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贴数:1&分页:已得意中人，从此不二心发信人: bluen (蓝色的心), 信区: Science
标&&题: [合集] 请问:分离变量法解偏微分方程
发信站: BBS 水木清华站 (Sat Jul 24 21:46:15 2004), 站内 && ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Fri Jul 23 10:25:11 2004)
提到: && 请问为什么可以把解写成独立变量函数的连乘积形式?
除了这种最常用的形式之外,有没有别的各个变量
耦合的解? 似乎应该有的,那么这个可以分解成
独立变量解的叠加? && 换句话说,怎么知道用分离变量法解出的解就是完备的
呢? && 举例来说,球坐标下的Helmholtz方程,可以分离解出角向的
球谐函数和径向的球bessel函数,似乎这个就是精确
解了. 可是对固体的多电子方程,把n个电子的波函数
写成各个电子的独立波函数乘积,却成了Hartree-Fock
近似. && 也许是我自己的理解有误,还请指教,多谢! &&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Fri Jul 23 10:28:47 2004)
提到: && 能不能分离变量和怎么分离变量是边条件决定的。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 请问为什么可以把解写成独立变量函数的连乘积形式?
: 除了这种最常用的形式之外,有没有别的各个变量
: 耦合的解? 似乎应该有的,那么这个可以分解成
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Fri Jul 23 10:34:46 2004)
提到: && 可是我的感觉却是由算子自身决定的,只要解集是完备的,
总可以找得到一组系数去满足边界条件.
我相信能否分离变量的问题早应在数学上讨论过了,只是
我不知道罢了,还请你告知在哪里能找到相关的讨论,
【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 能不能分离变量和怎么分离变量是边条件决定的。
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
SayMyName (我和美元，不得不说的故事，我缺美元) 于
(Fri Jul 23 10:35:55 2004)
提到: && 算子自身要能分离，边界条件也必须要能分离 &&&& 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 可是我的感觉却是由算子自身决定的,只要解集是完备的,
: 总可以找得到一组系数去满足边界条件.
: 我相信能否分离变量的问题早应在数学上讨论过了,只是
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Fri Jul 23 10:36:39 2004)
提到: && 你能在球坐标下分离变量解方形区域上的Poisson方程么？ && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 可是我的感觉却是由算子自身决定的,只要解集是完备的,
: 总可以找得到一组系数去满足边界条件.
: 我相信能否分离变量的问题早应在数学上讨论过了,只是
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Fri Jul 23 10:50:48 2004)
提到: && 不能么? 我的理解就是麻烦一些,但是原则上是可以的.
反正只要有完备正交基,总是可以分解了去对应吧?即使
是无穷维. && 我不是要钻牛角尖,只是想问:如果是边界条件决定是否可以
分离变量,怎么去证明这个的.还请赐教. 就我现在的感觉,
这么些年下来,才感觉"可以分离变量"是件蛮神奇的事情,
想搞清楚到底是什么东西在起作用使它具有了完备性. && 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 你能在球坐标下分离变量解方形区域上的Poisson方程么？
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
raogy (lonely Monkey) 于
(Fri Jul 23 10:53:52 2004)
提到: && 我觉得这么干在逻辑上是有点问题的
反过来，当解出来后，我们会发现所得的解是满足所给边界条件的完备正交基。这样就能理解了。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 请问为什么可以把解写成独立变量函数的连乘积形式?
: 除了这种最常用的形式之外,有没有别的各个变量
: 耦合的解? 似乎应该有的,那么这个可以分解成
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
bluen (蓝色的心) 于
(Fri Jul 23 11:05:43 2004)
提到: &&&&&&&&&& 有意义吗？ &&&&&&&& 分离变量本身就是求一组渐进解 &&&&&&&& 给你一个不规则的区域，收敛的很慢，分离变量法就没辙了
【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 不能么? 我的理解就是麻烦一些,但是原则上是可以的.
: 反正只要有完备正交基,总是可以分解了去对应吧?即使
: 是无穷维.
