问题1锐角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？

问题锐角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？问题:锐角的正弦、余弦、正切是怎样定义的,,锐角三角函数就是以锐角为自变量以比值为函数值的函数。既然是函数你能在直角坐标系中表示锐角三角函数吗问题:如何在直角坐标系中找到可以代替锐角三角形中各边的量,O设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在,x第一象限在的终边上任取一点,它与原点的距离rab,,,Pab(,)OMb过P作轴的垂线垂足为M,则线段的长度为,线段MP的长度为xaOMaMPbMPb则:sin,,,cos,,,tan,,,OPrOPrOMa问题:对于确定的角这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变,,而改变呢,OPr,因此我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:OMMPbMPsin,,,bcos,,,atan,,,OPOPOMa问题:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函,数值呢我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐O标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆问题:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义如图,设是一个任意角,它的终边,ya的终边与单位圆交于点,那么:Pxy(,)P(x,ysin,y()叫做,的正弦记做,)O即sin,,yxcos,x,()叫做的余弦记做,cos,,x即yytan,()叫做的正切记做,即tan(),,,x,xx易见当α是锐角时此定义与初中定义相同当α不是锐角时也能够找出三角函数。因为既然有角就必然有终边终边就必然与单位圆有交点从而就必然能够最终算出三角函数值Pxy(,)问题:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关仅与角的大rxy,小有关我们只需计算点到原点的距离,那么:yyxtan,,sin,,cos,,xxyxy所以三角函数是以为角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数,值的函数又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系故三角函数也可以看成实数为自变量的函数根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:三角函定义域第一象第二象第三象第四象数角度制弧度制限限限限sin,cos,tan,课堂练习一:,求的正弦、余弦和正切值P(,),,,,(已知角的终边过点求角的正弦、余弦和正切值sin,,,(求证:当且仅当不等式组成立时角为第三象限角{tan,,问题:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有何关系显然终边相同的角的同一三角函数值相等即有公式一:sin()sin,,,,kcos()cos,,,,ktan()tan,,,,kkZ,(其中)课堂练习二:确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:,::tan,()()()()sin(),costan(),求下列三角函数值:,,:'cos()()(),sintan():,利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求到(或到:)角的三角函数值课后作业一:习题A组第,题(角是一个图形概念也是一个数量概念(弧度数)作为角的函数三角函数是一个数量概念(比值)但它是否也是一个图形概念呢,换句话说能否用几何方式来表示三角函数呢,(边描述边画以坐标原点为圆心以单位长度y为半径画一个圆这个圆就叫做单位圆(注意:这a角的终个单位长度不一定就是厘米或米)当角为第,边PT一象限角时则其终边与单位圆必有一个交点PMx,PM过点作轴交轴于点则请xPxy(,)OMAx你观察:根据三角函数的定义:|||||sin|MPy,,,|||||cos|OMx,,,OMMP,随着在第一象限内转动、是否也跟着变化,OMMP(思考:()为了去掉上述等式中的绝对值符号能否给线段、P规定一个适当的方向使它们的取值与点的坐标一致,OM()你能借助单位圆找到一条如、一样的线段来表示角的正MP,切值吗,我们知道指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关当角的终边不在,O坐标轴时,以为始点、为终点规定:MOMOMOM当线段与轴同向时的方向为正向且有正值当线段与xxOM轴反向时的方向为负向且有正值其中为点的横坐标这样,Pxxx无论那种情况都有OMx,,cos,同理,当角的终边不在轴上时,以M为始点、P为终点规定:,x当线段MPMPMP与轴同向时的方向为正向且有正值当线段与yy轴反向yMPP时的方向为负向且有正值其中为点的横坐标这样,无论那种yy情况都有MPy,,sin,MPOM、像这种被看作带有方向的线段叫做有向线段如何用有向线段来表示角的正切呢,如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的,A(,)T终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OAAT、,我们有ytan,,,ATxMPOMAT、、我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角,的正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线,探究:()当角的终边在第二、第三、第四象限时你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗,y,x()当的终边与轴或轴重合时又是怎样的情形呢,例题讲解,,,,例:已知试比较的大小,,,,,,tan,sin,cos处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质练习第,,,题P学习小结()了解有向线段的概念()了解如何利用与单位圆有关的有向线段将任意角的正弦、余弦、正,切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来()体会三角函数线的简单应用评价设计:(作业:比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器),,:::':tansintancoscos()、()、()、(练习三角函数线的作图