高等数学导数的应用题目，求详细解题步骤谢谢
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高等数学 解题步骤
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简介：本文档为《高数导数练习题doc》，可适用于小学教育领域，主题内容包含高数导数练习题精品文档高数导数练习题一、填空题设ysinxcos则y设函数yy由方程sinexxy所确定则设yesinx则dydydx(设函数yyx符等。
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高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第一章函数、极限、连续第 1 节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质 1 函数的定义 设有两个变量 x 和 y ，变量 x 的变域为 D ，如果对于 D 中的每一个 x 值，按 照一定的法则，变量 y 有一个确定的值与之对应，则称变量 y 为变量 x 的函数， 记作： y ? f ? x ? 。 2 函数概念的两要素 ①定义域：自变量 x 的变化范围②对应关系：给定 x 值,求 y 值的方法。 3 函数的三种表示方法 ①显式：形如 y ? f ? x ? 的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形 式。 ②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如F ( x, y) ? 0，如椭圆函数x2 y 2 ? ? 1。 a 2 b2? x ? vt 1 2 称作参数式。参数式将两个 ? y ? 2 gt ?③参数式：形如平抛运动的轨迹方程 ? ?变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4 函数的四个基本性质1 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解①奇偶性：设函数 f ? x ? 在对称区间 X 上有定义，如果对于 ?x ? X 恒有f ( x) ? f (? x)(或) f ( x) ? ? f (? x) ，则称 f ? x ? 为偶函数(或 f ? x ? 奇函数)。注：偶函数 f ? x ? 图形 关于 y 轴对称，奇函数 f ? x ? 的图形关于坐标原点对称。 ②有界性：设函数 f ? x ? 在区间 X 上有定义,如果 ?M ? 0 ,使得对一切 x ? X ,恒 有： f ? x ? ? M ,则称 f ? x ? 在区间 X 上有界；若不存在这样的 M ? 0 ，则称 f ? x ? 在 区间 X 上无界.注：函数 f ? x ? 有无界是相对于某个区间而言的。 ③周期性：设函数 f ? x ? 在区间 X 上有定义,若存在一个与 x 无关的正数 T ， 使对任一 x ? X ，恒有 f ? x ? T ? ? f ? x? 则称 f ? x ? 是以 T 为周期的周期函数，把满 足上式的最小正数 T 称为函数 f ? x ? 的周期。 ④单调性：设函数 f ? x ? 在区间 X 上有定义，如果对 ?x1 , x2 ? X , x1 ? x2 ,恒有：f ? x1 ? ? f ? x2 ? (或 f ? x1 ? ? f ? x2 ? )则称 f ? x ? 在区间 X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于 ?x1 , x2 ? X , x1 ? x2 ,恒有：f ? x1 ? ? f ? x2 ? (或 f ? x1 ? ? f ? x2 ? )则称 f ? x ? 在区间 X 上是严格单调增加(或严格单调减少)的。 5 其它函数定义 ①复合函数：设函数 y ? f ? u ? 的定义域为 D f ，而函数 u ? ? ? x ? 的定义域是 D? 值域为 Z? ，若 D f ? Z? ? ? ，则称函数 y ? f ?? ? x ? ? 为 x 的复合函数，它的定义域是 ? ?{x O x ? D? 且? ( x) ? D f } 。这里 ? 表示空集。②反函数：设函数 y ? f ? x ? 的值域为 Z f ，如果对于 Z f 中任一 y 值，从关系式y ? f ? x ? 中可确定唯一的一个 x 值，则称变量 x 为变量 y 的函数，记为： x ? ? ? y ? ，2 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解其中 ? ? y ? 称为函数 y ? f ? x ? 的反函数，习惯上 y ? f ? x ? 的反函数记为： y ? f ?1 ? x ? 。 6 初等函数 ①常值函数 ②幂函数 有定义。 ③指数函数 ④对数函数 ⑤三角函数y ? ax ( a ? 0 且 a ? 1)C ( C 为常数)， x ? R? y ? x ?? ? R，定义域由 ? ?确定，但不论 ? 如何，在 (0, ?) 内总x?Rx y ? l o a ( a ? 0 且 a ? 1 ) x ? (0, ?) g如 y ? sin x, x ? R ； y ? cos x, x ? R ；y ? tan x , x ? (k? ??, k? ? ), k ? Z ； cot x, x ? (k? ,(k ? 1)? ), k ? Z 等 2 2?⑥反三角函数y ? arccot x , x ? R .； y ? a r c s x nx ? [? 1 , 1 ] y ? arccos x, x ? [?1,1] ； y ? arctan x , x ? R ； i ,以上六类函数称基本初等函数。 由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7 分段函数 一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函 数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。 常见的分段函数： ①符号函数?1 当x ? 0 , ? y ? s g nx ?? 0 当 x ? 0 , ? ?1 当 x ? 0 . ?[ x] 表示不超过 x 的最大整数； [ x] ? n ,当 n ? x ? n ?1 ，其中 n 为②取整函数 整数。③狄利克莱(Dirichlet)函数?1 当x为有理数时, y ? f? x ? ? ? ?0 当x为无理数时.3 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解④绝对值函数? x, x ? 0 x ?? ? x, x ? 0★基本题型训练一 典型例题 1 判断函数的等价性 例 1.1 下列各题中，函数 f ( x) 与 g ( x) 是否相同？为什么？ (1) f ( x) ? lg x 2 , g ( x) ? 2 (2) f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 ;(3) f ( x) ? 3 x 4 ? x3 , g ( x) ? x 3 x ? 1 ；(4) f ( x) ? 1, g ( x) ? sec2 x ? tan 2 x ； 解： (1)不相同， 因为 lg x2 的定义域是 (??,0) ? (0, ?) ， 2l x 的定义域是 (0, ?) 。 而g (2)不相同，因为两者对应法则不同，当 x ? 0 时， g ( x) ? ? x 。 (3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。 (4)不相同，因为两者定义域不同。 2 求函数的定义域 例 1.2 设 f ( x ?1) 的定义域为 [0, a](a ? 0) 则 f ( x) 的定义域为多少？ 解 ： 函 数 f (x ? 1 的 定 义 域 是 指 x 的 变 化 范 围 ， 即 )0 ? x ? 1 ? a, 令t ? x ? 1, 则 ? 1 ? t ? a ? 1 。故对函数 f ( x) 而言， t 的变化范围为 [?1, a ? 1] ，由函数表达式的“变量无关性” ，知： f ( x) 的定义域为 [?1, a ? 1] 。 常见错误： [1, a ? 1] 。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认 为 0 ? x ?1 ? a ，由此得到 1 ? x ? a ?1 。 3 判断函数奇偶性 例 1.4 下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？4 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(1)y ? e x sin x,2(2)y ? log a ( x ? 1 ? x 2 ) (a ? 0, a ? 1)解：(1)因为 sin x 为奇函数， x 2 为偶函数，所以 y ? e x sin x 为奇函数。2(2) f (? x) ? log a (? x ? 1 ? a 2 ) ? log a 故 f ( x) 为奇函数 4 判断函数的周期性1 x ? 1? x2? ? log a ( x ? 1 ? x 2 ) ? ? f ( x) ,例 1.5 下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) y ? cos( x ? 2) (2) y ? 1 ? sin ? x解 (1) y ? cos( x ? 2) 是周期函数，周期为 2? ； (2) y ? 1 ? sin ? x 是周期函数，周期是 2 5 判断函数单调性 例 1.6 设 f ( x) 在 (??, ??) 上 有 定 义 ， 且 对 任 意 x ， y ? (??, ??) 有f ( x) ? f ( y ) ? x ? y 证明 F ( x) ? f ( x) ? x 在 (??, ??) 上单调增加。证明：设 ?x1 , x2 ? (??, ??), x1 ? x2 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ， 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 所以 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2F ( x1 ) ? F ( x2 )所以即 F ( x) 在 (??, ??) 上单调增加。 6 求反函数 例 1.7 求函数 y ?1? 1? x 的反函数 1? 1? x5 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：令 t ? 1 ? x ，则 y ?2y ?1 y ?1 1? t 。所以 t ? ， 即 1? x ? ，所以 y ?1 y ?1 1? t? y ?1 ? 4y x ? 1? ? ， ? ? ( y ? 1) 2 ? y ?1 ?所以反函数 y ?4x 即为所求。 ( x ? 1) 27 复合函数求法? x2 , x ? 0 ?1 ? x, x ? 0 , g ( x) ? ? 例 1.8 设 f ( x) ? ? 则 f [ g ( x)] 等于多少？ ? x ? 2, x ? 0 ? ? x, x ? 0解：当 x ? 0 时， g ( x) ? ? x ? 0 ，所以当 x ? 0 时有 f [ g ( x)] ? 1 ? x ；? 当 x ? 0 时 ， g ( x)? 2x? 0所 以 x ? 0 时 有 f [ g ( x)?] 2 x 2 ，故?1 ? x , x ? 0 f [ g ( )?]? 2 x 。 ? x ? 2 ,x ? 0注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是 分析法，下面分别介绍这三种方法。 (1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式 及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函 数与分段函数或分段函数之间的复合。 (2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种 构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合， 这种方法在求复合函数时一般最先想到。 (3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分 段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下： ①先画出中间变量函数 u ? ? ? x ? 的图形； ②把 y ? f ? u ? 的分界点在 xou 平面上画出(这是若干条平行于 x 轴的直线)； ③写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间； ④将③所得结果代入 y ? f ? u ? 中， 便得 y ? f ?? ? x ? ? 的表达式及相应 x 的变 ? ?6 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。 二 能力拓展 例 1 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， & M ? N & 表示“M 的充分必要 条件是 N”，则必有 (A)F(x)是偶函数 ? f(x)是奇函数。 (B)F(x)是奇函数 ? f(x)是偶函数。 (C) F(x)是周期函数 ? f(x)是周期函数。 (D)F(x) [A] 解法一：任一原函数可表示为 F ( x) ? ? f (t )dt ? C ，且 F ?( x) ? f ( x). 当 F(x)0 x是单调函数?f(x)是单调函数。为偶函数时， 有 F (? x) ? F ( x) ， 于 是 F ?(? x) ? (?1) ? F ?( x) ， 即 ? f (? x) ? f ( x) ， 也 即f ( ? x) ? ? f ( x) ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 ? f (t )dt 为偶函数，0x从而 F ( x) ? ? f (t )dt ? C 为偶函数，可见选(A)。0x1 解法二： f(x)=1， 令 则取 F(x)=x+1， 排除(B)、 (C)；令 f(x)=x，则取 F(x)= x 2 ， 2 排除(D)；故应选(A)。?1, x ? 1 ? 例 2 设 f ( x) ? ? 则 f { f [ f ( x)]} 等于 0, x ? 1 ? ?(A) 0 (B)1。?1, x ? 1 ? (C) ? ?0, x ? 1 ??0, x ? 1 ? (D) ? ?1, x ? 1 ?解：由 f [ f ( x)] ＝1 得， f { f [ f ( x)]} ＝1，故应选(B)7 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★函数理论框架图第 2 节 极限与连续性★基本内容学习一 基本概念 1 极限的概念 定 义 2.18n ??lim xn ? a ? ?? ? 0, ?一 个 正 整 数 N ?? ? , 当 n ? N ?? ? 时 ， 恒 有 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解xn ? a ? ?。若 xn 存在极限，称 {xn } 收敛，否则称 {xn } 发散。定义 2.2 lim f ( x) ? a ? ?? ? 0, ? 一个整数 X ，当 x ? X 时，有 f ( x) ? a ? ? x ?? 定义 2.3 xlim f ( x) ? a ? ?? ? 0, ? 正数 ? ，当 0 ? x ? x0 ? ? 时，有 f ( x) ? a ? ? ?x02 数列、函数极限的基本性质与相关定理 定理 2.1(极限的不等式性质) 设 nlim xn ? a ，lim yn ? b 若 a ? b ， ? N ， n ? N 时， n ? yn ； n ? N 时， n ? yn ， 则 当 若 x x ??? n ??? 则 a ? b。 定理 2.2(极限的唯一性) 设 nlim xn ? a ， nlim xn ? b 则 a ? b 。 ??? ??? 定 理 2.3( 收 敛 数 列 的 有 界 性 ) 设 xn 收 敛 ， 则 xn 有 界 （ 即?常数M ? 0, xn ? M , n ? 1, 2,? ） 。定理 2.4(极限的不等式性质) 设 xlim f ( x) ? A ， xlim g ( x) ? B 若 A ? B 则 ? ? &0， ?x ?x0 0当 0 ? x ? x0 ? ? 时 f ( x) ? g ( x) ；若 f ( x) ? g ( x) ( 0 ? x ? x0 ? ? )，则 A ? B 。 [推论](极限的保号性) 若 xlim f ? x ? ? A, A ? 0 ?或A ? 0 ? ,则存在一个 ? ? 0 ，当 ?x0x ? ? x0 ? ? , x 0 ? ? ? , x ? x 0时， f ? x ? ? 0 (或 f ? x ? ? 0 )。定理 2.5(极限的唯一性)设 xlim f ( x) ? A ， xlim f ( x) ? B 则 A ? B 。 ?x ?x0 0定 理 2.6( 夹 逼 准 则 ) 设 在 x0 的 领 域 内 ， 恒 有 ? ? x ? ? f ? x ? ? ? ?x ， 且 ?x ? x0lim ? ? x ? ? lim ? ? x ? ? A ，则 lim f ? x ? ? A 。x ? x0 x ? x0定理 2.7(单调有界准则) 单调有界数列 ?xn ? 必有极限。 3 函数连续性定义 定义 2.1 设函数 f ? x ? 在 x0 的某领域内有定义，给 x 在 x0 处以增量 ?x ，相应9 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解地得到函数增量 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 。若极限 ?x ?0 ?y ? 0 ，则称 f ? x ? 在 x ? x0 处连 lim 续。 定义 2.2 设函数 f ? x ? 满足条件： f ? x ? 在 x0 的某领域内有定义； xlim f ? x ? (1) (2) ? x0存在；(3) xlim f ? x ? ? f ? x0 ? 则称 f ? x ? 在 x ? x0 处连续。 ?x0定义 2.3 若 f ? x ? 在 ? a, b ? 内任一点均连续，则称 f ? x ? 在 ? a, b ? 内连续。 定义 2.4 若 f ? x ? 在 ? a, b ? 内连续， x ? a 处右连续(即 lim f ? x ? ? f ? a ? )， x ? b 在 在x ? a?处左连续(即 lim f ? x ? ? f ? b ? )，则称 f ? x ? 在 ? a, b ? 内连续。 x ?b?4 间断点及分类 间断点定义 若 f ? x ? 在 x0 处出现以下三种情形之一：0 0(1) f ? x ? 在 x0 处无定义； xlim f ? x ? 不存在； xlim f ? x ? ? f ? x0 ? 。 (2) ? x (3) ? x 则称 x0 为 f ? x ? 的间断点。 间 断 点 x0 的 分 类 ： 第 Ⅰ 类 间 断 点 f ? ? x0 ? , f ? ? x0 ? 均 存 在 。 其 中 若f ? ? x0 ? ? f ? ? x0 ? ? f ? x0 ? ， x ? x0 称为可去间断点。若 f ? ? x0 ? ? f ? ? x0 ? , x ? x0 称为跳跃间断点。 第Ⅱ类间断点： f ? ? x0 ? , f ? ? x0 ? 至少有一个不存在。若 f ? ? x0 ? , f ? ? x0 ? 之中有一 个为 ? ，则 x ? x0 称为无穷间断点。 5 闭区间上连续函数的性质 (1)(连续函数的有界性)设函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续，则 f ? x ? 在 ? a, b ? 上有界， 即 ? 常数 M ? 0 ，对任意的 x ? ? a, b ? ，恒有f? x? ?M。(2) (最值定理)设函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续，则在 ? a, b ? 上 f ? x ? 至少取得最大值 与最小值各一次，即 ?? ,? 使得：10 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解f ?? ? ? max ? f ? x ?? , ? ? ? a, b ?a ? x ?bf ?? ? ? m i n f ? x? , ? ? ? a ? b , ? ?a? x b ?(3) (介值定理)若函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续， ? 是介于 f ? a ? 与 f ? b ? (或最大值M 与 最 小 值 m ) 之 间 的 任 一 实 数 ， 则 在 ? a, b ? 上 至 少 ? 一 个 ? ， 使 得f ?? ? ? ? .? a ? ? ? b。 ?(4) ( 零 点 定 理 或 根 的 存 在 性 定 理 ) 设 函 数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上 连 续 ， 且f ? a? ? f? ? ? 0 ，则在 ? a, b ? 内至少 ? b一个 ? ，使得 f ?? ? ? 0.?a ? ? ? b?5 无穷小及其阶 (1)无穷小与无穷大的定义 定义 2.5 在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量） 。lim f ? x ? ? 0 ? ?? ? 0, ? 一个 X ? 0 ，当 x ? Xx ??时，恒有 f ? x ? ? ? 。 时，恒有 f ? x ? ? ? 。x ? x0lim f ? x ? ? 0 ? ?? ? 0, ? ? ? 0 ，当 0 ? x ? x0 ? ?定义 2.6 在自变量的某一变化过程中，若函数 f ? x ? 的绝对值无穷增大，则 称函数 f ? x ? 为无穷大量。lim f ? x ? ? ? ? ?M ? 0, ? 一个 X ? 0 ，当 x ? Xx ??时，恒有 f ? x ? ? M . 时，恒有 f ? x ? ? M .x ? x0lim f ? x ? ? ? ? ?M ? 0, ? 一个 ? ? 0 ，当 0 ? x ? x0 ? ?(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系x ? x0lim f ? x ? ? A ? f ( x) ? ? , 其中lim ? ( x) ? 0 ；x ? x01 ? ? f ( x)为无穷小，f ( x) ? 0则 f ( x) 为无穷大 ? 在同一极限过程中， ? 。 1 ? f ( x)为无穷大，则 为无穷小 ? f ( x) ?(3)无穷小阶的概念 定义 2.7 设在同一极限过程中， ? ? x ? 、 ? ? x ? 为无穷小且存在极限11 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解x ? x0 ( x ?? )lim ? ? x ? ? 0, lim ? ? x ? ? 0 。x ? x0 ( x ?? )? ? x? ? ①若 lim ? ? x?0 则 称 ? ? x? 是 比 ? ? x? 高 阶 的 无 穷 小 ， 记 为 ，? ? x ? ? o ? ? ? x ??.②若 lim? ? x? ? ? ，则称 ? ? x ? 是比 ? ? x ? 低阶的无穷小。 ? ? x? ? ? x? ? C ，则称 ? ? x ? 与 ? ? x ? 是同阶无穷小。 ? ? x?③ 若 lim④ 若 lim? ? x? ? 1 ，则称 ? ? x ? 与 ? ? x ? 是等价无穷小，记为 ? ? x ? ~ ? ? x ? 。 ? ? x?⑤若 lim? ? x? ? C ? C ? 0 ? , k ? 0 ，则称 ? ? x ? 为 ? ? x ? 的 k 阶无穷小。 ? k ? x?(4)等价无穷小的重要性质? ?( x) ? ① 若 x ? a ? ( x ) ~ x ( ?) x, ? (? ， ~ lim ) 存 在 ， 则 ? ) 且 ( x ? ?( x)lim? ( x) ? ?( x) ? lim ? ( x) ? ?( x)该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。 ② ? ( x) ~ ? ( x) ( x ? a ) ? ? ( x) ? ? ( x) ? o(? ( x)) (5)确定无穷小阶的方法 ①利用洛必达法则 确定 k ? 0 使得 limx ? x0f ? x? ( x ? a)k? A ? 0 ， x ? a 时， f ( x) 则是 x ? a 的 k 阶无穷小。 洛必达法则：法则Ⅰx ? x0 x ? x0(0 型 ) 设 函 数 f ? x?, g ? x? 满 足 条 件 ： 0lim f ? x ? ? 0, lim g ? x ? ? 0 ； f ? x ? , g ? x ? 在 x0 的领域内可导(在 x0 处可除外)且12 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解g ? ? x ? ? 0 ； limx ? x0f ? x? f ?? x? f ?? x? ? lim . 存在(或 ? )。则 lim x ? x0 g ? x ? x ? x0 g ? ? x ? g?? x?x ?? x ??0 法则 I? ( 型)设函数 f ? x ? , g ? x ? 满足条件： lim f ? x ? ? 0, lim g ? x ? ? 0 ； ? 一 0个 X ? 0 ，当 x ? X 时， f ? x ? , g ? x ? 可导，且 g ? ? x ? ? 0 ； limf ? x? f ?? x? . g?? x?x ? x0f ?? x? 存在(或 ? )。 g?? x?则 limx ? x0g ? x?? limx ? x0法则Ⅱ(? 型) 设函数 f ? x ? , g ? x ? 满足条件： lim f ? x ? ? ?, lim g ? x ? ? ? ； x ? x0 x ? x0 ?f ? x ? , g ? x ? 在 x0 的领域内可导(在 x0 处可除外)且 g ? ? x ? ? 0 ； limx ? x0f ?? x? 存在(或 g?? x?? )。则 limx ? x0g ? x?f ? x?? limx ? x0f ?? x? ? . 同理法则 II? ( 型)仿法则 I? 可写出。 ? g?? x?②泰勒公式f ( x) ? f (a) ? f ' (a)( x ? a) ? ? ?f n (a) ( x ? a) n ? o(( x ? a) n ) 。 n! f n (a) ( x ? a) n ? o(( x ? a) n ) 。 n!若 f (a) ? f ' (a) ? ? ? f n?1 (a) ? 0, f n (a) ? 0 则 f ( x) ?因此 f ( x) 是 ( x ? a) 的 n 阶无穷小(后面章节还会讲到)。 ③利用无穷小的运算性质 如若 x ? a 时，f ? x ? , g ? x ? 分别是 x ? a 的 n 阶与m 阶无穷小，则 f ? x ? g ? x ? 是 x ? a 的 (n ? m) 阶无穷小，当 n ? m 时， f ? x ? ? g ? x ? 是 x ? a 的 n 阶无穷小。★本章需要记忆知识1 重点概念、性质 函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准13 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解则等。 2 重点公式sin x lim ? 1, x ?0 xn ??lim ?1 ? x ?x ?01 x? 1? ? e (或 lim ?1 ? ? ? e) ； x ?? ? x?x常用极限： lim n ? ?? ? 0 ? ? 1x ???特例 lim n n ? 1n ??lim arctan x ??2x? ? ?l i m a r c xa n t ???2x? ? ?lim arcx?t co0x ???lim arc cot x ? ?x? ? ?l i me x ? 0 lim e x ? ?x ???x ? 0?l i mx x ? 1★基本题型训练1 求复合函数?e x , x ? 1 ? x ? 2, x ? 0 , ? ? x? ? ? 2 例 设 f ? x? ? ? ，求 f ?? ? x ? ? 。 ? ? ? x, x ? 1 ? x ? 1, x ? 0?e? ? x ? , ? ? x ? ? 1 ? 解：由题设 f ?? ? x ? ? ? ? , ?? ? x ? , ? ? x ? ? 1 ?(1)当 ? ? x ? ? 1时， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x ? 2 ? 1 ， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x 2 ? 1 ? 1 ， (2)当 ? ? x ? ? 1时， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x ? 2 ? 1 ， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x 2 ? 1 ? 1 ，14分以下情况讨论。?x ? 0 ? x ? ?1. 即? ? x ? ?1?x ? 0 ? 0 ? x ? 2. 即? 2 ?x ? 2?x ? 0 ? ?1 ? x ? 0. 即? ? x ? ?1?x ? 0 ? x ? 2. 即? 2 ?x ? 2 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解?e x ? 2 , ? ? x ? 2, 综上所述， f ?? ? x ? ? ? ? x2 ?1 ? ? ?e , ? x 2 ? 1, ?x ? ?1 ?1 ? x ? 0 0? x? 2 x? 22 利用函数概念求函数表达式 例 已知 f (e x ) ? 1 ? x ? sin x ，求 f ( x) 。 解 ： 令 e x ? t ， 则 x ? ln t 。 于 是 f (t ) ? 1 ? ln t ? sin(ln t ) 从 而f ( x? ) ? 1 l xn ? s 。x n ( l n i )注：设 f (? ( x)) ? ? (x ) ，其中? ( x) 是已知函数，则有两类问题：一是已知f 求? ；二是已知 ? 求f 。①若 f 是已知，并存在反函数，则 ? ( x) ? f ?1 (? ( x)) 。 ②若 ? 已知， 并存在反函数， t ? ? ( x) ， x ? ? ?1 (t ) ， 令 则 从而 f (t ) ? ? (? ?1 (t )) ， 即 f ( x) ? ? (? ?1 (t )) 。 因此，这两类问题都是求反函数问题。 3 求未定型函数极限 例 求下列极限 ① ②③④解：①原式15 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解②原式1③原式④原式()16 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解＝ 4 求变限积分不等式的极限( ? et dt ) 222x例 求极限 lim 解：原式 = limx ??0x ???03xe 2t dt22(? et dt )(? et dt )'2 22x2x0?3e0 18 x2? limx??4e4 x2?2x?3e0 18 x2et dt24 ?0 e dt ? ? 4 lim 2e4 x ? 