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如何判断周期函数周期.
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1.三角函数的周期可以根据公式,弦函数的2π/w,切函数的π/w（w为正）2.一般的函数需要根据周期的定义来判断,不过除了三角函数外,没有给出解析式的函数是周期的函数,所以这类函数往往都是告诉你这个函数的一个性质,让你推知周期,常见 的周期情况有f(x+T)=f(x),周期为Tf(x+a)=-f(x),周期为2af(x+a)=1/f(x),周期为2af(x+a)=－1/f(x),周期为2af(x+a)=1＋f(x)/1-f(x),周期为4a3.周期的本质是自变量增加一个值以后,函数值恒变回原来的值,可以对照函数的性质式观察：如f(-x-3)=f(-x),其实就是对-x这个量来说,减少了3,函数值返回,故周期为3f(x-3)=f(x＋3),x+3相对x-3来说,增加了6,这样函数值总是不变,故周期为6注意和这种形式对比：1.f(－x-3)=f(x＋3),这个其实说提x+3和它的相反数-(x+3)的函数值一直相等,故说明其为偶函数2.f(－x＋3)=f(x＋3),括号里两个自变量在数轴上关于x＝3对称,故图像关于直线x＝3对称以上请注意仔细体会
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第6课时 函数的单调性和周期性
日15:41:25　　
第6课时 函数的单调性和周期性
●高考要求
理解函数的单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性，了解函数周期性的概念.
●见证考题
【考题】 (2004年天津卷)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π，且当x∈［0，
］时，f(x)=sinx，则f(
&& &&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
－2π∈［－
，0］，－(
－2π)∈［0，
又f(x)是R上的最小正周期为π的偶函数，
=sin(2π－
点拨：(1)本题考查函数的奇偶性和周期性；
(2)解这类问题的一般方法是将所给的x的值通过周期性和奇偶性，转化到所给函数的定义域中去.
●知识链接
1.函数的单调性是函数的&&&&& 的统称，单调区间也是如此.函数y=f(x)的单调性的实质是当自变量x处在一个不断变大的过程中，函数y也处在这个相应的不断变大(增函数)或不断变小(&&&&&
函数)的过程中.
2.研究函数的单调性必须在&& &&&进行，单调区间是定义域的子集.定义法是讨论函数单调性的基本而重要的方法，其步骤为：①&&&&&&& ；②&&&&&
；③&&&&&&&&
3.单调性与“区间”紧密相关，一个函数在不同区间可有不同单调性；单调性是函数在某一区间的“&&&&& ”性质，因此定义中的x1、x2具有&&&&&
，不能用特值取代，如我们要证f(x)=x2+1在［1，3］上是增函数，不能因为f(3)＞f(1)便认为得到证明，但此时可以断定f(x)在［1，3］上不是减函数(为什么?).
4.增(减)函数的图象在其区间D上从左向右是&&&&& .
5.如果对函数定义域内的任何x，都有&&&&& ，则f(x)叫做周期函数，T叫做函数的周期.显然如果T是函数的周期，则nT(n为整数)也是函数的周期，故函数的周期是不唯一的，在所有的正周期中如果存在一个最小的周期，则叫做&&&&& ，一般说函数的周期都是指函数的最小正周期.
●重点、难点、疑点剖析
一、函数单调性的判断是重点
【例1】 判断函数y=x+
在(0，1］上的单调性.
分析：判断函数的单调性往往用单调性的定义.
解：取x1、x2∈(0，1］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)=x1+
=(x1－x2)+
∵0＜x1＜x2≤1，
∴x1－x2＜0，x1x2－1＜0，x1x2＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)＞0.
∴f(x)在(0，1］上是减函数.
归纳：利用单调性的定义是判断函数单调性的关键.
【类题演练1】 判断f(x)=
在x∈(1，+∞)上的单调性.
二、求函数的单调区间是难点
【例2】 求函数y=x+
的单调区间.
分析：求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法：
(1)图象法，(2)定义法，(3)利用已知函数的单调性.
但本题图象不易作，利用y=x与y=
的单调性(一增一减)，也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x2)－f(x1)的正负.
解：首先确定定义域：
｛x｜x∈R且x≠0｝，
∴在(－∞，0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.
任取x1、x2∈(0，+∞)且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)=x2+
=(x2－x1)+
=(x2－x1)(1－
)，要确定此式的正负只要确定1－
的正负即可.
这样，又需要判断
大于1还是小于1，由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0，1)与(1，+∞)(这是本题的关键).
(1)当x1、x2∈(0，1)时，1－
∴f(x2)－f(x1)＜0，为减函数.
(2)当x1、x2∈(1，+∞)时，1－
∴f(x2)－f(x1)＞0，为增函数.同理可求：
(3)当x1、x2∈(－1，0)时，为减函数；
(4)当x1、x2∈(－∞，－1)时，为增函数.
