为什么要说二元一次方程有两个不相等的实数根根，直接说有一个实数根不就好了吗？求解？！！！详解
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时间：2017-12-16 08:59
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方程、方程组
第四讲方程、方程组一、课标下复习指南 (一)方程、方程组 1．等式及其性质 (1)用等号“＝”表示相等关系的式子，叫做等式． (2)等式的性质 ①等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． ②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等． 2．方程的有关概念及分类 (1)方程：含有未知数的等式叫做方程． (2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．只含有一个未 知数的方程的解也叫做方程的根． (3)解方程：求方程的解或确定方程无解的过程，叫做解方程． (4)方程分类 ①整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．3．一元一次方程 (1)一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的整式方程，叫做一元一次方程．它的一 般形式是 ax＋b＝0(a≠0)． (2)一元一次方程的解法 解 一元一次方程的基本思路是：把方程变形为 ax＝b(a≠0)形式，再求解． 4．二元一次方程组 (1)二元一次方程 含有两个未知数， 并且含有未知数的项的次数为一次的整式方程， 叫做二元一次方程． 它 的一般形式是：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)． (2)二元一次方程的解及解集 能使二元一次方程两边的值相等的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解，用?x ? a ? ?y ? b形式表示．任何一个二元一次方程都有无数个解． 由这些解组成的集合， 叫做这个二元一次方程的 解集． (3)二元一次方程组及其解 由几个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．一般地，能 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程组 的解． 当二元一次方程组的解唯一时， 这个解就是在直角坐标系下， 两个二元一次方程所对应 的两条直线的交点坐标． (4)二元一次方程组的基本解法 解二元一次方程组的基本思想就是：消元，即将“二元”转化为“一元”来达到求解目 的，消元是“化未知为已知”的重要的数学思想方法． 解二元一次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法． 5．一元二次方程 (1)一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程，它 的一般形式为 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)． (2)一元二次方程的解法 解二元一次方程组的基本思想就是：降次，即将“二次”转化为“一次”来达到求解目 的． 解一元二次方程的基本解法有四种：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． (3)一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式：?＝b2－4ac． 当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根． 上述结论，反过来也成立． 6．分式方程 (1)分式方程的概念 分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． (2)分式方程的解法 解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程，一般采用去分母的方法． (3)解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验． 分式方程的增根能使分式方程的各分母的最简公分母为 0，增根是去分母后所得的整式 方程的根． (二)方程、方程组的应用 1．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审题：透彻理解题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系． (2)设未知数：根据题意，可采用直接设未知数，也可间接设未知数，语言叙述要完整， 必须写明单位． (3)列代数式和方程(组)： 根据题中所给的条件， 用含有未知数的代数式表示其他未知量， 选择合适的等量关系列出方程(组)，一般地，列方程的个数与所设未知数的个数相同． (4)解方程(组)：选择适当的方法，准确求出所列方程(组)的解． (5)检验：检验所得到的方程(组)的解是否符合题意，如果是分式方程，既要检验有无增 根，又要检验是否符合题意，必须将检验这一步写出来． (6)写出答语(包括单位名称)． 2．列方程应注意的几点 (1)方程两边表示同类量； (2)方程两边单位一定要统一； (3)方程两边的数值相等． 3．列方程(组)解应用题的常见问题 (1)和差倍分问题(2)行程问题(3)工程问题(4)增长率问题(5)分配问题(6)销售问题(7)数字 问题(8)方案设计决策问题(9)与几何有关的问题(10)其他问题 无论是哪一类问题，都要明确其基本关系式． 二、例题分析 － 例 1 已知(m－2)x|m| 1＋3＝7 是关于 x 的一元一次方程． (1)求 m 的值； (2)写出关于 x 的一元一次方程． 解 (1)根据一元一次方程的定义，可知|m|－1＝1，且 m－2≠0． ∴m＝－2． (2)把 m＝－2 代入原方程，得－4x＋3＝7． 说明 在运用一元一次方程的定义解题时，要注意未知数的系数不为 0． 例 2 解下列方程：(1) (2)2x ? 1 3 3 4 1 1 3 [ ( x ? ) ? 8] ? x. 4 3 2 4 2 ? 5x ? 1 6 ? 1;解 (1)去分母，得 2(2x＋1)－(5x－1)＝6． 去括号，得 4x＋2－5x＋1＝6． 移项，得 4x－5x＝6－1－2． 合并同类项，得－x＝3． 系数化 1，得 x＝－3． (2)去括号，得1 2 x? 1 4 ?6 ? 3 2 x.移项、合并同类项，得 ? x ? 6 系数化 1，得 x? ?6 1 4 ?1 4,说明 (1)解一元一次方程的五个基本步骤是解方程的基本功，是解各类方程的基础； 解方程的各个步骤中都有一些常见的错误， 应特别注意； 解方程的五个步骤要根据方程的特 点灵活选用．(2)要认真观察题目的结构特征，灵活选择解法． 例 3 解下列方程组： (1) ??2 x ? y ? 7, ? x ? 2 y ? 8;(2) ?? x ? 2 y ? 7, ? y ?1 ; ?1 ? 3 x ? 2 ?x? y ?x? y ? ? 6, ? (3) ? 2 3 ?4( x ? y ) ? 5( x ? y ) ? 2. ?解(1)方法一：将方程①变形，得 y＝7－2x③．? x ? 2, ? y ? 3.把③代入②得，x＋2(7－2x)＝8．解得 x＝2．代入③，得 y＝3．? ? 方法二：(①＋②)÷3，得 x＋y＝5． ①－②，得 x－y＝－1，再联立，得 ?? x ? 2, ? y ? 3.(2)方法一：用代入法解得 ?? x ? 1, ? y ? ?3. 方法二：将方程组变形得m 24 ? m?1 2再选择代入法或加减法解方程组．(3)方法一：设? x ? y ? 8, ? x ? y ? 6.n ?m ? ? 6, ? m ? 8, ? x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组变形为 ? 2 3 解得 ? ?n ? 6. ?4m ? 5n ? 2. ?即?解得 ?? x ? 7, ? y ? 1.方法二：将原方程组变形为 ?? 5 x ? y ? 36 , ?? x ? 9 y ? 2.解得 ?? x ? 7, ? y ? 1.说明 (1)当方程组中有一个方程的一个未知数的系数比较简单(为 1 或－1)或某一方程 的常数项为 0 时， 一般采用代入消元法解比较简单； 当两个方程的同一个未知数的系数的绝 对值相等或成整数倍时，一般采用加减消元法解比较简单；(2)当方程组中的方程的结构比 较复杂，应先化成一般形式再看如何消元；(3)整体思想，往往能使解题过程化难为易． 例 4 选择适当的方法解下列方程： (1)x2－4x＋1＝0；(2)2x2－5x＋2＝0； (3)7x(3－x)＝4(x－3)； (4)x2－6x＋9＝(5－2x)2； (5)(x＋3)(x－6)＝－8． 解 (1)方法－：(配方法) 移项得，x2－4x＝－1． 配方得(x－2)2＝3．? x1 ? 2 ? 3 , x2 ? 2 ? 3.方法二：(公式法)略． (2)方法一(公式法)：b2－4ac＝52－4×2×2＝9＞0，?x? 5? 4 9 ?1 25?3 4??? x1 ? 2 , x 2 ?方法二：(因式分解法)(x－2)(2x－1)＝0， ∴x－2＝0 或 2x－1＝0．? x1 ? 2 , x 2 ? 1 2 ?方法三：(配方法)略． (3)(因式分解法)(7x＋4)(3－x)＝0． ∴7x＋4＝0 或 3＝x＝0．? x1 ? ? 4 7 , x2 ? 3.(4)(配方法)(x－3)2－(5－2x)2＝0． ∴(x－3＋5－2x)(x－3－5＋2x)＝0． ∴(2－x)(3x－8)＝0． ∴2－x＝0 或 3x－8＝0．∴x1＝2， x 2?8 3?(5)(因式分解法)原方程变形为 x2－3x－10＝0．∴(x－5)(x＋2)＝0． ∴x－5＝0 或 x＋2＝0．∴x1＝5，x2＝－2． 说明 一元二次方程的常用解法有四种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解 法．其中公式法、配方法是通法．在解一元二次方程时，方法的选择是关键，要善于根据方 程的特点，灵活选用恰当的方法，一般来说，方法的选择顺序是先特殊解法再通法． 具体思维策略为： (1)解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的方程或易变形成(x＋a)2＝b(b≥0)的方程， 用直接开平方法；(2)解形如(x－a)(x－b)＝0 的方程或易变形成(x－a)(x－b)＝0 的方程，用 因式分解法； 在用因式分解法对方程变形时， 不要轻易在方程的两边同时除以含有未知数的 代数式，否则可能导致失根；(3)化成一般形式后，易因式分解的，用因式分解法；不易因 式分解的，如果一次项系数是二次项系数的偶数倍时，可用配方法，否则用公式法． 要明确每种解法的关键： (1)因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为 0； (2)公式法 解方程的关键是先把方程化成一般形式，正确写出 a，b，c 的值；(3)直接开平方法解方程 的关键是先把方程化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式；(4)配方法解方程的关键是先把二次项系数 化成 1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方． 例 5 解下列分式方程：x ?1 x?5 1 2 (3) 2 ? ? ? x x?2 x ? 2x (1) 3 x ?1 4 ? 5 ? 0; ( 2 ) x ?1 ? 1 5? x ? 4;解 (1)去分母，得 3(x＋1)－5(x－1)＝0． 解 得 x＝4． 检验：当 x＝4 时，(x＋1)(x－1)≠0． ∴x＝4 是原方程的解． ∴原方程的解为 x＝4． (2)原方程变形为 检验：当 x ? ∴x? 22 3 x ?1 x?5 ? 1 x?5 ? 4 . 去分母得x＋1＋1＝4(x－5)．解得 x?22 3．22 3时，x－5≠0．是原方程的解．? 22 3∴原方程的解为 x．(3)去分母，得 4＋(x－2)＝2x，解得 x＝2． 检验：当 x＝2 时，x(x－2)＝0．x＝2 是增根．∴原方程无解． 说明 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程，常用方法是“去分母 法” ．解分式方程时，可能会产生增根，无论采取什么解法，解分式方程验根都是必不可少 的重要步骤． 例 6 若 0 是关于 x 的方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0 的解， 求实数 m 的值， 并讨论 此方程解的情况． 解 由题意得 m2＋2m－8＝0． 得 m1＝2，m2＝－4． 当 m＝2 时，原方程为 3x＝0．此时，方程只有一个实数根 x＝0． 当 m＝－4 时，原方程为 2x2－x＝0． 解 得 x1＝0， x 2? 1 2 ?说明 这是一道解关于待定系数 m 的方程的问题，又要根据所得的 m 的值讨论方程解 的情况，需要分类讨论． 例 7 m 为何值时，方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3＝0． (1)有实根?(2)只有一个实根?(3)有两个实根? 解 (1)①当 m＝1 时，方程为 2x＋4＝0，方程有一个实数根； ②当 m≠1 时，由题意，要使方程有实根， 只需 b2－4ac＝(2m)2－4(m－1)(m＋3)＝－8m＋12≥0．解得 m ∴当 m? 3 2 ? 3 2．且 m ? 1 时，方程有两个实数根．? 3 2综上所述， m时，方程有实根．(2)由题意，方程为一元一次方程．此时 m－1＝0．解得 m＝1． ∴当 m＝1 时，方程为 2x＋4＝0，方程只有一个实数根． (3)由题意得 m≠1 且 b2－4ac≥0． 解 得m? ? 3 2 3 2且 m≠1．∴当 m且 m≠1 时，方程有两个实数根．说明 (1)如果方程只有一个实数根，那么方程是一元一次方程；如果方程有两个实数 根，那么方程为一元二次方程，二次项系数不为 0，并且判别式的值 b2－4ac≥0；如果方程 有实根则需要讨论方程是一元一次还是一元二次方程．(2)讨论一元二次方程的根的情况， 前提是二次项系数不为 0，要分清楚：b2－4ac＞0；b2－4ac＝0；b2－4ac＜0；b2－4ac≥0 所对应的方程根的情况． 例 8 北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008 年 10 月 11 日至 2009 年 2 月 28 日期间， 地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次．在此期间， 地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次? 解法一 设轨道交通日均客运量为 x 万人次， 则地面公交日均客运量为(4x－69)万人次． 依题意，得 x＋(4x－69)＝1696． 解得 x＝353． 4x－69＝4×353－69＝1343． 答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次． 解法二 设轨道交通日均客运量为 x 万人次，则地面公交日均客运量为 y 万人次． 依题意，得 ?? x ? y ? 1696 , ? y ? 4 x ? 69 .解得 ?? x ? 353 , ? y ? 1343 .答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次． 例 9 某城市在道路改造过程中，需要铺设一条长为 1500 米的管道，为了尽量减少施 工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了 20％，结果提前 2 天完成了 任务．求实际每天铺设了多少米管道? 解 设原计划每天铺设 x 米管道． 则实际每天铺设了(1＋20％)x 米管道． 由题意得 整理，得1500 x1500 x?1500 (1 ? 20 %) x5 6x? 2.? 1500 ?? 2.解得 x＝125． 经检验，x＝125 是原方程的解． 所以 (1 ?20 %) x ? 6 5 ? 125 ? 150(米)．答：实际每天铺设了 150 米管道． 例 10 (2009 江苏)一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速3 1公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h， 汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h． 