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线性空间与线性变换习题 PPT课件.ppt
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线性空间与线性变换习题_PPT课件第六章习题课
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素?, ??V, 总有唯一的一个元素??V与之对应, 称?为?与?的和(简称加法运算), 记作?=?+?. 若对于任一数??R与任一元素??V, 总有唯一的元素??V与之对应, 称?为数?与?的积(简称数乘运算), 记作?=??.
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):
设?, ?, ?, O ?V, 1, l, k ?R,
(1) 加法交换律: a+b =b + (2) 加法结合律: (a+b )+g =a+(b +g ) ;
(3) 零元素: 存在O ?V, 对任一向量a , 有a+O=
(4) 负元素: 对任一元素a?V, 存在??V, 有a+?=O , 记?=– (5) 1 a = (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k) (7) 数乘对加法的分配律: k(a+b )= ka+ (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l)a = ka+la .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的.
2. 负元素是唯一的.
3. 0?=0; (–1)?=–?; ?0=0.
4. 如果??= 0, 则?= 0 或?= 0.
三、线性空间的子空间
定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称L为V的子空间.
定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素?1, ?2, ···, ?n?V, 满足: (1) ?1, ?2, ···, ?n 线性无关; (2) V中任意元素?总可以由?1, ?2, ···, ?n线性表示,则称?1, ?2, ···, ?n为线性空间V的一个基, 称n为线性空间V的维数.
当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时, 就称V是无限维的.
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn.
若?1, ?2, ···, ?n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:Vn = { ?= x1?1+x2?2+···+xn?n | x1, x2, ···, xn?R }
五、元素在给定基下的坐标
定义: 设?1, ?2, ···, ?n为线性空间Vn的一个基, 对任意??V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ···, xn, 使?= x1?1+x2?2+···+xn?n ,则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素?在基?1, ?2, ···, ?n下的坐标, 并记作?= (x1, x2, ···, xn)T.
线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同.
在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间Rn的讨论.
定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的对应, 那末就称线性空间U与V同构.
结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构; 结论2. 同构的线性空间之间具有等价性.
同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
七、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素?, 在基?1, ?2, ···, ?n下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 在基?1, ?2, ···, ?n 下的坐标为: (x1?, x2?, ···, xn?)T, 若两个基满足关系式: (?1, ?2, ···, ?n)=(?1, ?2, ···, ?n)P.
则有坐标变换公式:
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式, 则两个基满足基变换公式:(?1, ?2, ···, ?n)=(?1, ?2, ···, ?n)P.
八、线性变换的概念
定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一元素?, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素?和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或称映射), 记作?=T(?) 或记作?=T?(??A).
设??A, T(?)=?, 就说变换T把元素?变为?, 称?为?在变换
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"总是从最简单的例子开始" ---大卫.希尔伯特
1.实向量空间
先考虑最简单的(诚如斯言).R^n是(a1,a2,...,an)这样的有序组构成的集合(不要问我有序组是什么,我在这里出现了循环定义.)."行向量写起来占空间比较少,但矩阵运算更多用到列向量,所以我们写行向量的转置."
然后它的加法和标量乘法我懒得写了.
考虑R^2上的子空间,有三种
i.只有零向量
ii.过原点直线
iii.整个R^2
我们只需要简单地考虑平行四边型法则.
R^3上有类似的讨论.
考虑齐次线性.方程组的解的集合是一个子空间.
定义:实向量空间是具有两个合成法则的集合V
加:V * V -& V +(u,v) 记作u+v
标量乘法:R * V -& V 记作c * v
并且满足以下公理:
i加法使V成为可交换群.
ii标量乘法与实数乘法是结合的:(ab)v = a(bv)
注意左边(ab)是实数自己的乘法,右边bv是刚刚的标量乘法.
iii 1 * v = v
iv 两个分配律(a+b)v = av + bv
&&&&&&&&&&&&
a(v+w) = av + aw
从定义可以证明
(a)实数0乘以v等于零向量
(b)任何实数乘以零向量等于零向量
(c)任意v,(-1)v = -v.所有向量乘以-1是它们的逆.
R^n的子空间
复数集只考虑加法和实数乘
[0,1]上的所有连续函数.
先自己说一句,上面的例子让人自然而然考虑在一个和R有着相同结构的代数结构上的类似向量空间.
域最直观的例子是Q和R.还有Q[2^0.5] = {x|x = a + b * (2^0.5),a ,b 属于Q}
域F(我写简单一点.)
有一个+,使得F,+构成一个可交换群.
有一个*,对F中任意元素可交换,并且使F - {0},*成为一个可交换群(注意我先说了可交换,当你试图去证明0*x = x*0 =
0时就知道为什么了.)
并且+和*满足分配律:(a+b)c = ac + bc
然后我们有一个很有趣的群:素群.
考虑Z中对n取模的同余类,我们发现它的元素数量有限(n个),并且满足除了乘法有逆之外的定义.然而有趣的是,如果n是素数,那么Z关于n的同余类中每个非零元素必然是有逆的,然后它就成为了一个域.
定理:p是素数,每一个非零同余类有乘法逆.
等价表述:p是素数,如果p不能整除a,那么存在b,使得ab = 1 (mod b)
这个定理的证明带有构造的意味,但并不是彻底的构造性的(这句话是个人观点.)
对于a属于Z/pZ(用Fp来记录),考虑1,a,a^2,a^3....因为Fp有限,所以必然有a^m = a^n(m !=
n),我们有个很自然的想法是消去,如果能消去a^n,那么有1 = a^(m -
n),然后自然而然,a^(m-n-1)是a的逆.
消去律:如果a,b,c,属于Fp,那么ab = ab蕴涵 b = c.
取d = b - c,那么变成如果ab = 0,a!=0,则b = 0.
