高等数学下册（第五版）_百度百科
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高等数学下册（第五版）
《高等数学下册（第五版）》由边馥萍，杨则燊 编写，出版发行。本书是根据编者多年的教学实践，按照新形势下教材改革的精神，并结合《高等数学课程教学基本要求》在第四版的基础上修订而成的。这次修订更好地与中学数学教学相衔接，适当引用了一些数学记号和，增加了应用性例题和习题，对一些内容作了适当的精简和合并，使内容和系统更加完整，也更便于教学。
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本书分上、下两册出版。下册内容为及其应用、重积分、与、、五章．书末附有习题答案与提示。
本书仍保持了第四版结构严谨、逻辑清晰、叙述详细，通俗易懂、例题较多、便于自学等优点，又在保证教学基本要求的前提下，扩大了适应面，增强了伸缩性，可供高等院校工科类专业的学生使用。
高等数学下册（第五版）教材目录
第八章　及其应用
第一节　多元函数的基本概念
第四节　多元的法则
第五节　的求导法则
第六节　多元的几何应用
第七节　与梯度
第八节　多元函数的极值及其求法
第九节　的
第十节　最小二乘法
第九章　重积分
第一节　的概念与性质
第二节　二重积分的计算法
第四节　重积分的应用
第五节　含参变量的积分
第十章　与
第一节　对的曲线积分
第二节　对坐标的曲线积分
第三节　及其应用
第四节　对面积的曲线积分
第五节　对坐标的曲线积分
第六节　高斯公式 通量与
第七节　 环流量与
第十一章　
第一节　的概念和性质
第二节　常数项级数的审敛法
第四节　函数展开成幂级数
第五节　函数的幂级数展开式的应用
第六节　函数项级数的性及一致收敛性的基本性质
第八节　一般周期函数的傅里叶级数
第十二章　
第一节　微分方程的基本概念
第二节　可分离变量的微分方程
第六节　可降阶的高阶微分方程
第七节　高阶
第八节　常系数线性微分方程
第九节　常系数非齐次线性微分方程
第十一节　的解法
第十二节　常系数线性微分方程组解法举例
高等数学下册（第五版）相关信息
　　丛书名：
　　作者： 同济大学应用数学系
　　出版社：
　　上架日期：
出版日期：
版次：5-13
　　开本：16开
　　所属分类：高等数学及高等数学相关数学教程
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高等数学(1)34二重积分
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高等数学二重积分总结日期：
第九章 二重积分 【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域?σ1, ?σ2, , ?σn 的分法要任意，二是在每个小区域?σi 上的点(ξi , ηi ) ∈?σi 的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值λ→0时总有同一个极限，才能称二元函数f (x , y ) 在区域D 上的二重积分存在。2．明确二重积分的几何意义。(1) 若在D 上f (x , y ) ≥0，则??f (x , y )d σ表示以区域D 为底，以Df (x , y ) 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当f (x , y ) ＝1时，??f (x , y )d σD表示平面区域D 的面积。(2) 若在D 上f (x , y ) ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分??f (x , y )d σ的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积D(3)若f (x , y ) 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则??f (x , y )d σ表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和D(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数f (x , y ) 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】1. 二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界.分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域?σ1, ?σ2, , ?σn ，同时用?σi 表示它们的面积，i =1,2, , n . 其中任意两小块?σi 和?σj (i ≠j ) 除边界外无公共点。?σi 既表示第i 小块, 又表示第i 小块的面积.近似、求和 对任意点(ξi , ηi ) ∈?σi ,作和式∑f (ξi , ηi ) ?σi .i =1n取极限 若λi 为?σi 的直径，记λ=max{λ1, λ2, , λn }, 若极限lim ∑f (ξi , ηi ) ?σiλ→0i =1n存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(ξi , ηi ) 的取法，称此极限为f (x,y ) 在D 上的二重积分. 记为∑f (ξ, η). ??f (x , y )d σ=lim λD→0iii =1n称f (x,y ) 为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素).2. 二重积分 ??f (x , y )d σ的几何意义D(1) 若在D 上f (x,y ) ≥0，则??fx (,)y dD以f (x,y ) σ表示以区域D 为底，为曲顶的曲顶柱体的体积.