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2017届高考理科数学一轮练习：2.13定积分与微积分基本定理（含解析）
2017届高考理科数学一轮练习：2.13定积分与微积分基本定理（含解析）
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第十三节　定积分与微积分基本定理(理科用)【最新考纲】　1.了解定积分的实际背景了解定积分的基本思想了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．
1．定积分的概念与几何意义
(2)定积分的几何意义
①当f(x)≥0时定积分(x)dx表示由直线x＝a＝b(a≠b)＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．当f(x)在[a]上有正有负时如图所示
则定积分(x)dx表示介于x轴曲线y＝f(x)以及直线x＝a＝b(a≠b)之间各部分曲线梯形面积的代数和即(x)dx＝A＋A－A－A2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝k(x)dx(k为常数)．(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝(x)dx±∫f2(x)dx.
(3)f(x)dx＝(x)dx＋(x)dx(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地如果f(x)是在区间[a]上的连续函数且(x)＝f(x)那么(x)dx＝F(b)－F(a)这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便常把F(b)－F(a)记作F(x)即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a]上连续f(x)dx＝(t)dt.(　　)(2)若f(x)是偶函数则(x)dx＝(x)dx.(　　)(3)若f(x)是奇函数则(x)dx＝0.(　　)(4)曲线y＝x与y＝x所围成的面积是(x－x)(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．已知质点的速率v＝10t则从t＝0到t＝t质点所经过的路程是(　　)　　　　　　　．
解析：答案：3．(2015·湖南卷)∫(x－1)＝________．解析：(x－1)＝＝－2＝0.答案：4．(2015·天津卷)曲线y＝x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图阴影部分的面积即为所求．
由得A(1)．故所求面积为S＝(x－x)dx＝＝答案：5．若＝9则常数T的值为________．解析：∵＝＝＝9＝3.答案：3
?一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求被积函数的原函数由此可知求导与积分是互为逆运算的关系．?两种方法求定积分的两种常用方法：一是利用微积分基本定理；二是利用定积分的几何意义．?四点注意被积函数若含有绝对值号应先去绝对值号再分段积分．若积分式子中有几个不同的参数则必须先分清谁是被积变量．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．定积分的几何意义是曲边梯形的面积但要注意：面积非负而定积分的结果可以为负．
一、选择题1．(2014·山东卷)直线y＝4x与曲线y＝x在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)　　　　　　　　　．
解析：令4x＝x解得x＝0或x＝±2＝(4x－x)＝＝8－4＝4.答案：2．从空中自由下落的一物体在第一秒末恰经过电视塔顶在第二秒末物体落地已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)则电视塔高为(　　)g
解析：电视塔h＝＝＝答案：3．(2016·河北五校联考)若f(x)＝(f(1))＝1则a的值为(　　)－1
．－2解析：因为f(1)＝＝0(0)＝＝t＝a所以由f(f(1))＝1得：a＝1＝1.答案：4．(2015·福建卷改编)如图点A的坐标为(1)，点C的坐标为(2)，函数f(x)＝x若在矩形ABCD内随机取一点则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
解析：S＝(4－x)dx＝＝所求概P＝＝＝答案：5．若S＝＝＝则S的大小关系为(　　)解析：S＝＝＝－＝＝＝＝＝xdx＝＝－＝(e－1)＝1且(e－1)．所以0若曲线y＝与直线x＝a＝0所围成封闭图形的面积为a则a＝________．解：求曲线y＝与直线x＝a＝0所围成封闭图形的面积封闭图形如图所示
则＝|＝－0＝a解得a＝答案：设变力F(x)作用在质点M上使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10已知F(x)＝x＋1且方向和x轴正向相同则变力F(x)对质点M所做的功为________(x的单位：力的单位：)．解析：变力F(x)＝x＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为＝(x)dx＝(x＋1)＝＝342()．答案：342三、解答题设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)f(x)dx＝f(x)，0≤x0≤1，求x的值．解：(x)dx＝(ax＋c)＝＝＋c故＋c＝ax＋c即ax＝又a≠0所以x＝0≤x0≤1，所以x＝10．(2015·陕西卷改编)如图一横截面为等腰梯形的水渠因泥沙沉积导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)求原始的最大流量与当前最大流量的比值．
解：建立如图所示的直角坐标系可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)由图易知(5)在抛物线上
可得p＝抛物线方程为x＝所以当前最大流量对应的截面面积为(2－)dx＝原始的最大流量对应的截面面积为＝16.所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为＝1.2.
