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哪位高手知道下面的图所用到的数学知识??
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工程师, 积分 805, 距离下一级还需 195 积分
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高手们好,下面的图是我安照一位高手的方法画的足球的第一步骤,我想知道图中要拉伸的五角形和六角形他们的高和角度为什么就是那3条红色的线段,这其中肯定有数学知识,我想了很久想不到,麻烦哪位高手帮忙解答一下,在此不胜感激!!
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每天都在发梦....
我看你还没弄懂里面的步骤,坐标系都没变,一点数学知识都用不上
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工程师, 积分 805, 距离下一级还需 195 积分
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嘿,兄台,可能是我表达不清楚,是平面图来的~~~那你敢说画足球不是这样画的吗?里面应该应用到数学知识~~
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每天都在发梦....
引用第2楼lilindemen于 09:22发表的&&:
嘿,兄台,可能是我表达不清楚,是平面图来的~~~那你敢说画足球不是这样画的吗?里面应该应用到数学知识~~这个足球我画过,我还有教程在上面,你这样画肯定是不行的,虚心点我可能会教你完成这个足球
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每天都在发梦....
你搜索一下我贴就有了
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工程师, 积分 624, 距离下一级还需 376 积分
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我觉得是经验画法，不存在数学知识！
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高级工程师, 积分 9328, 距离下一级还需 672 积分
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足球很好画，我教的学生都会，嘿嘿。。。
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名人谈学习方法
孔子谈学习方法
我国古代伟大的教育家孔子（公元前551-前479年），在学习方法上他主张“学而时习之”，“温故而知新”.他要求学生学习时，要学，思结合提出“学而不思则罔，思而不学则殆”.就是说，光学习而不积极思维，就会迷而不知所向；如果思维不以学习为基础，就会流于空想，会带来知识上的危机.因为学习是人类独特的活动，是人类知识的继承活动.这种继承不能是简单的兆焯和模仿，要通过独立思考，学思结合，才能在接受前人知识的基础上，有所创造，有所发展.
祖冲之的学习方法
我国南北朝时的数学家祖冲之（公元429-500年）的学习方法是：“搜炼古今”.搜指搜索，博采众长，广泛地学习研究；炼是提炼，把各种主张拿来研究，经过自己的消化，提炼.它就是用这样的方法进行学习和研究，最后创立了自己的学说.因为他的几代祖先都在中国的南方做官，而且一家有几代人研究历法，祖父又掌管士木建筑，也懂得一些科学技术，故祖冲之从小就有机会接触家传的科学知识.由于他思想敏捷，勤奋好学，又有好的学习方法，使他博览群书，广采各家精华；同时又不因古法，墨守成规，并主张在实践中去检验真理.遂使他在天文历法、机械和数学三个方面取得了杰出的成就.
（密率：PI=355/113 约率：PI=22/7 3.1415956
<pi<3.1415927）
爱因斯坦的学习方法
爱因斯坦（年），东年是智力发展迟缓，上小学、中学时，老师认为他是&#8220;笨头笨脑的孩子&#8221;。也许是他12岁时第一次读到欧氏几何的书，那严密的逻辑给他留下了深刻印象，激发了他数学学习的兴趣。1896年17岁的爱因斯坦进入瑞士联邦理工大学学习理论物理，1902年在伯尔尼专利局工作。这段时期他的思想十分活跃，经常和伯尔尼大学哲学系的学生索洛文等五人常在一起阅读各种书籍，无拘无束地自由讨论各种问题，他们阅读了休漠、马赫、庞加勒、黎曼、狄更斯等许多人的作品。有时只念了半页，甚至只念了一句就争论起来。他们亲切地称这种聚会为&#8220;奥林匹亚科学院&#8221;。这种&#8220;疯子式&#8221;集会是他的恩维十分活跃。1902年他就发表了第一篇论文，1905年仅26岁的爱因斯坦竟发表了五篇极为重要的论文，提出了光量子假说和狭义相对论，并通过对布朗运动的研究证明了原子的存在。1916年又完成了广义相对论，取得了宏伟的成就，被科学界誉为&#8220;人类历史上一颗明亮的巨星&#8221;。
爱因斯坦的学习方法，大致可概括成：依靠自学，独立思考，穷根究底，大胆想象，强调理解，重视实验，弄通数学，研究哲学等八个方面。
朱熹提倡的学习方法
我国宋朝著名的教育家朱熹（年），赞赏先泰时期教育家总结的学习方法，提出为学之序是：博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。学、问、思、辨一穷理，笃行以体事，他主张&#8220;读书有三到：问心到、眼到、口到。心不在此，则眼看不仔细。心眼既不专一，却只浪漫诵读，决不能记。记，亦不能久也。三到之法，心到最急。心既到矣，眼口岂不到乎。&#8221;他认为：读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。要举一而反三，问一而知十，及学者用功之深，穷理之熟，然后能融会贯通，以至于此。
他的弟子将朱子读书法归纳为以下六条：循序渐进；熟读精思；虑心涵咏；切已体察；着紧用力；居敬（收心集中注意）持志。
说说e这个数
有一个数字，它是变量数学中不可缺少的常数，它是描述自然界各种连续变化的有力工具，它是自然界纷繁复杂背后隐藏的基本规律，它是伟大的数学家。
Euler 的杰出创造，它能使微积分的运算简洁方便，它是数学家看着就亲切的一个数字。这就是：
e = 2.&#8230;
假如你把一块钱存入一家银行，银行的年利率是百分之百（这只是一个比方，不必用生活中的常识来评价），银行允许中间取本息，而且利息是平均分到各个时段的。比如吧：你要是只存一个月，你将拿到 13/12 这么多的本息。这时如果不嫌麻烦，你可以选择半年取一次钱，再连本带利的存入银行，这时年末你将得到
（1＋1/2）&#215;（1＋1/2）＝2.25 元
如果你还想多得钱，可以把一年分三段来取款，连本带息存入，你将得到
（1＋1/3）&#215;（1＋1/3）&#215;（1＋1/3）
如果你不嫌麻烦，银行允许，你将多跑几次，甚至坐在银行取款台那里不走，如果你把一年分成 n 次，你将得到
（1＋1/n）&#215;（1＋1/n）&#215;（1＋1/n）&#8230; &#215;（1＋1/n）
以上一共 n 项乘积。不需要太深入思考，你就会断定取的次数越多，最后得到的钱越多。但是最多能得到多少呢？最多就能得到 e = 2.&#8230; 这么多了。如果把利息由 1 变为 x ,那么最多能得到 e 的 x 次幂这么多。
这个数是用来描述自然界连续累加变化不可缺少的常数，自然界的经济增长和衰退，放射性元素的衰变，冰层的厚度，等等都离不开这个数字来描述。
但是 e 不是有理数，也就是不能写成两个整数相除的形式，其实它的任何代数运算都不能得到整数，这说明它是超越的。
这如果在古希腊，有这样的数存在是不能容忍的。当时有一个学派叫做必达哥拉斯学派，认为数是构成世界的基石，并且认为数应该是完美的：都能写成两个整数相除的形式。但必氏的一个学生经过论证指出，如果正方形边长是1 ，它的对角线长度就不能表示成任何两个整数的相除，这样的数在当时认为是无理的数（irrational number ），引发了数学历史上的第一次危机，这个学生也被丢到海里没了性命。
善的数和恶的数
一提起毕达格拉斯的名字，显而易见，每一个人首先想到的是他的著名的定理，按照这个定理，直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。除了这个定理以外，毕达格拉斯是否还有什么别的发现，就很少有人知道了，可是，大家却都知道这个定理正是属于毕达格拉斯的。
但是最令人诧异的是，我们甚至没有充分的把握说世界上是否曾经确实有过毕达格拉斯这样一个人。关于他，人们编造了那么多荒唐的故事，只有幼稚无知的人才会对此信以为真。其中有这样一个情节：有一天，毕达格拉斯散步来到河边。河流赶紧从河槽里出来，并且高呼：&#8220;你好哇！毕达格拉斯！&#8221;这类传说的真伪，读者自可断定。
我们现在仅仅知道，在公元前六世纪这段和毕达格拉斯的生活有关的时间，古希腊有一所大型的哲学数学学校，人们把这所学校的学生称为毕达格拉斯的信徒。这所学校所发生的一切事情都隐藏在秘幕之后。毕达格拉斯学派的信徒们遵循所承担的某种义务，把他们取得的所有成果都妄加在他们超人的老师毕达格拉斯一个人的头上。可是，很可能实际上根本不存在这个什么&#8220;超人&#8221;的老师。
在人类社会的历史中，不止一次地遇到过类似的现象。例如，就在我们的今天，有一个法国数学家小组把自己所有的著作都用尼古拉。笨了巴吉这同一个名字出版。大家知道，没有一位数学家叫这个名字，可是，这个小组的成员都情愿做这同样的游戏，他们发表意见时，从来不提整个的小组，而只用笨了巴吉一个人的名义。
