) 时，有 ρ =( ?x , ?y )→ (0,0)(?x) 2 + (?y ) 2 → 0 ，于是 o( ρ ) → 0 ，从而有lim?z = =( ?x , ?y ) → (0,0)limf ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) A?x + B?y + o( ρ ) = 0，( ?x , ?y )→ (0,0)lim所以 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续． （2）因为 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则有?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = A?x + B?y + o( ρ ) ，上式对任意的 ?x ， ?y 都成立，特别地，当 ?y = 0 时， ρ = ?x ，则有f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) = A?x + o( ?x ) ， 等式两边同除以 ?x ，再令 ?x → 0 ，得?x → 0limA?x + o( ?x ) f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) = lim = A， ?x → 0 ?x ?x即 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数存在，且 f x ( x0 , y0 ) = A ． 同理可证 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数也存在，且 f y ( x0 , y0 ) = B ．证毕 证毕． 证毕 根据此定理， z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分可以写成dz ( x , y ) = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ．0 0与一元函数的情形一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即?x = dx ， ?y = dy ，所以 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分又可以写成dz ( x , y ) = f x ( x0 , y0 )dx + f y ( x0 , y0 )dy ．0 0（5）如果函数 z = f ( x, y ) 在区域 D 上每一点都可微，则称函数在区域 D 上可微，且z = f ( x, y ) 在 D 上全微分为 dz = ?z ?z dx + dy ． ?x ?y（6）在一元函数中，函数在某点可导与可微是等价的，但对于多元函数来说，情形就不同 了，函数的偏导数存在，不一定能保证函数可微．当偏导数存在时虽然在形式上能写出f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ，但它与 ?z 的差不一定是当 ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量，61 只有当 ?z ? [ f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y] = o( ρ ) 时， lim 即ρ→0?z ?[ fx (x0, y0 )?x + f y (x0, y0 )?y]ρ=0时，才能说函数在该点可微．例如本节例 5 中所讨论的函数? xy ， ( x，y ) ≠ (0，， 0) ? f ( x，y ) = ? x 2 + y 2 ?0， ( x，y ) = (0，， 0) ?在点 (0, 0) 处有 f x (0, 0) = 0 ， f y (0, 0) = 0 ，所以?z ? [ f x (0,0)?x + f y (0,0)?y]ρ= =f (0 + ?x,0 + ?y) ? f (0,0) ? [ f x (0,0)?x + f y (0,0)?y] (?x)2 + (?y)2 ?x?y [(?x) + (?y) ]2 3 2 2，如果考虑点 ( ?x, ?y ) 按照 ?y = ?x 的方式趋向于点 (0, 0) ，这时有( ?x ,?y )→(0,0) ?y =?xlim?x?y [(?x) + (?y) ]2 3 2 2= lim(?x)2 2 (?x)3 2 3?x →0= ∞，即 limρ →0?z ? [ f x (0, 0)?x + f y (0, 0)?y ]ρ不存在，则由可微性定义有 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处不可微． 当然由本节例 5 可知， 函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处不连续， 由定理 2 知不连续则不可微， 因此 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处的不可微． 此例题说明偏导数存在只是可微的必要条件而不是充分条件． 但是如果将可偏导的条 件加强为偏导数连续，则函数就可微了． 定理 3（可微的充分条件） 若函数 z = f ( x, y ) 的偏导数在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在，且 f x ( x, y ) 与 f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微． 证 函数 f ( x, y ) 的全增量 ?z 可以表示为?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = [ f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 + ?y )] + [ f ( x0 , y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )],62 在第一个方括号中，变量 y0 + ?y 保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关 于 x 的一元函数 f ( x, y0 + ?y ) 的增量；在第二个方括号中，变量 x0 保持不变，因此可以 把方括号中的表达式看作是关于 y 的一元函数 f ( x0 , y ) 的增量．对它们分别应用一元函数 的拉格朗日中值定理得?z = f x ( x0 + θ1?x, y0 + ?y )?x + f y ( x0 , y0 + θ 2 ?y )?y ， 0 & θ1 ， θ 2 & 1 ） （ ．由于 f x ( x, y ) 与 f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，因此有( ?x , ?y )→ (0,0)limf x ( x0 + θ1?x, y0 + ?y ) = f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 + θ 2 ?y ) = f y ( x0 , y0 ) ，( ?x , ?y )→ (0,0)lim即f x ( x0 + θ1?x, y0 + ?y ) = f x ( x0 , y0 ) + α ， f y ( x0 , y0 + θ 2 ?y ) = f y ( x0 , y0 ) + β ，其中当 ?x → 0 ， ?y → 0 时， α → 0 ， β → 0 ．从而?z = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y + α?x + β ?y ．而0≤α?x + β?y α?x + β?y α ?x β ?y = ≤ + ρ (?x)2 + (?y ) 2 (?x) 2 + (?y )2 (?x) 2 + (?y )2≤ α + β → 0 ， (?x → 0 ， ?y → 0)所以α?x + β?y =0， ( ?x , ?y ) → (0,0) ρlim又由于 ?x → 0 ， ?y → 0 ? ρ → 0 ①，所以limρ →0α?x + β ?y = 0， ρ即当 ρ → 0 时，有α?x + β ?y = o( ρ ) ．①由于 ?x , ?y2 2 ≤ ρ = ( ? x ) + ( ?y ) ≤ ? x + ?y，所以有 ?x → 0 ， ?y → 0 ? ρ → 0 ．63 于是证明了 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微．证毕 证毕． 证毕 注意偏导数连续只是函数可微的充分条件，不是必要条件．例 91 ? 2 2 ， ?( x + y )sin 2 x + y2 证明 f ( x, y ) = ? ?0， ?( x，y ) ≠ (0，， 0) ( x，y ) = (0，， 0)在点 (0, 0) 处可微，但在点 (0, 0) 处偏导数不连续．证f x (0, 0) = lim?x → 0f (0 + ?x, 0) ? f (0, 0) 1 = lim ?x sin = 0， ?x → 0 ?x (?x) 2由于函数关于自变量是对称的，则 f y (0, 0) = 0 ．于是limρ →0?z ? [ f x (0, 0)?x + f y (0, 0)?y ]ρf (0 + ?x,0 + ?y) ? f (0,0) ? [ f x (0,0)?x + f y (0,0)?y]= limρ →0ρ[(?x)2 + (?y)2 ]sin 1 [(?x) + (?y)2 ]2= limρ →0ρρ 2 sin= limρ →01ρρ2= 0，所以函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处可微． 当 ( x, y ) ≠ (0, 0) 时，由 f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 )sin1 有 x + y22f x ( x, y ) = 2 x sin1 2x 1 ? 2 cos 2 ， 2 2 x +y x +y x + y22( x , y ) → (0,0)limf x ( x, y ) =? 1 2x 1 ? ? 2 cos 2 ? 2 x sin 2 ?， 2 2 ( x , y ) → (0,0) x +y x +y x + y2 ? ?limlim 2 x sin 1 1 = lim 2 x sin 2 = 0 ， 2 x →0 x +y x2当点 ( x, y ) 沿 x 轴趋于 (0, 0) 时，由于64( x , y ) → (0,0) y =0 2x 1 2 1 cos 2 = lim cos 2 不存在，所以 lim f x ( x, y ) 不存在，即 2 2 ( x , y ) → (0,0) x + y x →0 x ( x , y )→ (0,0) x +y x y =0 lim2f x ( x, y ) 在点 (0, 0) 处不连续，同理 f y ( x, y ) 在点 (0, 0) 处也不连续．根据前面的讨论，函数 f ( x, y ) 连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示： 偏导数存在 偏导数连续 可微 连续 以上关于全微分的定义及可微的必要条件和充分条件可以完全类似地推广到三元及 三元以上的函数．例如，若三元函数 u = f ( x, y , z ) 的三个偏导数都存在且连续，则它的全 微分存在，并有du =?u ?u ?u dx + dy + dz ． ?x ?y ?z2 2 例 10 求函数 z = 2 x y + xy 在点 (1, 2) 处的全微分．解?z ?z = 4 xy + y 2 ， = (4 xy + y 2 ) = 12 ， (1,2) ?x ?x (1,2) ?z ?z = 2 x 2 + 2 xy ， = (2 x 2 + 2 xy ) = 6， (1,2) ?y ?y (1,2)由于?z ?z ， 在点 (1, 2) 处连续，所以函数 z = 2 x 2 y + xy 2 在点 (1, 2) 处可微，且有 ?x ?ydz (1,2) =?z ?z dx + dy = 12dx + 6dy ． ?x (1,2) ?y (1,2)xyz 2 例 11 求函数 u = e + xy + z 的全微分．解?u ?u ?u = yze xyz + y ， = xze xyz + x ， = xye xyz + 2 z ?x ?y ?z由于?u ?u ?u ， ， 连续，所以函数 u = e xyz + xy + z 2 可微，且有 ?x ?y ?z du = ( yze xyz + y )dx + ( xze xyz + x)dy + ( xye xyz + 2 z )dz ．65 2 2 例 12 求函数 z = x y 在点 (2, ?1) 处，当 ?x = 0.02 ， ?y = ?0.01 时的全微分 dz 和全增量 ?z ． 解?z ?z = 2 xy 2 ， = 2 xy 2 = 4， (2, ?1) ?x (2,?1) ?x ?z ?z = 2 x2 y ， = 2 x2 y = ?8 ， (2, ?1) ?y (2,?1) ?y由于?z ?z ， 在点 (2, ?1) 处连续，所以函数 z = x 2 y 2 在点 (2, ?1) 处可微，且 ?x ?ydz (2,?1) =?z ?z ?x + ?y = 4 × (0.02) + (?8) × (?0.01) = 0.16 ， ?x (2,?1) ?y (2,?1)?z = (2 + 0.02) 2 × (?1 ? 0.01) 2 ? 22 × (?1) 2 = 0.1624 ．此例中 ?z 与 dz 的差仅为 0.0024． 3．全微分在近似计算中的应用 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则它在点 ( x0 , y0 ) 处的全增量为?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y + o( ρ )，其中 o( ρ ) 是当 ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量．因此，当 ?x ， ?y 都很小时，有近似公 式 上式有时也写成?z ≈ dz = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ，f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ．利用上面的近似公式（7）可以计算函数的近似值．3.96 例 13 计算 (1.08) 的近似值．（7）解把 (1.08)3.96 看 作 是 函 数 f ( x, y ) = x y 在 x = 1.08 ， y = 3.96 时 的 函 数 值f (1.08,3.96) ．取 x0 = 1 ， y0 = 4 ， ?x = 0.08 ， ?y = ?0.04 ．由于f x ( x, y ) = yx y ?1 ， f x (1, 4) = 4 ，f y ( x, y ) = x y ln x ， f y (1, 4) = 0 ，66 f (1, 4) = 1 ，应用近似公式（7）有(1.08)3.96 ≈ f (1, 4) + f x (1, 4) × 0.08 + f y (1, 4) × (?0.04) = 1 + 4 × 0.08 + 0 × (?0.04) = 1.32.例 14 金属圆锥体受热变形，底面半径由 30cm 增加到 30.1cm ，高由 60cm 减少到59.5cm ，求圆锥体体积变化的近似值．高和体积依次为 r 、h 和 V ， 则圆锥体体积为 V = 解 设圆锥体的底面半径、 记 r 、 h 和 V 的增量依次为 ?r 、 ?h 和 ?V ．应用近似公式（7）有1 2 πr h． 3?V ?V 2 1 ?r + ?h = π rh?r + π r 2 ?h ． ?r ?h 3 3 将 r = 30 ， h = 60 ， ?r = 0.1 ， ?h = ?0.5 代入上式，得圆锥体体积变化的近似值 ? V ≈ dV =2 1 ?V ≈ π × 30 × 60 × 0.1 + π × 302 × (?0.5) 3 3 3 = ?30π (cm) .即圆锥体的体积约减少了 30π cm ．3习题 8-21．求下列函数的偏导数： （1） z = x ；y（2） z = xe x sin y ； （4） z =（3） z = x ln( x + y ) ；1 x + y22；（5） z =ln( xy ) ；（6） z = ln( x +x2 + y 2 ) ；x+ y （7） z = arctan ； 1 ? xyz?x? （8） u = ? ? ； ? y?（10） uz（9） u = x y ； 2．设 f ( x, y ) = x + ( y ? 1) arcsin= xyz．x ，求 f x ( x,1) ． y67 ? x2 + y 2 z= ， ? 3．求曲线 ? 在点 (2, 4,5) 处的切线与 x 轴正向所成的倾角． 4 ? y = 4， ?4．求下列函数的二阶偏导数： （1） z = x + y ? 4 x y ；4 4 2 2 2 （3） z = sin ( x + 2 y ) ；（2） z = e ；xy（4） z = arctanx ． y5．验证： （1） z = e?1 1? ?? + ? ? x y?满足方程 x 2?z ?z + y2 = 2z ； ?x ?y2?2 z ?2 z ? ?2 z ? （2） z = ln(e + e ) 满足方程 2 ? 2 ? ? ? =0； ?x ?y ? ?x?y ?x y（3） r =x 2 + y 2 + z 2 满足方程?2r ?2r ?2r 2 + + = ； ?x 2 ?y 2 ?z 2 r（4） u =1 ? 2u ? 2u ? 2u 2 2 2 满足方程 2 + 2 + 2 = 0 ，其中 r = x + y + z ． r ?x ?y ?z6．设 z = x ln( xy ) ，求?3 z ?3 z ， ． ?x 2 ?y ?x?y 21 ? ， ( x，y ) ≠ (0，， 0) ? y sin 2 x + y2 在点 (0, 0) 处的偏导数是 7．考察函数 f ( x，y ) = ? ?0， ( x，y ) = (0，， 0) ?否存在． 8．求下列函数的全微分： （1） z =y ； x（2） z = x ；y（3） z = xe xy + y ； 9．求下列函数在指定点的全微分： （1） z = e ，在点 (2,1) 处；xy（4） u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) ．（2） z = arctany ，在点 (1,1) 处． x68 10．求函数 z = xy ，当 x = 10 ， y = 8 ， ?x = 0.2 ， ?y = ?0.1 时的全增量和全微分．? x2 y ， ( x, y ) ≠ (0, 0) ? 11． 证明函数 f ( x, y ) = ? x 2 + y 2 在点 (0, 0) 处连续， 且偏导数存在， ?0， ( x, y ) = (0, 0) ?但在点 (0, 0) 处不可微． 12．求下列各式的近似值： （1） (1.03)1.98；（2） (1.02) + (1.97) ．3 313 ． 金 属 圆 柱 体 受 热 变 形 ， 半 径 由 20cm 增 加 到 20.02cm ， 高 由 30cm 增 长 到 30.03cm ，求圆柱体体积变化的近似值．§3一、复合函数微分法1．复合函数微分法多元函数微分法 多元函数微分法在一元函数中，我们介绍了复合函数的求导法则：如果函数 u = ? ( x) 在点 x 处可导 而 y = f (u ) 在对应点 u (u = ? ( x )) 处可导，则复合函数 y = f (? ( x )) 在点 x 处可导，且有dy dy du = ? = f ′(u ) ? ? ′( x) ． dx du dx现在将这一微分法则推广到多元复合函数的情形， 并按照多元复合函数的不同的复合 情形，分三种情况讨论． （1）复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 1 设函数 u = ? (t ) ，v = ψ (t ) 在点 t 处可导，函数 z = f (u , v) 在对应点 (u , v) 处 可微，则复合函数 z = f [? (t ),ψ (t )] 在点 t 处可导，并且有dz ?z du ?z dv = + ． （1） dt ?u dt ?v dt 相应地 u = ? (t )，v = ψ (t ) 有增量 ?u 和 ?v ， 从而函数 z = f (u , v) 证 给 t 以增量 ?t ， 有增量 ?z ．因为函数 z = f (u , v) 在点 (u , v) 可微，故有 ?z ?z ?z = ?u + ?v + o( ρ ) ， ?u ?v 2 2 其中 ρ = ( ?u ) + ( ?v ) ， o( ρ ) 是当 ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量．上式两端同时除以 ?t ，得?z ?z ?u ?z ?v o( ρ ) = + + ， ?t ?u ?t ?v ?t ?t69 因为函数 u = ? (t ) ， v = ψ (t ) 在点 t 处可导，故它们必在点 t 处连续，从而当 ?t → 0 时有?u → 0 ， ?v → 0 ．注意到 o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) (?u ) 2 + (?v) 2 = ? = ? ?t ?t ρ ?t ρ=o( ρ ) ?t ? ρ ?t(?u 2 ?v 2 ) +( ) , ?t ?to( ρ )因为当 ?t → 0 时有 ?u → 0 ，?v → 0 ， 故有 ρ =(?u ) 2 + (?v) 2 → 0 ， 从而ρ→0，再由 u = ? (t ) ， v = ψ (t ) 在点 t 处可导，故当 ?t → 0 时有?u 2 ?v 2 du dv ?u du ?v dv → ， → ， ( ) + ( ) → ( )2 + ( )2 ， dt dt ?t ?t dt dt ?t ?t从而?t ?t(?u 2 ?v 2 o( ρ ) ) + ( ) 有界，所以 → 0 ，于是有 ?t ?t ?t?z ? ?z ?u ?z ?v o( ρ ) ? = lim ? + + ?t → 0 ?t ?t →0 ?u ?t ?v ?t ?t ? ? ? lim = ?z du ?z dv + ， ?u dt ?v dt即dz ?z du ?z dv = + ．证毕 证毕． 证毕 dt ?u dt ?v dt为了便于掌握复合函数的求导法则，我们常用函数结构图来表示变量之间的复合关 系．例如定理 1 的函数结构图是uztv t 从函数结构图中可以看到：一方面，从 z 引出两个箭头指向中间变量 u 、 v ，表示 z 是 u 、 v 的函数，同理 u 和 v 都是 t 的函数；另一方面，由 z 出发通过中间变量到达 t 的链有两条， 这表示 z 对 t 的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而 得，例如 z?z dv dz ?z du ?z dv ，因此 ． = + ?v dt dt ?u dt ?v dt du d v 注意这里 u 和 v 都是 t 的一元函数， u ， v 对 t 的导数用记号 ， 表示， z 是 u ， dt dtut 表示?z du ，z ?u dtvt 表示70 v 的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号?z ?z ， 表示，函数经过复合之后，最终 ?u ?v dz dz z 是 t 的一元函数，故 z 对 t 的导数用记号 表示，称 为全导数 全导数，公式（1）称为全导 全导数 全导 dt dt公式（1）可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形．例如，由 z = f (u , v, w) ，数公式． 数公式u = ? (t ) ， v = ψ (t ) ， w = ω (t ) 复合而成的复合函数 z = f [? (t ),ψ (t ), ω (t )] ，在与定理 1类似的条件下有全导数公式dz ?z du ?z dv ?z dw = + + ． dt ?u dt ?v dt ?w dt dz t ． 例 1 设 z = uv ， u = e ， v = cos t ，求 dt，有 解 由全导数公式（1）（2）dz ?z du ?z dv = + dt ?u dt ?v dt = vet + u (? sin t ) = et (cos t ? sin t ).例 2 设 z = u v + e ， u = sin t ， v = cos t ，求2 2tdz ． dt解 函数的结构图为z于是u v tt t tdz ?z du ?z dv ?z dt = + + dt ?u dt ?v dt ?t dt = 2uv 2 ? cos t + 2u 2 v ? (? sin t ) + et ?1= 2 sin t cos3 t ? 2 sin 3 t cos t + et 1 = sin 4t + et . 