0 ? ? lim 14 x2 2 3 x?? e 3 x?? 28xe14 xt222x注：在验证条件 lim ?x ??? ( x)x ?? 0f (t )dt ? ? 时，要用到以下结论:若 f ( x) 连续，又? ( x)x ??lim f ( x) ? A ? 0(也可为?) lim ? ( x) ? ? ，则 lim ?x ?? 0f (t )dt ? ? 。5 由极限确定函数中的参数 例 确定 a, b, c 的值，使解：当 原式时，由可得 同理可得故原式 例 试确定常数 极限值. 的值，使极限故 c=1 2存在，并求该17 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：原式 由 可得 ，即存在则原式 同理由 所以原式 6 利用函数收敛准则求极限 例 1 (利用夹逼准则) _ _ 可得 ，即解：且又由夹逼原则可得原式 例 2 (利用单调有界准则)1? a ? 若序列 ?an ? 的项满足：a1 ? a ( a 为正的常数)，且 an ?1 ? ? an ? ? ，(这里 2? an ?18 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解n ? 1, 2,? )。试证 ?an ? 有极限，并求出它。1? a ? a 2 ? a 2a1 a ? ? a， 解：由 a1 ? a ，又 a2 ? ? a1 ? ? ? 1 2? a1 ? 2a1 2a1今 用 数 学 归 纳 法 证 ak ? a1? a ak ?1 ? ? ak ? 2? ak ? ak 2 ? a 2ak a ? ? a。 ?? ak 2 ak 2 ?。 这 只 须 注 意 到 ：1? a 又 an ? an ?1 ? ? an ? 2? an? an 2 ? a ? 0 ，故 ?an ? 单调且有下界，从而其极限 ?? 2 an ?( n ?? 时)存在，令其为 A 。1? a ? 由 an ?1 ? ? an ? ? 2? an ?有1? a lim an ?1 ? lim ? an ? n ?? n ?? 2 an ?? ?, 即 ?1? a? A ? ? A? ? ， 2? A?即 A2 ? a ， 所以A? a? A 0 ? 。从而 lim an ? a . ?n ??7 求 n 项和数列的极限2? n? sin n? n ?? ? n ] 例 求 lim[ n ?? n ? 1 1 1 n? n? 2 n ? 2? n? sin sin sin n n? n ?? ? n & 1 (sin ? ? sin 2? ? ? ? sin n? ) ＝ 1 sin i? 解： ? n 1 n n i ?1 n n n n ?1 n ? 1 n? 2 n sin sin而 lim1 1 n i? 2 ? sin n ? ?0 sin ? xdx ? ? ，另一方面， n ?? n i ?1?19 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解sin? 2? n? sin sin n n? n ?? ? n & 1 (sin ? ? sin 2? ? ? ? sin n? ) ＝ n ? 1 sin i? ? n 1 n ?1 n ? 1 n i ?1 n n n n ?1 n ? 1 n? 2 nn 1 n i? 2 2 ? ? sin ? ，故由夹逼定理原式＝ n ?? n ? 1 n n ? ? i ?1且 lim8 求 n 项积数列极限x x x 例 当 x ? 0 时， lim cos cos ? cos n n ?? 2 4 2 x x x x 2n sin n cos cos ? cos n 2 2 4 2 原极限 ? lim n ?? x n 2 sin n 2 x x x x 2n ?1 cos cos ? (cos n sin n ) 2 4 2 2 ? lim n ?? x 2n sin n 2 x x x x 2n ? 2 cos cos ? (2 cos n ?1 sin n ?1 ) 2 4 2 2 ? lim n ?? x n 2 sin n 2sin x x ? n n 2 2 ? limn ??? ???lim n ?? n x 2 s i nn 2sin xsin x 2n sin x 2n?sin x x9 利用函数极限求数列极限1 2 例 求 lim(n tan ) n n ?? n解：因为 lim n tann ??1 ? lim n n??tan1 n ? 1, 可化为求 lim( x tan 1 ) x2 n ?? 1 x nt tan t ?t t31 tan t ? t tan t ?t ? 1 2 ) 又因为 lim( x tan ) x t ? lim(1 ? n ?? x t ?0 t x20，其中 limt ?0t ?0而 tan t ? t 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解1 ?1 1 2 tan t ? t 1 (1 ? cos t )(1 ? cos t ) 1 lim ? lim cos t ? lim ? ，故原式= e 3 t ?0 t ?0 t3 3t 2 3 t ?0 t 2 cos 2 t 310 无穷小的比较与无穷小的阶的确定 例 设函数 f ( x) ? lim n 1 ? xn?? 3n，则 f(x)在 (??,??) 内 (B) 恰有一个不可导点 (D) 至少有三个不可导点 [C ](A) 处处可导 (C) 恰有两个不可导点解 ： 先 求 出 f(x) 的 表 达 式 ， 再 讨 论 其 可 导 情 形 当 x ? 1 时 ，f ( x) ? lim n 1 ? xn??3n? 1；n??当 x ? 1 时， f ( x ) ? lim n 1 ? 1 ? 1 ； 当 x ? 1 时， f ( x) ? lim x (n ?? 31 x3n1? 1) n ? x .3?? x 3 , x ? ?1, ? 即 f ( x) ? ? 1, ? 1 ? x ? 1, 可见 f(x)仅在 x= ? 1 时不可导，故应选(C) ? x3 , x ? 1. ?11 函数连续性与间断点类型的讨论 例 判断 间断点并判别类型解：当时，当时，当时，即，所以为函数第一类间断点21 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解12 有关极限的证明 例 设 f ( x) 在 [0, ?) 连续, lim f ( x) ? A ? 0 ,求证 lim ? f (t )dt ? ??x ???xx ??? 0证明因 lim f ( x) ? A ?x ???A ，由极限的不等式性质可知， 2 A ?X ,当x ? X 时, f ( x) ? , 则x ? X 时, 有 2 x X x X A ?0 f (t )dt ? ?0 f (t )dt ? ?X f (t )dt ??0 f (t )dt ? 2 ( x ? X )x 0 ?，因此x?l?i fm? t??( d若?) t， A ? 0 ,则 l i m f t ( d)? ? ? t ?x ? ? ?0 x注：类似可知，若。 A ? 0 ,则 l i m f t ( d)? ? ? t ?x ? ? ?0x13 利用泰勒公式求极限 例 求下列极限(关于泰勒展式有关内容可参见第三章) (1) lim (3) limx ?0cos x ? e x ?0 sin 4 x?x2 2；1 (2) lim[ x ? x 2 ln(1 ? )] ； x ?? xx2 ； 5 1 ? 5 x ? (1 ? x)? x2 2(4) lim(1 ?x ?01 1 2? x ? ln )； x 2 x3 2 ? x解 (1) limcos x ? e x ?0 sin 4 x? limcos x ? e x ?0 x4?x2 2∵分母的次数为 4，∴只要把 cos x ， e?x2 2展开到出现 x 的四次幂即可。cos x ? 1 ?? x2 21 2 1 4 4 x ? x ? o( x ) 2! 4!e1 2 1 1 2 ? 1 ? x ? ( ? x ) 2 ?o( x4 ) 2 2! 2故1 1 4 ? ) x ? o ? x4 ? 1 4! 8 原极限 lim ?? 4 x ?0 x 12 (22 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(2) ln(1 ? ) 的展开式只要取到 2 项即可1 1 1 1 1 ln(1 ? ) ? ? ( )2 ? o(( ) 2 ) x x 2 x x 1 1 1 2 1 1 1 原极限 ? lim[ x ? x 2 ( ? ( ) ? o(( )2 ))] ? lim[ ? o(1)] ? x ?? x ?? 2 x 2 x x 2 (3) ∵分子关于 x 的次数为 2。1 x∴51 1 1 1 1 ? 5 x ? (1 ? 5 x) ? 1 ? (5 x) ? ? ( ? 1) ? (5 x) 2 ? o( x 2 ) 5 2! 5 5? 1 ? x ? 2 x 2 ? o( x 2 )1 5原极限 ? limx2 1 ?? 2 2 x ?0 [1 ? x ? 2 x ? o( x )] ? (1 ? x ) 2x 1? 2? x 2 ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x ) (4) ∵ ln ? ln x 2? x 2 2 1? 2 x 1 x 1 x x 1 x2 1 x3 ? [ ? ( 2) ? ( 3 ) o x ( )? ?[ ? ? 3 ] ( )? ( o ?x ) 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 1 ? x ? x 3 ? o( x 3 ) 12∴ 1? 故 lim(1 ?x ?03()]1 1 1 1 o( x 3 ) ? 3 [ x ? x3 ? o( x3 )] ? 1 ? ? 3 x2 x 12 12 x1 1 2 ? x 11 ? ln )? x 2 x3 2 ? x 12★练习题一1 填空题 (1) 已知 (2) 设 函 数则 __有连续的导函数，，,若23 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解在处连续，则常数(3) 设 当时，=为的阶无穷小，则(4) (5) 已知 (6) (7) lim(n ??，则 _ _，12 22 n2 ? 3 ??? 3 )? n3 ? 1 n ? 2 n ?nxm ?1 (8) lim n = n ?? x ? 1( m 和 n 为正整数且 m ? n )?a ? bx 2 , x ? 0 ? (9)设 f ( x) ? ? sin bx 在 x ? 0 处间断，则 a 与 b 应满足的关系是 , x?0 ? ? x2 选择题(1) 若函数在处连续，则的值是(2) 设其中则必有24 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(3) 函数 f ? x ? ?x 在定义域内为 1 ? x2 (A)有上界无下界. 1 1 (C)有界,且 ? ? f ? x ? ? . 2 2(B)有下界无上界. (D)有界且 ?2 ?x ?2 1 ? x2(4) lim x3 ( x2 ? 2 ? 2 x2 ? 1 ? x) __x ???(A) ?1 4(B)(C)(D)4? ? x ? 1, x ? 1 ? x ? 1 则 lim f ( x) ? __ (5) f ( x) ? ?2, x ?1 ?1 ? , x ?1 ?x(A)1 (6) 设 f ( x) ?(B)0x3 ? x ,则__ sin ? x(C)(D)不存在(A) 有无穷多个第一类间断点, (C) 有两个跳跃间断点 3 计算与证明m(B) 自由一个可去间断点 (D) 有 3 个可去间断点(1) 求极限① limx ?0(1 ? x) n ? 1 x②(2) 设试讨论在处的连续性和可导性. (3) 试确定常数 极限值.25的值，使极限存在，并求该 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4) 设 可去间断点，求 (5) 设 (6) 设 在 及 (7) 设 f ( x) 是三次多项式，且有 limf ( x) 。 x ?3 a x ? 3a limx ?2 a，且 的值。 求 的值。是的的某邻域内二阶可导，且求f ( x) f ( x) ? lim ? 1 (a ? 0) ，求 x ?4 a x ? 4a x ? 2a(8) 设 函 数 f ( x) 在 开 区 间 (a ,b )内 连 续 ， 且 x1 , x2 ,?, xn ? (a, b) ， 试 证 ：? ? ? (a ,b )，使1 f (? ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )] 。 n(9) 设 f ( x) 在 (??, ??) 上连续， f [ f ( x)] ? x ， 且 证明：? 一个 ? ， 使得 f (? ) ? ? (10) 设 f ( x) ， g ( x) 在 [a, b] 上连续，且 f (a) ? g (a), f (b) ? g (b) ，则在 (a, b) 内 至少 ? 一个 ? ，使： f (? ) ? g (? ) (11)证明方程 x3 ? 9 x ? 1 ? 0 恰有 3 个实根. (12) 求 复 合 函 数 设f ?? ? x ? ? , ? ? f ? x ? ? ? ? ? ?f ? x? ?? x, x ? 0 1 ? x ? x ? ,? ? x ? ? ? x2 , x ? 0 2 ?,求★参考答案1 (1)-126(2)a+b(3)， 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4)1 6(5) , (7)1 3(6) 2 (8)m n(9) a ? b (2) (D) (2) 1 , (3) (C) (3) , (6)9 22 (1) (A) 3 (1) (5)n m(4) (A)(5) (D) (4) (7) ?1 2(6) (D) ,(8) 提示：用介值定理 (9) 提示：辅助函数 F ( x) ? f ( x) ? x ，用零点定理 (10) 辅助函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ，利用介值定理 (11) 可利用零点定理 (12) 可利用前面讲到的求复合函数当中的图示法27 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★极限理论框架图28 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第二章 一元函数微分学※本章要求 1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义， 会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一 些物理量(▲数三、数四不要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系。(▲ 数三、数四增加要求了解经济意义（含边际与弹性的概念） 。 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的 导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微 分。 3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4 会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数 的导数。(▲数三、数四参数方程求导不要求) 5 理解并会用罗尔定理、 拉格朗日中值定理泰勒定理， 了解并会用(▲数三、 数四不要求)柯西中值定理。 6 掌握用洛必达法则求未定型极限的方法(▲数三、数四会用洛必达法则求 极限)。 7 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方 法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 8 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直 和斜渐近线，会描绘函数的图形。 9 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(▲数三、数四不要 求)。第1节★基本内容学习一 基本概念与定理 1 导数的概念导数与微分定义 1(函数在某点的导数)：设函数 y ? f ( x) 在 x0 的领域内有定义，给 x 在29 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解x0 处以增量 ?x(? 0) ，函数 y 和相应地得到增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ，如果极f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ??(1) 存在，则函数在点处可导，该函数值 ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x dy 称 为 函 数 在 x0 处 的 导 数 ， 记 为 f ?( x0 ) ， y?( x0 ) ， 即 x? x dx 0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y x0 ? ?x ? x ， 则 令 (1) f ?( x0 ) ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x限 limf ?( x0 ) ? limx ? x0f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0定义 2(左右导数)：函数 f ( x) 在 x0 处的左、右导数分别定义为 左导数 f ??( x0 ) ? lim??x ?0f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim , ( x ? x0 ? ?x) ? x ? x0 ?x x ? x0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim ? x ? x0 ?x x ? x0右导数 f ??( x0 ) ? lim??x ?0定义 3(函数在区间上可导)：如果 y ? f ( x) 在 (a, b) 内每一点均可导；则称该 函数在 (a, b) 内可导；若 y ? f ( x) 在 (a, b) 内可导，且在 x ? a 和 x ? b 处分别具有右 导数 f ??(a) 和左导数 f ??(b) ，则 y ? f ( x) 在 [a, b] 上可导。 2 导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义： 导数 f ' ( x0 ) 在几何上可表示曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 斜 率 ， 曲 线 y ? f ( x) 在 点 M 的 切 线 方 程 及 法 线 方 程 分 别 是y ? f' ( 0x ) ( ? x0x )?f(0及 )y ? x1 ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ( 当f ' ( x0 ) ? 0时 ) f ( x0 )'导数的物理意义： 设 s ? f (t ) 表示直线运动，其中 s 表示位移，t 表示时刻， 则v ?ds dv 表示在时刻 t 的加速度。如果 ? f ?(t ) 表示在时刻 t 的瞬时速度， a ? dt dt dy ? f ?( x0 ) 表示该量的变化量。 dxy ? f ( x) 表示物理上的其他量，即导数30 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解3 微分的概念 定义 4：如果函数 y ? f ( x) 在点 x 处的某邻域内有定义，当自变量在点 x 取 得增量 ?x 时，函数的增量 ?y 可表示为 ?y ? A?x ? ? 其中 A 是与 ?x 无关的量， ? 是当 ?x ? 0 时比 ?x 高阶的无穷小，则称 y ? f ( x) 在 x 处可微， A?x 称为 f ( x) 在点 x 处的微分， 记为 dy 或 df ( x) ， dy ? df ( x) ? A?x (1)由于当 x 为自变量时，dx ? ?x ， 即 同时可证 f ?( x) ? A ，所以(1)又可写成 dy ? f ?( x)dx (函数的一阶微分与其导数的关 系)。 二 基本定理 1 与导数有关的几个基本定理 (1)可微与可导之间的关系: 函数 f ( x) 在 x 处可微 ? f ( x) 在 x 处可导 (2)可导与连续的关系： 若函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导，则 y ? f ( x) 在点 x 处连 续，但函数连续不一定可导。(3)导数与左右导数的关系： f ?( x0 ) 存在 ? f ??( x0 ) ? f ??( x0 ) 。★基本知识记忆1 导数的运算法则 四则运算法则：设函数 u ? u( x) ， v ? v( x) 在点 x 可导则(1) (u ? v)? ? u? ? v? (2) (uv)? ? uv? ? vu? (3) ( )? ?d (u ? v) ? du ? dv d (uv) ? udv ? vduu vvu? ? uv? (v ? 0) v2u vdu ? udv d( ) ? v v22 反函数的运算法则31 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解设 y ? f ( x) 在点 x 的某邻域内单调连续，在点 x 处可导且 f ?( x) ? 0 ，则其反数 在点 x 所对应的 y 处可导，并且有dy 1 。 ? dx dx dy3 复合函数的运算法则 若 ? ? ? ( x) 在点 x 可导 ， 而 y ? f (? ) 在对应点 ? ( ? ? ? ( x) ) 可导，则复合函数y ? f (? ( x)) 在点 x 可导，且 y ? f ( ? ) ? ? ( x) 。' ' '4 基本导数与微分表 (1) y ? c （常数） (2) y ? x a ( ? 为实数) (3) y ? a x 特例 (4) y ? loga x, a ? 0, a ? 1 特例 y ? ln x (5) y ? sin x (6) y ? cos x (7) y ? tan x (8) y ? cot x (9) y ? sec x (10) y ? csc xy? ?y? ? 0y ? ? ? x? ?1 y? ? a x ln a (e x ) ? ? e xdy ? 0d y? ? ? ?1 d x x dy ? a x ln adx d (e x ) ? e x dxy? ?1 x ln a 1 xdy ?1 dx x ln a 1 dx xcx d x ossx d x in2(ln ?? x )y? ? c o x s y? ? ? s i n xd ( l nx ? )d ( s i n ?) xd ( c o x ?)? sd ( t a n ?) x d ( c o x ?)? t1 ? s e 2cx 2 c o sx 1 ? ? c s 2cx si2x ns excd x2y? ? ?c sxcd xy? ? s e cx t a x nd ( s e c ?) x d ( c s c ?)? xsx c xa n e t dx cx c x d x s coty? ? ? c s cx c oxt32 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(11) y ? arcsin x (12) y ? arccos x (13) y ? arctan x (14) y ? arccot x (15) y ? shx (16) y ? chxy? ? y? ? ?1 1? x 121 ? x21 d( a r c sx n ) i? dx 1 ? x2 1 d( a r c c x ? ? ) os dx 1 ? x2y? ?1 1 ? x2 1 1 ? x21 d( a r c t x ? ) 2 d x an 1? x 1 d( a r c cx ? ? ) 2 d x ot 1? xd (shx) ? chxdxd (chx) ? ?shxdxy? ? ?y? ? c h xy? ? ?shx★基本题型训练1 一元函数导数与微分概念的命题 例 设 f ( x) 在 x ? 1 处连续，且 lim x ?1 解：由导数定义 f ?(1) ? lim x ?1 ∴ ∴f(1? )x ?1f ( x) ? 2 ，求 f ?(1) 。 x ?1f ( x) ? f (1) ，而 f ( x) 在 x ? 1 处连续 x ?1 0f (x ) f x ) ( l if m ? ) x ?i m ( ?1 ) x ? ? l i m ( ? ) l i m x ( l 1 x? 1 x? x ?1 1 x ?1 x? 1 f ( x) ? f (1) f ( x) ? lim ?2 x ?1 x ? 1 x ?1f ?(1) ? limx ?12 几类一元函数的导数与微分 例 求下列函数的导数或微分 (1) y ? arcsin e ? 解：(1) y ' ?1 1 ? e ?2xx(2) 设 y ? ln(1 ? 3? x )(e ? x ) ' ? 1 1 ? e ?2x求 dy1 2exe ? x (? x )' ?(1 ? e ?2 x ) x?3? x ln 3 1 1 ?x dx ? x (2) dy ? d (1 ? 3 ) ? dx ?x ?x 1? 3 1? 3 3 ?1例 求由参数式确定的函数的导数33 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解? x ? ln(1 ? t 2 ) 设? ? y ? arctan t求dy d 2 y , dx dx 21 y 't 1 ? t 2 1 dy 解： 参数式求导公式 ' ? ? ， 2t 2t dx xt 2 1? t将该式对 x 求导，右端先对 t 求导再乘上dt 得 dxd2y 1? t2 1 ' dt 1 1 1 复合函数求导法 ( ) ? 反函数求导法 ? 2 ? ' = ? ?? 3 2t 2t dx 2t x t 4t dx 2 2t 2 ? 2 1? t例 求隐函数的导数或微分 隐函数求导：由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的函数 y ? y( x) ，称为 y 是变量 x 的隐 函数。 隐函数导数dy 的求法一般有三种方法： dx(1)方程两边对 x 求导，要记住 y 是 x 的函数，则 y 的函数是 x 的复合函数。 例如 ， y 2 ，ln y ，e y 等均是 x 的复合函数。对 x 求导应按复合函数连锁法则做。 (2)公式法。由 F ( x, y ) ? 0 知 表示 F ( x, y) 对 x 和 y 的偏导数。 (3)利用微分形式不变性。 在方程两边求微分， 然后解出 例 设方程 xy 2 ? e y ? cos( x ? y 2 ) ，求 y ? 。 方法一：y 2 ? 2 xyy? ? e y y? ? ? sin( x ? y 2 ) ? (1 ? 2 yy?) ， y? ? ?dy 。 举例说明如下： dx1 yF ?( x, y ) dy ?? x 其中， Fx?( x, y ) ， Fy?( x, y ) 分别 dx Fy?( x, y )y 2 ? sin( x ? y 2 ) 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 )方法二： 令 F ( x, y) ? xy 2 ? e y ? cos( x ? y 2 )34 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解因为 Fx? ? y 2 ? sin( x ? y 2 ) ， Fy? ? 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 ) 所以 方法三：d ( xy 2 ? e y ) ? d (cos( x ? y 2 )) ， y 2 dx ? 2 xydy ? e y dy ? ? sin( x ? y 2 )(dx ? 2 ydy)y [ 2 y? e ? 2 y s i n x 2 y ) d? ? 2 [y? x ( ? ]yF ?( x, y ) dy y 2 ? sin( x ? y 2 ) ?? x ?? dx Fy?( x, y ) 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 )s i n2 ( y ? xd] )xdy y 2 ? sin( x ? y 2 ) ?? dx 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 )注：关于隐函数的三种方法，大家可以根据具体题目具体分析，采用适合 题目的最好方法。 分段函数的求导?ax ? b, x ? 1 例 确定常数 a 和 b，使得函数 f ( x) ? ? 2 处处可导。 x ?1 ?x ,解： f ( x) 在 x ? 1 处可导， f ( x) 在 x ? 1 处连续， 由 得 由表达式知， f ( x) 在 x ? 1 是左连续的， 于是， f ( x) 在 x ? 1 连续 ? xlim f ( x) ? xlim(ax ? b) ? f (1) ? a ? b ? 1 。 f ( x) 又 ?1? ?1? 在 x ? 1 可 导 ? f '? (1) ? f '? (1) ， 在 a ? b ? 1 条 件 下 ， f ( x) 可 改 写 成?ax ? b, x ? 1 f ( x) ? ? 2 x ?1 ?x ,。于是， f '? (1) ? (ax ? b)'x?1= a ， f '? (1) ? ( x 2 )x ?1? 2 ，因此 f ( x)在 x ? 1 可导 ? ??a ? b ? 1, ?a ? 2. ?? 故仅当 a ? 2, b ? ?1 时， f ( x) 处处可导。 ?a ? 2. ?b ? ?1注：对这类问题的依据是①函数在某点可导则在该点处连续；②函数在某 点处可导，则在该点处左右导数相等这两个性质，建立两个特定常数之间的两 个关系式，然后再解出来。 3 变限积分的求导 例 设 f ( x) 连续且 ?x3 ?10f (t )dt ? x ，则 f (7) ?35 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解： 这是含变限积分的恒等式， 两边对 x 求导得 f ( x3 ? 1) ? x 2 ? 1 ， x ? 2 ， 令 3 即得 f (7) ?1 124 可导与连续命题的讨论?2 ? x 2 (1 ? cos x), x ? 0 ? x ? 0 ,在 x ? 0 处的连续性与可导性. 讨论函数 f ( x) ? ?1, ?1 x ? ? cos t 2 dt , x ? 0 ?x 0例解：由于函数具有分段形式，我们可分别按定义求出 f '? (0), f '? (0) 来讨论f ' (0) 是否存在。按f ( x) ? f (0) f '? (0) ? lim ? lim? ? x ?0 x ?0 x定义cos x 2 ? 1 ?2 x sin x 2 ? lim ?0 x ?0 x ?0 2x 2?x0cos t 2 dt ? x x2? limf '? (0) ? lim ?x ?0f ( x) ? f (0) 2(1 ? cos x) ? x 2 2(sin x ? x) 2 cos x ? 1 ? lim ? lim ? lim ?0 3 2 x ?0 x ?0 x x 3x 3 x ?0 2 x因此， f '? (0) ? f '? (0) ? 0 ，因此 f ( x) 在 x ? 0 可导,因而也必连续。 5 导数概念的应用问题 例 求平面曲线的切线方程或法线方程已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x ? 