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Fri Jul 23 11:06:18 2004)
提到: && 不对。。。。。。 && 【 在 bluen (蓝色的心) 的大作中提到: 】
:&&&&&&&& 有意义吗？
:&&&&&&&& 分离变量本身就是求一组渐进解
:&&&&&&&& 给你一个不规则的区域，收敛的很慢，分离变量法就没辙了
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
bluen (蓝色的心) 于
(Fri Jul 23 11:08:06 2004)
提到: &&&&&&&&&& 怎么不对
【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 不对。。。。。。
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Fri Jul 23 11:20:02 2004)
提到: && 看来你对解数理方程的整个过程不是很清楚，呵呵。 && 随便拿到一个方程之后，你要先把边条件齐次化。然后满足这个边条件的平方可积函数
构成一个Hilbert空间，后面的事都是在这个Hilbert空间里做的。 && 如果是热传导方程或者波动方程，你要先把时间和空间部分分离。时间部分是个简单的
ODE，空间部分则是上面那个Hilbert空间里的算子特征值问题。一般来说这个算子都是
自伴的，所以你可以做谱分解。如果这个区域是紧的，谱是离散的，也就是说，你能找
到一串离散的特征值。对于每个特征值，你可以找出它的特征向量，根据谱分解定理，
这些特征向量构成Hilbert空间的一组基。于是，所有满足边条件的平方可积函数都可以
写成这组基的线性组合。当你考虑时间部分时，这些组合系数就是关于时间的一元函数，
满足前面说的那个简单的ODE，解出它来以后，方程就解完了。 && 分离变量法是在找特征向量那一步。如果区域形状比较好，这些基刚好能够写成分离变
量的形式，所以我们才能用这种特殊的形式找到解。如果你非要用球坐标解方区域，你
铁定找不到这组基的。所以我才说边条件决定一切，因为所有讨论的基础都在那个Hilbert
空间里，而那个Hilbert空间是由边条件决定的。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 不能么? 我的理解就是麻烦一些,但是原则上是可以的.
: 反正只要有完备正交基,总是可以分解了去对应吧?即使
: 是无穷维.
: 我不是要钻牛角尖,只是想问:如果是边界条件决定是否可以
: 分离变量,怎么去证明这个的.还请赐教. 就我现在的感觉,
: 这么些年下来,才感觉"可以分离变量"是件蛮神奇的事情,
: 想搞清楚到底是什么东西在起作用使它具有了完备性.
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 于
(Fri Jul 23 11:22:27 2004)
提到: &&&& 赞一个！很久不见fft写出我能看懂的东西了 :) 版主标一下 && 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 看来你对解数理方程的整个过程不是很清楚，呵呵。
: 随便拿到一个方程之后，你要先把边条件齐次化。然后满足这个边条件的平方可积函数
: 构成一个Hilbert空间，后面的事都是在这个Hilbert空间里做的。
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Fri Jul 23 15:03:23 2004)
提到: && 确实不清楚...呵呵，很多时候就是依葫芦画瓢，没有搞懂其内在的
逻辑。 && 按我以前一贯的理解，特征向量只是由算子决定的，而系数是由边界条
件确定的。只是为了方便我们才在不同的边界条件下用不同的坐标系。
看来我是把初始条件和边界条件搞混了。 && 不知道你是否能举几个例子：比如我们常常提到的（球）Bessel函数，球谐
函数和三角函数的完备性， 到底是对满足何种边界条件的平方可积函数
构成的Hilbert空间而言呢？在什么情况下它们可能是同一个空间呢？ && 非常感激。 && 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 看来你对解数理方程的整个过程不是很清楚，呵呵。
: 随便拿到一个方程之后，你要先把边条件齐次化。然后满足这个边条件的平方可积函数
: 构成一个Hilbert空间，后面的事都是在这个Hilbert空间里做的。
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Fri Jul 23 15:12:41 2004)
提到: && 去看王竹溪的特殊函数概论的附录三、吴崇试的数学物理方法中所有的例题。
从中你可以看出边条件、坐标系和方程的解的关系。
再想想柱函数为什么叫柱函数、球函数为什么叫球函数就应该明白了。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 确实不清楚...呵呵，很多时候就是依葫芦画瓢，没有搞懂其内在的
: 按我以前一贯的理解，特征向量只是由算子决定的，而系数是由边界条
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Fri Jul 23 15:26:06 2004)
提到: && 呵呵，我就知道柱函数对应柱坐标，球函数对应球坐标。
毕竟这三种坐标系描述的是同一个三维空间，它们的完备
性之间应该有一定关系吧？ && 就像平面波可以分解成球Bessel函数和球谐函数积的和。 && 我确实没有想到除了形式上坐标的不同，这几种函数集的
完备性还具有边界条件上的限制。 && 我只学过那种2学分的数理方程，后来都是用到时自己翻书
查，确实没有好好把这些东东想清楚。很感谢你的指教。 && 如果我想的不错的话，应该是对满足各自齐次边界条件的
函数构成的L2空间，无穷边界条件下，它们就该是同一个
空间了。 && 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 去看王竹溪的特殊函数概论的附录三、吴崇试的数学物理方法中所有的例题。
: 从中你可以看出边条件、坐标系和方程的解的关系。
: 再想想柱函数为什么叫柱函数、球函数为什么叫球函数就应该明白了。
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
einstain (单身汉：）) 于
(Fri Jul 23 17:09:03 2004)
提到: && 为什么?难道我写得你都看不懂……
【 在 flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 的大作中提到: 】
: 赞一个！很久不见fft写出我能看懂的东西了 :) 版主标一下