Ziyuanku.com导数应用中的高考热点题型
函数是中学数学的核心内容而导数是研究函数的重要工具因此导数的应用是历年高考的重点与热点常涉及的问题有：求单调区间、求极值、求最值、求函数的零点或方程的根、求参数的范围证明不等式等涉及到的数学思想方法有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归中、高档难度题型均有．
热点1　利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题．函数的单调性、极值是局部概念函数的最值是整体概念研究函数的性质必须在定义域内进行因此务必遵循定义域优先的原则本热点主要有三种考查方式：(1)判断函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、　 (2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值且最大值大于2a－2时求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0＋∞)(x)＝－a.当a≤0则f′(x)>0所以f(x)在(0＋∞)上单调递若a>0则当x∈时(x)>0；当x∈时(x)0时(x)在x＝处取得最大值最大值为＝＋a＝－＋a－1.因此f－2等价于＋a－1<0.来源：ziyuanku.com令g(a)＝＋a－1则g(a)在(0＋∞)上单调递增(1)＝0.于是当0<a<1时(a)1时(a)>0.
因此的取值范围是(0)．
1．判断函数的单调性求函数的单调区间、极值等问题最终归结到判断f′(x)的符号问题上而f′(x)>0或f′(x)<0最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．若已知f(x)的单调性则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0　【变式训练】　已知函数f(x)＝x＋ax－x＋c且a＝f′(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x)·ex，若函数g(x)在x∈[－3]上单调递增求实数c的取值范围．解：(1)由f(x)＝x＋ax－x＋c得f′(x)＝3x＋2ax－1.当x＝时得a＝f′＝3×＋2a×－1解之得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x－x－x＋c.则f′(x)＝3x－2x－1＝3(x－1), 列表如下：
所以f(x)的单调递增区间是(－∞－)和(1＋∞)；(x)的单调递减区间是(3)函数g(x)＝(f(x)－x)·ex＝(－x－x＋c)·有g′(x)＝(－2x－1)＋(－x－x＋c)＝(－x－3x＋c－1)因为函数g(x)在x∈[－3]上单调递增所以h(x)＝－x－3x＋c－1≥0在x∈[－3]上恒成立．只要h(2)≥0解得c≥11所以c的取值范围是[11热点2　利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负为此我们可以通过讨论函数的单调性来解决其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．　 设函数f(x)＝＋R.
(1)当m＝(e为自然f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．解：(1)由题设当m＝时(x)＝＋则f′(x)＝由f′(x)＝0得x＝当x∈(0)，f′(x)0，f(x)在(＋∞)上单调递增当x＝时x)取得极小值f()＝＋＝2(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)令g(x)＝0得m＝－＋x(x>0)．设φ(x)＝－＋x(x≥0)则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)当x∈(0)时x)>0，φ(x)在(0)上单调递增；当x∈(1＋∞)时(x)时函数g(x)无零点；当m＝时函数g(x)有且只有一个零点；当0<m时函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时函数g(x)有且只有一个零点；当0<m0时(x)≥2a＋a.
规范解答：(1)f(x)的定义域为(0＋∞)(x)＝2－(x>0).2分当a≤0时(x)>0，f′(x)没有零点；3分当a>0时设u(x)＝(x)＝－因为u(x)＝在(0＋∞)上单调递增(x)＝－在(0＋∞)上单调递增．所以f′(x)在(0＋∞)上单调递增．又f′(a)>0当b满足0<b<且b<时(b)0时(x)存在唯一零点.6分(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0＋∞)上的唯一零点为x0当x∈(0)时(x)0.
故f(x)在(0)上单调递减在(x＋∞)上单调递增Ziyuanku.com所以当x＝x时(x)取得最小值最小值为f(x).9分由于2－＝0所以f(x)＝＋2ax＋a≥2a＋a.