0 的某邻域内满足关系式 其中 ? ( x) 是当 x ? 0 时比 x 的高阶无穷小， f ( x) 且 f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) ? 8x ? ? ( x) ， 在 x ? 1 处可导，求曲线 y ? f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程。 解：曲线 y ? f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程 y ? f (6) ? f ?(6)( x ? 6) ，由周期性，f (6) ? f (1) ，36 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解f ?(6) ? f ?(1) ，故只需求 f (1) 与 f ?(1) 。又已知只给出 f ( x)在 x ? 1 处可导，所以利用导数定义求 f ?(1) 由连续性， lim[ f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x)] ? lim[8 x ? ? ( x)] 即 有 x ?0 x ?0f (1) ? 3 f (1) ? 0 故 f (1) ? 0 因 此 ， f ?(1) ? limu ?0f (1 ? u) ? f (1) f (1 ? u) ? lim u ?0 u u又limx ?0f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) 8x ? ? ( x) ? lim x ?0 sin x sin x f (1 ? sin x) 3 f (1 ? sin x) 8 x ? ? ( x) ， ( sin x ? x ) ? ] ? lim x ?0 sin x ? sin x sin x即 lim[ x ?0也即 f ?(1) ? 3 f ?(1) ? 8 ，故 f ?(1) ? 2 ，所以要求的切线方程为 y ? 2( x ? 6) 。第 2 节 高阶导数★基本内容学习一 基本概念 定义 1 若 y = f(x) 导函数 f '(x) 在点 x 处可导，则称 f '(x) 在点 x 处的导数为y = f(x) 在点 x 处的二阶导数，记为d2 y , f ''(x) ，即 f''( ) x dx 2f( n ?1)? lm i( n ?1)?x ??f'( x f'( ) x+D)- x Dx，同样可定义函数的 n 阶导数为 f 二 高阶导数的求法(n)( x) ? lim?x ?0( x ? ?x) ? f ?x( x)。直接法：所谓直接法是指求出所给函数的 1~3 阶或 4 阶导数后，分析所得 结果的规律性，从而写出 n 阶导数的方法。 间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算、变量代换、泰勒级数 的方法求 n 阶导数。 ★基本知识记忆 常用高阶导数公式 （1） (a x ) ( n ) ? a x ln n a (a ? 0)(e x ) ( n ) ? e x37 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解（2） (sin kx) ( n ) ? k n sin(kx ? n ? ) 2 （3） (cos kx) ( n ) ? k n cos(kx ? n ? ) 2 （4） ( x m ) ( n ) ? m(m - 1)?(m - n+1) x m-n （5） (ln x) ( n ) ? (?1)( n?1)(n ? 1)! xnn??i （6）莱布尼兹公式：若 u( x) ,v( x) 均 n 阶可导，则 (uv)( n ) ? ? cnu (i ) v ( n-i ) ， i=0其中 u(0) = u ， v(0) = v ★基本题型训练 6 求一元函数的 n 阶导数 例 1 设 y ? e x cos x ，求 y ( n) 。 解： y' ? e x cos x ? e x sin x ? e x (cos x ? sin x) ? 2e x cos( x ? ) ， 4?? ?? ? x y ' ' 2 ? e c o s? ? ) x e s?x n (? ? ? x ( i 4 4? ?)2x ( 2 ) ? x ? c o，( e s 4?2)? ? ? ? ? y''' = ( 2)2 ?e x cos( x ? 2 ? ) ? e x sin( x ? 2 ? ) ? ? ( 2)3 e x cos( x ? 3 ? ) ， 4 4 ? 4 ???y ( n ) ? ( 2)n e x cos( x ? n ? ) 4?例 2 f ( x) 任意可导，且 f '( x) ? e? f ( x ) , f (0) ? 1 ，求 f ( n) (0) 。 解：对 f '( x) ? e? f ( x ) 两边求导得：f''( ?? x ) f ' ' ' x ?) (? f ( x)efx( ? )? '? x ' ( ?) ?2f ( x )， e?2f ( x )2e ff x 3 (，) 2e? 4 ， 3 f 2x e ( )f ( 4 () x)? ? ? 2 fe3x ?( )f 3 ?38x( ? ) ? '? 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解??f( n)( x) ? (?1)n-1 (n-1)!e-nf ( x ) ，所以， f ( n) (0) ? (?1)n-1 (n-1)!e-nf (0) ? (?1)n-1 (n-1)!e-n 例3 设y?x3 ，求 y ( n ) . 2 x ? 3x ? 2 7x ? 6 8 1 ? x + 3+ ? , ( x ? 2)( x ? 1) x ? 2 x ?1(n ) n( )解： y ? ( x + 3) +) y ( n ) ? ( x ? 3) n( ? ?8( x ? 2) ? ? 1 ? ?( x ? 1) ? ? 1 ? ? ? ? n ?1? n n ? 0 ? (?1) ? 8 ? n !( x ? 2) ? (?1) n !( x ? 1) ?1? n? ? 8 1 ? (?1) n n ! ? ? .(n ? 2) n ?1 n ?1 ? ( x ? 1) ? ? ( x ? 2)例 4 设 y ? sin x sin 2 x sin 3x, 求 y ( n ) .1 1 1 解： y ? (cos 2 x ? cos 4 x)sin 2 x ? sin 4 x ? (sin 6 x ? sin 2 x) ? 2 4 4 1 ? (sin 2 x ? sin 4 x ? sin 6 x), 4y(n) ? 1? n n? n? n? ? n n ? 2 sin(2 x ? 2 ) ? 4 sin(4 x ? 2 ) ? 6 sin(6 x ? 2 ) ? . 4? ?★练习题二1 填空题? x ? et sin 2t ? (1)曲线 ? 在点(0,1)处的法线方程为 t ? y ? e cos t ?。39 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解? x , x?0 1 ? x ?1 ? e ? x ? 0 ，则函数在点 x ? 0 处的导数为 (2)设函数 f ( x ) ? ?0, ? 2x ? , x?0 x ?1 ? e ?。(3)设方程 x ? y y 确定 y 是 x 的函数，则 dy ?。? x ? t ? ln(1 ? t ) d2y (4)设函数 y ? y ( x ) 由参数方程 ? 所确定，则 2 ＝ 3 2 dx ?y ? t ?t。(5)已知 f ' ( x0 ) ? ?1 ，则 limx ?0x ＝ f ( x0 ? 2 x ) ? f ( x0 ? x )。(6)设 f (t ) ? lim t (x ?0x?t x ) ，则 f ' (t ) ＝ x?t。 。(7) 设函数 y ? y( x) 由方程 e x+y ? cos( xy) ? 0 确定，则 (8) f ( x ) ?1? x ，则 f ( n ) ? 1? x.(9) 设 f 为可导函数， y ? sin{ f [sin f ( x)]} ，则 (10) 已知 2 选择题 (1) 设 是连续函数，且d ? ? 1 f? dx ? ? x 2 ? ?? 1 ?? ? ?? xdy ? dx.，则 f '( ) ?1 2.，则(2) 设，则在处可导的充要条件为40 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解存在存在存在 (3) 设 f ( x ) ? 3x 3 ? x 2 x ，则使 f n (0) 存在的最高阶数 n 为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)4存在?2 3 ? x , x ?1 (4) 设 f ( x ) ? ? 3 ，则 f ( x ) 在 x ? 1 处的__。 ? x2 , x ?1 ?(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 f (1) ? f (1 ? x ) (5) 设 f ( x ) 是可导函数，且 lim ? ?1 ，则曲线 y ? f ( x ) 在点 x ?0 2x(1, f (1))处的切线斜率为。 (B) －2 (C) 0 (D)1 其中 a, b 为非零常数， ? b，(A) －1(6) 设函数对任意 x 均满足 f (1 ? x) ? af ( x) ， f0' 且 ) ( 则 (A) f ( x) 在 x ? 1 处不可导。 (B) f ( x) 在 x ? 1 处可导，且 f '(1) ? a. (C) f ( x) 在 x ? 1 处可导，且 f '(1) ? b. (D) f ( x) 在 x ? 1 处可导，且 f '(1) ? ab.? x, ? (7) 设 f ( x ) ? ? ? ?x, ?x?0 x?0则(A) f ( x ) 在 x ? 0 处不连续 (B) f ' (0) 存在 (C) f ' (0) 不存在，曲线 y ? f ( x ) 在点(0,0)处不存在切线41 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(D) f ' (0) 不存在，曲线 y ? f ( x ) 在点(0,0)处有切线 (8) 设 y ? f ( x) 在点 x0 处可导， 当自变量 x 由 x0 增加到 x0 ? ?x 时， ?y 为 f ( x) 记 的增量， dy 为 f ( x) 的微分， lim ?x ?0 (A) -1 (B)?y ? dy 等于 ?x1(C)2(D) 3(9) 设函数 f ( x) 在 (??, ??) 上可导，则 (A) 当 xlim f ( x) ? ?? 时，必有 xlim f '( x) ? ??. ??? ??? (B) 当 xlim f '( x) ? ?? 时，必有 xlim f ( x) ? ?? . ??? ??? (C) 当 xlim f ( x) ? ?? 时，必有 xlim f '( x) ? ?? . ??? ??? (D) 当 xlim f '( x) ? ?? 时，必有 xlim f ( x) ? ?? ??? ???(10) 设在处可导，则为任意常数为任意常数 3 计算与证明 (1) 已知 ，求 。(2) 已知， 其中有二阶连续的导数，且 1. 确定42的值，使在点连续；2.求。 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(3) 证明满足方程：(4) 已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时是二阶可导1 x ?1 dy ，y? f( ) ，求 x x ?1 dx 1 c (6) 设可导函数 f ( x ) 满足 af ( x ) ? bf ( ) ? 式中 a, b, c 为常数， a ? b ， 且 x x(5) 已知 f ' ( x ) ?求 f ' ( x) (7) 设 f ( x ) 是 ( ??, ??) 上 的 非 零 函 数 ， 对 任 意 x, y ? (??, ??) 有f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) 且 f ' (0) ? 1 证明 f ' ( x ) ? f ( x )★参考答案1 dx x(1 ? ln y )1 (1) 2 x ? y ? 1 ? 0 (4) (7)(6t ? 5)(t ? 1) ty sin( xy ) ? e x ? y e x ? y ? x sin( xy )(2) 1 (5) 1 (8)(?1) n 2 ? n ! (1 ? x) n ?1(3)(6) f ' (t ) ? (2t ? 1)e2t(9) f '( x)cos f ( x) f '[sin f ( x)] ? cos{ f [sin f ( x)]} 2 (1) A (2) B (3) C (4) B 3 (1) (5) A (6) D (2)1 n [ g (0) ? 1] 2(10) f '( ) ? ?1 (7) (8) B (9) D (10) C1 243 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4) (5)dy 2 ? dx 1 ? x 2(6) ?bcx 2 ? ac x 2 ( a 2 ? b2 )(7)已知条件，及导数定义 ★本章知识网络44 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★本章总结 1 本章难、重点内容 (1)导数的极限定义、左、右导数的定义。 (2)导数的几何意义和物理意义 (3)求复合函数和隐函数的导数 (4)函数在一点可导的判定，特别是分段函数在分段点可导的判定 2 本章容易出错的地方 (1)连续函数未必是可导函数 (2)可导的前提是导数存在 (3) 复合函数求导时，在自变量的某点处是否可导取决于复合以后的形 态，而与要作复合的两个函数在相应点是否可导无关第三章一元函数积分学※本章要求 1 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值 定理(▲数三、数四要求了解)，掌握换元积分法与分部积分法。 3 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(▲数三、数四不 要求)。 4 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5 了解反常积分的概念，会计算反常积分。 6 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引 力、压力、质心等)及函数的平均值。(▲数三、数四要求会利用定积分计算平 面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济 应用问题)。45 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第 1 节 不定积分★基本内容学习 原函数与不定积分的概念与基本性质 1 原函数与不定积分的定义 原函数：设函数 f ( x) 在区间 I 中有定义，如果存在函数 F ( x) ，使得对于区 间 I 中任一个 x ，均有 F '( x) ? f ( x) 或 dF ( x) ? f ( x)dx ，则称 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 中 的一个原函数. 注：如果函数 f ( x) 有原函数 F ( x) ，则有无穷多个原函数，且其全部原函数可表 示为 F ( x) ? C （其中 C 为任意常数） 不定积分： 函数 f ( x) 在区间 I 中的原函数的全体，称为 f ( x) 在区间 I 中的不定积 分，记为 ? f ( x)dx. 设 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 中的一个原函数，则 ? f ( x)dx ?F ( x) ? C.f ( x) ――被积函数， f ( x)dx ――被积式， x ――积分变量，C ――积分常数.2 原函数与不定积分的关系 ①不定积分和原函数是两个不同概念，前者是个集合，后者是该集合中的 一个元素，因此 ? f ( x)dx ? F ( x) . ②设 F ( x) ， G ( x) 均是 f ( x) 在区间 I 中的原函数，显然有 ? f ( x)dx ? F ( x) ? C ,? f ( x)dx ? G( x) ? C, 即有 F ( x) ? C ? G( x) ? C （*）但 F (x) ? G(x) 不一定成立（因为 C 是任意取值， （*）式两边的 C 不一定相等，所以不能随意取掉） 3 求不定积分与求微分（导数）的关系――互为逆运算46 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(1)已知与未知相反d F( x ? )f( x ，x ) d已知 F ( x ) 求 dF ( x) ? f ( x)dx 是微分运算；已知 f ( x )dx 求 F ( x ) 使得 dF ( x) ? f ( x)dx 是积分运算。 (2)( ? f ( x )dx ) ' ? f ( x )或 d ? f ( x )dx ? f ( x ) ; 或 ? dF ( x ) ? F ( x ) ? C? F ( x) ? F ( x) ? C'正因为原函数与导函数有互逆关系，而且不定积分就是全体原函数，所以 对应于基本初等函数的导数公式，就有相应的基本积分公式： 1 k ?1 ① ? x k dx ? x ? C （ k ? ?1 ） k ?1? x dx ? ? x ? C211?1 d x? 2 xx C ?1 ② ? dx ? ln x ? C x③ ? a x dx ?ax ? C (a ? 0, a ? 1) ln a?exdx ? e x ? C④ ? cos xdx ? sin x ? C ⑤?? sin xdx ? ? cos x ? C1 1 dx ? ? sec2 xdx ? tan x ? C ? 2 dx ? ? csc2 xdx ? ? cot x ? C 2 cos x sin x 1 ⑥? dx ? ? csc xdx ? ln csc x ? cot x ? C sin x 1 x ? x ? ? c o s d x? ? s e c x d ? l n s e c t axn C x⑦ ? sec x tan xdx ? sec x ? C ⑧ ? tan xdx ? ? ln cos x ? C ⑨? ⑩?dx 1 x ? arctan ? C 2 a ?x a a2? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ? cot xdx ? ln sin x ? C? 1? x?dx2? arctan x ? C? arcsin x ? Cdx a ?x2 2? arcsinx ?C adx 1 ? x247 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解?a ?2dx 1 a?x ? ln ?C 2 ?x 2a a ? x dx? 1? xdx21 1? x ? ln ?C 2 1? xx ?a22? ln x ? x 2 ? a 2 ? C4 原函数的存在性 设 f ( x ) 在区间 I 上连续， f ( x ) 在区间 I 上存在原函数( ? f (t )dt 就是原函 则x0 x数，其中 x0 ? I 为某一定点) 若 f ( x ) 在区间 I 上有第一类间断点，则 f ( x ) 在区间 I 上不存在原函数。 5 原函数的几何意义与力学意义 设 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，则由曲线 y ? f ( x ) ， x 轴及直线 x ? a, x ? x 围成的 曲边梯形的面积函数(指代数和―― x 轴上方取正号，下方取负号)是 f ( x ) 的一 个原函数，若 x 为时间变量， f ( x ) 为直线运动的物体的速度函数，则 f ( x ) 的原 函数就是路程函数。 6 初等函数的原函数 初等函数在定义域区间上连续，因而一定存在原函数，但它的原函数不一 2 sin x cos x 1 2 2 定是初等函数， ? e ? x dx ， 如 ? x dx ，? x dx ， ln x dx ，? sin( x )dx ，? cos( x )dx ? 等均积分不出来，即被积函数存在原函数，但原函数不是初等函数。★基本题型训练1 关于不定积分的计算 积分法则 最基本的积分方法是分项积分法，分段积分法，换元积分法和分部积分法。 而换元积分法对不定积分又分第一换元积分法(凑微分法)与第二换元积分法， 当被积函数或原函数分段表示时要用分段积分法。48 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(1)分项积分法 我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：f ( x ) ? k1g1 ( x ) ? k2 g 2 ( x ) ，若右端的积分会求，则应用法则? f ( x )dx ? k ? g ( x )dx ? k ? g ( x )dx 就可以积出 ? f ( x )dx ，这就是分项积分法。1 1 2 2例 1 求下列函数的不定积分 1 ①? ② ? tan 2 xdx dx 2 2 cos x sin x 解：① ?cos2 x ? sin 2 x 1 dx dx dx ＝ ? dx ＝ ? ?? 2 2 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x＝ tan x ? cot x ? C ② ? tan 2 xdx ＝ ?sin 2 x 1 ? cos2 x 1 dx ＝ ? dx ＝ ? dx ? ? dx ＝ tan x ? x ? C 2 2 cos x cos x cos2 x(2)分段积分法 分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清积分限与分段函数 的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段。 被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的 绝对值是以不同的方式定义的，0 就是其分界点。 例 2 计算下列定积分? 1 ?1 ? x , x ? 0 ? f ( x ? 1)dx, 其中f ( x ) ? ? ? 1 , x?0 ?1 ? e x ?①?3?2min 1, x 2 dx②?20解：①由于函数 min 1, x 2 的分界点为－1 和 1，所以?3?2min 1, x 2 dx ＝ ? dx ? ? x 2dx ? ? dx ? 1 ??2 ?1 1?1132 11 ?2? 3 3②由于函数 f ( x ) 的分界点为 0，所以，令 t ? x ? 1后，有?20f ( x ? 1)dx ? ? f (t )dt ? ??11?x 0 e dx 1 dx dx ? ln(1 ? x ) ＝? ?? ?1 1 ? e x ?1 1 ? e x 0 1? x01 0＝－ ln(1 ? e ? x ) (3)换元积分法0 ?1＋ ln2 ＝ ln(1 ? e)49 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解①第一换元积分法(凑微分法) 设? f (u )du ? F (u ) ? C , 则? F (u ) ? Cu ? ? ( x)F [? ( x)] ? C.? f [? ( x)]? '( x)dx ? ? f [? ( x)]d? ( x)令u ? ? ( x) ? f (u )du常见的凑微分形式有以下若干种： 1 ? f (ax ? b)dx ? a ? f (ax ? b)d (ax ? b) 1 n ? n n ) n1 d d ? f ( a x ? b x ? x ? ( f ?a x ) (b ? a x) nab? f (e ) exxdx ? ? f (e x )d (e x )? f ( x) x ?? f(1 1 ? ? ? f ( )d ( ) x x dx f (ln x) ? ? f (ln x)d (ln x) x21 dxx)dx ? 2 f (x d ) x ( ? x)? f (sin x) cos xdx ? ? f (sin x)d (sin x)x ? f(cos ) s i n ? ?? xdx2f( c o sd ) ( c o s ) x x? f (tan x) sec ? f ( c o txxdx ? ? f (tan x)d (tan x) f ( cx td ) (xc o t ) o2 ) c sd ? ? ? cx?f (arcsin x) 1 ? x2dx ? ? f (arcsin x)d (arcsin x)f ( a r c tx n ) a dx ? ? f ( a r c t x n ) ( axr c t a n ) ad 2 1? x 例 3 求下列不定积分?①? sec xdx ；②?arctan x dx dx ； ； ③? sin 2 x ? 2sin x (1 ? x ) x50 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解④?1 ? 2 1 ? x2⑤?dx (arcsin x) 2 1 ? x 2.解： ① ? sec xdx ＝ ?1 cos x d sin x dx ＝ ? dx ＝ ? 2 cos x 1 ? sin x 1 ? sin 2 x 1 1 1 1 1 ? sin x ＝ ?( ? )d sin x ＝ ln ?C 2 1 ? sin x 1 ? sin x 2 1 ? sin x1 (1 ? sin x ) 2 1 ＝ ln ? C ＝ ln sec x ? tan x ? C 2 2 1 ? sin x 2②?dx dx ＝? 2sin x(1 ? cos x ) sin 2 x ? 2sin xx sec2 dx 2 d tan x ＝? ?? x x x 2 8sin cos3 4 tan 2 2 2 1 1 x x ＝ ?( ? tan )d tan 4 tan x 2 2 21 x 1 x ＝ [ln tan ? tan 2 ] ? C 4 2 2 2③?arctan x arctan x dx ＝ ? d x (1 ? x ) (1 ? x ) x＝ 2 ? arctan xd arctan x ? arctan 2 x ? C ④?1 1 ? 2 arctan x 1 dx ? ? (1 ? 2 arctan x ) 2 d (1 ? 2 arctan x ) 2 1? x 23 1 ? (1 ? 2arctan x ) 2 ? C 3⑤?dx (arcsin x )21? x2??1 1 d (arcsin x ) ? ? ? C. 2 (arcsin x ) arcsin x②第二换元积分法 事实上，倒转第一换元积分法的公式就是第二换元积分法的公式。 常用的变量替换：三角替换、幂函数替换、指数函数替换、倒替换下面具51 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解体介绍这些方法。 1.三角函数代换被积函数 f ( x) 含根式 所作代换 三角形示意图a2 ? x2x ? a sin ta2 ? x2x ? a tan tx2 ? a2x ? a sec t例 4 求下列不定积分 ①?x 3 dx (1 ? x )23 2;②?dx 1 ? 1 ? x2.解：①被积函数 f ( x) 中含有 1 ? x 2 ，所以应作变换 x ? tan t,tan 3 t sin 3 t 1 ? cos2 t 2 ? sec tdt ? ? dt ? ? ? d (cos t ) 原式 ? ? sec3 t cos2 t cos2 t? ? (1 ? 1 1 1 )d (cos t ) ? cos t ? ?C ? ? 1 ? x 2 ? C. 2 2 cos t cos t 1? x②?dx 1 ? 1 ? x2. 令 x ? sin t, 则 dx ? cos tdtcos t cos t ? cos2 t 1 1 ? sin 2 t dt ? ? dt ? ? 2 d (sin t ) ? ? dt 原式 ? ? 1 ? cos t 1 ? cos2 t sin t sin 2 t?? 1 1 1 ? x2 ? cot t ? C ? ? ? ? arcsin x ? C. sin t x x ax ? b 的有理式时，常用幂 cx ? d幂函数替换：被积函数是 x 与 n ax ? b 或 x 与 n52 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解函数替换 t ? n ax ? b 或 t ?nax ? b 去掉根号。 cx ? d指数函数替换： 被积函数由 e x 构成的代数式时， 可考虑选用指数函数替换。 例 5 求① ?2 1 ? 2x ? 4x②?dx 1? e ? e3 ? e6x 2 x x;解：①令 2 x ? t , dx ?1 dt ? . ln 2 t1 d (t ? ) t 1 dt 1 dt 1 2 原式 ? ? ? ? ? ? 1 ? t ? t 2 ln 2 t ln 2 ? (t ? 1 )2 ? 3 ln 2 ? 1 2 3 (t ? ) ? ( ) 2 2 4 2 2? 2 2t ? 1 2 2 x ?1 ? 1 arctan ?C ? arctan ? C. 3 ln 2 3 3 ln 2 3x 6 ②令 e 6 ? t, x ? 6ln t, dx ? dt, t 1 6 6 3 3t ? 3 原式 ? ? ? dt ? ? ( ? ? )dt 3 2 1? t ? t ? t t t 1 ? t 1 ? t2 3 ? 6ln t ? 3ln(1 ? t ) ? ln(1 ? t 2 ) ? 3arctan t ? C 2 x x x 3 ? x ? 3ln(1 ? e 6 ) ? ln(1 ? e 3 ) ? 3arctan(e 6 ) ? C. 2倒替换：令 x ? 1 t 例 6 求下列积分 ①?2a0x2 ? a2 dx (a ? 0) x4②?dx x21 ? x2解：①?2a02a x2 ? a2 dx ? ? 4 0 xa 1 ? ( )2 x dx ? 1 3 2a 2 x2a a?2a0a a2 1 ? ( )2 d 2 x x＝1 2 a 3 ? [1 ? ( )2 ]2 2a 2 3 x＝3 8a 253 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解?1, x ? 0 ②记 sgn x ? ? 则 ? ?1, x ? 0?xdx21? x2??dx x3 1 ? 1 x2sgn x ? ?1 2?1 x 2 sgn x 1 1? 2 x d＝ ?(1 ? (4)分部积分法1 1 1 ? x2 ) 2 sgn x ? C ? ? ?C x2 x设 u ? u( x) , v ? v( x) 具有连续的导数，则公式 ? udv ? uv ? ? vdu 称为分部积 分公式. 注：如何把被积函数分成两部分，如何选取 u 和 dv 。 选取的原则：①积分容易者选为 dv ；②求导简单者选为 u ；在二者不可兼 得的情况下，首先要保证的是前者。 例 7 求下列函数的不定积分 ① ? ( x ? 2 x ? 5) cos 2 xdx.3②? sin ? ln x ?dx? x ? 1? e x ③? dx 2 ? x ? 2?解：①原式? 1 1 3 1 3 2 ? ( x ? 2 x ? 5)d sin 2 x ? 2 ( x ? 2 x ? 5)sin 2 x ? 2 ? (3x ? 2)sin 2 xdx 2 1 1 3 ? ( x 3 ? 2 x ? 5)sin 2 x ? (3x 2 ? 2) cos 2 x ? ? x cos 2 xdx 2 4 2 1 1 3 3 ? ( x 3 ? 2 x ? 5)sin 2 x ? (3x 2 ? 