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 于
(Fri Jul 23 19:24:47 2004)
提到: &&&& 我是说fft数学太好了一点...&&&& 【 在 einstain (单身汉：）) 的大作中提到: 】
: 为什么?难道我写得你都看不懂……
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
einstain (单身汉：）) 于
(Fri Jul 23 19:25:25 2004)
提到: && 要不怎么能是你的偶像呢……
【 在 flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 的大作中提到: 】
: 我是说fft数学太好了一点...&& &&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 于
(Fri Jul 23 19:27:36 2004)
提到: &&&& 那倒不至于，嘿嘿:)
小胖墩倒是挺帅，不过论被mm追，我也不逊他多少啊:)&&&& 至于科学方面，哼哼，等俺去读个屁诶取缔，估计也不会差多少... hengji && 【 在 einstain (单身汉：）) 的大作中提到: 】
: 要不怎么能是你的偶像呢……
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
popo1999 (数值计算) 于
(Fri Jul 23 20:34:50 2004)
提到: && 这个没必要跟F4去比"帅“
要不flyleaf fft flysolo 还有个fly***记不得了并列science版f4得了。
再注明一个排名不分先后什么的 && 【 在 flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 的大作中提到: 】
: 那倒不至于，嘿嘿:)
: 小胖墩倒是挺帅，不过论被mm追，我也不逊他多少啊:)&&
: 至于科学方面，哼哼，等俺去读个屁诶取缔，估计也不会差多少... hengji
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Sat Jul 24 00:43:50 2004)
提到: && 我才意识到你指的边条件上的Hilbert空间是已经用边界条件限制过后的
算子的本征函数集. && 而我的意识中的本征函数集只是由算子本身决定的,而与边界条件无关.
比如直角系Laplace算子的本征函数集总是平面波,边界条件去决定到底
什么样的平面波组合可以满足条件,这是我意识里的"边界条件决定本征
函数"的系数. && 我想在球坐标系里解方域里的poisson方程,不是说要用已经被球域边界
条件限制过的本征函数集去展开,而是想不论如何直坐标系的解总是可以
用球谐函数展开的.我当时想这总是办的到的,但我并不确定这样得到的
系数是否满足径向方程.我以为你的意思是边界条件决定了平面波,Bessel
函数,球谐函数三者之间不能完备的互相表出(如果我理解不错的话,你其实
是在说它们的三种子集互不等价) && 还是没想清楚.但我总感觉这几种函数的完备性和具体的边界条件无关.
不然真有些古怪. &&&& 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 看来你对解数理方程的整个过程不是很清楚，呵呵。
: 随便拿到一个方程之后，你要先把边条件齐次化。然后满足这个边条件的平方可积函数
: 构成一个Hilbert空间，后面的事都是在这个Hilbert空间里做的。
: ...................
&&&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
magicknight (水母就是用来查单词的) 于
(Sat Jul 24 03:42:45 2004)
提到: && 对阿
【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 我才意识到你指的边条件上的Hilbert空间是已经用边界条件限制过后的
: 算子的本征函数集.
: 而我的意识中的本征函数集只是由算子本身决定的,而与边界条件无关.
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Sat Jul 24 04:23:40 2004)
提到: && 我明白你的想法，在你那里Hilbert空间是整个R^3上的平方可积函数，
因为它不是紧集，所以Laplace算子的谱是连续的。平面波、柱面波、
球面波只是不同的基底而已。它们当然可以互相表出，它们的不同只在
于坐标系的选取，而坐标系的不同显然不改变物理本质以及数学本质。
解具体的方程时把这些特征函数限制在边条件上，发现特征值只能取离
散的了，于是得到不同边条件下的解。 && 我前面说的看法是，先由边条件定义出一个紧集，然后考虑它上面的平
方可积函数构成的Hilbert空间。这个Hilbert空间跟上面那个显然不一
样。这上面Laplace算子的谱也就不一样了。边条件变化时，我这里的
Hilbert空间也在变，所以谱也就跟着变。 && 这两种看法在对付R^3中的各种问题时应该是没什么差别的。但是当你考
虑更一般的问题时就很不一样了。如果你学过一点微分几何，会知道紧致
Riemann流形上都可以定义Laplace算子的特征值问题，这叫做Riemann流
形的谱。圆盘、方域、闭区间、球面都可以看成特殊的Riemann流形，我
们解数理方程并且导出各种特殊函数实际上就是在求这些Riemann流形的
谱。它们的边条件实际上是在定义这个Riemann流形。定义出流形以后，
才能继续定义它上面的平方可积函数，也就是作为基础的Hilbert空间。 && 前面说的第二种观点可以毫不修改的用来解一般的Riemann流形的Laplace
方程和热方程。但是第一种观点就困难得多了，除非你把这个Riemann流形
嵌入到更高维的欧氏空间中。虽然Nash嵌入定理保证我们总能做到这件事
，但是这种做法实在没有必要。因为它引入了一个艰深的定理，却又把问
题变得复杂了。在几何上我们更关心内蕴的东西，Riemann流形的谱就是内
蕴的。不管你怎么嵌入，只要两个流形等距，那么它们的谱一定相同。 && 从物理上考虑，第二种观点也更加方便。因为你只关心区域里面的东西，外
面如何是不管的。第一种观点里，你先要把它延拓到全空间，然后再限制回
来，这就是在绕圈子了。作为例子，当你要考虑单位圆作为Riemann流形的
谱时，如果用第一种观点，你先要考虑R^2上平方可积函数空间，然后把这里
的柱面波限制在单位圆上。如果你用第二种观点，会发现这不过就是Fourier
级数理论而已，完全没必要兜那个圈子。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 我才意识到你指的边条件上的Hilbert空间是已经用边界条件限制过后的
: 算子的本征函数集.
