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反常二重积分收敛性的判定
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反常积分∫∞0ex2dx的几种计算方法
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反常积分∫∞0ex2dx的几种计算方法
官方公共微信第二步:lim[ln；A??；A?1；?ln2]?ln2.A；所以?；??；dx=ln2.；x(x?1)；计算较简单的反常积分时,先考虑用反常积分的定义求；由于反常积分是通过变限定积分的极限来定义的,有关；例2；计算瑕积分?；的值.；xn?1；?C计算,那就需分析；如果分子也出现1?x,就能用?xdx?；n?1；要先把x变为?d?1?x2?,再进行计算.；?
第二步:lim[ln
?ln2]?ln2. A
计算较简单的反常积分时,先考虑用反常积分的定义求解. 2.2
利用换元积分法计算反常积分
由于反常积分是通过变限定积分的极限来定义的,有关定积分的换元法也可引用到反常积分中,换元积分法是定积分计算的最基本方法之一,在反常积分中也是如此. 下面通过具体的例题介绍.
计算瑕积分?
?C 计算, 那就需分析
如果分子也出现1?x ,就能用?xdx?
要先把x变为 ?d?1?x2?,再进行计算.
????1?x?d?1?x???lim??1?x?d?1?x2?.
令1?x2?t,则
注意 本题用的是第一换元积分法?g???x??d??x??G???x??d??x?+c（c为常数）. 关键在于把被积表达式f?x?dx凑成G???x??d??x?的形式,以便选取u???x?,化为易于积分的?g?u?du,最后把新引入的变量还原为起始变量. 2.3
利用分部积分法计算反常积分
分部积分法与换元积分法一样,也是计算反常积分最基本的方法.分部积分公式:?u?x?dv?x??u?x?v?x???v?x?du?x?.用这种方法计算反常积分关键要合理选择
u?x?v?x?,才能简便地进行计算.
例3 计算?e?xxndx（n是非负整数）.
解 分为 n?0和n?1 两种情况讨论.
n?0时,I0??e?xdx?1;
n?1时,用分部积分法计算.
In??e?xxndx??e?xxn|0?n?e?xxndx?n?e?xxn?1dx
In?nIn?1?n?n?1?In?2????????n!. 例4
计算?lnxdx.
分析 本题用分部积分法做很简单.
[解法一] ?lnxdx??xlnx?|??dx???dx??1.
注意 lim?xlnx??0 ,当然这个题还可用换元积分法.
结合上题结论做.
[解法二] 令lnx??t,则lnxdx?tedt,?lnxdx??te?tdt??I1??1（利用例2.3的结
论In?n!）.
注意 本题可用分部和换元积分法两种方法计算,第一种简便,做题过程中用一种方法做完后要想想还有无其他方法,还要比较哪种简便,这样就可以事半功倍. 2.4
利用留数定理计算反常积分
用数学分析中计算反常积分的方法计算一些反常积分如 ?sinx2dx,?
烦的,而且没有统一处理的方法,但是利用留数定理来计算,往往就比较简单.
设函数f?z?以有限点a为孤立奇点,即f?z?在点a的某去心邻域
0?z?a?R内解析,则称积分记为Resf?z?.
f?z?dz??:z?a??,0???R? 为f?z?在点a的留数,2?i??
f?z?在周线或复周线c所范围的区域D内,除a1,a2,???an 外解析,在闭域
D?D?C上除a1,a2,???an外连续,则（“大范围”积分）
?f?z?dz?2?i?Resf?z?.
应用留数基本定理计算某些类型实函数的积分,大致思想是:为了求实函数f?x?在实数轴上或实数轴上的某一段L上的积分,我们在坐标平面上适当添加某一曲线使其与L构成一简单闭曲线C.其内部为D,选取适当函数f?z?,然后在 D上对f?z?应用留数定理,这样就把实轴上f?x?的积分转化为计算f?z?在D内奇点的留数与那部分添加曲线上的积分,将问题大大简化了.下面通过举例来介绍如何用留数定理计算某些类型的反常积分值.
dx型积分. QxP?z?
有理分式,其中 Qz解
P?z??c0zm?c1zm?1?????cm?c0?0?与Q?z??b0zn?b1zn?1?????bn?b0?0? 为互质多项式,且符合条件:（1）n?m?2;（2）在实轴上Q?z??0,
f?x?dx?2?i
注意 （1）有理分式中分母比分子的次数至少高两次,（2）f?z?在实轴上没有奇点,（3）Z?ak为f?z?在上半平面内的极点.