2（2）复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理 2 若 u = ? ( x, y ) ，v = ψ ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处都存在偏导数， z = f (u , v ) 在对应 点 (u , v ) 处可微，则复合函数 z = f [? ( x, y ),ψ ( x, y )] 在点 ( x, y ) 处存在偏导数，且有?z ?z ?u ?z ?v = + ， ?x ?u ?x ?v ?x（3）71 ?z ?z ?u ?z ?v = + ． ?y ?u ?y ?v ?y定理 2 的函数结构图为（4）x uzy xvy?z 为 ?x ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v 两项之和， z u x 表示 ，z u x 表示 ，因此 = ． + ?u ?x ?v ?x ?x ?u ?x ?v ?x 公式 （3） （4） 和 可以推广到中间变量或自变量多于两个的情形． 例如， u = ? ( x, y ) ， 设我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4） ，例如 z 到 x 的链有两条，即v = ψ ( x, y ) ， w = ω ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处都具有偏导数，而函数 z = f (u , v, w) 在对应点 (u , v, w) 可微，则复合函数 z = f [? ( x, y),ψ ( x, y), ω( x, y)] 在点 ( x, y ) 处具有偏导数，且 ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w = + + ， ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w = + + ． ?y ?u ?y ?v ?y ?w ?y例 3 设 z = e xy sin( x + y ) ，求 解 令u?z ?z ， ． ?x ?y= xy ， v = x + y ，则 z = eu sin v ，所以?z ?z ?u ?z ?v = + ?x ?u ?x ?v ?x = eu sin v ? y + eu cos v ?1 = e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )] ，?z ?z ?u ?z ?v = + ?y ?u y ?v ?y = eu sin v ? x + eu cos v ?1 = e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )].72 例 4 设函数 z? x? ?z ?z = f ? ? ，其中 f 可微，证明 x + y = 0 ． ?x ?y ? y?证 令u=x ，则 z = f (u ) ，其函数的结构图为 yxz于是uy?z dz ?u 1 1 x = = f ′(u ) = f ′( )， ?x du ?x y y y ? x ? ?z dz ?u x x = = f ′(u ) ? ? 2 ? = ? 2 f ′( )， y y ?y du ?y ? y ?x?z ?z x x x x + y = f ′( ) ? f ′( ) = 0 ． ?x ?y y y y y例 5 设函数 z?z ?z ? y? = xy + xf ? ? ，其中 f 可微，证明 x + y = xy + z ． ?x ?y ? x?证 综合应用四则运算与复合函数求导法则，得?z ? y? ? y ?? y ? ? y? y ? y? = y + f ? ? + xf ′ ? ? ? ? 2 ? = y + f ? ? ? f ′ ? ? ， ?x ?x? ? x ?? x ? ?x? x ?x? ?z ? y?1 ? y? = x + xf ′ ? ? = x + f ′ ? ? ， ?y ?x?x ? x? x ?z ?z ? y? + y = 2 xy + xf ? ? = xy + z ． ?x ?y ?x?（3）复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形 定理 3 导数，且有 设函数 u = ? ( x) 在点 x 处可导， v = ψ ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处存在偏导数，而z = f (u , v) 在对应点 (u , v) 处可微，则复合函数 z = f [? ( x),ψ ( x, y )] 在点 ( x, y ) 处存在偏?z ?z du ?z ?v = + ， ?x ?u dx ?v ?x（5）73 ?z ?z ?v = ． ?y ?v ?y定理 3 的函数结构图为（6）uzvx x y情形 3 中有一个特殊情形，复合函数的某些中间变量又是复合函数的自变量． 而 则复合函 定理 4 设 z = f (u , x, y ) 具有连续偏导数， u = ? ( x, y ) 具有偏导数， 数 z = f [? ( x, y ), x, y ] 在点 ( x, y ) 处存在偏导数，且有?z ?f ?u ?f = + ， ?x ?u ?x ?x ?z ?f ?u ?f = + ． ?y ?u ?y ?y定理 4 的函数结构图为（7）（8）zu x yx y x y?z ?f ?f 和 是不同的， ?x ?x ?x为了避免混淆，公式（7）（8）右端的 z 换成了 f ，要注意 ， 是把 f (u, x, y) 中的 u 及 y 看成不变而对 x 求偏导数， 中的 y 看成不变而对 x 求偏导数． 例 6 设u?z 是把复合函数 z = f [? ( x, y), x, y] ?x ?u ?u ， ． ?x ?y= f ( x, y , z ) = e x2+ y2 + z2，而 z= x 2 sin y ，求解2 2 2 2 2 2 ?u ?f ?f ?z = + = 2 xe x + y + z + 2 ze x + y + z ? 2 x sin y ?x ?x ?z ?x= 2 x(1 + 2 x 2 sin 2 y )e x2+ y 2 + x 4 sin 2 y，2 2 2 2 2 2 ?u ?f ?f ?z = + = 2 ye x + y + z + 2 ze x + y + z ? x 2 cos y ?y ?y ?z ?y= 2( y + x 4 sin y cos y )e x2．多元复合函数的高阶偏导数2+ y 2 + x 4 sin 2 y．在第二节已经给出高阶偏导数的定义，这里通过一个具体例子来说明求复合函数高阶74 偏导数的方法． 例7 设z 解 令u= f ( x + y, xy ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求?z ?2 z ， ． ?x ?x?y?z ?f ?u ?f ?v = + = f u + yf v ， ?x ?u ?x ?v ?x 再求二阶偏导数时注意到 fu 及 f v 仍是 u ， v 的函数，而 u ， v 是 x ， y 的函数，且函数结构图为= x + y ， v = xy ，则 z = f (u , v) ，于是xxufuuy x fv y xvy应用多元复合函数的求导法则得vy?2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = ( f u + yf v ) ?x?y ?y ? ?x ? ?y ? ? ? ? = ( f u ) + ( yf v ) = ( f u ) + f v + y ( f v ) ?y ?y ?y ?y ? ? ?u ? ?v ? = ? ( fu ) + ( fu ) ? + f v ?y ?v ?y ? ? ?u? ? ?u ? ?v ? + y ? ( fv ) + ( fv ) ? ?y ?v ?y ? ? ?u = ( f uu ?1 + fuv ? x) + f v + y ( f vu + f vv ? x) = f uu + ( x + y ) f uv + xyf vv + f v .这里因为f 具有二阶连续偏导数，故有 fuv = f vu ，因此可以合并 xfuv + yf vu = ( x + y ) fuv ． 为方便起见，有时用自然数 1，2 的顺序分别表示函数 f (u , v ) 中的两个中间变量 u ，?f ?f ?2 f ?2 f ?2 f ， ， ， 2 和 2 分别用 f1 ， f 2 ， f12 ， f11 和 f 22 来表示，则有 ?u ?v ?u?v ?u ?v ?z = f1 + yf 2 ， ?xv ，这样?2 z ? ? ? = ( f1 + yf 2 ) = ( f1 ) + f 2 + y ( f 2 ) ?x?y ?y ?y ?y75 = f11 + xf12 + f 2 + y ( f 21 + xf 22 ) = f11 + ( x + y ) f12 + xyf 22 + f 2 .3．全微分形式不变性 我们知道，一元函数的微分具有一阶微分形式的不变性，即不论 x 是自变量还是中间 变量，对 y?z ?z du + dv ． ?u ?v 如果 u ， v 是中间变量 u = ? ( x, y ) ， v = ψ ( x, y ) ，且它们具有连续偏导数，则复合函数 dz =z = f [? ( x, y ),ψ ( x, y )] 的全微分为 dz = ?z ?z dx + dy ． ?x ?y= f ( x) 都有 dy = f ′( x)dx ．多元函数的一阶全微分也具有同样的性质． 设函数 z = f (u , v ) 具有连续的偏导数，如果 u ， v 是自变量，则全微分为将多元复合函数求导公式（3）和（4）代入上式，则有? ?z ?u ?z ?v ? ? ?z ?u ?z ?v ? dz = ? + + ? dy ? dx + ? ? ?u ?x ?v ?x ? ? ?u ?y ?v ?y ?= ?z ? ?u ?u ? ?z ? ?v ?v ? ? dx + dy ? + ? dx + dy ? ?u ? ?x ?y ? ?v ? ?x ?y ?（9）注意到 u = ? ( x, y ) ， v = ψ ( x, y ) 具有连续偏导数，则有du =将（10）代入（9）式，得?u ?u ?v ?v dx + dy ，dv = dx + dy ． ?x ?y ?x ?y ?z ?z du + dv ． ?u ?v（10）dz =由此可见，无论 z 是自变量 u ， v 的函数还是中间变量 u ， v 的函数，其全微分的形式是 一样的，这个性质称为一阶全微分形式的不变性 一阶全微分形式的不变性，类似地可以证明三元及三元以上的函数 一阶全微分形式的不变性 的全微分也具有这一性质． 关于全微分的运算性质，应用全微分形式的不变性容易证明，它与一元函数微分法则 相同，即d(u ± v) = du ± dv ； d(uv) = vdu + udv ；u vdu ? udv d( ) = ； v v276 d( f (u )) = f ′(u )du ．利用全微分形式的不变性，可得求复合函数偏导数的另一途径． 例 8 设u= f ( x, y, t ) ， x = ? ( s, t ) ， y = ψ ( s, t ) ，利用全微分形式的不变性，求?u ?u ， ． ?s ?t解 由全微分形式的不变性，有du =又因为?f ?f ?f dx + dy + dt ， ?x ?y ?tdx =所以?? ?? ?ψ ?ψ ds + dt ， dy = ds + dt ， ?s ?t ?s ?tdu =?f ? ?? ?? ? ?f ? ?ψ ?ψ ? ?f ds + dt ? + ? ds + dt ? + dt ? ?x ? ?s ?t ? ?y ? ?s ?t ? ?t ? ? ?f ?? ?f ?ψ ?f + + ? ds + ? ? ? ?x ?t ?y ?t ?t ? ? dt . ?? ?f ?? ?f ?ψ =? + ? ?x ?s ?y ?s从而?u ?f ?? ?f ?ψ = + ， ?s ?x ?s ?y ?s ?u ?f ?? ?f ?ψ ?f = + + ． ?t ?x ?t ?y ?t ?t 二、隐函数微分法1．一个方程所确定的隐函数的微分法 在上册第二章导数与微分中已经提出了隐函数的概念，并且指出在不经过显式化的情 况下，直接由方程F ( x, y ) = 0求出它所确定的隐函数 y= f ( x) 的导数的方法． = f ( x) 是连续且可导的，下面的定这里，有些问题尚待解决：在什么条件下，方程 F ( x, y ) = 0 可以确定一个隐函数； 在什么条件下，方程 F ( x, y ) = 0 所确定的隐函数 y 理给出了回答． 定理 5（隐函数存在定理 1） 设函数 F ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的77 偏导数 Fx ( x, y ) ， Fy ( x, y ) ，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x, y ) = 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y 满足条件 y0= f ( x) ， 它= f ( x0 ) ，并有 dy F ( x, y ) =? x ． dx Fy ( x, y )（11）定理 5 的证明略，这里仅对公式（11）作如下推导． 把函数 y= f ( x) 代入方程 F ( x, y ) = 0 中， 得恒等式 F [ x, f ( x )] ≡ 0 ， 其左端是 x 的Fx + Fy dy = 0， dx一个复合函数，它的全导数应恒等于右端零的导数，即由于 Fy 连续且 Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ， 所以存在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域， 在该邻域内 Fy ( x, y ) ≠ 0 ， 于是有dy F ( x, y ) =? x ． dx Fy ( x, y )例 9 的隐函数 y 说明由方程 F ( x, y ) =x 2 + y 2 ? 1 = 0 在点 (0,1) 的某邻域内能确定一个单值= f ( x) ，并求出 y = f ( x) 的一阶导数． x 2 + y 2 ? 1 在点 (0,1) 的某邻域内具有连续的偏导数 Fx = 2 x ， Fy = 2 y ，解 函数 F ( x, y ) =且 F (0,1) = 0 ， Fy (0,1) =2 ≠ 0 ，即 F ( x, y ) 满足隐函数存在定理 1 的条件，所以方程F ( x, y ) = 0 在点 (0,1) 的某邻域内能确定一个单值的隐函数 y = f ( x) ，由公式（11）得 dy F ( x, y ) x =? x =? ． dx Fy ( x, y ) y与定理 5 一样，我们同样可以由三元函数 F ( x, y , z ) 的性质来判断由方程F ( x, y , z ) = 0所确定的二元函数 z= f ( x, y ) 的存在性及求偏导数的公式，这就是下面的定理． 定理 6（隐函数存在定理 2） 设函数 F ( x, y , z ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内具有78 连 续的 偏导 数且 F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ，Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ， 则方 程 F ( x, y, z ) = 0 在 点(x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ，它满足条件 z0= f ( x0 , y0 ) ，并有F F ?z ?z =? x ， =? y ． ?x Fz ?y Fz（12）下面仅对公式（12）作如下推导．= f ( x, y ) 代入方程 F ( x, y, z ) = 0 中，得恒等式 F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0 ，该 式两端分别对 x 和 y 求偏导数得把函数 zFx + Fz由于 Fz 连续，且 Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠?z ?z = 0 ， Fy + Fz = 0， ?x ?y 0 ，所以存在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域，在此邻域内Fz ≠ 0 ，于是得 F F ?z ?z =? x， =? y ． ?x Fz ?y Fz类似地，定理 6 可推广到由 n + 1 元方程 F ( x1 , x2 ,L , xn , z ) = 0 确定 n 元隐函数z = f ( x1 , x2 ,L , xn ) 的存在性与求偏导数的公式 Fx ?z = ? i （ i = 1, 2,L , n ） ． ?xi Fz例 10 设 z= z ( x, y ) 是由方程 2 x 2 + y 2 + z 2 ? 2 z = 0 确定的隐函数， 求?z ?z ， ． ?x ?y解法 1（公式法） 设 F ( x, y , z ) = 公式法）2 x 2 + y 2 + z 2 ? 2 z ，则Fx = 4 x ， Fy = 2 y ， Fz = 2 z ? 2 ，则由公式（12）得F ?z 4x 2x =? x =? = ， ?x Fz 2z ? 2 1 ? z79 F ?z 2y y ． =? y =? = ?y Fz 2z ? 2 1 ? z解法 2（直接法） 在方程 2 x 直接法） 将 z 看成是 x ， y 的函数，得2+ y 2 + z 2 ? 2 z = 0 两边分别对 x ， y 求偏导数，4x + 2z于是?z ?z ?z ?z ? 2 = 0 ， 2 y + 2z ? 2 = 0 ， ?x ?x ?y ?y?z 2x ?z y = ， = ． ?x 1 ? z ?y 1 ? z全微分法） 解法 3（全微分法） 利用全微分形式不变性，在方程2 x2 + y 2 + z 2 ? 2 z = 0两边求全微分得4 xdx + 2 ydy + 2 zdz ? 2dz = 0 ，即dz =2x y dx + dy ， 1? z 1? z于是?z 2x ?z y = ， = ． ?x 1 ? z ?y 1 ? zz例 11 设 e? z + xy 3 = 0 ，求z?2 z ． ?x 2解 在方程 e? z + xy 3 = 0 两边分别对 x 求偏导数，并注意 z 是 x ， y 的函数，得 ez ? ?z ?z ? + y3 = 0 ， ?x ?x（13）于是?z y3 = ， ?x 1 ? e z 再对（13）式两边对 x 求偏导数，并注意 z 是 x ， y 的函数，得2 ?2 z ? ?z ? z ? z e ?? ? + e ? 2 ? 2 = 0 ?x ?x ? ?x ? 2 z80 于是?2 z ez = ?x 2 1 ? e z? ?z ? ?? ? ? ?x ?2将?z 的表达式代入上式得 ?x?2 z y 6e z = ． ?x 2 (1 ? e z )32．方程组所确定的隐函数的微分法 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广，不仅增加方程中变量的个数，而且增 加方程的个数． 定理 7 隐函数存在定理 3） 设函数 F ( x, y , u , v )，G ( x, y , u , v ) 在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) （ 的某一邻域内对各个变量具有连续的偏导数，又 F(x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 G(x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 ， ， 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比行列式）?F ? ( F , G ) ?u J= = ?G ? (u, v) ?u在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 不等于零，则方程组 ??F ?v ?G ?v? F ( x, y, u , v) = 0， 在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某邻域 ?G ( x, y, u , v) = 0，内能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 u 满足条件= u ( x, y ) ， v = v( x, y ) ，且它们?u 1 ?( F , G ) =? ? ， ?x J ? ( x, v ) ?u 1 ?( F , G ) =? ? ， ?y J ? ( y, v)此处仅对公式（14）作如下推导． 将u?v 1 ?( F , G) =? ? ， ?x J ? (u , x) ?v 1 ?( F , G) =? ? . ?y J ? (u , y )（14）? F ( x, y, u , v) = 0， = u ( x, y ) ， v = v( x, y ) 代入方程组 ? 得 ?G ( x, y, u , v) = 0， ? F ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) ≡ 0， ? ?G ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) ≡ 0，81 应用复合函数求导法则，将恒等式两端分别对 x 求偏导数，得?v ?u ?v ? ?u ? ? Fu ?x + Fv ?x = ? Fx， ? Fx + Fu ?x + Fv ?x = 0， ? ? 即? ? ?G + G ?u + G ?v = 0， ?G ?u + G ?v = ?G ， u v v x ? x ? u ?x ?x ?x ?x ? ?这是关于 数行列式?u ?v ， 的线性方程组，由定理 7 的条件可知在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某邻域内系 ?x ?x ?F ? ( F , G ) ?u J= = ?G ? (u , v) ?u ?F ?v ≠ 0， ?G ?v从而可得到唯一的一组解? Fx Fv ?u ?Gx Gv = =? Fu Fv ?x Gu Gv Fu ? Fx ?v Gu ?Gx = =? Fu Fv ?x Gu Gv同理，可求得Fx Gx Fu Gu Fu Gu Fu GuFv Gv 1 ?( F , G ) =? ? ， Fv J ? ( x, v ) Gv Fx Gx 1 ?( F , G ) =? ? ． Fv J ? (u, x) Gv?u ?v ， ． ?y ?y例 12 求由方程组 ??x + y + u + v = 12 2 2 2 ?x + y + u + v = 2确定的函数的偏导数?u ?v ， ． ?x ?x解 此题可直接利用公式（14）求解，但也可依照推导公式（14）的方法求解．下面 我们用后一种方法． 将所给方程两边对 x 求导，得82 ? ?u ?v ? ?u ?v ， ? ?x + ?x = ?1 ?1 + ?x + ?x = 0， ? ? 即? ? ? 2 x + 2u ?u + 2v ?v = 0， ?u ?u + v ?v = ? x， ? ? ?x ?x ?x ?x ? ?当系数行列式 J=1 1 u v= v ? u ≠ 0 时，可解得?u x ? v ?v u ? x = ， = ． ?x v ? u ?x v ? u习题 8-3= euv ，而 u = sin t ， v = cos t ，求全导数 = arctan( xy ) ，而 y = e x ，求全导数= u 2 ln v ，而 u =1．设 zdz ． dt2．设 zdz ． dx3．设 zx ?z ?z ， v = 3 x ? 2 y ，求 ， ． y ?x ?y?z ?z ， ． ?ρ ?θ4．设 z= x 2 y ? xy 2 ，而 x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ ，求5．求下列函数的一阶偏导数，其中f 具有一阶连续偏导数：（2） u（1） zy = f ( xy, ) ； x = f ( x2 + y 2 ? z 2 ) ；? x y? = f ? , ?； ?y z?= f ( x, xy , xyz ) ．（3） u（4） u6．求下列函数的二阶偏导数，其中 （1） zf 具有二阶连续偏导数：（2） z= f ( x2 + y2 ) ；= f ( x, xy ) ；83 （3） zx = f ( x, ) ； y=（4） z= f ( xy 2 , x 2 y ) ．7．设 zy ，其中 f 为可导函数，验证： f (x ? y2 )21 ?z 1 ?z z + = 2． x ?x y ?y y8．设 y= ? ( x + at ) + ψ ( x ? at ) ，其中 ? ，ψ 具有二阶连续导数，验证：2 ?2 y 2 ? y =a ． ?t 2 ?x 29．利用全微分形式的不变性求函数 z= e x + y cos( y ? x) 的全微分，并求?z ?z ， ． ?x ?y10．设 siny + e x ? xy 2 = 0 ，求dy ． dx11．设 z2y ? xz 3 = 1 ，求?z ?z ， ． ?x ?y12．设x z ?z ?z = ln ，求 ， ． z y ?x ?y = f ( x + y, y + z ) ，求 ?z ?z ， ． ?x ?y z? ? = 0 所确定，其中 F , z 都是可微函 x?13．设 z14．设函数 z? z = z ( x, y ) 由方程 F ? x + , y + y ?数，验证 x?z ?z + y = z ? xy ． ?x ?y = z ( x, y ) 由方程 Φ ( cx ? az , cy ? bz ) = 0 所确定，其中 Φ 具有连续偏15．设函数 z导数，验证 a84?z ?z +b = c． ?x ?y ?2 z ?2 z 16．设 x + y + z = e ，求 2 + ． ?x ?y 2xy?2 z ?2 z 17．设 z ? 2 xz + y = 0 ，求 ， ． ?x?y ?y 23?2 z 18．