: 而我的意识中的本征函数集只是由算子本身决定的,而与边界条件无关.
: 比如直角系Laplace算子的本征函数集总是平面波,边界条件去决定到底
: 什么样的平面波组合可以满足条件,这是我意识里的"边界条件决定本征
: 函数"的系数.
: 我想在球坐标系里解方域里的poisson方程,不是说要用已经被球域边界
: 条件限制过的本征函数集去展开,而是想不论如何直坐标系的解总是可以
: 用球谐函数展开的.我当时想这总是办的到的,但我并不确定这样得到的
: 系数是否满足径向方程.我以为你的意思是边界条件决定了平面波,Bessel
: 函数,球谐函数三者之间不能完备的互相表出(如果我理解不错的话,你其实
: 是在说它们的三种子集互不等价)
: 还是没想清楚.但我总感觉这几种函数的完备性和具体的边界条件无关.
: 不然真有些古怪.
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
magicknight (水母就是用来查单词的) 于
(Sat Jul 24 04:24:39 2004)
提到: && fft太厉害了！
【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
我明白你的想法，在你那里Hilbert空间是整个R^3上的平方可积函数，
因为它不是紧集，所以Laplace算子的谱是连续的。平面波、柱面波、
球面波只是不同的基底而已。它们当然可以互相表出，它们的不同只在
于坐标系的选取，而坐标系的不同显然不改变物理本质以及数学本质。
解具体的方程时把这些特征函数限制在边条件上，发现特征值只能取离
散的了，于是得到不同边条件下的解。 && 我前面说的看法是，先由边条件定义出一个紧集，然后考虑它上面的平
方可积函数构成的Hilbert空间。这个Hilbert空间跟上面那个显然不一
样。这上面Laplace算子的谱也就不一样了。边条件变化时，我这里的
Hilbert空间也在变，所以谱也就跟着变。 && 这两种看法在对付R^3中的各种问题时应该是没什么差别的。但是当你考
虑更一般的问题时就很不一样了。如果你学过一点微分几何，会知道紧致
Riemann流形上都可以定义Laplace算子的特征值问题，这叫做Riemann流
形的谱。圆盘、方域、闭区间、球面都可以看成特殊的Riemann流形，我
们解数理方程并且导出各种特殊函数实际上就是在求这些Riemann流形的
谱。它们的边条件实际上是在定义这个Riemann流形。定义出流形以后，
才能继续定义它上面的平方可积函数，也就是作为基础的Hilbert空间。 && 前面说的第二种观点可以毫不修改的用来解一般的Riemann流形的Laplace
方程和热方程。但是第一种观点就困难得多了，除非你把这个Riemann流形
嵌入到更高维的欧氏空间中。虽然Nash嵌入定理保证我们总能做到这件事
，但是这种做法实在没有必要。因为它引入了一个艰深的定理，却又把问
题变得复杂了。在几何上我们更关心内蕴的东西，Riemann流形的谱就是内
蕴的。不管你怎么嵌入，只要两个流形等距，那么它们的谱一定相同。 && 从物理上考虑，第二种观点也更加方便。因为你只关心区域里面的东西，外
面如何是不管的。第一种观点里，你先要把它延拓到全空间，然后再限制回
来，这就是在绕圈子了。作为例子，当你要考虑单位圆作为Riemann流形的
谱时，如果用第一种观点，你先要考虑R^2上平方可积函数空间，然后把这里
的柱面波限制在单位圆上。如果你用第二种观点，会发现这不过就是Fourier
级数理论而已，完全没必要兜那个圈子。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 我才意识到你指的边条件上的Hilbert空间是已经用边界条件限制过后的
: 算子的本征函数集.