计算反常积分?分析 被积函数
?a?0,b?0?.
是偶函数,已有
dx=?dx, x?ax?bx?ax?bx2
dx符合定理2.1的条件,可运用定理2.1计算.
z2?a2z2?b2有四个一阶极点:?ai,?bi,在上半平面内有两个极
点:ai,bi.令：??z???z?ai?f?z?,
Resf?z????ai??
,同理:, Resfz??ai?????2222z?bi2ia?b2ib?a?
??ba??dx=2?iResf?z??Resf?z?=2?i??=?z?aiz?bi??x?ax?b??2ib?a2ia?b??
被积函数是偶函数,故:
x2?a2x2?b22
edx型积分. QxP?z?
其中P?z?及Q?z?是互质多项式,且符合条件: Qz解
(1)Q?z?的次数比P?z?的次数高, (2)在实轴上Q?z??0 , (3)m?0, 则有
g?x?eimxdx?2?i
Resg?z?eimz
特别是将（2-3）分开实虚部,就可以得到形如
??P?x?P?x?
cosmxdx及?sinmxdx的积分.
??QxQx由数学分析的结论知可知,上面两个反常积分都存在,其值就等于柯西主值.
注意 （1）分母比分子的次数至少高一次,(2)f?z?在实轴上无奇点,（3）Z?ak为f?z?在上半平面内的极点.
计算反常积分?
??x2cosx1??cosx
dx满足上述的??dx,???2
22222??2x?ax?ax?a分析 被积函数是偶函数?
解 被积函数是偶函数,故:?
cosx1??cosx
??dx, 2222??
?eiz?e?a?e?aeix
?=2?i= dx?2?iRes?2
222z?ai2aia?x?a?z?a??
ax?a注意 掌握简单留数的求法,熟悉定理2.1的内容,能简便地计算一些反常积分. 2.5
利用二重积分理论计算反常积分
利用二重积分计算反常积分时,应分两步:第一步:把反常积分巧妙地化为一个二重积分;第二步:计算二重积分,从而计算出反常积分的值.
计算反常积分?e
分析 直接计算反常积分?e?xdx 很困难,先把它化为一个二重积分,再计算二重积
分,从而计算出反常积分的的值.
dx??e?ydy,
???e?x2dx????e?y2dy??e?x2dx,
?0??0??0??
dxdy,其中D=?0，+????0，+??,
故:??e?xdx?=??e
下面用换元法计算二重积分:令x?rcos?,y?rsin?, 上式=??erdrd???2d??
erdr?????d??
注意 本题是典型的一道利用二重积分理论计算反常积分的题,先把反常积分巧妙地化为一个二重积分再利用换元法计算二重积分,从而计算出反常积分的的值. 2.6
利用函数的对称性计算反常积分
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　数学专业毕业论文题目_理学_高等教育_教育专区。数学专业毕业论文题目反常积分的敛...商群与商环 92 关于有限映射的若干计算方法 93 关于环(Z2× 2,+,、) 94 ... 　嘉兴学院南湖学院(2011 届) 本科毕业论文 设计) 本科毕业论文(设计) 毕业论文(题学专班学姓目: 院: 业: 级: 号: 名: 数学与应用数学 反常积分的研究 指导... 　大学数学毕业论文系盖章: 系盖章:数学与信息技术系 专业 数学与应用数学 序号 题目名称 187 若干类反常积分的计算及应用 188 多重积分的计算法归类 189 一类高维... 　反常积分与无穷级数收敛关系的讨论_数学_自然科学_专业...7 第 4 章 反常积分的计算和收敛性判别的举例.....本科生毕业论文 2.2 反常积分的收敛判别方法 (一)... 　数学毕业论文《行列式计算的若干种方法及算法实现》_理学_高等教育_教育专区。本文...“雅克比行列式” ,并将其卓有成效地应用到函数组的相关性、多重积分的 变量... 　课程论文首页院、 (部) 系 学号 课程名称 论文题目 数学系 0402144 专业 姓名 信息与计算科学 孙继 俞宏青 讨论反常积分 浅析反常积分 成绩 班级 ... 　计算二重积分的几种方法... 暂无评价 12页 7下载券 数学学年论文毕业论文重....对 J ( s ) ,用柯西判别法推得,当 s & 0 时是收敛的无穷限反常积分. ... 　本文要研究含参 基础数学 5 数学分析命题方式初探 量反常积分一致收敛与非一致...商群与商环 86 关于有限映射的若干计算方法 87 关于环(Z2×2,+,、) 88 ...当前位置： >>