设 e ? xyz = 0 ，求 2 ． ?xz19．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：? z = x 2 + y 2， dy dz ? 求 ， ； （1） ? 2 2 2 ? x + 2 y + 3 z = 20， dx dx ?（2） ?? xu ? yv = 0， ?u ?v 求 ， ． ， ?y ?y ? yu + xv = 1§4一、方向导数函数 z方向导数与梯度= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) 分别表示函数在点 P 沿着 x 轴方向与 y 轴方向的变化率，它们只描述了函数沿着坐标轴方向的变化情况， 0 现在要考虑函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 沿任一方向的变化率，即方向导数．定义 1 设 z =f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某yP邻域内有定义．从点 P 引射线 l ， l 的方向角为 α ， 0l?yβ （即从 x ， y 正向到射线 l 的转角分别为 α ， β） ，在射线 l 上取一点 P ( x0 + ?x, y0 + ?y )（图 8-9） ，若极限βP0α?xox图 8-9P → P0limf ( P ) ? f ( P0 ) f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = lim ρ →0 P0 P ρ85 存在，其中 ρ 数z= P0 P = ( ?x) 2 + (?y ) 2 为两点 P0 和 P 之间的距离，则称此极限值为函?f ?l，即P0= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处沿着方向 l 的方向导数 方向导数，记作 方向导数?f ?l = limP0f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )ρ →0ρ．由定义可知，当函数 时，则函数f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) 存在f ( x, y ) 在点 P0 处沿着 x 轴正向 e 1 = {1,0} ， y 轴正向 e 2 = {0,1} 的方向导数都存在，且其值依次为f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) ，函数 f ( x, y ) 在点 P0 处沿着 x 轴负向′ ′ e 1 = {?1, 0} ， y 轴负向 e 2 = {0, ?1} 的方向导数也都存在， 且其值依次为 ? f x ( x0 , y0 ) ，? f y ( x0 , y0 ) ．沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出． 定理 1 设函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微，则函数 f ( x, y ) 在点 P0 处沿任一方向 l 的方向导数都存在，且?f ?l= f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β ，( x0 , y0 )（15）其中 cos α ， cos β 为 l 的方向余弦． 证 因为函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微，所以函数在点 P0 处的增量可表示为f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y + o( ρ )由图 8-9 可知，在 l 上 ?x= ρ cos α ， ?y = ρ cos β ，所以有= f x ( x0 , y0 ) ?xf ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )ρρ+ f y ( x0 , y0 )?yρ+o( ρ )ρo( ρ )= f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β +于是有极限86ρ， limρ →0f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )ρ= f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β ．这就证明了函数函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 沿方向 l 的方向导数存在，且其值为证毕． = f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β ．证毕 证毕?f ?l( x0 , y0 )需注意在公式 （15） 当 α 中，= 0 ，β =π2时，?f ?l= f x ( x0 , y0 ) ， α = 当P0π2， β=0时，?f ?l= f y ( x0 , y0 ) ，可见当 f ( x, y ) 可微时，偏导数是方向导数的特例．P0类似地，可以定义三元函数 u= f ( x, y , z ) 的方向导数，而且可微的三元函数在点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处沿任一方向 l 的方向导数也存在，且有?f ?l = f x ( x0 , y0 , z0 ) cos α + f y ( x0 , y0 , z0 ) cos β + f z ( x0 , y0 , z0 ) cos γ ，( x0 , y0 , z0 )其中 cos α ， cos β ， cos γ 为 l 的方向余弦． 例 1 求函数 z 导数．= xe 2 y 在点 P0 (1,0) 处沿着从点 P0 (1,0) 到点 P (2, ?1) 的方向的方向uuur解 这里方向 l 即向量 P0 P= {1, ?1} 的方向，因此 l 的方向余弦为 1 1 + (?1)2 2cos α = cos β == =?1 ， 2 1 ， 2?1 12 + ( ?1) 2又因为?z ?z ?z ?z = e 2 y ， = 2 xe 2 y ，于是 = 1， = 2， ?x ?y ?y (1,0) ?x (1,0) ?z ?l =(1,0)所以?z ?z 1 2 ? 1 ? cos α + cos β = 1 ? + 2??? ?=? 2 ． ?x (1,0) ?y (1,0) 2 2? ?87 例2 设f ( x, y, z ) = x + y 2 + z 3 ，求 f 在点 P0 (1,1,1) 处沿方向 l = 2i ? 2 j + k 的方向导数． 解 l 的方向余弦为cos α = cos β = cos γ =2 22 + (?2) 2 + 12 ?2=2 ， 32 =? ， 3 22 + (?2) 2 + 12 1 = ， 22 + (?2)2 + 12 3 1又因为?f ?f = 1， ?y ?x (1,1,1)= 2 y (1,1,1) = 2 ，(1,1,1)?f ?z= 3z 2(1,1,1)(1,1,1)= 3，所以?f ?l二、梯度定义 2 设函数 z(1,1,1)2 1 1 ? 2? = 1? + 2 ? ? ? ? + 3 ? = ． 3 3 3 ? 3?= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处存在对所有自变量的偏导数，则称向量f x ( x0 , y0 )i + f y ( x0 , y0 ) j 为 函 数 z = f ( x, y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 处 的 梯 度 ， 记 作gradf ( x0 , y0 ) ，即gradf ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )i + f y ( x0 , y0 ) j = { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )} ．若z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处可微，l0 = {cos α ,cos β } 为 l 方向上的单位向量， ?f ?l则方向导数公式（15）又可写成= gradf ( x0 , y0 ) ? l0 = gradf ( x0 , y0 ) cos θ( x0 , y0 )（16）其中 θ 是梯度 gradf ( x0 , y0 ) 与 l0 的夹角． 由公式（16）可以看出，方向导数 有下述性质：88?f 就是梯度在 l 方向上的投影，且方向导数还具 ?l （1）当 l 与 gradf ( x0 , y0 ) 同方向时，方向导数有最大值gradf ( x0 , y0 ) ； gradf ( x0 , y0 ) ；（2）当 l 与 gradf ( x0 , y0 ) 反方向时，方向导数有最小值 ? （3）当 l 与 gradf ( x0 , y0 ) 垂直时，方向导数为零．因此，函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向是函数在该点的方向导数取得最 大值的方向，它的模等于方向导数的最大值． 类似地，可以定义三元函数 u= f ( x, y , z ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的梯度为gradf ( x0 , y0 , z0 ) = f x ( x0 , y0 , z0 )i + f y ( x0 , y0 , z0 ) j + f z ( x0 , y0 , z0 )k ．同样当 u= f ( x, y , z ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微，l0 = {cos α ,cos β ,cos γ } 为 l 方向上的单位向量时，则有?f ?l= gradf ( x0 , y0 , z0 ) ? l0 = gradf ( x0 , y0 , z0 ) cos θ( x0 , y0 , z0 )例 3 求函数 u 向导数． 解 因为= xy 2 + yz 3 在点 P0 (2, ?1,1) 处的梯度及沿方向 l = 2i + 2 j - k 的方?u ?u ?u = y2 ， = 2 xy + z 3 ， = 3 yz 2 ， ?z ?x ?y = 1， ?u ?y = ?3 ，(2, ?1,1)于是?u ?x(2, ?1,1)?u ?z= ?3 ，(2, ?1,1)所以 gradu (2,?1,1) 又因为 l= i ? 3 j ? 3k ．= 2i + 2 j - k 的单位向量为 l0 =l 2 2 1 = i + j ? k ，所以 l 3 3 3?f ?l(2, ?1,1)2 1 ? 1 ?2 = gradu (2,?1,1) ? l0 = (i ? 3 j ? 3k ) ? ? i + j ? k ? = ? ． 3 3 ? 3 ?3习题 8-489 1．求函数 z 数． 2．求函数 u= x 2 + y 2 在点 (1, 2) 处沿着从点 (1, 2) 到点 (2, 2 + 3) 的方向的方向导= xy 2 + z 3 ? xyz 在点 (1,1, 2) 处沿方向 l （其方向角分别为 600 ， 450 ，600 ）的方向导数．3．求函数 u 4．求函数 z= xyz 在点 (5,1, 2) 处沿着从点 (5,1, 2) 到点 (9, 4,14) 的方向导数．= ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上点 (1, 2) 处，沿着这条抛物线在该点处 = x 2 ? xy + y 2 在点 (1,1) 处沿与 x 轴正方向成 α 角的射线 l 方向的方向偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数． 5．求函数 z导数，并问 α 角取何值时，方向导数取： （1）最大值； （2）最小值； （3）零． 6．求函数 u= ln( x 2 + y 2 + z 2 ) 在点 (1, 2, ?2) 处的梯度．7．设 u ， v 都是 x ， y ， z 的函数， u ， v 的各偏导数都存在且连续，证明： （1） grad (u + v ) = gradu + gradv ； （2） grad (uv) = vgradu + ugradv ； （3） gradf (u ) = 8．设 rf ′(u )gradu ，其中， f 是可微函数．= x 2 + y 2 + z 2 ，试求：1 ． r（1） gradr ； （2） grad§5多元函数微分学在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线 Γ 的参数方程为x = x(t ) ， y = y (t ) ， z = z (t ) ，其中 x′(t ) ， y′(t ) ， z ′(t ) 存在且不同时为零． 在曲线 Γ 上取对应于 t90= t0 的一点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 及对应于 t = t0 + ?t 的邻近一点 P ( x0 + ?x, y0 + ?y, z0 + ?z ) ，则曲线的割线 P0 P 的方程为ZPTx ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ， ?x ?y ?z用 ?t 去除上式各分母，得x ? x0 y ? y0 z ? z0 ． = = ?x ?y ?z ?t ?t ?toxP0y图 8-10当点 P 沿着曲线 Γ 趋于点 P 时，割线 P0 P 的极限位置 P0T 就是曲线 Γ 在点 P 处的 0 0 切线（图 8-10） ．令 P 切线 的切线方程为→ P0 （这时 ?t → 0 ） ，对上式取极限，就得到曲线 Γ 在点 P 处 0x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ． x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )（1）这里要求 x′(t0 ) ， y′(t0 ) ， z ′(t0 ) 不全为零，如果有个别为零，则应按照空间解析几何中 有关直线的对称式方程的说明来理解． 切线的方向向量称为曲线的切向量 曲线的切向量．向量 T = { x′(t0 ), y ′(t 0 ), z ′(t 0 )} 就是曲线 Γ 在 曲线的切向量 点 P 处的一个切向量． 0 通过点 P 而与切线垂直的平面称为曲线 Γ 在点 P 处的法平面 法平面．显然它是通过点 法平面 0 0P0 ( x0 , y0 , z0 ) 且以 T 为法向量的平面，因此法平面的方程为 x′(t0 )( x ? x0 ) + y′(t0 )( y ? y0 ) + z′(t0 )( z ? z0 ) = 0 ．例 1 求曲线 x （2）= t ， y = t 2 ， z = t 3 在点 (1,1,1) 处的切线方程与法平面方程． = 1 ，又因为解 点 (1,1,1) 对应的参数为 tx′(t ) t =1 = 1 ，91 y′(t ) t =1 = 2t t =1 = 2 ， z′(t ) t =1 = 3t 2所以曲线在点 (1,1,1) 处的切线方程为t =1= 3，x ?1 y ?1 z ?1 = = ， 1 2 3法平面方程为 即 例 2 求螺旋线 xx ? 1 + 2( y ? 1) + 3( z ? 1) = 0 ， x + 2 y + 3z = 6 ．= R cos t ， y = R sin t ， z = bt （其中 R 、b 为正常数）在 t =π2对应点处的切线方程与法平面方程． 解 因为x′(t ) t = π = ? R sin t t = π = ? R ，2 2y′(t ) t = π = R cos t t = π = 0 ，2 2z′(t ) t = π = b ．2又因为当 t=π2时，对应点是 P0 (0, R,πb2) ，因此在 P0 处切线方程为 z? bπ 2 ， bx y?R = = ?R 0即bπ ? ?bx + R ( z ? ) = 0， 2 ? ? y = R， ?法平面方程为(? R ) ? x + 0 ? ( y ? R) + b ? ( z ?即92bπ ) = 0， 22 Rx ? 2bz + b 2π = 0 ． 如果空间曲线 Γ 的方程由y = y ( x), z = z ( x) 的形式给出，此时可以把它看成以 x 作为参数的参数方程的形式： x = x，y = y ( x), z = z ( x) ．设 y ( x) ， z ( x ) 在 x= x0 处可导，则曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T = {1, y ′( x0 ), z ′( x0 )} ，因此曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ， 1 y′( x0 ) z′( x0 )其中 y0（3）= y ( x0 ) ， z0 = z ( x0 ) ．曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的法平面方程为 x ? x0 + y′( x0 )( y ? y0 ) + z′( x0 )( z ? z0 ) = 0 ．（4）如果空间曲线 Γ 的方程由? F ( x, y , z ) = 0 ? ?G ( x, y, z ) = 0（5）给出，设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲线 Γ 上一点， F ， G 对各变量具有连续的偏导数，且雅可比 行列式?( F , G ) ≠ 0， ? ( y, z ) ( x0 , y0 , z0 )则根据隐函数存在定理 3， 方程组 （5）在点 P 的某邻域内确定了一组可微函数 y = 0y ( x) ，z = z ( x) ． 为了求出曲线 Γ 在点 P 处的切线方程和法平面方程， 只需求出 y′( x0 ) ， ′( x0 ) z 0就行了．为此在方程组（5）的两边分别对 x 求全导数，注意 y ， z 是 x 的函数，得dy dz dz ? ? dy ? Fx + Fy dx + Fz dx = 0， ? Fy dx + Fz dx = ? Fx， ? ? 即? ? ?G + G dy + G dz = 0， ?G dy + G dz = ?G . y z z x ? x ? y dx dx dx dx ? ?93 由假设，在点 P 的某邻域内有 J 0=?( F , G) ≠ 0 ，从而可解出 ? ( y, z )Fx Gx 1 ?( F , G) = ， Fz J ? ( z , x) Gz Fy Gy Fz Gz? Fx Fz Fz G dy ?Gx Gz = = z Fy Fz Fy dx G y Gz Gy Fy Gy ? Fx ?Gx Fz Gz Fx Gx Fy Gydz = Fy dx Gy==1 ?( F , G ) ， J ? ( x, y )那么，曲线 Γ 在点 P 处的切向量为 0T = {1,1 ?( F , G ) J ? ( z, x),P01 ?( F , G ) ?(F , G ) } 或T = { J ? ( x, y ) P0 ? ( y, z ),P0?(F , G ) ?( z, x),P0?(F , G ) }， ? ( x , y ) P0因此，曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ， ?( F , G) ?( F , G ) ?( F , G) ? ( y, z ) P0 ? ( z, x) P0 ? ( x, y ) P0法平面为（6）?( F , G ) ?( F , G) ?( F , G) ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) + ( z ? z0 ) = 0 ． ? ( y, z ) P0 ? ( z , x) P0 ? ( x, y ) P0例 3 求曲线 ?（7）? x2 + y 2 + z 2 = 6 ?x + y + z = 0在点 (1, ?2,1) 处的切线方程和法平面方程．解 令 F ( x, y , z ) = 则x 2 + y 2 + z 2 ? 6 ， G ( x, y , z ) = x + y + z ，2 y 2z ?( F , G) = = 2( y ? z ) (1,?2,1) = ?6 ， 1 1 (1,?2,1) ? ( y, z ) (1,?2,1)94 2z 2x ?( F , G ) = = 2( z ? x) (1,?2,1) = 0 ， 1 1 (1,?2,1) ? ( z , x) (1,?2,1) 2x 2 y ?( F , G ) = = 2( x ? y ) (1,?2,1) = 6 ， 1 1 (1,?2,1) ? ( x, y ) (1,?2,1)因此，切线方程为x ?1 y + 2 z ?1 = = ， ?6 0 6即? x + z ? 2 = 0， ? ? y = ?2，法平面方程为?6( x ? 1) + 0( y + 2) + 6( z ? 1) = 0 ，即x? z = 0．二、曲面的切平面与法线 曲面的切平面与法线若曲面 Σ 上过点 P 的所有曲线在点 P 处的切线都在同一平面上，则称此平面为曲面 0 0Σ在点 P 处的切平面 切平面． 切平面 0 设曲面 Σ 的方程为 F ( x, y , z ) = 0 ， 0 (x0, y0, z0 ) 是曲面 Σ 上一点， P 函数 F ( x, y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 处具有一阶连续偏导数，且 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ， Fy ( x0 , y0 , z0 ) ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 不同时为零．在上述假设下我们证明曲面 Σ 在点 P 处的切平面存在，并求出切平面方程． 0 在曲面 Σ 上任取一条过 P 的曲线 Γ ，设其参数方程为 0x = x(t ) ， y = y (t ) ， z = z (t ) ，（8）t = t0 对应于点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ，且 x′(t0 ) ， y′(t0 ) ，z′(t0 ) 不同时为零，则曲线 Γ 在点 P0处的切向量为T = { x′(t0 ), y ′(t0 ), z ′(t0 )} ．另一方面，由于曲线 Γ 在曲面 Σ 上，所以有恒等式F [ x(t ), y (t ), z (t )] ≡ 0 ，95 由全导数公式，得dF dt即t =t0? ?F dx ?F dy ?F dz ? =? + + ? = 0， ? ?x dt ?y dt ?z dt ? t =t0（9）Fx ( x0 , y0 , z0 ) x′(t0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) y′(t0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 ) z′(t0 ) = 0 ．若记向量 n 为n = {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} ，则（9）式可写成 n ? T= 0 ，即 n 与 T 互相垂直．因为曲线（8）是曲面 Σ 上通过点 P0 的任意一条曲线，它们在点 P 处的切线都与同一个向量 n 垂直，所以曲面上通过点 P 的一 0 0 切曲线在点 P 的切线都在同一个平面上．该平面就是曲面 Σ 在点 P 处的切平面．切平面 0 0 方程为Fx ( x0 , y0 , z0 )( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y ? y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z ? z0 ) = 0 ． （10）过点 P 且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的法线 法线．由解析几何知法线的方程为 法线 0x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ． Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )曲面 Σ 在 P 点的切平面的法向量也称为曲面 Σ 在 P 点的法向量 法向量．向量 法向量 0 0（11）n = {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}就是曲面 Σ 在点 P 处的一个法向量． 0 如果曲面 Σ 的方程是由显函数 z= f ( x, y ) 的形式给出，则可令 F ( x, y , z ) = f ( x, y ) ? z ，这时有 于是，当函数Fx ( x, y, z ) = f x ( x, y ) ， Fy ( x, y, z ) = f y ( x, y ) ， Fz ( x, y, z ) = ?1 ． f ( x, y ) 的偏导数 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续时，则曲面 Σ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为z ? z0 = f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y ? y0 ) ．96（12） 法线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ． f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) ?1曲面 Σ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的一个法向量为（13）n = {? f x ( x0 , y0 ), ? f y ( x0 , y0 ),1} ．如果用 α ， β ， γ 表示曲面的法向量的方向角，并假设法向量与 z 轴正向夹角 γ 为锐角 （即法向量的方向是向上的） ，则法向量的方向余弦为cos α =? f x ( x0 , y0 ) 1 + f 2 x ( x0 , y0 ) + f 2 y ( x0 , y0 )，cos β = cos γ =例 4 求椭球面 x2? f y ( x0 , y0 ) 1 + f 2 x ( x0 , y0 ) + f 2 y ( x0 , y0 ) 1 1 + f x ( x0 , y0 ) + f2 2 y，．( x0 , y0 )+ 2 y 2 + 3z 2 = 6 在点 (1,1,1) 处的切平面方程与法线方程． x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 ? 6 ，则 Fx = 2 x ， Fy = 4 y ， Fz = 6 z ，解 设 F ( x, y , z ) = 于是Fx (1,1,1) = 2 ， Fy (1,1,1) = 4 ， Fz (1,1,1) = 6 ，因此切平面方程为2( x ? 1) + 4( y ? 1) + 6( z ? 1) = 0 ，即x + 2 y + 3z = 6 ，法线方程为x ?1 y ?1 z ?1 = = ． 1 2 3 = x 2 + y 2 ? 1 在点 P0 (2,1, 4) 处的切平面方程与法线方程．例 5 求旋转抛物面 z 解 设z= f ( x, y ) = x 2 + y 2 ? 1 ，则97 f x ( x, y ) = 2 x ， f y ( x, y ) = 2 y ， f x (2,1) = 4 ， f y (2,1) = 2 ，因此切平面方程为z ? 4 = 4( x ? 2) + 2( y ? 1) ，即 4 x + 2 y ? z = 6 ，法线方程为x ? 2 y ?1 z ? 4 = = ． 4 2 ?1习题 8-51．求下列曲线}