2) cos 2 x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? C. 2 4 4 8 1 ②原式＝ ? sin ? ln x ?dx = x sin ? ln x ? ? ? x cos ? ln x ? dx x= x sin ? ln x ? ? ? cos ? ln x ?dx1 = x sin ? ln x ? ? {x cos ? ln x ? ? ? x[? sin ? ln x ? ]dx} x= x sin ? ln x ? ? x cos ? ln x ? ? ? sin ? ln x ?dx 故54? ?s i nlxn d x = x sin ? ln x ? ? x cos ? ln x ? ? ? sin ? ln x ?dx ? 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解③原式＝ ?? x ? 1? e x dx = 1 1 ?? x ? 1? e x ?? dx ? ? x ? 1? e x ? ? 2 ? x?2 x?2? ? x ? 2?=?ex 1 ?C x ? 1? e x ? ? e x dx = ? x?2 x?2★练习题三(1)1 求下列不定积分 (1) (2)2 x3 ? 1 (4) ? ( x ? 1)100(3)2 求下列不定积分 (1) ? x?3 x（2）? 1?1 x ? x ?1（3）?x( x ? 1) x ? x ?1dx.3 求下列函数不定积分(1)? sin3 x cos5 x(2)?1 ?(3)(4)(5)(6)4 求下列不定积分(1)(2)(3)55 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解5设，求.6 设当时，连续，求★参考答案1(1) (2)(3)(4) ?1 1 3 1 6 1 1 1 ? ? ? ? C. 99 98 97 33 ( x ? 1) 49 ( x ? 1) 97 ( x ? 1) 48 ( x ? 1)962(1) 2 x ? 3 3 x ? 6 x ? 6ln(1 ? 6 x ) ? C.1 1 2 1 x ? x? x ? x ? ln 2 x ? 1 ? 2 x 2 ? x ) ? C. 2 2 43 5 3 2 5 2 2 2 2 x 2 ? x ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? C. 5 3 5 3(2)(3)3 (1)sin x 2sin x cos x 3 ? ? 3 ? , 5 3 cos x cos x sin x sin x cos x(2)? sindx31 1 ? ln csc x ? cot x ? cot x csc x ? C. x 2 2(3)(4)56 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(5)(6)4 (1)(2)(3)56第 2 节 定积分★基本内容学习一 基本概念 1 定积分 设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上有定义，在 [a, b] 内任意插入 n ? 1 个分点a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b 把 [a, b] 分 为 n 个 子 区 间 [ xi ?1 , xi ] (i ? 1, 2,?, n), 用 ?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1, 2,?, n) 表示各子区间的长度，在每个子区间上任取一点?i , xi ?1 ? ?i ? xi , 作如下和式 ? f (?i )? xi ? f (?1 )? x ? f (? 2 )? x2 ? ? f ( n )?x 令 ? ? 1 n .i ?1n? ? max{?xi }, 如果极限 lim ? f (?i )?xi 存在，且 [a, b] 的划分和 ?i 的取法无关，则1? i ? nn? ?0i ?157 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解该极限值就称为函数 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分，记为 ? f ( x)dx ? lim ? f (?i )?xi ，b an? ?0i ?1其中， f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称为积分变量，[a, b] 称为积 分区间， a, b 分别称为积分的上下限。 2 定积分的几何意义与力学意义 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， ? f ( x)dx 在几何上表示界于 x轴 ，曲线 y ? f ( x) 及a b直线 x ? a, x ? b 之间各部分面积的代数和，在 x轴 上方取正号，在 x轴 下方取负 号，若 x 为时间变量， f ( x) 为作直线运动的物体的速度函数，则 ? f ( x)dx 就是a b物体从时刻 a 到 b 所走过的路程。 3 函数的可积性 可积的必要条件： f ( x) 在 [a, b] 上可积，则 f ( x) 在 [a, b] 上有界。 可积的充分条件：(1) f ( x) 在 [a, b] 上连续；(2) f ( x) 在 [a, b] 上有界且只有 有限个间断点；(3) f ( x) 在 [a, b] 上单调，以上函数类在 [a, b] 上可积。 4 不定积分与变限定积分的关系 设 f ( x) 在区间 I 上连续，则 ? f ( x)dx ? ? f (t )dt ? C ，其中 x0 ? I 为某定值。x0 x5 定积分的基本性质 （1）定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即?baf ( x)dx ? ? f (u)du ? ? f (t )dt ? ?a ab a a bbb（2） ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx （3） ? dx ? b ? aa b特例： ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? 0a bab（4） ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dxa a abbb（5） ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dxa abb（ k 为常数）b（6） ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dxa a cbc58 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解6 定积分的基本定理 定理 1 （定积分比较定理）设 f ( x) ? g ( x) ， x ? [a, b] ，则 ?a f ( x)dx ? ?a g ( x)dx . 推论： （1）当 f ( x) ? 0 ， x ? [a, b] 时 ?a f ( x)dx ? 0. （2）bbb?baf ( x)dx ? ? f ( x) dx.ab定理 2 （估值定理）设 m ? f ( x) ? M , x ?[a, b] ，其中 m, M 为常数，则m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a) 。ab定理 3 （积分中值定理）若 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则在 [a, b] 上至少 ? 一个 b 1 b 点 ? ，使 ? f ( x)dx ? f (? )(b ? a).也可写成 f (? ) ? f ( x )dx ，所以积分中值 a b ? a ?a 定理也称之为平均值公式。 定理 4 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， x ? [a, b] ，则变上限积分 ?a f (t )dt 是 f ( x) 的一 个原函数。 定理 5 （牛顿―莱布尼兹公式）设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， F ( x) 是 f ( x) 的一 个原函数，则 ? f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a).b a bx定理 6 （变上限积分求导）设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续， x ? [a, b] ，则变上 x d d x 限积分 ? ( x) ? ? f (t )dt 对 x 可导，并且有 ? '( x) ? (? ( x)) ? ( ? f (t )dt ) ? f ( x). a dx dx a 推论 1 设 F ( x) ? ? 推论 2 设 F ( x) ? ?? ( x)af (t )dt , 则 F '( x) ? f [? ( x)] ? ? '( x).f (t )dt , 则 F '( x) ? f [? ( x)]? '( x) ? f [? ( x)]? '( x).? ( x)? ( x)推论 3 设 F ( x) ? ?? ( x)af (t ) g ( x)dt , 则 F '( x) ? [ g ( x) ?? ( x)af (t )dt ]'x? g '( x)?? ( x)af (t )dt ? g ( x) f [? ( x)]? '( x).★基本题型训练二 关于定积分的计算 (1) 利用牛顿―莱布尼兹公式59 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解例1?41 x(1 ? x )4 4 4 dx dx d( x) ?? ? 2? 1 1 x(1 ? x ) x ? x (1 ? x ) x (1 ? x )解：原式＝ ?1? 2? (144 1 1 4 ? )d ( x ) ? 2[ln x ? ln(1 ? x )] ? 2ln . 1 3 x 1? x(2) 定积分的换元积分法 定理 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，若变换 x ? ? (t ) 满足以下条件： （1） ? (t ) 在 [? , ? ] 上连续，且 ? '(t ) ? 0; （2） ? (? ) ? a, ? (? ) ? b, 并且当 t 在 [? , ? ] 上变化时， ? (t ) 的值在 [a, b] 上变 化，则 ? f ( x)dx ? ? f [? (t )]? '(t )dt.a b??注：①在定理的叙述中要注意： ? (? ) ? a, ? (? ) ? b, ? (t ) 定义与区间 [? , ? ] ，说明 ? (t ) 呈上升趋势，实际上，? (t ) 呈下降趋势也是允许的，即将定理中区间 [? , ? ] 改为 [ ? , ? ] 也是可以的； ②在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分的上下限； ③我们知道不定积分的换元法有两个，相应于第二换元积分法，在定积分 换元法中就相当于把定积分变量左端的 x 换成右端的 t ； 相应于第一换元积分法 (凑微分法)， 则是把右端的 t 换成左端的 x 。 定积分的换元法统一在一个公式中， 由于换元也相应的换积分限，就不必变量还原。 例 2 求下列定积分 (1)??2 0sin10 x ? cos10 4 ? sin x ? cos x(2) ?adx x? a ?x2 20;(3)?10ln(1 ? x) dx. 1 ? x2解： （1）令 x ? 原积分? ??600?2? u, dx ? ?du.210 10 0 cos x ? sin cos10 u ? sin10 u x (?du ) ? ?? dx, 2 4 ? sin x ? cos x 4 ? cos u ? sin u 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解2??20? sin10 x ? cos10 x sin10 x ? cos10 x cos10 x ? sin10 x 2 dx ? ? ( ? )dx ? 0, 0 4 ? sin x ? cos x 4 ? sin x ? cos x 4 ? sin x ? cos x故 原积分=0。 （2）令 x ? a sin t , dx ? a cos tdt. 原积分 ? ? 又因为 ??2?20? a cos t cos t 2 dt ? ? dt. 0 sin t ? cos t a sin t ? a cos t0? 0 cos t ? sin u sin t 2 dt t ? ? u ?? (?du ) ? ? dt , 0 sin t ? cos t 2 cos u ? sin u sin t ? cos t 2所以 2? 原积分 ? ? 常见错误：?20cos t ? sin t ? ? dt ? . 故 原积分 ? . 4 sin t ? cos t 2??20? cos t cos t (cos t ? sin t ) 2 dt ? ? dt 0 (cos t ? sin t )(cos t ? sin t ) sin t ? cos t???20? cos 2 t ? cos t sin t 2 1 ? cos 2t ? sin 2t dt ? ? dt. 0 cos 2t cos 2t理由是 cos t ? sin t 在 t ? 处为“零” 。4?（3）令 x ? tan t , 则 原式 ? ? ln(1 ? tan t )dt ? ? ln(4 4??00cos t ? sin t )dt cos t???4?402 sin( ? t ) ? ? ? ? 4 4 4 4 ln( )dt ? ? ln 2dt ? ? ln(sin ? t )dt ? ? ln(cos t )dt. 0 0 0 cos t 4?因为 ? ln 2dt ?0?8ln 2,? ? 0 ? ? ? 4 4 所以 ? ln(sin( ? t )) t ? ? u ?? ln(sin( ? u ))(?du ) ? ? ln(cos u )du 0 0 4 8 4 2? ? ln(cos t )dt , 所以原积分 ?4??80ln 2.61 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★习题三(2)1 填空题 (1) ? (3) ?1x? x 1? x?1dx = 2dx ? _____(2) ?1?11 ? x 2 lnx ? 1 ? x2 dx ? ___ 212 x 2 ? x cos x 1 ? 1 ? x2?1(4) ? 40?sin x dx ? _____ 1 ? sin xdx x ? a2 ? x2 ? _____(5) ? x 2ax ? x2 dx (a ? 0) ? ___02a(6)?10(7)d x cos( x ? t ) 2 dt ? _____ dx ?0d 2 f ( x ? t )dt ? ____ dx ?1(8)设 f ( x) 连续,则 (9) ? 20?1 1 ? (tan x)3dx ? _____x2 ?1(10) 设 f ( x) 连续,且 ? 2 计算与证明 (1) 由方程 ? et dt ? ?20f (t )dt ? 1 ? x3 ,则 f (8) =___yx200sin t dy dt ? 1, 确定 y 为 x 的函数，求 . dx t(2) 设当 x ? 0 时， f ( x) 可导，且满足方程 f ( x) ? 1 ?f ( x) .1 x f (t )dt ( x ? 0) ，求 x ?1(3) 设 函 数 f ( x) 可 导 ， 且 f (0) ? 0, F ( x) ? ? t n?1 f ( xn ? t n )dt . 证 明 ：0xF ( x) 1 lim 2 n ? f '(0). x ?0 x 2n? ? kx ? (4) 设 f ( x) ? ? ?c ? ?620? x?l 2l ? x?l 2, 求 ?( x) ? ? f (t )dt.0x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(5) 求积分 ?b ax dxa ? b.1 1 1(6) 设函数 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上连续,并设 ? f ? x ? ? A .求 ? dx ? f ? x ? f ? y ? dy0 0 x(7) 设 F ? a ? ? ? ln ?1 ? 2a cos x ? a 2 ? dx .求 F ? ? a ? , F ? a 2 ??0★参考答案1(1)ln2 (6) (2) ??2ln 2(3) 4 ? ?(4)?4?2? 2(5)?2 9 2a3? 4(7) cos x 22(8) f (2 ? x) ? f (1 ? x) (2) f ( x) ? ln x ? 1.(9)? 4(10)2(1) y ' ? ?2e? y sin x 2 . (3) 设 u ? xn ? t n(4) ? ( x) ? ?x0?1 2 ? 2 kx ? f (t )dt ? ? ? 1 kl 2 ? c( x ? l ) ?8 2 ?0? x?l 2l ? x?l 2.(5)?b a? 1 2 2 ?? 2 ? b ? a ? , a ? b ? 0 ? ?1 x dx ? ? ? b 2 ? a 2 ? , a?0?b ?2 ?1 2 2 0?a?b ? 2 ?b ? a ? , ?(6)1 2 A 2(7) F ? a ? , F ? a 2 ? ? 2 F ? a ?第 3 节 积分中值定理、定积分的应用、广义积分★基本知识学习 一 基本定理63 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解定理 1(费尔马定理)若函数 f ( x) 满足条件： (1)函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 f ( x) ? f ( x0 ) 或f ( x) ? f ( x0 )(2) f ( x) 在 x0 处可导。则有 f ?( x0 ) ? 0 定理 2 (洛尔定理) 设函数 f ( x) 满足条件： (1)在闭区间 [a, b] 上连续； (2)在 (a, b) 内可导； 则在 (a, b) 内 ? 一个 ? ，使f ?(? )? 0定理 3 (拉各朗日中值定理) 设函数 f ( x) 满足条件： (1)在 [a, b] 上连续；(2)在 (a, b) 内可导； 则在 (a, b) 内 ? 一个 ? ，使f (b )? f a ) ( ? f ?(? ) b?a定理 4 (柯西中值定理) 设函数 f ( x) ， g ( x) 满足条件： (1)在 [a, b] 上连续； (2)在 (a, b) 内 f ?( x) ， g ?( x) 均存在，且 g ?( x) ? 0 则在 (a, b) 内 ? 一个 ? ，使f ( b)? f ( a) ? f ( ) ? ? g ( b)? g ( a) ? g ( ) ?二 基本概念 1 泰勒公式 设函数 f ( x) 在点 x0 处的某邻域内具有 n ?1 阶导数，则对该邻域内异与 x0 的 任意点 x ，在 x0 与 x 之间至少 ? 一个 ? ，使得64 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ?f ( n ) ( x0 ) 1 f ??( x0 )( x ? x0 ) 2 ? ? ? ( x ? x0 ) n ? Rn ( x) 2! n!f ( n ?1) (? ) 其中 Rn ( x) ? ( x ? x0 ) n ?1 称为 f ( x) 在点 x0 处的 n 阶泰勒余项。 (n ? 1)!令 x0 ? 0 ，则 n 阶泰勒公式f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? 1 f ( n ) (0) n ??(0) x 2 ? ? ? f x ? Rn ( x) 2! n!(1)其中 Rn ( x) ?f ( n ?1) (? ) n ?1 x ， 在 0 与 x 之间。 (1)式称为麦克劳林公式。 ? (n ? 1)!常用五种函数在 x0 ? 0 处的泰勒公式1 2 1 n x n ?1 ? e (1) e ? 1 ? x ? x ? ? ? x ? 2! n! (n ? 1)!x或 ? 1? x ? (2) sin x ? x ?1 2 1 x ? ? ? x n ? o( x n ) 2! n!1 3 xn n? x n ?1 n ?1 x ? ? ? sin ? sin(? ? ?) 3! n! 2 (n ? 1)! 2或? x?1 3 xn n? x ? ? ? sin ? o( x n ) 3! n! 21 2 xn n? x n ?1 n ?1 x ? ? ? cos ? cos(? ? ?) 2! n! 2 (n ? 1)! 2(3) cos x ? 1 ?或? 1?1 2 xn n? x ?? ? c o s ? o x n( 2! n ! 2)1 1 xn (?1)n x n ?1 (4) ln(1 ? x) ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? (?1) n ?1 ? 2 3 n (n ? 1)(1 ? ? ) n ?1或1 1 xn ? x ? x 2 ? x 3? ? ? (?1)n ? 1 ? o( x n ) 2 3 n65 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(5) (1 ? x)m ? 1 ? mx ?m(m ? 1) 2 m(m ? 1)?(m ? n ? 1) n m(m ? 1)?(m ? n ? 1) n?1 x ??? x ? x (1 ? ? )m?n?1 2! n! (n ? 1)!m(m ? 1) 2 m(m ? 1)? (m ? n ? 1) n x ??? x ? o( x n ) 2! n!或 (1 ? x)m ? 1 ? mx ?2 无穷限的广义积分概念 (1) ? (2) ? (3) ??? a b ?? ?? ??(无穷积分)f ? x ? dx ? lim f ? x ? dx ? limB ????B af ? x ? dxA???? f ? x ? dxb Af ? x ? dx ? limA????C Af ? x ? dx ? limB???? f ? x ? dxB C ?? ??若极限存在，则无穷积分收敛，否则发散。 注意： (3)中右边若有一个极限不存在,则 ? 3 判断广义积分的收敛准则 准则 1 设 f ? x ? 在 ? a, ?? ? 上连续，且 f ? x ? ? 0, ?M ? 0 , ()若当 x ? N 时， 0 ? f ? x ? ? ()若当 x ? N 时，?? M , m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 收敛。 m xf ? x ? dx 便发散。?? M ? f ? x ? , m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 发散。 m x准则 2 设 f ? x ? 在 ? a, ?? ? 上连续,且 f ? x ? ? 0, ()若 xlim x m f ? x ? ? k , 0 ? k ? ??, m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 收敛。 ??? () 若 xlim x m f ? x ? ? k , 0 ? k ? ??, m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 发散。 ??? 注意：积分区间为 ? ??,b ? 及 ? ??, ?? ? 有类似准则。 4 无界函数的广义积分(瑕积分) (1) (2)66?????b af ? x ? dx ? lim? ?? ?0b ab ?? ab a ??f ? x ? dx ，(当 x ? b? 时, f ? x ? ? ? )f ? x ? dx ，(当 x ? a? 时, f ? x ? ? ? )?f ? x ? dx ? lim? ?? ?0 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(3)? f ? x ? dx ? ?lim ?? ? ?b a ?0 ? ? ? 0?c ?? af ? x ? dx ? ?b c ??f ? x ? dx ? ，(当 x ? c 时, f ? x ? ? ? ) ? ?若右边的极限存在,则瑕积分收敛，否则发散。 注意：(3)等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分发散。 5 判断瑕积分收敛的准则 准则 3 设 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续， 且 f ? x ? ? 0, ?M ? 0 ， ()当 b ? ? ? x ? b 时， 0 ? f ? x ? ?MM?b ? x ?m, 0 ? m ? 1 ， 则 ? f ? x ? dx 收敛。b a() 当 b ? ? ? x ? b 时，?b ? x ?m? f ? x ? , m ? 1 ， 则 ? f ? x ? dx 发散。b a准则 4 设 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续，且 f ? x ? ? 0, ()若 lim ? b ? x ? f ? x ? ? k ,0 ? k ? ??,0 ? m ? 1 ,则 ? f ? x ? dx 收敛。 ?mbx?ba() 若 lim ? b ? x ? f ? x ? ? k ,0 ? k ? ??, m ? 1,则 ? f ? x ? dx 发散。 ?mbx?ba注意： x ? a, x ? c, ? a ? c ? b ? 为瑕点时有类似的判敛准则。 6 ? 函数： ? ? r ? ? ??? 0x r ?1e? x dx ? r ? 0 ? .? 函数的性质: ? ? r ? 1? ? r ? ? r ? , (r ? 0) ;当 n 为自然数时, ? ? n ? 1? ? n !★基本题型训练3 积分值的比较或积分符号的判断 例 比较下列定积分的大小 （1） ? 2 sin 3 xdx与? 2 sin 6 xdx0 0??（2） ? e? x cos2 xdx与? e? x cos2 xdx2 2?2?0?解： （1）积分区间相同,被积函数连续,只须比较被积函数的大小, x ? [0, ] , 267? 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解由 0 ? sin x ? 1 ? sin 6 x ? sin 3 x故 ? 2 sin 6 x ? ? 2 sin 3 xdx0 0??（2）被积函数连续,积分区间不同,先通过变量替换,转化为积分区间相同的 情形,再比较被积函数,??4 估计积分值2?e? x cos2 xdx t ? x ? ? ? e?(t ?? ) cos2 (t ? ? )dt2 2?0=? e0?? ( t ?? )2cos tdt ? ? e2 0?? ( x ?? )2cos2 xdx ?? e? x cos2 xdx2?0例 估计下列各积分值 （1） ? 333（2） ?3 , 3] 31dx 4 ? 2 x ? x 2 ? x30.解： （1）令 f ( x) ? x arctan x, x ? [ ∵ f '( x) ? arctan x ?x ? 0, ∴ f ( x) “ ? ”.于是 1 ? x2max f ( x) ? f ( 3) ? 3 arctan 3 ?min f ( x) ? f (?3,3 3 3 3 )? arctan ? ?, 3 3 3 18因此3 3 ? ? 2 ? ? f ( x) ? , 由估值定理有 ? ? 3 x arctan xdx ? ? . 18 3 9 3 3（2）∵ 4 ? 4 ? 2 x ? x 2 ? x3 ? 4 ? 2 x ? x 2 , x ?[0,1] ∴1 1 1 ? f ( x) ? ? , 2 4 ? 2 x ? x 2 ? x3 4 ? 2x ? x21 1 1 dx dx ?? ?? ,而 2 3 0 0 2 4 ? 2x ? x ? x 4 ? 2x ? x2由估值定理有?681dx 4 ? 2 x ? x20??10x ?1 2 1 ? arcsin ? arcsin ? arcsin , 5 0 5 5 5 ? ( x ? 1)2d ( x ? 1)1 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解故1 1 dx 2 1 ?? ? arcsin ? arcsin . 2 3 0 2 5 5 4 ? 2x ? x ? x5 由函数方程求积分 例 设 f ( x 2 ? 1) ? lnx2 且 f (? ( x)) ? ln x ，求 ? ? ( x )dx x2 ? 2解：题目中由函数方程给出了 ? ( x) ，要先要求 ? ( x) 出再求积分。 由 f ( x 2 ? 1) ? lnx2 ( x 2 ? 1) ? 1 ? ln 2 ， x2 ? 2 ( x ? 1) ? 1得 f (? ( x)) ? ln? ( x) ? 1 ? ( x) ? 1 ? ln x ,则 ? x ,即 ? ( x) ? 1 ? ( x) ? 1? ( x) ?x ?1 2 2 ,故 ? ? ( x)dx ? ? (1 ? ? 1? )dx ? x ? ln( x ? 1)2 ? C x ?1 x ?1 x ?16 广义积分的计算 例 求下列广义积分 (1)?2 1dx x 3x 2 ? 2 x ? 1；(2) ??? 11 dx ； x 1? x??(3) ?e 11 x 1 ? ?1nx ?2dx解：(1) ? lim f ( x) ? limx ?1 x ?1dx x 3x 2 ? 2 x ? 1?x ? 1 为 f ? x ? 的瑕点。2 1I ??dx x 3x ? 2 x ? 12? lim ? ?? ?02 1??dx x 3x ? 2 x ? 12? lim[? ? ?? ?02 1??1 1 d (1 ? ) 1? 2 x x ] ? ? lim arcsin ? ? 0? 2 1? ? 1 2 22 ? (1 ? ) x3 ? a r ? s i? ] c n 4 2 3 arcsin 42?? ??lim [arcsin ? ? ? 0? 2 (1 ? ) ?69 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(2)? lim f ( x) ? lim ? ?x ?1 x ?11 ?? x x ?1? x ? 1 为 f ? x ? 的瑕点,因此该广义积分为混合型的。I ??2 1?? 1 1 dx ? ? dx , 2 x x ?1 x x ?1I1 ? ?2 11 dx令x ? 1 ? t 2 x x ?11 ? 2tdt ? 2 arctan t ? ? 0 ? t 2 ? 1? t 0 21I2 ? ??? 2?? 2dt ?? 1 ?? ? ? dx ? ? ? 2 arctan t ? 2? ? ? , 2 1 1 t ?1 x x ?1 ?2 4?故 原广义积分 ? ? . (3) ? lim f ? x ? ? ?,? x ? e 为 f ? x ? 的瑕点。 ?x ?e? I ??e 11 x 1 ? ? ln x ?2dx ? lim ? ?? ?0e ?? 1d ? ln x ? 1 ? ? ln x ?2? lim arcsin ? ln x ? ?? ?0e ?? 1??2例 位于曲线 y ? xe? x (0 ? x ? ?) 下方, x 轴上方的无界图形的面积是_____ 解： A ? ? xe? x dx ? ?( x ? 1)e? x0 ? ? 0? 1,故应填 1x例 已知 ? e? x dx ?2??2x0,则 ???0e? x ? e? xdx ?______解： ? 由于 ???0e? x ? e? xdx ? ?20? x ?e e? x dx ? ? dx 0 x x0?( x ) ?e ? 2 e? x dx ? ? dx x ? t 2? e ? t dt ? ? 0 0 x x而?70?e?x0xdx ? limb ??? 0?be?xxdx ? lim 2? e ? x d x ? lim (?2e ? x )}