我们还想起尽人皆知的科济马。普鲁特科夫。在上一个世纪，三位俄罗斯作家---热姆楚日尼科夫兄弟和阿卡。托尔斯泰，就用这个笔名发表作品，他们塑造了这么一个不可救药的好发表长篇议论的人物形象，他善于以惊人的庄重煞有介事地说出一些老生常谈。他们甚至还虚构了一份普鲁特科夫的履历。
可是，如果说我们现在知道实际上并不存在笨了巴吉和科济马。普鲁特科夫这样的人，那么，遇到毕达格拉斯这种情况，我们就没有这种把握，因为我们和所研究的那个时代相隔两千五百年之久。我们只能说：不能排除这种情况，即作为一个人，毕达格拉斯并不存在。但我们确信：冠以毕达格拉斯名字的定理是巴比伦人在他一千多年以前发现的。很可能像已经指出过的那样，埃及人也熟悉这个定理。不能排除的是，毕达格拉斯学派的门徒们独立于巴比伦人或埃及人单独地发现了这个定理，但无可争议的是，这一发现的优先权不属于毕达格拉斯学派。
有趣的是，尽管我们连实际上是否有过毕达格拉斯这个人都没有把握断定，我们却拥有他相当详细而又引人注目的传记。据说，在公元前580年，毕达格拉斯出生于萨莫斯岛。人们因此称他为毕达格拉斯。萨摩斯基，以免和另一个叫毕达格拉斯。列基斯基的雕刻家相混淆（后者也出生于萨莫斯，但是在列基亚城生活和工作）。按照当时许多富有的年轻人的惯例，毕达格拉斯年轻时曾经多次进行对他颇为有益处的旅行。他游历过巴比伦，地中海东岸各国和埃及。他在埃及时，正值波斯国王冈比希侵略这个国家。在一座高大的金字塔的石墙附近，毕达格拉斯和其他人一起被俘。可能和别人一样，有一段时间他变成了奴隶。可是，他作为一位圣贤和术士的声望在当时已经如此之高，以至于当冈比希国王得知是谁成为他的俘虏时，就立即命令马上释放毕达格拉斯，而且，可以断定，还极为诚挚地向他道了歉。
当毕达格拉斯返回故乡萨莫斯时，人们把他当作一位伟大的学者和术士来欢迎。据说，他从到东方游历那时起，就接受了穿当时迦勒底术士所穿的豪华的衣服的习惯。这种衣服其中一个主要部分就是有一条华美的头饰。有一幅毕达格拉斯的画像，画的就是戴着外国式样的华丽的赫拉克勒斯（希腊神话中最伟大的英雄）式的威武的形象。可是，毕达格拉斯是否如画像所画的那样（即使我们假定有毕达格拉斯这个人），这一点谁也没有把握断定。
岛上的青年开始聚集在这位圣贤的周围。这些青年大都出身于贵族家庭。这样，就成立了学校。这所学校的一切都仿照东方的习俗，笼罩着不可思议的神秘气氛。例如，据说不是毕达格拉斯所有的门生都有资格见到自己的老师。那些既有资格见到老师，又有资格听他教诲的，才是名副其实的学生。而那些只有资格听课，却见不到老师的，被称为旁听生。有些杜撰毕达格拉斯传记细节的无聊作者由此推断说，毕达格拉斯教书的房间是用麻布一隔两半的。老师本人所在的那半间坐着学生，另半间留给旁听生用。
在学校学一些什么呢？主要是哲学和数学。古希腊时代，这两个学科不像我们今天所看到的这样彼此分开。当时，每一位哲学家通常也是数学家，反之亦然。然而，对于毕达格拉斯学派的门徒们来说，这种哲学---数学具有这样一种先验的，神秘的性质，其中有许多东西及来自于轮回（关于灵魂转世的神秘学说），又来自于迦勒底人的神秘（关于数的神秘性质的学说），等等。
可是，聚集在毕达格拉斯周围的年轻人很少只是学习科学。他们很快就介入岛上的政治生活，而置萨莫斯岛的独裁者波利克拉特的态度于不顾。&#8220;独裁者&#8221;这个词在当时还没有他后来所获得的基本意义。当时的独裁者通常是普通市民，也就是人民利益的代表，因此是反对贵族的。毕达格拉斯的门徒们的贵族倾向不合波利克拉特的意，他们的学校很快就被捣毁了。神秘数学的信徒们连同他们超人的老师一起，被迫从岛上逃跑了。他们很可能是沿着整个地中海迁移。他们大部分定居在被称为伟大国家的希腊。亚平宁半岛的南部和西西里岛也因此而获得了伟大的称号。毕达格拉斯本人定居在塔连特，他在那里又当上了校长。年轻人又像在萨莫斯那样聚集在他的周围，可是，这所学校遭到了和萨莫斯岛上的那所学校同样的命运。毕达格拉斯迁移到科罗多尼，又从那里跑到米太旁登，正像前面所提到的那样，他八十岁或者九十岁时，死于米太旁登街道上的一次夜间搏斗之中。
现在，我们再来介绍一下毕达格拉斯学派所从事的科学研究。毕达格拉斯学派特别喜爱的数学领域之一是数论。当时，吸引他们的乃是数的某些符合他们带有东方神秘色彩的神秘哲学的性质。
毕达格拉斯学派认为，世界上的一切都服从于整数的比数所服从的那样的规律。他们发现，在用力相等的情况下，弦长的比数等于像2：3，3：4等等自然数的比数时，各弦就同时发出谐音。他们把这种局部的现象推及到整个宇宙。这样，按照他们的学说，地球，月亮，当时已知的所有的行星以及太阳都围绕着某个中心火球的球面旋转。这些球面的半径同样也有和发出谐音的弦长那样的比数。任何可以列举出来的宇宙中的物体，在其运动时似乎也都发出这样的谐音。
尽管毕达格拉斯学派的宇宙构造论带有神秘的性质，地球围绕着某个中心旋转的正确思想确是以此为基础的，尽管毕达格拉斯学派所指的这个中心不是太阳，而是某个不存在的中心火球。
毕达格拉斯学派把所有的整数分为善的和恶的两种。奇数为善的，偶数为恶的。单位数1被认为即是善的又是恶的开始，因为善的奇数加上它就变成为恶的数，而恶的数加上它就变成为善的数。
毕达格拉斯学派的思想中的许多东西在数学中得到了进一步的发展。从毕达格拉斯学派所研究的数论中自然提出了许多问题，由此导出了非常重要而又难以得到的结果。
也就是在毕达格拉斯学派正陶醉于这种宇宙的整数谐音的时候，他们发现，原来还有一些不能写成整数的比数的数。例如，就是这样一个数。这使他们如闻霹雳，大为震惊。
为了回答这个问题，我们还是回到毕达格拉斯定理上来。我们不禁想到，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里，我们会取一个每条直角边都等于1的等腰直角三角形。那么，根据上述定理，斜边的平方等于2，因此斜边本身等于。但是，不可能写成两个整数的比数。今天，都知道这个数是无理数。毕达格拉斯学派自己显然没有明确的无理数的概念，但是他们发现了这样一个事实，就是有些线段的长度无法使它们和整数的比数相等。这一发现从根本上和他们的&#8220;整数&#8221;哲学相抵触。他们怎么办呢？除了他们心里想到的以外，什么也没有做。他们设法隐瞒了自己的发现，不让未得真传的人们知道。没有无理数！什么也没有！有的只是整数和它们的比数！
然而，想瞒也瞒不住，谁也无法长期隐瞒这一发现，过了一段时间，无理数的秘密就开始被不是毕达格拉斯学生的那些人知道了。据说，这个秘密是被毕达格拉斯的一个名叫基普帕斯的学生泄露出去的。从毕达格拉斯学派的观点来看，这是骇人听闻的罪行！要知道，他们每个人入学时，都庄严地宣誓要始终严守秘密，然后才能允许入学。现在却出现了违背这一誓言的罪人。怎样处置他呢？毕达格拉斯的门徒们祈求神灵的帮助。当基普帕斯的船队载着大量的货物返回故乡的港湾时，海神普赛登使他遭受到了可怕的暴风雨。暴风雨开始冲散了船队，然后使船连同船主一起沉殁。这个传说当然是毕达格拉斯的门徒们自己编造出来的。
显然，很难想象一个埃及人如果知道了有什么长度不能用整数的比数来表示，他们会这么忧愁。埃及人还根本不能把类似的事实当作具有原则意义的事实，他们没有达到这样的数学程度。到了毕达格拉斯时，这些事实的原则上的重要性已经充分地认识到了。这时，对于我们下面要研究的那些问题已经产生了兴趣。从其实用价值的观点来看，这些问题可能被认为是不重要的，但在作为一种科学理论的数学中，却是非常重要和必要的。
不应当这样认为：不能直接从某一个科学的事实中得到利益，就只能使这个事实成为理论的财富。理论本身是人类实践活动的产物，对于理论具有价值的东西，从实践这个词最直接的意义上来说，归根到底，对于实践也是重要的
圆上的格点问题
你找一个直角座标图纸，然后以原点为中心，1单位长为半径画一个圆。你看看这个圆经过哪一些点，它的x座标及y座标是整数的？
你会看到只有四点，即（0，1），（0，-1），（-1，0），（1，0）。
我们在数学上把这类平面上x座标及y座标都是整数的点称为整点，或者格点（lattice point）。现在再看以原点为中心， 2单位长为半径的圆经过的格点有（1，1），（1，-1）及（-1，-1）。
经过一些格点呢？你看了以上的例子，你会多数说：&#8220;一定会有一些格点在圆上。&#8221;
原点为中心画圆，你看一看会有什么结果？
我的天，真是奇怪，怎么这时候没有格点落在圆上呢？是的，数学就是这样有趣的玩意儿，问题的条件稍微有一点变化，整个结果的情形就改变了。
上面？&#8221;就等价于问：&#8220;代数方程x2+y2=n是否有整数解？&#8221;
在n=4，5时读者很容易可以找到它们的解。可是在n=6，7时却无解了。n=8时却有解。
我们检验n=1，2，&#8230;，8看到n在3，6，7时是无解。
现在看到6=3&#215;2，7=4+3，我们或许可以作下面的：
（猜测A）当x2+y2=3k（k=1，2，&#8230;），方程是无整数解。
（猜测B）当x2+y2=4k+3（k=1，2，&#8230;），方程是无整数解。
检验（猜测 A）看到当 k=1，2，3，4，5时方程真的是无整数解。很可能（猜测A）真是一个定理。你再对k=6检验这时你却发现（&#177;3）3+（&#177;3）2=18因此（猜测 A）是不对的。
（猜测B）却真的是一个定理。用同余的性质是很容易证明：由于4k+3是奇数，所以x和y不能同时是奇数或偶数，理由是偶2+偶2=偶，奇2+奇2=偶。一定要x和y一个是奇数及一个是偶数。假定x是奇数，它被4除后余数可能是1或3，即x&#8801;1（mod 4）或 x&#8801;3（mod 4）， 因此 x2&#8801;12（mod 4）或x2&#8801;9（mod 4），即x2&#8801;1（mod 4）。如果y是偶数，则 y2&#8801;0（mod 4），因此由同余性质可以知道x2+y2&#8801;1（mod 4），所以x2+y2应该是形如 4t+1的样子而不会是形如 4m+3，这和假设矛盾。所以x2+y2=4k+3不会有整数解。
偶完全数的一个巧妙的性质
我们上文介绍过偶完全数。为了使读者能了解同余能帮助我们更深入认识数的一些美丽性质，我们来研究偶完全数一个很巧妙的性质。
