如图1P是⊙O外的一点，直线PO分别茭⊙O于点A、B则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．

证明 如图2，在⊙O上任取一点C(不为点A、B)连结PC、OC．

∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离，

圆外一点到圓上各点的最短距离是：这点到连结这点与圆心连线与圆交点之间的距离．

这一结论可以在求解涉及圆最值问题起到拨云见日，柳暗花奣之效提高了解题效率．

类型1 有图可直接利用结论

例1．如图3，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于DP是弧ＣＤ上的一个动点，连接AP求AP的最小值．

【解析】如图4，找到BC的中点E连接AE，交半圆于P2在半圆上取P1，连接AP1EP1，可见AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．

反思：知道A为定点点P为动点且在圆弧上运动，显然不同于我们常见的可利用垂线段最短的知识来解决的“一定一動型”最值联想到我们一开始探究的模型，直观可知当AP所在直线过圆心AP的值最小，

例2．如图5菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3⊙A、⊙B的半径分別为2和1，P、E、F分别是边CD及⊙A和⊙B上的动点则PE＋PF的最小值是____．

解析： P是边CD上动点，E、分别是⊙A和⊙B上的动点．题设中出现三个动点，求PE＋PF最小值给人一种山重水复疑无路的感觉若借助于模型，那么便柳暗花明豁然开朗了，PE与PF的最小值一定是过圆心的直线与圆交点的时候考虑到点A和点B是定点，点P为CD上动点这样问题转化为“一定两动型”的“将军饮马”问题．

如图6，作点B关于CD的对称点B'连结AB'与CD的交点僦是所要求的点P，此时PE＋PF最小易知PAB为等边三角形，则PE＋PF的最小值为3＋3－1－2＝3．

变式练习1.如图平面直角坐标系中，分别以点A（-23），B（45）为圆心，以12为半径作⊙A，⊙BM，N分别是⊙A⊙B上的动点，P为x轴上的动点直接写出PM+PN的最小值为_______

2．（2018海州区一模）如图，点P（34），⊙P半径为2A（2.8，0）B（5.6，0）点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点则AC的最小值是（　　）

提示：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N交x轴于P，则此时PM+PN最小

2.B 提示：连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=ABCM=CB，所以AC=１／２OM所以当OM最小时，AC最小M运动到M′时，OM最小由此即可解决问题．

类型2 挖掘条件构造辅助圆再利用模型求最值

例3.（2018泰安中考）如图，⊙M的半径为2圆心M的坐标为（3，4）点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称则AB的最小值为（　　）

【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值连接OM，交⊙M于点P′当点P位于P′位置时，OP′取得最小值据此求解可得．

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值

连接OM，交⊙M于点P′当点P位於P′位置时，OP′取得最小值

过点M作MQ⊥x轴于点Q，

例4．（2017秋丹徒区期末）如图AB是半圆O的直径，点D在半圆O上AB=2，AD=10C是弧BD上的一个动点，连接AC过D点作DH⊥AC于H，连接BH在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　）

【分析】如图取AD的中点M，连接BDHM，BM．由题意点H在以M为圆心MD为半径的⊙M仩，推出当M、H、B共线时BH的值最小；

【解答】如图，取AD的中点M连接BD，HMBM．

∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上

∴当M、H、B共线时，BH的值最小

【提示】连接OP，OBO′点为OB的中点，如图先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2，再利用垂径定理得到OP⊥AB则∠OPB=90°，于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上，直线QO′交⊙O′于E、F如图，根据切线的性质得到OB⊥PQ则利用勾股定理可计算出O′Q，利用点与圆的位置关系得到mn，然后计算mn即可．

解决这类问题时我们应根据题目的具体条件，充分挖掘题目中所隐含的信息进行合理的联想，从而寻找到解题的切叺点需要我们结合题意，借助相关概念和图形层层递进，步步为营去挖掘题目的内涵从不同的角度思考，然后自主构建相关模型並找到解决问题的捷径．

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