: 而我的意识中的本征函数集只是由算子本身决定的,而与边界条件无关.
: 比如直角系Laplace算子的本征函数集总是平面波,边界条件去决定到底
: 什么样的平面波组合可以满足条件,这是我意识里的"边界条件决定本征
: 函数"的系数.
: 我想在球坐标系里解方域里的poisson方程,不是说要用已经被球域边界
: 条件限制过的本征函数集去展开,而是想不论如何直坐标系的解总是可以
: 用球谐函数展开的.我当时想这总是办的到的,但我并不确定这样得到的
: 系数是否满足径向方程.我以为你的意思是边界条件决定了平面波,Bessel
: 函数,球谐函数三者之间不能完备的互相表出(如果我理解不错的话,你其实
: 是在说它们的三种子集互不等价)
: 还是没想清楚.但我总感觉这几种函数的完备性和具体的边界条件无关.
: 不然真有些古怪.
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Sat Jul 24 04:27:29 2004)
提到: && 被蚊子咬起来了，睡不着，sigh && 【 在 magicknight (水母就是用来查单词的) 的大作中提到: 】
: fft太厉害了！
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
magicknight (水母就是用来查单词的) 于
(Sat Jul 24 04:30:51 2004)
提到: && 挂个蚊帐阿，faitn
【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 被蚊子咬起来了，睡不着，sigh
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Sat Jul 24 05:02:00 2004)
提到: &&&& 多谢指教! :), 真佩服你早把这些问题想得这么清楚.希望自己有一天也能
掌握你说的这些知识. &&&& 回到我最初的问题,能否对一个问题进行分离变量说到底还是取决于
算子本身是否能写成变量分离的算子之和的形式? 对这个有办法判断
一个算子能否(在经过一定变量代换后)可以成为变量分离的形式么?
换句话说,对一个偏微分方程是否一定存在分离变量的解呢? && 我总算意识到如果能找到分离变量的解,确实就找到了所有的解.再次
感谢你的指导. &&&& 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 我明白你的想法，在你那里Hilbert空间是整个R^3上的平方可积函数，
: 因为它不是紧集，所以Laplace算子的谱是连续的。平面波、柱面波、
: 球面波只是不同的基底而已。它们当然可以互相表出，它们的不同只在
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
reer (feeling-cheer up!) 于
(Sat Jul 24 05:31:58 2004)
提到: && 还有一点疑问:尽管你指出的第二种观点考虑的函数空间小了.可是在
实际操作中如果没有对算子直接的研究,我们还是不知道解的具体形
式是什么.在推导那些特殊函数的性质时,似乎并没有使用边界条件. && 为什么对一个一般流形,第二种观点就优越很多呢?是因为我们不需要去
求解出解的具体形式了么? && 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 我明白你的想法，在你那里Hilbert空间是整个R^3上的平方可积函数，
: 因为它不是紧集，所以Laplace算子的谱是连续的。平面波、柱面波、
: 球面波只是不同的基底而已。它们当然可以互相表出，它们的不同只在
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Sat Jul 24 05:50:29 2004)
提到: && 比较常见的方程里面都是考虑Laplace算子的特征函数。这时候这个特征函数能不能分
离变量取决于你能否找到一个好的坐标系，使得这个特征函数在这个坐标系下的形式
是分离变量的。比如方形区域就用直角坐标，圆形区域就用柱坐标，球形区域就用球
坐标。它们的特点是，区域边界恰好是坐标取常值的曲线。以此为线索，对于一般的
区域，如果你能找到一个坐标系，使得区域边界恰好是这个坐标系中坐标取常值的曲
线，那么这个区域上的Laplace算子的特征函数在这个坐标系下应该就是变量分离的形
式了。 && 但是一般来说这个坐标系很难找。王竹溪的特殊函数概论附录三列出一些很常用的坐
标系，把那些坐标系的某个坐标取常值，你就可以看出它们分别适用于那一类区域。
如果遇到其它类型的区域，我建议你最好放弃，因为你不太可能找到那个好的坐标系。
就算找到了，分离变量之后得到的ODE也未必能解得出来，可能会遇到一些特殊函数概
论中都没有记载的古怪函数。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 多谢指教! :), 真佩服你早把这些问题想得这么清楚.希望自己有一天也能
: 掌握你说的这些知识.