归纳：解答本题易出现以下错误结论：f(x)在(－1，0)∪(0，1)上是减函数，在(－∞，－1)∪(1，+∞)上是增函数，或说f(x)在
(－∞，0)∪(0，+∞)上是单调函数，排除障碍是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，不是两个或两个以上不相交区间的并.
【类题演练2】 求y=
的减区间与y=
三、利用单调性研究抽象函数的性质是疑点
【例3】 函数f(x)在定义域(－1，1)内是增函数，且满足f(－x)=－f(x)和f(1－a)+
f(1－a2)＜0，求a的取值范围.
分析：抽象函数的问题要充分利用函数的性质.
解：∵f(1－a)+f(1－a2)＜0
有f(1－a)＜－f(1－a2)，
又f(－x)=－f(x)，∴－f(1－a2)=f(a2－1)，
∴f(1－a)＜f(a2－1).
又∵f(x)在定义域内是增函数，
归纳：本题考查了利用函数的奇偶性、单调性，以及函数三要素等基本概念解决问题的能力；解题关键是抓住题目已知条件给出的函数定义域、值域、奇偶性、单调性列出相应的不等式组解之，注重单调函数是可逆的.
【类题演练3】 定义在［－2，2］上的函数g(x)满足g(－x)=g(x)，当x≥0时，g(x)单调递增.若g(1－m)&g(m)，求m的取值范围.
●解题方法归纳
1.比较法是通过比差、比商两个途径去断定、证明函数的单调性的，即在定义域上的任意x1、x2且x2＞x1，有f(x2)－f(x1)〔或
〕的正负(大于或小于1)的.
2.图象法是通过作出函数的图象去求单调区间的，如：f(x)=｜x－1｜，f(x)=0.5x等.
3.判定复合函数的单调区间，复合函数y=f［φ(x)］的单调性的规律是“同增异减”，即y=f(u)与u=φ(x)，若具有相同单调性，则f［φ(x)］必定是增函数，若具有不同单调性必定是减函数.讨论复合函数单调性的一般步骤是：①求复合函数定义域；②将复合函数分解成若干基本函数并求单调区间；
③分区间据上述规律确定复合函数单调性.
4.应用函数单调性解或证明不等式，求函数值域及比较大小，求参数取值范围等题型.
5.会利用函数的周期性进行转化思维(如求函数值、比较大小等题型).
6.求导法，对于高次(大于2次)多项式函数，一般都可用求导法求单调区间.
●考点训练
一、选择题
1.若函数f(x)为R上以2为周期的偶函数，且在［－1，0］上为减函数，则f(x)在［2，3］上是
A.增函数&&&&&&&&&&&&&
C.先增后减函数
D.先减后增函数
2.若f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是
3.已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且f(x)=－f(x+2).当0≤x≤1时，f(x)=
，那么使f(x)=－
成立的x的值为
A.2n(n∈Z)
B.2n－1(n∈Z)
C.4n+1(n∈Z)
D.4n－1(n∈Z)
4.已知y=f(x)=loga｜x+1｜，在(－1，0)上是增函数，则y在(－∞，－1)上是
A.由正到负减函数
B.由负到正增函数
C.减函数且恒为正数
D.时增时减
二、填空题
5.若f(x)=2x2+px+3，在(－∞，1］上是减函数，在［1，+∞)上是增函数，则f(1)=_______________.
(3－2x－x2)的单调增区间是_______________.
7.函数y=x2－4｜x｜－1的递增区间为_______________.
三、解答题
8.当a≠0时，讨论函数f(x)=
(－1＜x＜1)的单调性.
9.已知函数f(x)=
，x∈［1，+∞).
时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈［1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
10.已知f(x)=x2+c，且f［f(x)］=f(x2+1).&&& (1)设g(x)=f［f(x)］，求g(x)的解析式.
(2)设φ(x)=g(x)－λf(x)，试问是否存在实数λ，使φ(x)在(－∞，－1)内是减函数，并在(－1，0)内是增函数.
●迷你小网吧
有周期而没有最小正周期的函数
最常见的是以常值函数来作为它的一个实例.对于函数f(x)=1(x∈R)，任意一个非零实数都是它的一个周期，显然没有最小正周期.
又如前面第5课时提到的狄利克雷函数，不难证明：任意的非零有理数都是它的一个周期，因而也没有最小正周期.
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话说函数周期
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＞＞＞已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝l..
已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为(　　)A．3 B．5 C．7D．9
题型：单选题难度：中档来源：不详
C当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝l..”主要考查你对&&函数的单调性、最值&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
发现相似题
与“已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝l..”考查相似的试题有：
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