(2) 若在D 上f (x,y ) ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分??f (x , y )d σ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积D(3)若f (x,y ) 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则??f (x , y )d σ表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和D(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的存在定理3.1若f (x,y ) 在有界闭区域D 上连续，则f (x,y) 在D 上的二重积分必存在(即f (x,y ) 在D 上必可积).3.2若有界函数f (x,y ) 在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y ) 在D 可积.4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质. 假设下面各性质中所涉及的函数f (x , y ) ，g(x,y)在区域 D 上都是可积的.性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即??[f (x , y ) ±g (x , y )]dσ=??f (x , y )d σ±??g (x , y )d σ.DDD性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即??kf (x , y )d σ=k ??f (x , y )d σ (k 为常数).DD性质3 若D 可以分为两个区域D 1, D 2，它们除边界外无公共点，则??f (x , y )d σ=??f (x , y )d σ+??f (x , y )d σ.DD 1D 2性质4 若在积分区域D 上有f (x , y )=1，且用S (D ) 表示区域D 的面积，则??d σ=S (D ).D性质5 若在D 上处处有f (x , y )≤g (x , y ) ，则有??f (x , y )d σ≤??g (x , y )d σ.DD推论 ??f (x , y )d σ≤??f (x , y ) d σ.DD性质6(估值定理) 若在D 上处处有m ≤f (x , y )≤M ，且S (D ) 为区域D 的面积，则mS (D ) ≤??f (x , y )d σ≤MS (D ).D性质7(二重积分中值定理) 设f (x , y ) 在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(ξ, η) , 使??f (x , y )d σ=f (ξ, η) S (D ).D【基本问题导引】根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：1．??a 2d xdy =，其中D ={(x , y ) |x 2+y 2≤a 2}D2．设D 是由x 轴，y 轴与直线x +y =1所围成的区域，则I 1=??(x +y ) 2d σ, I 2=??(x +y ) 3d σ的大小关系DD是 .【巩固拓展提高】1．若f (x , y ) 在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有??f (x , y )d σ=0，试证明在D 内恒有f (x , y ) ＝0D *2．估计I =??(x +xy -x 2-y 2)d xdy 的值，其中D ={(x , y ) |0≤x ≤2,0≤y ≤1}.D3．设f (x , y ) 是有界闭区域D ：x 2+y 2≤a 2上的连续函数，则lim 1a →0πa 2??f (x , y ) dxdy 的值为多少？D【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。9.2 在直角坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似??1(x ) ≤y ≤?2(x ) ?φ1(y ) ≤x ≤φ2(y )或?的形式来表示，则我们可以将D ??c ≤y ≤d ?a ≤x ≤b分成若干块，并由积分性质??f (x , y )d σ=??f (x , y )d σ+??f (x , y )d σ.DD 1D 2 对右端各式进行计算。(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分) 形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x 积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D 的边界曲线，画出D 的草图；②求出D 边界曲线的交点坐标；③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x , y 的不等式表示D .注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ) 保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ) 若D 为X 型(Y 型), 先对x (y ) 积分；(ⅲ) 若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ) 时，要使对D 的分块最少。(3) 利用对称性等公式简化计算 设f (x , y ) 在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称若f (x , -y ) =-f (x , y ) ，则??f (x , y )d σ＝0；D若f (x , -y ) =f (x , y ) ，则??f (x , y )d σ＝2??f (x , y )d σ，其中D 1为D 在DD 1x 轴上方部分。②当区域D 关于y 轴对称若f (-x , y ) =-f (x , y ) ，则??f (x , y )d σ＝0；D若f (-x , y ) =f (x , y ) ，则??f (x , y )d σ＝2??f (x , y )d σ，其中D 2为D 在DD 2y 轴右侧部分。③当区域D 关于x 轴和y 轴都对称若f (-x , y ) =-f (x , y ) 或f (x , -y ) =-f (x , y ) ，则??f (x , y )d σ＝0；D若f (x , -y ) =f (-x , y ) =f (x , y ) ，则??f (x , y )d σ＝4??f (x , y )d σ，其中D 1为DD 1D 在第一象限部分。