我们回忆一下：完全数是那些整数，它的所有小于它本身的因子的和是等于自身。我们知道的完全数到目前为止只有27个，而且都是偶数。最小的几个是 6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，36等等。
你可以看到这些数的个位数和十位数时常是6或28。如果明天有一个新的偶完全数被人们发现，它的个位数或十位数是否也会是6或28呢？
我们知道二千年前的欧几里得及18世纪的数学家欧拉证明了偶完全数只能是2k-1（2k-1）这里 k=2或k是奇数。
k=2时，我们得最小的偶完全数 2（22-1）=6；
现在看k是奇数的情形，奇数可以分成两类：
第一类 k被4除后余1，即 k&#8801;1（mod 4）
由于 k-1=4n，所以2k-1=24n=（24）n
从24=16&#8801;6（mod 10）我们有2k-1&#8801;6n（mod 10），但是62=36&#8801;6（mod 10）， 63&#8801;6（mod 10），一般6n&#8801;6（mod 10）所以由同余的传递性我们说2k-1&#8801;6（mod 10）。
所以2k=2&#215;2k-1&#5;6=12&#8801;2（mod 10）
因此2k-1&#（mod 10）即2k-1&#8801;1（mod 10）
所以（2k-1）2k-1&#8801;6（mod 10），这就是说当偶完全数的k是第一类，这数减6后必能被10整除，也就意味着这完全数的个位数是6。
第二类 k被4除后余3，即 k&#8801;3（mod 4）
由k-3=4n，我们得2k-1=24n+2=24n22&#01;4（mod 10）
读者用数学归纳法可以证明当k＞3时，所有的 2k-1都能被4整除，因此 2k-1的个位数是 4，且最后的两位数也能被 4整除，所以它最后两位数可能出现04，24，44，64或者84，即2k-1&#，44，64或84（mod 100）
所以2k-1&#5;2k-1&#，87，27，或67（mod 100）
因此2k-1（2k-1）&#5;7，24&#215;47，44&#215;87，64&#215;27或
读者试试算以上的各种情形一定会得到
2k-1（2k-1）&#8801;28（mod 100）
数学心理学
数学心理学是应用数学模型来描述心理现象的心理学分支。德国心理学家费希纳在1860年的心理物理学研究中，最早用数学公式表达了客观物理量和主观感觉强度之间的函数关系。1927年瑟斯顿在制定心理量表时提出了比较判断率，并用公式来表明两个刺激间的主观距离。这些工作都属于数学心理学的范畴。但是，当时这类工作为数不多，也比较分散，还没有数学心理学之称。第二次世界大战后，由于信息论、控制论、统计决策论及计算机科学的推动，数学心理学才得到真正的发展。20世纪50年代初，埃斯蒂斯、布什和莫斯蒂勒提出的学习模型，是这一新方向的开端。目前实验心理学的许多重要领域，如测量、决策、学习和社会的相互作用等方面，都已制定出大量的数学模型。
一般说来，数学模型的建立，首先是把需要研究的心理现象，如知觉、学习 、决策等等，从复杂的心理活动中分离出来，构成一个特定的集合，把原始资料加工成集合中的客体和关系。然后用代数的、几何的、概率的、公理的形式，或者是计算机程序和方程式的形式，把它们表现出来。在这里，主要的问题是确定研究领域的经验系统 ，和表达它的形式系统之间的对应关系。在数学模型建立之后，通过逻辑推理或数学运算可以推导出一定的结果。如果给模型以一定的解释，所推出的结果就可以看作是对经验系统的某种预测。进一步将预测值与实际测试值加以比较，依据二者的符合程度，还可以对数学模型加以修正。用数学模型描述心理现象，其优越性不仅是它比自然语言的描述具有更大的概括性、准确性、演绎力和预测力，更重要的是它便于计算机的模拟，为人工智能的发展创造了条件。
整数表示为平方数和的问题
我们现在考虑两个数列：
n：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，&#8230;
n2：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，&#8230;
我们用S（k）来表示那些整数，可以用k个平方数的和来表示的集合。
例 S（2）={1，2，4，5，&#8230;}
读者如果注意观察会发现凡是形如 4k+3的整数都不在S（2）里面。
S（3）有什么整数呢？首先1是在里面，1=12+02+02，2也是在里面，因为2=12+12+02。3也可在里面，因为3=12+12+12。4=22+02+02，5=22+12+02，6=22+12+12所以4，5，6都在S（3）。但是你会发现7不在S（3）里。
如果你多次观察你也会发现凡是形如 8k+7的整数都不在S（3）里。
S（4）是包含什么样的东西呢？答案是：所有的自然数。这是法国数学家拉格朗日（Lagrange ）在 1770年证明的一个有名的定理。
要证明整数形如 4k+3不在 S（2）里，及形如 81+7不在S（3）里是否会很难呢？我想不会太难，我们用同余就可以协助我们解决。
我们知道自然数可以根据同余分成四个部分
[0]4=那些是4的倍数的整数集
[1]4=那些形如4k+1的整数集
[2]4=那些形如4k+2的整数集
[3]4=那些形如4k+3的整数集
由于（4k+1）2=（4k）2+2（4k）+1=4（4k2+2k）+1
（4k+2）2=（4k）2+4（4k）+4=4（4k2+4k+1）
（4k+3）2=（4k）2+6（4k）+9=4（4k2+6k+2）+1因此在[0]4的数，平方后仍旧在[0]4表面不会跑掉。因而[1]4里的数也是平方后仍在原来的老巢里。但是在[2]4里的数，一平方后就飞到[0]4里去了。[3]4的数也是一样，平方后溜到[1]4中。
由此我们知道：任何数一平方后，要不是形如 4k就是形如4k+1。
现在看两个平方数x，y的和。可能情形有三种：
第一种：x是形如4k，y是形如4k，x+y当然是形如4k
第二种：x是形如4k，y是形如4k+1，x+y当然是形如4K+1
第三种：x是形如4k+1，y是形如4k+1，x+y当然是形如4k+2
这三种情形都没有4k+3的样子，这就是说凡是形如4k+3的整数一定不能表示成两个平方数的和。
你看我们不是解决了S（2）的情形，关于在S（3）中不包含8k+7的形状的数的证明，留给读者自己练习。你看我们是怎么样对S（2）的情形考虑，类似处理S（3）的情形，动脑筋想一想就可以很容易解决了。
数学符号化的扩充：数理逻辑的兴起
数学的主要内容是计算和证明。在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。
现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种&#8220;通用代数&#8221;，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，其中的符号是表义的，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。
真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出版了《逻辑的数学分析》，给出了现代所谓的&#8220;布尔代数&#8221;的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；x＋y表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。
所以逻辑命题可以表示如下：凡x是y可以表示成x(1－y)＝0；没有x是y可以表示成xy＝0。它还可以表示矛盾律 x(1－x)＝0；排中律x＋(1－x)＝1。
布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是类而是命题，则x＝1表示的是命题 x为真，x＝0表示命题x为假，1－x表示x的否定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。特别是它遵从德?莫尔根定律。
美国哲学家、数学家小皮尔斯推进了命题演算，他区别了命题和命题函数。一个命题总是真的或假的，而一个命题函数包含着变元，随着变元值选取的不同，它可以是真也可以是假。皮尔斯还引进了两个变元的命题函数以及量词和谓词的演算。
对现代数理逻辑贡献最大的是德国耶拿大学教授、数学家弗雷格。弗雷格在1879年出版的《概念文字》一书中不仅完备地发展了命题演算，而且引进了量词概念以及实质蕴涵的概念，他还给出一个一阶谓词演算的公理系统，这可以说是历史上第一个符号逻辑的公理系统。因此在这本只有88页的小册子中，包含着现代数理逻辑的一个颇为完备的基础。
1884年，弗雷格的《算术基础》出版，后来又扩展成《算术的基本规律》。不过由于他的符号系统烦琐复杂，从而限制了它的普及，因此在十九世纪时，他的著作流传不广。后来由于罗素的独立工作，才使得弗雷格的工作受到重视。
用符号语言对数学进行公理化的是意大利数学家皮亚诺，他在1889年用拉丁文写了一本小册子《用新方法陈述的算术原理》。在这之前，皮亚诺已经把布尔和施罗德的逻辑用在数学研究上，并且引进了一系列对于他前人工作的更新。例如对逻辑运算和数学运算使用不同的符号，区别范畴命题和条件命题，这引导他得出量词理论。
这些改进都是对于布尔和施罗德理论的改进，而不是对弗雷格理论的改进，因为当时皮亚诺还不知道弗雷格的工作。在《算术原理》中，他在引进逻辑概念相公式之后，开始用符号的记法来重写算术，在这本书中他讨论了分数、实数、甚至极限和点集论中的概念。
皮亚诺引进最原始的算术概念是&#8220;数&#8221;&#21;&#8220;后继&#8221;和&#8220;等于&#8221;，并且陈述了关于这些概念的九条公理。今天我们认为其中公理2、3、4、5都是讨论恒等的，应该属于逻辑公理，所以就剩下了五条公理。这就是现在众所周知的皮亚诺公理。最后一条公理即公理9，就是所谓数学归纳法原理，他用类的词句来表述，其中包含一个类变元。皮亚诺承认他的公理化来自戴德金。