那么要证:如果p是素数,a,b是整数,那么p整除ab且p不整除a,那么p整除b.
很直观的命题,证明:
p和a只有公因数1,那么1是最大公因数,则存在s,t,使1 = sp + at,两边乘b, b = bsp +
tab,注意右边p和ab都能被p整除,则b能被p整除.
以上说明Fp是域.
推论:考虑AX = B这样一个线性方程组,其中A,B元素属于Fp,如果A在Fp中行列式不为0,那么方程有唯一解.
然后我们得到了一类有限群:有限域上的一般线性群(至于为什么这么说,稍后)
GLn(Fp)表示所有元素属于Fp的n*n可逆阵.
假设F是抽象域,那么F上的向量空间和实向量空间的定义完全一样,只是用F代替R,故不重复描述.
需要注意,向量空间的定义中隐含了F,也就是说我们必须先有一个域才能去讨论向量空间.F中的元素通常称为"标量".
定义域的阶:如果F中的乘法幺元1自加n次1+1+1..... =
0,那么说F有n阶.素群的阶是p.如果1+1...得不到0,那么叫零阶.
可以证明,任何群的阶要么是0要么是素数.
定义子空间:
向量空间V的子空间W有如下性质:
(a)加法封闭 u,v属于W,那么u+v属于W
(b)数乘封闭 c属于F,v属于W,那么cv属于W
线性方程解空间是子空间的一个例子.
定义:域的同构
同构是一个在两个域V和V'间的一一映射f,满足f(a+b) = f(a) + f(b),f(ab)=f(a)f(b).
3.基和维数(很重要!)
设V是F上的向量空间,(v1,...,vn)是V中元素的有序集.(v1,...,vn)的线性组合是形如
w = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ... + cnvn 每个ci都属于F.
的任意向量.
可以写成(v1,...,vn)线性组合的所有向量构成V的一个子空间W.
将集合S的张成记为Span S,明显Span S是V中包含S的最小子空间.我们称为它是由S生成的子空间或者S的生成.
命题:如果S是V中向量的集合,假设W是V的一个子空间,如果S是W的子集,那么Span S也是.
说v1,...,vn的线性关系,那么是
c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0
的任意关系.如果(v1,...,vn)称为"线性无关",那么它的意思是
c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 蕴涵c1=c2=...=cn = 0.
注意线性无关的集合中元素无重复.
不是线性无关的集合称为线性相关的.
向量,向量可以组成向量矩阵,方便表达线性组合.
线性无关且张成V的向量集合称为一个基.通常用记号B来表示.
如果B是V的基,那么V中每个向量可以写成唯一的B的线性组合.
命题:集合B是基当且仅当V中每个向量是B的唯一线性组合.
假设V=F^n 是列向量空间(这个空间非常重要,也很特殊(吗?))
假设ei表示(0,0....1,0,0....,0)的转置,那么这n个ei构成一组基,称为标准基.
命题:假设L是V中线性无关的有序集,v是向量,如果把v加入L中构成的L' = (L,v)线性无关当且仅当v不属于Span
一般我们证明:L线性相关当且仅当v属于Span L.
命题:S是向量有序集,v是任意向量且S' = (S,v),那么Span S = Span S'当且仅当v属于Span S.
定义:V是有限维的,如果存在有限集合S ,Span S = V.
3.13 任意张成V的有限集S包含一个基.于是任意有限维向量空间有基.
这里用不断删除S中元素的方法得到一个线性无关组.
注意到如果V是{0}那么删除会有问题.
于是补充定义:
空集线性无关
空集张成{0}.
命题:设V是有限维向量空间.任意线性无关的集合L可以通过添加元素扩张成一组基.
命题:设S,L是V的有限子集,S张成V而L线性无关.则S的元素至少于V一样多.
证明是把L的所有元素用S来表示,然后解方程.
命题:有限维向量空间中两个基有相同多元素.
用上一命题证明.
定义:有限维向量空间的维数是一个基中元素的个数,记为dim V.
如果S张成V,那么|S|&=dim V.
如果L线性无关,那么|L|&=dim V.
两个等号当且仅当它们是基的时候成立.
命题:有限维向量空间V的子空间W是有限维的.
证明:从空集(线性无关)开始,向里面添加向量,直到构成W的基,设为L.因L线性无关,所以|L| &=
dim V.说明L是有限的,说明W是有限的.
推论:dim W &= dim V ,等号当且仅当W=V成立.
命题:任何有限维向量空间V和F^n(n = dim V)同构.
考虑V的一组基B = (v1,...,vn)
构造一一映射(a1,...,an)属于F^n &-& a1v1 +
a2v2 + ... + anvn.
这说明任何有限维向量空间可以把它拽到F^n中研究.
4.用基计算
在V中任意一个向量,可以用基B = (v1,...,vn)的唯一线性组合表示.
v = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn
把(x1,...,xn)称为v在基B下的坐标.
命题:假设B是F^n中的基,并且Y是F^n中的向量,那么Y在B下的坐标是
X = B^(-1) Y.就是B取逆然后左乘Y.
命题:在F^n中,一个矩阵A可逆当且仅当A的列向量构成F^n的一组基.
命题:设S = (v1,..,vm)和U = (w1,...,wn)是V中的有序集.U中所有元素属于Span
S当且仅当存在一个m*n的标量矩阵A使U = SA.
考虑两个基B1,B2还有一个向量v在B1,B2下的坐表X1,X2.它们之间有什么关系?
考虑B2中每个向量是B1的线性组合,于是存在n*n矩阵P,B2 = B1 * P.