第九讲Ⅰ.考试要求二重积分1．了解二重积分的概念与基本性质． 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） ． 注： (1) 数一要求：了解三重积分的概念与基本性质，了解二重积分的中值定理；会计算三 重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） ；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形 的面积、体积、质量、质心、形心、转动
惯量、引力等） ． (2) 数三要求：了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．Ⅱ.考试内容一、二重积分的概念与性质1. 二重积分的定义f ( x, y) 在有界闭区域 D 上有界lim ? f (?i ,?i )?? i ?? ?0i ?1n?? f ( x, y)d?D注：(1)若 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续，或在 D 上有界且只在有限条曲线上不连续， 则函数可积. (2)若?? f ( x, y)d? 存在,则对 D : 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 取特殊的分割方式可得Dn n i j 1 lim ?? f ( , ) 2 ? n ?? n n n j ?1 i ?1?? f ( x, y)d?D（3）曲顶柱体的体积2．二重积分的性质 (1) ?? [? f ( x, y ) ? ? g ( x, y )]d? ? ? ?? f ( x, y )d? ? ? ?? g ( x, y )d? ；D D D(2)?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d? ，其中 D ? D1 ? D2 ，D ? D12?? ；DD1D2注： (3)?? f ( x, y)d? ? ??D1D1 ? D2f ( x, y )d? ? ?? f ( x, y )d?D2??1 ? d? ? A ，其中 A 为 D 的面积；D(4) 若在 D 上 f ( x, y) ? g ( x, y) ，则 注： ①逆命题不成立.?? f ( x, y)d? ? ?? g ( x, y)d? ；D D) ② 在 D 上 f ( x, y), g ( x, y) 连 续 ， f ( x, y) ? g ( x, y) f ( x, y?. ,?) ?? f ( x ,y d)? ? ?? g x (y dD Dg ( x, ， y)则③在 D 上 f ( x, y) 连续， f ( x, y) ? 0 f ( x, y) ? 0 ，则?? f ( x, y)d? ? 0 .D(5) 设 M , m 分别是 f ( x, y) 在闭区域 D 上的最大值与最小值， ? 为 D 的面积，则m? ? ?? f ( x, y)d? ? M ? ；D(6)（二重积分的中值定理）设 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续， ? 为 D 的面积，则 在 D 上至少存在一点 (? , ? ) ，使得?? f ( x, y)d? ? f (? ,?) ? ? ．D二、二重积分的计算1.直角坐标系下（1） X ? 型区域先对 y 积分 如果区域 D 形如 ?1 ( x) ? y ? ?2 ( x) , a ? x ? b , 则 区域特征： 平行于 y 轴的直线与区域交于一个线段.?2 ( x ) b ? ?2 ( x ) b ? f ( x , y ) dxdy ? f ( x , y ) dy dx ? dx f ( x, y )dy . ? ? ? ?? ? ? ? ? ? D a ? ?1 ( x ) a ?1 ( x ) ? (2) Y ? 型区域先对 x 积分如果区域 D 形如 ?1 ( y) ? x ? ?2 ( y) , c ? y ? d . 特征: 与 x 轴平行的直线与区域交于一个线段.?2 ( y ) d ? ?2 ( y ) ? f ( x, y )dxdy ? ? ? ? f ( x, y )dx ? dy ? ? dy ? f ( x, y )dx ?? ? ? D c ? ?1 ( y ) c ?1 ( y ) ? 一般区域分成若干 X ? 型区域和 Y ? 型区域.d注：后积先定限，限内划条线，先交是下限，后交是上线2. 极坐标系下用极坐标系, 一般先 r 后 ? . 区域特征: 从极点出发的射线与区域交于一个线段.?? f (r cos? , r sin ? )rdrd? ? ? d? ?D?r2 (? )f (r cos? , r sin ? )rdr?r1 (? )? D：圆域或其一部分 ? x y 利用极坐标计算： ? f： f ( x 2 ? y 2 ) , f ( ) , f ( ) ． ? y x ?