从1开始，皮亚诺用x＋1来表示后继函数。然后作为定义引进了加法和乘法。这些定义是递归的定义。虽然在他的系统中，皮亚诺没有象戴德金那样有力的定理可资利用，但皮亚诺并没有公开地宣称这些定义可以去掉。
这本书的逻辑部分还列出命题演算的公式，类演算的公式，还有一部分量词的理论。皮亚诺的符号要比布尔和施罗德的符号高明得多，标志着向近代逻辑的重要转变。他还对于命题的演算和类演算做了某些区别。这就是我们现在的两种不同演算，而不是同一种演算的两种不同解释。它的普遍量词记号是新的，而且是便利的。
不过书里还是存在缺点，如公式只是列出来的，而不是推导出来的；因为没有给出推导规则，皮亚诺引进了代入规则的概念，但是也没有给出任何规则；更严重的是他没有给出任何分离规则，结果尽管他的系统有许多优点，但他没有可供使用的逻辑。一直到后来，他才在一系列文章，特别是1895年发表的《数学论集》中，对这些逻辑公式进行了证明。然而他这些证明还是缺少推演规则，在这方面他受到了弗雷格的批评。后来皮亚诺尽力想比弗雷格的《概念文字》有更多的内容，但是他做得并不够。不过他的这些著作在数学界仍有很大影响，得到广泛的传播。
逻辑演算是数理逻辑的基础，命题演算是逻辑演算最基本的组成部分。命题演算研究命题之间的关系，比如简单命题和复杂命题之间的关系，简单命题如何构成复杂命题，由简单命题的真假如何推出复杂命题的真假等等。对于具体命题，我们不难通过机械运算来达到我们的目的，这就是命题的算术。
对于命题演算最早是由美国逻辑学家波斯特在1921年给出证明的，他的证明方法是把命题化为标准形式—合取范式。教科书中常见的证明是匈牙利数学家卡尔马给出的。除了这些构造性证明之外，还有用布尔代数的非构造性证明。
一阶谓词演算
在命题演算中，形式化的对象及演算的对象都是语句。但是，在数学乃至一般推理过程中，许多常见的逻辑推理并不能建立在命题演算的基础上。例如：1．张三的每位朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友，所以王五不是张三的朋友。因此，我们必须深入到语句的内部，也就是要把语句分解为主语和谓语。
谓词演算要比命题演算范围宽广得多，这由变元也可以反映出来。命题演算的变元只是语句或命题，而谓词演算的变元有三类：个体变元、命题变元、谓词变元。由于谓词演算中有全称量词和存在量词，在这些量词后面的变化称为约束变元，其他变元称为自由变元。最简单的谓词演算是狭义谓词演算，现在通称一阶谓词演算。
谓词演算中的普遍有效公式与命题演算中的重言式还是有差别的。我们有行之有效的具体方法来判定一个公式是不是重言式。这种方法每一步都有明确的规定，并且可以在有限步内完成，这种方法我们称为能行的。但是在谓词演算中，并没有一种能行的方法来判定任何一个公式是否普遍有效的。这就需要寻找一种能行的方法来判定某个具体公式或一类公式是否普遍有效，这就是所谓判定问题。它是数理逻辑中最主要的问题之一。
一阶谓词演算的普遍有效公式也有一个公理系统。另外，同样也有代入规则及推理规则。另外，还有约束变元改字规则等变形规则。在谓词演算中也可以将每一个公式通过变形规则化为标准形式。其中最常用的是所谓前束范式，也就是公式中所有的量词都放在最前面，而且还可以把前束范式进一步化成斯科兰路范式，它不但具有前束范式的形状，而且每一个存在量词都在所有全称量词之前。
利用范式可以解决许多问题，最重要的是哥德尔证明的一阶谓词演算的公理系统的完全性定理，即可以证明：公式A在公理系统中可以证明的当且仅当A是普遍有效的。同样，一阶谓词演算的公理系统也是协调(无矛盾)的、相独立的。1936年丘奇和图林独立的证明一阶谓词演算公式的一般判定问题不可解问题，可以变为去解决具有特殊形式的范式公式的判定问题。
其他逻辑演算
逻辑演算系统很多，命题演算应该说来源于布尔，布尔的系统是非真即假的二值系统。真值大于2的逻辑系统称为多值逻辑。多值逻辑首先由波兰数学家卢卡西维茨在1920年引进，波斯特在1921年也独立地引进。多值逻辑有着广泛的应用，在二十世纪七十年代，国际上就曾多次召开专门的多值逻辑会议。
另一种常见的逻辑是模态逻辑，它是美国逻辑学家刘易斯在1918年引进的。他考虑的不是实质蕴涵而是严格蕴涵。另外，他在逻辑中也考虑所谓必要性与可能性等问题，引进著名的模态算子，这是直观可能性的形式化。
还有一个包括古典逻辑演算的公理系统，即直觉主义公理系统，其中否定排中律，它是荷兰数学家海丁于1930年引进的。它虽因直觉主义而得名，但是可以得到其他的解释，在现代数理逻辑的研究中十分重要。
在数理逻辑的研究中，狭义谓词演算是最重要的。狭义谓词演算也称一阶谓词演算，许多人默认数学中所用的逻辑通用为一阶谓词演算。但是，许多涉及数学问题的逻辑演算必须加进有关等号的谓词，称为具等式的一阶谓词演算。这是现在最常用的一种逻辑系统，在研究算术系统中就要用到它。
但是，即使象实数的算术系统，一阶谓词演算也是不够的，更何况现代数学中涉及集合的子集，因此一阶谓词演算是不足以表达的。这时需要二阶谓词演算乃至高阶谓词演算，其中首先出现的是谓词变元。
不过，在现代数理逻辑的研究中，常常通过其它方式推广一阶谓词演算。比如一种常用的&#8220;无穷&#8221;逻辑允许无穷公式，即公式中容许可数多合取或析取，不过量词仍限制为有限多。这种无穷逻辑现在在集合论、递归论、模型论当中是必不可少的。另外一种推广一阶谓词演算的途径是引进新的量词，比如&#8220;存在许多&#8230;&#8230;&#8221;。
逻辑系统比数学系统更不统一，各人用的系统在细节上有许多不同，而且同一概念也用不同的符号来表示。第一套是弗雷格自己系统运用的，但是连他的后继者也不用这套极不方便的符号系统。第二套是皮亚诺首先在《数学论集》提出的，后经罗素和怀特海在《数学原理》中使用。一般文献通用的都是这种符号系统的改进形式，如希尔伯特和他的学生们采用的也属于这一套。第三套是卢卡西维茨使用的，后来也有人用，如普瑞尔在《形式逻辑》中就加以来用。
数学，确定性的丧失
若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　──H彭加勒
战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也能引起智力悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无与伦比的成就，对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响—数学的头上。
换句话说，这本书在非专业层次上探讨数学尊严的兴衰。看到数学现在的宏大规模，日益增多甚至呈繁荣之势的数学活动，每年发表的数以千计的研究论文，对计算机兴趣的该头涨，以及尤其是在社会科学和生物科学中对定量关系的广泛研究，数学的衰落何从谈起？悲剧存在于何处？要回答这些问题，我们必须首先考虑是什么为数学赢得了巨大的声望和荣誉。
作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日起的两千多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。
在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提供精髓。尽管通过数学和科学的合作才获得的知识用到了自然定律，但它们看来似乎与绝对的数学真理一样绝对可信，因为天文学、力学、光学、空气动力学中的数学所做的预测与观察和实验相当吻合。因此，数学能牢固把握宇宙的所作所为，能瓦解玄秘并代之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯瞰他周围的世界，吹嘘自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列数学定理）。拉普拉斯的话概括了数学家们一直在不懈地寻求真理的信念。他说，牛顿是最幸运的人因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律。
数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果，即从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结论。数学的这套方法今天仍然沿用，任何时候，谁想找一个推理的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。这种数学方法所取得的成功吸引了最伟大的智者，数学已显示了人类理性的能力、根源和力量。所以他们猜测，为什么不能把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如在哲学、神学、伦理学、美学及社会科学中去寻求真理呢？人类的推理能力，在数学及自然科学中，是如此的卓有成效，肯定也将成为上述其他领域思想和行为的主宰，为其获得真理的美和美的真理。因此，在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和定理，用到了人文事务中。
创造力最丰富的来源是后者。19世纪初的创造，包括令人奇怪的几种几何学和代数学，迫使数学家们极不情愿地勉强承认绝对意义上的数学以及科学中的数学真理并不都是真理。例如，他们发现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻合，它们可能都不是真理。显然，自然界的数学设计并不是固有的，或者如果是的话，人类的数学都未必是那个设计的最好诠释。开启真理的钥匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事件。
新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的震动。寻求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用严密论证去追求那些虚无飘渺的真理。认识到数学并不是真理的化身动摇了他们产生于数学的那份自信，他们开始重新检验他们的创造。他们失望地发现数学中的逻辑形容枯槁，惨不忍睹。