P可逆,因为B1 = B2 * P',B1 = B1 * P * P'.于是B1 = B1 * (P * P')由矩阵的定理知P *
P' = I 由定义知P' = (P的逆)
于是v = B2*X2 = (B1 * P) * X2 = B1 * (P * X2).
于是X1 = (P * X2).
注意B2 = B1 * P,X1 = P * X2.
如果B1是标准基E,那么P = (B2的逆).
同样,对于任何一个n*n可逆阵,由一个基B可以得到新的基B' = B*P.
于是,所有基都是某个基B乘上可逆阵P的形式.
计算群GL2(Fp)的阶:
把GL2(Fp)当成Fp^2的一个有序组(v1,v2).
对于v1,我们可以选择p*p -
1个(不能选0)向量中任意一个,对于v2,只要不是v1倍数就好.于是v1倍数共有p个(嗯嗯).因此v2有p*p -
p个可选使(v1,v2)线性无关.总共给出了p(p+1)(p-1)^2个V的基.
因为GL2(Fp)的元素和Fp^2的基数量一一对应,于是GL2(Fp)的阶就是p(p+1)(p-1)^2
5.无限维空间
有的向量空间无法用有限向量集张成,它们被称为无限维空间.
考虑(a) = (a1,a2,.......)看作实数序列的空间.
这个空间有很多子空间:
所有收敛的(a)
所有有界的(a)
(a)构成的级数绝对收敛的所有(a)
只有有限项非零的(a)
定义:无限集S的张成是如下形式v的集合:
v = c1v1 + ... + crvr ,其中v1,...,vr属于S.并且整数r可以任意大.
记作Span S.
比如ei = (0,0,...,1,0....)第i项是1.
所有的ei的集合可以张成一个空间,但是不是刚刚提到的实数序列的全体.
定义:S线性无关,如果
c1v1 + ... + crvr = 0 (整数r任意大) 蕴涵c1 = ... = cr = 0 .
命题:设V是有限维的,并且S是张成V的任意集合,则S中有一个张成V的有限子集.
证明:因V有限维,所以有(w1,...,wn)张成V,然后把V中的元素用S的线性组合表示.由定义知只用了S的有限项,说明这有限项张成V.
考虑V的子空间W1,W2,.....,Wn.
考虑V中向量v,它可能可以写成和v = w1 + ... + wn,其中wi属于Wi.
那么所有v构成的集合称为子空间的和或者张成,记为
W1 + W2 + ... + Wn
这个和也是V的子空间.它是含有W1,...,Wn的最小子空间.
子空间W1 ... Wn是"无关"的,如果
w1 + ... + wn = 0,其中wi 属于 Wi,蕴涵了w1 = ... = wn = 0.
如果张成整个空间且无关,那么称V为W1,...Wn的直和.
单个子空间无关
两个子空间无关当且仅当他们的交是(0)
设W1,...,Wn是有限维向量空间V的子空间,且Bi是Wi的基.
(a)将Bi有序排起来的有序集B是V的基,当且仅当V是所有Wi的直和.
(b)dim(W1 + ... + Wn) &= dim W1 + dim W2 + ... + dim
Wn,等号当且仅当Wi是无关的.
设W1,W2是有限向量空间V的子空间.
则dimW1 + dimW2 = dim(W1交W2) + dim(W1 + W2)
证明:W1交W2也是子空间,有基B0 = (u1,...,un)
因B0在W1和W2中线性无关,分别把它们扩张成W1和W2的基
B1& = (u1,...,un,x1,...,xm)
B2& = (u1,...,un,y1,...,yr)
如果能证明B =(u1,...,un,x1,...,xm,y1,..,yr)是W1 + W2的一组基,那么就等式成立.
考虑B的线性组合为零时,不妨缩记为u + x + y = 0.则y = - u - x.则- u -
x属于W1(因为u和x共同构成W1的基),且- u -
x属于W2(因y属于w2)于是y属于W1交W2.于是y是(u1,...,un)的线性组合.记为u',则-u' + y =
0.而u和y线性无关,故知u' = y = 0.则u + x = 0.因u和x线性无关,则u = x =
0.所以B线性无关.并且B能组合出所有的W1+W2的向量,所以B是W1+W2的基.