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间” ，提出一个用二元一次方程组 解决的问题，并写出解答过程． 问题一：普通公路和高速公路各为多少千米? 解 设普通公路长为 x 千米，高速公路长为?2 x ? y, ? y 千米，由题意得 ? x y ? ? 2 .2 . ? ? 60 100解得 ?? x ? 60 , ? y ? 120 .答：普通公路长为 60 千米，高速公路长为 120 千米． 问题二：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时? 解 设汽车在普通公路上行驶了 x 小时，在高速公路上行驶了 y 小时，由题意得，? x ? y ? 2 .2 , ? ? 60 x ? 2 ? 100 y ?解得 ?? x ? 1, ? y ? 1 .2 .答：汽车在普通公路上行驶了 1 小时，在高速公路上行驶了 1.2 小时． 说明 和差倍分问题、行程问题、工程问题等几类传统应用问题，在问题设置上可以多 一些变式，掌握好这些问题对进一步分析、解决其他类型应用题，有很大的益处． 例 11 芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为 8：00～22：00， 14 小时；谷段为 22：00～次日 8：00，10 小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦 时上浮 0.03 元， 谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下调 0.25 元， 小明家 5 月份实用平 段电量 40 千瓦时，谷段电量 60 千瓦时，按分时电价付费 42.73 元． (1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元? (2)如不使用分时电价结算，5 月份小明家将多支付电费多少元? 解 (1)设原销售电价为每千瓦时 x 元，根据题意得 40(x＋0.03)＋60(x－0.25)＝42.73． 去括号，得 40x＋1.2＋60x－15＝42.73． 合并，得 100x＝56.53． 系数化 1，得 x＝0.5653． ∴当 x＝0.5653 时，x＋0.03＝0.5953； x－0.25＝0.3153． 答：小明家该月支付平段电价为每千瓦时 0.5953 元、谷段电价每千瓦时 0.3153 元． (2)100×0.＝13.8(元)． 答：如不使用分时电价结算，小明家 5 月份将多支付 13.8 元． 说明 分段计算问题是日常生活中常见的一类问题．常见的类型有：出租车计费问题、 水电费收取问题、赋税问题、支付邮费问题、优惠购买问题等． 三、课标下新题展示 例 12 某项工程，由甲、乙两个施工队合作完成，先由甲施工队单独施工 3 天，剩下 的工作由甲、乙两个施工队合作完成．工程进度满足如图 4－1 所示的函数关系，该项工程 共支付工资 8000 元．图 4－1 (1)完成此项工程共需多少天? (2)若按完成工作量的多少支付工资，甲施工队应得多少元? (1)解法一 解 设一次函数的解析式(合作部分)是 y＝kx＋b(k≠0，k，b 是常数)． 由待定系数法解得 k? 1 8 ,b ? ? ? 1 8 1 8 x? 1 8 ? ?∴一次函数的表达式为 y 当 y＝1 时，1 8 x? 1 8? 1 ．解得x＝9．∴完成此项工程共需 9 天． 解法二 解 由正比例函数图象可知：甲的工作效率是1 2 ? 1 4 )? 1 12 ? 2] ? 2 ? 1 24 ? 1 12 ?乙工作的效率是 [(甲、乙合作的天数为3 4?(1 12?1 24) ? 6 (天)．∵甲先工作了 3 天， ∴完成此项工程共需 9 天． (2)由正比例函数图象可知：甲的工作效率是 甲 9 天完成的工作量是 9 ?1 12 ? 3 4 ? 1 12 ? ∴甲得到的工资是3 4? 8000 ? 6000(元)．例 13 星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发 2 小时后到达目的地， 游玩 3 小时后按原路以原速返回，小强离家 4 小时 40 分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小 强，如图 4－2 是他们离家的路程 y(千米)与时间 x(时)的函数图象．已知小强骑车的速度为 15 千米/时，妈妈驾车的速度为 60 千米/时．图 4－2 (1)小强家与游玩地的距离是多少? (2)妈妈出发多长时间与小强相遇? 解 (1)由题意，得 2×15＝30(千米)． 答：小强家与游玩地的距离是 30 千米． (2)方法一： 设妈妈出发 x 小时与小强相遇． 由题意 60 x 解 得x? ? 15 ( x ? 7 15 ?7 1520 60) ? 30 .答：妈妈出发 方法二：小时与小强相遇．设小强从游玩地返回 y 小时与妈妈相遇．由题意，得 60 ( y 解得 y2 15 ? ? 2 15 20 60 ? 7 157 15?20 60) ? 15 y ? 30 .? ?答：妈妈出发小时与小强相遇．四、课标考试达标题 (一)选择题 1．已知 ?? x ? 1, ? y ? ?1是方程 x－ay＝2 的一个解，那么 a 的值为()． D．－3 )．A．1 B．3 C．－1 2 2．关于 x 的一元二次方程 x －mx＋(m－2)＝0 的根的情况是( A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．已知∠A、∠B 互余，∠A 比∠B 大 30°．设∠A、∠B 的度数分别为 x°、y°，则下列 方程组中符合题意的是( )． A． ?? x ? y ? 180 , ? x ? y ? 30B． ?? x ? y ? 180 , ? x ? y ? 30 ? x ? y ? 90 , ? x ? y ? 30C． ?? x ? y ? 90 , ? x ? y ? 30D． ?4．某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元．设平均降价的百分率为 x，则下 面所列方程正确的是( )． 2 A．289(1－x) ＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289 5．若三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2－6x＋8＝0 的一个根，则这个三 角形的周长是( )． A．9 B．11 C．13 D．11 或 13 2 6．若关于 x 的一元二次方程 ax ＋2x－5＝0 有且仅有一根在 0 与 1 之间(不含 0 和 1)，则 a 的取值范围是( )． A．a＜3 B．a＞3 C．a＜－3 D．a＞－3 7．下列命题： ①若 a＋b＋c＝0，则 b2－4ac≥0； ②若 b＞a＋c，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根； ③若 b＝2a＋3c，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根； ④若 b2－4ac＞0，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3． 其中正确的命题是( ) A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④ (二)填空题 8．方程 x(x－1)＝x 的解是______． 9．当 m＝______时，关于 x 的分式方程2x ? m x?3 ?－1 无解．10．如图 4－3 中，标有相同字母的物体的质量相同，若 A 的质量为 20 克，当天平处于平 衡状态时，B 的质量为______克．图 4－3 11．如图 4－4，已知函数 y＝ax＋b 和 y＝kx 的图象交于点 P，则根据图象可得二元一次方 程组 ?? y ? ax ? b , ? y ? kx的解是______． 图 4－4 12． 如图 4－5， 3×3 的方阵图中， 在 填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)， (1)表格中每行的 3 个数、每列的 3 个数、斜对角的 3 个数之和均相等，则 x＝______， y＝______； 3 －2 2y－x (2)在备用图中完成此方阵图． 3 －2 (备用图) (三)解答题 13．某中学组织爱心捐款支援灾区活动，九年级一班 55 名同学共捐款 1180 元，捐款情 况见下表．表中捐款 10 元和 20 元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，请你帮助 确定表中的数据． 4 4 y c x a b图 4－514．先从括号内①～④备选项中，选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整，然后再 解答． (1)如果 a 是关于 x 的方程 x2＋bx＋a＝0 的根，并且 a≠0，求______的值； (①ab；②b a；③a＋b；④a－b)(2)已知 7a2＋5b2＝12ab，并且 ab≠0，求______的值； (①ab；②b a；③a＋b；④a－b)15．已知关于 x 的方程 x2－2ax－a＋2b＝0，其中 a，b 为实数． (1)若此方程有一个根为 2a(a＜0)，判断 a 与 b 的大小关系并说明理由； (2)若对于任何实数 a，此方程都有实数根，求 b 的取值范围． 参考答案第四讲 方程、方程组1．A． 2．A． 3．C． 4．A． 5．C． 6．B． 7．B． 提示：①当 a＋b＋c＝0 时，b2－4ac＝(－a－c)2－4ac＝(a－c)2≥0； ②当 b 为负数时，?＜0； ③当 b＝2a＋3c 时， b2－4ac＝(2a＋3c)2－4ac＝4a2＋8ac＋9c2 ＝4(a2＋2ac＋c2－c2)＋9c2 ＝4(a＋c)2＋5c2＞0． ④当二次函数的图象过原点时，与坐标轴有两个公共点，否则有三个． 8．x1＝0，x2＝2． 9．－6． 10．10． 11． ? 12．(1)－1，2． (2) 3 5 13．捐 10 元的有 4 人，捐 20 元的有 38 人． 14．(1)问题③a＋b；a＋b＝－1．(2)问题②b a a 2? x ? ?4, ? y ? ?2.4 0-1 6 1b a 7 5－2 2；?或 1．15．解：(1)∵方程 x2－2ax－a＋2b＝0 有一个根为 2a，∴4a2－4a2－a＋2b＝0． 整理，得 b ? ．a 2∵ a ? 0 ，∴ a ?，即 a ? b(2)?＝4a2－4(－a＋2b)＝4a2＋4a－8b． ∵对于任何实数 a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数 a，都有 4a2＋4a－8b≥0，即 a2＋a－2b≥0． ∴对于任何实数 a，都有 b ?a2?a 2?∵a ?a2?1 2(a ?1 2) ?21 8,21 2当a ? ?时，a ? a2有最小值 ?1 81 8．2∴b 的取值范围是 b ? ?中考数学专题复习_伤城文章网
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第一章 第一讲【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数数与式 实数? ? ?正整数 ? ? ? ? ?整数? 零 ? ?有理数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 ? ? ? ?正无理数 ? 无理数? ? ?? 正数 ? ?正无理数 零 ?负有理数 负数 ? ?有限小数或无限循环数 无限不循环小数2、按实数的正负分类： 实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：? 是 2数，不是数，22 是 7数，不是数。2、0 既不是数，也不是数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的， 数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0 的相反数 是 ，a、b 互为相反数 ? 3、倒数：实数 a 的倒数是 ， 没有倒数，a、b 互为倒数 ? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 （a＞0） （a=0） （a＜0） 数，我们学过的非负数有三 ,0 是唯一一个没有倒数的数， ，绝对值等于本身的数a=0因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 个： 、 、 。 【名师提醒： a+b 的相反数是 ， 的相反数是 a-b 相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字：的形式叫做科学记数法。其中1 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似 数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中 a 的取值 范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时， n 是负整数， 它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数 （含整数数位上的零） 。 2、近似数 3.05 万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若 x2=a(a 0),则 x 叫做 a 的 ，正数有 ，记做± a ，其中正数 a 的 个平方根，它们互为 平方根叫做 a 的 ，算术平方根，记做 负数 平方根。 2、 x3=a,则 x 叫做 a 的 若，0 的平方根是， 记做 3 a ， 正数有一个的立方根， 的立方根是 0，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 立方根等于本身的数有 。 】 【重点考点例析】 考点一：无理数的识别。 例 1 （2013?湖州）实数 π， A．π B．个，算术平方根等于本身的数有，1 ，0，-1 中，无理数是（ 5C．0） D．-11 5思路分析： 无理数就是无限不循环小数． 理解无理数的概念， 一定要同时理解有理数的概念， 有理数是整数与分数的统称． 即有限小数和无限循环小数是有理数， 而无限不循环小数是无 理数．由此即可判定选择项． 解：A、是无理数； B、是分数，是有理数，故选项错误； C、是整数，是有理数，选项错误； D、是整数，是有理数，选项错误． 故选 A． 点评：此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽 的数；以及像 0.…等有这样规律的数． 对应训练 1．（2013?安顺）下列各数中，3.14159， ? 3 8 ，0.…，-π， 25 ， ?1 ，无理数 7的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 1．B 考点二、实数的有关概念。 例 2 （2013?遵义）如果+30m 表示向东走 30m，那么向西走 40m 表示为（ ） A．+40m B．-40m C．+30m D．-30m 思路分析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记 为负，直接得出结论即可．2 解：如果+30 米表示向东走 30 米，那么向西走 40m 表示-40m． 故选 B． 点评：此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为 正，则和它意义相反的就为负． 例 3 （2013?资阳）16 的平方根是（ ） A．4 B．± 4 C．8 D．± 8 思路分析：根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题． 解：解：∵（± 2=16，∴16 的平方根是± 4） 4．故选 B． 点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方 根是 0；负数没有平方根． 例 4 （2013?铁岭）- 2 的绝对值是（ ）A． 2B．- 2C．2 2D．-2 2思路分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 解：|- 2 |= 2 ． 