事实上，数学已经不合逻辑地发展。其不仅包括错误的证明，推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的大错比比皆是。这种不合逻辑的发展还涉及对概念的不充分理解，无法真正认识逻辑所需要的原理，以及证明的不够严密；就是说，直觉、实证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。
不过，数学仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心里，特别是在柏拉图主义者看来，数学自身当然还是一个颇具魅力的知识体系，一个因具真实性而受到青睐的部分。因此，数学家们决定弥补丢失了的逻辑结构，重建有缺陷的部分。在19世纪下半叶，数学的严谨化运动格外引人注目。
到1900年，数学家确信他们已实现了自己的目标。尽管他们不得不满足于数学仅能作为宇宙的一个近似描述的观点，许多人甚至放弃了宇宙的数学化设计这一信念，但他们的确庆幸他们重建了数学的逻辑结构。然而，他们还没来得及炫耀自封的成功，在重建的数学中就发现了矛盾。一般称这些矛盾为悖论，这是避免直接说矛盾而破坏了数学逻辑的委婉用语。
当时那些领头的数学家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，结果他们构想、阐述甚至推出了四种不同的数学结构，每一种都有众多的追随者。那些基础的学派不仅努力解决已有的矛盾而且力争避免新的矛盾出现，就是说，建立数学的相容性。在这些基础研究中又出现了其他的问题，某些公理和演绎逻辑推理的可接受性也成为几个学派采取不同立场的重要原因。
到1930年，数学家已满足于接受几种数学基础的一两个，并且宣称自己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难再次降临，形式是K．哥德尔的一篇著名论文。哥德尔证明了那几个学派所接受的逻辑原理无法证明数学的一致性。这还不包括论文里其他一些意义重大、影响深远的结果。哥德尔表明，对已取得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理引起一场巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如，就连过去极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化—演绎方法看来也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同时也把数学家分成了更多的相异群体。
数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于种种原因每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、正确无误的推理体系──1800年时的尊贵数学和那时人的自豪—现在都成了痴心妄想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满。关于&#8220;最确定的&#8221;科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。目前的数学或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓完美无缺的逻辑的拙劣模仿。
有的数学家认为，关于接受什么作为真正数学的不同观点，有一天会统一起来。这些人中比较有名的是一群署名为布尔巴基的法国领头数学家。
然而，更多的数学家并不乐观。
数学的终极基础和终极意义尚未解决，我们不知道沿着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得到一个最终的、客观的答案。&#8220;数学化&#8221;很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类似于语言或音乐，其历史观点否认完全客观的合理性。
用哥德的话说：一门科学的历史就是这门科学本身。
对于正确的数学是什么所存在的分歧以及不同基础的多样性不仅严重影响数学本身，还波及到最为生机勃勃的自然科学。我们将看到，最先进的自然科学理论（即这种理论的结论可以在感觉上或实体上体现出来。例如假设我们一点也不懂电磁波是什么，但我们却能听到收音机中传出的声音），全都是数学化的。因此，没有亲自对数学基础下过功夫，而又不打算花费数年时间研究不完美的数学的科学家，一定会关心什么样的数学能被理直气壮地应用。
真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及何种方法用于数学是最保险的不确定性，已使大多数数学家放弃科学。风声鹤唳，草木皆兵，数学家们不得不退回到证明方法看起来似乎很安全的数学领域。他们还发现人为编造出来的问题比自然界提出来的问题更富魅力，处理起来更加得心应手。
因完美的数学是什么而产生的危机和矛盾还阻碍了数学的方法在许多其他文化领域中的应用，如哲学、政治科学、伦理学、美学。找到客观、正确的定律和标准的希望变得微弱了，理性时代已经过去。
尽管数学令人不满意，方法复杂多变，对可接受公理持不同意见，还有随时可能出现的新矛盾，都会殃及大部分数学，但是，一些数学家仍然把数学应用于自然现象中，而且事实上把应用领域扩大到经济学、生物学和社会学。数学的继续有效给我们两点启示。第一点是这种有效性可用作判别正确性的准则，当然这个准则是暂时性的。今天认为正确的，也许下次应用时就会证明是错的。第二点涉及到未知。真正的数学是什么？对此并无定论。为什么数学依旧有效？我们是在用不完美的工具制造奇迹吗？如果人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学命令吗？显然不会。而且，正是凭借建立在数学之上的技术，人类成功地登上了月球，探测了火星和木星。这难道不是对宇宙中的数学理论的证实吗？那么，数学的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢？当心智和灵魂迷惘不定的时候，躯体能生存下去吗？当然对于人类本身及数学，确实如此。因此我们应该去研究为什么会这样。尽管数学的基础尚不确定，数学家们的理论亦彼此冲突，而数学却已被证明成就辉煌，风采依然。
幻方（magic square）起源于《易》，古 称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型。
幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁&#8220;参伍错综&#8221;地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。
幻方是一个丰蕴的知识宝库。幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。正可谓&#8220;横看成岭侧成峰&#8221;。《系辞》曰：&#8220;神无方而《易》无体&#8221;，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至n2 自然数列的n2 个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。
《易》九宫学博大精深。汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：&#8220;九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。&#8221;唐王希《太乙金镜式经》曰：&#8220;九宫之义，法以灵龟------此不易之道也&#8221;等等。但幻方九宫算 的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献。
幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，东传日本，西播欧美。日本人如获至宝，竟把九宫算更名为&#8220;大和算&#8221;，也填出了不少幻方杰作。西方人则更为之着迷，轰动了整个学界，并称之为有魔力的魔方，名冠&#8220;幻方大王&#8221;者有之。尔今，炎黄子孙在易学、幻学研究方面理当领先于世界。
完全幻方是幻方的稀世珍品，具有最优化组合性质。在浩如烟海的幻方世界中，完全幻方只占其一小部份，而且三阶及2（2k+1）阶（k&0）领域内还不存在幻方最优化解，但是完全幻方却代表着高难度的组合技术水平。迄今所知，完全幻方最早的历史遗存：一幅见之于古中国伊斯兰教的传世&#8220;玉挂&#8221;；另一幅则见之于古印度公元十一世纪刻在神庙前的&#8220;石碑&#8221;。中印&#8220;玉、石&#8221;奇方都为四阶完全幻方。我的主攻方向就是整个完全幻方领域。完全幻方是幻方王国中的一顶皇冠
数学史学科介绍
一、 数学史的研究对象
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。
数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。
史学家的职责就是根据史料来叙述历史，求实是史学的基本准则。从17世纪始，西方历史学便形成了考据学，在中国出现更早，尤鼎盛于清代乾嘉时期，时至今日仍为历史研究之主要方法，只不过随着时代的进步，考据方法在不断改进，应用范围在不断拓宽而已。当然，应该认识到，史料存在真伪，考证过程中涉及到考证者的心理状态，这就必然影响到考证材料的取舍与考证的结果。就是说，历史考证结论的真实性是相对的。同时又应该认识到，考据也非史学研究的最终目的，数学史研究又不能为考证而考证。　　