隐式给出的平面曲线的法向量公式是什么？
比如，F（x，y）=0表示平面上的某曲线，点P（x0，y0）是该曲线上的任一点，那么这个曲线在P点的法向量和切向量分别是什么？
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这个曲线在P点的切向量是:(1，dy/dx)这个曲线在P点的法向量是:(1，-1/(dy/dx))dy/dx可以从F（x，y）=0中用隐函数求导求得,.求导以后,代入P点坐标(X0,Y0).，然后解出dy/dx,，dy/dx也就是Y在X=X0处的导数值.法向量和切向量垂直.------------------------------------------数学辅导团琴生贝努里为你解答。
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第8章 多元函数微分学及其应用
第 8 章 多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数．而在实际问题 中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数． 多元函数是一元函数的推广．它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有 许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别 之处在学习中要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数 的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去．§1 多元函数的极限与连续一、平面点集与 n 维空间 平面点集与一元函数的定义域是实数轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集．因 此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念． 1．平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点 P 与二元有 序实数组 ( x, y ) 之间就建立了一一对应．于是，我们常把二元有序实数组 ( x, y ) 与平面上 的点 P 看作是等同的．这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 坐标平面． 坐标平面 二元有序实数组 ( x, y ) 的全体，即 R2= {( x, y ) x, y ∈ R} 就表示坐标平面．坐标平面上满足某种条件 C 的点的集合，称为平面点集 平面点集，记作 平面点集E = {( x, y ) ( x, y ) 满足条件 C} ． 例如，平面上以原点为中心， r 为半径的圆内所有点的集合是 E = {( x, y ) x 2 + y 2 & r 2 } ．现在，我们引入平面中邻域的概念． 设 P0 ( x0 , y0 ) 是平面上一点， 是一正数． δ 与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于 δ 的点 P ( x, y ) 的 全体，称为点 P 的 δ 邻域 点 0 邻域，记为 U ( P0 , δ ) 或 U ( P0 ) ，即U ( P0 , δ ) = {P P0 P & δ } = {( x, y ) ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y0 )2 & δ } ．不包含点 P 在内的邻域称为点 P 的空心 δ 邻域 邻域，记为 U 点 0 042o( P0 , δ ) 或 U o ( P0 ) ，即 U o ( P0 , δ ) = {P 0& P0 P & δ } = {( x, y ) 0 & ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y0 ) 2 & δ } ．在几何上，邻域 U ( P0 , δ ) 就是平面上以点 P0 ( x0 , y0 ) 为中心， δ 为半径的圆的内部 的点 P ( x, y ) 的全体． 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系． 任意一点 P ∈ R 与任意一个点集 E2? R 2 之间必有以下三种关系之一：（1）内点 内点：若存在点 P 的某个邻域 U ( P ) ，使得 U ( P) ? E ，则称点 P 是点集 E 的 内点 内点（见图 8-1） ． 内点 （2）外点 外点：如果存在点 P 的某个邻域 U ( P ) ，使得 U ( P) I E = ? ，则称点 P 是点 外点 集 E 的外点（见图 8-2） ． 外 （3）边界点 边界点：如果在点 P 的任何邻域内既含有属于 E 的点，又含有不属于 E 的点， 边界点 边界点（见图 8-3） E 的边界点的全体称为 E 的边界 ． 边界,记作 ?E ． 则称点 P 是点集 E 的边界点 边界点 边界PE图 8-1PE图 8-2PE图 8-3E 的内点必定属于 E ； E 的外点必定不属于 E ； E 的边界点可能属于 E ，也可能 不属于 E ． 点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点．聚点： 聚点 若点 P 的任何空心邻域 Uo( P0 ) 内总有 E 中的点，则称 P 为点集 E 的聚点 聚 聚点． 聚点点本身可能属于 E 也可能不属于 E ． 显然， E 的内点一定是 E 的聚点， E 的外点一定不是 E 的聚点． 例如，点集 D 点；满足 x2= {( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 & 4} ，满足1 & x 2 + y 2 & 4 的一切点是 D 的内+ y 2 = 1 的一切点是 D 的边界点，它们都属于 D ；满足 x 2 + y 2 = 4 的点也是 D 的边界点，但它们不属于 D ；点集 D 连同它的外圆边界上的点都是 D 的聚点． 根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集． 开集：如果点集 E 的点都是 E 的内点，则称 E 为开集 开集． 开集 开集43 闭集：如果点集 E 的所有聚点都属于 E ，则称 E 为闭集． 闭集 闭 例如，集合 {( x, y ) 1 & 而集合 {( x, y ) 1 ≤x 2 + y 2 & 4} 是开集；集合 {( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} 是闭集；x 2 + y 2 & 4} 既非开集，也非闭集．此外，还约定全平面 R 2 和空集 ?既是开集又是闭集． 连通集：若点集 E 中任意两点都可以用完全含于 E 的有限条直线段所组成的折线相 连通集 连接，则称 E 是连通集． 连通集 连通 区域（开区域） ：连通的开集称为区域或开区域 区域或开区域． 区域（开区域） 区域或开区域 闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域 闭区域． 闭区域 闭区域 例如， {( x, y ) 1 &x 2 + y 2 & 4} 是区域； {( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} 是闭区域．有界集： 有界集 对于点集 E ， 如果能包含在以原点为中心的某个圆内， 则称 E 是有界点集 否 有界点集． 有界点集 则称为无界点集 无界点集． 无界点集 例如 {( x, y ) 2． n 维空间 称 n 元有序实数组 ( x1 , x2 ,L xn ) 的全体为 n 维空间 维空间，记为x 2 + y 2 ≤ 1} 是有界闭区域，而 {( x, y ) x 2 + y 2 & 1} 是无界的开区域．R n = {( x1 , x2 ,L , xn ) xi ∈ R, i = 1, 2,L , n} ． R n 中的每个元素 ( x1 , x2 ,L, xn ) 称为 n 维空间中的一个点， xi 称为该点的第 i 个坐标 维空间中的一个点 第 个坐标．设点 M ( x1 , x2 ,L, xn ) ， N ( y1 , y2 ,L, yn ) 为 R 中的两点，我们规定 M ， N 两点 间的距离为nMN = ( y1 ? x1 ) 2 + ( y2 ? x2 ) 2 + L + ( yn ? xn ) 2 ．显然，当 n= 1, 2,3 时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式．n有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到 R 中去．设P0 ∈ R n ， δ 是一正数，那么 R n 中的点集 U ( P0 , δ ) = {P P0 P & δ , P ∈ R n }就称为点 P 的 δ 邻域． 0 有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、区44 域等概念推广到 n 维空间去．二、二元函数的概念1．二元函数的概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一个变量依赖于多个变量的关系，下面 先看几个例子． 例 1 正圆锥体的体积 V 和它的高 h 及底面半径 r 之间有关系 V1 = π r 2h ． r 和 h 当 3在集合 {( r , h) 值与之对应．1 r & 0, h & 0} 内取定一组数时，通过关系式 V = π r 2 h ，V 有唯一确定的 3 RT ，其 V例 2 一定量的理想气体的压强 P 、体积 V 和绝对温度 T 之间有关系 P 中 R 为常数．当 V 、 T 在集合 {(V , T ) V=& 0, T & 0} 内取定一组数时，通过关系式P=RT ， P 有唯一确定的值与之对应． V上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间 存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这 个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对 应．由这些共性便可得到以下二元函数的定义． 定义 1 设 D 是平面上的一个点集，如果对于 D 内任意一点 P ( x, y ) ，变量 z 按照某 一对应法则 f 总有唯一确定的值与之对应，则称 z 是变量 x 、 y 的二元函数 二元函数（或称 z 是点 二元函数P 的函数） ，记作z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D或z = f ( P ), P ∈ D ．其中点集 D 称为函数的定义域 x ，y 称为自变量 z 也称为因变量 数集 {z 定义域， 自变量， 因变量， 定义域 自变量 因变量z = f ( x, y ),( x, y ) ∈ D} 称为该函数的值域． z 是 x ， y 的函数也可记为 z = z ( x, y ) ．按照定义，在例 1 和例 2 中， V 是 h 和 r 的函数， P 是 V 和 T 的函数，它们的定义 域由实际问题来确定．当二元函数仅用算式表示而未注明定义域时，约定其定义域为使算45 式有意义的点的集合． 例 3 求下列函数的定义域． （1） z = ln( x + y ) ； （2） z = arcsin( x + y ) ．2 2解 （1）要使 ln( x + y ) 有意义，必须有 x + 所以定义域为y & 0，{( x, y ) x + y & 0} ．（见图 8-4） ，这是一个无界开区域． （2）要使 arcsin( x 2 + y 2 ) 有意义，必须有 x 2 + y 2 ≤ 1 ， 所以定义域为{( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1} ．（见图 8-5） ，这是一个有界闭区域．设二元函数 z = f ( x, y ) 的定义域为 D ， 对任一点 ( x, y ) ∈ D ， 必有唯一的 z = f ( x, y ) 与之对应．这样，以 x 为横坐标， y 为纵坐标， z = f ( x, y ) 为竖坐标在空间就确定一个点P ( x, y, z ) ．当 ( x, y ) 取遍 D 上一切点时，相应地得到一个空间点集 {( x, y , z ) z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D} ，这个点集称为二元函数 z = f ( x, y ) 的图形 二元函数 的图形（见图 8-6） ．通常 z = f ( x, y ) 的图形是一张曲 面，函数 f ( x, y ) 的定义域 D 便是该曲面在 xOy 面上的投影． 例如， 由空间解析几何知道，z462 2 = 2 x + 5 y 的图形是一张平面， 而函数 z = x + y 的 图形是旋转抛物面． 2． n 元函数的概念 如果对于 E 中任意一点 P( x1, x2 ,L, xn ) ， 变量 u 按 定义 2 设 E 是 R 中的一个点集， 元函数，记作 照某一对应法则 f 总有唯一确定的值与之对应，则称 u 是定义在 E 上的 n 元函数nu = f ( x1 , x2 , L , xn ), ( x1 , x2 , L , xn ) ∈ E ，或u = f ( P), P ∈ E ．点集 E 称为函数的定义域 定义域，数集 {u 定义域 该函数的值域． 在定义 2 中，分别令 n = 2 和 n 元以上的函数统称为多元函数．u = f ( x1 , x2 ,L, xn ),( x1 , x2 ,L, xn ) ∈ E} 称为= 3 ，便得到二元函数和三元函数的定义，二元及二三、二元函数的极限设二元函数 z = f ( x, y ) 定义在平面点集 D 上， P0 ( x0 , y0 ) 为点集 D 的聚点，我们来 讨论当点 P ( x, y ) → 这里 P ( x, y ) → 距离趋于零，也就是P0 ( x0 , y0 ) ，即点 x → x0 ， y → y0 时函数 z = f ( x, y ) 的极限． P0 ( x0 , y0 ) 是指点 P 以任意的方式趋于 P0 ， 亦即两点 P 与 P 之间的 0 P0 P = ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y0 ) 2 → 0 ．与一元函数的极限概念类似，如果在 P ( x, y ) → 应的函数值P0 ( x0 , y0 ) 的过程中， P ( x, y ) 所对f ( x, y ) 无限接近于一个常数 A ，则称当 P ( x, y ) → P0 ( x0 , y0 ) 时，函数z = f ( x, y ) 以 A 为极限．下面用“ ε ? δ ”语言来描述这个极限的概念．定义 3 设二元函数 z = f ( x, y ) 的定义域为 D ， P0 ( x0 , y0 ) 是 D 的聚点， A 是一个 常数．如果对于任意给定的正数 ε ，总存在正数 δ ，使得当 P( x, y) ∈U 恒有o( P0 ,δ ) I D 时，f ( P ) ? A = f ( x, y ) ? A & ε47 成立，则称当 P ( x, y ) →P0 ( x0 , y0 ) 时函数 z = f ( x, y ) 以 A 为极限 为极限，记为 函 f ( x, y ) = A 或 lim f ( x, y ) = A ，x → x0 y → y0( x , y ) →( x0 , y0 )lim也记作P → P0lim f ( P) = A ．二元函数的极限也称为二重极限 二重极限． 二重极限 例4 设f ( x, y ) = sin x 2 + y 2 ，证明( x , y ) →(0,0)limf ( x, y ) = 0 ．证 这里函数f ( x, y ) 的定义域是 D = R 2 ，点 O(0,0) 显然为 D 的聚点．由于f ( x, y ) ? 0 = sin x 2 + y 2 ? 0 ≤ x 2 + y 2 ，可见，对任意给定的 ε& 0 ，取 δ = ε ，则当0 & ( x ? 0) 2 + ( y ? 0) 2 & δ ，即 P( x, y) ∈Uo(O,δ ) I D 时，恒有f ( x, y ) ? 0 ≤ x 2 + y 2 & ε ，成立，根据二元函数极限的定义，证得( x , y ) →(0,0)limf ( x, y ) = 0 ．我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 P ( x, y ) 以任何方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时，函 数 数f ( x, y ) 都无限接近于同一个常数 A ．因此，当 P 以某种特殊方式趋近于 P0 ，即使函 f ( x, y ) 无限接近于某一常数，也不能断定二重极限存在．但当 P 以某种特殊方式趋近于 P0 时， 函数f (x, y) 的极限不存在， 或者当 P 沿两个特殊方式趋近于 P0 时， 函数 f ( x, y)xy 当 ( x, y ) → (0,0) 时是否存在极限． x + y22分别无限接近于两个不同的常数，则可以断定二重极限不存在． 例 5 讨论f ( x, y ) =解 当点 ( x, y ) 沿着直线 y= kx 趋于 (0,0) 时，有48 xy kx 2 k = lim 2 = ． ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2 x →0 x + k 2 x 2 1+ k2 y = kx lim这与极限定义中当 P ( x, y ) 以任何方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时， 函数 其值因 k 而异，f ( x, y ) 都 xy x + y22无限接近于同一个常数 A 的要求相违背，因此当 ( x, y ) → (0,0) 时， f ( x, y ) = 的极限不存在． 以上关于二元函数极限的有关描述，可相应地推广到一般的 n 元函数 u= f ( P) 即u = f ( x1 , x2 , L , xn ) 上去．多元函数极限的性质和运算法则与一元函数相仿，这里不再重复． 例6 求( x , y ) →(0,0)lim ( x + y )sin1 ． x2 + y 2 1 ≤ 1 ，利用有界函数与无穷小的乘积 x + y22解 因为( x , y ) →(0,0)lim ( x + y ) = 0 ，而 sin是无穷小，即知( x , y ) →(0,0)lim ( x + y )sin1 =0． x + y22sin( x 2 + y 2 ) lim ． 例7 ( x , y ) →(0,0) x2 + y 2解 利用变量替换．令 u= x 2 + y 2 ，当 ( x, y ) → (0,0) 时，有 u → 0 ，因此sin( x 2 + y 2 ) sin u = lim = 1． 2 2 ( x , y ) →(0,0) u →0 x +y u limx2 y ． 例 8 求 lim ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2令 解 利用极坐标变换． x 因此= r cos θ ，y = r sin θ ， ( x, y ) → (0,0) 时， r → 0 ， 当 有49 x2 y r 3 cos 2 θ sin θ = lim = lim r cos 2 θ sin θ = 0 ． 2 ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2 r →0 r →0 r lim四、二元函数的连续有了二元函数极限的概念，仿照一元函数连续性的定义，不难得出二元函数连续性的 定义．P 且 定义 4 设二元函数 z = f ( x, y ) 的定义域为 D ， 0 ( x0 , y0 ) 是 D 的聚点， P0 ∈ D ，如果( x , y ) →( x0 , y0 )limf ( x, y ) = f ( x0 , y0 )（1）则称二元函数 z = f ( x, y ) 在 P 点连续 二元函数 0 点连续． 若记 ?x= x ? x0 ， ?y = y ? y0 ，则称 ?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )为函数f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的全增量 全增量．和一元函数一样，可用增量的形式来描述连续 全增量 lim?z =性，即当( ?x , ?y ) →(0,0) ( ?x , ?y ) →(0,0)limf ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = 0时，f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续．若函数 f ( x, y ) 在 D 上每一点都连续， 则称 f ( x, y ) 在 D 上连续， 上连续， 或称 f ( x, y ) 是 D 上的连续函数． 的连续函数． 间断点． 若 f ( x, y ) 在 P 点不连续，则称 P 是函数 f ( x, y ) 的间断点 间断点 0 0 当函数 f ( x, y ) 在 P 点没有定义；或虽有定义，但当 P 0→ P0 时函数 f ( x, y ) 的极限不存在；或极限虽存在，但极限值不等于该点处的函数值，则 P 都是函数 f ( x, y ) 的间断 0 点．例如，考察函数? xy 0) ， ( x，y ) ≠ (0，， ? f ( x，y ) = ? x 2 + y 2 ?0， ( x，y ) = (0， 0). ?50 例 5 中已说明，( x , y ) → (0,0)limxy 不存在，所以点 (0， 是函数 f ( x，y ) 的间断点． 0) x + y22再如函数 f ( x，y ) =x? y 2 2 在曲线 x = y 上每一点处都没有定义，所以曲线 x = y 2 x? y上每一点都是该函数的间断点． 根据极限的运算法则和多元函数连续性的定义， 不难证明多元连续函数的和、 差、 积、 商（分母不等于零）也都是连续函数．多元连续函数的复合函数也是连续函数． 与一元初等函数类似，多元初等函数 多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子是 多元初等函数 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到 的．例如 sin( x2+ y 2 ) ， ln( x + y ) 都是多元初等函数．根据连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再利用 基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论： 多元初等函数在其定义区域内是连续的． 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或 闭区域． 由多元初等函数的连续性， 如果需求极限 lim 区域内的一点，则P → P0 P → P0f ( P ) ，而 P0 正是初等函数 f ( P ) 定义lim f ( P) = f ( P0 ) ．