故选 A． 点评：本题考查了实数的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数． 对应训练 2．（2013?盐城）如果收入 50 元，记作+50 元，那么支出 30 元记作（ ） A．+30 B．-30 C．+80 D．-80 2．B 3．（2013?珠海）实数 4 的算术平方根是（ ） A．-2 B．2 C．± 2 D．± 4 3．B 4．（2013?绵阳） 2 的相反数是（ ）A． 2B．2 2C．- 2D．-2 24．C 5．（2013?南京）-3 的相反数是 5．3， ?；-3 的倒数是。1 36．（2013?湘西州）-2013 的绝对值是 ． 6．2013 7．（2013?宁波）实数-8 的立方根是 ． 7．-2 考点三：实数与数轴。 例 5 （2013?广州）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a-2.5|=（）3 A．a-2.5B．2.5-aC．a+2.5D．-a-2.5思路分析：首先观察数轴，可得 a＜2.5，然后由绝对值的性质，可得|a-2.5|=-（a-2.5） ，则可 求得答案． 解：如图可得：a＜2.5， 即 a-2.5＜0， 则|a-2.5|=-（a-2.5）=2.5-a． 故选 B． 点评：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数 轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 对应训练 8． （2013?连云港）如图， 数轴上的点 A、 分别对应实数 a、b， B 下列结论中正确的是 （ ） A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜b D．a+b＜0 8．C 考点四：科学记数法。 例 6 （2013?威海）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，已知 1 克=1000 毫克，那么 0.000037 毫克可用科学记数法表示为（ ） -5 -6 -7 A．3.7× 10 克 B．3.7× 克 10 C．37× 克 10 D．3.7× -8 克 10 思路分析：绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a× -n，与较大数 10 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定． 解：1 克=1000 毫克， 将 0.000037 毫克用科学记数法表示为：3.7× -8 克． 10 故选 D． 点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a× -n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原 10 数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 对应训练 9． （2013?潍坊）2012 年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达 4%的目 标， 其中在促进义务教育均衡方面， 安排农村义务教育经费保障机制改革资金达 865.4 亿元， 数据“865.4 亿元”用科学记数法可表示为（ ）元． 8 9 A．865× 10 B．8.65× 10 C．8.65× 10 10 D．0.865× 11 10 9．C 10． （2013?绵阳）2013 年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9 是一种新型禽 流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为 0. 米，这一直径用科学 记数法表示为（ ） -9 A．1.2× 10 米 B．1.2× -8 米 10 C．12× -8 米 10 D．1.2× -7 米 10 10．D 考点五：非负数的性质 例 7 （2013?新疆）若 a，b 为实数，且|a+1|+ b ? 1 =0，则（ab）2013 的值是（ ）A．0 B．1 C．-1 D．± 1 思路分析：根据非负数的性质列式求出 a、b，然后代入代数式进行计算即可得解． 解：根据题意得，a+1=0，b-1=0，解得 a=-1，b=1，所以，（ab）2013=（-1× 2013=-1． 1）4 故选 C． 点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0． 对应训练 11．（2013?攀枝花）已知实数 x，y，m 满足 x ? 2 +|3x+y+m|=0，且 y 为负数，则 m 的取 值范围是（ A．m＞6 11．A ） B．m＜6 C．m＞-6 D．m＜-6【聚焦山东中考】 1．（2013?济宁）一运动员某次跳水的最高点离跳台 2m，记作+2m，则水面离跳台 10m 可 以记作（ ） A．-10m B．-12m C．+10m D．+12m 1．A 2．（2013?临沂）-2 的绝对值是（ ） A．2 B．-2 C．1 2D．-1 22．A 3．（2013?烟台）-6 的倒数是（ A．） C．6 D．-61 6B．-1 63．B 4． （2013?潍坊）实数 0.5 的算术平方根等于（ A．2 B． 2 C．）2 2）D．1 24．C 5． （2013?威海）下列各式化简结果为无理数的是（ A． 3 ?27 B．( 2 ? 1 )0 C． 82 D． ( ?2)5．C 6． （2013?烟台）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年 浪费食物总量折合粮食大约是
人一年的口粮．
用科学记数法表示为 将 （ ） A．2.1× 9 10 B．0.21× 9 10 C．2.1× 8 10 D．21× 7 10 6．C 7． （2013?泰安）2012 年我国国民生产总值约 52 万亿元人民币，用科学记数法表示 2012 年 我国国民生产总值为（ ） 12 A．5.2× 10 元 B．52× 12 元 10 14 C．0.52× 10 元 D．5.2× 13 元 10 7．D 8． （2013?临沂） 拒绝“餐桌浪费”， 刻不容缓． 据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000 千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） 11 A．0.5× 10 千克 B．50× 9 千克 105 C．5× 9 千克 10 D．5× 10 千克 10 8．D 9． （2013?德州）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约 28.3 亿吨的有机物．28.3 亿吨用 科学记数法表示为（ ） 7 A．28.3× 10 B．2.83× 8 10 C．0.283× 10 10 D．2.83× 9 10 9．D 10． （2013?菏泽）明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的 结果个数约为 4680000，这个数用科学记数法表示为 ． 6 10．4.68× 10 11． （2013?菏泽）如图，数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别是 a、b、c，其中 AB=BC， 如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ） A．点 A 的左边 B．点 A 与点 B 之间 C．点 B 与点 C 之间 D．点 B 与点 C 之间或点 C 的右边11．D 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?咸宁）如果温泉河的水位升高 0.8m 时水位变化记作+0.8m，那么水位下降 0.5m 时水位变化记作（ ） A．0m B．0.5m C．-0.8m D．-0.5m 1．D 2．（2013?丽水）在数 0，2，-3，-1.2 中，属于负整数的是（ ） A．0 B．2 C．-3 D．-1.2 2．C 3． （2013?连云港）下列各数中是正数的为（ ） A．3 B．-1 2）C．- 2D．03．A 4．（2013?玉林）2 的相反数是（ A．2 B．-2C．1 2D．-1 24．B 5．（2013?张家界）-2013 的绝对值是（ A．-2013 B．2013） C．1 2013D．-1 20135．B 6．（2013?乌鲁木齐）|-2|的相反数是（ A．-2 B．-） C．1 21 2D．26．A 7．（2013?随州）与-3 互为倒数的是（ A．-） C．1 3B．-31 3D．36 7．A 8．（2013?钦州）在下列实数中，无理数是（ A．0 B．） C． 5 D．61 48．C 9． （2013?宜宾）据宜宾市旅游局公布的数据，今年“五一”小长假期间，全市实现旅游总收 入
用科学记数法表示为（ ） 8 9 7 A．3.3× 10 B．3.3× 10 C．3.3× 10 D．0.33× 10 10 9．A 10．（2013?包头）若|a|=-a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（ ） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 10．B 11．（2013?遵义）如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别是 a、b，则下列式子中成立的 是（ ） A．a+b＜0 B．-a＜-b C．1-2a＞1-2b D．|a|-|b|＞011．C 二．填空题 12．（2013?乐山）如果规定向东为正，那么向西即为负．汽车向东行驶 3 千米记作 3 千米， 向西行驶 2 千米应记作 千米． 12．-2 13．（2013?重庆）实数 6 的相反数是 ． 13．-6 14．（2013?上海模拟）求值： 3 ?8 = 14．-2 15．（2013?黔西南州） 81 的平方根是 15．± 3 16．（2013?黔西南州）已知 a ? 1 +|a+b+1|=0，则 ab= 16．1 ． ． ．7 第二讲【重点考点例析】 考点一：实数的大小比较。实数的运算例 1 （2013?淮安）如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为 2 和 5.1，则 A、B 两点之 间表示整数的点共有（ ） A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个思路分析：根据 2 比 1 大比 2 小，5.1 比 5 大比 6 小，即可得出 A、B 两点之间表示整数 的点的个数． 解：∵1＜ 2 ＜2，5＜5.1＜6， ∴A、B 两点之间表示整数的点有 2，3，4，5，共有 4 个； 故选 C． 点评：本题主要考查了无理数的估算和数轴，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也 就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问 题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 对应训练 1．（2013?内江）下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A．-5 B．- 2 C．1 D．41．C 考点二：估算无理数的大小 例 2 （2013?毕节地区）估计 11 的值在（ A．1 与 2 之间 B．2 与 3 之间 ）之间． C．3 与 4 之间 D．4 与 5 之间思路分析：11 介于 9 与 16 之间，即 9＜11＜16，则利用不等式的性质可以求得 11 介于 3 与 4 之间． 解：∵9＜11＜16， ∴3＜ 11 ＜4，即 11 的值在 3 与 4 之间． 故选 C． 点评： 此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小， 解题需掌握二次根式的基本运算技 能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 对应训练 2． （2013?吴江市模拟）3+ 3 的整数部分是 a，32． 6 ? 383 的小数部分是 b，则 a+b 等于． 考点三：有关绝对值的运算 例 3 （2013?咸宁）在数轴上，点 A（表示整数 a）在原点的左侧，点 B（表示整数 b）在原 点的右侧．若|a-b|=2013，且 AO=2BO，则 a+b 的值为 ． 思路分析：根据已知条件可以得到 a＜0＜b．然后通过取绝对值，根据两点间的距离定义知 b-a=2013，a=-2b，则易求 b=671．所以 a+b=-2b+b=-b=-671． 解：如图，a＜0＜b．∵|a-b|=2013，且 AO=2BO， ∴b-a=2013，① a=-2b，② 由①②，解得 b=671， ∴a+b=-2b+b=-b=-671． 故答案是：-671． 点评：本题考查了数轴、绝对值以及两点间的距离．根据已知条件得到 a＜0＜b 是解题的关 键． 对应训练 3．（2013?永州）已知a b ab 的值为 ? ? 0 ，则 | ab | |a| |b|．3．-1 考点四：实数的混合运算。 例 4 （2013?自贡）计算：20130+(1 -1 ) -2sin60° 3 -2|= -| 2．思路分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等四个考点．针对 每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解：原式=1+3 1 -2× -（2- 3 ）=1+2- 3 -2+ 3 =1， 1 2 2故答案为 1． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关 键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝 对值等考点的运算． 对应训练 4．（2013?玉林）计算： 3 8 +2cos60° -（π-2-1）0． 4．解：原式=2+2× -1=2． 考点五：实数中的规律探索。 例 5 （2013?永州）我们知道，一元二次方程 x2=-1 没有实数根，即不存在一个实数的平方 等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足 i2=-1（即方程 x2=-1 有一个根为 i）．并且进一 步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于任意正整数 n，我们可以得1 29 到 i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得 i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么 i+i2+i3+i4+…+i 的 值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．i 1 2 3 2 4 2 2 2 5 4 思路分析：i =i，i =-1，i =i ?i=（-1）?i=-i，i =（i ） =（-1） =1，i =i ?i=i，i6=i5?i=-1，从 而可得 4 次一循环，一个循环内的和为 0，计算即可． 解：由题意得，i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=-1， 故可发现 4 次一循环，一个循环内的和为 0， ∵…1， 4∴i+i2+i3+i4+…+i=i． 故选 D． 点评：本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出 一个循环内的和再计算，有一定难度． 对应训练 5．（2013?台州）任何实数 a，可用[a]表示不超过 a 的最大整数，如[4]=4，[ 3 ]=1．现对 72 进行如下操作： 72第一次[72] ? 8第二次[8] ? 2第三次[2] ? 1，这样对 72 只需进行 3 ???????? ???????? ???????? 次操作后变为 1，类似的，①对 81 只需进行几次操作后变为 1：②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的是几？ 5．