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高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第一章函数、极限、连续第 1 节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质 1 函数的定义 设有两个变量 x 和 y ，变量 x 的变域为 D ，如果对于 D 中的每一个 x 值，按 照一定的法则，变量 y 有一个确定的值与之对应，则称变量 y 为变量 x 的函数， 记作： y ? f ? x ? 。 2 函数概念的两要素 ①定义域：自变量 x 的变化范围②对应关系：给定 x 值,求 y 值的方法。 3 函数的三种表示方法 ①显式：形如 y ? f ? x ? 的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形 式。 ②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如F ( x, y) ? 0，如椭圆函数x2 y 2 ? ? 1。 a 2 b2? x ? vt 1 2 称作参数式。参数式将两个 ? y ? 2 gt ?③参数式：形如平抛运动的轨迹方程 ? ?变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4 函数的四个基本性质1 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解①奇偶性：设函数 f ? x ? 在对称区间 X 上有定义，如果对于 ?x ? X 恒有f ( x) ? f (? x)(或) f ( x) ? ? f (? x) ，则称 f ? x ? 为偶函数(或 f ? x ? 奇函数)。注：偶函数 f ? x ? 图形 关于 y 轴对称，奇函数 f ? x ? 的图形关于坐标原点对称。 ②有界性：设函数 f ? x ? 在区间 X 上有定义,如果 ?M ? 0 ,使得对一切 x ? X ,恒 有： f ? x ? ? M ,则称 f ? x ? 在区间 X 上有界；若不存在这样的 M ? 0 ，则称 f ? x ? 在 区间 X 上无界.注：函数 f ? x ? 有无界是相对于某个区间而言的。 ③周期性：设函数 f ? x ? 在区间 X 上有定义,若存在一个与 x 无关的正数 T ， 使对任一 x ? X ，恒有 f ? x ? T ? ? f ? x? 则称 f ? x ? 是以 T 为周期的周期函数，把满 足上式的最小正数 T 称为函数 f ? x ? 的周期。 ④单调性：设函数 f ? x ? 在区间 X 上有定义，如果对 ?x1 , x2 ? X , x1 ? x2 ,恒有：f ? x1 ? ? f ? x2 ? (或 f ? x1 ? ? f ? x2 ? )则称 f ? x ? 在区间 X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于 ?x1 , x2 ? X , x1 ? x2 ,恒有：f ? x1 ? ? f ? x2 ? (或 f ? x1 ? ? f ? x2 ? )则称 f ? x ? 在区间 X 上是严格单调增加(或严格单调减少)的。 5 其它函数定义 ①复合函数：设函数 y ? f ? u ? 的定义域为 D f ，而函数 u ? ? ? x ? 的定义域是 D? 值域为 Z? ，若 D f ? Z? ? ? ，则称函数 y ? f ?? ? x ? ? 为 x 的复合函数，它的定义域是 ? ?{x O x ? D? 且? ( x) ? D f } 。这里 ? 表示空集。②反函数：设函数 y ? f ? x ? 的值域为 Z f ，如果对于 Z f 中任一 y 值，从关系式y ? f ? x ? 中可确定唯一的一个 x 值，则称变量 x 为变量 y 的函数，记为： x ? ? ? y ? ，2 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解其中 ? ? y ? 称为函数 y ? f ? x ? 的反函数，习惯上 y ? f ? x ? 的反函数记为： y ? f ?1 ? x ? 。 6 初等函数 ①常值函数 ②幂函数 有定义。 ③指数函数 ④对数函数 ⑤三角函数y ? ax ( a ? 0 且 a ? 1)C ( C 为常数)， x ? R? y ? x ?? ? R，定义域由 ? ?确定，但不论 ? 如何，在 (0, ?) 内总x?Rx y ? l o a ( a ? 0 且 a ? 1 ) x ? (0, ?) g如 y ? sin x, x ? R ； y ? cos x, x ? R ；y ? tan x , x ? (k? ??, k? ? ), k ? Z ； cot x, x ? (k? ,(k ? 1)? ), k ? Z 等 2 2?⑥反三角函数y ? arccot x , x ? R .； y ? a r c s x nx ? [? 1 , 1 ] y ? arccos x, x ? [?1,1] ； y ? arctan x , x ? R ； i ,以上六类函数称基本初等函数。 由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7 分段函数 一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函 数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。 常见的分段函数： ①符号函数?1 当x ? 0 , ? y ? s g nx ?? 0 当 x ? 0 , ? ?1 当 x ? 0 . ?[ x] 表示不超过 x 的最大整数； [ x] ? n ,当 n ? x ? n ?1 ，其中 n 为②取整函数 整数。③狄利克莱(Dirichlet)函数?1 当x为有理数时, y ? f? x ? ? ? ?0 当x为无理数时.3 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解④绝对值函数? x, x ? 0 x ?? ? x, x ? 0★基本题型训练一 典型例题 1 判断函数的等价性 例 1.1 下列各题中，函数 f ( x) 与 g ( x) 是否相同？为什么？ (1) f ( x) ? lg x 2 , g ( x) ? 2 (2) f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 ;(3) f ( x) ? 3 x 4 ? x3 , g ( x) ? x 3 x ? 1 ；(4) f ( x) ? 1, g ( x) ? sec2 x ? tan 2 x ； 解： (1)不相同， 因为 lg x2 的定义域是 (??,0) ? (0, ?) ， 2l x 的定义域是 (0, ?) 。 而g (2)不相同，因为两者对应法则不同，当 x ? 0 时， g ( x) ? ? x 。 (3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。 (4)不相同，因为两者定义域不同。 2 求函数的定义域 例 1.2 设 f ( x ?1) 的定义域为 [0, a](a ? 0) 则 f ( x) 的定义域为多少？ 解 ： 函 数 f (x ? 1 的 定 义 域 是 指 x 的 变 化 范 围 ， 即 )0 ? x ? 1 ? a, 令t ? x ? 1, 则 ? 1 ? t ? a ? 1 。故对函数 f ( x) 而言， t 的变化范围为 [?1, a ? 1] ，由函数表达式的“变量无关性” ，知： f ( x) 的定义域为 [?1, a ? 1] 。 常见错误： [1, a ? 1] 。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认 为 0 ? x ?1 ? a ，由此得到 1 ? x ? a ?1 。 3 判断函数奇偶性 例 1.4 下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？4 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(1)y ? e x sin x,2(2)y ? log a ( x ? 1 ? x 2 ) (a ? 0, a ? 1)解：(1)因为 sin x 为奇函数， x 2 为偶函数，所以 y ? e x sin x 为奇函数。2(2) f (? x) ? log a (? x ? 1 ? a 2 ) ? log a 故 f ( x) 为奇函数 4 判断函数的周期性1 x ? 1? x2? ? log a ( x ? 1 ? x 2 ) ? ? f ( x) ,例 1.5 下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) y ? cos( x ? 2) (2) y ? 1 ? sin ? x解 (1) y ? cos( x ? 2) 是周期函数，周期为 2? ； (2) y ? 1 ? sin ? x 是周期函数，周期是 2 5 判断函数单调性 例 1.6 设 f ( x) 在 (??, ??) 上 有 定 义 ， 且 对 任 意 x ， y ? (??, ??) 有f ( x) ? f ( y ) ? x ? y 证明 F ( x) ? f ( x) ? x 在 (??, ??) 上单调增加。证明：设 ?x1 , x2 ? (??, ??), x1 ? x2 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ， 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 所以 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2F ( x1 ) ? F ( x2 )所以即 F ( x) 在 (??, ??) 上单调增加。 6 求反函数 例 1.7 求函数 y ?1? 1? x 的反函数 1? 1? x5 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：令 t ? 1 ? x ，则 y ?2y ?1 y ?1 1? t 。所以 t ? ， 即 1? x ? ，所以 y ?1 y ?1 1? t? y ?1 ? 4y x ? 1? ? ， ? ? ( y ? 1) 2 ? y ?1 ?所以反函数 y ?4x 即为所求。 ( x ? 1) 27 复合函数求法? x2 , x ? 0 ?1 ? x, x ? 0 , g ( x) ? ? 例 1.8 设 f ( x) ? ? 则 f [ g ( x)] 等于多少？ ? x ? 2, x ? 0 ? ? x, x ? 0解：当 x ? 0 时， g ( x) ? ? x ? 0 ，所以当 x ? 0 时有 f [ g ( x)] ? 1 ? x ；? 当 x ? 0 时 ， g ( x)? 2x? 0所 以 x ? 0 时 有 f [ g ( x)?] 2 x 2 ，故?1 ? x , x ? 0 f [ g ( )?]? 2 x 。 ? x ? 2 ,x ? 0注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是 分析法，下面分别介绍这三种方法。 (1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式 及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函 数与分段函数或分段函数之间的复合。 (2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种 构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合， 这种方法在求复合函数时一般最先想到。 (3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分 段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下： ①先画出中间变量函数 u ? ? ? x ? 的图形； ②把 y ? f ? u ? 的分界点在 xou 平面上画出(这是若干条平行于 x 轴的直线)； ③写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间； ④将③所得结果代入 y ? f ? u ? 中， 便得 y ? f ?? ? x ? ? 的表达式及相应 x 的变 ? ?6 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。 二 能力拓展 例 1 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， & M ? N & 表示“M 的充分必要 条件是 N”，则必有 (A)F(x)是偶函数 ? f(x)是奇函数。 (B)F(x)是奇函数 ? f(x)是偶函数。 (C) F(x)是周期函数 ? f(x)是周期函数。 (D)F(x) [A] 解法一：任一原函数可表示为 F ( x) ? ? f (t )dt ? C ，且 F ?( x) ? f ( x). 当 F(x)0 x是单调函数?f(x)是单调函数。为偶函数时， 有 F (? x) ? F ( x) ， 于 是 F ?(? x) ? (?1) ? F ?( x) ， 即 ? f (? x) ? f ( x) ， 也 即f ( ? x) ? ? f ( x) ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 ? f (t )dt 为偶函数，0x从而 F ( x) ? ? f (t )dt ? C 为偶函数，可见选(A)。0x1 解法二： f(x)=1， 令 则取 F(x)=x+1， 排除(B)、 (C)；令 f(x)=x，则取 F(x)= x 2 ， 2 排除(D)；故应选(A)。?1, x ? 1 ? 例 2 设 f ( x) ? ? 则 f { f [ f ( x)]} 等于 0, x ? 1 ? ?(A) 0 (B)1。?1, x ? 1 ? (C) ? ?0, x ? 1 ??0, x ? 1 ? (D) ? ?1, x ? 1 ?解：由 f [ f ( x)] ＝1 得， f { f [ f ( x)]} ＝1，故应选(B)7 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★函数理论框架图第 2 节 极限与连续性★基本内容学习一 基本概念 1 极限的概念 定 义 2.18n ??lim xn ? a ? ?? ? 0, ?一 个 正 整 数 N ?? ? , 当 n ? N ?? ? 时 ， 恒 有 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解xn ? a ? ?。若 xn 存在极限，称 {xn } 收敛，否则称 {xn } 发散。定义 2.2 lim f ( x) ? a ? ?? ? 0, ? 一个整数 X ，当 x ? X 时，有 f ( x) ? a ? ? x ?? 定义 2.3 xlim f ( x) ? a ? ?? ? 0, ? 正数 ? ，当 0 ? x ? x0 ? ? 时，有 f ( x) ? a ? ? ?x02 数列、函数极限的基本性质与相关定理 定理 2.1(极限的不等式性质) 设 nlim xn ? a ，lim yn ? b 若 a ? b ， ? N ， n ? N 时， n ? yn ； n ? N 时， n ? yn ， 则 当 若 x x ??? n ??? 则 a ? b。 定理 2.2(极限的唯一性) 设 nlim xn ? a ， nlim xn ? b 则 a ? b 。 ??? ??? 定 理 2.3( 收 敛 数 列 的 有 界 性 ) 设 xn 收 敛 ， 则 xn 有 界 （ 即?常数M ? 0, xn ? M , n ? 1, 2,? ） 。定理 2.4(极限的不等式性质) 设 xlim f ( x) ? A ， xlim g ( x) ? B 若 A ? B 则 ? ? &0， ?x ?x0 0当 0 ? x ? x0 ? ? 时 f ( x) ? g ( x) ；若 f ( x) ? g ( x) ( 0 ? x ? x0 ? ? )，则 A ? B 。 [推论](极限的保号性) 若 xlim f ? x ? ? A, A ? 0 ?或A ? 0 ? ,则存在一个 ? ? 0 ，当 ?x0x ? ? x0 ? ? , x 0 ? ? ? , x ? x 0时， f ? x ? ? 0 (或 f ? x ? ? 0 )。定理 2.5(极限的唯一性)设 xlim f ( x) ? A ， xlim f ( x) ? B 则 A ? B 。 ?x ?x0 0定 理 2.6( 夹 逼 准 则 ) 设 在 x0 的 领 域 内 ， 恒 有 ? ? x ? ? f ? x ? ? ? ?x ， 且 ?x ? x0lim ? ? x ? ? lim ? ? x ? ? A ，则 lim f ? x ? ? A 。x ? x0 x ? x0定理 2.7(单调有界准则) 单调有界数列 ?xn ? 必有极限。 3 函数连续性定义 定义 2.1 设函数 f ? x ? 在 x0 的某领域内有定义，给 x 在 x0 处以增量 ?x ，相应9 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解地得到函数增量 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 。若极限 ?x ?0 ?y ? 0 ，则称 f ? x ? 在 x ? x0 处连 lim 续。 定义 2.2 设函数 f ? x ? 满足条件： f ? x ? 在 x0 的某领域内有定义； xlim f ? x ? (1) (2) ? x0存在；(3) xlim f ? x ? ? f ? x0 ? 则称 f ? x ? 在 x ? x0 处连续。 ?x0定义 2.3 若 f ? x ? 在 ? a, b ? 内任一点均连续，则称 f ? x ? 在 ? a, b ? 内连续。 定义 2.4 若 f ? x ? 在 ? a, b ? 内连续， x ? a 处右连续(即 lim f ? x ? ? f ? a ? )， x ? b 在 在x ? a?处左连续(即 lim f ? x ? ? f ? b ? )，则称 f ? x ? 在 ? a, b ? 内连续。 x ?b?4 间断点及分类 间断点定义 若 f ? x ? 在 x0 处出现以下三种情形之一：0 0(1) f ? x ? 在 x0 处无定义； xlim f ? x ? 不存在； xlim f ? x ? ? f ? x0 ? 。 (2) ? x (3) ? x 则称 x0 为 f ? x ? 的间断点。 间 断 点 x0 的 分 类 ： 第 Ⅰ 类 间 断 点 f ? ? x0 ? , f ? ? x0 ? 均 存 在 。 其 中 若f ? ? x0 ? ? f ? ? x0 ? ? f ? x0 ? ， x ? x0 称为可去间断点。若 f ? ? x0 ? ? f ? ? x0 ? , x ? x0 称为跳跃间断点。 第Ⅱ类间断点： f ? ? x0 ? , f ? ? x0 ? 至少有一个不存在。若 f ? ? x0 ? , f ? ? x0 ? 之中有一 个为 ? ，则 x ? x0 称为无穷间断点。 5 闭区间上连续函数的性质 (1)(连续函数的有界性)设函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续，则 f ? x ? 在 ? a, b ? 上有界， 即 ? 常数 M ? 0 ，对任意的 x ? ? a, b ? ，恒有f? x? ?M。(2) (最值定理)设函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续，则在 ? a, b ? 上 f ? x ? 至少取得最大值 与最小值各一次，即 ?? ,? 使得：10 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解f ?? ? ? max ? f ? x ?? , ? ? ? a, b ?a ? x ?bf ?? ? ? m i n f ? x? , ? ? ? a ? b , ? ?a? x b ?(3) (介值定理)若函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续， ? 是介于 f ? a ? 与 f ? b ? (或最大值M 与 最 小 值 m ) 之 间 的 任 一 实 数 ， 则 在 ? a, b ? 上 至 少 ? 一 个 ? ， 使 得f ?? ? ? ? .? a ? ? ? b。 ?(4) ( 零 点 定 理 或 根 的 存 在 性 定 理 ) 设 函 数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上 连 续 ， 且f ? a? ? f? ? ? 0 ，则在 ? a, b ? 内至少 ? b一个 ? ，使得 f ?? ? ? 0.?a ? ? ? b?5 无穷小及其阶 (1)无穷小与无穷大的定义 定义 2.5 在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量） 。lim f ? x ? ? 0 ? ?? ? 0, ? 一个 X ? 0 ，当 x ? Xx ??时，恒有 f ? x ? ? ? 。 时，恒有 f ? x ? ? ? 。x ? x0lim f ? x ? ? 0 ? ?? ? 0, ? ? ? 0 ，当 0 ? x ? x0 ? ?定义 2.6 在自变量的某一变化过程中，若函数 f ? x ? 的绝对值无穷增大，则 称函数 f ? x ? 为无穷大量。lim f ? x ? ? ? ? ?M ? 0, ? 一个 X ? 0 ，当 x ? Xx ??时，恒有 f ? x ? ? M . 时，恒有 f ? x ? ? M .x ? x0lim f ? x ? ? ? ? ?M ? 0, ? 一个 ? ? 0 ，当 0 ? x ? x0 ? ?(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系x ? x0lim f ? x ? ? A ? f ( x) ? ? , 其中lim ? ( x) ? 0 ；x ? x01 ? ? f ( x)为无穷小，f ( x) ? 0则 f ( x) 为无穷大 ? 在同一极限过程中， ? 。 1 ? f ( x)为无穷大，则 为无穷小 ? f ( x) ?(3)无穷小阶的概念 定义 2.7 设在同一极限过程中， ? ? x ? 、 ? ? x ? 为无穷小且存在极限11 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解x ? x0 ( x ?? )lim ? ? x ? ? 0, lim ? ? x ? ? 0 。x ? x0 ( x ?? )? ? x? ? ①若 lim ? ? x?0 则 称 ? ? x? 是 比 ? ? x? 高 阶 的 无 穷 小 ， 记 为 ，? ? x ? ? o ? ? ? x ??.②若 lim? ? x? ? ? ，则称 ? ? x ? 是比 ? ? x ? 低阶的无穷小。 ? ? x? ? ? x? ? C ，则称 ? ? x ? 与 ? ? x ? 是同阶无穷小。 ? ? x?③ 若 lim④ 若 lim? ? x? ? 1 ，则称 ? ? x ? 与 ? ? x ? 是等价无穷小，记为 ? ? x ? ~ ? ? x ? 。 ? ? x?⑤若 lim? ? x? ? C ? C ? 0 ? , k ? 0 ，则称 ? ? x ? 为 ? ? x ? 的 k 阶无穷小。 ? k ? x?(4)等价无穷小的重要性质? ?( x) ? ① 若 x ? a ? ( x ) ~ x ( ?) x, ? (? ， ~ lim ) 存 在 ， 则 ? ) 且 ( x ? ?( x)lim? ( x) ? ?( x) ? lim ? ( x) ? ?( x)该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。 ② ? ( x) ~ ? ( x) ( x ? a ) ? ? ( x) ? ? ( x) ? o(? ( x)) (5)确定无穷小阶的方法 ①利用洛必达法则 确定 k ? 0 使得 limx ? x0f ? x? ( x ? a)k? A ? 0 ， x ? a 时， f ( x) 则是 x ? a 的 k 阶无穷小。 洛必达法则：法则Ⅰx ? x0 x ? x0(0 型 ) 设 函 数 f ? x?, g ? x? 满 足 条 件 ： 0lim f ? x ? ? 0, lim g ? x ? ? 0 ； f ? x ? , g ? x ? 在 x0 的领域内可导(在 x0 处可除外)且12 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解g ? ? x ? ? 0 ； limx ? x0f ? x? f ?? x? f ?? x? ? lim . 存在(或 ? )。则 lim x ? x0 g ? x ? x ? x0 g ? ? x ? g?? x?x ?? x ??0 法则 I? ( 型)设函数 f ? x ? , g ? x ? 满足条件： lim f ? x ? ? 0, lim g ? x ? ? 0 ； ? 一 0个 X ? 0 ，当 x ? X 时， f ? x ? , g ? x ? 可导，且 g ? ? x ? ? 0 ； limf ? x? f ?? x? . g?? x?x ? x0f ?? x? 存在(或 ? )。 g?? x?则 limx ? x0g ? x?? limx ? x0法则Ⅱ(? 型) 设函数 f ? x ? , g ? x ? 满足条件： lim f ? x ? ? ?, lim g ? x ? ? ? ； x ? x0 x ? x0 ?f ? x ? , g ? x ? 在 x0 的领域内可导(在 x0 处可除外)且 g ? ? x ? ? 0 ； limx ? x0f ?? x? 存在(或 g?? x?? )。则 limx ? x0g ? x?f ? x?? limx ? x0f ?? x? ? . 同理法则 II? ( 型)仿法则 I? 可写出。 ? g?? x?②泰勒公式f ( x) ? f (a) ? f ' (a)( x ? a) ? ? ?f n (a) ( x ? a) n ? o(( x ? a) n ) 。 n! f n (a) ( x ? a) n ? o(( x ? a) n ) 。 n!若 f (a) ? f ' (a) ? ? ? f n?1 (a) ? 0, f n (a) ? 0 则 f ( x) ?因此 f ( x) 是 ( x ? a) 的 n 阶无穷小(后面章节还会讲到)。 ③利用无穷小的运算性质 如若 x ? a 时，f ? x ? , g ? x ? 分别是 x ? a 的 n 阶与m 阶无穷小，则 f ? x ? g ? x ? 是 x ? a 的 (n ? m) 阶无穷小，当 n ? m 时， f ? x ? ? g ? x ? 是 x ? a 的 n 阶无穷小。★本章需要记忆知识1 重点概念、性质 函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准13 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解则等。 2 重点公式sin x lim ? 1, x ?0 xn ??lim ?1 ? x ?x ?01 x? 1? ? e (或 lim ?1 ? ? ? e) ； x ?? ? x?x常用极限： lim n ? ?? ? 0 ? ? 1x ???特例 lim n n ? 1n ??lim arctan x ??2x? ? ?l i m a r c xa n t ???2x? ? ?lim arcx?t co0x ???lim arc cot x ? ?x? ? ?l i me x ? 0 lim e x ? ?x ???x ? 0?l i mx x ? 1★基本题型训练1 求复合函数?e x , x ? 1 ? x ? 2, x ? 0 , ? ? x? ? ? 2 例 设 f ? x? ? ? ，求 f ?? ? x ? ? 。 ? ? ? x, x ? 1 ? x ? 1, x ? 0?e? ? x ? , ? ? x ? ? 1 ? 解：由题设 f ?? ? x ? ? ? ? , ?? ? x ? , ? ? x ? ? 1 ?(1)当 ? ? x ? ? 1时， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x ? 2 ? 1 ， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x 2 ? 1 ? 1 ， (2)当 ? ? x ? ? 1时， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x ? 2 ? 1 ， 或 x ? 0, ? ? x ? ? x 2 ? 1 ? 1 ，14分以下情况讨论。?x ? 0 ? x ? ?1. 即? ? x ? ?1?x ? 0 ? 0 ? x ? 2. 即? 2 ?x ? 2?x ? 0 ? ?1 ? x ? 0. 即? ? x ? ?1?x ? 0 ? x ? 2. 即? 2 ?x ? 2 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解?e x ? 2 , ? ? x ? 2, 综上所述， f ?? ? x ? ? ? ? x2 ?1 ? ? ?e , ? x 2 ? 1, ?x ? ?1 ?1 ? x ? 0 0? x? 2 x? 22 利用函数概念求函数表达式 例 已知 f (e x ) ? 1 ? x ? sin x ，求 f ( x) 。 解 ： 令 e x ? t ， 则 x ? ln t 。 于 是 f (t ) ? 1 ? ln t ? sin(ln t ) 从 而f ( x? ) ? 1 l xn ? s 。x n ( l n i )注：设 f (? ( x)) ? ? (x ) ，其中? ( x) 是已知函数，则有两类问题：一是已知f 求? ；二是已知 ? 求f 。①若 f 是已知，并存在反函数，则 ? ( x) ? f ?1 (? ( x)) 。 ②若 ? 已知， 并存在反函数， t ? ? ( x) ， x ? ? ?1 (t ) ， 令 则 从而 f (t ) ? ? (? ?1 (t )) ， 即 f ( x) ? ? (? ?1 (t )) 。 因此，这两类问题都是求反函数问题。 3 求未定型函数极限 例 求下列极限 ① ②③④解：①原式15 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解②原式1③原式④原式()16 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解＝ 4 求变限积分不等式的极限( ? et dt ) 222x例 求极限 lim 解：原式 = limx ??0x ???03xe 2t dt22(? et dt )(? et dt )'2 22x2x0?3e0 18 x2? limx??4e4 x2?2x?3e0 18 x2et dt24 ?0 e dt ? ? 4 lim 2e4 x ? 0 ? ? lim 14 x2 2 3 x?? e 3 x?? 28xe14 xt222x注：在验证条件 lim ?x ??? ( x)x ?? 0f (t )dt ? ? 时，要用到以下结论:若 f ( x) 连续，又? ( x)x ??lim f ( x) ? A ? 0(也可为?) lim ? ( x) ? ? ，则 lim ?x ?? 