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。习题1.11.解：除了由一个零向量构成的集合{θ}可以构成线性空间外，没有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（kα有无限多个，k∈p数域）.2.解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两.3.解：⑴不是，因为当k∈Q或数乘kα不封闭；⑵有时，数乘kα不封闭.⑶是；⑷是；⑸是；⑹.4.公理.5.解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6.解：（1）设A的实系数多项式f(A)的全体为{f(A)=aI+aA+La 1mAmai∈R,m正整数}显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7.解：是线性空间.不难验证sint，sin2t，…，sinnt是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知1ci=π∫2π tsinitdt.8.解：⑴不是，因为公理2')α=(3,4),则(r+s)o(3,4)=(9,4),而ro(3,4)⊕s⊕(6,4)=(9,8),所以(r+s)oα≠roα⊕soα.⑵不是，因为公理1α=(1,2),β=(3,4),则α⊕β=(1,2)⊕(3,4)所以α⊕β≠β⑶2')不成立：设r=1,则(r+s)o(3,4)=(27,36)而s=2,α=(3,4),β⊕α=(3,4)⊕(1,2)=(3,4),roα⊕soα=1o(3,4)⊕2o(3,4)=(3,4)⊕(12,16)=(15,20),于是(r+s)oα≠roα⊕soα.⑷是.9.证若α,β∈V，则2(α+β)=2α+2β=(1+1)α+(1+1)β=(1α+1α)+(1β+1β)=(α+α)+(β+β)=α+(α+β)+β另一方面，因此从而有2(α+β)=(1+1)(α+β)=(1α+1β)+1(α+β)=(α+β)+(α+β)=α+(β+α)+βα+(α+β)+β=α+(β+α)+β，(-α)+α+(α+β)+β+(-β)=(-α)+α+(β+α)+β+(-β)于是得α+β=β+α.10.11.即由于系数行列式不等于零，那么只有k1=k2=k3=0时,上述齐次式才对?x成立，所以x2+x,x2-x,x+1线性无关，且任二次多项式ax2+bx+c都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基.令得k1=3,2x2+7x+3=(k1+k2)x2+(k1-k2+k3)x+k3k2=-1,k3=3,即坐标为(3,-1,3).12.解：⑴因为(β1,β2,β3,β4)=(α1,α2,α3,α4)C,C=(α1,α2,α3,α4)-1(β1,β2,β3,β4)100001000010-2010-11 21-11==.⑵显然，向量α在基α1,α2,α3,α4下的坐标为X=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4),设α在基β1,β2,β3,β4下的坐标为Y=(η1,η2,η3,η4),则TT⑶,求.13.解：(1)对k=1,2,L,n；l=k,k+1,L,n令Fkl=(aij)n×n，其中akl=1，其余的aij=0，则{Fkl}为上三角矩阵空间的一组基，维数为1n(n+1).2（2）R+中任意非零元素都可作R+的基，dimR+=1.（3）I，A，A2为所述线性空间的一组基，其维数为3.14.解：（1）由已知关系式求得?β1=4α1+8α2+α3-2α4?β=-2α-4α+α4?212??β3=α1+2α2??β4=α2+2α3于是，由基（I）到基（II）的过渡矩阵为?4-210??8-421??C=??1002???-2100??（2）α在基（II）下的坐标为（2，-1，1，1）公式计算α在基（I）下的坐标为C（2，-1，1，1）T=（，-5）T.（3）不难计算得det（1·I—C1是C的特征值.不妨取过渡矩阵Cη，则有Cη=1·η，那么α=β1,β24)0，再由坐标变换公式知，α在基（I）下的坐标为，即存在非零α∈V4，使得α在基（I）和基（II.15.解：不难看出，由简单基E11，E12 ，E21，E22改变为基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为?2?1C1=??0??10-21121221?3??，1??2??11-1-1??2-12-1??C2=??-1110???0111??则有（B1，B2，B3，B4）=（E11，E12，E21，E22）C2=（A1，A2，A3，A4）C1-1C2故由基（I）改变到基（II）的过渡矩阵为?01-11??-11?00-1?.C=C1C2=??0001???1-11-1??16.解：（1）由简单基1，x,x2,x3改变到基（I）和基（II）的过渡矩阵为?1111??111??，C1=??11???1???1?0C2=??1??1????故由基（I）改变为基（II?1-1?-1-1C=C1C2=??10?1??1-1??01?（2）设f(x)∈[3基（I）和基（II）下的坐标分别为α=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)1,η2,η3,η4)，则有α=Cβ且α=β，即有TT(I-C)β=β=k(0,0,1,0),k∈R.于是，在基T（If(x)=(g1(x),g2(x),g3(x),g4(x))β=kg3(x)=k+kx+kx2.17.解：⑴设Rn的子集合为L，对任意α∈L，有α=(a1,a2,...,an),∑ai=1ni=0，对任意α,β∈L，α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn)有α+β=(a1+b1,...,an+bn),∑(ai=1nni+bi)=∑ai+∑bi=0i=1i=1nn又kα=(ka1,...,kan),∑kai=1ni=k∑ai=0,所以α+β∈L,kα∈L,i=1因此L是V的子空间.