解：①[ 81 ]=9，[ 9 ]=3，[ 3 ]=1，故答案为：3； ②最大的是 255， 255 ]=15， 15 ]=3， 3 ]=1， 256 ]=16， 16 ]=4， 4 ]=2， 2 ]=1， [ [ [ 而[ [ [ [ 即只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的正整数是 255， 故答案为：255． 【聚焦山东中考】 1．（2013?莱芜）在A．1．B 2．（2013?滨州）计算 A． 2．D 3．（2013?日照）计算-22+3 的结果是（ A．7 B．5 3．C 4．（2013?聊城）（-2）3 的相反数是（ A．-6 4．B B．8 ） C．-1 ） C．D．-51 21 1 ，- ，-2，-1 这四个数中，最大的数是（ 2 3 1 B．C．-2 3 1 1 ，正确的结果为（ ） 3 2 1 1 B．C． 5 6） D．-11 5D．-1 61 6D．1 610 5．（2013?菏泽）如果 a 的倒数是-1，那么 a2013 等于（ A．1 B．-1 C．2013 5．B 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?广州）比 0 大的数是（ ） A．-1 1．D B．-） D．-20131 2C．0D．12．（2013?重庆）在-2，0，1，-4 这四个数中，最大的数是（ A．-4 B．-2 C．0 2．D 3．（2013?天津）计算（-3）+（-9）的结果等于（ ） A．12 B．-12 C．6 3．B 4．（2013?河北）气温由-1℃上升 2℃后是（ ） A．-1℃ B．1℃ C．2℃ 4．B 5．（2013?自贡）与-3 的差为 0 的数是（ ） A．3 B．-3 C．） D．1D．-6D．3℃1 3D．-1 35．B 6．（2013?温州）计算：（-2）× 的结果是（ 3 ） A．-6 B．-1 C．1 6．A 7．（2013?厦门）下列计算正确的是（ ） A．-1+2=1 B．-1-1=0 C．（-1）2=-1 7．A 8．（2013?南京）计算：12-7× （-4）+8÷ （-2）的结果是（ A．-24 B．-20 C．6 8．D 9．（2013?常德）计算 2 × 8 + 3 ?27 的结果为（ A．-1 B．1 C．4-3 3 ）D．6D．-12=1 ） D．36D．79．B 10．（2013?南京）设边长为 3 的正方形的对角线长为 a．下列关于 a 的四种说法：①a 是无 理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a 是 18 的算术平方根．其中，所 有正确说法的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．C 二、填空题 11．（2013?钦州）比较大小：-1 11．＜ 2（填“＞”或“＜”）11 12．（2013?曲靖）若 a=1.9× 5，b=9.1× 4，则 a 10 10 12．＞ 13．（2013?衡阳）计算(-4)× (13．2 14．（2013?河南）计算：|-3|14．1 15．（2013?呼和浩特）大于 2 且小于 15．2 16．（2013?湘潭）计算： 2 sin45° +(- ．2b（填“＜”或“＞”）．1 )= 24=．．5 的整数是．．17．（2013?牡丹江）定义一种新的运算 a}b=ab，如 2}3=23=8，那么请试求（3}2）} 2= ．17．81 18．（2013?红河州模拟）计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归 纳计算结果中的个位数字的规律，猜测 32009+1 的个位数字是 ． 18．4 19．（2013?黄石）在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”，而计数制 方法很多，如 60 进位制：60 秒化为 1 分，60 分化为 1 小时；24 进位制：24 小时化为一天； 7 进位制：7 天化为 1 周等…而二进位制是计算机处理数据的依据．已知二进位制与十进位 制比较如下表： 十进位制 二进位制 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 ． 5 101 6 110 … …请将二进位制数 （二）写成十进位制数为19．170 20．（2013?天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有 数码 0 和 1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2 换算成十进制数应 为： (101)2=1× 2+0× 1+1× 0=4+0+1=5；(× 3+0× 2+1× 1+1× 0=11 2 2 2 2 2 2 2 按此方式，将二进制（1101）2 换算成十进制数的结果是 20．13 三、解答题 21．（2013?株洲）计算： ．4 +|-3|-2sin30° ．21．解：原式=2+3-2× =5-1=4．1 212 1 -1 1 2 ) - 3 -1）0+| - |。 3 2 3 2 1 13 22．解：原式=3-1+ - = ． 3 2 622．（2013?珠海）计算：( 23．（2013?重庆）计算：(-1)2013-|-2|+( 23．解：原式=-1-2+1× 2+4=3． 24．（2013?张家界）计算：(2013-π)0-(1 3 -π)0× 3 8 +( )-1． 4 1 -2 ) -2sin60° 3 -1|． +| 224．解：原式=1-4-2×3 + 3 -1=-4． 227 +2cos60° +（-2）25．（2013?南宁）计算：20130-25．解：原式=1-3 3 +2× -2=-3 3 ． 26．（2013?遂宁）计算：|-3|+1 23 ?tan30°- 3 8 -(2013-π)0．26．解：原式=3+ 3 ×3 -2-1 =3+1-2-1 =1． 213 第三讲整式【基础知识回顾】 一、整式的有关概念： ：由数与字母的积组成的代数式 1、整式： 多项式： 。 单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ， 多项式的每一项都要带着前面的符号。 2、同类项： ①定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同 类项。 ②合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。 【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是 式。2、判断同类项要抓住两个相同： 一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。 】 二、整式的运算： 1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a. ②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( ) ③整式加减的步骤是先 ，再 。 【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去 括号时括号内每一项都要 。 】 2、整式的乘法： ①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的 作为积的一个因式。 ②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即 m(a+b+c)= 。 ③多项式乘以多项式： 先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项， 再把所得的 积 ，即（m+n）(a+b)= 。 ④乘法公式：Ⅰ、平方差公式： （a＋b） （a―b）＝ ， Ⅱ、完全平方公式： （a± 2 = b） 。 【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错 误，三是展开式中有同类项的一定要 。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛 的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。 】 3、整式的除法： ①单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的 商 。即（am+bm）÷ m= 。 三、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n 为整数） m n 2、幂的乘方： 不变 相乘，即：(a ) ＝ （a＞0，m、n 为整数） 3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。 n 即：(ab) ＝ （a＞0，b＞0，n 为整数） 。14 4、同底数幂的除法: 不变 相减，即：a m÷ n＝ a （a＞0，m、n 为整数） 【名师提醒： 运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误， n = (-a) （n 为奇数） ， n m n (-a) = （n 为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知 3 =4,2 =3,则 m n 9 8= 。】 【重点考点例析】 考点一：代数式的相关概念。 例 1 （2013?凉山州）如果单项式-xa+1y3 与1 b 2 y x 是同类项，那么 a、b 的值分别为（ 2）A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2 思路分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出 a， b 的值． 解：根据题意得： ??a ? 1 ? 2 ，则 a=1，b=3． ?b ? 3故选 C． 点评：考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此 成了中考的常考点。 对应训练 1．（2013?苏州）计算-2x2+3x2 的结果为（ ） 2 2 A．-5x B．5x C．-x2 D．x2 1．D 考点二：代数式求值 例 2 （2013?苏州）已知 xA．11 1 3 =3，则 4- x2+ x 的值为（ x 2 2 3 5 B． C． 2 2） D．7 2思路分析： 所求式子后两项提取公因式变形后， 将已知等式去分母变形后代入计算即可求出 值． 解：∵x-1 1 1 7 =3，即 x2-3x=1，∴原式=4- （x2-3x）=4- = ． x 2 2 2故选 D． 点评：此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了 整体代入的思想． 例 3 （2013?湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为 3 时，则输出的 数值为 ．思路分析：输入 x 的值为 3 时，得出它的平方是 9，再加（-2）是 7，最后再除以 7 等于 1． 解：由题图可得代数式为： 2-2）÷ （x 7．当 x=3 时，原式=（32-2）÷ 7=（9-2）÷ 7=7÷ 7=1 故答案为：1． 点评：此题考查了代数式求值，此类题要能正确表示出代数式，然后代值计算，解答本题的 关键就是弄清楚题目给出的计算程序．对应训练2．（2013?盐城）若 x2-2x=3，则代数式 2x2-4x+3 的值为 ．15 2．9 3．（2013?绥化）按如图所示的程序计算．若输入 x 的值为 3，则输出的值为．3．-3 考点三：单项式与多项式。 例 4 （2013?云南）下列运算，结果正确的是（ ） 6 3 2 A．m ÷ =m m B．3mn2?m2n=3m3n3 C． （m+n）2=m2+n2 D．2mn+3mn=5m2n2 思路分析：依据同底数的幂的除法、单项式的乘法以及完全平方公式，合并同类项法则即可 判断． 解：A、m6÷ 3=m3，选项错误； m B、正确； C、 （m+n）2=m2+2mn+n2，选项错误； D、2mn+3mn=5mn，选项错误． 故选 B． 点评：本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握 运算法则是解题的关键． 对应训练 4．（2013?沈阳）下面的计算一定正确的是（ ） 3 3 6 A．b +b =2b B．（-3pq）2=-9p2q2 C．5y3?3y5=15y8 D．b9÷ 3=b3 b 4．C 考点四：幂的运算。 例 5 （2013?株洲）下列计算正确的是（ ） 2 3 2 5 A．x+x=2x B．x ?x =x C． 2）3=x5 （x D． （2x）2=2x2 思路分析： 根据合并同类项的法则， 同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求 得答案． 解：A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误； B、x3?x2=x5，故本选项正确； C、 2）3=x6≠x5，故本选项错误； （x D、 （2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误． 故选：B． 点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要 注意细心． 对应训练 5．（2013?张家界）下列运算正确的是（ ） A．3a-2a=1 B．x8-x4=x2 C．( ?2) 2 =-2D．-（2x2y）3=-8x6y35．D 考点五：完全平方公式与平方差公式16 例 6 （1）（2013?郴州）已知 a+b=4，a-b=3，则 a2-b2= （2） （2013?珠海）已知 a、b 满足 a+b=3，ab=2，则 a2+b2=． ．思路分析： （1）根据 a2-b2=（a+b） （a-b） ，然后代入求解． （2）将 a+b=3 两边平方，利用完全平方公式化简，将 ab 的值代入计算，即可求出所求式子 的值． 解： （1）a2-b2=（a+b） （a-b）=4× 3=12．故答案是：12． （2）将 a+b=3 两边平方得： （a+b）2=a2+2ab+b2=9， 把 ab=2 代入得：a2+4+b2=9，则 a2+b2=5．故答案为：5． 点评：此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 例 7 （2013?张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 3cm 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长 为 acm，则另一边长是（ ）A．（2a+3）cmB．（2a+6）cmC．（2a+3）cmD．（a+6）cm思路分析：根据第一个图形中，从边长为（a+3）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 3cm 的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，即可求解． 解：解：根据第一个图：从边长为（a+3）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 3cm 的正方 形，剩余部分的面积是： （a+3）2-32， 设拼成的矩形另一边长是 b，则 ab=（a+3）2-32， 解得：b=a+6． 故选 D． 点评：本题考查了图形的变化，正确理解：第一个图形中，从边长为（a+3）cm 的正方形纸 片中剪去一个边长为 3cm 的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，是解题的 关键． 对应训练 6．（2013?徐州）当 m+n=3 时，式子 m2+2mn+n2 的值为 ． 6．9 7．（2013?攀枝花模拟）如图（一），在边长为 a 的正方形中，挖掉一个边长为 b 的小正方 形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分） 的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） 2 2 A．a -b =（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b217 7．A 考点六：整式的运算 例 8 （2013?株洲）先化简，再求值： （x-1） （x+1）-x（x-3） ，其中 x=3． 