*积分区域 D 是 r ? 型区域:?1 (r ) ? ? ? ?2 (r ) r1 ? r ? r2 .注: (1) 极点在边界上时, 内层积分下限不一定为 0（两种情况）; (2) 极点在区域 内部时, 外层积分从 0 到 2? ，内层积分下限为 0.（3）极点在区域外部.(4)掌握常见的极 坐标方程: x2 ? y 2 ? R2 ? r ? R , ( x ? R)2 ? y 2 ? R2 ? r ? m2R cos? ,x2 ? ( y ? R)2 ? R2 ? r ? m2R sin? .3．二重积分的对称性(1) 如果积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 为 D 在 x 轴上方的部分,则??D0 , f ( x,? y ) ? ? f ( x, y) ? ?D ? ； f ( x, y)d? ? ?2 f d? , f ( x,? y) ? f ( x, y) ，其中 D1 ? ? ?? y ? 0 或 y ? 0 ? ? ? D1(2) 如果积分区域 D 关于 y 轴对称， D1 为 D 在 y 轴右侧的部分,则??D0 , f (? x, y) ? ? f ( x, y) ? ?D ? ； f ( x, y )d? ? ?2 f d? , f (? x, y ) ? f ( x, y) ，其中 D1 ? ? ?? x ?0或 x ?0 ? ? ? D1(3) 如果积分区域 D 关于变量 x , y 具有轮换对称性，即 D 关于直线 y ? x 对称，则?? f ( x, y )d? ? ?? f ( y, x)d? = 2 ?? [ f ( x, y) ? f ( y, x)]d? ．D D1D三、计算二重积分步骤1．画出积分区域，考察能否利用对称性质简化积分． 2．选择坐标系：根据积分区域（边界曲线方程）与被积函数的特点来选择坐标系． 3．确定积分次序：在直角坐标系下，根据被积函数的特征与积分区域的类型确定 积分次序． 注意被积函数为以下特殊函数的情形：ex2y x ,ex y,y sin x y cos x ex 2 2 ； sin x , sin , ； cos x , cos , ； x x x x xey2ey x sin y x cos y 2 2 ,e , ； sin y , sin , ； cos y , cos , ． y y y y y4．确定积分的上、下限． 5．计算二次积分．四、分区域函数的二重积分若 f ( x, y ) ? ?? f1( x, y ) , ( x, y) ? D1 ，则 ? f 2 ( x, y ) , ( x, y) ? D2?? f ( x, y)dxdy ? ??Df1 ( x, y )dxdy ?D I D1D I D2??f 2 ( x, y )dxdy ．Ⅲ. 题型与例题一．概念与性质方法：1. 性质（*不等式，化为一元函数讨论） 2. 重积分是与积分变量无关的常数 【例 1】设 I1 ??? cosDx 2 ? y 2 d? ， I 2 ? ?? cos(x 2 ? y 2 )d? ，DI 3 ? ?? cos(x 2 ? y 2 ) 2d? ，其中 D ? {( x, y) | x2 ? y2 ? 1} ，则 [D]．(A) I3 ? I 2 ? I1 ． (B) I1 ? I 2 ? I3 ． (C) I 2 ? I1 ? I3 ． (D) I3 ? I1 ? I 2 ．2 2 2 2 分析： 用重积分的不等式性质比较二重积分大小， 关键在于比较 x ? y 、x ? y 2 2 2 2 2 与 ( x ? y ) 在区域 D ? {( x, y ) x ? y ? 1} 上的大小.2 2 【解】 在区域 D ? {( x, y ) x ? y ? 1} 上，令 r ?x2 ? y 2 有0 ? r4 ? r2 ? r ? 1 ?由于 cos x 在 (0,?2，?2) 上为单调减函数，于是0 ? cos r ? cos r 2 ? cos r 4 ，2 2 2 2 2 2 2 即 0 ? cos x ? y ? cos(x ? y ) ? cos(x ? y ) ，因此?? cosDx 2 ? y 2 d? ??? cos(xD2? y 2 )d? ??? cos(xD2? y 2 ) 2 d? ，故应选 ( A) .注： f ( x, y) 不变， D 变化，比较积分大小. 【例 2】设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y ) ? xy ??? f ( x, y)dxdy ，其中 D 是由Dy ? 0 , y ? x2 , x ? 