⑵对任意α,β∈L，α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn),有∑ai=1ni=1,∑bi=1ni=1nnn故α+β=(a1+b1,...,an+bn),∑(ai=1i+bi)=∑ai+i=1i=于是可知α+β?L，因此L不是V的子空间.18.解：Span(α1',α2',α3')的基为'2'3'''α1',α2,α3在基α1,α2,α3(1,-2,3)T,,,2)T,(4,13,0)T'',α3(1,-2,3)T,(2,3,2)T.因此，α1',α2α1',α2'，即Span(α1',α2',α3')的一个基为α1',α2'.19.解1）因为0n×n∈V1，所以V1非空.设A，B∈V1，则有AP=PA，BP=PB.又因为（A+B）P=AP+BP=PA+PB=P（A+B），（kA）P=k（AP）=k（PA）=P（kA）子空间.?10??00?（2）取A=??，B=?01?，则detA=detB=0，从而A∈V1，00????（k∈R），所以A+B∈V1，kA∈V1，故V1是Rn×n的?10?B∈V1，但A+B=?，det(A+B)≠0，所以A+BV1，故V1不是子??01?空间.?20??40?2又A=A，从而A∈V2，2A=??，(2A)=?00?≠2A，所以00????22AV2，故V2也不是子空间.20.证：因为（2，-1，3，3）=（-1）（1，1，0，0）+30，1，1），（0，1，-1，-1）=（1，1，0，0）+，0，0，1）.21.解：(1)设A=???x1?x1x?1AP=PA可得齐次方程组4-x3=0-3x4=0-x3=03x3=01，-3，0，0）T，（1，0，0，1）T，从而V1的基为?1-3??10?A1=??，A2=?01?，00????dimV1=2.?k1+k2(2)V1的矩阵一般形式A=k1A1+k2A2=??0-3k1?(k1,k2∈R).k2??22.证：若V1的维数为0，则V1与V2都是零空间，当然相等；若V1的维数是m≠0，由于V1?V2，故V1 的任一组基e1,e2,L,em都是V2的线性无关组.又因V2与V1的维数相同，故这个线性无关组也是V2的一组基，即V1与V2有相同的基，因此V1=V2.23.解：设α=(a1,a2,a3,a4)∈VIW，则有a1-a2+a3-a4=0,a1+a2+a3+a4=0由此相加或相减可得a1+a3=0，a2+a4=0，从而a1=-a3a2=-a4，故得α=(a1,a2,-a1,-a2)=a1(1,0,-1,0)+a2(0,1,0,-1).但（1，0，-1，0），（0，1，0，-1.24.解：（1）设A=(aij)2×2，Bb2×2∈V，则a11+a22=0，b11+b22=0,因为A+B=(aij+bij)2×2+b11)+(a22+b22)=0，kA=(kaij)2×2，(ka11)+(ka22)=0，所以AVkA∈V，又02×2∈V，所以V是R2×2的子空间.（2VA1=??10??01??00?，A=，A=它们线性无23??????0-1??10??10?关.因为a11+22=0即a22=-a11，于是A=a11A1+a12A2+a21A3，因此，V的一组基为A1，A2，A3，从而dimV=3.25.解：（1）dimSpan{α1,α2,β1,β2}=3,dimSpan{α1,α2}=2,dimSpan{β1,β2}=2故交的维数为2+2-3=1，交的一组基为（-5，2，3，4）T，和的维数为3，{α1,α2,β1}为一组基.（2）dimSpan{α1,α2,α3,β1,β2}=4,dimSpan{α1,α2,α3}=3,dimSpan{β1,β2}=2故交的维数为1，基为β1；和的维数为4，{α1,α2,α3,β2}为一组基.26.证：（1）设α,β∈V1，且α=∑xiei=∑xiεi,β=∑yiei=∑yiεii=1i=1i=1i=1nnnn则α+β=∑(xi+yi)ei=∑(xi+yi)εii=1i=1nnkα=∑kxiei=∑kxiεii=1i=1nn（k即α+β与kαα+β∈V1，kα∈V1，故V1是子空间.（2）因Vei(i=1,2,L,n)在e1,e2,0，…，0，1，0，…，0）它也应为ei在ε1,ε2,,nei=1εi=εi(i=1,2,L,n).27.证：设V1=A=(aij{)2×2aij=aji,aij∈R,}}V2=B=(bij)2×2bij=-bji,bij∈R{容易验证V1与V2都是V的子空间.对任意C∈V有C=11C+CT+C-CT22()()且11C-CT∈V1,C-CT∈V22()()2，所以V=V1+V2.因为D=(dij)2×2∈V1IV2=>D∈V1且D∈V2=>dij=dji且dij=-dji=>dij=0(i,j=1,2)即D=0，所以V1IV2={0}，则V=V1⊕V2.28.基α1=，…，αn-1=（xn=1，便得V2n故α1,α2,L,αn-1，β为Pn的一组基，且有Pn=V1⊕V2.29.证：设V是n维线性空间，e1,e2L,en为基，则L(ei)都是一维子空间（i=1，2，…，n），且有L(e1)+L(e2)+L+L(en)=L(e1,e2,L,en)=V.又因e1,e2,L,en是基，零向量θ表示式惟一，故这个和是直和，即L(e1)⊕L(e2)⊕L⊕L(en)=V.习题1.21.解：因为对R2的任一向量(x1,x2)，按对应规则惟一确定的向量与之对应，所以(1)关于x轴的对称变换；(2)关于y轴的对称变换；(3)关于原点的对称变换；(4)到x轴的投影变换；(5)到y轴的投影变换.是R2的一个变换.都有R2中2.解：(1)不是.因为≠k1(k12)＝k1α1+k2α2+β2(α2)=k1(α1+β)+k2(α2+β)1+k2α2+(k1+k2)β(2)11+k2α2)＝β≠k1(α1)+k2(α2)=(k1+k2)β不是.因为取x=(1,0,0),(kx)=(k2,0,0)≠kk≠1时,(x)=k(1,0,0)=(k,0,0)(4)是.因为设x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)(k1x+k2y)=k1(2x1-x2,x2+x3,x1)+k2(2y1-y2,y2+y3,y1)=k1(5)是.因为=k1(x)+k2(y)(k1f1(x)+k2f2(x))=k1f1(x+1)+k2f2(x+1)(f1(x))+k2(f2(x))(6)是.因为=k1(k1f1(x)+k2f2(x))=k1f1(x0)+k2f2(x0)(f1(x))+k2(f2(x))(7)不是.