不会比较就不会思考, 而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较，或者说，比较是认识的开始。今日世界的发展是多极的，不同国家和地区、不同民族之间在文化交流中共同发展，因而随着多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化，异质的区域文明日益受到重视，从而不同地域的数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋活跃。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。
数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是&#8220;古&#8221;与&#8220;今&#8221;间的一种联系。
二、 数学史的分期
数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期：
1．数学萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；
3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；
4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；
5．现代数学时期（20世纪40年代以来）。
三、 数学史的意义
（1）数学史的科学意义
每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就，七十年代开始研究中国数学史，在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面，特别是在中国传统数学机械化思想的启发下，建立了被誉为&#8220;吴方法&#8221;的关于几何定理机器证明的数学机械化方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文化的典范。
科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据，也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图、证明四色定理等荒唐事，也避免我们在费尔马大定理等问题上白废时间和精力。同时，总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。
（2）数学史的文化意义
美国数学史家m.克莱因曾经说过:&#8220;一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显&#8221;。&#8220;数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说&#8221;。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300年）数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。
（3）数学史的教育意义
当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。
在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。
科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。
中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其渊源流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。
菲尔兹奖介绍
菲尔兹奖是以已故的加拿大数学家、教育家J．C．菲尔兹（FieldS）的姓氏命名的。
J． C．菲尔兹日生于加拿大渥太华。他11岁丧父、18岁丧母，家境不算太好，J．C．菲尔兹17岁进入多伦多大学攻读数学，24岁时在美国的约翰?霍普金斯大学获博士学位，26岁任美国阿格尼大学教授。1892年到巴黎、柏林学习和工作。1902年回国后执教于多伦多大学。1907年，当选为加拿大皇家学会员。他还被选为英国皇家学会、苏联科学院等许多科学团体的成员。
作为一个数学家，J．C．菲尔兹的工作主要集中在代数函数方面并有一定建树。例如，他证明了黎曼──罗赫定理等。他的主要成就，在于他对数学事业的远见卓识、组织才能和勤恳的工作，促进了本世纪数学家之间的国际交流，从而名垂数学史册。J．C．菲尔兹强烈地主张数学发展应是国际性的，他对于数学的国际交流的重要性，对于促进北美洲数学的发展都抱有卓越的见解并满腔热情地作出了很大的贡献。为了使北美洲数学迅速发展赶上欧洲，是他第一个在加拿大推进研究生教育，也是他全力筹备并主待了1924年在多伦多召开的国际数学家大会（这是在欧洲之外召开的第一次国际数学家大会），正是这次大会使他过分劳累，从此健康状况再也没有好转，但这次大会对于促进北美时数学发展和数学之间的国际交流，确实产生了深远的影响。当他得知这次大会的经费有结余时，他就萌发了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头。他为此积极奔走于欧美各国谋求广泛支持，并打算于1932年在苏黎世召开的第九次国际数学家大会上亲自提出建议。但不幸的是未等到大会开幕他就去世了。J．C．菲尔兹在去世前立下了遗嘱，他把自己留下的遗产加到上述剩余经费中，由多伦多大学数学系转交给第九次国际数学家大会，大会立即接受了这一建议。
P．C．菲尔兹本来要求奖金不要以个人、国家或机构来命名，而用&#8220;国际奖金&#8221;的名义。但是参加国际数学家大会的数学家们为了赞许和缅怀P．C．菲尔兹的远见卓识、组织才能和他为促进数学事业国际交流所表现出的无私奉献的伟大精神，一致同意决定命名为菲尔兹奖。
第一次菲尔兹奖颁发于1936年，当时并没有在世界上引起多大注意。连许多数学专业的大学生也未必知道这个奖，科学杂志也不报道获奖者及其业绩。然而30年以后的情况就完全不一样了。每次国际数学家大会的召开，从国际主权威性的数学杂志到一般性的数学刊物，都争相报导获奖人物。菲尔兹奖的荣誉不断提高，终于被人们确认：对于青年人来说，菲尔兹奖是国际上最高的数学奖。
菲尔兹奖的一个最大特点是奖励年轻人，只授予40岁以下的数学家（这一点在刚开始时似乎只是个不成文的规定，后来则正式作出了明文规定），即授予那些能对未来数学发展起重大作用的人。
菲尔兹奖是一枚金质奖章和一千五百美元的奖金，就奖金数目来说与诺贝尔奖金相比可以说是微不足道。但为什么在人们的心目中，它的地位竟如此崇高呢？主要原因有三：第一，它是由数学界的国际权威学术团体──国际数学联合会主待，从全世界的第一流青年数学家中评定、进选出来的；第二，它是在每隔四年才召开一次的国际数学家大会上隆重颁发的，且每次获奖者仅2～4名（一般只有2名），因此获奖的机会比诺贝尔奖还要少；第三，也是最根本的一条是由于得奖人的出色才干，赢得了国际社会的声誉．正如本世纪著名数学C．H．H．外尔，对1954年两位获奖者的评介：他们&#8220;所达到的高度是自己未曾想到的&#8221;，&#8220;自己从未见过这样的明星在数学天空中灿烂升起。&#8221;&#8220;数学界为你们二位所作的工作感到骄傲。&#8221;从而证明了菲尔兹奖对青年数学家来说，是世界上最高的国际数学奖。
菲尔兹奖的授奖仪式，都在每次国际数学家大会开幕式上隆重举行，先由执委会主席（即评委会主席）宣布获奖名单，全场掌声雷动。接着由东道国的重要人物（当地市长、所在国科学院院长甚至国主、总统）、或评委会主席、或众望所归的著名数学家授予奖章和奖金。最后由一些权威数学家分别、逐一简要评介得奖人的主要数学成就。
从1936年开始到1990年，获菲尔兹奖的已有34人，他们都是数学天空中升起的灿烂明星、是数学界的精英。
历届菲尔兹奖得主的简况和他们的主要成就。
姓名：L．V．阿尔福斯Ａhlfors（Lars Valerian）。
出生日期（获奖时年龄）：日（29岁）。
籍贯：芬兰（美藉）。
获奖年度、地点：1936年，奥斯陆。
获奖前后的工作地点：赫尔辛基大学，哈佛大学。
主要成就：证明了邓若瓦猜想；发展覆盖面理论。对黎曼面作了深入研究。
　　姓名：J．道格拉斯（Douglas,Jesse）。
出生日期（获奖时年龄）：日（39岁）
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1936年、奥斯陆。
获奖前后的工作地点：麻省理工学院
主要成就：解决普拉托极小曲面问题，即一种非线性椭圆型偏微分方程的第一边值问题；变分问题的逆问题。
　　姓名：L．施瓦尔兹（Schwartz,Laurent）。
出生日期（获奖时年龄）：日（35岁）。
籍贯：法国。
获奖年度、地点：1950年、坎布里奇。
获奖前后的工作地点：南锡大学，巴黎学院。
主要成就：创立了广义函数论；对泛函分析、概率论、偏微分方面均有建树。
　　姓名：A．赛尔伯格（Selberg,Atle）。
出生日期（获奖时年龄）：日（33岁）。
籍贯：挪威（美籍）。
获奖年度、地点：1950年、坎布里奇。获奖前后的工作地点：奥斯陆大学，普林斯顿高等研究所。
主要成就：数论中素数定理的初等证明和对黎曼假设的贡献；弱对黎曼空间中调和分析和不连续群及其狄里克雷级数的应用；连续群的离子群研究。
　　姓名：小平邦彦（Kodaira Kunihiko）
出生日期（奖获时年龄）：日（39岁）。
籍贯：日本
获奖年度、地点：1954年、阿姆特斯丹。
获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。
主要成就：推广了代数几何的一条中心定理：黎曼──罗赫定理。证明了狭义卡勒流形是代数流形，得到了小平邦彦消灭定理。
　　姓名：J.P.塞尔（Serre,Jean-pierre）。