1 所围区域，则 f ( x, y) 等于 [(A) xy ． (B) 2 xy ．]． (C) xy ?1 ． 8(D) xy ? 1 ．【解】设 f ( x, y) ? xy ? C , 代入方程,得xy ? C ? xy ? ?? ( xy ? C )dxdy ? xy ? ? dx ? ( xy ? C )dy ? xy ?D 0 01x21 1 ? C 12 3解得 C ?1 1 ，所以， f ( x, y ) ? xy ? .故应选 (C ) . 8 8二. 二重积分的计算方法：1. 直角坐标 2.极坐标 【例 3】计算二重积分??Dy 2 ? xy dxdy，其中 D 是由直线 y ? x , y ? 1 , x ? 0所围成的平面区域． 分析: 选择积分次序，先考虑区域，再考虑函数 【解】 二重积分. 先对 x 积分.I ? ??Dy 2 ? xydxdy ? ? dy?01y0y 2 ? xydx ? ? ?y 1 dy? y 2 ? xyd ( y 2 ? xy) 0 y 0 1? ??y 12 1 2 dy? y 2 ? xyd ( y 2 ? xy) ? ? y 2 dy ? . 0 y 0 0 3 9 1【例 4】计算二重积分2?? y dxdy ，其中 D 是由直线 x ? ?2 , y ? 0 , y ? 2 以及D曲线 x ? ? 2 y ? y 所围成的平面区域． 分析：1. 直角坐标系下的积分次序. 【解 1】 2.可加性D ? {( x, y ) | ?2 ? x ? ? 2 y ? y 2 ,0 ? y ? 2}? 2 y? y2??Dydxdy ? ? dy?02?22ydx ? 2? ydy ? ? y 2 y ? y 2 dy ? 4 ? ? y 1 ? (1 ? y) 2 dy0 0 0222y ? 1 ? sin t 4 ? ? (1 ? sin t ) cos 2 tdy ? 4 ?0?2【解 2】D1 ? {( x, y ) | ? 2 y ? y 2 ? x ? 0,0 ? y ? 2}D ? D1??Dydxdy ? ??ydxdy ? ?? ydxdy， ??D1D? D1ydxdy ? ? dx? ydy ? 4?2 002在极坐标下D1 ? {( r , ? ) |?2? ? ? ? ,0 ? r ? 2 sin ? } ，则2 sin ???D1ydxdy ? ?? d? ?2?0r 2 sin ?dr ?．8 ? 4 ? ， ? sin ?d? ? ? 3 2 2所以??Dydxdy ? 4 ??2【例 5】 （12218） 计算二重积分?? xyd? ，其中区域 D 为曲线 r ? 1 ? cos? (0 ? ? ? ? ) 与极轴围成.D【解】?? xyd? ? ?D?0d? ?1? cos ?0r 2 cos? sin ? ? rdr?1 1 ? 16 (1 ? cos? ) 4 cos? sin ? d? t ? cos? 2 ? (t 2 ? t 4 )dt ? . ? ?1 4 0 15三．利用对称性求二重积分x ， x?? 【例 6】 （ 12206 ） 设 区 域 D 由 曲 线 y ? s i n?2， y ?1 围 成 ， 则?? ( x y ? 1)dxdy ? (5 D)( A) ? .(B) 2 .5(C ) ? 2 .( D) ?? .【解】由对称性?? ( x y ? 1)dxdy ? ?? .D故选 ( D) . 【例 7】设区域 D ? {( x, y) | x2 ? y2 ? 4 , x ? 0 , y ? 0} ， f ( x) 为 D 上的正值连续 函数， a , b 为常数，则 (A) ab ? ．??Da f ( x) ? b f ( y ) d? ? [ f ( x) ? f ( y )ab ?． 2(C) (a ? b)? ．]．(B)(D)a?b ?． 2【解】 由轮换对称性，有??Da f ( x) ? b f ( y ) f ( x) ?=f ( y)d? ???Da f ( y ) ? b f ( x) f ( y) ? f ( x)d?a f ( x) ? b f ( y ) a f ( y ) ? b f ( x) 1 [ ? ]d? ?? 2 D f ( x) ? f ( y ) f ( y ) ? f ( x)=a?b a?b 1 a?b d? ? ? ? ? 22 ? ?. ?? 2 D 2 4 2应选 ( D) .四．交换次序方法: 1.?badx???2 ( x )?1 ( x )f ( x, y)dx ?r2 (? )?? f ( x, y)dxdy ?D D?dcdy ??2 ( y )?1 ( y )f ( x, y)dx .2.I ? ? d? ??r1 (? )y xf (r cos? , r sin? )rdr ? ?? f ( x, y)dxdy .1 1 2 y y x【例 8】计算?1 2 1 4dy ?1 e dx ? ? dy ?y e dx2y分析: 此次序下无法计算. 