0f (t )dt ? ? 。5 由极限确定函数中的参数 例 确定 a, b, c 的值，使解：当 原式时，由可得 同理可得故原式 例 试确定常数 极限值. 的值，使极限故 c=1 2存在，并求该17 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：原式 由 可得 ，即存在则原式 同理由 所以原式 6 利用函数收敛准则求极限 例 1 (利用夹逼准则) _ _ 可得 ，即解：且又由夹逼原则可得原式 例 2 (利用单调有界准则)1? a ? 若序列 ?an ? 的项满足：a1 ? a ( a 为正的常数)，且 an ?1 ? ? an ? ? ，(这里 2? an ?18 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解n ? 1, 2,? )。试证 ?an ? 有极限，并求出它。1? a ? a 2 ? a 2a1 a ? ? a， 解：由 a1 ? a ，又 a2 ? ? a1 ? ? ? 1 2? a1 ? 2a1 2a1今 用 数 学 归 纳 法 证 ak ? a1? a ak ?1 ? ? ak ? 2? ak ? ak 2 ? a 2ak a ? ? a。 ?? ak 2 ak 2 ?。 这 只 须 注 意 到 ：1? a 又 an ? an ?1 ? ? an ? 2? an? an 2 ? a ? 0 ，故 ?an ? 单调且有下界，从而其极限 ?? 2 an ?( n ?? 时)存在，令其为 A 。1? a ? 由 an ?1 ? ? an ? ? 2? an ?有1? a lim an ?1 ? lim ? an ? n ?? n ?? 2 an ?? ?, 即 ?1? a? A ? ? A? ? ， 2? A?即 A2 ? a ， 所以A? a? A 0 ? 。从而 lim an ? a . ?n ??7 求 n 项和数列的极限2? n? sin n? n ?? ? n ] 例 求 lim[ n ?? n ? 1 1 1 n? n? 2 n ? 2? n? sin sin sin n n? n ?? ? n & 1 (sin ? ? sin 2? ? ? ? sin n? ) ＝ 1 sin i? 解： ? n 1 n n i ?1 n n n n ?1 n ? 1 n? 2 n sin sin而 lim1 1 n i? 2 ? sin n ? ?0 sin ? xdx ? ? ，另一方面， n ?? n i ?1?19 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解sin? 2? n? sin sin n n? n ?? ? n & 1 (sin ? ? sin 2? ? ? ? sin n? ) ＝ n ? 1 sin i? ? n 1 n ?1 n ? 1 n i ?1 n n n n ?1 n ? 1 n? 2 nn 1 n i? 2 2 ? ? sin ? ，故由夹逼定理原式＝ n ?? n ? 1 n n ? ? i ?1且 lim8 求 n 项积数列极限x x x 例 当 x ? 0 时， lim cos cos ? cos n n ?? 2 4 2 x x x x 2n sin n cos cos ? cos n 2 2 4 2 原极限 ? lim n ?? x n 2 sin n 2 x x x x 2n ?1 cos cos ? (cos n sin n ) 2 4 2 2 ? lim n ?? x 2n sin n 2 x x x x 2n ? 2 cos cos ? (2 cos n ?1 sin n ?1 ) 2 4 2 2 ? lim n ?? x n 2 sin n 2sin x x ? n n 2 2 ? limn ??? ???lim n ?? n x 2 s i nn 2sin xsin x 2n sin x 2n?sin x x9 利用函数极限求数列极限1 2 例 求 lim(n tan ) n n ?? n解：因为 lim n tann ??1 ? lim n n??tan1 n ? 1, 可化为求 lim( x tan 1 ) x2 n ?? 1 x nt tan t ?t t31 tan t ? t tan t ?t ? 1 2 ) 又因为 lim( x tan ) x t ? lim(1 ? n ?? x t ?0 t x20，其中 limt ?0t ?0而 tan t ? t 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解1 ?1 1 2 tan t ? t 1 (1 ? cos t )(1 ? cos t ) 1 lim ? lim cos t ? lim ? ，故原式= e 3 t ?0 t ?0 t3 3t 2 3 t ?0 t 2 cos 2 t 310 无穷小的比较与无穷小的阶的确定 例 设函数 f ( x) ? lim n 1 ? xn?? 3n，则 f(x)在 (??,??) 内 (B) 恰有一个不可导点 (D) 至少有三个不可导点 [C ](A) 处处可导 (C) 恰有两个不可导点解 ： 先 求 出 f(x) 的 表 达 式 ， 再 讨 论 其 可 导 情 形 当 x ? 1 时 ，f ( x) ? lim n 1 ? xn??3n? 1；n??当 x ? 1 时， f ( x ) ? lim n 1 ? 1 ? 1 ； 当 x ? 1 时， f ( x) ? lim x (n ?? 31 x3n1? 1) n ? x .3?? x 3 , x ? ?1, ? 即 f ( x) ? ? 1, ? 1 ? x ? 1, 可见 f(x)仅在 x= ? 1 时不可导，故应选(C) ? x3 , x ? 1. ?11 函数连续性与间断点类型的讨论 例 判断 间断点并判别类型解：当时，当时，当时，即，所以为函数第一类间断点21 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解12 有关极限的证明 例 设 f ( x) 在 [0, ?) 连续, lim f ( x) ? A ? 0 ,求证 lim ? f (t )dt ? ??x ???xx ??? 0证明因 lim f ( x) ? A ?x ???A ，由极限的不等式性质可知， 2 A ?X ,当x ? X 时, f ( x) ? , 则x ? X 时, 有 2 x X x X A ?0 f (t )dt ? ?0 f (t )dt ? ?X f (t )dt ??0 f (t )dt ? 2 ( x ? X )x 0 ?，因此x?l?i fm? t??( d若?) t， A ? 0 ,则 l i m f t ( d)? ? ? t ?x ? ? ?0 x注：类似可知，若。 A ? 0 ,则 l i m f t ( d)? ? ? t ?x ? ? ?0x13 利用泰勒公式求极限 例 求下列极限(关于泰勒展式有关内容可参见第三章) (1) lim (3) limx ?0cos x ? e x ?0 sin 4 x?x2 2；1 (2) lim[ x ? x 2 ln(1 ? )] ； x ?? xx2 ； 5 1 ? 5 x ? (1 ? x)? x2 2(4) lim(1 ?x ?01 1 2? x ? ln )； x 2 x3 2 ? x解 (1) limcos x ? e x ?0 sin 4 x? limcos x ? e x ?0 x4?x2 2∵分母的次数为 4，∴只要把 cos x ， e?x2 2展开到出现 x 的四次幂即可。cos x ? 1 ?? x2 21 2 1 4 4 x ? x ? o( x ) 2! 4!e1 2 1 1 2 ? 1 ? x ? ( ? x ) 2 ?o( x4 ) 2 2! 2故1 1 4 ? ) x ? o ? x4 ? 1 4! 8 原极限 lim ?? 4 x ?0 x 12 (22 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(2) ln(1 ? ) 的展开式只要取到 2 项即可1 1 1 1 1 ln(1 ? ) ? ? ( )2 ? o(( ) 2 ) x x 2 x x 1 1 1 2 1 1 1 原极限 ? lim[ x ? x 2 ( ? ( ) ? o(( )2 ))] ? lim[ ? o(1)] ? x ?? x ?? 2 x 2 x x 2 (3) ∵分子关于 x 的次数为 2。1 x∴51 1 1 1 1 ? 5 x ? (1 ? 5 x) ? 1 ? (5 x) ? ? ( ? 1) ? (5 x) 2 ? o( x 2 ) 5 2! 5 5? 1 ? x ? 2 x 2 ? o( x 2 )1 5原极限 ? limx2 1 ?? 2 2 x ?0 [1 ? x ? 2 x ? o( x )] ? (1 ? x ) 2x 1? 2? x 2 ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x ) (4) ∵ ln ? ln x 2? x 2 2 1? 2 x 1 x 1 x x 1 x2 1 x3 ? [ ? ( 2) ? ( 3 ) o x ( )? ?[ ? ? 3 ] ( )? ( o ?x ) 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 1 ? x ? x 3 ? o( x 3 ) 12∴ 1? 故 lim(1 ?x ?03()]1 1 1 1 o( x 3 ) ? 3 [ x ? x3 ? o( x3 )] ? 1 ? ? 3 x2 x 12 12 x1 1 2 ? x 11 ? ln )? x 2 x3 2 ? x 12★练习题一1 填空题 (1) 已知 (2) 设 函 数则 __有连续的导函数，，,若23 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解在处连续，则常数(3) 设 当时，=为的阶无穷小，则(4) (5) 已知 (6) (7) lim(n ??，则 _ _，12 22 n2 ? 3 ??? 3 )? n3 ? 1 n ? 2 n ?nxm ?1 (8) lim n = n ?? x ? 1( m 和 n 为正整数且 m ? n )?a ? bx 2 , x ? 0 ? (9)设 f ( x) ? ? sin bx 在 x ? 0 处间断，则 a 与 b 应满足的关系是 , x?0 ? ? x2 选择题(1) 若函数在处连续，则的值是(2) 设其中则必有24 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(3) 函数 f ? x ? ?x 在定义域内为 1 ? x2 (A)有上界无下界. 1 1 (C)有界,且 ? ? f ? x ? ? . 2 2(B)有下界无上界. (D)有界且 ?2 ?x ?2 1 ? x2(4) lim x3 ( x2 ? 2 ? 2 x2 ? 1 ? x) __x ???(A) ?1 4(B)(C)(D)4? ? x ? 1, x ? 1 ? x ? 1 则 lim f ( x) ? __ (5) f ( x) ? ?2, x ?1 ?1 ? , x ?1 ?x(A)1 (6) 设 f ( x) ?(B)0x3 ? x ,则__ sin ? x(C)(D)不存在(A) 有无穷多个第一类间断点, (C) 有两个跳跃间断点 3 计算与证明m(B) 自由一个可去间断点 (D) 有 3 个可去间断点(1) 求极限① limx ?0(1 ? x) n ? 1 x②(2) 设试讨论在处的连续性和可导性. (3) 试确定常数 极限值.25的值，使极限存在，并求该 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4) 设 可去间断点，求 (5) 设 (6) 设 在 及 (7) 设 f ( x) 是三次多项式，且有 limf ( x) 。 x ?3 a x ? 3a limx ?2 a，且 的值。 求 的值。是的的某邻域内二阶可导，且求f ( x) f ( x) ? lim ? 1 (a ? 0) ，求 x ?4 a x ? 4a x ? 2a(8) 设 函 数 f ( x) 在 开 区 间 (a ,b )内 连 续 ， 且 x1 , x2 ,?, xn ? (a, b) ， 试 证 ：? ? ? (a ,b )，使1 f (? ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )] 。 n(9) 设 f ( x) 在 (??, ??) 上连续， f [ f ( x)] ? x ， 且 证明：? 一个 ? ， 使得 f (? ) ? ? (10) 设 f ( x) ， g ( x) 在 [a, b] 上连续，且 f (a) ? g (a), f (b) ? g (b) ，则在 (a, b) 内 至少 ? 一个 ? ，使： f (? ) ? g (? ) (11)证明方程 x3 ? 9 x ? 1 ? 0 恰有 3 个实根. (12) 求 复 合 函 数 设f ?? ? x ? ? , ? ? f ? x ? ? ? ? ? ?f ? x? ?? x, x ? 0 1 ? x ? x ? ,? ? x ? ? ? x2 , x ? 0 2 ?,求★参考答案1 (1)-126(2)a+b(3)， 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4)1 6(5) , (7)1 3(6) 2 (8)m n(9) a ? b (2) (D) (2) 1 , (3) (C) (3) , (6)9 22 (1) (A) 3 (1) (5)n m(4) (A)(5) (D) (4) (7) ?1 2(6) (D) ,(8) 提示：用介值定理 (9) 提示：辅助函数 F ( x) ? f ( x) ? x ，用零点定理 (10) 辅助函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ，利用介值定理 (11) 可利用零点定理 (12) 可利用前面讲到的求复合函数当中的图示法27 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★极限理论框架图28 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第二章 一元函数微分学※本章要求 1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义， 会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一 些物理量(▲数三、数四不要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系。(▲ 数三、数四增加要求了解经济意义（含边际与弹性的概念） 。 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的 导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微 分。 3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4 会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数 的导数。(▲数三、数四参数方程求导不要求) 5 理解并会用罗尔定理、 拉格朗日中值定理泰勒定理， 了解并会用(▲数三、 数四不要求)柯西中值定理。 6 掌握用洛必达法则求未定型极限的方法(▲数三、数四会用洛必达法则求 极限)。 7 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方 法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 8 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直 和斜渐近线，会描绘函数的图形。 9 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(▲数三、数四不要 求)。第1节★基本内容学习一 基本概念与定理 1 导数的概念导数与微分定义 1(函数在某点的导数)：设函数 y ? f ( x) 在 x0 的领域内有定义，给 x 在29 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解x0 处以增量 ?x(? 0) ，函数 y 和相应地得到增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ，如果极f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ??(1) 存在，则函数在点处可导，该函数值 ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x dy 称 为 函 数 在 x0 处 的 导 数 ， 记 为 f ?( x0 ) ， y?( x0 ) ， 即 x? x dx 0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y x0 ? ?x ? x ， 则 令 (1) f ?( x0 ) ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x限 limf ?( x0 ) ? limx ? x0f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0定义 2(左右导数)：函数 f ( x) 在 x0 处的左、右导数分别定义为 左导数 f ??( x0 ) ? lim??x ?0f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim , ( x ? x0 ? ?x) ? x ? x0 ?x x ? x0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim ? x ? x0 ?x x ? x0右导数 f ??( x0 ) ? lim??x ?0定义 3(函数在区间上可导)：如果 y ? f ( x) 在 (a, b) 内每一点均可导；则称该 函数在 (a, b) 内可导；若 y ? f ( x) 在 (a, b) 内可导，且在 x ? a 和 x ? b 处分别具有右 导数 f ??(a) 和左导数 f ??(b) ，则 y ? f ( x) 在 [a, b] 上可导。 2 导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义： 导数 f ' ( x0 ) 在几何上可表示曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 斜 率 ， 曲 线 y ? f ( x) 在 点 M 的 切 线 方 程 及 法 线 方 程 分 别 是y ? f' ( 0x ) ( ? x0x )?f(0及 )y ? x1 ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ( 当f ' ( x0 ) ? 0时 ) f ( x0 )'导数的物理意义： 设 s ? f (t ) 表示直线运动，其中 s 表示位移，t 表示时刻， 则v ?ds dv 表示在时刻 t 的加速度。如果 ? f ?(t ) 表示在时刻 t 的瞬时速度， a ? dt dt dy ? f ?( x0 ) 表示该量的变化量。 dxy ? f ( x) 表示物理上的其他量，即导数30 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解3 微分的概念 定义 4：如果函数 y ? f ( x) 在点 x 处的某邻域内有定义，当自变量在点 x 取 得增量 ?x 时，函数的增量 ?y 可表示为 ?y ? A?x ? ? 其中 A 是与 ?x 无关的量， ? 是当 ?x ? 0 时比 ?x 高阶的无穷小，则称 y ? f ( x) 在 x 处可微， A?x 称为 f ( x) 在点 x 处的微分， 记为 dy 或 df ( x) ， dy ? df ( x) ? A?x (1)由于当 x 为自变量时，dx ? ?x ， 即 同时可证 f ?( x) ? A ，所以(1)又可写成 dy ? f ?( x)dx (函数的一阶微分与其导数的关 系)。 二 基本定理 1 与导数有关的几个基本定理 (1)可微与可导之间的关系: 函数 f ( x) 在 x 处可微 ? f ( x) 在 x 处可导 (2)可导与连续的关系： 若函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导，则 y ? f ( x) 在点 x 处连 续，但函数连续不一定可导。(3)导数与左右导数的关系： f ?( x0 ) 存在 ? f ??( x0 ) ? f ??( x0 ) 。★基本知识记忆1 导数的运算法则 四则运算法则：设函数 u ? u( x) ， v ? v( x) 在点 x 可导则(1) (u ? v)? ? u? ? v? (2) (uv)? ? uv? ? vu? (3) ( )? ?d (u ? v) ? du ? dv d (uv) ? udv ? vduu vvu? ? uv? (v ? 0) v2u vdu ? udv d( ) ? v v22 反函数的运算法则31 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解设 y ? f ( x) 在点 x 的某邻域内单调连续，在点 x 处可导且 f ?( x) ? 0 ，则其反数 在点 x 所对应的 y 处可导，并且有dy 1 。 ? dx dx dy3 复合函数的运算法则 若 ? ? ? ( x) 在点 x 可导 ， 而 y ? f (? ) 在对应点 ? ( ? ? ? ( x) ) 可导，则复合函数y ? f (? ( x)) 在点 x 可导，且 y ? f ( ? ) ? ? ( x) 。' ' '4 基本导数与微分表 (1) y ? c （常数） (2) y ? x a ( ? 为实数) (3) y ? a x 特例 (4) y ? loga x, a ? 0, a ? 1 特例 y ? ln x (5) y ? sin x (6) y ? cos x (7) y ? tan x (8) y ? cot x (9) y ? sec x (10) y ? csc xy? ?y? ? 0y ? ? ? x? ?1 y? ? a x ln a (e x ) ? ? e xdy ? 0d y? ? ? ?1 d x x dy ? a x ln adx d (e x ) ? e x dxy? ?1 x ln a 1 xdy ?1 dx x ln a 1 dx xcx d x ossx d x in2(ln ?? x )y? ? c o x s y? ? ? s i n xd ( l nx ? )d ( s i n ?) xd ( c o x ?)? sd ( t a n ?) x d ( c o x ?)? t1 ? s e 2cx 2 c o sx 1 ? ? c s 2cx si2x ns excd x2y? ? ?c sxcd xy? ? s e cx t a x nd ( s e c ?) x d ( c s c ?)? xsx c xa n e t dx cx c x d x s coty? ? ? c s cx c oxt32 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(11) y ? arcsin x (12) y ? arccos x (13) y ? arctan x (14) y ? arccot x (15) y ? shx (16) y ? chxy? ? y? ? ?1 1? x 121 ? x21 d( a r c sx n ) i? dx 1 ? x2 1 d( a r c c x ? ? ) os dx 1 ? x2y? ?1 1 ? x2 1 1 ? x21 d( a r c t x ? ) 2 d x an 1? x 1 d( a r c cx ? ? ) 2 d x ot 1? xd (shx) ? chxdxd (chx) ? ?shxdxy? ? ?y? ? c h xy? ? ?shx★基本题型训练1 一元函数导数与微分概念的命题 例 设 f ( x) 在 x ? 1 处连续，且 lim x ?1 解：由导数定义 f ?(1) ? lim x ?1 ∴ ∴f(1? )x ?1f ( x) ? 2 ，求 f ?(1) 。 x ?1f ( x) ? f (1) ，而 f ( x) 在 x ? 1 处连续 x ?1 0f (x ) f x ) ( l if m ? ) x ?i m ( ?1 ) x ? ? l i m ( ? ) l i m x ( l 1 x? 1 x? x ?1 1 x ?1 x? 1 f ( x) ? f (1) f ( x) ? lim ?2 x ?1 x ? 1 x ?1f ?(1) ? limx ?12 几类一元函数的导数与微分 例 求下列函数的导数或微分 (1) y ? arcsin e ? 解：(1) y ' ?1 1 ? e ?2xx(2) 设 y ? ln(1 ? 3? x )(e ? x ) ' ? 1 1 ? e ?2x求 dy1 2exe ? x (? x )' ?(1 ? e ?2 x ) x?3? x ln 3 1 1 ?x dx ? x (2) dy ? d (1 ? 3 ) ? dx ?x ?x 1? 3 1? 3 3 ?1例 求由参数式确定的函数的导数33 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解? x ? ln(1 ? t 2 ) 设? ? y ? arctan t求dy d 2 y , dx dx 21 y 't 1 ? t 2 1 dy 解： 参数式求导公式 ' ? ? ， 2t 2t dx xt 2 1? t将该式对 x 求导，右端先对 t 求导再乘上dt 得 dxd2y 1? t2 1 ' dt 1 1 1 复合函数求导法 ( ) ? 反函数求导法 ? 2 ? ' = ? ?? 3 2t 2t dx 2t x t 4t dx 2 2t 2 ? 2 1? t例 求隐函数的导数或微分 隐函数求导：由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的函数 y ? y( x) ，称为 y 是变量 x 的隐 函数。 隐函数导数dy 的求法一般有三种方法： dx(1)方程两边对 x 求导，要记住 y 是 x 的函数，则 y 的函数是 x 的复合函数。 例如 ， y 2 ，ln y ，e y 等均是 x 的复合函数。对 x 求导应按复合函数连锁法则做。 (2)公式法。由 F ( x, y ) ? 0 知 表示 F ( x, y) 对 x 和 y 的偏导数。 (3)利用微分形式不变性。 在方程两边求微分， 然后解出 例 设方程 xy 2 ? e y ? cos( x ? y 2 ) ，求 y ? 。 方法一：y 2 ? 2 xyy? ? e y y? ? ? sin( x ? y 2 ) ? (1 ? 2 yy?) ， y? ? ?dy 。 举例说明如下： dx1 yF ?( x, y ) dy ?? x 其中， Fx?( x, y ) ， Fy?( x, y ) 分别 dx Fy?( x, y )y 2 ? sin( x ? y 2 ) 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 )方法二： 令 F ( x, y) ? xy 2 ? e y ? cos( x ? y 2 )34 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解因为 Fx? ? y 2 ? sin( x ? y 2 ) ， Fy? ? 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 ) 所以 方法三：d ( xy 2 ? e y ) ? d (cos( x ? y 2 )) ， y 2 dx ? 2 xydy ? e y dy ? ? sin( x ? y 2 )(dx ? 2 ydy)y [ 2 y? e ? 2 y s i n x 2 y ) d? ? 2 [y? x ( ? ]yF ?( x, y ) dy y 2 ? sin( x ? y 2 ) ?? x ?? dx Fy?( x, y ) 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 )s i n2 ( y ? xd] )xdy y 2 ? sin( x ? y 2 ) ?? dx 2 xy ? e y ? 2 y sin( x ? y 2 )注：关于隐函数的三种方法，大家可以根据具体题目具体分析，采用适合 题目的最好方法。 分段函数的求导?ax ? b, x ? 1 例 确定常数 a 和 b，使得函数 f ( x) ? ? 2 处处可导。 x ?1 ?x ,解： f ( x) 在 x ? 1 处可导， f ( x) 在 x ? 1 处连续， 由 得 由表达式知， f ( x) 在 x ? 1 是左连续的， 于是， f ( x) 在 x ? 1 连续 ? xlim f ( x) ? xlim(ax ? b) ? f (1) ? a ? b ? 1 。 f ( x) 又 ?1? ?1? 在 x ? 1 可 导 ? f '? (1) ? f '? (1) ， 在 a ? b ? 1 条 件 下 ， f ( x) 可 改 写 成?ax ? b, x ? 1 f ( x) ? ? 2 x ?1 ?x ,。于是， f '? (1) ? (ax ? b)'x?1= a ， f '? (1) ? ( x 2 )x ?1? 2 ，因此 f ( x)在 x ? 1 可导 ? ??a ? b ? 1, ?a ? 2. ?? 故仅当 a ? 2, b ? ?1 时， f ( x) 处处可导。 ?a ? 2. ?b ? ?1注：对这类问题的依据是①函数在某点可导则在该点处连续；②函数在某 点处可导，则在该点处左右导数相等这两个性质，建立两个特定常数之间的两 个关系式，然后再解出来。 3 变限积分的求导 例 设 f ( x) 连续且 ?x3 ?10f (t )dt ? x ，则 f (7) ?35 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解： 这是含变限积分的恒等式， 两边对 x 求导得 f ( x3 ? 1) ? x 2 ? 1 ， x ? 2 ， 令 3 即得 f (7) ?1 124 可导与连续命题的讨论?2 ? x 2 (1 ? cos x), x ? 0 ? x ? 0 ,在 x ? 0 处的连续性与可导性. 讨论函数 f ( x) ? ?1, ?1 x ? ? cos t 2 dt , x ? 0 ?x 0例解：由于函数具有分段形式，我们可分别按定义求出 f '? (0), f '? (0) 来讨论f ' (0) 是否存在。按f ( x) ? f (0) f '? (0) ? lim ? lim? ? x ?0 x ?0 x定义cos x 2 ? 1 ?2 x sin x 2 ? lim ?0 x ?0 x ?0 2x 2?x0cos t 2 dt ? x x2? limf '? (0) ? lim ?x ?0f ( x) ? f (0) 2(1 ? cos x) ? x 2 2(sin x ? x) 2 cos x ? 1 ? lim ? lim ? lim ?0 3 2 x ?0 x ?0 x x 3x 3 x ?0 2 x因此， f '? (0) ? f '? (0) ? 0 ，因此 f ( x) 在 x ? 0 可导,因而也必连续。 5 导数概念的应用问题 例 求平面曲线的切线方程或法线方程已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x ? 0 的某邻域内满足关系式 其中 ? ( x) 是当 x ? 0 时比 x 的高阶无穷小， f ( x) 且 f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) ? 8x ? ? ( x) ， 在 x ? 