出生日期（获奖时年龄）：日（28岁）。
籍贯：法国。
获奖年度：地点：1954、阿姆斯特丹。
获奖前后的工作地点：巴黎大学。
主要成就：发展了纤维丛的概念，得出一般纤维的空间概念；解决了纤维、底空间、全空间的同调关系问题，并由此证明了同伦论中最重要的一般结果；除了以前知道的两种情形之外，球面的同伦群都是有限群；引进了局部化方法把求同伦群的问题加以分解，得出一系列重要结果。
　　姓名：K．F．罗斯（Roth，Klaus Friedrich）。
出生日期（获奖时年龄）：日（33岁）。
籍贯：德国（英藉）。
获奖年度、地点：1958年、爱丁堡。
获奖前后的工作地点：伦敦大学。
主要成就：建立了代数数有理逼近的瑟厄──西格尔──罗斯定理。
　　姓名：R．托姆（Thorn，Rene）。
出生日期（获奖时年龄）：日（35岁）．
籍贯：法国。
获奖年度、地点：1958年、爱丁堡
获奖前后的工作地点：斯特拉斯堡 大学。
主要成就：创立拓扑学协边理论、奇点理论、突变理论；提出了&#8220;托姆复形&#8221;、建立了微分流形的大范围理论中的基本定理。
　　姓名： L．V．霍曼德尔（Hormander，Lars Valter）。
出生日期（获奖时年龄）：日（31岁）。
籍贯：瑞典。
获奖年度、地点：1962年、斯德哥尔摩。
获奖前后的工作地点：斯德哥尔摩 大学。
主要成就：常系数线性偏微分算子理论；变数系线性偏微分方程解的存在性伪微分算子理论。
　　姓名：J．W．米尔诺（Milnor，John Willard）．
出生日期（获奖时年龄）：日（31岁）。
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1962年、斯德哥尔摩。
获奖前后的工作地点：普林斯顿大学。
主要成就：微分拓扑中七维球面上存在不同微分结构的证明；否定了皮加莱主猜想；发展复配过、自旋配边理论；代数K理论和复超曲面的奇点；对代教、代数数论作出了贡献．
　　姓名：M．F．阿蒂雅（Atiyah，Michae Francis）。
出生日期（获奖时年龄）：月（37岁）。
籍贯：英国。
获奖年度、地点：1966年、莫斯科。
获奖前后的工作地点：牛津大学。
主要成就：绘出了阿蒂雅──辛格指
标定理；为K理论的发展作出了重要贡献；解决了李群表示论、与规范场有关的代数几何中的若干问题，把不动点原理推广到一般形式。
　　姓名：P．J．科恩（Cohen，Paul Joseph）
出生日期（获奖时年龄）：日（32岁）。
藉贯：美国。
获奖年度、地点：1966年、莫斯科。
获奖前后的工作地点：斯坦福大学。
主要成就：证明了连续统假设与ZF集合公理系统彼此独立，从而使连续统假设成为一种既不能证明，又不能推翻的现代逻辑工具；对抽象调和分析颇有建树。
　　姓名：A．格罗登迪克（Crothendieck，Alexandre）。
出生日期（获奖时年龄）：日（38）岁。
籍贯：法国。
获奖年度、地点：1966年、莫斯科。
获奖前后的工作地点：巴黎高等科学研究所。
主要成就：创立了一整套现代代数几何学抽象理论体系；在泛函分析中引入核空间、张量积；对同调代数也有建树。
　　姓名：S．斯梅尔（Smale，Stephen）。
出生日期（获奖时年龄）：日（36岁）。
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1966年、莫斯科。
获奖前后的工作地点：加州大学伯克利分校。
主要成就：解决微分拓扑学中广义
庞加莱猜想；创立现代抽象微分动力系统
理论；在数理经济学和运筹学等方面也有重要贡献。
　　姓名： A．贝克（Baker，Alan）。
出生日期（获奖时年龄）：日（31岁）。
籍贯：英国。
获奖年度、地点：1970年、尼斯。
获奖前后的工作地点：剑桥大学。
主要成就：解决了数论中十几个历史悠久的困难问题，范围涉及超越数论、不定方程和代数数论等方面；在二次数域方面，他解决了高斯时代留下来的一个老问题，肯定了类数为1的虚二次数域只有9个。
　　姓名：广中平佑（Hironaka Heisu-ke）。
出生日期（获奖时年龄）：日（39岁）．
籍贯：日本。
获奖年度、地点：1970年、尼斯。
获奖前后的工作地点：哈佛大学。
主要成就：完全解决了任何维数的代数簇的寄点解泪问题，建立了相应定理，并把这一结果向复流形推广，对一般奇点理论作出了贡献。
　　姓名：S．P．诺维科夫（Novikov，S．P．）
出生日期（获奖时年龄）：日（32岁）．
籍贯：苏联。
获奖年度、地点：1970年尼斯。
获奖前后的工作地点：斯捷克洛夫数学研究所。
主要成就：微分拓扑学配边理论，叶状结构理论；证明了微分流形有理庞特里亚金示性类的拓扑不变性；孤立子理论。
　　姓名：J．G．汤普逊（Thompson，John Grggs）。
出生日期（获奖时年龄）：日（38岁）。
籍贯：美国．
获奖年度、地点：1970年、尼斯。
获奖前后的工作地点：芝加哥大学
主要成就：解决有限单群的伯恩赛德猜想和弗洛贝纽斯猜想，在有限群论方面作出了重要贡献。
　　姓名：D．B．曼福德（Mumford，David Bryart）。
出生日期（获奖时年龄）：日（37岁）。
籍贯：英国（美籍）。
获奖年度、地点：1974年、温哥华。
获奖前后的工作地点：哈佛大学。
主要成就：代数几何学参模理论，他创造性地应用了不变式理论，导致许多新结果，并由此产生了几何不变式论；证明了代数曲面与代数曲线和高维代数簇有一个不同之处，对代数曲面的分类作出了贡献。
　　姓名： E．庞比里（Bombieri，Enrico）。
出生日期（获奖时年龄）：日（34岁）。
籍贯：意大利。
获奖年度、地点：1974年、温哥华。
获奖前后的工作地点：米兰大学、比萨大学。
主要成就：改进数论大筛法，得出了所谓庞比里中值公式，证明了哥德巴赫猜想中的（1+3）；对极小曲面问题的伯恩斯坦猜想提出了反例；有限单群分类问题中一类李型单样的唯一性证明。
　　姓名：C．费弗曼（Fefferman，Charles）。
出生日期（获奖时年龄）：日（29岁）。
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1978年、赫尔辛基。
获奖前后的工作地点：普林斯顿大学。
主要成就：傅立叶级数收敛问题及其与奇异积分算子的联系；发现哈代空间H1与有界平均振动函数空间BMO的对偶关系；给出非退化线性偏微分方程局部可解性的一个充分必要条件；证明一个具有光滑边界的严格伪凸域到另外一个的双全纯映射可以光滑地延拓到边界上。
　　姓名： P．德利汉（Deligne，Pierre）。
出生日期（获奖时年龄）：日（34岁）。
籍贯：比利时。
获奖年度、地点：1978年赫尔辛基。
获奖前后的工作地点：巴黎高等科学研究所。
主要成就：解决代数几何学中联系素数与有限域中代数方程根的个数的韦伊猜想，以简洁清晰的证明解决了这一代数几何的中心问题，得到了&#958;函数理论的&#8220;韦伊──德利涅定理&#8221;；对调和分析、多复变函数均有建树。
　　姓名： D．奎伦（Quillen，Daniel）。
出生日期（获奖时年龄）：日（38岁）。
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1978年、赫尔辛基。
获奖前后的工作地点：马萨诸塞理工学院。
主要成就：解决了代数X理论中亚当斯猜想；得到K理论中塞尔猜想的证明，并开始将代数归结为拓扑，复配边理论与形成代数K理论的基础。他还在同伦理论，形式群理论，同调代数一有限群的上同调论等方面取得重要成果。
　　姓名：G．A．马古利斯（Margulis，G．A．）
出生日期（获奖时年龄）：日（32岁）。
籍贯：苏联。
获奖年度、地点：1978年、赫尔辛基。
获奖前后的工作地点：莫斯科通讯研究所。
主要成就：综合地利用代数、分析和数论的近代成果，特别是各态遍历性理论，彻底解决了关于李群的离散子群的赛尔伯格猜想。
　　姓名：A．孔耐（Connes，Alan）。
出生日期（获奖时年龄）：日（35岁）。
籍贯：法国。
获奖年度、地点：华沙。
获奖前后的工作地点：巴黎高等科学研究所。
主要成就：从事算子代数研究，引进了新的不变量，将Ⅲ型代数分为子类，进一步把这些代数旧结为Ⅱ型代数及其自同构，然后按外自同构进行系统归类，从根本上解决了J．冯诺依曼留下的代数分类问题。
　　姓名：W．色斯顿（Thurston，William）。
出生日期（获奖时年龄）：日（36岁）．
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1983年、华沙。
获奖前后的工作地点：普林斯顿大学。
主要成就：讨论了三维流形上的叶状结构，并对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍的结果；他借助于电子计算机：基本完成了三维闭流形的拓扑分类。
　　姓名：丘成桐（Yan Sheng－tung）。
出生日期（获奖时年龄）：日（33岁）。
籍贯：中国（美籍）。
获奖年度、地点：1983年、华沙。
获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。
主要成就：证明微分几何中的卡拉比猜想；证明了广义相对论中的正质量猜想；并在高维闵科夫斯基问题、三维流形的拓朴学与极小曲面等方面均有创见。
　　姓名：S．唐纳森（Donaldson，simon）。
出生日期（获奖时年龄）：日（29岁）。
籍贯：英国。
获奖年度、地点：1986年、伯克利。
获奖前后的工作地点：牛津大学。
主要成就：关于四维流形拓扑的研究。他发现了四维几何学中难以预料与神秘的现象，得出存在&#8220;怪异&#8221;四维空间的结论，即与标准欧氏空间R1拓扑同胚但不微分同胚的微分流形。
　　姓名： G．福尔廷斯（Faltings，Gerd）。
出生日期（获奖时年龄）：日（32岁）。
籍贯：德国。
获奖年度、地点：1986年、伯克利。
获奖前后的工作地点：普林斯顿大学，乌珀塔尔大学。
主要成就：用代数几何学方法证明了数论中的莫德尔猜想；他对阿贝簇的参模空间、算术曲面的黎曼──定理、Padic霍奇理论等也有创见。
