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(最多只允许输入30个字)一元二次方程_百度百科
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一元二次方程
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式为：ax?+bx+c=0（a≠0）。
一元二次方程历史发展
公元前2000年左右，的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受，所以负根是略而不提的。
的文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
大约公元前480年，中国人已经使用求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x?+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了。
公元前300年左右，古希腊的（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更的方法求解二次方程。
古希腊的（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，印度的（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x?+px+q=0的一个求根公式。
公元820年，阿拉伯的（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
法国的（）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。[1]
一元二次方程满足条件
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是，即等号两边都是，方程中如果有；且在分母上，那么这个方程就是，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是2。
一元二次方程方程形式
一元二次方程一般形式
ax?+bx+c=0(a≠0)
其中ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是；c是。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的。[2]
一元二次方程变形式
ax?+bx=0(a、b是，a≠0);
ax?+c=0(a、c是实数，a≠0);
ax?=0(a是实数，a≠0)。
一元二次方程配方式
一元二次方程两根式
一元二次方程求解方法
一元二次方程直接开平方法
形如x?=p 或(nx+m)?=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接法解一元二次方程。
如果方程化成x?=p的形式，那么可得
如果方程能化成(nx+m)?=p(p≥0)的形式，那么
，进而得出方程的根。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个。　　③方法是根据的意义开平方。[3]
一元二次方程配方法
将一元二次方程配成(x+m)?=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法。
用法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是a?+b?±2ab=(a±b)?
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
例一：用配方法解方程
解：将常数项移到方程右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方：
直接开平方得：
∴原方程的解为
一元二次方程求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式
，确定a，b，c的值（注意符号）；
的值，判断根的情况；
（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式
进行计算，求出方程的根。
一元二次方程的求根公式导出过程如下：
（为了配方，两边各加
（化简得）。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、、或是任意中适用。
一元二次方程中的判别式:
应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有。
一元二次方程的求根公式导出过程如下：
a的取值范围任意，c取值范围任意，
。从abc 的取值来看可出1亿道方程以上，与因式分解相符合。
运用韦达定律验证：
一元二次方程因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；
③令每个因式分别为零
④括号中x，它们的解就都是原方程的解。
一元二次方程图像解法
一元二次方程
的根的几何意义是
的图像（为一条）与x轴交点的X坐标。
时，则该函数与x轴相交（有两个交点）；
当时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）；
时则该函数与x轴相离（没有交点）。
另外一种解法是把一元二次方程
则方程的根，就是函数
交点的X坐标。
通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。
一元二次方程计算机法
在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序，比如软件，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及）。
一元二次方程方程解
一元二次方程含义
（1）一元二次方程的（根）的意义：　　能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
（2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（
一元二次方程判别式
利用一元二次方程根的（
）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程
的根与根的 有如下关系：
时，方程有两个不相等的实数根；
时，方程有两个相等的根；
时，方程无实数根，但有2个。
上述结论反过来也成立。
一元二次方程韦达定理
设一元二次方程
中，两根x?、x?有如下关系：
由一元二次方程求根公式知
．百度文库．[引用日期]
．百度文库．[引用日期]
．互动百科[引用日期]
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清除历史记录关闭一元二次方程的解法（配方法）教学设计
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一元二次方程的解法（配方法）教学设计
作者：佚名 资料来源：网络 点击数：
一元二次方程的解法（配方法）教学设计