1 处可导，求曲线 y ? f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程。 解：曲线 y ? f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程 y ? f (6) ? f ?(6)( x ? 6) ，由周期性，f (6) ? f (1) ，36 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解f ?(6) ? f ?(1) ，故只需求 f (1) 与 f ?(1) 。又已知只给出 f ( x)在 x ? 1 处可导，所以利用导数定义求 f ?(1) 由连续性， lim[ f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x)] ? lim[8 x ? ? ( x)] 即 有 x ?0 x ?0f (1) ? 3 f (1) ? 0 故 f (1) ? 0 因 此 ， f ?(1) ? limu ?0f (1 ? u) ? f (1) f (1 ? u) ? lim u ?0 u u又limx ?0f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) 8x ? ? ( x) ? lim x ?0 sin x sin x f (1 ? sin x) 3 f (1 ? sin x) 8 x ? ? ( x) ， ( sin x ? x ) ? ] ? lim x ?0 sin x ? sin x sin x即 lim[ x ?0也即 f ?(1) ? 3 f ?(1) ? 8 ，故 f ?(1) ? 2 ，所以要求的切线方程为 y ? 2( x ? 6) 。第 2 节 高阶导数★基本内容学习一 基本概念 定义 1 若 y = f(x) 导函数 f '(x) 在点 x 处可导，则称 f '(x) 在点 x 处的导数为y = f(x) 在点 x 处的二阶导数，记为d2 y , f ''(x) ，即 f''( ) x dx 2f( n ?1)? lm i( n ?1)?x ??f'( x f'( ) x+D)- x Dx，同样可定义函数的 n 阶导数为 f 二 高阶导数的求法(n)( x) ? lim?x ?0( x ? ?x) ? f ?x( x)。直接法：所谓直接法是指求出所给函数的 1~3 阶或 4 阶导数后，分析所得 结果的规律性，从而写出 n 阶导数的方法。 间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算、变量代换、泰勒级数 的方法求 n 阶导数。 ★基本知识记忆 常用高阶导数公式 （1） (a x ) ( n ) ? a x ln n a (a ? 0)(e x ) ( n ) ? e x37 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解（2） (sin kx) ( n ) ? k n sin(kx ? n ? ) 2 （3） (cos kx) ( n ) ? k n cos(kx ? n ? ) 2 （4） ( x m ) ( n ) ? m(m - 1)?(m - n+1) x m-n （5） (ln x) ( n ) ? (?1)( n?1)(n ? 1)! xnn??i （6）莱布尼兹公式：若 u( x) ,v( x) 均 n 阶可导，则 (uv)( n ) ? ? cnu (i ) v ( n-i ) ， i=0其中 u(0) = u ， v(0) = v ★基本题型训练 6 求一元函数的 n 阶导数 例 1 设 y ? e x cos x ，求 y ( n) 。 解： y' ? e x cos x ? e x sin x ? e x (cos x ? sin x) ? 2e x cos( x ? ) ， 4?? ?? ? x y ' ' 2 ? e c o s? ? ) x e s?x n (? ? ? x ( i 4 4? ?)2x ( 2 ) ? x ? c o，( e s 4?2)? ? ? ? ? y''' = ( 2)2 ?e x cos( x ? 2 ? ) ? e x sin( x ? 2 ? ) ? ? ( 2)3 e x cos( x ? 3 ? ) ， 4 4 ? 4 ???y ( n ) ? ( 2)n e x cos( x ? n ? ) 4?例 2 f ( x) 任意可导，且 f '( x) ? e? f ( x ) , f (0) ? 1 ，求 f ( n) (0) 。 解：对 f '( x) ? e? f ( x ) 两边求导得：f''( ?? x ) f ' ' ' x ?) (? f ( x)efx( ? )? '? x ' ( ?) ?2f ( x )， e?2f ( x )2e ff x 3 (，) 2e? 4 ， 3 f 2x e ( )f ( 4 () x)? ? ? 2 fe3x ?( )f 3 ?38x( ? ) ? '? 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解??f( n)( x) ? (?1)n-1 (n-1)!e-nf ( x ) ，所以， f ( n) (0) ? (?1)n-1 (n-1)!e-nf (0) ? (?1)n-1 (n-1)!e-n 例3 设y?x3 ，求 y ( n ) . 2 x ? 3x ? 2 7x ? 6 8 1 ? x + 3+ ? , ( x ? 2)( x ? 1) x ? 2 x ?1(n ) n( )解： y ? ( x + 3) +) y ( n ) ? ( x ? 3) n( ? ?8( x ? 2) ? ? 1 ? ?( x ? 1) ? ? 1 ? ? ? ? n ?1? n n ? 0 ? (?1) ? 8 ? n !( x ? 2) ? (?1) n !( x ? 1) ?1? n? ? 8 1 ? (?1) n n ! ? ? .(n ? 2) n ?1 n ?1 ? ( x ? 1) ? ? ( x ? 2)例 4 设 y ? sin x sin 2 x sin 3x, 求 y ( n ) .1 1 1 解： y ? (cos 2 x ? cos 4 x)sin 2 x ? sin 4 x ? (sin 6 x ? sin 2 x) ? 2 4 4 1 ? (sin 2 x ? sin 4 x ? sin 6 x), 4y(n) ? 1? n n? n? n? ? n n ? 2 sin(2 x ? 2 ) ? 4 sin(4 x ? 2 ) ? 6 sin(6 x ? 2 ) ? . 4? ?★练习题二1 填空题? x ? et sin 2t ? (1)曲线 ? 在点(0,1)处的法线方程为 t ? y ? e cos t ?。39 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解? x , x?0 1 ? x ?1 ? e ? x ? 0 ，则函数在点 x ? 0 处的导数为 (2)设函数 f ( x ) ? ?0, ? 2x ? , x?0 x ?1 ? e ?。(3)设方程 x ? y y 确定 y 是 x 的函数，则 dy ?。? x ? t ? ln(1 ? t ) d2y (4)设函数 y ? y ( x ) 由参数方程 ? 所确定，则 2 ＝ 3 2 dx ?y ? t ?t。(5)已知 f ' ( x0 ) ? ?1 ，则 limx ?0x ＝ f ( x0 ? 2 x ) ? f ( x0 ? x )。(6)设 f (t ) ? lim t (x ?0x?t x ) ，则 f ' (t ) ＝ x?t。 。(7) 设函数 y ? y( x) 由方程 e x+y ? cos( xy) ? 0 确定，则 (8) f ( x ) ?1? x ，则 f ( n ) ? 1? x.(9) 设 f 为可导函数， y ? sin{ f [sin f ( x)]} ，则 (10) 已知 2 选择题 (1) 设 是连续函数，且d ? ? 1 f? dx ? ? x 2 ? ?? 1 ?? ? ?? xdy ? dx.，则 f '( ) ?1 2.，则(2) 设，则在处可导的充要条件为40 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解存在存在存在 (3) 设 f ( x ) ? 3x 3 ? x 2 x ，则使 f n (0) 存在的最高阶数 n 为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)4存在?2 3 ? x , x ?1 (4) 设 f ( x ) ? ? 3 ，则 f ( x ) 在 x ? 1 处的__。 ? x2 , x ?1 ?(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 f (1) ? f (1 ? x ) (5) 设 f ( x ) 是可导函数，且 lim ? ?1 ，则曲线 y ? f ( x ) 在点 x ?0 2x(1, f (1))处的切线斜率为。 (B) －2 (C) 0 (D)1 其中 a, b 为非零常数， ? b，(A) －1(6) 设函数对任意 x 均满足 f (1 ? x) ? af ( x) ， f0' 且 ) ( 则 (A) f ( x) 在 x ? 1 处不可导。 (B) f ( x) 在 x ? 1 处可导，且 f '(1) ? a. (C) f ( x) 在 x ? 1 处可导，且 f '(1) ? b. (D) f ( x) 在 x ? 1 处可导，且 f '(1) ? ab.? x, ? (7) 设 f ( x ) ? ? ? ?x, ?x?0 x?0则(A) f ( x ) 在 x ? 0 处不连续 (B) f ' (0) 存在 (C) f ' (0) 不存在，曲线 y ? f ( x ) 在点(0,0)处不存在切线41 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(D) f ' (0) 不存在，曲线 y ? f ( x ) 在点(0,0)处有切线 (8) 设 y ? f ( x) 在点 x0 处可导， 当自变量 x 由 x0 增加到 x0 ? ?x 时， ?y 为 f ( x) 记 的增量， dy 为 f ( x) 的微分， lim ?x ?0 (A) -1 (B)?y ? dy 等于 ?x1(C)2(D) 3(9) 设函数 f ( x) 在 (??, ??) 上可导，则 (A) 当 xlim f ( x) ? ?? 时，必有 xlim f '( x) ? ??. ??? ??? (B) 当 xlim f '( x) ? ?? 时，必有 xlim f ( x) ? ?? . ??? ??? (C) 当 xlim f ( x) ? ?? 时，必有 xlim f '( x) ? ?? . ??? ??? (D) 当 xlim f '( x) ? ?? 时，必有 xlim f ( x) ? ?? ??? ???(10) 设在处可导，则为任意常数为任意常数 3 计算与证明 (1) 已知 ，求 。(2) 已知， 其中有二阶连续的导数，且 1. 确定42的值，使在点连续；2.求。 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(3) 证明满足方程：(4) 已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时是二阶可导1 x ?1 dy ，y? f( ) ，求 x x ?1 dx 1 c (6) 设可导函数 f ( x ) 满足 af ( x ) ? bf ( ) ? 式中 a, b, c 为常数， a ? b ， 且 x x(5) 已知 f ' ( x ) ?求 f ' ( x) (7) 设 f ( x ) 是 ( ??, ??) 上 的 非 零 函 数 ， 对 任 意 x, y ? (??, ??) 有f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) 且 f ' (0) ? 1 证明 f ' ( x ) ? f ( x )★参考答案1 dx x(1 ? ln y )1 (1) 2 x ? y ? 1 ? 0 (4) (7)(6t ? 5)(t ? 1) ty sin( xy ) ? e x ? y e x ? y ? x sin( xy )(2) 1 (5) 1 (8)(?1) n 2 ? n ! (1 ? x) n ?1(3)(6) f ' (t ) ? (2t ? 1)e2t(9) f '( x)cos f ( x) f '[sin f ( x)] ? cos{ f [sin f ( x)]} 2 (1) A (2) B (3) C (4) B 3 (1) (5) A (6) D (2)1 n [ g (0) ? 1] 2(10) f '( ) ? ?1 (7) (8) B (9) D (10) C1 243 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4) (5)dy 2 ? dx 1 ? x 2(6) ?bcx 2 ? ac x 2 ( a 2 ? b2 )(7)已知条件，及导数定义 ★本章知识网络44 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★本章总结 1 本章难、重点内容 (1)导数的极限定义、左、右导数的定义。 (2)导数的几何意义和物理意义 (3)求复合函数和隐函数的导数 (4)函数在一点可导的判定，特别是分段函数在分段点可导的判定 2 本章容易出错的地方 (1)连续函数未必是可导函数 (2)可导的前提是导数存在 (3) 复合函数求导时，在自变量的某点处是否可导取决于复合以后的形 态，而与要作复合的两个函数在相应点是否可导无关第三章一元函数积分学※本章要求 1 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值 定理(▲数三、数四要求了解)，掌握换元积分法与分部积分法。 3 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(▲数三、数四不 要求)。 4 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5 了解反常积分的概念，会计算反常积分。 6 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引 力、压力、质心等)及函数的平均值。(▲数三、数四要求会利用定积分计算平 面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济 应用问题)。45 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第 1 节 不定积分★基本内容学习 原函数与不定积分的概念与基本性质 1 原函数与不定积分的定义 原函数：设函数 f ( x) 在区间 I 中有定义，如果存在函数 F ( x) ，使得对于区 间 I 中任一个 x ，均有 F '( x) ? f ( x) 或 dF ( x) ? f ( x)dx ，则称 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 中 的一个原函数. 注：如果函数 f ( x) 有原函数 F ( x) ，则有无穷多个原函数，且其全部原函数可表 示为 F ( x) ? C （其中 C 为任意常数） 不定积分： 函数 f ( x) 在区间 I 中的原函数的全体，称为 f ( x) 在区间 I 中的不定积 分，记为 ? f ( x)dx. 设 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 中的一个原函数，则 ? f ( x)dx ?F ( x) ? C.f ( x) ――被积函数， f ( x)dx ――被积式， x ――积分变量，C ――积分常数.2 原函数与不定积分的关系 ①不定积分和原函数是两个不同概念，前者是个集合，后者是该集合中的 一个元素，因此 ? f ( x)dx ? F ( x) . ②设 F ( x) ， G ( x) 均是 f ( x) 在区间 I 中的原函数，显然有 ? f ( x)dx ? F ( x) ? C ,? f ( x)dx ? G( x) ? C, 即有 F ( x) ? C ? G( x) ? C （*）但 F (x) ? G(x) 不一定成立（因为 C 是任意取值， （*）式两边的 C 不一定相等，所以不能随意取掉） 3 求不定积分与求微分（导数）的关系――互为逆运算46 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(1)已知与未知相反d F( x ? )f( x ，x ) d已知 F ( x ) 求 dF ( x) ? f ( x)dx 是微分运算；已知 f ( x )dx 求 F ( x ) 使得 dF ( x) ? f ( x)dx 是积分运算。 (2)( ? f ( x )dx ) ' ? f ( x )或 d ? f ( x )dx ? f ( x ) ; 或 ? dF ( x ) ? F ( x ) ? C? F ( x) ? F ( x) ? C'正因为原函数与导函数有互逆关系，而且不定积分就是全体原函数，所以 对应于基本初等函数的导数公式，就有相应的基本积分公式： 1 k ?1 ① ? x k dx ? x ? C （ k ? ?1 ） k ?1? x dx ? ? x ? C211?1 d x? 2 xx C ?1 ② ? dx ? ln x ? C x③ ? a x dx ?ax ? C (a ? 0, a ? 1) ln a?exdx ? e x ? C④ ? cos xdx ? sin x ? C ⑤?? sin xdx ? ? cos x ? C1 1 dx ? ? sec2 xdx ? tan x ? C ? 2 dx ? ? csc2 xdx ? ? cot x ? C 2 cos x sin x 1 ⑥? dx ? ? csc xdx ? ln csc x ? cot x ? C sin x 1 x ? x ? ? c o s d x? ? s e c x d ? l n s e c t axn C x⑦ ? sec x tan xdx ? sec x ? C ⑧ ? tan xdx ? ? ln cos x ? C ⑨? ⑩?dx 1 x ? arctan ? C 2 a ?x a a2? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ? cot xdx ? ln sin x ? C? 1? x?dx2? arctan x ? C? arcsin x ? Cdx a ?x2 2? arcsinx ?C adx 1 ? x247 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解?a ?2dx 1 a?x ? ln ?C 2 ?x 2a a ? x dx? 1? xdx21 1? x ? ln ?C 2 1? xx ?a22? ln x ? x 2 ? a 2 ? C4 原函数的存在性 设 f ( x ) 在区间 I 上连续， f ( x ) 在区间 I 上存在原函数( ? f (t )dt 就是原函 则x0 x数，其中 x0 ? I 为某一定点) 若 f ( x ) 在区间 I 上有第一类间断点，则 f ( x ) 在区间 I 上不存在原函数。 5 原函数的几何意义与力学意义 设 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，则由曲线 y ? f ( x ) ， x 轴及直线 x ? a, x ? x 围成的 曲边梯形的面积函数(指代数和―― x 轴上方取正号，下方取负号)是 f ( x ) 的一 个原函数，若 x 为时间变量， f ( x ) 为直线运动的物体的速度函数，则 f ( x ) 的原 函数就是路程函数。 6 初等函数的原函数 初等函数在定义域区间上连续，因而一定存在原函数，但它的原函数不一 2 sin x cos x 1 2 2 定是初等函数， ? e ? x dx ， 如 ? x dx ，? x dx ， ln x dx ，? sin( x )dx ，? cos( x )dx ? 等均积分不出来，即被积函数存在原函数，但原函数不是初等函数。★基本题型训练1 关于不定积分的计算 积分法则 最基本的积分方法是分项积分法，分段积分法，换元积分法和分部积分法。 而换元积分法对不定积分又分第一换元积分法(凑微分法)与第二换元积分法， 当被积函数或原函数分段表示时要用分段积分法。48 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(1)分项积分法 我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：f ( x ) ? k1g1 ( x ) ? k2 g 2 ( x ) ，若右端的积分会求，则应用法则? f ( x )dx ? k ? g ( x )dx ? k ? g ( x )dx 就可以积出 ? f ( x )dx ，这就是分项积分法。1 1 2 2例 1 求下列函数的不定积分 1 ①? ② ? tan 2 xdx dx 2 2 cos x sin x 解：① ?cos2 x ? sin 2 x 1 dx dx dx ＝ ? dx ＝ ? ?? 2 2 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x＝ tan x ? cot x ? C ② ? tan 2 xdx ＝ ?sin 2 x 1 ? cos2 x 1 dx ＝ ? dx ＝ ? dx ? ? dx ＝ tan x ? x ? C 2 2 cos x cos x cos2 x(2)分段积分法 分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清积分限与分段函数 的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段。 被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的 绝对值是以不同的方式定义的，0 就是其分界点。 例 2 计算下列定积分? 1 ?1 ? x , x ? 0 ? f ( x ? 1)dx, 其中f ( x ) ? ? ? 1 , x?0 ?1 ? e x ?①?3?2min 1, x 2 dx②?20解：①由于函数 min 1, x 2 的分界点为－1 和 1，所以?3?2min 1, x 2 dx ＝ ? dx ? ? x 2dx ? ? dx ? 1 ??2 ?1 1?1132 11 ?2? 3 3②由于函数 f ( x ) 的分界点为 0，所以，令 t ? x ? 1后，有?20f ( x ? 1)dx ? ? f (t )dt ? ??11?x 0 e dx 1 dx dx ? ln(1 ? x ) ＝? ?? ?1 1 ? e x ?1 1 ? e x 0 1? x01 0＝－ ln(1 ? e ? x ) (3)换元积分法0 ?1＋ ln2 ＝ ln(1 ? e)49 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解①第一换元积分法(凑微分法) 设? f (u )du ? F (u ) ? C , 则? F (u ) ? Cu ? ? ( x)F [? ( x)] ? C.? f [? ( x)]? '( x)dx ? ? f [? ( x)]d? ( x)令u ? ? ( x) ? f (u )du常见的凑微分形式有以下若干种： 1 ? f (ax ? b)dx ? a ? f (ax ? b)d (ax ? b) 1 n ? n n ) n1 d d ? f ( a x ? b x ? x ? ( f ?a x ) (b ? a x) nab? f (e ) exxdx ? ? f (e x )d (e x )? f ( x) x ?? f(1 1 ? ? ? f ( )d ( ) x x dx f (ln x) ? ? f (ln x)d (ln x) x21 dxx)dx ? 2 f (x d ) x ( ? x)? f (sin x) cos xdx ? ? f (sin x)d (sin x)x ? f(cos ) s i n ? ?? xdx2f( c o sd ) ( c o s ) x x? f (tan x) sec ? f ( c o txxdx ? ? f (tan x)d (tan x) f ( cx td ) (xc o t ) o2 ) c sd ? ? ? cx?f (arcsin x) 1 ? x2dx ? ? f (arcsin x)d (arcsin x)f ( a r c tx n ) a dx ? ? f ( a r c t x n ) ( axr c t a n ) ad 2 1? x 例 3 求下列不定积分?①? sec xdx ；②?arctan x dx dx ； ； ③? sin 2 x ? 2sin x (1 ? x ) x50 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解④?1 ? 2 1 ? x2⑤?dx (arcsin x) 2 1 ? x 2.解： ① ? sec xdx ＝ ?1 cos x d sin x dx ＝ ? dx ＝ ? 2 cos x 1 ? sin x 1 ? sin 2 x 1 1 1 1 1 ? sin x ＝ ?( ? )d sin x ＝ ln ?C 2 1 ? sin x 1 ? sin x 2 1 ? sin x1 (1 ? sin x ) 2 1 ＝ ln ? C ＝ ln sec x ? tan x ? C 2 2 1 ? sin x 2②?dx dx ＝? 2sin x(1 ? cos x ) sin 2 x ? 2sin xx sec2 dx 2 d tan x ＝? ?? x x x 2 8sin cos3 4 tan 2 2 2 1 1 x x ＝ ?( ? tan )d tan 4 tan x 2 2 21 x 1 x ＝ [ln tan ? tan 2 ] ? C 4 2 2 2③?arctan x arctan x dx ＝ ? d x (1 ? x ) (1 ? x ) x＝ 2 ? arctan xd arctan x ? arctan 2 x ? C ④?1 1 ? 2 arctan x 1 dx ? ? (1 ? 2 arctan x ) 2 d (1 ? 2 arctan x ) 2 1? x 23 1 ? (1 ? 2arctan x ) 2 ? C 3⑤?dx (arcsin x )21? x2??1 1 d (arcsin x ) ? ? ? C. 2 (arcsin x ) arcsin x②第二换元积分法 事实上，倒转第一换元积分法的公式就是第二换元积分法的公式。 常用的变量替换：三角替换、幂函数替换、指数函数替换、倒替换下面具51 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解体介绍这些方法。 1.三角函数代换被积函数 f ( x) 含根式 所作代换 三角形示意图a2 ? x2x ? a sin ta2 ? x2x ? a tan tx2 ? a2x ? a sec t例 4 求下列不定积分 ①?x 3 dx (1 ? x )23 2;②?dx 1 ? 1 ? x2.解：①被积函数 f ( x) 中含有 1 ? x 2 ，所以应作变换 x ? tan t,tan 3 t sin 3 t 1 ? cos2 t 2 ? sec tdt ? ? dt ? ? ? d (cos t ) 原式 ? ? sec3 t cos2 t cos2 t? ? (1 ? 1 1 1 )d (cos t ) ? cos t ? ?C ? ? 1 ? x 2 ? C. 2 2 cos t cos t 1? x②?dx 1 ? 1 ? x2. 令 x ? sin t, 则 dx ? cos tdtcos t cos t ? cos2 t 1 1 ? sin 2 t dt ? ? dt ? ? 2 d (sin t ) ? ? dt 原式 ? ? 1 ? cos t 1 ? cos2 t sin t sin 2 t?? 1 1 1 ? x2 ? cot t ? C ? ? ? ? arcsin x ? C. sin t x x ax ? b 的有理式时，常用幂 cx ? d幂函数替换：被积函数是 x 与 n ax ? b 或 x 与 n52 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解函数替换 t ? n ax ? b 或 t ?nax ? b 去掉根号。 cx ? d指数函数替换： 被积函数由 e x 构成的代数式时， 可考虑选用指数函数替换。 例 5 求① ?2 1 ? 2x ? 4x②?dx 1? e ? e3 ? e6x 2 x x;解：①令 2 x ? t , dx ?1 dt ? . ln 2 t1 d (t ? ) t 1 dt 1 dt 1 2 原式 ? ? ? ? ? ? 1 ? t ? t 2 ln 2 t ln 2 ? (t ? 1 )2 ? 3 ln 2 ? 1 2 3 (t ? ) ? ( ) 2 2 4 2 2? 2 2t ? 1 2 2 x ?1 ? 1 arctan ?C ? arctan ? C. 3 ln 2 3 3 ln 2 3x 6 ②令 e 6 ? t, x ? 6ln t, dx ? dt, t 1 6 6 3 3t ? 3 原式 ? ? ? dt ? ? ( ? ? )dt 3 2 1? t ? t ? t t t 1 ? t 1 ? t2 3 ? 6ln t ? 3ln(1 ? t ) ? ln(1 ? t 2 ) ? 3arctan t ? C 2 x x x 3 ? x ? 3ln(1 ? e 6 ) ? ln(1 ? e 3 ) ? 3arctan(e 6 ) ? C. 2倒替换：令 x ? 1 t 例 6 求下列积分 ①?2a0x2 ? a2 dx (a ? 0) x4②?dx x21 ? x2解：①?2a02a x2 ? a2 dx ? ? 4 0 xa 1 ? ( )2 x dx ? 1 3 2a 2 x2a a?2a0a a2 1 ? ( )2 d 2 x x＝1 2 a 3 ? [1 ? ( )2 ]2 2a 2 3 x＝3 8a 253 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解?1, x ? 0 ②记 sgn x ? ? 则 ? ?1, x ? 0?xdx21? x2??dx x3 1 ? 1 x2sgn x ? ?1 2?1 x 2 sgn x 1 1? 2 x d＝ ?(1 ? (4)分部积分法1 1 1 ? x2 ) 2 sgn x ? C ? ? ?C x2 x设 u ? u( x) , v ? v( x) 具有连续的导数，则公式 ? udv ? uv ? ? vdu 称为分部积 分公式. 注：如何把被积函数分成两部分，如何选取 u 和 dv 。 选取的原则：①积分容易者选为 dv ；②求导简单者选为 u ；在二者不可兼 得的情况下，首先要保证的是前者。 例 7 求下列函数的不定积分 ① ? ( x ? 2 x ? 5) cos 2 xdx.3②? sin ? ln x ?dx? x ? 1? e x ③? dx 2 ? x ? 2?解：①原式? 1 1 3 1 3 2 ? ( x ? 2 x ? 5)d sin 2 x ? 2 ( x ? 2 x ? 5)sin 2 x ? 2 ? (3x ? 2)sin 2 xdx 2 1 1 3 ? ( x 3 ? 2 x ? 5)sin 2 x ? (3x 2 ? 2) cos 2 x ? ? x cos 2 xdx 2 4 2 1 1 3 3 ? ( x 3 ? 2 x ? 5)sin 2 x ? (3x 2 ? 2) cos 2 x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? C. 2 4 4 8 1 ②原式＝ ? sin ? ln x ?dx = x sin ? ln x ? ? ? x cos ? ln x ? dx x= x sin ? ln x ? ? ? cos ? ln x ?dx1 = x sin ? ln x ? ? {x cos ? ln x ? ? ? x[? sin ? ln x ? ]dx} x= x sin ? ln x ? ? x cos ? ln x ? ? ? sin ? ln x ?dx 故54? ?s i nlxn d x = x sin ? ln x ? ? x cos ? ln x ? ? ? sin ? ln x ?dx ? 