例9 求( x , y ) →(1,2)lim ln( x + y ) ． y ) 是多元初等函数，它的定义域解 函数 ln( x +D = {( x, y ) x + y & 0}是一个区域，而点 (1, 2) ∈ D ，所以( x , y ) →(1,2)lim ln( x + y ) = ln(1 + 2) = ln 3 ．例 10 求( x , y ) →(0,0)limxy ． xy + 1 ? 1解( x , y ) →(0,0)limxy ( xy + 1 + 1) xy = lim xy + 1 ? 1 ( x , y )→(0,0) xy + 1 ? 1 =( x , y ) →(0,0)limxy + 1 + 1 = 2.51 以上运算的最后一步用到了二元函数xy + 1 + 1 在点 (0,0) 的连续性．类似于闭区间上一元连续函数的性质，在有界闭区域上的多元连续函数具有以下几个 重要性质： 最大值、最小值定理） 性质 1（最大值、最小值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有最 大值与最小值； 有界性定理） 性质 2（有界性定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有界； 介值定理） 性质 3（介值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，必能取得介于最大值与最小 值之间的任何值．习题 8-11．判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、闭区域、有界集、无界集，并指 出它们的边界和聚点． （1） D= {( x, y ) x ≠ 0, y ≠ 0} ； 2 （2） D = {( x, y ) y & x } ； （3） D = {( x, y ) x + y ≤ 1} ．2．求下列函数的定义域，并作出定义域的草图：（1） z=x2 + y 2 ； x2 ? y 2（2） z= ln x + ln y ；= sin( x 2 + y 2 ) ．（3） z=arcsin(3 ? x 2 ? y 2 ) x? y2；（4） z3．求下列各极限： （1）( x , y ) →(0,0)lim ( x 2 + y 2 )sinx2 + y21 ； x + y22（2）sin( xy ) ； ( x , y ) →(0,2) x lim( x , y ) →(1,0)（3）( x , y ) →(0,0)lim1 + x2 + y2 ?1 xy ； x + y22；（4）limln( x + e y ) x2 + y 2 x+ y ． x? y．4．证明下列极限不存在： （1）( x , y ) →(0,0)lim（2）( x , y ) →(0,0)lim5．求下列函数的间断点：52 （1） sin1 ； x+ y（2） tan( x2+ y2 ) ．偏导数与全微分 §2 偏导数与全微分一、偏导数1．偏导数定义及其计算 在一元函数中，我们通过函数的增量与自变量增量之比的极限引出了导数的概念，这 个比值的极限刻画了函数对于自变量的变化率．对于多元函数同样需要讨论它的变化率， 由于多元函数的自变量多于一个，使得变化率问题变得较为复杂．在这一节里，我们首先 考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，即讨论只有一个自变量变化，而其余自变量 固定不变（视为常量）时函数的变化率． 定义 1 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，当 y 固定在 y0 ，而 x 在x0 处有增量 ?x 时（点（ x0 + ?x, y0 ）仍在该邻域中） ，相应地函数有增量f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ．如果极限?x → 0limf ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ?x存在，则称此极限为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数 函数 的偏导数，记作?z ， ?x ( x0 , y0 )?f ?x， z x ( x0 , y0 ) 或 f x ( x0 , y0 ) ①，即( x0 , y0 )f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ． ?x → 0 ?x 类似地，函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数 的偏导数定义为 函数 f x ( x0 , y0 ) = lim?y → 0（1）limf ( x0 , y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) ， ?y（2）记作?z ?f ， ?y ( x0 , y0 ) ?y， z y ( x0 , y0 ) 或 f y ( x0 , y0 ) ．( x0 , y0 )①偏导数记号 z x ，f x 也常记作 z ′ ， f x′ ． x53 由偏导数的定义可知， 二元函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， 实际上就是把 y 固定在 y0 时， 一元函数 f ( x, y0 ) 在 x0 点的导数df ( x, y0 ) ； f y ( x0 , y0 ) dx x = x0就是一元函数 f ( x0 , y ) 在 y0 点的导数df ( x0 , y ) dy．y = y0如果函数 z = f ( x, y ) 在区域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x 的偏导数都存在， 那么这个偏导 数就是 x ， y 的函数，称它为函数 z = f ( x, y ) 对自变量 x 的偏导函数 的偏导函数，记作?z ?f ， ?x ?xz x 或 f x ( x, y ) ．类似地，可以定义函数 z = f ( x, y ) 对自变量 y 的偏导函数，记作 的偏导函数?z ?f ， ， zy 或 ?y ?yf y ( x, y ) ．偏导函数也简称为偏导数．显然函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是偏导函数 f x ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的函数值； f y ( x0 , y0 ) 就是偏导函数 f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的函数值． 至于实际求 z = f ( x, y ) 的偏导数，并不需要用新的方法，因为偏导数的实质就是把 一个自变量固定， 而将二元函数 z = f ( x, y ) 看成是另一个自变量的一元函数的导数． 计算?f ?f 时，只要把 y 看作常数，而对 x 求导数；类似地，计算 时，只要把 x 看作常数，而 ?x ?y对 y 求导数． 二元以上的函数的偏导数可类似定义． 例如三元函数 u = f ( x, y , z ) 在点 ( x, y , z ) 处对x 的偏导数可定义为f x ( x, y, z ) = lim?x → 0f ( x + ?x, y, z ) ? f ( x, y, z ) ?x其中 ( x, y , z ) 是函数 u = f ( x, y , z ) 的定义域的内点． 求二元以上函数对某个自变量的偏导数也只需把其余自变量都看作常数而对该自变 量求导即可． 例 1 求二元函数 z = arctany 的偏导数． x解 对 x 求偏导数时，把 y 看作常数，则54 ?z = ?xy ? y ? ； ?? ? 2 ? = ? 2 x + y2 ? y? ? x ? 1+ ? ? ?x? 12对 y 求偏导数时，把 x 看作常数，则?z = ?y1 ? y? 1+ ? ? ? x?3 2?1 x = 2 ． x x + y2例 2 设 f ( x, y ) = x + 2 x y ? y ，求 f x (1,3) ， f y (1, 3) ．3 2先求出偏导函数 f x ( x, y ) 和 f y ( x, y ) ， 再求偏导函数在点 (1,3) 的函数值． 解 方法一：f x ( x, y ) = 3 x 2 + 4 xy ，f y ( x, y ) = 2 x 2 ? 3 y 2 ，所以f x (1,3) = 15 ， f y (1, 3) = ?25 ．方法二：将 f x (1,3) 转化为当 y = 3 时，计算一元函数 f ( x, 3) 在 x = 1 处的导数，f ( x, 3) = x3 + 6 x 2 ? 27 ，所以f x (1,3) =df ( x,3) = (3x 2 + 12 x) = 15 ． x =1 dx x =1将 f y (1, 3) 转化为当 x = 1 时，计算一元函数 f (1, y ) 在 y = 3 处的导数，f (1, y ) = 1 + 2 y ? y 3 ，所以f y (1,3) =df (1, y ) dy2= (2 ? 3 y 2 )y =32y =3= ?25 ．2? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? 例 3 已知函数 r = x + y + z ，求证 ? ? + ? ? + ? ? =1． ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ?2 22证 求?r 时，把 y 和 z 看作常数，则 ?x?r = ?xx x2 + y 2 + z 2=x ， r55 由于所给函数关于自变量对称①，所以?r y ?r z = ， = ， ?y r ?z r从而有x2 + y 2 + z 2 ? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? +? ? +? ? = = 1． ? ? r2 ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ?2 22，求证 例 4 已知理想气体的状态方程是 PV = RT （ R 是常数） 证?P ?V ?T ? ? = ?1 ． ?V ?T ?P?P ? = ?V ?V? RT ? ? VRT ? ?=? 2 ， V ? ? R ?= ， ? P ? V ?= ， ? R?V ? ? RT = ? ?T ?T ? P ?T ? ? PV = ? ?P ?P ? R故?P ?V ?T RT R V RT ? ? =? 2 ? ? =? = ?1 ． ?V ?T ?P V P R PV ?P ?V ?T 从例 4 不难说明偏导数的记号 ， ， 是一个整体记号，不能像一元函数的 ?V ?T ?P dy ?P ?V ?T 导数 那样看成分子与分母之商，否则将导致 ? ? = 1 的错误结论． dx ?V ?T ?P2．偏导数的几何意义 在空间直角坐标系中， 二元函数 z = f ( x, y ) 的图像是一个空间曲面 S ． 根据偏导数的 定义， f x ( x0 , y0 ) 就是把 y 固定在 y0 ，一元函数 f ( x, y0 ) 在 x0 点的导数．而在几何上，一 元函数 z = f ( x, y0 ) 表示曲面 S 与平面 y = y0 的交线 C1 : ?? z = f ( x, y ) ，则由一元函数导 ? y = y0数的几何意义知，f x ( x0 , y0 ) 就是曲线 C1 在点 P0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处的切线 P0Tx 对 x 轴的 斜率，即 P0Tx 与 x 轴正向所成倾角的正切 tan α （见图 8-7） ． 同理， f y ( x0 , y0 ) 就是曲面 S 与平面 x = x0 的交线 C2 : ?? z = f ( x, y ) 在点 P0 处的切线 ? x = x0①若函数表达式中任意两个自变量对调后，仍表示原来的函数，则称函数关于这两个自变量对称．56 P0Ty 对 y 轴的斜率 tan β （见图 8-8） ．图 8-7图 8-83．偏导数与连续的关系 偏导数与连续的关系 我们知道，若一元函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导，则 f ( x) 必在点 x0 处连续．但对于 二元函数 z = f ( x, y ) 来讲，即使在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数都存在，也不能保证函数f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续．这是因为偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) 存在只能保证一元函数 z = f ( x, y0 ) 和 z = f ( x0 , y ) 分别在 x0 和 y0 处连续，但不能保证 ( x, y ) 以任何方式趋 于 ( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x, y ) 都趋于 f ( x0 , y0 ) ． 例 5 求二元函数? xy ， ( x，y ) ≠ (0，， 0) ? f ( x，y ) = ? x 2 + y 2 ?0， ( x，y ) = (0，， 0) ?在点 (0, 0) 处的偏导数，并讨论它在点 (0, 0) 处的连续性． 类似于一元函数， 分段函数分界点处的偏导数 解 点 (0, 0) 是函数 f ( x, y ) 的分界点， 要用定义去求．f x (0, 0) = lim?x → 0f (0 + ?x, 0) ? f (0, 0) 0?0 = lim =0， ?x →0 ?x ?x又由于函数关于自变量 x ， y 是对称的，故 f y (0, 0) = 0 ． 我们在第一节已经知道 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处不连续． 当然， z = f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续也不能保证 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的偏导数存在． 例 6 讨论函数 f ( x, y ) =x 2 + y 2 在点 (0, 0) 处的偏导数与连续性．57 解因为 f ( x, y ) =x 2 + y 2 是多元初等函数，它的定义域 R 2 是一个区域，而(0,0) ∈ R 2 ，因此 f ( x, y ) = x 2 + y 2 在点 (0, 0) 处连续．但 f x (0, 0) = lim?x → 0?x f (0 + ?x, 0) ? f (0, 0) = lim 不存在．由函数关于自变量的对 ?x → 0 ?x ?x称性知， f y (0, 0) 也不存在． 4．高阶偏导数 设函数 z = f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数?z ?z = f x ( x, y ) ， = f y ( x, y ) ， ?x ?y一般来讲，在 D 内 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 仍然是 x ， y 的函数，如果 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 关 于 x ， y 的偏导数也存在，则称 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 的偏导数是函数 z = f (x, y) 的二阶偏导 二阶偏导 数．按照对两个自变量求导次序不同，二元函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数有如下四种情形： 对 x 的二阶偏导数：? ? ?z ? ? 2 z ? 2 f = = f xx ( x, y ) ， ? ?= ?x ? ?x ? ?x 2 ?x 2 ? ? ?z ? ? 2 z ?2 f = = = f xy ( x, y ) ， ? ? ?y ? ?x ? ?x?y ?x?y? ? ?z ? ? 2 z ?2 f = = = f yx ( x, y ) ， ? ? ?x ? ?y ? ?y?x ?y?x先对 x 后对 y 的二阶偏导数：先对 y 后对 x 的二阶偏导数：对 y 的二阶偏导数：? ? ?z ? ? 2 z ? 2 f = = f yy ( x, y ) ①． ? ?= ?y ? ?y ? ?y 2 ?y 2如 果 二 阶 偏 导 数 的偏 导 数 存 在 ， 就 称 它 们 是 函 数 f ( x, y ) 的 三 阶 偏 导 数 ，例 如? ? ? 2 z ? ?3 z ? ? ?2 z ? ?3 z ， 等．类似地，我们可以定义四阶，五阶，…， n 阶 ? ?= ? ?= ?x ? ?x 2 ? ?x 3 ?y ? ?x 2 ? ?x 2 ?y偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 高阶偏导数．如果高阶偏导数中既有对 x 也有对 高阶偏导数①二阶偏导数记号′′ ′′ ′′ ′′ f xx ， f xy ， f yx ， f yy 也常记作 f xx ， f xy ， f yx ， f yy ．58 y 的偏导数，则此高阶偏导数称为混合偏导数 混合偏导数，例如 混合偏导数例 7 求函数 z = e 解 由于x+2 y?2 z ?2 z ， ． ?x?y ?y?x的所有二阶偏导数．?z ?z = e x + 2 y ， = 2e x + 2 y ， ?x ?y因此有? 2 z ? ? ?z ? ? x + 2 y = ? ? = (e ) = e x + 2 y ， ?x 2 ?x ? ?x ? ?x ?2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = (e x + 2 y ) = 2e x + 2 y ， ?x?y ?y ? ?x ? ?y?2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = (2e x + 2 y ) = 2e x + 2 y， ?y?x ?x ? ?y ? ?x ? 2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = (2e x + 2 y ) = 4e x + 2 y . ?y 2 ?y ? ?y ? ?y在此例中，两个二阶混合偏导数相等，即?2 z ?2 z = ，但这个结论并非对任何函数 ?x?y ?y?x成立，只有在满足一定条件时，二阶混合偏导数才与求偏导的次序无关．对此，我们不加 证明地给出下面的定理．?2 z ?2 z 及 在区域 D 内连续， 定理 1 如果函数 z = f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 ?x?y ?y?x那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等． 换句话说，两个二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关． 对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数．而且高阶混合偏导数在偏 导数连续的条件下也与求偏导的次序无关． 例 8 验证函数 z = ln 证 因为 z = lnx 2 + y 2 满足拉普拉斯（Laplace）方程?2 z ?2 z + = 0． ?x 2 ?y 2x2 + y 2 =1 ln( x 2 + y 2 ) ，所以 259 ?z x = 2 ， ?x x + y 2 ? 2 z ? ? ?z ? ? (x2 + y2 ) ? x ? 2x x y 2 ? x2 ， = ? ?= ( )= = 2 ?x 2 ?x ? ?x ? ?x x 2 + y 2 ( x2 + y 2 )2 ( x + y 2 )2利用函数关于自变量的对称性，在?2 z 的结果中，将 x 与 y 互换，便得到 ?x 2?2 z x2 ? y2 = ， ?y 2 ( x 2 + y 2 ) 2因此?2 z ?2 z y2 ? x2 x2 ? y 2 + 2 = 2 + 2 = 0． ?x 2 ?y ( x + y 2 )2 ( x + y 2 ) 2二、全微分1．全微分的定义 我们知道一元函数 y = f ( x) 在点 x0 可微是指：如果当自变量 x 在 x0 处有增量 ?x 时， 函数增量 ?y 可表示为 ?y = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) = A?x + o( ?x) ，其中 A 与 ?x 无关，o(?x) 是当 ?x → 0 时较 ?x 高阶的无穷小量，则称 y = f ( x) 在点 x0 可微，并称 A?x 为 f ( x) 在点 x0 处的微分，记为 dy = A?x ．对于二元函数，我们也用类似的方法来定义可微性及全微分． 定义 2 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，点 ( x0 + ?x, y0 + ?y ) 为 该邻域内任意一点，若函数在点 ( x0 , y0 ) 处的全增量?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )可表示为?z = A?x + B?y + o( ρ ) ，2 2（3）其中 A ， B 仅与点 ( x0 , y0 ) 有关，而与 ?x ， ?y 无关， ρ =(?x) + (?y ) ， o( ρ ) 是当ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量，即 limρ →0o( ρ )ρ= 0， 则称函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处是，即 （4）可微的，并称 A?x + B?y 为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分 全微分，记作 dz ( x 可微的 全微分0 , y0 )dz ( x , y ) = A?x + B?y ．0 02．可微性条件 定理 2（可微的必要条件） 若 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则 （1） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续； （2） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的偏导数存在，且 A = f x ( x0 , y0 ) ， B = f y ( x0 , y0 ) ．60 证（1） 设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，根据可微的定义有?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = A?x + B?y + o( ρ ) ，当 ( ?x, ?y ) → (0, 0) 时，有 ρ =( ?x , ?y )→ (0,0)(?x) 2 + (?y ) 2 → 0 ，于是 o( ρ ) → 0 ，从而有lim?z = =( ?x , ?y ) → (0,0)limf ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) A?x + B?y + o( ρ ) = 0，( ?x , ?y )→ (0,0)lim所以 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续． （2）因为 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则有?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = A?x + B?y + o( ρ ) ，上式对任意的 ?x ， ?y 都成立，特别地，当 ?y = 0 时， ρ = ?x ，则有f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) = A?x + o( ?x ) ， 等式两边同除以 ?x ，再令 ?x → 0 ，得?x → 0limA?x + o( ?x ) f ( x0 + ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) = lim = A， ?x → 0 ?x ?x即 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数存在，且 f x ( x0 , y0 ) = A ． 同理可证 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数也存在，且 f y ( x0 , y0 ) = B ．证毕 证毕． 证毕 根据此定理， z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分可以写成dz ( x , y ) = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ．0 0与一元函数的情形一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即?x = dx ， ?y = dy ，所以 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分又可以写成dz ( x , y ) = f x ( x0 , y0 )dx + f y ( x0 , y0 )dy ．