文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m 一元二次方程的解法（配方法）教学设计教学目标：（一）知识与技能：1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。（二）过程与方法目标：1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想。2、在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程的过程，培养学生用转化的数学思想解决实际问题的能力。（三）情感,态度与价值观&&& 启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径，提高学生分析问题,解决问题的能力。教学重点、难点：重点：理解并掌握配方法，能够灵活运用用配方法解一元二次方程。难点：通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。教学方法：根据教学内容的特点及学生的年龄、心理特征及已有的知识水平，本节课采用问题教学和对比教学法，用“创设情境――建立数学模型――巩固与运用――反思、拓展”来展示教学活动。教学过程教学过程教学内容学生活动设计意图一 复习旧知用直接开平方法解下列方程：（1）9x2=4&& (2)( x+3)2=0总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。二 创设情境，设疑引新在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决。例：小明用一段长为 20米的竹篱笆围成一个矩形，怎样设计才可以使得矩形的面积为9米？&&三 新知探究&1 提问：这样的方程你能解吗？x2＋6x＋9＝0&&&&& ①2、提问：这样的方程你能解吗？x2＋6x＋4＝0&&&&&&& ②思考：方程②与方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？归纳总结配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配方法。配方法的依据：完全平方公式配方法的关键：给方程的两边同时加上一次项系数一半的平方&点拨：先通过移项将方程左边化为x2＋ax形式，然后两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后直接开平方求解。&四 合作讨论，自主探究1、 配方训练(1) x2+12x+(& )=(x+6)2(2) x2-12x＋(& )＝(x-& )2(3) x2+8x+(& )=(x+& )2(4) x2+mx+(& )=(x+& )2&强调：当一次项系数为负数或分数时，要注意运算的准确性。&2、将下列方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式并计算出X值。（1）x2－4x＋3＝0（2）x2＋3x－1＝0解：X2-4X+3=0移向：得X2-4X=-3配方:得X2-4X+2^2=-3+2^2(两边同时加上一次项系数一半的平方)即：（X-2)2=1开平方,得：X-2=1或X-2=-1所以：X=3或X=1方程（2）有学生完成。&3、巩固训练：课本55页随堂练习第一题。五 小结1、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的基本思路：先将方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后两边开平方就可以得到方程的解。2、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的一般步骤：（1） 移项（常数项移到方程右边）（2） 配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）（3） 开平方（4） 解出方程的根六 布置作业习题2.3第1,2题两个学生黑板上那解题，剩余学生练习本上计算。&学生观看，思考老师提出的问题，得到：设该矩形的长为x米，依题意得x(10－x)=9&但是发现所列方程无法用直接开平方法解。于是引入新课。&学生通过观察发现，方程的左边是一个完全平方式，可以化为( x+3)2=0，然后就可以运用上节课学过的直接开平方法解了。&&&方程②的左边不是一个完全平方式，于是不能直接开平方。学生陷入思考，给学生充分思考、交流的时间和空间。在学生思考的时候，老师引导学生将方程②与方程①进行对比分析，然后得到：x2＋6x＝－4x2＋6x＋9＝－4＋9&（x+3）2=5从而可以用直接开平方法解，给出完整的解题过程。&在学生充分思考、讨论的基础上总结：配方时，常数项为一次项系数的一半的平方。检查学生的练习情况。小组合作交流。&&&& 学生归纳后教师再做相应的补充和强调。学生分组完成方程（2）和课后随堂练习第一题&学生分组总结本节课知识内容。&&&&文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m
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一元二次方程有四种解法
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方法技巧一元二次方程的解法例析
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）； （2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴，∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二次项系数化为1，移常数项得：，配方得：，即直接开平方得：∴，二次项系数化为1，移常数项得：方程两边都加上一次项系数一半的平方得：即直接开平方得：∴，∴原方程的解为：，说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。例4：用公式法解下列方程。（1）；（2）分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。解：（1），化为一般式：求出判别式的值：＞0代入求根公式：，∴，（2）化为一般式：求出判别式的值：＞0∴∴，说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。例5：用分解因式法解下列方程。（1）；（2）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。解：（1）左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，（2）化简变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。例6：选用恰当的方法解下列方程。（1）； （2）（3）； （4）分析：第（1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；第（4）题采取配方法较为简便。解：（1）整理得：直接开平方得：∴，（2）分解因式得：∴，（3）整理得：求出判别式的值：＞0∴，∴，（4）配方得：直接开平方得：∴，总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。【附训练典题】1、用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.2、用配方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.3、用公式法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.4、用因式分解法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.5、选用适当的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）
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