: 回到我最初的问题,能否对一个问题进行分离变量说到底还是取决于
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Sat Jul 24 06:02:24 2004)
提到: && 函数空间没有变小，这些Hilbert空间应该都是同构的。 && 推导特殊函数的性质时当然用到边条件了。Bessel函数利用了在$r=0$处有界，
Legendre函数利用了在$x=\pm 1$处有界等等。另外，定特征值时，是要求这些
特征函数在边界上取值为零，或者满足周期边界条件等等。 && 对于一般的流形，我们不太关心具体的解的，而是关心特征值的分布情况、解的
存在性、解空间的维数，解的渐进性质等等。因为多数方程是解不出来的，在一
般流形上分离变量是一种奢望。而对于研究流形的几何性质来说，上面这些性质
已经足够了。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 还有一点疑问:尽管你指出的第二种观点考虑的函数空间小了.可是在
: 实际操作中如果没有对算子直接的研究,我们还是不知道解的具体形
: 式是什么.在推导那些特殊函数的性质时,似乎并没有使用边界条件.
: 为什么对一个一般流形,第二种观点就优越很多呢?是因为我们不需要去
: 求解出解的具体形式了么?
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
popo1999 (数值计算) 于
(Sat Jul 24 09:34:19 2004)
提到: && fft确实牛啊 && 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 函数空间没有变小，这些Hilbert空间应该都是同构的。
: 推导特殊函数的性质时当然用到边条件了。Bessel函数利用了在$r=0$处有界，
: Legendre函数利用了在$x=\pm 1$处有界等等。另外，定特征值时，是要求这些
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
fft (永远的分分特) 于
(Sat Jul 24 09:37:12 2004)
提到: && 牛人不上网，fft称大王。。。。。。 && 【 在 popo1999 (数值计算) 的大作中提到: 】
: fft确实牛啊
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
SmallStrong (小弓虽) 于
(Sat Jul 24 09:47:10 2004)
提到: && 是啊，太牛了
将来他要是选不上院士，我就改名叫小弱
【 在 popo1999 (数值计算) 的大作中提到: 】
: fft确实牛啊
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
einstain (单身汉：）) 于
(Sat Jul 24 10:29:59 2004)
提到: && 在上网的里面称大王也很不容易拉
【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 牛人不上网，fft称大王。。。。。。
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
einstain (单身汉：）) 于
(Sat Jul 24 10:40:31 2004)
提到: && 弱弱的问：什么叫内蕴?与之对应的那个词是什么?
【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 我明白你的想法，在你那里Hilbert空间是整个R^3上的平方可积函数，
: 因为它不是紧集，所以Laplace算子的谱是连续的。平面波、柱面波、
: 球面波只是不同的基底而已。它们当然可以互相表出，它们的不同只在
: ...................
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aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 于
(Sat Jul 24 10:46:00 2004)
提到: &&&& intrinsic
【 在 einstain (单身汉：）) 的大作中提到: 】
: 弱弱的问：什么叫内蕴?与之对应的那个词是什么?
&&&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
einstain (单身汉：）) 于
(Sat Jul 24 10:49:34 2004)
提到: && 这也叫解释?
我要是再问，你不会是用法语再说一遍吧?
我要的是完备的定义 && 【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
:&& intrinsic
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aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 于
(Sat Jul 24 11:07:59 2004)
提到: &&&& 抱歉！我把您的第二句话理解错了，以为要的是对应的英文呢！ && 我理解内蕴性质是指某个几何对象自身的特性， && 不依赖于对于该对象所附加的各类操作，例如嵌入。 && 举个例子吧，微分几何里面有一个著名的 Gauss-Bonnet公式， && 是对多面体的 Euler 公式的一个漂亮推广。 && 最初 Fenchel 给出了一个证明，但是需要把紧致可定向的 Riemann 流刑 && 嵌入到欧氏空间中去才能完成推理； && 后来 Andre Weil 给出了一个推广，但是仍然需要嵌入操作。 && 陈省身在 1944 年给出了一个不需要嵌入，而是直接利用微分流形上向量场 && 性质的证明，可说是其成名之作，详细可见： && "A simple intrinsic proof of Gauss-Bonnet Formula for closed Riemann &&&&manifolds"&&Annal of Math, Vol 46, No. 4, Oct, 1944 && 【 在 einstain (单身汉：）) 的大作中提到: 】
: 这也叫解释?
: 我要是再问，你不会是用法语再说一遍吧?
: 我要的是完备的定义
: ...................
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einstain (单身汉：）) 于
(Sat Jul 24 11:17:12 2004)
提到: && 谢谢
不过我更加不理解了
有必要把数学的不同分支如此分割开来吗? && 这就好比说我有一种高级的方法证明某个命题，但是你用了
一个初等的方法证明了它，这只不过说明技巧性上的高低问题
难道还有什么更深层次的意义? &&&& 【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
:&& 抱歉！我把您的第二句话理解错了，以为要的是对应的英文呢！
:&& 我理解内蕴性质是指某个几何对象自身的特性，
:&& 不依赖于对于该对象所附加的各类操作，例如嵌入。
: ...................