二合一. 【解】?1 2 1 43 1 e. dy ?1 e dx ? ? dy ?y e dx ? ?1 dx? 2 e dy ? e ? x 8 2 2 2yy x1 1 2yy x1xy x【例 9】 （12303）设函数 f (t ) 连续，则二次积分??2 0d? ?22 cos ?f (r 2 )rdr ? (4 ? x2)( A)?20dx ?4 ? x2 2 x ? x2x 2 ? y 2 f ( x 2 ? y 2 )d y .(B)?20dx ?2 x ? x2f ( x 2 ? y 2 )d y .(C ) ? dy ?021? y 21? 1 ? y 2x 2 ? y 2 f ( x 2 ? y 2 )dx .( D) ? dy ?021? y 21? 1 ? y 2f ( x 2 ? y 2 )dx .【解】 ( B ) .五.分片函数(隐含)的积分【 例 9 】 设 D ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ?2, x ? 0, y ? 0} , [1 ? x 2 ? y 2 ] 表 示 不 超 过1 ? x 2 ? y 2 的最大整数, 计算二重积分 ?? xy [1 ? x 2 ? y 2 ]dxdy .D解题思路 去掉取整函数符号，将积分区域分片. 当被积函数为分片函数时应利用积分 的可加性分区域积分. 【解】 令D1 ? {( x, y) 0 ? x 2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0} ，D2 ? {( x, y) 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 , x ? 0, y ? 0} .则?? xy[1 ? xD2? y 2 ]dxdy= ?? xydxdy ? 2 ?? xydxdyD1 D2? ? 2 sin ? cos ? d? ? r 3dr ? 2 ? 2 sin ? cos ? d? ? r 3dr0 0 0 1?1?42=1 1 3 ? ? . 8 4 8六.广义二重积分（数三）方法：1. D 无界 2. f ( x, y) 无界 【例 10】设 f ( x, y ) ? ?? ?x2 y , 1 ? x ? 2 , 0 ? y ? x ，求积分 ?? f ( x, y ) dxdy ， ? ? 0 , 其它 D其中 D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 2x} ． 【解】?? f ( x, y)dxdy ? ? ? dx ?D12x 2 x? x2x 2 ydy ? ? x 2 ( x 2 ? x)dx ?1249 . 20【例 10*】 （12316）计算二重积分 及 y 轴为边界的无界区域.?? e xydxdy ,其中区域 D 是以曲线 y ?x Dx,y?1 x?y ? x ? 【解】 由 ? 1 得交点坐标 (1,1) ?y ? x ?x ?? e xydxdy ? ? dx? D 0 1 1 x xe x xydy? ? (1 ? x 2 )e x dx ?011 . 2七.综合题【例 11】 （11119）(11221) 已知函数 f ( x, y) 具有二阶连续偏导数,且f (1, y ) ? 0 , f ( x,1) ? 0 , ?? f ( x, y) ? a , 其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} , 计算D二重积分?? xyf ?? ( x, y)dxdy.xy D【解】?? ( x, y )dxdy ? ? dx? xyd f x? ( x, y ) ?? xyf xyD 0 0111 1 1 1 1 1 ? ? [ xyf x?( x, y) ?? xf x?( x, y)d y]dx ? ? xf x?( x,1)dx ?? dx? xf x?( x, y)d y 0 0 0 0 0 0? ? xdf ( x,1) ?? dy? xdf ( x, y)0 0 01 1 1 1 1 ? xf ( x,1) ?? f ( x,1)dx ?? [ xf ( x, y) dy ?? f ( x, y)dx]dy 0 0 0 0 0111? ?? f ( x, y)dxdy ? a .D
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