思路分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号 合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 解：原式=x2-1-x2+3x=3x-1， 当 x=3 时，原式=9-1=8． 点评：此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则， 以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 例 9 （2013?宁波）7 张如图 1 的长为 a，宽为 b（a＞b）的小长方形纸片，按图 2 的方式 不重叠地放在矩形 ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下 角的阴影部分的面积的差为 S，当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不 变，则 a，b 满足（ ） A．a=5 b 2B．a=3bC．a=7 b 2D．a=4b思路分析：表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与 BC 无关即可求出 a 与 b 的关系式． 解：如图，左上角阴影部分的长为 AE，宽为 AF=3b，右下角阴影部分的长为 PC，宽为 a，∵AD=BC，即 AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC， ∴AE+a=4b+PC，即 AE-PC=4b-a， ∴阴影部分面积之差 S=AE?AF-PC?CG=3bAE-aPC=3b （PC+4b-a） -aPC= （3b-a） PC+12b2-3ab， 则 3b-a=0，即 a=3b． 故选 B18 点评：此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 对应训练 8． （2013?扬州）先化简，再求值： （x+1） （2x-1）-（x-3）2，其中 x=-2． 8．解：原式=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10， 当 x=-2 时，原式=4-14-10=-20． 9．（2013?泰州）把三张大小相同的正方形卡片 A、B、C 叠放在一个底面为正方形的盒底 上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图 1 摆放时，阴影部分的面积为 S1；若按 图 2 摆放时，阴影部分的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．无法确定9．C 考点七：规律探索。 例 10 （ （2013?山西）一组按规律排列的式子： a ,2a 4 a 6 a8 , , ，…，则第 n 个式子 3 5 7是 ． 思路分析：观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可． 解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n， 1，3，5，7，…分母可表示为 2n-1， 则第 n 个式子为：a 2n ． 2n ? 1故答案为：a 2n ． 2n ? 1点评：本题考查了单项式的知识，属于基础题，关键是观察分子、分母的变化规律． 例 11 （2013?淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻 格子所填整数之和都相等，则第 2013 个格子中的整数是 ． -4 a b c 6 b -2 …思路分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出 a、c 的值，再根据第 9 个数是-2 可 得 b=-2，然后找出格子中的数每 3 个为一个循环组依次循环，在用 2013 除以 3，根据余数 的情况确定与第几个数相同即可得解． 解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴-4+a+b=a+b+c，解得 c=-4，a+b+c=b+c+6，解得 a=6， 所以，数据从左到右依次为-4、6、b、-4、6、b， 第 9 个数与第三个数相同，即 b=-2， 所以，每 3 个数“-4、6、-2”为一个循环组依次循环， ∵2013÷ 3=671，∴第 2013 个格子中的整数与第 3 个格子中的数相同，为-2． 故答案为：-2． 点评：此题主要考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出 a、b、c 的值，从而得到其规19 律是解题的关键． 例 12 （2013?烟台）将正方形图 1 作如下操作：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形…， 以此类推，根据以上操作，若要得到 2013 个正方形，则需要操作的次数是（ ）A．502 B．503 C．504 D．505 思路分析：根据正方形的个数变化得出第 n 次得到 2013 个正方形，则 4n+1=2013，求出即 可． 解：∵第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 4+1=5 个正方形； 第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 4× 2+1=9 个正方形…， 以此类推，根据以上操作，若第 n 次得到 2013 个正方形，则 4n+1=2013， 解得：n=503． 故选：B． 点评：此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键． 对应训练 10．（2013?淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第 2013 个单项 式是 ． 2 10．4025x 11．（2013?玉林）一列数 a1，a2，a3，…，其中 a1= 数），则 a100=（ A． ） B．2 C．-1 D．-21 1 ， an ? （n 为不小于 2 的整 1 ? an ?1 21 211．A 12． （2013?十堰） 如图， 是一组按照某种规律摆放成的图案， 则图 5 中三角形的个数是 （）A．8 B．9 C．16 D．17 12．C 【聚焦山东中考】 1．（2013?济宁）如果整式 xn-2-5x+2 是关于 x 的三次三项式，那么 n 等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．C 2．（2013?东营）下列运算正确的是（ ） 3 2 2 3 6 A．a -a =a B．a ?a =a C．（a3）2=a6 D．（3a）3=9a320 2．C 3．（2013?烟台）下列各运算中，正确的是（ ） 2 3 2 6 A．3a+2a=5a B．（-3a ） =9a C．a4÷ 2=a3 a 3．B 4．（2013?日照）下列计算正确的是（ ） 2 2 6 3 2 A．（-2a） =2a B．a ÷ =a a C．-2（a-1）=2-2a 4．C 5．（2013?威海）若 m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n 的值是（ ） A．3 B．2 C．1 5．A 6．（2013?威海）下列运算正确的是（ ） 2 2 4 A．3x +4x =7x B．2x3?3x3=6x3 C．x6+x3=x2 D．（x2）4=x8 6．D 7．（2013?泰安）下列运算正确的是（ ） 3 3 A．3x -5x =-2x B．6x3÷ -2=3x 2x C．（D．（a+2）2=a2+4D．a?a2=a2D．-11 3 2 1 6 x）= x 3 9D．-3（2x-4）=-6x-127．C 8．（2013?临沂）下列运算正确的是（ ） 2 3 5 2 2 A．x +x =x B．（x-2） =x -4 C．2x2?x3=2x5 D．（x3）4=x7 8．C 9．（2013?聊城）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把 钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面 16cm，那么钢丝大约需要加长（ ） 2 4 6 8 A．10 cm B．10 cm C．10 cm D．10 cm 9．A 10． （2013?日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形 中 M 与 m、n 的关系是（ ）A．M=mn 10．DB．M=n（m+1）C．M=mn+1D．M=m（n+1）11．（2013?日照）已知 m2-m=6，则 1-2m2+2m= 11．-11 12．（2013?滨州）观察下列各式的计算过程： 5× 5=0× 100+25， 1× 15× 15=1× 100+25， 2× 25× 25=2× 100+25， 3× 35× 35=3× 100+25， 4×．21 … 请猜测，第 n 个算式（n 为正整数）应表示为 ． 12．100n（n-1）+25 13．（2013?潍坊）当 n 等于 1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分 别如图所示， 则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ．用 （ n 表示，n 是正整数）13．n2+4n 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?丽水）化简-2a+3a 的结果是（ ） A．-a B．a C．5a 1．B 2．（2013?徐州）下列各式的运算结果为 x6 的是（ ） 9 3 3 3 2 3 A．x ÷ x B．（x ） C．x ?x 2．A 3．（2013?连云港）计算 a2?a4 的结果是（ ） 6 8 A．a B．a C．2a6 3．A 4．（2013?重庆）计算 3x3÷ 2 的结果是（ x ） 2 2 A．2x B．3x C．3x 4．D 5．（2013?遵义）计算（A．-D．-5aD．x3+x3D．2a8D．33 3 6 ab 21 2 3 ab ） 的结果是（ ） 2 1 1 B．- a3b5 C．- a3b5 2 8D．-1 3 6 ab 85．D 6．（2013?佛山）多项式 1+2xy-3xy2 的次数及最高次项的系数分别是（ ） A．3，-3 B．2，-3 C．5，-3 D．2，3 6．A 7．（2013?遂宁）下列计算错误的是（ ） A．-|-2|=-2 B．（a2）3=a5 C．2x2+3x2=5x2 7．B 8．（2013?盘锦）下列计算正确的是（ A．3mn-3n=m B．（2m）3=6m3 8．D D．8 =2 2） C．m8÷ 4=m2 m D．3m2?m=3m322 9．（2013?达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价 20%， 后又降价 10%；乙超市连续两次降价 15%；丙超市一次降价 30%．那么顾客到哪家超市购 买这种商品更合算（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 9．B 10．（2013?黄冈）矩形 AB=a，AD=b，AE=BF=CG=DH=c，则图中阴影部分面积是（ ） 2 2 A．bc-ab+ac+b B．a +ab+bc-ac 2 C．ab-bc-ac+c D．b2-bc+a2-ab10．C 11．（2013?保康）如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为 a 的正方形之后，剩 余部分可剪拼成一个矩形 （不重叠无缝隙） 若拼成的矩形一边长为 2， ， 则另一边长是 （ ）A．2 B．a+4 C．2a+2 D．2a+4 12．C 13．（2013?新华区一模）定义运算 ab=a（1-b），下面给出了这种运算的四个结论： ①2（-2）=6； ②若 a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab； ③ab=ba； ④若 ab=0，则 a=0 或 b=1． 其中结论正确的有（ ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 13．D 二、填空题 14．（2013?晋江市）计算：2a2+3a2= ． 2 14．5a 15．（2013?天津）计算 a?a6 的结果等于 ． 7 15．a 16．（2013?上海模拟）计算：6x2y3÷ 3y3= 2x ． 16．3 x 1 的数”用代数式表示是 5．17．（2013?同安区一模）“比 a 的 2 倍大23 17． 2a ?1 518．（2013?义乌市）计算：3a?a2+a3= ． 3 18．4a 19．（2013?铁岭）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来 每件 m 元，加价 50%，再做两次降价处理，第一次降价 30%，第二次降价 10%．经过两次 降价后的价格为 元（结果用含 m 的代数式表示） 19．0.945m 20． （2013?贵港）若 ab=-1，a+b=2，则式子（a-1） （b-1）= ． 20．-2 21． （2013?沈阳） 如果 x=1 时， 代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5， 那么 x=-1 时， 代数式 2ax3+3bx+4 的值是 ． 21．3 22． （2013?苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入 x 的值为 2，则输出的值为 ．22．20 21．（2013?泰州）若 m=2n+1，则 m2-4mn+4n2 的值是 21．1 22．（2013?晋江市）若 a+b=5，ab=6，则 a-b= ． 22．± 1 23． （（2013?永州）定义．a cb d1为二阶行列式．规定它的运算法则为a cb d=ad-bc．那么当 x=1 时，二阶行列式x ?1 0x ?1的值为．23．0 24． （2013?雅安） 已知一组数 2， 8， 4， 16， 32， …， 按此规律， 则第 n 个数是 24．2n．25．（2013?云南）下面是按一定规律排列的一列数： 是 25． ．1 3 5 7 , , , ，…那么第 n 个数 4 7 12 192n ? 1 n2 ? 324 26．（2013?孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称 图中的数 1，5，12，22…为五边形数，则第 6 个五边形数是 ．26．51 27．（2013?青岛）要把一个正方体分割成 8 个小正方体，至少需要切 3 刀，因为这 8 个小 正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切 3 次才能切出来．那么，要把一个 正方体分割成 27 个小正方体，至少需用刀切 次；分割成 64 个小正方体，至少需 要用刀切 次． 27．6，9 三、解答题 28． （2013?宜昌）化简： （a-b）2+a（2b-a） 28．解：原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2． 29． （2013?宁波）先化简，再求值： （1+a） （1-a）+（a-2）2，其中 a=-3． 29．解：原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5， 当 a=-3 时，原式=12+5=17． 30． （2013?三明）先化简，再求值： （a+2） （a-2）+4（a+1）-4a，其中 a= 2 -1． 30．解：原式=a2-4+4a+4-4a=a2， 当 a= 2 -1 时，原式=（ 2 -1）2=2-2 2 +1=3-2 2 ． 31． （2013?邵阳）先化简，再求值： （a-b）2+a（2b-a） ，其中 a=31．解：原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2， 当 b=3 时，原式=9． 32． （2013?娄底）先化简，再求值： （x+y） （x-y）-（4x3y-8xy3）÷ 2xy，其中 x=-1，y= 32．解：原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2， 当 x=-1，y=1 ，b=3． 23 ． 33 时，原式=-1+1=0． 333． （2013?