0 0（5）如果函数 z = f ( x, y ) 在区域 D 上每一点都可微，则称函数在区域 D 上可微，且z = f ( x, y ) 在 D 上全微分为 dz = ?z ?z dx + dy ． ?x ?y（6）在一元函数中，函数在某点可导与可微是等价的，但对于多元函数来说，情形就不同 了，函数的偏导数存在，不一定能保证函数可微．当偏导数存在时虽然在形式上能写出f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ，但它与 ?z 的差不一定是当 ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量，61 只有当 ?z ? [ f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y] = o( ρ ) 时， lim 即ρ→0?z ?[ fx (x0, y0 )?x + f y (x0, y0 )?y]ρ=0时，才能说函数在该点可微．例如本节例 5 中所讨论的函数? xy ， ( x，y ) ≠ (0，， 0) ? f ( x，y ) = ? x 2 + y 2 ?0， ( x，y ) = (0，， 0) ?在点 (0, 0) 处有 f x (0, 0) = 0 ， f y (0, 0) = 0 ，所以?z ? [ f x (0,0)?x + f y (0,0)?y]ρ= =f (0 + ?x,0 + ?y) ? f (0,0) ? [ f x (0,0)?x + f y (0,0)?y] (?x)2 + (?y)2 ?x?y [(?x) + (?y) ]2 3 2 2，如果考虑点 ( ?x, ?y ) 按照 ?y = ?x 的方式趋向于点 (0, 0) ，这时有( ?x ,?y )→(0,0) ?y =?xlim?x?y [(?x) + (?y) ]2 3 2 2= lim(?x)2 2 (?x)3 2 3?x →0= ∞，即 limρ →0?z ? [ f x (0, 0)?x + f y (0, 0)?y ]ρ不存在，则由可微性定义有 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处不可微． 当然由本节例 5 可知， 函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处不连续， 由定理 2 知不连续则不可微， 因此 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处的不可微． 此例题说明偏导数存在只是可微的必要条件而不是充分条件． 但是如果将可偏导的条 件加强为偏导数连续，则函数就可微了． 定理 3（可微的充分条件） 若函数 z = f ( x, y ) 的偏导数在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在，且 f x ( x, y ) 与 f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微． 证 函数 f ( x, y ) 的全增量 ?z 可以表示为?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = [ f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 + ?y )] + [ f ( x0 , y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )],62 在第一个方括号中，变量 y0 + ?y 保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关 于 x 的一元函数 f ( x, y0 + ?y ) 的增量；在第二个方括号中，变量 x0 保持不变，因此可以 把方括号中的表达式看作是关于 y 的一元函数 f ( x0 , y ) 的增量．对它们分别应用一元函数 的拉格朗日中值定理得?z = f x ( x0 + θ1?x, y0 + ?y )?x + f y ( x0 , y0 + θ 2 ?y )?y ， 0 & θ1 ， θ 2 & 1 ） （ ．由于 f x ( x, y ) 与 f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，因此有( ?x , ?y )→ (0,0)limf x ( x0 + θ1?x, y0 + ?y ) = f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 + θ 2 ?y ) = f y ( x0 , y0 ) ，( ?x , ?y )→ (0,0)lim即f x ( x0 + θ1?x, y0 + ?y ) = f x ( x0 , y0 ) + α ， f y ( x0 , y0 + θ 2 ?y ) = f y ( x0 , y0 ) + β ，其中当 ?x → 0 ， ?y → 0 时， α → 0 ， β → 0 ．从而?z = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y + α?x + β ?y ．而0≤α?x + β?y α?x + β?y α ?x β ?y = ≤ + ρ (?x)2 + (?y ) 2 (?x) 2 + (?y )2 (?x) 2 + (?y )2≤ α + β → 0 ， (?x → 0 ， ?y → 0)所以α?x + β?y =0， ( ?x , ?y ) → (0,0) ρlim又由于 ?x → 0 ， ?y → 0 ? ρ → 0 ①，所以limρ →0α?x + β ?y = 0， ρ即当 ρ → 0 时，有α?x + β ?y = o( ρ ) ．①由于 ?x , ?y2 2 ≤ ρ = ( ? x ) + ( ?y ) ≤ ? x + ?y，所以有 ?x → 0 ， ?y → 0 ? ρ → 0 ．63 于是证明了 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微．证毕 证毕． 证毕 注意偏导数连续只是函数可微的充分条件，不是必要条件．例 91 ? 2 2 ， ?( x + y )sin 2 x + y2 证明 f ( x, y ) = ? ?0， ?( x，y ) ≠ (0，， 0) ( x，y ) = (0，， 0)在点 (0, 0) 处可微，但在点 (0, 0) 处偏导数不连续．证f x (0, 0) = lim?x → 0f (0 + ?x, 0) ? f (0, 0) 1 = lim ?x sin = 0， ?x → 0 ?x (?x) 2由于函数关于自变量是对称的，则 f y (0, 0) = 0 ．于是limρ →0?z ? [ f x (0, 0)?x + f y (0, 0)?y ]ρf (0 + ?x,0 + ?y) ? f (0,0) ? [ f x (0,0)?x + f y (0,0)?y]= limρ →0ρ[(?x)2 + (?y)2 ]sin 1 [(?x) + (?y)2 ]2= limρ →0ρρ 2 sin= limρ →01ρρ2= 0，所以函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处可微． 当 ( x, y ) ≠ (0, 0) 时，由 f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 )sin1 有 x + y22f x ( x, y ) = 2 x sin1 2x 1 ? 2 cos 2 ， 2 2 x +y x +y x + y22( x , y ) → (0,0)limf x ( x, y ) =? 1 2x 1 ? ? 2 cos 2 ? 2 x sin 2 ?， 2 2 ( x , y ) → (0,0) x +y x +y x + y2 ? ?limlim 2 x sin 1 1 = lim 2 x sin 2 = 0 ， 2 x →0 x +y x2当点 ( x, y ) 沿 x 轴趋于 (0, 0) 时，由于64( x , y ) → (0,0) y =0 2x 1 2 1 cos 2 = lim cos 2 不存在，所以 lim f x ( x, y ) 不存在，即 2 2 ( x , y ) → (0,0) x + y x →0 x ( x , y )→ (0,0) x +y x y =0 lim2f x ( x, y ) 在点 (0, 0) 处不连续，同理 f y ( x, y ) 在点 (0, 0) 处也不连续．根据前面的讨论，函数 f ( x, y ) 连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示： 偏导数存在 偏导数连续 可微 连续 以上关于全微分的定义及可微的必要条件和充分条件可以完全类似地推广到三元及 三元以上的函数．例如，若三元函数 u = f ( x, y , z ) 的三个偏导数都存在且连续，则它的全 微分存在，并有du =?u ?u ?u dx + dy + dz ． ?x ?y ?z2 2 例 10 求函数 z = 2 x y + xy 在点 (1, 2) 处的全微分．解?z ?z = 4 xy + y 2 ， = (4 xy + y 2 ) = 12 ， (1,2) ?x ?x (1,2) ?z ?z = 2 x 2 + 2 xy ， = (2 x 2 + 2 xy ) = 6， (1,2) ?y ?y (1,2)由于?z ?z ， 在点 (1, 2) 处连续，所以函数 z = 2 x 2 y + xy 2 在点 (1, 2) 处可微，且有 ?x ?ydz (1,2) =?z ?z dx + dy = 12dx + 6dy ． ?x (1,2) ?y (1,2)xyz 2 例 11 求函数 u = e + xy + z 的全微分．解?u ?u ?u = yze xyz + y ， = xze xyz + x ， = xye xyz + 2 z ?x ?y ?z由于?u ?u ?u ， ， 连续，所以函数 u = e xyz + xy + z 2 可微，且有 ?x ?y ?z du = ( yze xyz + y )dx + ( xze xyz + x)dy + ( xye xyz + 2 z )dz ．65 2 2 例 12 求函数 z = x y 在点 (2, ?1) 处，当 ?x = 0.02 ， ?y = ?0.01 时的全微分 dz 和全增量 ?z ． 解?z ?z = 2 xy 2 ， = 2 xy 2 = 4， (2, ?1) ?x (2,?1) ?x ?z ?z = 2 x2 y ， = 2 x2 y = ?8 ， (2, ?1) ?y (2,?1) ?y由于?z ?z ， 在点 (2, ?1) 处连续，所以函数 z = x 2 y 2 在点 (2, ?1) 处可微，且 ?x ?ydz (2,?1) =?z ?z ?x + ?y = 4 × (0.02) + (?8) × (?0.01) = 0.16 ， ?x (2,?1) ?y (2,?1)?z = (2 + 0.02) 2 × (?1 ? 0.01) 2 ? 22 × (?1) 2 = 0.1624 ．此例中 ?z 与 dz 的差仅为 0.0024． 3．全微分在近似计算中的应用 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则它在点 ( x0 , y0 ) 处的全增量为?z = f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y + o( ρ )，其中 o( ρ ) 是当 ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量．因此，当 ?x ， ?y 都很小时，有近似公 式 上式有时也写成?z ≈ dz = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ，f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y ．利用上面的近似公式（7）可以计算函数的近似值．3.96 例 13 计算 (1.08) 的近似值．（7）解把 (1.08)3.96 看 作 是 函 数 f ( x, y ) = x y 在 x = 1.08 ， y = 3.96 时 的 函 数 值f (1.08,3.96) ．取 x0 = 1 ， y0 = 4 ， ?x = 0.08 ， ?y = ?0.04 ．由于f x ( x, y ) = yx y ?1 ， f x (1, 4) = 4 ，f y ( x, y ) = x y ln x ， f y (1, 4) = 0 ，66 f (1, 4) = 1 ，应用近似公式（7）有(1.08)3.96 ≈ f (1, 4) + f x (1, 4) × 0.08 + f y (1, 4) × (?0.04) = 1 + 4 × 0.08 + 0 × (?0.04) = 1.32.例 14 金属圆锥体受热变形，底面半径由 30cm 增加到 30.1cm ，高由 60cm 减少到59.5cm ，求圆锥体体积变化的近似值．高和体积依次为 r 、h 和 V ， 则圆锥体体积为 V = 解 设圆锥体的底面半径、 记 r 、 h 和 V 的增量依次为 ?r 、 ?h 和 ?V ．应用近似公式（7）有1 2 πr h． 3?V ?V 2 1 ?r + ?h = π rh?r + π r 2 ?h ． ?r ?h 3 3 将 r = 30 ， h = 60 ， ?r = 0.1 ， ?h = ?0.5 代入上式，得圆锥体体积变化的近似值 ? V ≈ dV =2 1 ?V ≈ π × 30 × 60 × 0.1 + π × 302 × (?0.5) 3 3 3 = ?30π (cm) .即圆锥体的体积约减少了 30π cm ．3习题 8-21．求下列函数的偏导数： （1） z = x ；y（2） z = xe x sin y ； （4） z =（3） z = x ln( x + y ) ；1 x + y22；（5） z =ln( xy ) ；（6） z = ln( x +x2 + y 2 ) ；x+ y （7） z = arctan ； 1 ? xyz?x? （8） u = ? ? ； ? y?（10） uz（9） u = x y ； 2．设 f ( x, y ) = x + ( y ? 1) arcsin= xyz．x ，求 f x ( x,1) ． y67 ? x2 + y 2 z= ， ? 3．求曲线 ? 在点 (2, 4,5) 处的切线与 x 轴正向所成的倾角． 4 ? y = 4， ?4．求下列函数的二阶偏导数： （1） z = x + y ? 4 x y ；4 4 2 2 2 （3） z = sin ( x + 2 y ) ；（2） z = e ；xy（4） z = arctanx ． y5．验证： （1） z = e?1 1? ?? + ? ? x y?满足方程 x 2?z ?z + y2 = 2z ； ?x ?y2?2 z ?2 z ? ?2 z ? （2） z = ln(e + e ) 满足方程 2 ? 2 ? ? ? =0； ?x ?y ? ?x?y ?x y（3） r =x 2 + y 2 + z 2 满足方程?2r ?2r ?2r 2 + + = ； ?x 2 ?y 2 ?z 2 r（4） u =1 ? 2u ? 2u ? 2u 2 2 2 满足方程 2 + 2 + 2 = 0 ，其中 r = x + y + z ． r ?x ?y ?z6．设 z = x ln( xy ) ，求?3 z ?3 z ， ． ?x 2 ?y ?x?y 21 ? ， ( x，y ) ≠ (0，， 0) ? y sin 2 x + y2 在点 (0, 0) 处的偏导数是 7．考察函数 f ( x，y ) = ? ?0， ( x，y ) = (0，， 0) ?否存在． 8．求下列函数的全微分： （1） z =y ； x（2） z = x ；y（3） z = xe xy + y ； 9．求下列函数在指定点的全微分： （1） z = e ，在点 (2,1) 处；xy（4） u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) ．（2） z = arctany ，在点 (1,1) 处． x68 10．求函数 z = xy ，当 x = 10 ， y = 8 ， ?x = 0.2 ， ?y = ?0.1 时的全增量和全微分．? x2 y ， ( x, y ) ≠ (0, 0) ? 11． 证明函数 f ( x, y ) = ? x 2 + y 2 在点 (0, 0) 处连续， 且偏导数存在， ?0， ( x, y ) = (0, 0) ?但在点 (0, 0) 处不可微． 12．求下列各式的近似值： （1） (1.03)1.98；（2） (1.02) + (1.97) ．3 313 ． 金 属 圆 柱 体 受 热 变 形 ， 半 径 由 20cm 增 加 到 20.02cm ， 高 由 30cm 增 长 到 30.03cm ，求圆柱体体积变化的近似值．§3一、复合函数微分法1．复合函数微分法多元函数微分法 多元函数微分法在一元函数中，我们介绍了复合函数的求导法则：如果函数 u = ? ( x) 在点 x 处可导 而 y = f (u ) 在对应点 u (u = ? ( x )) 处可导，则复合函数 y = f (? ( x )) 在点 x 处可导，且有dy dy du = ? = f ′(u ) ? ? ′( x) ． dx du dx现在将这一微分法则推广到多元复合函数的情形， 并按照多元复合函数的不同的复合 情形，分三种情况讨论． （1）复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 1 设函数 u = ? (t ) ，v = ψ (t ) 在点 t 处可导，函数 z = f (u , v) 在对应点 (u , v) 处 可微，则复合函数 z = f [? (t ),ψ (t )] 在点 t 处可导，并且有dz ?z du ?z dv = + ． （1） dt ?u dt ?v dt 相应地 u = ? (t )，v = ψ (t ) 有增量 ?u 和 ?v ， 从而函数 z = f (u , v) 证 给 t 以增量 ?t ， 有增量 ?z ．因为函数 z = f (u , v) 在点 (u , v) 可微，故有 ?z ?z ?z = ?u + ?v + o( ρ ) ， ?u ?v 2 2 其中 ρ = ( ?u ) + ( ?v ) ， o( ρ ) 是当 ρ → 0 时较 ρ 高阶的无穷小量．上式两端同时除以 ?t ，得?z ?z ?u ?z ?v o( ρ ) = + + ， ?t ?u ?t ?v ?t ?t69 因为函数 u = ? (t ) ， v = ψ (t ) 在点 t 处可导，故它们必在点 t 处连续，从而当 ?t → 0 时有?u → 0 ， ?v → 0 ．注意到 o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) (?u ) 2 + (?v) 2 = ? = ? ?t ?t ρ ?t ρ=o( ρ ) ?t ? ρ ?t(?u 2 ?v 2 ) +( ) , ?t ?to( ρ )因为当 ?t → 0 时有 ?u → 0 ，?v → 0 ， 故有 ρ =(?u ) 2 + (?v) 2 → 0 ， 从而ρ→0，再由 u = ? (t ) ， v = ψ (t ) 在点 t 处可导，故当 ?t → 0 时有?u 2 ?v 2 du dv ?u du ?v dv → ， → ， ( ) + ( ) → ( )2 + ( )2 ， dt dt ?t ?t dt dt ?t ?t从而?t ?t(?u 2 ?v 2 o( ρ ) ) + ( ) 有界，所以 → 0 ，于是有 ?t ?t ?t?z ? ?z ?u ?z ?v o( ρ ) ? = lim ? + + ?t → 0 ?t ?t →0 ?u ?t ?v ?t ?t ? ? ? lim = ?z du ?z dv + ， ?u dt ?v dt即dz ?z du ?z dv = + ．证毕 证毕． 证毕 dt ?u dt ?v dt为了便于掌握复合函数的求导法则，我们常用函数结构图来表示变量之间的复合关 系．例如定理 1 的函数结构图是uztv t 从函数结构图中可以看到：一方面，从 z 引出两个箭头指向中间变量 u 、 v ，表示 z 是 u 、 v 的函数，同理 u 和 v 都是 t 的函数；另一方面，由 z 出发通过中间变量到达 t 的链有两条， 这表示 z 对 t 的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而 得，例如 z?z dv dz ?z du ?z dv ，因此 ． = + ?v dt dt ?u dt ?v dt du d v 注意这里 u 和 v 都是 t 的一元函数， u ， v 对 t 的导数用记号 ， 表示， z 是 u ， dt dtut 表示?z du ，z ?u dtvt 表示70 v 的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号?z ?z ， 表示，函数经过复合之后，最终 ?u ?v dz dz z 是 t 的一元函数，故 z 对 t 的导数用记号 表示，称 为全导数 全导数，公式（1）称为全导 全导数 全导 dt dt公式（1）可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形．例如，由 z = f (u , v, w) ，数公式． 数公式u = ? (t ) ， v = ψ (t ) ， w = ω (t ) 复合而成的复合函数 z = f [? (t ),ψ (t ), ω (t )] ，在与定理 1类似的条件下有全导数公式dz ?z du ?z dv ?z dw = + + ． dt ?u dt ?v dt ?w dt dz t ． 例 1 设 z = uv ， u = e ， v = cos t ，求 dt，有 解 由全导数公式（1）（2）dz ?z du ?z dv = + dt ?u dt ?v dt = vet + u (? sin t ) = et (cos t ? sin t ).例 2 设 z = u v + e ， u = sin t ， v = cos t ，求2 2tdz ． dt解 函数的结构图为z于是u v tt t tdz ?z du ?z dv ?z dt = + + dt ?u dt ?v dt ?t dt = 2uv 2 ? cos t + 2u 2 v ? (? sin t ) + et ?1= 2 sin t cos3 t ? 2 sin 3 t cos t + et 1 = sin 4t + et . 2（2）复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理 2 若 u = ? ( x, y ) ，v = ψ ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处都存在偏导数， z = f (u , v ) 在对应 点 (u , v ) 处可微，则复合函数 z = f [? ( x, y ),ψ ( x, y )] 在点 ( x, y ) 处存在偏导数，且有?z ?z ?u ?z ?v = + ， ?x ?u ?x ?v ?x（3）71 ?z ?z ?u ?z ?v = + ． ?y ?u ?y ?v ?y定理 2 的函数结构图为（4）x uzy xvy?z 为 ?x ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v 两项之和， z u x 表示 ，z u x 表示 ，因此 = ． + ?u ?x ?v ?x ?x ?u ?x ?v ?x 公式 （3） （4） 和 可以推广到中间变量或自变量多于两个的情形． 例如， u = ? ( x, y ) ， 设我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4） ，例如 z 到 x 的链有两条，即v = ψ ( x, y ) ， w = ω ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处都具有偏导数，而函数 z = f (u , v, w) 在对应点 (u , v, w) 可微，则复合函数 z = f [? ( x, y),ψ ( x, y), ω( x, y)] 在点 ( x, y ) 处具有偏导数，且 ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w = + + ， ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w = + + ． ?y ?u ?y ?v ?y ?w ?y例 3 设 z = e xy sin( x + y ) ，求 解 令u?z ?z ， ． ?x ?y= xy ， v = x + y ，则 z = eu sin v ，所以?z ?z ?u ?z ?v = + ?x ?u ?x ?v ?x = eu sin v ? y + eu cos v ?1 = e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )] ，?z ?z ?u ?z ?v = + ?y ?u y ?v ?y = eu sin v ? x + eu cos v ?1 = e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )].72 例 4 设函数 z? x? ?z ?z = f ? ? ，其中 f 可微，证明 x + y = 0 ． ?x ?y ? y?证 令u=x ，则 z = f (u ) ，其函数的结构图为 yxz于是uy?z dz ?u 1 1 x = = f ′(u ) = f ′( )， ?x du ?x y y y ? x ? ?z dz ?u x x = = f ′(u ) ? ? 2 ? = ? 