因为设x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)(k1x+k2y)=(cos(k1x1+k2y1),sin(k1x2+k2y2),0)≠k1(x)+k2(y)=k1(cosx1,sinx2,0)+k2(cosy1,siny2,0)=(k1cosx1+k2cosy1,k1sinx2+k2.3.解：1(α+β)=1[(x1+y2,x2+2+y2,-x1-y1)1=(x2,-x1)+(y2,-y1)1(α)+1(β)1(kα)=1(k(x1,x2,-kx1)=k(x2,-x1)=k2(α)所以1是线性变换.(1也是线性变换.2+2α(=11+)[(x1,x2)]2[(x1,x2)]+[(x1,x2)]=(x2,-x1)+(x1,-x2)=(x1+x2,-x1-x2)12(α)=1［2(α)］=1[(x1,-x2)]=(-x2,-x1)21(α)=2［1(α)］=2[(x2,-x1)]=(x2,x1).4.证：（1）因(A+B)=C(A+B)-(A+B)C=(CA-AC)+(CB-BC)=(A)+(A)(B)(kA)=C(kA)-(kA)C=k(CA-AC)=k故是线性变换.（2）(A)B+A(B)=(CA-AC)B+A(CB-BC)=CAB-ABC=(AB)5.解：令??aa+b??cc?(a,b,c)∈R3即可.?6.证：设f(x)∈p[x]n，则(12-21)(f(x))=1［2(f(x))2［1(f(x))］=1［xf(x)2［f(x)］=f(x)+xf′x)=f(x)故12－21.7.α2α=k1e1+k2e2，由于2e1)+2(e2)=2(e'1+e2)=e1+e'22(e1)－2(e2)=2(e－e'12)=e1－e'2所以，2(e'1)=e1,2(e'2)=e2于是1(α)=k11(e1)+k21(e2)=k1e1′+k2e′2=k12(e1)+k22(e2)=2(α)故1=2.8.解：(1)因为i,j在xoy平面上，其投影不变，故有(i)=i,(j)=j,又k垂直xoy平面，则(k)=0,得100((i),(j),(k))=(i，j，k)01000010所求矩阵为A=010.00所以,2-10有((i),(j),(k))=(i,j,k)011100-10所求矩阵为A=01100(4)据题设：(f(t))=f'(t)则于是((x0019.解：(1)(e3,e2,e1)=(e1,e2,e3)010=(e1,e2,e3)C100a33a32a31所求矩阵为B=C-1AC=a23a22a21a13a12a11100(2)(e1,ke2,e3)=(e1,e2,e3)0k0=(e1,e2,e3)C00111ka12a13所求矩阵为B=C-1AC=a21aa2322k31ka32ak33100(3)(e1+e2,e2,e3)=(e1,e2,e3)110=(e1,e2,e3)C001所求矩阵为B=C-1AC11所以，所求矩阵为??23-1??101??.12.解：(η1,η2,η3)=(ε1,ε2,ε3)-111011-1-1(ε1,ε2,ε3)=(η1,η2,η3)110B=C-1AC=1011-11-=(η1,η2,η3)C-110-11011-1113.故在基{ei}下的矩阵就是C.(3)((η1),=((η2),(e1),(η3))=(η1,η2,η3)=(e1,e2,e3)C(e2),(e3))C=(η1,η2,η3)C故在基{ηi}下的矩阵仍为C.14.解：（1）由于?()E=111?a0?=aE11+cE21??0c??0a?1(E12)=??=aE12+cE220c???()E=121?b0?=bE11+dE21??d0??0b?1(E22)=??=bE12+dE220d??故1在该基下的矩阵为?a?0A1=??c??00ba00dc00?b??0??d?类似地，可得?ac00??bd00???.2A2=?00ac????00bd?1由于3=3在该基下的矩阵为abbc??b2bd?adcd?2?bdd???a2ac?abadA3=A1A2=??acc2???bccd同理，可得4在该基下的矩阵为?a02b0??0a02b??A4=??2c0a0????02c0a?（2）由于由简单基E11，E12，E21，E22改变为给定基E1，E2，E3，E4的过渡矩阵为?1?0C=??0??-1??100?于是，4在给定基下的矩阵为?a?0-1B=CA4C=??c??-c02b-2b?a2c2c??ba0??b0a?15.解：(（1(e1),(e2),?121??101??(ε,ε)?110?213(e3))?123??????3?011??即1??121???213?(e1,e2,e3)=(ε1,,310?????011????324??-1=(ε1ε2,ε3)B由于(ε1,ε2,(2,e3)C，所以有(ε12,3)故(e1,e2,e3)C=(ε1,ε2,ε3)BC1??-32?A=BC=?-553????6-5-2??（2）因为(ε1)=?1??1??=(ε,ε,ε)A?0?(ε1,ε2,ε3)?0123???????0???0???1??3??=(e,e,e)?5?=(e1,e2,e3)CA?0123???????0???9??所以(ε1)在基（I）下的坐标为（3，5，9）.16.解：（1）取p[x2]的简单基1，x，x2，则有?201?(f1,f2,f?3)=(1,x,x2)A0=(1,x,x2)??011???101??从简单基改变到基f1，f2，f3和g1，g2，g3的过渡阵分别为?101??110?C?1=??012，C???-101?2=??225?????012??故有(g-11,g2,g3)=(1,x,x2f1,f2,f3)C1C2=(1,x,x2)A1g-1101,g2,g3)C2A0C-1C2即在基（II）下的矩阵?12-2?A-1-1?1-12?201C2=????01-1??()??1?（2=1,x,x2?2??1?=(g1,g2,g3)C-1?22??3????????3???-2?=(gg??3?1,2,g3)?0????所以?(f(x))=?-2??-2?(g1,g2,g3)?3?=(g1,g2,g?3)A????3?0?????0??=(g1,g2,g3)?4??-5?=-1-x+x2.????3??17.