　　姓名：M．弗里德曼（Freedman，Michael）。
出生日期（获奖时年龄）：日（35岁）。
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1986年、伯克利。
获奖前后的工作地点：加利福利亚大学，加州大学圣地亚哥分校。
主要成就：证明了四维流形拓扑的庞加莱猜想，因而刻划了球面S1，并且提供了对再一般的四维流形的、容易陈述但证明很难的分类定理；对偏微分方程、相对论也有建树。
　　姓名： V．德里费尔德（Drinfel&#8217;d，Vladimir）。
出生日期（获奖时年龄）；1954年（36岁）。
籍贯：苏联。
获奖年度、地点：1990年、东京。
获奖前后的工作地点：哈尔科夫低温物理研究所。
主要成就：他的工作在&#8220;类域&#8221;（Galois扩张的分类）的传统理论之内，即在算术领域之内，但建立于代数几何新对象的结构上；他称之为模（modules）。他的主要成就与量子群有关，它是一些代数（Hopf代数），具有能连续变形的特征。
　　姓名： F．R．J．沃思（Vaughan，F．R．Jones）。
出生日期（获奖年龄） 1953年（37岁）
籍贯：新西兰。
获奖年度、地点：1990年、东京。
获奖前后的工作地点：加州大学伯克利分校。
主要成就：扭结理论。他的工作与纽曼代数中的因子分数有关，他发现了合痕的一个不变量，它是一个和1／的多项式（g是一个变量）：两个同痕的结有相同的不变量。
　　姓名：森重文（Shigffumi MorD。
出生日期（获奖时年龄）：日（39岁）。
籍贯：日本。
获奖年度、地点：1990年、东京。
获奖前后的工作地点：京都数学科学研究所。
主要成就：三维代数族的分类。他建立了一种三维代数簇的分类研究，他发现了一些变换，它们正好只存在于至少三维的情形：被称为&#8220;flip&#8221;，从而更新了广中平佑对奇点的研究。
　　姓名： E．威滕（Witten，Edward）。
出生日期（获奖时年龄）：1951年（38岁）。
籍贯：美国。
获奖年度、地点：1990年、东京。
获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。
主要成就：弦理论。他对&#8220;超弦理论&#8221;做出了很大贡献，这一理论完全可能在相对性理论、量子力学和粒子相互作用之间做出统一的数学处理（这是A．爱因斯坦大半生追求的梦想）。他证明了（在陈一Simons理论的所有情况下）状态空间是二线的。
沃尔夫数学奖
由于菲尔兹奖只授予40岁以下的的年轻数学家，所以年纪较大的数学家没有获奖的可能。恰巧1976年1月，R. 沃尔夫及其家族捐献一千万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学.艺术的发展。沃尔夫基金会设有：数学.物理.化学.医学.农业五个奖（1981年又增设艺术奖）。1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，每个奖的奖金为10万美元，可以由几人分得。由于沃尔夫数学奖具有终身成就奖的性质，所有获得该奖项的数学家都是享誉数坛.闻名遐迩的当代数学大师，他们的成就在相当程度上代表了当代数学的水平和进展。该奖的评奖标准不是单项成就而是终身贡献，获奖的数学大师不仅在某个数学分支上有极深的造诣和卓越贡献，而且都博学多能，涉足多个分支，且均有建树，形成了自己的著名学派，他们是当代不同凡响的数学家。
R. 沃尔夫1887年生于德国，其父是汉诺威城的五金商人。沃尔夫曾在德国研究化学，并获得博士学位，后移居古巴。他用了近20年的时间，经过大量试验.历尽艰辛，成功地发明了一种从熔炼废渣中回收铁的方法，从而成为百万富翁。他是沃尔夫基金会的倡导者和主要捐献人。沃尔夫于1981年逝世。
2000年: 博特 塞尔（Jean-Pierre Serre）　　1999年: 斯坦（E. M. Stein ） 洛瓦斯（L&#225;szlo Lov&#225;sz）　　1997年: 凯勒（J.B.Keller） 西奈（Y.G.Sinai） 　　1996年:怀尔斯（A.J.Wiles） 朗兰兹（R.Langlands）　　1995年: 莫泽（J.K.Moser） 　　1993年: 蒂茨(J.Tils) 格罗莫夫（M.Gromov）　　1992年: 汤普森（J.G.Thompson） 卡尔森（L.A.E.Carleson） 　　1990年: 德.乔治（E.de Giorgi） 皮亚捷斯基-夏皮诺（I.Piatetski-Shapiro） 　　1989年: 米尔诺（J.W.Milnor） 卡尔德隆（A.P.Calderon） 　　1988年: 赫曼德尔（L.V.Hormander） 希策布鲁赫（F.Hirzebruch） 　　1987年: 拉克斯（P.D.Lax） 伊藤清(K.Ito) 　　1986年: 爱伦伯格(S.Eilenberg) 塞尔伯格（A.Selberg） 　　年: 列伟（H.lewy） 小平邦彦（K.Kodaira） 　　年: 陈省身 爱尔特希 （P.Erdos）　　1982年: 克列因（M.G..Krein） 惠特尼（H.Whitney） 　　1981年: 扎里斯基（O.Zariski） 阿尔福斯（L.V.Ahlfors） 　　1980年: 柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov） 嘉当（H..Cartan） 　　1979年: 韦伊（A.Weil） 勒雷（J.Leray） 　　
数学中的皇冠——数论
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。 它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题──整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本&#8220;材料&#8221;，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的&#8220;中国剩余定理&#8221;，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于&#8220;质数有无限多个&#8221;这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了&#8220;三角和方法&#8221;，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决&#8220;哥德巴赫猜想&#8221;问题中也使用的是解析数论的方法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是&#8220;空间格网&#8221;。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用&#8220;孙子定理&#8221;来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过&#8220;数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠&#8221;。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做&#8220;皇冠上的明珠&#8221;，以鼓励人们去&#8220;摘取&#8221;。下面简要列出几颗&#8220;明珠&#8221;：费尔马大定理、孪生素数问题、哥德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题&#8230;&#8230;
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在&#8220;筛法&#8221;和&#8220;哥德巴赫猜想&#8221;方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明&#8220;哥德巴赫猜想&#8221;的&#8220;一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和&#8221;以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是&#8220;哥德巴赫猜想&#8221;的最好结果。
1978年: 西格尔（C.L.Siegel） 盖尔范德（L.M.gelfand）
时间和角度的六十进位制
时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？
我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。
原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60&#8230;&#8230;
数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"&#8242;"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"&#8243;"来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。
这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。
现代数学上的三大难题
现代数学上的三大难题：
一是有20棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗？
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