2 f ′( )， y y ?y du ?y ? y ?x?z ?z x x x x + y = f ′( ) ? f ′( ) = 0 ． ?x ?y y y y y例 5 设函数 z?z ?z ? y? = xy + xf ? ? ，其中 f 可微，证明 x + y = xy + z ． ?x ?y ? x?证 综合应用四则运算与复合函数求导法则，得?z ? y? ? y ?? y ? ? y? y ? y? = y + f ? ? + xf ′ ? ? ? ? 2 ? = y + f ? ? ? f ′ ? ? ， ?x ?x? ? x ?? x ? ?x? x ?x? ?z ? y?1 ? y? = x + xf ′ ? ? = x + f ′ ? ? ， ?y ?x?x ? x? x ?z ?z ? y? + y = 2 xy + xf ? ? = xy + z ． ?x ?y ?x?（3）复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形 定理 3 导数，且有 设函数 u = ? ( x) 在点 x 处可导， v = ψ ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处存在偏导数，而z = f (u , v) 在对应点 (u , v) 处可微，则复合函数 z = f [? ( x),ψ ( x, y )] 在点 ( x, y ) 处存在偏?z ?z du ?z ?v = + ， ?x ?u dx ?v ?x（5）73 ?z ?z ?v = ． ?y ?v ?y定理 3 的函数结构图为（6）uzvx x y情形 3 中有一个特殊情形，复合函数的某些中间变量又是复合函数的自变量． 而 则复合函 定理 4 设 z = f (u , x, y ) 具有连续偏导数， u = ? ( x, y ) 具有偏导数， 数 z = f [? ( x, y ), x, y ] 在点 ( x, y ) 处存在偏导数，且有?z ?f ?u ?f = + ， ?x ?u ?x ?x ?z ?f ?u ?f = + ． ?y ?u ?y ?y定理 4 的函数结构图为（7）（8）zu x yx y x y?z ?f ?f 和 是不同的， ?x ?x ?x为了避免混淆，公式（7）（8）右端的 z 换成了 f ，要注意 ， 是把 f (u, x, y) 中的 u 及 y 看成不变而对 x 求偏导数， 中的 y 看成不变而对 x 求偏导数． 例 6 设u?z 是把复合函数 z = f [? ( x, y), x, y] ?x ?u ?u ， ． ?x ?y= f ( x, y , z ) = e x2+ y2 + z2，而 z= x 2 sin y ，求解2 2 2 2 2 2 ?u ?f ?f ?z = + = 2 xe x + y + z + 2 ze x + y + z ? 2 x sin y ?x ?x ?z ?x= 2 x(1 + 2 x 2 sin 2 y )e x2+ y 2 + x 4 sin 2 y，2 2 2 2 2 2 ?u ?f ?f ?z = + = 2 ye x + y + z + 2 ze x + y + z ? x 2 cos y ?y ?y ?z ?y= 2( y + x 4 sin y cos y )e x2．多元复合函数的高阶偏导数2+ y 2 + x 4 sin 2 y．在第二节已经给出高阶偏导数的定义，这里通过一个具体例子来说明求复合函数高阶74 偏导数的方法． 例7 设z 解 令u= f ( x + y, xy ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求?z ?2 z ， ． ?x ?x?y?z ?f ?u ?f ?v = + = f u + yf v ， ?x ?u ?x ?v ?x 再求二阶偏导数时注意到 fu 及 f v 仍是 u ， v 的函数，而 u ， v 是 x ， y 的函数，且函数结构图为= x + y ， v = xy ，则 z = f (u , v) ，于是xxufuuy x fv y xvy应用多元复合函数的求导法则得vy?2 z ? ? ?z ? ? = ? ? = ( f u + yf v ) ?x?y ?y ? ?x ? ?y ? ? ? ? = ( f u ) + ( yf v ) = ( f u ) + f v + y ( f v ) ?y ?y ?y ?y ? ? ?u ? ?v ? = ? ( fu ) + ( fu ) ? + f v ?y ?v ?y ? ? ?u? ? ?u ? ?v ? + y ? ( fv ) + ( fv ) ? ?y ?v ?y ? ? ?u = ( f uu ?1 + fuv ? x) + f v + y ( f vu + f vv ? x) = f uu + ( x + y ) f uv + xyf vv + f v .这里因为f 具有二阶连续偏导数，故有 fuv = f vu ，因此可以合并 xfuv + yf vu = ( x + y ) fuv ． 为方便起见，有时用自然数 1，2 的顺序分别表示函数 f (u , v ) 中的两个中间变量 u ，?f ?f ?2 f ?2 f ?2 f ， ， ， 2 和 2 分别用 f1 ， f 2 ， f12 ， f11 和 f 22 来表示，则有 ?u ?v ?u?v ?u ?v ?z = f1 + yf 2 ， ?xv ，这样?2 z ? ? ? = ( f1 + yf 2 ) = ( f1 ) + f 2 + y ( f 2 ) ?x?y ?y ?y ?y75 = f11 + xf12 + f 2 + y ( f 21 + xf 22 ) = f11 + ( x + y ) f12 + xyf 22 + f 2 .3．全微分形式不变性 我们知道，一元函数的微分具有一阶微分形式的不变性，即不论 x 是自变量还是中间 变量，对 y?z ?z du + dv ． ?u ?v 如果 u ， v 是中间变量 u = ? ( x, y ) ， v = ψ ( x, y ) ，且它们具有连续偏导数，则复合函数 dz =z = f [? ( x, y ),ψ ( x, y )] 的全微分为 dz = ?z ?z dx + dy ． ?x ?y= f ( x) 都有 dy = f ′( x)dx ．多元函数的一阶全微分也具有同样的性质． 设函数 z = f (u , v ) 具有连续的偏导数，如果 u ， v 是自变量，则全微分为将多元复合函数求导公式（3）和（4）代入上式，则有? ?z ?u ?z ?v ? ? ?z ?u ?z ?v ? dz = ? + + ? dy ? dx + ? ? ?u ?x ?v ?x ? ? ?u ?y ?v ?y ?= ?z ? ?u ?u ? ?z ? ?v ?v ? ? dx + dy ? + ? dx + dy ? ?u ? ?x ?y ? ?v ? ?x ?y ?（9）注意到 u = ? ( x, y ) ， v = ψ ( x, y ) 具有连续偏导数，则有du =将（10）代入（9）式，得?u ?u ?v ?v dx + dy ，dv = dx + dy ． ?x ?y ?x ?y ?z ?z du + dv ． ?u ?v（10）dz =由此可见，无论 z 是自变量 u ， v 的函数还是中间变量 u ， v 的函数，其全微分的形式是 一样的，这个性质称为一阶全微分形式的不变性 一阶全微分形式的不变性，类似地可以证明三元及三元以上的函数 一阶全微分形式的不变性 的全微分也具有这一性质． 关于全微分的运算性质，应用全微分形式的不变性容易证明，它与一元函数微分法则 相同，即d(u ± v) = du ± dv ； d(uv) = vdu + udv ；u vdu ? udv d( ) = ； v v276 d( f (u )) = f ′(u )du ．利用全微分形式的不变性，可得求复合函数偏导数的另一途径． 例 8 设u= f ( x, y, t ) ， x = ? ( s, t ) ， y = ψ ( s, t ) ，利用全微分形式的不变性，求?u ?u ， ． ?s ?t解 由全微分形式的不变性，有du =又因为?f ?f ?f dx + dy + dt ， ?x ?y ?tdx =所以?? ?? ?ψ ?ψ ds + dt ， dy = ds + dt ， ?s ?t ?s ?tdu =?f ? ?? ?? ? ?f ? ?ψ ?ψ ? ?f ds + dt ? + ? ds + dt ? + dt ? ?x ? ?s ?t ? ?y ? ?s ?t ? ?t ? ? ?f ?? ?f ?ψ ?f + + ? ds + ? ? ? ?x ?t ?y ?t ?t ? ? dt . ?? ?f ?? ?f ?ψ =? + ? ?x ?s ?y ?s从而?u ?f ?? ?f ?ψ = + ， ?s ?x ?s ?y ?s ?u ?f ?? ?f ?ψ ?f = + + ． ?t ?x ?t ?y ?t ?t 二、隐函数微分法1．一个方程所确定的隐函数的微分法 在上册第二章导数与微分中已经提出了隐函数的概念，并且指出在不经过显式化的情 况下，直接由方程F ( x, y ) = 0求出它所确定的隐函数 y= f ( x) 的导数的方法． = f ( x) 是连续且可导的，下面的定这里，有些问题尚待解决：在什么条件下，方程 F ( x, y ) = 0 可以确定一个隐函数； 在什么条件下，方程 F ( x, y ) = 0 所确定的隐函数 y 理给出了回答． 定理 5（隐函数存在定理 1） 设函数 F ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的77 偏导数 Fx ( x, y ) ， Fy ( x, y ) ，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x, y ) = 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y 满足条件 y0= f ( x) ， 它= f ( x0 ) ，并有 dy F ( x, y ) =? x ． dx Fy ( x, y )（11）定理 5 的证明略，这里仅对公式（11）作如下推导． 把函数 y= f ( x) 代入方程 F ( x, y ) = 0 中， 得恒等式 F [ x, f ( x )] ≡ 0 ， 其左端是 x 的Fx + Fy dy = 0， dx一个复合函数，它的全导数应恒等于右端零的导数，即由于 Fy 连续且 Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ， 所以存在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域， 在该邻域内 Fy ( x, y ) ≠ 0 ， 于是有dy F ( x, y ) =? x ． dx Fy ( x, y )例 9 的隐函数 y 说明由方程 F ( x, y ) =x 2 + y 2 ? 1 = 0 在点 (0,1) 的某邻域内能确定一个单值= f ( x) ，并求出 y = f ( x) 的一阶导数． x 2 + y 2 ? 1 在点 (0,1) 的某邻域内具有连续的偏导数 Fx = 2 x ， Fy = 2 y ，解 函数 F ( x, y ) =且 F (0,1) = 0 ， Fy (0,1) =2 ≠ 0 ，即 F ( x, y ) 满足隐函数存在定理 1 的条件，所以方程F ( x, y ) = 0 在点 (0,1) 的某邻域内能确定一个单值的隐函数 y = f ( x) ，由公式（11）得 dy F ( x, y ) x =? x =? ． dx Fy ( x, y ) y与定理 5 一样，我们同样可以由三元函数 F ( x, y , z ) 的性质来判断由方程F ( x, y , z ) = 0所确定的二元函数 z= f ( x, y ) 的存在性及求偏导数的公式，这就是下面的定理． 定理 6（隐函数存在定理 2） 设函数 F ( x, y , z ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内具有78 连 续的 偏导 数且 F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ，Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ， 则方 程 F ( x, y, z ) = 0 在 点(x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ，它满足条件 z0= f ( x0 , y0 ) ，并有F F ?z ?z =? x ， =? y ． ?x Fz ?y Fz（12）下面仅对公式（12）作如下推导．= f ( x, y ) 代入方程 F ( x, y, z ) = 0 中，得恒等式 F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0 ，该 式两端分别对 x 和 y 求偏导数得把函数 zFx + Fz由于 Fz 连续，且 Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠?z ?z = 0 ， Fy + Fz = 0， ?x ?y 0 ，所以存在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域，在此邻域内Fz ≠ 0 ，于是得 F F ?z ?z =? x， =? y ． ?x Fz ?y Fz类似地，定理 6 可推广到由 n + 1 元方程 F ( x1 , x2 ,L , xn , z ) = 0 确定 n 元隐函数z = f ( x1 , x2 ,L , xn ) 的存在性与求偏导数的公式 Fx ?z = ? i （ i = 1, 2,L , n ） ． ?xi Fz例 10 设 z= z ( x, y ) 是由方程 2 x 2 + y 2 + z 2 ? 2 z = 0 确定的隐函数， 求?z ?z ， ． ?x ?y解法 1（公式法） 设 F ( x, y , z ) = 公式法）2 x 2 + y 2 + z 2 ? 2 z ，则Fx = 4 x ， Fy = 2 y ， Fz = 2 z ? 2 ，则由公式（12）得F ?z 4x 2x =? x =? = ， ?x Fz 2z ? 2 1 ? z79 F ?z 2y y ． =? y =? = ?y Fz 2z ? 2 1 ? z解法 2（直接法） 在方程 2 x 直接法） 将 z 看成是 x ， y 的函数，得2+ y 2 + z 2 ? 2 z = 0 两边分别对 x ， y 求偏导数，4x + 2z于是?z ?z ?z ?z ? 2 = 0 ， 2 y + 2z ? 2 = 0 ， ?x ?x ?y ?y?z 2x ?z y = ， = ． ?x 1 ? z ?y 1 ? z全微分法） 解法 3（全微分法） 利用全微分形式不变性，在方程2 x2 + y 2 + z 2 ? 2 z = 0两边求全微分得4 xdx + 2 ydy + 2 zdz ? 2dz = 0 ，即dz =2x y dx + dy ， 1? z 1? z于是?z 2x ?z y = ， = ． ?x 1 ? z ?y 1 ? zz例 11 设 e? z + xy 3 = 0 ，求z?2 z ． ?x 2解 在方程 e? z + xy 3 = 0 两边分别对 x 求偏导数，并注意 z 是 x ， y 的函数，得 ez ? ?z ?z ? + y3 = 0 ， ?x ?x（13）于是?z y3 = ， ?x 1 ? e z 再对（13）式两边对 x 求偏导数，并注意 z 是 x ， y 的函数，得2 ?2 z ? ?z ? z ? z e ?? ? + e ? 2 ? 2 = 0 ?x ?x ? ?x ? 2 z80 于是?2 z ez = ?x 2 1 ? e z? ?z ? ?? ? ? ?x ?2将?z 的表达式代入上式得 ?x?2 z y 6e z = ． ?x 2 (1 ? e z )32．方程组所确定的隐函数的微分法 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广，不仅增加方程中变量的个数，而且增 加方程的个数． 定理 7 隐函数存在定理 3） 设函数 F ( x, y , u , v )，G ( x, y , u , v ) 在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) （ 的某一邻域内对各个变量具有连续的偏导数，又 F(x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 G(x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 ， ， 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比行列式）?F ? ( F , G ) ?u J= = ?G ? (u, v) ?u在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 不等于零，则方程组 ??F ?v ?G ?v? F ( x, y, u , v) = 0， 在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某邻域 ?G ( x, y, u , v) = 0，内能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 u 满足条件= u ( x, y ) ， v = v( x, y ) ，且它们?u 1 ?( F , G ) =? ? ， ?x J ? ( x, v ) ?u 1 ?( F , G ) =? ? ， ?y J ? ( y, v)此处仅对公式（14）作如下推导． 将u?v 1 ?( F , G) =? ? ， ?x J ? (u , x) ?v 1 ?( F , G) =? ? . ?y J ? (u , y )（14）? F ( x, y, u , v) = 0， = u ( x, y ) ， v = v( x, y ) 代入方程组 ? 得 ?G ( x, y, u , v) = 0， ? F ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) ≡ 0， ? ?G ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) ≡ 0，81 应用复合函数求导法则，将恒等式两端分别对 x 求偏导数，得?v ?u ?v ? ?u ? ? Fu ?x + Fv ?x = ? Fx， ? Fx + Fu ?x + Fv ?x = 0， ? ? 即? ? ?G + G ?u + G ?v = 0， ?G ?u + G ?v = ?G ， u v v x ? x ? u ?x ?x ?x ?x ? ?这是关于 数行列式?u ?v ， 的线性方程组，由定理 7 的条件可知在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某邻域内系 ?x ?x ?F ? ( F , G ) ?u J= = ?G ? (u , v) ?u ?F ?v ≠ 0， ?G ?v从而可得到唯一的一组解? Fx Fv ?u ?Gx Gv = =? Fu Fv ?x Gu Gv Fu ? Fx ?v Gu ?Gx = =? Fu Fv ?x Gu Gv同理，可求得Fx Gx Fu Gu Fu Gu Fu GuFv Gv 1 ?( F , G ) =? ? ， Fv J ? ( x, v ) Gv Fx Gx 1 ?( F , G ) =? ? ． Fv J ? (u, x) Gv?u ?v ， ． ?y ?y例 12 求由方程组 ??x + y + u + v = 12 2 2 2 ?x + y + u + v = 2确定的函数的偏导数?u ?v ， ． ?x ?x解 此题可直接利用公式（14）求解，但也可依照推导公式（14）的方法求解．下面 我们用后一种方法． 将所给方程两边对 x 求导，得82 ? ?u ?v ? ?u ?v ， ? ?x + ?x = ?1 ?1 + ?x + ?x = 0， ? ? 即? ? ? 2 x + 2u ?u + 2v ?v = 0， ?u ?u + v ?v = ? x， ? ? ?x ?x ?x ?x ? ?当系数行列式 J=1 1 u v= v ? u ≠ 0 时，可解得?u x ? v ?v u ? x = ， = ． ?x v ? u ?x v ? u习题 8-3= euv ，而 u = sin t ， v = cos t ，求全导数 = arctan( xy ) ，而 y = e x ，求全导数= u 2 ln v ，而 u =1．设 zdz ． dt2．设 zdz ． dx3．设 zx ?z ?z ， v = 3 x ? 2 y ，求 ， ． y ?x ?y?z ?z ， ． ?ρ ?θ4．设 z= x 2 y ? xy 2 ，而 x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ ，求5．求下列函数的一阶偏导数，其中f 具有一阶连续偏导数：（2） u（1） zy = f ( xy, ) ； x = f ( x2 + y 2 ? z 2 ) ；? x y? = f ? , ?； ?y z?= f ( x, xy , xyz ) ．（3） u（4） u6．求下列函数的二阶偏导数，其中 （1） zf 具有二阶连续偏导数：（2） z= f ( x2 + y2 ) ；= f ( x, xy ) ；83 （3） zx = f ( x, ) ； y=（4） z= f ( xy 2 , x 2 y ) ．7．设 zy ，其中 f 为可导函数，验证： f (x ? y2 )21 ?z 1 ?z z + = 2． x ?x y ?y y8．设 y= ? ( x + at ) + ψ ( x ? at ) ，其中 ? ，ψ 具有二阶连续导数，验证：2 ?2 y 2 ? y =a ． ?t 2 ?x 29．利用全微分形式的不变性求函数 z= e x + y cos( y ? x) 的全微分，并求?z ?z ， ． ?x ?y10．设 siny + e x ? xy 2 = 0 ，求dy ． dx11．设 z2y ? xz 3 = 1 ，求?z ?z ， ． ?x ?y12．设x z ?z ?z = ln ，求 ， ． z y ?x ?y = f ( x + y, y + z ) ，求 ?z ?z ， ． ?x ?y z? ? = 0 所确定，其中 F , z 都是可微函 x?13．设 z14．设函数 z? z = z ( x, y ) 由方程 F ? x + , y + y ?数，验证 x?z ?z + y = z ? xy ． ?x ?y = z ( x, y ) 由方程 Φ ( cx ? az , cy ? bz ) = 0 所确定，其中 Φ 具有连续偏15．设函数 z导数，验证 a84?z ?z +b = c． ?x ?y ?2 z ?2 z 16．设 x + y + z = e ，求 2 + ． ?x ?y 2xy?2 z ?2 z 17．设 z ? 2 xz + y = 0 ，求 ， ． ?x?y ?y 23?2 z 18．设 e ? xyz = 0 ，求 2 ． ?xz19．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：? z = x 2 + y 2， dy dz ? 求 ， ； （1） ? 2 2 2 ? x + 2 y + 3 z = 20， dx dx ?（2） ?? xu ? yv = 0， ?u ?v 求 ， ． ， ?y ?y ? yu + xv = 1§4一、方向导数函数 z方向导数与梯度= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) 分别表示函数在点 P 沿着 x 轴方向与 y 轴方向的变化率，它们只描述了函数沿着坐标轴方向的变化情况， 0 现在要考虑函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 沿任一方向的变化率，即方向导数．定义 1 设 z =f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某yP邻域内有定义．从点 P 引射线 l ， l 的方向角为 α ， 0l?yβ （即从 x ， y 正向到射线 l 的转角分别为 α ， β） ，在射线 l 上取一点 P ( x0 + ?x, y0 + ?y )（图 8-9） ，若极限βP0α?xox图 8-9P → P0limf ( P ) ? f ( P0 ) f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = lim ρ →0 P0 P ρ85 存在，其中 ρ 数z= P0 P = ( ?x) 2 + (?y ) 2 为两点 P0 和 P 之间的距离，则称此极限值为函?f ?l，即P0= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处沿着方向 l 的方向导数 方向导数，记作 方向导数?f ?l = limP0f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )ρ →0ρ．由定义可知，当函数 时，则函数f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数 f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) 存在f ( x, y ) 在点 P0 处沿着 x 轴正向 e 1 = {1,0} ， y 轴正向 e 2 = {0,1} 的方向导数都存在，且其值依次为f x ( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) ，函数 f ( x, y ) 在点 P0 处沿着 x 轴负向′ ′ e 1 = {?1, 0} ， y 轴负向 e 2 = {0, ?1} 的方向导数也都存在， 且其值依次为 ? f x ( x0 , y0 ) ，? f y ( x0 , y0 ) ．沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出． 定理 1 设函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微，则函数 f ( x, y ) 在点 P0 处沿任一方向 l 的方向导数都存在，且?f ?l= f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β ，( x0 , y0 )（15）其中 cos α ， cos β 为 l 的方向余弦． 证 因为函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微，所以函数在点 P0 处的增量可表示为f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )?x + f y ( x0 , y0 )?y + o( ρ )由图 8-9 可知，在 l 上 ?x= ρ cos α ， ?y = ρ cos β ，所以有= f x ( x0 , y0 ) ?xf ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )ρρ+ f y ( x0 , y0 )?yρ+o( ρ )ρo( ρ )= f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β +于是有极限86ρ， limρ →0f ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? f ( x0 , y0 )ρ= f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β ．这就证明了函数函数 z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 沿方向 l 的方向导数存在，且其值为证毕． = f x ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) cos β ．证毕 证毕?f ?l( x0 , y0 )需注意在公式 （15） 当 α 中，= 0 ，β =π2时，?f ?l= f x ( x0 , y0 ) ， α = 当P0π2， β=0时，?f ?l= f y ( x0 , y0 ) ，可见当 f ( x, y ) 可微时，偏导数是方向导数的特例．P0类似地，可以定义三元函数 u= f ( x, y , z ) 的方向导数，而且可微的三元函数在点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处沿任一方向 l 的方向导数也存在，且有?f ?l = f x ( x0 , y0 , z0 ) cos α + f y ( x0 , y0 , z0 ) cos β + f z ( x0 , y0 , z0 ) cos γ ，( x0 , y0 , z0 )其中 cos α ， cos β ， cos γ 为 l 的方向余弦． 例 1 求函数 z 导数．= xe 2 y 在点 P0 (1,0) 处沿着从点 P0 (1,0) 到点 P (2, ?1) 的方向的方向uuur解 这里方向 l 即向量 P0 P= {1, ?1} 的方向，因此 l 的方向余弦为 1 1 + (?1)2 2cos α = cos β == =?1 ， 2 1 ， 2?1 12 + ( ?1) 2又因为?z ?z ?z ?z = e 2 y ， = 2 xe 2 y ，于是 = 1， = 2， ?x ?y ?y (1,0) ?x (1,0) ?z ?l =(1,0)所以?z ?z 1 2 ? 1 ? cos α + cos β = 1 ? + 2??? ?=? 2 ． ?x (1,0) ?y (1,0) 2 2? ?87 例2 设f ( x, y, z ) = x + y 2 + z 3 ，求 f 在点 P0 (1,1,1) 处沿方向 l = 2i ? 2 j + k 的方向导数． 解 l 的方向余弦为cos α = cos β = cos γ =2 22 + (?2) 2 + 12 ?2=2 ， 32 =? ， 3 22 + (?2) 2 + 12 1 = ， 22 + (?2)2 + 12 3 1又因为?f ?f = 1， ?y ?x (1,1,1)= 2 y (1,1,1) = 2 ，(1,1,1)?f ?z= 3z 2(1,1,1)(1,1,1)= 3，所以?f ?l二、梯度定义 2 设函数 z(1,1,1)2 1 1 ? 2? = 1? + 2 ? ? ? ? + 3 ? = ． 3 3 3 ? 3?= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处存在对所有自变量的偏导数，则称向量f x ( x0 , y0 )i + f y ( x0 , y0 ) j 为 函 数 z = f ( x, y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 处 的 梯 度 ， 记 作gradf ( x0 , y0 ) ，即gradf ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )i + f y ( x0 , y0 ) j = { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )} ．若z= f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处可微，l0 = {cos α ,cos β } 为 l 方向上的单位向量， ?f ?l则方向导数公式（15）又可写成= gradf ( x0 , y0 ) ? l0 = gradf ( x0 , y0 ) cos θ( x0 , y0 )（16）其中 θ 是梯度 gradf ( x0 , y0 ) 与 l0 的夹角． 由公式（16）可以看出，方向导数 有下述性质：88?f 就是梯度在 l 方向上的投影，且方向导数还具 ?l （1）当 l 与 gradf ( x0 , y0 ) 同方向时，方向导数有最大值gradf ( x0 , y0 ) ； gradf ( x0 , y0 ) ；（2）当 l 与 gradf ( x0 , y0 ) 反方向时，方向导数有最小值 ? （3）当 l 与 gradf ( x0 , y0 ) 垂直时，方向导数为零．因此，函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向是函数在该点的方向导数取得最 大值的方向，它的模等于方向导数的最大值． 类似地，可以定义三元函数 u= f ( x, y , z ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的梯度为gradf ( x0 , y0 , z0 ) = f x ( x0 , y0 , z0 )i + f y ( x0 , y0 , z0 ) j + f z ( x0 , y0 , z0 )k ．同样当 u= f ( x, y , z ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微，l0 = {cos α ,cos β ,cos γ } 为 l 方向上的单位向量时，则有?f ?l= gradf ( x0 , y0 , z0 ) ? l0 = gradf ( x0 , y0 , z0 ) cos θ( x0 , y0 , z0 )例 3 求函数 u 向导数． 解 因为= xy 2 + yz 3 在点 P0 (2, ?1,1) 处的梯度及沿方向 l = 2i + 2 j - k 的方?u ?u ?u = y2 ， = 2 xy + z 3 ， = 3 yz 2 ， ?z ?x ?y = 1， ?u ?y = ?3 ，(2, ?1,1)于是?u ?x(2, ?1,1)?u ?z= ?3 ，(2, ?1,1)所以 gradu (2,?1,1) 又因为 l= i ? 3 j ? 3k ．= 2i + 2 j - k 的单位向量为 l0 =l 2 2 1 = i + j ? k ，所以 l 3 3 3?f ?l(2, ?1,1)2 1 ? 1 ?2 = gradu (2,?1,1) ? l0 = (i ? 3 j ? 3k ) ? ? i + j ? k ? = ? ． 3 3 ? 3 ?3习题 8-489 1．求函数 z 数． 2．求函数 u= x 2 + y 2 在点 (1, 2) 处沿着从点 (1, 2) 到点 (2, 2 + 3) 的方向的方向导= xy 2 + z 3 ? xyz 在点 (1,1, 2) 处沿方向 l （其方向角分别为 600 ， 450 ，600 ）的方向导数．3．求函数 u 4．求函数 z= xyz 在点 (5,1, 2) 处沿着从点 (5,1, 2) 到点 (9, 4,14) 的方向导数．= ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上点 (1, 2) 处，沿着这条抛物线在该点处 = x 2 ? xy + y 2 在点 (1,1) 处沿与 x 轴正方向成 α 角的射线 l 方向的方向偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数． 5．求函数 z导数，并问 α 角取何值时，方向导数取： （1）最大值； （2）最小值； （3）零． 6．求函数 u= ln( x 2 + y 2 + z 2 ) 在点 (1, 2, ?2) 处的梯度．7．设 u ， v 都是 x ， y ， z 的函数， u ， v 的各偏导数都存在且连续，证明： （1） grad (u + v ) = gradu + gradv ； （2） grad (uv) = vgradu + ugradv ； （3） gradf (u ) = 8．设 rf ′(u )gradu ，其中， f 是可微函数．= x 2 + y 2 + z 2 ，试求：1 ． r（1） gradr ； （2） grad§5多元函数微分学在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线 Γ 的参数方程为x = x(t ) ， y = y (t ) ， z = z (t ) ，其中 x′(t ) ， y′(t ) ， z ′(t ) 存在且不同时为零． 在曲线 Γ 上取对应于 t90= t0 的一点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 及对应于 t = t0 + ?t 的邻近一点 P ( x0 + ?x, y0 + ?y, z0 + ?z ) ，则曲线的割线 P0 P 的方程为ZPTx ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ， ?x ?y ?z用 ?t 去除上式各分母，得x ? x0 y ? y0 z ? z0 ． = = ?x ?y ?z ?t ?t ?toxP0y图 8-10当点 P 沿着曲线 Γ 趋于点 P 时，割线 P0 P 的极限位置 P0T 就是曲线 Γ 在点 P 处的 0 0 切线（图 8-10） ．令 P 切线 的切线方程为→ P0 （这时 ?t → 0 ） ，对上式取极限，就得到曲线 Γ 在点 P 处 0x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ． x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )（1）这里要求 x′(t0 ) ， y′(t0 ) ， z ′(t0 ) 不全为零，如果有个别为零，则应按照空间解析几何中 有关直线的对称式方程的说明来理解． 切线的方向向量称为曲线的切向量 曲线的切向量．向量 T = { x′(t0 ), y ′(t 0 ), z ′(t 0 )} 就是曲线 Γ 在 曲线的切向量 点 P 处的一个切向量． 0 通过点 P 而与切线垂直的平面称为曲线 Γ 在点 P 处的法平面 法平面．显然它是通过点 法平面 0 0P0 ( x0 , y0 , z0 ) 且以 T 为法向量的平面，因此法平面的方程为 x′(t0 )( x ? x0 ) + y′(t0 )( y ? y0 ) + z′(t0 )( z ? z0 ) = 0 ．例 1 求曲线 x （2）= t ， y = t 2 ， z = t 3 在点 (1,1,1) 处的切线方程与法平面方程． = 1 ，又因为解 点 (1,1,1) 对应的参数为 tx′(t ) t =1 = 1 ，91 y′(t ) t =1 = 2t t =1 = 2 ， z′(t ) t =1 = 3t 2所以曲线在点 (1,1,1) 处的切线方程为t =1= 3，x ?1 y ?1 z ?1 = = ， 1 2 3法平面方程为 即 例 2 求螺旋线 xx ? 1 + 2( y ? 1) + 3( z ? 1) = 0 ， x + 2 y + 3z = 6 ．= R cos t ， y = R sin t ， z = bt （其中 R 、b 为正常数）在 t =π2对应点处的切线方程与法平面方程． 解 因为x′(t ) t = π = ? R sin t t = π = ? R ，2 2y′(t ) t = π = R cos t t = π = 0 ，2 2z′(t ) t = π = b ．2又因为当 t=π2时，对应点是 P0 (0, R,πb2) ，因此在 P0 处切线方程为 z? bπ 2 ， bx y?R = = ?R 0即bπ ? ?bx + R ( z ? ) = 0， 2 ? ? y = R， ?法平面方程为(? R ) ? x + 0 ? ( y ? R) + b ? ( z ?即92bπ ) = 0， 22 Rx ? 2bz + b 2π = 0 ． 如果空间曲线 Γ 的方程由y = y ( x), z = z ( x) 的形式给出，此时可以把它看成以 x 作为参数的参数方程的形式： x = x，y = y ( x), z = z ( x) ．设 y ( x) ， z ( x ) 在 x= x0 处可导，则曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T = {1, y ′( x0 ), z ′( x0 )} ，因此曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ， 1 y′( x0 ) z′( x0 )其中 y0（3）= y ( x0 ) ， z0 = z ( x0 ) ．曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的法平面方程为 x ? x0 + y′( x0 )( y ? y0 ) + z′( x0 )( z ? z0 ) = 0 ．（4）如果空间曲线 Γ 的方程由? F ( x, y , z ) = 0 ? ?G ( x, y, z ) = 0（5）给出，设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲线 Γ 上一点， F ， G 对各变量具有连续的偏导数，且雅可比 行列式?( F , G ) ≠ 0， ? ( y, z ) ( x0 , y0 , z0 )则根据隐函数存在定理 3， 方程组 （5）在点 P 的某邻域内确定了一组可微函数 y = 0y ( x) ，z = z ( x) ． 为了求出曲线 Γ 在点 P 处的切线方程和法平面方程， 只需求出 y′( x0 ) ， ′( x0 ) z 0就行了．为此在方程组（5）的两边分别对 x 求全导数，注意 y ， z 是 x 的函数，得dy dz dz ? ? dy ? Fx + Fy dx + Fz dx = 0， ? Fy dx + Fz dx = ? Fx， ? ? 即? ? ?G + G dy + G dz = 0， ?G dy + G dz = ?G . y z z x ? x ? y dx dx dx dx ? ?93 由假设，在点 P 的某邻域内有 J 0=?( F , G) ≠ 0 ，从而可解出 ? ( y, z )Fx Gx 1 ?( F , G) = ， Fz J ? ( z , x) Gz Fy Gy Fz Gz? Fx Fz Fz G dy ?Gx Gz = = z Fy Fz Fy dx G y Gz Gy Fy Gy ? Fx ?Gx Fz Gz Fx Gx Fy Gydz = Fy dx Gy==1 ?( F , G ) ， J ? ( x, y )那么，曲线 Γ 在点 P 处的切向量为 0T = {1,1 ?( F , G ) J ? ( z, x),P01 ?( F , G ) ?(F , G ) } 或T = { J ? ( x, y ) P0 ? ( y, z ),P0?(F , G ) ?( z, x),P0?(F , G ) }， ? ( x , y ) P0因此，曲线 Γ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ， ?( F , G) ?( F , G ) ?( F , G) ? ( y, z ) P0 ? ( z, x) P0 ? ( x, y ) P0法平面为（6）?( F , G ) ?( F , G) ?( F , G) ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) + ( z ? z0 ) = 0 ． ? ( y, z ) P0 ? ( z , x) P0 ? ( x, y ) P0例 3 求曲线 ?（7）? x2 + y 2 + z 2 = 6 ?x + y + z = 0在点 (1, ?2,1) 处的切线方程和法平面方程．解 令 F ( x, y , z ) = 则x 2 + y 2 + z 2 ? 6 ， G ( x, y , z ) = x + y + z ，2 y 2z ?( F , G) = = 2( y ? z ) (1,?2,1) = ?6 ， 1 1 (1,?2,1) ? ( y, z ) (1,?2,1)94 2z 2x ?( F , G ) = = 2( z ? x) (1,?2,1) = 0 ， 1 1 (1,?2,1) ? ( z , x) (1,?2,1) 2x 2 y ?( F , G ) = = 2( x ? y ) (1,?2,1) = 6 ， 1 1 (1,?2,1) ? ( x, y ) (1,?2,1)因此，切线方程为x ?1 y + 2 z ?1 = = ， ?6 0 6即? x + z ? 2 = 0， ? ? y = ?2，法平面方程为?6( x ? 1) + 0( y + 2) + 6( z ? 1) = 0 ，即x? z = 0．二、曲面的切平面与法线 曲面的切平面与法线若曲面 Σ 上过点 P 的所有曲线在点 P 处的切线都在同一平面上，则称此平面为曲面 0 0Σ在点 P 处的切平面 切平面． 切平面 0 设曲面 Σ 的方程为 F ( x, y , z ) = 0 ， 0 (x0, y0, z0 ) 是曲面 Σ 上一点， P 函数 F ( x, y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 处具有一阶连续偏导数，且 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ， Fy ( x0 , y0 , z0 ) ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 不同时为零．在上述假设下我们证明曲面 Σ 在点 P 处的切平面存在，并求出切平面方程． 0 在曲面 Σ 上任取一条过 P 的曲线 Γ ，设其参数方程为 0x = x(t ) ， y = y (t ) ， z = z (t ) ，（8）t = t0 对应于点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ，且 x′(t0 ) ， y′(t0 ) ，z′(t0 ) 不同时为零，则曲线 Γ 在点 P0处的切向量为T = { x′(t0 ), y ′(t0 ), z ′(t0 )} ．另一方面，由于曲线 Γ 在曲面 Σ 上，所以有恒等式F [ x(t ), y (t ), z (t )] ≡ 0 ，95 由全导数公式，得dF dt即t =t0? ?F dx ?F dy ?F dz ? =? + + ? = 0， ? ?x dt ?y dt ?z dt ? t =t0（9）Fx ( x0 , y0 , z0 ) x′(t0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) y′(t0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 ) z′(t0 ) = 0 ．若记向量 n 为n = {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} ，则（9）式可写成 n ? T= 0 ，即 n 与 T 互相垂直．因为曲线（8）是曲面 Σ 上通过点 P0 的任意一条曲线，它们在点 P 处的切线都与同一个向量 n 垂直，所以曲面上通过点 P 的一 0 0 切曲线在点 P 的切线都在同一个平面上．该平面就是曲面 Σ 在点 P 处的切平面．切平面 0 0 方程为Fx ( x0 , y0 , z0 )( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y ? y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z ? z0 ) = 0 ． （10）过点 P 且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的法线 法线．由解析几何知法线的方程为 法线 0x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ． Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )曲面 Σ 在 P 点的切平面的法向量也称为曲面 Σ 在 P 点的法向量 法向量．向量 法向量 0 0（11）n = {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}就是曲面 Σ 在点 P 处的一个法向量． 0 如果曲面 Σ 的方程是由显函数 z= f ( x, y ) 的形式给出，则可令 F ( x, y , z ) = f ( x, y ) ? z ，这时有 于是，当函数Fx ( x, y, z ) = f x ( x, y ) ， Fy ( x, y, z ) = f y ( x, y ) ， Fz ( x, y, z ) = ?1 ． f ( x, y ) 的偏导数 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续时，则曲面 Σ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为z ? z0 = f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y ? y0 ) ．96（12） 法线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ． f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) ?1曲面 Σ 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的一个法向量为（13）n = {? f x ( x0 , y0 ), ? f y ( x0 , y0 ),1} ．如果用 α ， β ， γ 表示曲面的法向量的方向角，并假设法向量与 z 轴正向夹角 γ 为锐角 （即法向量的方向是向上的） ，则法向量的方向余弦为cos α =? f x ( x0 , y0 ) 1 + f 2 x ( x0 , y0 ) + f 2 y ( x0 , y0 )，cos β = cos γ =例 4 求椭球面 x2? f y ( x0 , y0 ) 1 + f 2 x ( x0 , y0 ) + f 2 y ( x0 , y0 ) 1 1 + f x ( x0 , y0 ) + f2 2 y，．( x0 , y0 )+ 2 y 2 + 3z 2 = 6 在点 (1,1,1) 处的切平面方程与法线方程． x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 ? 6 ，则 Fx = 2 x ， Fy = 4 y ， Fz = 6 z ，解 设 F ( x, y , z ) = 于是Fx (1,1,1) = 2 ， Fy (1,1,1) = 4 ， Fz (1,1,1) = 6 ，因此切平面方程为2( x ? 1) + 4( y ? 1) + 6( z ? 1) = 0 ，即x + 2 y + 3z = 6 ，法线方程为x ?1 y ?1 z ?1 = = ． 1 2 3 = x 2 + y 2 ? 1 在点 P0 (2,1, 4) 处的切平面方程与法线方程．例 5 求旋转抛物面 z 解 设z= f ( x, y ) = x 2 + y 2 ? 1 ，则97 f x ( x, y ) = 2 x ， f y ( x, y ) = 2 y ， f x (2,1) = 4 ， f y (2,1) = 2 ，因此切平面方程为z ? 4 = 4( x ? 2) + 2( y ? 1) ，即 4 x + 2 y ? z = 6 ，法线方程为x ? 2 y ?1 z ? 4 = = ． 4 2 ?1习题 8-51．求下列曲线}
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