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2.8有理数域上多项式(三)
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高等数学答案
多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系，却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。对于多元多项式，则主要讨论字典排列法与对称多项式。
重难点归纳与分析 (一) 基本内容概述
多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分，其中一元多项式主要讨论：
1． 一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与
运算规律。
2． 一元多项式的整除性理论：主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基
本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。
3． 一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因
式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4． 一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根
的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳
本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式、互素及不可约多项式等概念的联系与区别。 （三）题型归类与分析 本章的基本题型主要有：
1． 关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定
多项式的次数及证明有关命题。
2． 关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的
判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。
3． 关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判
别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。
4． 关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及球多
项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。
5． 关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其
中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。
（四） 综合举例
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