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aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 于
(Sat Jul 24 11:27:54 2004)
提到: &&&& 我觉得好像人们总是在追求非常“自然”的东西， && 借助更加精细的附加结构，或者其他分支的方法与技术来达成目的， && 总是被认为比较牵强，不是那么“自然”，那么“爽”。 && 这方面的例子还有很多呢，比方说随机过程里面的 Markov Chain 的极限理论， && 关于转移概率的极限的存在性，有很多种证明方法， && 有纯粹分析的，完全借助于分析的技巧； && 有纯粹代数的，完全借助于非负矩阵的知识； && 后来人们还是找到了完全“概率”的方法——"耦合(Coupling)"技术， && 才算是找到了组织！ && 本来嘛，一个概率问题，非得需要别的知识来帮忙才能解决， && 给人的感觉就是没有抓住问题的本质！ && 我觉得内蕴的东西应当更加接近（如果不是抓住）问题的本质， && 所以人们总是在努力寻找！ && 【 在 einstain (单身汉：）) 的大作中提到: 】
: 不过我更加不理解了
: 有必要把数学的不同分支如此分割开来吗?
: ...................
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harmoniker (我知道) 于
(Sat Jul 24 11:30:21 2004)
提到: && 三句话不离随机过程啊，呵呵
【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
:&& 我觉得好像人们总是在追求非常“自然”的东西，
:&& 借助更加精细的附加结构，或者其他分支的方法与技术来达成目的，
:&& 总是被认为比较牵强，不是那么“自然”，那么“爽”。
: ...................
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aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 于
(Sat Jul 24 11:35:32 2004)
提到: &&&&其实我当初更喜欢几何的，不过生活所迫已经远离几何七八年了。 &&现在苟安于工科系，感觉和科学以及自己的理想渐行渐远， &&心中滋味自是难以尽述啊！
【 在 harmoniker (我知道) 的大作中提到: 】
: 三句话不离随机过程啊，呵呵
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flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 于
(Sat Jul 24 11:54:23 2004)
提到: &&&& 师兄真是高风亮节... 我这样的面对一个Lagrange就已经死去活来...... && 【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
:&&其实我当初更喜欢几何的，不过生活所迫已经远离几何七八年了。
:&&现在苟安于工科系，感觉和科学以及自己的理想渐行渐远，
:&&心中滋味自是难以尽述啊！
: ...................
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Yepriyo (Yepriyo) 于
(Sat Jul 24 11:56:42 2004)
提到: && haha,我连lagrange都糊涂的不行了
文小刚这些天就在教我们猜 L函数
【 在 flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 的大作中提到: 】 && 师兄真是高风亮节... 我这样的面对一个Lagrange就已经死去活来...... && 【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
:&&其实我当初更喜欢几何的，不过生活所迫已经远离几何七八年了。
:&&现在苟安于工科系，感觉和科学以及自己的理想渐行渐远，
:&&心中滋味自是难以尽述啊！
: ...................
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PastAtlantis (碧海潮生) 于
(Sat Jul 24 11:59:58 2004)
提到: && 物理或者数学方面有没有整点啥理论出来啊？发表一下吧：D && 【 在 fft (永远的分分特) 的大作中提到: 】
: 函数空间没有变小，这些Hilbert空间应该都是同构的。
: 推导特殊函数的性质时当然用到边条件了。Bessel函数利用了在$r=0$处有界，
: Legendre函数利用了在$x=\pm 1$处有界等等。另外，定特征值时，是要求这些
: ...................
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karlpupil (Afterlife) 于
(Sat Jul 24 12:03:39 2004)
提到: && aew师兄太值得欧们学习了嘿嘿
【 在 flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 的大作中提到: 】
: 标&&题: Re: 请问:分离变量法解偏微分方程
: 发信站: BBS 水木清华站 (Sat Jul 24 11:54:23 2004), 站内
: 师兄真是高风亮节... 我这样的面对一个Lagrange就已经死去活来......
: 【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
: :&&其实我当初更喜欢几何的，不过生活所迫已经远离几何七八年了。
: :&&现在苟安于工科系，感觉和科学以及自己的理想渐行渐远，
: :&&心中滋味自是难以尽述啊！
: : ...................
: ※ 修改:·flyleaf 于 Jul 24 11:55:20 修改本文·[FROM: 211.144.200.*]
: ※ 来源:·BBS 水木清华站 smth.org·[FROM: 211.144.200.*]
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flysolo (&&) 于
(Sat Jul 24 13:58:32 2004)
提到: &&&&&& 因为他还说了边条件的齐次化，我感觉是个一开始就缩小 && 解空间的技术。&&不同的本征函数完备集可以互相表示， && 应该没有问题吧。 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 我才意识到你指的边条件上的Hilbert空间是已经用边界条件限制过后的
: 算子的本征函数集.