④轮换对称式设D 关于直线y =x 对称，则??f (x , y )d σ＝??f (y , x )d σ.DD【基本问题导引】一．判断题1．??xy dxdy=4??xy dxdy, D :x 2+y 2≤4; D 1:x 2+y 2≤4, x ≥0, y ≥0 ( )DD 12. 若f 为连续函数，则 ?1 dx ?x 2 f (x , y ) dy +?dx ?122-x f (x , y ) dy =?dy 012-yf (x , y ) dx( )【主要概念梳理】直角坐标系中二重积分计算当被积函数f (x , y ) ≥0且在D 上连续时,??1(x ) ≤y ≤?2(x )若D 为 X - 型区域 D :?a ≤x ≤b ?则??Df (x , y )d x d y =?d x ?ab?2(x )?1(x )f (x , y )d y?ψ(y ) ≤x ≤ψ2(y )若D 为Y –型区域D :?1,c ≤y ≤d ?则??D f (x , y )d x d y =?c d y ?ψdψ2(y )1(y )f (x , y )d x说明:若积分区域既是X –型区域又是Y –??Df (x , y )d x d y =?d x ?ab?2(x )?1(x )f (x , y )d y =?d y ?cy xdψ2(y )ψ1(y )f (x , y )d x【巩固拓展提高】 1.(1992)计算I =dy 1dx +1dy y dx .2212141y x2. 设f (x ) =?1e dy ，计算?0f (x ) dx .xx y19.3 在极坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1) 一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为f (x 2+y 2),y xf (), f () 等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。 x y【基本问题导引】1. 若二重积分的积分区域D 是1≤x 2+y 2≤4, 则??dxdy ＝ 。D2．设D :x 2+y 2≤a 2, x ≥0,(a >0). 将二重积分I =??D f (x , y )d σ化为极坐标形式的二次积分，则I = 3．设D :a 2≤x 2+y 2≤b 2,0<a <b . 将二重积分I=??D f (x , y )d σ化为极坐标形式的二次积分，则I=.【主要概念梳理】利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆r =常数及射线θ =常数, 分划区域D 为?σk (k =1,2, , n ) 。则??f (x , y )d σ=??f (r cos θ, r sin θ) r d r d θDD特别地 若D :???1(θ) ≤r ≤?2(θ),α≤θ≤β?β?2(θ)1则有??D f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ=?αd θ??(θ) f (r cos θ, r sin θ) rd 若D :??0≤r ≤?(θ) ?α≤θ≤ββ?(θ)则有??D f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ=?αd θ?0?0≤r ≤?(θ) 若D :??0≤θ≤2πf (r cos θ, r sin θ)则有??D f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ=?0d θ?0【巩固拓展提高】2π?(θ)f (r cos θ, r sin θ) r d r1．计算二重积分：??|1-x 2-y 2|d σ, 其中D :x 2+y 2≤4.D2．设D :x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0. 计算二重积分：??ln(x 2+y 2+1)d σ.D9.4 二重积分的应用【学习方法导引】二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。【主要概念梳理】(1) 空间立体的体积V设空间立体Ω由曲面∑1:z =f (x , y ) 与∑2:z =g (x , y ) 所围成， Ω在xoy 面投影为平面区域D ，并且f (x , y ) ≥g (x , y ) . 则V =??[f (x , y ) -g (x , y )]dσ或V =???dv .DΩ(2)曲面面积S设光滑曲面∑为∑:z =z (x , y ) ，则S =，其中D xy 为∑D xy在xoy 面上的投影区域。同理可得：设光滑曲面∑为∑:x =x (y , z ) ，则S =??，D yz其中D yz 为∑在yoz 面上的投影区域。设光滑曲面∑为∑:y =y (x , z ) ，则S =??，其中D xz 为∑D xz在xoz 面上的投影区域。(3) 平面薄片的质量 设平面薄片的面密度为ρ(x , y ) ，物体所占区域为D ，则它的质量为m =??ρ(x , y ) d σ，其中dm =ρ(x , y ) d σ, 称为质量元素。D 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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高等数学二重积分 ∫∫(x+y)dxdy D:y=x y=x^2 D∫∫(x+y)dxdy D:y=x y=x^2 二重积分符号下面是个D
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D∫∫(x+y)dxdy＝∫{0,1}dx∫{x&#178;,x}(x+y)dy＝∫{0,1}dx∫{x&#178;,x}(xy+y&#178;/2)=∫{0,1}[3x&#178;/2-x&#179;-(x^4)/2]dx=(x&#179;/2-x^4/4-x^5/10) |{0,1}=1/2-1/4-1/10=3/20；
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