证：设在给定基下的矩阵为A=(aij)，并设C为从旧基到在任一组基下的矩阵相同，则有新基的过渡矩阵，由于A=C-1AC，即AC=CA，根据“A与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出18.阵为故+，??-1206????.B(A+B)=????78120-36???2??-46???，BA=?-2260?6???1434-12??19.证：设有可逆方阵P与Q，使B=P-1AP,D=Q-1CQ则BΟP-1APΟP-1AΟ=-1ΟDΟQΟQ-1ΟCPΟΟQ=AΟΟCBΟΟDPΟΟQ1AΟΟCPΟΟQ即与相似.20.证：设rankA=r1，rankB=r2，则A，B组中分别含有r1,r2个行向量，设分别为α1,L,αr1和β1,βr，则A的每个行向量均可由α1,L,αr1线性表示，Bβ1,L,βr2线性表示.又可A+B的每个行向量是A与故A+B的每个行向量均可由α1,L,αr1，β1,L,.因此A+B的行向量r1+r2，即B)≤rankA+rankB.21.=r,B=(β1,β2,L,βn)，则(β1,β2,L,βn)=(Aβ1,Aβ2,L,Aβn)=0，所以Aβ1=θ，Aβ2=θ，…，Aβn=θ.这就说明B的列向量β1,β2,L,βn都是以A为系数矩阵的齐次方程组的解.由于rankA=r，所以解空间的维数为n-r，从而知β1,L,βn的极大无关组所含向量的个数≤n-r，即rankB≤n-r，因此有rankA+rankB≤r+n-r=n.22.证：设A，B为同一数域上的m×n与n×g阶矩阵，显然，方程组BX=θ的解向量X也满足方程组(AB)X=θ，记U={XBX=θ}，V={X(AB)X=θ}则U?V，于是dimU=n-rankB≤n-rank(AB)=dinV即rank(AB)≤rankB.又由于rank(AB)=rank(AB)T=rank(BTAT)≤rankAT=rankA因此23.证明rank(ATθ，所以AX=即有即有rankA=rankATA=rankAAT.注：对复矩阵A，上式不一定成立.例如A=?AT?1i?,rankA=1.由于??-i1?0?0???1A=??i-i?1???1?-i?i??0=?01???故rank(ATA)=0.此时，相应的关系式应为rankA=rank(AA*)=rank(A*A).24.证：必要性.由上题已证得，充分性只要在AX=θ两边左乘AT即可.25.证：（1）因为rankA=n，故m≥n，不妨设A的前n行线性无关，且构成的n阶满秩方阵为A1，后m-n行构成的矩阵为A2，则?A1B??A1?AB=??B=???A2??A2B?所以rank(AB)≥rank(A1B)=rankB，但rank(rankB，故rank(AB)=rankB.（2）同理可证.26.解：（1）A=??1???-1-1?B=??；00???02?B=??；00???00?B=??.01??（2），0?A=??10??，00??27.证：因为rankC=rank(AB)≤min(rankA,rankB)≤min(m,n)，但m>n，故m阶方阵C的秩≤n<m，所以C是降秩的.28.解：先求矩阵A的特征值和特征向量为λ1=λ2=1，α1=(3,-6,20)Tλ3=-2,α2=(0,0,1)T故的特征值和特征向量为λ1=λ2=1，λ3=-2，k(3e1-6e2+20e3)，k≠0ke3，k≠0.29.解：（1）λ1=λ2=1，α1=(1,0,1)T，α2=(0,1,0)T，λ3=-1，α2,3=6(（3)T；（4，α3=(1,征向量.30.解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵P分别为?101??；010（1）?????10-1???36+i6-i???（2）?-1-2+3i-2-3i?;?2-10-10????1?1（4）??0????.10-1??01-1?31.证：设detA=在给定基下的矩阵为A，则∏nλi≠0λi≠0(i=1,2,L,n)i=132.证：设rankA=r，则存在满秩矩阵Q，使得PAQ=diag(Ir,0)，故有PABP-1=PAQQ-1BP-1=Ir其中C=Q-1BQ-1=(Cij)，这说明ABIr,0）相似.另一方面，有Q-1BAQ=PAQ=Cdiag(Ir,0)，说明BA与Cdiag(Ir,0)相似.det(r,0)C)=det(λI-Cdig(Ir,0))故AB与BA.33.证：设A的任一特征值为λ，λ的对应于λ的特征子空间记为Vλ.对Vλ中任意向量Z有ABZ=BAZ=BλZ=λBZ故BZ∈Vλ，因此Vλ为线性变换(Z)=BZ的不变子空间，即(Z)=BZ为Vλ中的线性变换，此线性变换的特征向量即为B的特征向量，但它又属于Vλ，由Vλ的定义知它又是A的特征向量，即A与B有公共的特征向量.234.证：设A的特征值为λi，则A2的特征值为λ2i，由λi=1有λi=±1，若所有λi=1，则A+I为满秩矩阵，故由（A+I）（A-I）=A2-I2=0，有A=I.35.证：不失一般性，设B非奇异，有AB=B-1（BAB即AB与BA相似，所以它们有相同的特征多项式.36.证：设A为nrA2=A，知A的列向量都是A的对应于特征值1因rankA=γ，故特征值1的几何重复度为rr.又AX=θ的基础解系中的向量个数为n-r，即A0的几何重复度为n-r，其代数重复度不小于n-r.n，故特征值1r和n-r.可见A除了1和0外无1和0的几何重复度之和为n，故A为非亏损矩阵，所以A相似diag(Ir,0).37.证：用反证法.若A可相似于对角矩阵，对角元素即为A的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于Aα=λα，于是Akα=λkα=θ，因为α≠θ，所以λk=0，故λ=0，即A的特征值都等于0，矛盾.38.证：由AX=λX，有A(kX)=kλX，AkX=λkX，从而有f(A)X=f(λ)X，即X也是f(A)的特征向量.显然f(A)的特征值为f(λ)，即为λ的多项式.39.解：取R3中的自然基ε1,ε2,ε3，计算得(ε1)=(0,-2,-2),则(ε2)=(-2,3,-1),(ε3)=(-2,-1,3)在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为?0-2-2??A=?-23-1????-2-13??而A的特征值为λ1=λ2=4,λ3=-2，应的特征向量为X1=(-1,2,0)，X2=(-1,0,2)，1,1)，则有TTTC-1AC=Λ,4,-2)，?