: 而我的意识中的本征函数集只是由算子本身决定的,而与边界条件无关.
: ...................
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yxt (飞刀) 于
(Sat Jul 24 15:11:01 2004)
提到: && 太牛乐。。不知道是什么系得阿
讲得那些东西我就听说过名词。。 && 【 在 PastAtlantis (碧海潮生) 的大作中提到: 】
: 物理或者数学方面有没有整点啥理论出来啊？发表一下吧：D
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popo1999 (数值计算) 于
(Sat Jul 24 16:08:32 2004)
提到: && 所以说我们得多过来充点电 && 【 在 yxt (飞刀) 的大作中提到: 】
: 太牛乐。。不知道是什么系得阿
: 讲得那些东西我就听说过名词。。
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franz (水手) 于
(Sat Jul 24 16:53:39 2004)
提到: && 先 假设一个问题的解的形式
求出来 && 然后根据这个问题解的唯一性
这个解就是完备的 && 这是非常合乎常识理性的解决问题的方式
没有什么神奇之处 && 即使线性常微分方程，最开始的时候也是这么干的 && 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 请问为什么可以把解写成独立变量函数的连乘积形式?
: 除了这种最常用的形式之外,有没有别的各个变量
: 耦合的解? 似乎应该有的,那么这个可以分解成
: ...................
&&&&&& ☆─────────────────────────────────────☆ &&
franz (水手) 于
(Sat Jul 24 17:03:38 2004)
提到: && 耦合形式的近似解肯定有
因为你可以在原来的分离变量的近似解上加一些后来收敛掉的项 &&&& 【 在 reer (feeling-cheer up!) 的大作中提到: 】
: 请问为什么可以把解写成独立变量函数的连乘积形式?
: 除了这种最常用的形式之外,有没有别的各个变量
: 耦合的解? 似乎应该有的,那么这个可以分解成
: 独立变量解的叠加?
: 换句话说,怎么知道用分离变量法解出的解就是完备的
: 举例来说,球坐标下的Helmholtz方程,可以分离解出角向的
: 球谐函数和径向的球bessel函数,似乎这个就是精确
: 解了. 可是对固体的多电子方程,把n个电子的波函数
: 写成各个电子的独立波函数乘积,却成了Hartree-Fock
: 也许是我自己的理解有误,还请指教,多谢!
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clever (聪明总被聪明误) 于
(Sat Jul 24 18:58:13 2004)
提到: && nod && 当初看couple特漂亮 && 不过现在忘了咋回事儿了都。。。 && 【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
:&& 我觉得好像人们总是在追求非常“自然”的东西，
:&& 借助更加精细的附加结构，或者其他分支的方法与技术来达成目的，
:&& 总是被认为比较牵强，不是那么“自然”，那么“爽”。
: ...................
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clever (聪明总被聪明误) 于
(Sat Jul 24 18:58:35 2004)
提到: && 哎 && 你敢叫师兄 && 我就得恭恭敬敬的叫老师。。 && 【 在 flyleaf (青虫※蝴蝶花开) 的大作中提到: 】
: 师兄真是高风亮节... 我这样的面对一个Lagrange就已经死去活来......
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JBPendry (Negative World) 于
(Sat Jul 24 20:38:07 2004)
提到: && 今天牛人都出洞啦~~ && 我喜欢这样的讨论~~ && 吼吼~~ && 【 在 harmoniker (我知道) 的大作中提到: 】
: 三句话不离随机过程啊，呵呵
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bigfat (大胖) 于
(Sat Jul 24 21:06:43 2004)
提到: && 呵呵，
理解对了也不过是把in改成ex。 && 【 在 aew (巧者劳智者忧无能者无所求饱食而遨游) 的大作中提到: 】
:&& 抱歉！我把您的第二句话理解错了，以为要的是对应的英文呢！?:&& 我理解内蕴性质是指某个几何对象自身的特性，
:&& 不依赖于对于该对象所附加的各类操作，例如嵌入。
: ...................
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liuyudong (老实) 于
(Sat Jul 24 21:40:54 2004)
提到: &&&&reer严谨，好思。反复求证概念的精确。
fft太牛了，大师。
日后，这两个人在学术上都一定会有成就的。其他人的回答也都围绕一个中心进行的，让彼此在讨论中得到提升，来合作解决问题。真是多年来少见的经典讨论，值得纪念。请望斑竹加入精华区，多谢。 &&&&&&&&&& 文章数:1&分页:}