义乌市） 如图 1 所示， 从边长为 a 的正方形纸片中减去一个边长为 b 的小正方形， 再沿着线段 AB 剪开，把剪成的两张纸拼成如图 2 的等腰梯形， （1）设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2，请直接用含 a，b 的代数式 表示 S1 和 S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．25 33．解： （1）∵大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b， ∴S1=a2-b2，S2=1 （2a+2b） （a-b）=（a+b） （a-b） ； 2（2）根据题意得： （a+b） （a-b）=a2-b2。 34． （2013?张家界）阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22013 的值． 解：设 S=1+2+22+23+24+…+，将等式两边同时乘以 2 得： 2S=2+22+23+24+25+…+ 将下式减去上式得 2S-S=22014-1 即 S=22014-1 即 1+2+22+23+24+…+-1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中 n 为正整数） ． 34．解： （1）设 S=1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以 2 得 2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S-S=211-1，即 S=211-1， 则 1+2+22+23+24+…+210=211-1； （2）设 S=1+3+32+33+34+…+3n， 两边乘以 3 得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1， 下式减去上式得：3S-S=3n+1-1，即 S= 则 1+3+32+33+34+…+3n=1 （3n+1-1） ， 21 （3n+1-1） ． 235． （2013?常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形 的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为 S，该多 边形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为 b，则 S=1 a+b-1（史称“皮克公式”） ． 2小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角 形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为 格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：26 根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边 上的格点的个数 多边形 1 多边形 2 … 一般格点多边形 8 7 … a 格点边多边形内 部的格点个数 1 3 … b … S （用含 a、b 的代数式表示） ． 格点边多边形内 部的格点个数 1 3 … b 格点多边形的面 积 8 11 … S 格点多边形的面 积则 S 与 a、b 之间的关系为 S= 35．解：填表如下： 格点多边形各边 上的格点的个数 多边形 1 多边形 2 … 一般格点多边形 8 7 … a则 S 与 a、b 之间的关系为 S=a+2（b-1） （用含 a、b 的代数式表示） ．27 第四讲因式分解【基础知识回顾】 一、因式分解的定义： 1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。 （ ） 整式的积 2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 （ ） 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是 否为 的形式。 】 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。 【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取 系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提 出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是 一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。 】 2、运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 ①平方差公式：a2-b2= , 2 2 ②完全平方公式：a ± 2ab+b = 。 【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点， 找准里面的 a 与 b。如：x2-x+1 1 符合完全平方公式形式，而 x2- x+ 就不符合该公式的形 4 2式。 】 三、因式分解的一般步骤 1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。 2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。 3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为 两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】 考点一：因式分解的概念 例 1 （2013?株洲）多项式 x2+mx+5 因式分解得（x+5） （x+n） ，则 m= ，n= ． 2 2 思路分析：将（x+5） （x+n）展开，得到，使得 x +（n+5）x+5n 与 x +mx+5 的系数对应相 等即可． 解：∵（x+5） （x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n ∴??n ? 1 ?n ? 5 ? m ，∴ ? ， ?m ? 6 ?5 n ? 5故答案为 6，1． 点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 对应训练 1．（2013?河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）28 A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1） 1．D 考点二：因式分解 例 2 （2013?无锡）分解因式：2x2-4x= ． 思路分析：首先找出多项式的公因式 2x，然后提取公因式法因式分解即可． 解：2x2-4x=2x（x-2） ． 故答案为：2x（x-2） ． 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是 整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母 的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 例 3 （2013?南昌）下列因式分解正确的是（ ） 2 A．x -xy+x=x（x-y） B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2 C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3） （x-3） 思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案． 解：A、x2-xy+x=x（x-y+1） ，故此选项错误； 3 2 2 2 B、a -2a b+ab =a（a-b） ，故此选项正确； C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误； D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误． 故选：B． 点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次 要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶． 例 4 （2013?湖州）因式分解：mx2-my2． 思路分析：先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解：mx2-my2， =m（x2-y2） ， =m（x+y） （x-y） ． 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解， 一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 对应训练 2．（2013?温州）因式分解：m2-5m= ． 2．m（m-5） 3．（2013?西宁）下列分解因式正确的是（ ） 2 A．3x -6x=x（3x-6） B．-a2+b2=（b+a）（b-a） C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2 3．B 4．（2013?北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ． 2 4．a（b-2） 考点三：因式分解的应用 例 5 （2013?宝应县一模）已知 a+b=2，则 a2-b2+4b 的值为 ． 思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可． 解：∵a+b=2， ∴a2-b2+4b=（a+b） （a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2× 2=4．29 故答案为：4． 点评： 本题考查了利用平方差公式分解因式， 利用平方差公式和提公因式法整理出 a+b 的形 式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想． 对应训练 5．（2013?鹰潭模拟）已知 ab=2，a-b=3，则 a3b-2a2b2+ab3= ． 5．18【聚焦山东中考】1．（2013?临沂）分解因式 4x-x2= 1．x（4-x） 2．（2013?滨州）分解因式：5x2-20= 2．5（x+2）（x-2） 3．（2013?泰安）分解因式：m3-4m= 3．m（m-2）（m+2） 4．（2013?莱芜）分解因式：2m3-8m= 4．2m（m+2）（m-2） 5．（2013?东营）分解因式：2a2-8b2= 5．2（a-2b）（a+2b） 6．（2013?烟台）分解因式：a2b-4b3= 6．b（a+2b）（a-2b） 7．（2013?威海）分解因式：-3x2+2x7． ? (3x ? 1) ． ． ． ． ． ．1 = 3．1 328．（2013?菏泽）分解因式：3a2-12ab+12b2= ． 2 8．3（a-2b） 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） 2 2 2 2 A．x +x+1 B．x +2x-1 C．x -1 D．x -6x+9 1．D 2．（2013?佛山）分解因式 a3-a 的结果是（ ） 2 2 A．a（a -1） B．a（a-1） C．a（a+1）（a-1） D．（a2+a）（a-1） 2．C 3．（2013?恩施州）把 x2y-2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） 2 2 2 2 2 A．y（x -2xy+y ） B．x y-y （2x-y） C．y（x-y） D．y（x+y）2 3．C 二、填空题 4．（2013?自贡）多项式 ax2-a 与多项式 x2-2x+1 的公因式是 ． 4．x-1 5．（2013?太原）分解因式：a2-2a= ． 5．a（a-2） 6．（2013?广州）分解因式：x2+xy= ． 6．x（x+y） 7．（2013?盐城）因式分解：a2-9= ．30 7．（a+3）（a-3） 8．（2013?厦门）x2-4x+4=（ ）2． 8．x-2 9．（2013?绍兴）分解因式：x2-y2= ． 9．（x+y）（x-y） 10．（2013?邵阳）因式分解：x2-9y2= ． 11．（x+3y）（x-3y） 12．（2013?南充）分解因式：x2-4（x-1）= ． 2 12．（x-2） 13．（2013?遵义）分解因式：x3-x= ． 13．x（x+1）（x-1） 14．（2013?舟山）因式分解：ab2-a= ． 14．a（b+1）（b-1） 15．（2013?宜宾）分解因式：am2-4an2= ． 15．a（m+2n）（m-2n） 16．（2013?绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ． 2 2 16．x y （y-x）（y+x） 17．（2013?内江）若 m2-n2=6，且 m-n=2，则 m+n= ． 17．3 18．（2013?廊坊一模）已知 x+y=6，xy=4，则 x2y+xy2 的值为 ． 18．24 19． （2013?凉山州）已知（2x-21） （3x-7）-（3x-7） （x-13）可分解因式为（3x+a） （x+b）， 其中 a、b 均为整数，则 a+3b= ． 19．-3131 第五讲【基础知识回顾】 一、 分式的概念 若 A，B 表示两个整式，且 B 中含有 【名师提醒：①若 则分式分式那么式子就叫做分式A A 无意义②若分式 =0，则 B B应 且 】 二、 分式的基本性质 分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。a.m 1、 = a.ma?m ， = b?m ?b b = = a（m≠0）2、分式的变号法则。3、 约分： 根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约 分。 约分的关键是确定分式的分子和分母中的 ， 约分的结果必须是 分式或整式。 4、通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式 的通分，通分的关键是确定各分母的 。 【名师提醒：①最简分式是指 ； ② 约分时确定公因式的方法：当分子、 分母是单项式时，公因式应取系数的 ，相同字母的 ，当分母、分母是 多项式时应先 再进行约分； ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数 的 相同字母 ，分母中有多项式时仍然要先 ，通分中有整式 的应将整式看成是分母为 的式子 ； ④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏 乘和漏除项】 二、 分式的运算： 1、分式的乘除b d . = a c b d ②分式的除法： ? = a c①分式的乘法： 2、分式的加减=b c ± = a a b d ②异分母分式相加减： ± = a c①用分母分式相加减：=【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质 是 的过程 ②异分母分式加减过程的关键是 】 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即( 4、 分式的混合运算：应先算 再算 的。 5、 分式求值：①先化简，再求值。b m ) = a最后算 有括号的先算括号里面32 ②由化简后的形式直接代数所求分式的值 ③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中 【名师 提醒：①实数 的各种运 算律也符合分 式 ②分式 运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入思想 的运用。 】 【重点考点例析】 考点一：分式有意义的条件 例 1 （2013?南京）使式子 1+1 有意义的 x 的取值范围是 x ?1．思路分析：分式有意义，分母不等于零． 解：由题意知，分母 x-1≠0，即 x≠1 时，式子 1+1 有意义． x ?1故填：x≠1． 点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义?分母为零； （2）分式有意义?分母不为零； （3）分式值为零?分子为零且分母不为零． 对应训练 1．（2013?成都）要使分式5 有意义，则 x 的取值范围是（ x ?1C．x＜1） D．