-1-12??.α,α)=（ε,ε,ε）C求得R3的另一201其中C=?23123????00组基为α1-ε2=(-1,2,0)，α2=-ε1+2ε3=(-1,0,2)，α3=2ε1+(2,1,1)，显然在该基下的矩阵为对角阵Λ.40.解：（1）因为所以(1)=x+x2，(x)=1+x2，(x)=1+x，2?011??.101在基1，x，x2下的矩阵A=?????110??（2）由于A原特征值为λ1=λ2=-1，λ3=2，相应的特征向量为X1=(-1,10)，X2=(-1,01)，X3=(1,11)，存在可逆阵TTT?-1-11??-1??，使C-1AC=A=??，故所求的基e,e,e为C=?101-1123??????2??001????(e1,e2,e3)=(1,x,x2)C=(-1+x,-1+x2,1+x+x2).41.解：（1）对任意的α,β∈V及k,l∈R，有(kα+lβ)=BT(kα+lβ)-(kα+lβ)TB=kBTα-αTB+lBTβ-βTB()()=k(故是线性变换.（2）取V的简单基?10?A1=??,0-1??(α))+l((β))?01?A2=??,00?00?A3??10??0-1?(A3)=?,??10?由于所以(A1)=??0-1?,??10?1??,??-10?在基A1,A2,300??0?=?-11-1????1-11??Rλ1=λ2=0,λ3=2，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T，（0，1，1）T，（0，1，-1）T，令?100??0??，Λ=?0?C=?111??????2??01-1????则有C-1RC=Λ，由（B 一组基为1，B2，B3）=（A1，A2，A3）C求得V的另，?11?B1=A1+A2=???0-1?，?01?B2=A2+A3=???10??01?B3=A2-A3=?，??-10?在该基下的矩阵为Λ.42.证：（1）取Vn的一组基e1,e2,L,en，设1（e1,e2,L,en）=（e1,e2,L,en）A（e1,e2,L,en）=（e1,e2,L,en）B22则有(由12(11)（e1,e2,L,en）=（e1,e2,L,en）（AB）)（e1,e2,L,en）=（e1,e2,（A+B），可得AB=A+B，从而有T+BT.++2=112若1是的特征值，则1也是A1也是AT的特征值，设AT对应于特征值1特征向量为β，即ATβ=β(β≠0)，由（BTAT）βT）β，可得BTβ=β+BTβ，1即β=0，这与β是AT1不是（2）因特征向量.记向量为X1的特征值.1有n个线性无关的1λ1,λ2,L,λn的线性无关的特征1Xn，即Xi=λiXi（i=1，2，…，n），则X11，X2，…，XnVn的基时，再由AB=A+B及λi≠1知的矩阵A=diag（λ1,λ2,L,λn）.?λ1λn?λ2-1?B=(A-I)A=diag?,,L,?λ-1λ-1λn-1?2?1?即1与2在该基X1，X2，…，Xn下的矩阵都为对角阵.43.证：对任意α∈Vλ，有 1(α)∈λ0α.由于1( 2(α))= 2(21(α))=2(λ0α)所以2(α)∈Vλ,故Vλ是的不变子空间.44.解：(1)Q(e1',e'2,e'3,e'4)=(e1,e2,e3,e4)C10-230-11-1=(e1,e2,e3,e4)(x1,x2,x3,此时A2,0,1),作η1=一组基，故核由η1,η2所张成，即再求值域((V4).由于(e2),(e1),(e3),(e2),(e4))=(e1,e2,e3,e4)A(e3),(e4)的秩也为２，且-1(θ)的(θ)=Span(η1,η2).(e1),而A的秩为２，所以(e1),(e2)线性无关，故组成(V4)=Span((V4)的基，从而(e1),(e2)).(3)由(2)知η1,η2是核-1(θ)的一组基，易知e1,e2,η1,η2为V4的一组基，由于有10-2-1(e01-3-21,e2,η1,η2)=(e1,e2,e3,e4) 0210=(e1,e2,e3,e4)D0001所以在此基下的矩阵为(e1),00202120所以45.证：取R3中的自然基ε1,ε2,ε3，因为(+)(ε1)=(ε1)+(ε1)=（1，0，0）+（0，0，1）=（1，0，1）同理有0001((这表明+++)(ε2)=（2，0，0），)(ε3)=（1，1，0）将基ε1,ε2,ε3变换成R3中的另一组基e1=（1，0，1），e2=（2，0，0），e3=（1，1，0）（易证它们线性无关）.又因（+）（R3）是R3的子空间，而e1,e2,e3是（+）（R3）的最大无关组，故这个子空间的维数为3，再由习题1.1中第22题的46所以因此，，其一组基为（0，1，0），（0，0，1）.47.证：（1）由它为线性变换.又因2的定义容易验证满足可加性和齐次性，所以[(x1,x2,L,xn)]=…[(0,x1,L,xn-1)]=(0,0,x1,L,xn-2)，推知n[(x1,x2,L,xn)]==(0,0,L,0)，即n=?（零变换）.（2）若[(x1,x2,L,xn)]=(0,x1,L,xn-1)=(0,0,L,0)，-1则x1=x2=…=xn-1=0即(θ)为由一切形如（0，0，…，xn）的向量构成的子空间，它是一维子空间，则（0，…，0，1）是它的基.又由维数关系dim便得(V)+dim-1(θ)=n(V)的维数等于n-1.48.证：（1）必要性.若(α)∈(α)=(V)=(V)∈V，则(α)=(β)，（V）=2(V)，故存在β∈(β)=(β)=(α)=.同理可证充分性.若(α)===(α.,(V).-1=(α))∈,对任(V),故(α)∈(V)?V，(V)；(V)?同理可证((2).（β-β-(β)=(β)∈(β)）=-1(θ)=(β)--1-1(θ)，对任β∈V,作β-2(β)，因(β)=(β)-(β)=θ，所以，(β)）=θ，故(θ)=(θ)，则（β-=.(β)，由β的任意性有(β)，可得同理，通过作β-充分性.若(α)=(α)==.-1=（,=(α)）=,对任α∈（θ）=θ，故(θ)，由-1(θ)?-1(θ)；同理，由任β∈-1(θ)，可得-1(θ)?-1(θ).百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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