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解③原式＝ ?? x ? 1? e x dx = 1 1 ?? x ? 1? e x ?? dx ? ? x ? 1? e x ? ? 2 ? x?2 x?2? ? x ? 2?=?ex 1 ?C x ? 1? e x ? ? e x dx = ? x?2 x?2★练习题三(1)1 求下列不定积分 (1) (2)2 x3 ? 1 (4) ? ( x ? 1)100(3)2 求下列不定积分 (1) ? x?3 x（2）? 1?1 x ? x ?1（3）?x( x ? 1) x ? x ?1dx.3 求下列函数不定积分(1)? sin3 x cos5 x(2)?1 ?(3)(4)(5)(6)4 求下列不定积分(1)(2)(3)55 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解5设，求.6 设当时，连续，求★参考答案1(1) (2)(3)(4) ?1 1 3 1 6 1 1 1 ? ? ? ? C. 99 98 97 33 ( x ? 1) 49 ( x ? 1) 97 ( x ? 1) 48 ( x ? 1)962(1) 2 x ? 3 3 x ? 6 x ? 6ln(1 ? 6 x ) ? C.1 1 2 1 x ? x? x ? x ? ln 2 x ? 1 ? 2 x 2 ? x ) ? C. 2 2 43 5 3 2 5 2 2 2 2 x 2 ? x ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? C. 5 3 5 3(2)(3)3 (1)sin x 2sin x cos x 3 ? ? 3 ? , 5 3 cos x cos x sin x sin x cos x(2)? sindx31 1 ? ln csc x ? cot x ? cot x csc x ? C. x 2 2(3)(4)56 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(5)(6)4 (1)(2)(3)56第 2 节 定积分★基本内容学习一 基本概念 1 定积分 设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上有定义，在 [a, b] 内任意插入 n ? 1 个分点a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b 把 [a, b] 分 为 n 个 子 区 间 [ xi ?1 , xi ] (i ? 1, 2,?, n), 用 ?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1, 2,?, n) 表示各子区间的长度，在每个子区间上任取一点?i , xi ?1 ? ?i ? xi , 作如下和式 ? f (?i )? xi ? f (?1 )? x ? f (? 2 )? x2 ? ? f ( n )?x 令 ? ? 1 n .i ?1n? ? max{?xi }, 如果极限 lim ? f (?i )?xi 存在，且 [a, b] 的划分和 ?i 的取法无关，则1? i ? nn? ?0i ?157 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解该极限值就称为函数 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分，记为 ? f ( x)dx ? lim ? f (?i )?xi ，b an? ?0i ?1其中， f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称为积分变量，[a, b] 称为积 分区间， a, b 分别称为积分的上下限。 2 定积分的几何意义与力学意义 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， ? f ( x)dx 在几何上表示界于 x轴 ，曲线 y ? f ( x) 及a b直线 x ? a, x ? b 之间各部分面积的代数和，在 x轴 上方取正号，在 x轴 下方取负 号，若 x 为时间变量， f ( x) 为作直线运动的物体的速度函数，则 ? f ( x)dx 就是a b物体从时刻 a 到 b 所走过的路程。 3 函数的可积性 可积的必要条件： f ( x) 在 [a, b] 上可积，则 f ( x) 在 [a, b] 上有界。 可积的充分条件：(1) f ( x) 在 [a, b] 上连续；(2) f ( x) 在 [a, b] 上有界且只有 有限个间断点；(3) f ( x) 在 [a, b] 上单调，以上函数类在 [a, b] 上可积。 4 不定积分与变限定积分的关系 设 f ( x) 在区间 I 上连续，则 ? f ( x)dx ? ? f (t )dt ? C ，其中 x0 ? I 为某定值。x0 x5 定积分的基本性质 （1）定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即?baf ( x)dx ? ? f (u)du ? ? f (t )dt ? ?a ab a a bbb（2） ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx （3） ? dx ? b ? aa b特例： ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? 0a bab（4） ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dxa a abbb（5） ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dxa abb（ k 为常数）b（6） ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dxa a cbc58 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解6 定积分的基本定理 定理 1 （定积分比较定理）设 f ( x) ? g ( x) ， x ? [a, b] ，则 ?a f ( x)dx ? ?a g ( x)dx . 推论： （1）当 f ( x) ? 0 ， x ? [a, b] 时 ?a f ( x)dx ? 0. （2）bbb?baf ( x)dx ? ? f ( x) dx.ab定理 2 （估值定理）设 m ? f ( x) ? M , x ?[a, b] ，其中 m, M 为常数，则m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a) 。ab定理 3 （积分中值定理）若 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则在 [a, b] 上至少 ? 一个 b 1 b 点 ? ，使 ? f ( x)dx ? f (? )(b ? a).也可写成 f (? ) ? f ( x )dx ，所以积分中值 a b ? a ?a 定理也称之为平均值公式。 定理 4 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， x ? [a, b] ，则变上限积分 ?a f (t )dt 是 f ( x) 的一 个原函数。 定理 5 （牛顿―莱布尼兹公式）设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， F ( x) 是 f ( x) 的一 个原函数，则 ? f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a).b a bx定理 6 （变上限积分求导）设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续， x ? [a, b] ，则变上 x d d x 限积分 ? ( x) ? ? f (t )dt 对 x 可导，并且有 ? '( x) ? (? ( x)) ? ( ? f (t )dt ) ? f ( x). a dx dx a 推论 1 设 F ( x) ? ? 推论 2 设 F ( x) ? ?? ( x)af (t )dt , 则 F '( x) ? f [? ( x)] ? ? '( x).f (t )dt , 则 F '( x) ? f [? ( x)]? '( x) ? f [? ( x)]? '( x).? ( x)? ( x)推论 3 设 F ( x) ? ?? ( x)af (t ) g ( x)dt , 则 F '( x) ? [ g ( x) ?? ( x)af (t )dt ]'x? g '( x)?? ( x)af (t )dt ? g ( x) f [? ( x)]? '( x).★基本题型训练二 关于定积分的计算 (1) 利用牛顿―莱布尼兹公式59 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解例1?41 x(1 ? x )4 4 4 dx dx d( x) ?? ? 2? 1 1 x(1 ? x ) x ? x (1 ? x ) x (1 ? x )解：原式＝ ?1? 2? (144 1 1 4 ? )d ( x ) ? 2[ln x ? ln(1 ? x )] ? 2ln . 1 3 x 1? x(2) 定积分的换元积分法 定理 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，若变换 x ? ? (t ) 满足以下条件： （1） ? (t ) 在 [? , ? ] 上连续，且 ? '(t ) ? 0; （2） ? (? ) ? a, ? (? ) ? b, 并且当 t 在 [? , ? ] 上变化时， ? (t ) 的值在 [a, b] 上变 化，则 ? f ( x)dx ? ? f [? (t )]? '(t )dt.a b??注：①在定理的叙述中要注意： ? (? ) ? a, ? (? ) ? b, ? (t ) 定义与区间 [? , ? ] ，说明 ? (t ) 呈上升趋势，实际上，? (t ) 呈下降趋势也是允许的，即将定理中区间 [? , ? ] 改为 [ ? , ? ] 也是可以的； ②在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分的上下限； ③我们知道不定积分的换元法有两个，相应于第二换元积分法，在定积分 换元法中就相当于把定积分变量左端的 x 换成右端的 t ； 相应于第一换元积分法 (凑微分法)， 则是把右端的 t 换成左端的 x 。 定积分的换元法统一在一个公式中， 由于换元也相应的换积分限，就不必变量还原。 例 2 求下列定积分 (1)??2 0sin10 x ? cos10 4 ? sin x ? cos x(2) ?adx x? a ?x2 20;(3)?10ln(1 ? x) dx. 1 ? x2解： （1）令 x ? 原积分? ??600?2? u, dx ? ?du.210 10 0 cos x ? sin cos10 u ? sin10 u x (?du ) ? ?? dx, 2 4 ? sin x ? cos x 4 ? cos u ? sin u 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解2??20? sin10 x ? cos10 x sin10 x ? cos10 x cos10 x ? sin10 x 2 dx ? ? ( ? )dx ? 0, 0 4 ? sin x ? cos x 4 ? sin x ? cos x 4 ? sin x ? cos x故 原积分=0。 （2）令 x ? a sin t , dx ? a cos tdt. 原积分 ? ? 又因为 ??2?20? a cos t cos t 2 dt ? ? dt. 0 sin t ? cos t a sin t ? a cos t0? 0 cos t ? sin u sin t 2 dt t ? ? u ?? (?du ) ? ? dt , 0 sin t ? cos t 2 cos u ? sin u sin t ? cos t 2所以 2? 原积分 ? ? 常见错误：?20cos t ? sin t ? ? dt ? . 故 原积分 ? . 4 sin t ? cos t 2??20? cos t cos t (cos t ? sin t ) 2 dt ? ? dt 0 (cos t ? sin t )(cos t ? sin t ) sin t ? cos t???20? cos 2 t ? cos t sin t 2 1 ? cos 2t ? sin 2t dt ? ? dt. 0 cos 2t cos 2t理由是 cos t ? sin t 在 t ? 处为“零” 。4?（3）令 x ? tan t , 则 原式 ? ? ln(1 ? tan t )dt ? ? ln(4 4??00cos t ? sin t )dt cos t???4?402 sin( ? t ) ? ? ? ? 4 4 4 4 ln( )dt ? ? ln 2dt ? ? ln(sin ? t )dt ? ? ln(cos t )dt. 0 0 0 cos t 4?因为 ? ln 2dt ?0?8ln 2,? ? 0 ? ? ? 4 4 所以 ? ln(sin( ? t )) t ? ? u ?? ln(sin( ? u ))(?du ) ? ? ln(cos u )du 0 0 4 8 4 2? ? ln(cos t )dt , 所以原积分 ?4??80ln 2.61 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★习题三(2)1 填空题 (1) ? (3) ?1x? x 1? x?1dx = 2dx ? _____(2) ?1?11 ? x 2 lnx ? 1 ? x2 dx ? ___ 212 x 2 ? x cos x 1 ? 1 ? x2?1(4) ? 40?sin x dx ? _____ 1 ? sin xdx x ? a2 ? x2 ? _____(5) ? x 2ax ? x2 dx (a ? 0) ? ___02a(6)?10(7)d x cos( x ? t ) 2 dt ? _____ dx ?0d 2 f ( x ? t )dt ? ____ dx ?1(8)设 f ( x) 连续,则 (9) ? 20?1 1 ? (tan x)3dx ? _____x2 ?1(10) 设 f ( x) 连续,且 ? 2 计算与证明 (1) 由方程 ? et dt ? ?20f (t )dt ? 1 ? x3 ,则 f (8) =___yx200sin t dy dt ? 1, 确定 y 为 x 的函数，求 . dx t(2) 设当 x ? 0 时， f ( x) 可导，且满足方程 f ( x) ? 1 ?f ( x) .1 x f (t )dt ( x ? 0) ，求 x ?1(3) 设 函 数 f ( x) 可 导 ， 且 f (0) ? 0, F ( x) ? ? t n?1 f ( xn ? t n )dt . 证 明 ：0xF ( x) 1 lim 2 n ? f '(0). x ?0 x 2n? ? kx ? (4) 设 f ( x) ? ? ?c ? ?620? x?l 2l ? x?l 2, 求 ?( x) ? ? f (t )dt.0x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(5) 求积分 ?b ax dxa ? b.1 1 1(6) 设函数 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上连续,并设 ? f ? x ? ? A .求 ? dx ? f ? x ? f ? y ? dy0 0 x(7) 设 F ? a ? ? ? ln ?1 ? 2a cos x ? a 2 ? dx .求 F ? ? a ? , F ? a 2 ??0★参考答案1(1)ln2 (6) (2) ??2ln 2(3) 4 ? ?(4)?4?2? 2(5)?2 9 2a3? 4(7) cos x 22(8) f (2 ? x) ? f (1 ? x) (2) f ( x) ? ln x ? 1.(9)? 4(10)2(1) y ' ? ?2e? y sin x 2 . (3) 设 u ? xn ? t n(4) ? ( x) ? ?x0?1 2 ? 2 kx ? f (t )dt ? ? ? 1 kl 2 ? c( x ? l ) ?8 2 ?0? x?l 2l ? x?l 2.(5)?b a? 1 2 2 ?? 2 ? b ? a ? , a ? b ? 0 ? ?1 x dx ? ? ? b 2 ? a 2 ? , a?0?b ?2 ?1 2 2 0?a?b ? 2 ?b ? a ? , ?(6)1 2 A 2(7) F ? a ? , F ? a 2 ? ? 2 F ? a ?第 3 节 积分中值定理、定积分的应用、广义积分★基本知识学习 一 基本定理63 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解定理 1(费尔马定理)若函数 f ( x) 满足条件： (1)函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 f ( x) ? f ( x0 ) 或f ( x) ? f ( x0 )(2) f ( x) 在 x0 处可导。则有 f ?( x0 ) ? 0 定理 2 (洛尔定理) 设函数 f ( x) 满足条件： (1)在闭区间 [a, b] 上连续； (2)在 (a, b) 内可导； 则在 (a, b) 内 ? 一个 ? ，使f ?(? )? 0定理 3 (拉各朗日中值定理) 设函数 f ( x) 满足条件： (1)在 [a, b] 上连续；(2)在 (a, b) 内可导； 则在 (a, b) 内 ? 一个 ? ，使f (b )? f a ) ( ? f ?(? ) b?a定理 4 (柯西中值定理) 设函数 f ( x) ， g ( x) 满足条件： (1)在 [a, b] 上连续； (2)在 (a, b) 内 f ?( x) ， g ?( x) 均存在，且 g ?( x) ? 0 则在 (a, b) 内 ? 一个 ? ，使f ( b)? f ( a) ? f ( ) ? ? g ( b)? g ( a) ? g ( ) ?二 基本概念 1 泰勒公式 设函数 f ( x) 在点 x0 处的某邻域内具有 n ?1 阶导数，则对该邻域内异与 x0 的 任意点 x ，在 x0 与 x 之间至少 ? 一个 ? ，使得64 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ?f ( n ) ( x0 ) 1 f ??( x0 )( x ? x0 ) 2 ? ? ? ( x ? x0 ) n ? Rn ( x) 2! n!f ( n ?1) (? ) 其中 Rn ( x) ? ( x ? x0 ) n ?1 称为 f ( x) 在点 x0 处的 n 阶泰勒余项。 (n ? 1)!令 x0 ? 0 ，则 n 阶泰勒公式f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? 1 f ( n ) (0) n ??(0) x 2 ? ? ? f x ? Rn ( x) 2! n!(1)其中 Rn ( x) ?f ( n ?1) (? ) n ?1 x ， 在 0 与 x 之间。 (1)式称为麦克劳林公式。 ? (n ? 1)!常用五种函数在 x0 ? 0 处的泰勒公式1 2 1 n x n ?1 ? e (1) e ? 1 ? x ? x ? ? ? x ? 2! n! (n ? 1)!x或 ? 1? x ? (2) sin x ? x ?1 2 1 x ? ? ? x n ? o( x n ) 2! n!1 3 xn n? x n ?1 n ?1 x ? ? ? sin ? sin(? ? ?) 3! n! 2 (n ? 1)! 2或? x?1 3 xn n? x ? ? ? sin ? o( x n ) 3! n! 21 2 xn n? x n ?1 n ?1 x ? ? ? cos ? cos(? ? ?) 2! n! 2 (n ? 1)! 2(3) cos x ? 1 ?或? 1?1 2 xn n? x ?? ? c o s ? o x n( 2! n ! 2)1 1 xn (?1)n x n ?1 (4) ln(1 ? x) ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? (?1) n ?1 ? 2 3 n (n ? 1)(1 ? ? ) n ?1或1 1 xn ? x ? x 2 ? x 3? ? ? (?1)n ? 1 ? o( x n ) 2 3 n65 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(5) (1 ? x)m ? 1 ? mx ?m(m ? 1) 2 m(m ? 1)?(m ? n ? 1) n m(m ? 1)?(m ? n ? 1) n?1 x ??? x ? x (1 ? ? )m?n?1 2! n! (n ? 1)!m(m ? 1) 2 m(m ? 1)? (m ? n ? 1) n x ??? x ? o( x n ) 2! n!或 (1 ? x)m ? 1 ? mx ?2 无穷限的广义积分概念 (1) ? (2) ? (3) ??? a b ?? ?? ??(无穷积分)f ? x ? dx ? lim f ? x ? dx ? limB ????B af ? x ? dxA???? f ? x ? dxb Af ? x ? dx ? limA????C Af ? x ? dx ? limB???? f ? x ? dxB C ?? ??若极限存在，则无穷积分收敛，否则发散。 注意： (3)中右边若有一个极限不存在,则 ? 3 判断广义积分的收敛准则 准则 1 设 f ? x ? 在 ? a, ?? ? 上连续，且 f ? x ? ? 0, ?M ? 0 , ()若当 x ? N 时， 0 ? f ? x ? ? ()若当 x ? N 时，?? M , m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 收敛。 m xf ? x ? dx 便发散。?? M ? f ? x ? , m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 发散。 m x准则 2 设 f ? x ? 在 ? a, ?? ? 上连续,且 f ? x ? ? 0, ()若 xlim x m f ? x ? ? k , 0 ? k ? ??, m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 收敛。 ??? () 若 xlim x m f ? x ? ? k , 0 ? k ? ??, m ? 1 ,则 ? a f ? x ? dx 发散。 ??? 注意：积分区间为 ? ??,b ? 及 ? ??, ?? ? 有类似准则。 4 无界函数的广义积分(瑕积分) (1) (2)66?????b af ? x ? dx ? lim? ?? ?0b ab ?? ab a ??f ? x ? dx ，(当 x ? b? 时, f ? x ? ? ? )f ? x ? dx ，(当 x ? a? 时, f ? x ? ? ? )?f ? x ? dx ? lim? ?? ?0 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(3)? f ? x ? dx ? ?lim ?? ? ?b a ?0 ? ? ? 0?c ?? af ? x ? dx ? ?b c ??f ? x ? dx ? ，(当 x ? c 时, f ? x ? ? ? ) ? ?若右边的极限存在,则瑕积分收敛，否则发散。 注意：(3)等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分发散。 5 判断瑕积分收敛的准则 准则 3 设 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续， 且 f ? x ? ? 0, ?M ? 0 ， ()当 b ? ? ? x ? b 时， 0 ? f ? x ? ?MM?b ? x ?m, 0 ? m ? 1 ， 则 ? f ? x ? dx 收敛。b a() 当 b ? ? ? x ? b 时，?b ? x ?m? f ? x ? , m ? 1 ， 则 ? f ? x ? dx 发散。b a准则 4 设 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续，且 f ? x ? ? 0, ()若 lim ? b ? x ? f ? x ? ? k ,0 ? k ? ??,0 ? m ? 1 ,则 ? f ? x ? dx 收敛。 ?mbx?ba() 若 lim ? b ? x ? f ? x ? ? k ,0 ? k ? ??, m ? 1,则 ? f ? x ? dx 发散。 ?mbx?ba注意： x ? a, x ? c, ? a ? c ? b ? 为瑕点时有类似的判敛准则。 6 ? 函数： ? ? r ? ? ??? 0x r ?1e? x dx ? r ? 0 ? .? 函数的性质: ? ? r ? 1? ? r ? ? r ? , (r ? 0) ;当 n 为自然数时, ? ? n ? 1? ? n !★基本题型训练3 积分值的比较或积分符号的判断 例 比较下列定积分的大小 （1） ? 2 sin 3 xdx与? 2 sin 6 xdx0 0??（2） ? e? x cos2 xdx与? e? x cos2 xdx2 2?2?0?解： （1）积分区间相同,被积函数连续,只须比较被积函数的大小, x ? [0, ] , 267? 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解由 0 ? sin x ? 1 ? sin 6 x ? sin 3 x故 ? 2 sin 6 x ? ? 2 sin 3 xdx0 0??（2）被积函数连续,积分区间不同,先通过变量替换,转化为积分区间相同的 情形,再比较被积函数,??4 估计积分值2?e? x cos2 xdx t ? x ? ? ? e?(t ?? ) cos2 (t ? ? )dt2 2?0=? e0?? ( t ?? )2cos tdt ? ? e2 0?? ( x ?? )2cos2 xdx ?? e? x cos2 xdx2?0例 估计下列各积分值 （1） ? 333（2） ?3 , 3] 31dx 4 ? 2 x ? x 2 ? x30.解： （1）令 f ( x) ? x arctan x, x ? [ ∵ f '( x) ? arctan x ?x ? 0, ∴ f ( x) “ ? ”.于是 1 ? x2max f ( x) ? f ( 3) ? 3 arctan 3 ?min f ( x) ? f (?3,3 3 3 3 )? arctan ? ?, 3 3 3 18因此3 3 ? ? 2 ? ? f ( x) ? , 由估值定理有 ? ? 3 x arctan xdx ? ? . 18 3 9 3 3（2）∵ 4 ? 4 ? 2 x ? x 2 ? x3 ? 4 ? 2 x ? x 2 , x ?[0,1] ∴1 1 1 ? f ( x) ? ? , 2 4 ? 2 x ? x 2 ? x3 4 ? 2x ? x21 1 1 dx dx ?? ?? ,而 2 3 0 0 2 4 ? 2x ? x ? x 4 ? 2x ? x2由估值定理有?681dx 4 ? 2 x ? x20??10x ?1 2 1 ? arcsin ? arcsin ? arcsin , 5 0 5 5 5 ? ( x ? 1)2d ( x ? 1)1 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解故1 1 dx 2 1 ?? ? arcsin ? arcsin . 2 3 0 2 5 5 4 ? 2x ? x ? x5 由函数方程求积分 例 设 f ( x 2 ? 1) ? lnx2 且 f (? ( x)) ? ln x ，求 ? ? ( x )dx x2 ? 2解：题目中由函数方程给出了 ? ( x) ，要先要求 ? ( x) 出再求积分。 由 f ( x 2 ? 1) ? lnx2 ( x 2 ? 1) ? 1 ? ln 2 ， x2 ? 2 ( x ? 1) ? 1得 f (? ( x)) ? ln? ( x) ? 1 ? ( x) ? 1 ? ln x ,则 ? x ,即 ? ( x) ? 1 ? ( x) ? 1? ( x) ?x ?1 2 2 ,故 ? ? ( x)dx ? ? (1 ? ? 1? )dx ? x ? ln( x ? 1)2 ? C x ?1 x ?1 x ?16 广义积分的计算 例 求下列广义积分 (1)?2 1dx x 3x 2 ? 2 x ? 1；(2) ??? 11 dx ； x 1? x??(3) ?e 11 x 1 ? ?1nx ?2dx解：(1) ? lim f ( x) ? limx ?1 x ?1dx x 3x 2 ? 2 x ? 1?x ? 1 为 f ? x ? 的瑕点。2 1I ??dx x 3x ? 2 x ? 12? lim ? ?? ?02 1??dx x 3x ? 2 x ? 12? lim[? ? ?? ?02 1??1 1 d (1 ? ) 1? 2 x x ] ? ? lim arcsin ? ? 0? 2 1? ? 1 2 22 ? (1 ? ) x3 ? a r ? s i? ] c n 4 2 3 arcsin 42?? ??lim [arcsin ? ? ? 0? 2 (1 ? ) ?69 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(2)? lim f ( x) ? lim ? ?x ?1 x ?11 ?? x x ?1? x ? 1 为 f ? x ? 的瑕点,因此该广义积分为混合型的。I ??2 1?? 1 1 dx ? ? dx , 2 x x ?1 x x ?1I1 ? ?2 11 dx令x ? 1 ? t 2 x x ?11 ? 2tdt ? 2 arctan t ? ? 0 ? t 2 ? 1? t 0 21I2 ? ??? 2?? 2dt ?? 1 ?? ? ? dx ? ? ? 2 arctan t ? 2? ? ? , 2 1 1 t ?1 x x ?1 ?2 4?故 原广义积分 ? ? . (3) ? lim f ? x ? ? ?,? x ? e 为 f ? x ? 的瑕点。 ?x ?e? I ??e 11 x 1 ? ? ln x ?2dx ? lim ? ?? ?0e ?? 1d ? ln x ? 1 ? ? ln x ?2? lim arcsin ? ln x ? ?? ?0e ?? 1??2例 位于曲线 y ? xe? x (0 ? x ? ?) 下方, x 轴上方的无界图形的面积是_____ 解： A ? ? xe? x dx ? ?( x ? 1)e? x0 ? ? 0? 1,故应填 1x例 已知 ? e? x dx ?2??2x0,则 ???0e? x ? e? xdx ?______解： ? 由于 ???0e? x ? e? xdx ? ?20? x ?e e? x dx ? ? dx 0 x x0?( x ) ?e ? 2 e? x dx ? ? dx x ? t 2? e ? t dt ? ? 0 0 x x而?70?e?x0xdx ? limb ??? 0?be?xxdx ? lim 2? e ? x d x ? lim (?2e ? x )}
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