x≠-1A．x≠1 B．x＞1 1．A 考点二：分式的值为零的条件 例 2 （2013?深圳）分式x2 ? 4 的值为 0，则（ x?2）A．x=-2 B．x=± 2 C．x=2 D．x=0 思路分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零． 解：由题意，得 x2-4=0，且 x+2≠0， 解得 x=2． 故选 C． 点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分 子为 0；（2）分母不为 0．这两个条件缺一不可． 对应训练 2．（2013?云南）要使分式 A．9 2．D 考点三：分式的运算 例 3 （2013?济宁三模）化简(1+x2 ? 9 的值为 0，你认为 x 可取得数是（ 3x ? 9C．-3） D．3B．± 31 m )÷ 2 的结果是 m ?1 m ?1．33 思路分析：把原式括号中通分后，利用同分母分式的加法运算法则：分母不变，只把分子相 加进行计算， 同时将除式的分母利用平方差公式分解因式， 并根据除以一个数等于乘以这个 数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果． 解：原式=（m m ?1 1 m ? 1 ? 1 (m ? 1)(m ? 1) ）÷ = ? ? (m ? 1)(m ? 1) m ?1 m ?1 m ?1 m=m (m ? 1)(m ? 1) =m+1． ? m ?1 m故答案为：m+1 点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分 母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分子分母是多项式，应 先将多项式分解因式后再约分． 对应训练 3．（2013?凉山州）化简(13．m 考点四：分式的化简与求值 例 4 （2013?自贡）先化简(1 )(m+1)的结果是 m ?1．1 1 a )÷ 2 ，然后从 1、 2 、-1 中选取一个你认 ? a ? 1 a ? 1 2a ? 2为合适的数作为 a 的值代入求值． 思路分析：先把除法转化成乘法，再根据乘法的分配律分别进行计算，然后把所得的结果化 简，最后选取一个合适的数代入即可． 解：原式=（2 1 1 2(a ? 1)(a ? 1) 2(a ? 1)(a ? 1) 4 ）× = × = ， ? (a ? 1)(a ? 1) a ?1 a ?1 a a a4 ?2 2． 2由于 a≠±1，所以当 a= 2 时，原式=点评：此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是乘法的分配律、约分，在计算时要注意 把结果化到最简． 对应训练 4．（2013?重庆）先化简，再求值：( ＞1 的负整数解． 4．解：原式=[x ? 2 x ?1 x?4 )÷ 2 ，其中 x 是不等式 3x+7 ? x x ? 2 x ? 4x ? 4( x ? 2)( x ? 2) ? x ( x ? 1) ( x ? 2)2 x 2 ? 4 ? x 2 ? x ( x ? 2) 2 ? ? = x( x ? 2) x?4 x( x ? 2) x?4x?4 ( x ? 2) 2 x ? 2 ? = = ， x( x ? 2) x?4 x3x+7＞1，3x＞-6，x＞-2， ∵x 是不等式 3x+7＞1 的负整数解，∴x=-1， 把 x=-1 代入?1 ? 2 x?2 中得： ?3． ?1 x34 考点五：零指数幂和负指数幂 例 5 （2013?荆州）下列等式成立的是（ A．|-2|=2 B．（ 2 -1）0=0） C．（-1 -1 ） =2 2D．-（-2）=-2思路分析：根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，结合各选项进行判断即可． 解：A、|-2|=2，计算正确，故本选项正确； B、（ 2 -1）0=1，原式计算错误，故本选项错误； C、（-1 -1 ） =-2，原式计算错误，故本选项错误； 2D、-（-2）=2，原式计算错误，故本选项错误； 故选 A． 点评：本题考查了绝对值、零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键 是掌握各部分的运算法则． 对应训练 5．（2013?济南）下列计算正确的是（ ） A．(1 -2 ) =9 3B．( ?2) 2 =-2C．（-2）0=-1D．|-5-3|=25．A 【聚焦山东中考】 1．（2013?滨州）化简a3 ，正确结果为（ a） C．a-1 D．a-2A．a B．a2 1．B 2．（2013?泰安）（-2）-2 等于（ A．-4 2．D B．4） C．-1 4D．1 4x2 ?1 3．（2013?淄博）如果分式 的值为 0，则 x 的值是（ 2x ? 2A．1 B．0 3．A 4．（2013?淄博）下列运算错误的是（ A． C．-1 ）） D．± 1( a ? b) 2 ?1 (b ? a ) 2B．?a ? b ? ?1 a?bC． 4．D0.5a ? b 5a ? 10b ? 0.2a ? 0.3b 2a ? 3bD．a ?b b?a ? a?b b?a）5．（2013?泰安）化简分式2 2 1 ?( 2 ? ) )的结果是（ x ?1 x ?1 x ? 135 A．2 5．A 6．（2013?临沂）化简 A．B．2 x ?1C．2 x ?1）D．-21 a ?1a ?1 2 ? (1 ? ) 的结果是（ a ? 2a ? 1 a ?1 1 1 B． C． 2 a ?1 a ?12D．1 a ?126．A1 x2 ? 2 x ? 1 7．（2013?威海）先化简，再求值： ( ，其中 x= 2 -1． ? 1) ? x ?1 x2 ?17．解：原式=1 ? x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? x ? 2 ． ? ? x ?1 ( x ? 1)2 x ?1当 x= 2 -1 时， 原式=? 2 ?1? 2 3 ? 2 3 2 ? 2 ? ? ． 2 2 ?1 ?1 2x2 4x2 ? 4x ? 1 8．（2013?烟台）先化简，再求值： ( ，其中 x 满足 x2+x-2=0． ? x ? 1) ? x ?1 1? x8．解：原式=x 2 ? ( x ? 1)( x ? 1) 1 ? x 2x ?1 1 ? x 1 ? = = ， ? 2 2 x ?1 (2 x ? 1) x ? 1 (2 x ? 1) 2 x ? 1由 x2+x-2=0，解得 x1=-2，x2=1， ∵x≠1， ∴当 x=-2 时，原式=1 1 ? ． 1 ? 2 ? (?2) 59．（2013?莱芜）先化简，再求值：a?2 4 ? (a ? ) ，其中 a= 3 +2． a?4 a?49．解：原式=a ? 2 a 2 ? 4a ? 4 a ? 2 a ? 4 1 ? ? = = ． 2 a ? 4 (a ? 2) a ? 2 a?4 a?41 3 ? ． 3 3 ?2?2当 a= 3 +2 时，原式= 【备考真题过关】 一、选择题1．（2013?温州）若分式 A．x=3 1．Ax?3 的值为 0，则 x 的值是（ x?4C．x=-3） D．x=-4B．x=036 2．（2013?黔西南州）分式 A．-1 2．Dx2 ?1 的值为零，则 x 的值为（ x ?1C．± 1） D．1B．03．（2013?南京）计算 a3?（ A．a 3．A 4．（2013?沈阳）计算 A． B．a31 2 ） 的结果是（ a） C．a6 D．a91 x ?12 3 的结果是（ ） ? x ?1 1 ? x 1 5 B． C． 1? x x ?1） C．（-2）0=0D．5 1? x4．B 5．（2013?河北）下列运算中，正确的是（ A． 9 =± 3 5．D B． 3 ?8 =2D．2-1=1 216 ? a 2 a?4 a?2 6．（2013?包头）化简 2 ，其结果是（ ? ? a ? 4a ? 4 2a ? 4 a ? 4A．-2 6．A 7．（2013?杭州）如图，设 k= B．2 C．- ?）2 (a ? 2)2D．2 (a ? 2) 2甲图中阴影部分的面积 （a＞b＞0），则有（ 乙图中阴影部分的面积C．）A．k＞2B．1＜k＜21 ＜k＜1 2D．0＜k＜1 27．B 二、填空题 8．（2013?钦州）当 x= 8．2 9．（2013?攀枝花）若分式 时，分式3 无意义． x?2x2 ?1 的值为 0，则实数 x 的值为 x ?1．37 9．1 10．（2013?遵义）计算：= 10．．1 22x 2 = ? x ?1 x ?13b 2 a ? = a b．11．（2013?株洲）计算： 11．2 12．（2013?上海）计算： 12．3b 13．（2013?泉州）计算： 13．1 14．（2013?新疆）化简．2 n ?1 = ? n ?1 n ?1．x ?1 x2 ? 2x ? 1 = ? x?2 x2 ? 4．14．x?2 x ?1．x2 ? 2x 15．（2013?大连）化简：x+1= x ?115．1 x ?1 1 )(m ? 1) 的结果是 m ?1．16．（2013?凉山州）化简(1- (1 ? 16．m 三、解答题 17．（2013?佛山）按要求化简：2 a?3 ． ? a ?1 1 ? a217．解：原式=2(a ? 1) a?3 2(a ? 1) ? a ? 3 a ?1 1 = = = ． ? (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 1) a ? 118．（2013?永州）先化简，再求值： (x ?1 x x ?1 ，其中 x=2． ? )? 2 2 x ?1 x ?1 x ? 2x ?118．解：原式= (1 x ( x ? 1) 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ? )? ? = =x-1， x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1当 x=2 时，运算=2-1=1．3 x2 ? 4 x ? 4 ? x ? 1) ? 19．（2013?乌鲁木齐）先化简： ( ，然后从-1≤x≤2 中选一个合适 x ?1 x ?1的整数作为 x 的值代入求值．38 19．解：原式= (x ?1 3 x 2 ? 1 ( x ? 2) 2 3 ? x 2 ? 1 x?2 = = ， ? ? )? 2 x ?1 ( x ? 2) 2 ? x x ?1 x ?1 x ?1当 x=1 时，原式=1? 2 =3． 2 ?120．（2013?遵义）已知实数 a 满足 a2+2a-15=0，求1 a ? 2 (a ? 1)(a ? 2) 的值． ? 2 ? a ? 1 a ? 1 a 2 ? 2a ? 11 a?2 (a ? 1) 2 1 a ?1 2 20．解：原式= = = ， ? ? ? 2 a ? 1 (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 2) a ? 1 (a ? 1) ( a ? 1) 2∵a2+2a-15=0，∴（a+1）2=16， ∴原式=2 1 ? ． 16 8a 2 ? 6ab ? 9b 2 5b 2 1 ?( ? a ? 2b) ? ，其中 a，b 2 a ? 2ab a ? 2b a21．（2013?重庆）先化简，再求值：满足 ??a ? b ? 4 ． ?a ? b ? 221．解：原式=a ? 2b 1 (a ? 3b) 2 9b 2 ? a 2 1 (a ? 3b) 2 ? ? ? ? = 2 a ? 2ab a ? 2b a a(a ? 2b) (3b ? a)(3b ? a) a=3b ? a 1 2 ， ? =? a(3b ? a) a 3b ? a?a ? b ? 4 ?a ? 3 ， ∴? ， ?a ? b ? 2 ?b ? 1∵?∴原式=- ?2 1 ?? ． 3 ?1 ? 3 31 1 1 ? ( ? ) ，其中 x= 3 ? 2 ，y= x? y y x3? 2 ．22．（2013?孝感）先化简，再求值：22．解：原式=1 x? y 1 xy xy = = ， ? ? x? y xy x ? y x ? y ( x ? y)23 ? 2 时，当 x= 3 ? 2 ，y= 原式=( 3 ? 2)( 3 ? 2) 1 ? ． ( 3 ? 2 ? 3 ? 2) 2 839 23． （2013?达州） 已知 f(x)=1 1 1 1 1 ， f(1)= 则 ， f(2)= …， ? ? x ( x ? 1) 1? (1 ? 1) 1? 2 2 ? (2 ? 1) 2 ? 3已知 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=14 ，求 n 的值． 1523．解：∵f（x）=1 1 1 = ? ， x ( x ? 1) x x ? 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1， ? ? ? ? ? ? +…+ ? 2 2 3 3 4 4 5 n n ?1 n ?1 14 ∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）= ， 15 1 14 ∴1= ，解得 n=14． n ? 1 15∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1-40 第六讲【基础知识回顾】 一、 二次根式 式子 a （ ）叫做二次根式二次根式【名师提醒： ①二次}
方程、方程组
第四讲方程、方程组一、课标下复习指南 (一)方程、方程组 1．等式及其性质 (1)用等号“＝”表示相等关系的式子，叫做等式． (2)等式的性质 ①等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． ②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等． 2．方程的有关概念及分类 (1)方程：含有未知数的等式叫做方程． (2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．只含有一个未 知数的方程的解也叫做方程的根． (3)解方程：求方程的解或确定方程无解的过程，叫做解方程． (4)方程分类 ①整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．3．一元一次方程 (1)一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的整式方程，叫做一元一次方程．它的一 般形式是 ax＋b＝0(a≠0)． (2)一元一次方程的解法 解 一元一次方程的基本思路是：把方程变形为 ax＝b(a≠0)形式，再求解． 4．二元一次方程组 (1)二元一次方程 含有两个未知数， 并且含有未知数的项的次数为一次的整式方程， 叫做二元一次方程． 它 的一般形式是：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)． (2)二元一次方程的解及解集 能使二元一次方程两边的值相等的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解，用?x ? a ? ?y ? b形式表示．任何一个二元一次方程都有无数个解． 由这些解组成的集合， 叫做这个二元一次方程的 解集． (3)二元一次方程组及其解 由几个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．一般地，能 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程组 的解． 当二元一次方程组的解唯一时， 这个解就是在直角坐标系下， 两个二元一次方程所对应 的两条直线的交点坐标． (4)二元一次方程组的基本解法 解二元一次方程组的基本思想就是：消元，即将“二元”转化为“一元”来达到求解目 的，消元是“化未知为已知”的重要的数学思想方法． 解二元一次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法． 5．一元二次方程 (1)一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程，它 的一般形式为 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)． (2)一元二次方程的解法 解二元一次方程组的基本思想就是：降次，即将“二次”转化为“一次”来达到求解目 的． 解一元二次方程的基本解法有四种：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． (3)一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式：?