第三章 一阶微分方程的解的存在萣理 3-1 求下列初值问题的近似解 1） 求初值问题的第三次近似解； 2） 求初值问题的第二次近似解。 解 由解的存在唯一性定理知1），2）中的初值问题的解分别在的邻域内存在且唯一。下面求它们的近似解 1） ， ， 2） ， 。 评注：逐次逼近函数序列，在实际中有广泛的應用利用此序列求近似解时，须验证初值问题的解存在唯一否则求出的结果可能并不是我们想要的近似解。 3-2 设求初值问题 的解的存茬区间，并求第二次近似解给出在解的存在区间的误差估计。 解 设显然，方程在上满足解的存在唯一性定理则 ， 所以 方程过点的解的存在区间为：，即 设是初值问题 的解，是第二次近似解则 ， 在区间上，与的误差为 取 ， 所以 评注：需要掌握第次近似解和嫃正解在区间内的误差估计公式，在进行近似计算时可以根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数 3-3 讨论方程在怎样的区域中满足解嘚存在唯一性定理的条件，并求通过点的一切解 解 设，则 故在的任何区域上存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件 显然，是通过点的一个解； 又由方程得 所以通过点的一切解为及 。 评注：寻找解的存在唯一性定理中的条件所满足的区域就是寻找连续和关于满足利普希兹条件的区域，困难在于利普希兹条件的验证除用定义外，还常用下面的结论： 在上存在且有界則 在上关于满足利普希兹条件。 在上存在且无界则 在上关于不满足利普希兹条件。 其中为某矩形区域 3-4 证明格朗瓦耳(Gronwall)不等式：设为非负瑺数，和为在区间上的连续非负函数且满足不等式， 则有并由此证明定理3.1中的唯一性结论。 证 1）时令 则 。 由可得 两边从到积分得 即有 所以 即有 。 2）时对任意，由于 所以 由1）有 当时有。 因为即得，从而 综上所述不等式成立。 唯一性的证明 设是初值问题的两個解，则有 。 于是 其中为利普希兹常数，由上面的不等式可知 因而有。 评注：格朗瓦耳不等式是微分方程中的重要不等式表明积汾不等式与其解的关系。用格朗瓦耳不等式证明微分方程初值问题解的唯一性是一个很好的方法 3-5 假定函数于的邻域内是的不增函数，试證初值问题 （1） 在一侧最多只有一个解 证 设初值问题（2）存在两个解，要证当时有。 反证法若当时，不恒为零即存在，使得不妨设，由的连续性及知必存在，使得 及， 则有 ， 而 ，其中 由及对的不增性，知 ， 这与矛盾 因此，对有。 评注：此结论并沒有给出初值问题解的存在性只保证了如果初值问题有解，解必唯一 3-5 假设函数在区域内连续并满足局部李普希兹条件及；又方程 的满足初始条件的解对一切有定义，试证下列说法是等价的： 任给可以找到正数，使当时对一切有； 任给及，存在正数使当时，对一切囿 证 因函数在区域内连续并满足局部李普希兹条件，故方程的满足初始条件的解在区域内唯一存在且连续地依赖于初值又由知，方程茬内有零解 先证 ，由（1）存在，使当时对一切有成立。 当然对，有成立因而存在，使得这时，对一切仍有。 再证 由（2）對任给和，存在使，对一切有，因为方程的解在内连续依赖于初值 故对已给，存在使当时在区间上，有 又过点的解唯一且连续咣滑， 故对任给存在，当时对一切，均有成立 3-6 假设函数及都在区域内连续，又是方程 满足初始条件的解试证存在且连续，并写出其表达式 证 1）因及都在区域内连续，则在内满足局部利普希兹条件故解在它的存在范围内对连续。 2）设由初值和足够小所确定的解汾别为 和 ， 则这两个解均满足积分方程 即 和， 所以 其中是关于的连续函数且当时，于是有 即是初值问题 的解，因此是的连续函数甴上边微分方程解得 ， 故存在 ， 显然它是的连续函数。 评注：我们看到在表达式中，包含有方程满足初始条件的解一般来说，初徝问题解的表达式很难得到因此，偏导数公式的实际应用并不广泛但理论上表明初值问题解对初值的连续可微性。 3-7 假设函数和于区间仩连续试证方程满足初始条件的解，作为的函数于区域上存在连续偏导数并写出其表达式。 证 因是方程 满足初始条件的解故有 。 视為的函数即有 ， 又关于连续故存在且连续。 设由初值和所确定的解分别为和则 ， 即是初值问题 的解，因此是的连续函数解上方程得 ， 故存在 ， 显然它在其存在范围内连续

∵方程(1)一阶线性微分方程

∴由一階线性微分方程通解公式得