故当a>0时f(x)≥2a＋a.12分【满分规则】(1)本题易失分点是忽视f(x)的定义域；忽视当a≤0时(x)>0的情况；求解使f′(b)<0的b所满足的约束条件；用f′(x)＝0求解f(x)的表达式．(2)得满分的原则讨论函数的性质应首先求出函数的定义域；当解析式中含有参数时应注意分类讨论；准确计算正确推理、论证并用规范的文字语言、符号语言进行表述．【构建模板】资源库第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；第二步：分类讨论f′(x)的单调性；第三步：判断f′(x)零点的个数；第四步：证明f(x)在f′(x)的零点取到最小值．第五步：求出f(x)最小值的表达式证明结论成立；第六步：反思回顾查看关键点、易错点和解题　【变式训练】　(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝a＋－bx(a≠1)曲线y＝f(x)在点(1(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x使得f(x)0，f(x)在(1＋∞)上单所以存在x使得f(x)<的充要条件为(1)<，即－1<解得－－1<a<－1.若则故当x∈时(x)0.
f(x)在上单调递减在上单调递增．所以存在x使得f(x)<的充要条件为1则f(1)＝－1＝
恒成立所以a>1.综上的取值范围是(－－1－1)∪(1＋∞)．
1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知函数(x)＝－－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)当x>0时(x)>0，求b的最大值．解：(1)f′(x)＝－－x－2≥0等号x＝0时成立所以f(x)在(－∞＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝－－2x－4b(＋－x)＋(8b－4)x(x)＝2[＋－2x－2b(＋－x)＋(4b－2)]＝2(＋－x－2)(＋－x－2b＋2)．当b≤2时(x)≥0，等号仅当x＝0时成立所以g(x)在(－∞＋∞)单调递增．而g(0)＝0所以对任意x>0(x)>0；当b>2时若x满足2<＋－x－2即0<x<(b－1＋)时(x)<0.
而g(0)＝0因此当0<x<(b－1＋)时(x)0即a－a又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0＋∞)上有两个不相等的实数根则k的取值范围是3．已知函数f(x)＝x－－axR.
(1)当a＝1时求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x求a的取值范围．解：(1)当a＝1时(x)＝x－－x(x)＝x∈(0，1)时(x)0.
所以f(x)的最小值为f(1)＝0.(2)由f(x)>x得f(x)－x＝x－－(a＋1)x>0.由于x>0所以f(x)>x等价于x－＋1.令g(x)＝x－则g′(x)＝当x∈(0)时(x)0.
故g(x)有最小g(1)＝1.故a＋1<1即a的取值范围是(－∞)．4．已知函数f(x)＝ax＋x的图象在点x＝(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z且k1恒成立求k的最大值．解：(1)因为f(x)＝ax＋x所以f′(x)＝a＋1.
因为函数f(x)＝ax＋x的图象在点x＝处的切线斜率为3所以f′()＝3即a＋＋1＝3所以a＝1.(2)由(1)知(x)＝x＋x又k1恒成立即k1恒成立．令g(x)＝则g′(x)＝令h(x)＝x－－2(x>1)来源：www.ziyuanku.com则h′(x)＝1－＝所以函数h(x)在(1＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－(4)＝2－2所以方程h(x)＝0在(1＋∞)上存在唯一实根x且满足x(3，4)．当1<x<x时(x)<0，即g′(x)x时(x)>0，即g′(x)>0所以函数g(x)＝在(1)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增所以[g(x)]＝g(x)＝＝＝x(3，4)．所以k<[g(x)]＝x(3，4) ，故整数k的最大值为3.5．(2016·贵阳期末)f(x)＝(a∈R)．(1)当a＝－1时求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时(x)＝(x)＝由f′(x)＝0得x＝2.当x变化时f′(x)(x)的变化情况如下表：
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝＝当a0解得a>－所以此时－；当a>0时(x)，F′(x)的变化情况如下表：
因为F(2)>F(1)>0且F(1－)＝<0，
所以此时函数F(x)总存在零点．综上所述所求实数a的取值范围是(－)．
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定积分的应用(数学一、二)
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