＝b2－4ac． 当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根． 上述结论，反过来也成立． 6．分式方程 (1)分式方程的概念 分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． (2)分式方程的解法 解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程，一般采用去分母的方法． (3)解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验． 分式方程的增根能使分式方程的各分母的最简公分母为 0，增根是去分母后所得的整式 方程的根． (二)方程、方程组的应用 1．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审题：透彻理解题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系． (2)设未知数：根据题意，可采用直接设未知数，也可间接设未知数，语言叙述要完整， 必须写明单位． (3)列代数式和方程(组)： 根据题中所给的条件， 用含有未知数的代数式表示其他未知量， 选择合适的等量关系列出方程(组)，一般地，列方程的个数与所设未知数的个数相同． (4)解方程(组)：选择适当的方法，准确求出所列方程(组)的解． (5)检验：检验所得到的方程(组)的解是否符合题意，如果是分式方程，既要检验有无增 根，又要检验是否符合题意，必须将检验这一步写出来． (6)写出答语(包括单位名称)． 2．列方程应注意的几点 (1)方程两边表示同类量； (2)方程两边单位一定要统一； (3)方程两边的数值相等． 3．列方程(组)解应用题的常见问题 (1)和差倍分问题(2)行程问题(3)工程问题(4)增长率问题(5)分配问题(6)销售问题(7)数字 问题(8)方案设计决策问题(9)与几何有关的问题(10)其他问题 无论是哪一类问题，都要明确其基本关系式． 二、例题分析 － 例 1 已知(m－2)x|m| 1＋3＝7 是关于 x 的一元一次方程． (1)求 m 的值； (2)写出关于 x 的一元一次方程． 解 (1)根据一元一次方程的定义，可知|m|－1＝1，且 m－2≠0． ∴m＝－2． (2)把 m＝－2 代入原方程，得－4x＋3＝7． 说明 在运用一元一次方程的定义解题时，要注意未知数的系数不为 0． 例 2 解下列方程：(1) (2)2x ? 1 3 3 4 1 1 3 [ ( x ? ) ? 8] ? x. 4 3 2 4 2 ? 5x ? 1 6 ? 1;解 (1)去分母，得 2(2x＋1)－(5x－1)＝6． 去括号，得 4x＋2－5x＋1＝6． 移项，得 4x－5x＝6－1－2． 合并同类项，得－x＝3． 系数化 1，得 x＝－3． (2)去括号，得1 2 x? 1 4 ?6 ? 3 2 x.移项、合并同类项，得 ? x ? 6 系数化 1，得 x? ?6 1 4 ?1 4,说明 (1)解一元一次方程的五个基本步骤是解方程的基本功，是解各类方程的基础； 解方程的各个步骤中都有一些常见的错误， 应特别注意； 解方程的五个步骤要根据方程的特 点灵活选用．(2)要认真观察题目的结构特征，灵活选择解法． 例 3 解下列方程组： (1) ??2 x ? y ? 7, ? x ? 2 y ? 8;(2) ?? x ? 2 y ? 7, ? y ?1 ; ?1 ? 3 x ? 2 ?x? y ?x? y ? ? 6, ? (3) ? 2 3 ?4( x ? y ) ? 5( x ? y ) ? 2. ?解(1)方法一：将方程①变形，得 y＝7－2x③．? x ? 2, ? y ? 3.把③代入②得，x＋2(7－2x)＝8．解得 x＝2．代入③，得 y＝3．? ? 方法二：(①＋②)÷3，得 x＋y＝5． ①－②，得 x－y＝－1，再联立，得 ?? x ? 2, ? y ? 3.(2)方法一：用代入法解得 ?? x ? 1, ? y ? ?3. 方法二：将方程组变形得m 24 ? m?1 2再选择代入法或加减法解方程组．(3)方法一：设? x ? y ? 8, ? x ? y ? 6.n ?m ? ? 6, ? m ? 8, ? x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组变形为 ? 2 3 解得 ? ?n ? 6. ?4m ? 5n ? 2. ?即?解得 ?? x ? 7, ? y ? 1.方法二：将原方程组变形为 ?? 5 x ? y ? 36 , ?? x ? 9 y ? 2.解得 ?? x ? 7, ? y ? 1.说明 (1)当方程组中有一个方程的一个未知数的系数比较简单(为 1 或－1)或某一方程 的常数项为 0 时， 一般采用代入消元法解比较简单； 当两个方程的同一个未知数的系数的绝 对值相等或成整数倍时，一般采用加减消元法解比较简单；(2)当方程组中的方程的结构比 较复杂，应先化成一般形式再看如何消元；(3)整体思想，往往能使解题过程化难为易． 例 4 选择适当的方法解下列方程： (1)x2－4x＋1＝0；(2)2x2－5x＋2＝0； (3)7x(3－x)＝4(x－3)； (4)x2－6x＋9＝(5－2x)2； (5)(x＋3)(x－6)＝－8． 解 (1)方法－：(配方法) 移项得，x2－4x＝－1． 配方得(x－2)2＝3．? x1 ? 2 ? 3 , x2 ? 2 ? 3.方法二：(公式法)略． (2)方法一(公式法)：b2－4ac＝52－4×2×2＝9＞0，?x? 5? 4 9 ?1 25?3 4??? x1 ? 2 , x 2 ?方法二：(因式分解法)(x－2)(2x－1)＝0， ∴x－2＝0 或 2x－1＝0．? x1 ? 2 , x 2 ? 1 2 ?方法三：(配方法)略． (3)(因式分解法)(7x＋4)(3－x)＝0． ∴7x＋4＝0 或 3＝x＝0．? x1 ? ? 4 7 , x2 ? 3.(4)(配方法)(x－3)2－(5－2x)2＝0． ∴(x－3＋5－2x)(x－3－5＋2x)＝0． ∴(2－x)(3x－8)＝0． ∴2－x＝0 或 3x－8＝0．∴x1＝2， x 2?8 3?(5)(因式分解法)原方程变形为 x2－3x－10＝0．∴(x－5)(x＋2)＝0． ∴x－5＝0 或 x＋2＝0．∴x1＝5，x2＝－2． 说明 一元二次方程的常用解法有四种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解 法．其中公式法、配方法是通法．在解一元二次方程时，方法的选择是关键，要善于根据方 程的特点，灵活选用恰当的方法，一般来说，方法的选择顺序是先特殊解法再通法． 具体思维策略为： (1)解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的方程或易变形成(x＋a)2＝b(b≥0)的方程， 用直接开平方法；(2)解形如(x－a)(x－b)＝0 的方程或易变形成(x－a)(x－b)＝0 的方程，用 因式分解法； 在用因式分解法对方程变形时， 不要轻易在方程的两边同时除以含有未知数的 代数式，否则可能导致失根；(3)化成一般形式后，易因式分解的，用因式分解法；不易因 式分解的，如果一次项系数是二次项系数的偶数倍时，可用配方法，否则用公式法． 要明确每种解法的关键： (1)因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为 0； (2)公式法 解方程的关键是先把方程化成一般形式，正确写出 a，b，c 的值；(3)直接开平方法解方程 的关键是先把方程化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式；(4)配方法解方程的关键是先把二次项系数 化成 1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方． 例 5 解下列分式方程：x ?1 x?5 1 2 (3) 2 ? ? ? x x?2 x ? 2x (1) 3 x ?1 4 ? 5 ? 0; ( 2 ) x ?1 ? 1 5? x ? 4;解 (1)去分母，得 3(x＋1)－5(x－1)＝0． 解 得 x＝4． 检验：当 x＝4 时，(x＋1)(x－1)≠0． ∴x＝4 是原方程的解． ∴原方程的解为 x＝4． (2)原方程变形为 检验：当 x ? ∴x? 22 3 x ?1 x?5 ? 1 x?5 ? 4 . 去分母得x＋1＋1＝4(x－5)．解得 x?22 3．22 3时，x－5≠0．是原方程的解．? 22 3∴原方程的解为 x．(3)去分母，得 4＋(x－2)＝2x，解得 x＝2． 检验：当 x＝2 时，x(x－2)＝0．x＝2 是增根．∴原方程无解． 说明 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程，常用方法是“去分母 法” ．解分式方程时，可能会产生增根，无论采取什么解法，解分式方程验根都是必不可少 的重要步骤． 例 6 若 0 是关于 x 的方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0 的解， 求实数 m 的值， 并讨论 此方程解的情况． 解 由题意得 m2＋2m－8＝0． 得 m1＝2，m2＝－4． 当 m＝2 时，原方程为 3x＝0．此时，方程只有一个实数根 x＝0． 当 m＝－4 时，原方程为 2x2－x＝0． 解 得 x1＝0， x 2? 1 2 ?说明 这是一道解关于待定系数 m 的方程的问题，又要根据所得的 m 的值讨论方程解 的情况，需要分类讨论． 例 7 m 为何值时，方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3＝0． (1)有实根?(2)只有一个实根?(3)有两个实根? 解 (1)①当 m＝1 时，方程为 2x＋4＝0，方程有一个实数根； ②当 m≠1 时，由题意，要使方程有实根， 只需 b2－4ac＝(2m)2－4(m－1)(m＋3)＝－8m＋12≥0．解得 m ∴当 m? 3 2 ? 3 2．且 m ? 1 时，方程有两个实数根．? 3 2综上所述， m时，方程有实根．(2)由题意，方程为一元一次方程．此时 m－1＝0．解得 m＝1． ∴当 m＝1 时，方程为 2x＋4＝0，方程只有一个实数根． (3)由题意得 m≠1 且 b2－4ac≥0． 解 得m? ? 3 2 3 2且 m≠1．∴当 m且 m≠1 时，方程有两个实数根．说明 (1)如果方程只有一个实数根，那么方程是一元一次方程；如果方程有两个实数 根，那么方程为一元二次方程，二次项系数不为 0，并且判别式的值 b2－4ac≥0；如果方程 有实根则需要讨论方程是一元一次还是一元二次方程．(2)讨论一元二次方程的根的情况， 前提是二次项系数不为 0，要分清楚：b2－4ac＞0；b2－4ac＝0；b2－4ac＜0；b2－4ac≥0 所对应的方程根的情况． 例 8 北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008 年 10 月 11 日至 2009 年 2 月 28 日期间， 地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次．在此期间， 地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次? 解法一 设轨道交通日均客运量为 x 万人次， 则地面公交日均客运量为(4x－69)万人次． 依题意，得 x＋(4x－69)＝1696． 解得 x＝353． 4x－69＝4×353－69＝1343． 答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次． 解法二 设轨道交通日均客运量为 x 万人次，则地面公交日均客运量为 y 万人次． 依题意，得 ?? x ? y ? 1696 , ? y ? 4 x ? 69 .解得 ?? x ? 353 , ? y ? 1343 .答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次． 例 9 某城市在道路改造过程中，需要铺设一条长为 1500 米的管道，为了尽量减少施 工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了 20％，结果提前 2 天完成了 任务．求实际每天铺设了多少米管道? 解 设原计划每天铺设 x 米管道． 则实际每天铺设了(1＋20％)x 米管道． 由题意得 整理，得1500 x1500 x?1500 (1 ? 20 %) x5 6x? 2.? 1500 ?? 2.解得 x＝125． 经检验，x＝125 是原方程的解． 所以 (1 ?20 %) x ? 6 5 ? 125 ? 150(米)．答：实际每天铺设了 150 米管道． 例 10 (2009 江苏)一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速3 1公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h， 汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h． 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间” ，提出一个用二元一次方程组 解决的问题，并写出解答过程． 问题一：普通公路和高速公路各为多少千米? 解 设普通公路长为 x 千米，高速公路长为?2 x ? y, ? y 千米，由题意得 ? x y ? ? 2 .2 . ? ? 60 100解得 ?? x ? 60 , ? y ? 120 .答：普通公路长为 60 千米，高速公路长为 120 千米． 问题二：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时? 解 设汽车在普通公路上行驶了 x 小时，在高速公路上行驶了 y 小时，由题意得，? x ? y ? 2 .2 , ? ? 60 x ? 2 ? 100 y ?解得 ?? x ? 1, ? y ? 1 .2 .答：汽车在普通公路上行驶了 1 小时，在高速公路上行驶了 1.2 小时． 说明 和差倍分问题、行程问题、工程问题等几类传统应用问题，在问题设置上可以多 一些变式，掌握好这些问题对进一步分析、解决其他类型应用题，有很大的益处． 例 11 芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为 8：00～22：00， 14 小时；谷段为 22：00～次日 8：00，10 小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦 时上浮 0.03 元， 谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下调 0.25 元， 小明家 5 月份实用平 段电量 40 千瓦时，谷段电量 60 千瓦时，按分时电价付费 42.73 元． (1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元? (2)如不使用分时电价结算，5 月份小明家将多支付电费多少元? 解 (1)设原销售电价为每千瓦时 x 元，根据题意得 40(x＋0.03)＋60(x－0.25)＝42.73． 去括号，得 40x＋1.2＋60x－15＝42.73． 合并，得 100x＝56.53． 系数化 1，得 x＝0.5653． ∴当 x＝0.5653 时，x＋0.03＝0.5953； x－0.25＝0.3153． 答：小明家该月支付平段电价为每千瓦时 0.5953 元、谷段电价每千瓦时 0.3153 元． (2)100×0.＝13.8(元)． 答：如不使用分时电价结算，小明家 5 月份将多支付 13.8 元． 说明 分段计算问题是日常生活中常见的一类问题．常见的类型有：出租车计费问题、 水电费收取问题、赋税问题、支付邮费问题、优惠购买问题等． 三、课标下新题展示 例 12 某项工程，由甲、乙两个施工队合作完成，先由甲施工队单独施工 3 天，剩下 的工作由甲、乙两个施工队合作完成．工程进度满足如图 4－1 所示的函数关系，该项工程 共支付工资 8000 元．图 4－1 (1)完成此项工程共需多少天? (2)若按完成工作量的多少支付工资，甲施工队应得多少元? (1)解法一 解 设一次函数的解析式(合作部分)是 y＝kx＋b(k≠0，k，b 是常数)． 由待定系数法解得 k? 1 8 ,b ? ? ? 1 8 1 8 x? 1 8 ? ?∴一次函数的表达式为 y 当 y＝1 时，1 8 x? 1 8? 1 ．解得x＝9．∴完成此项工程共需 9 天． 解法二 解 由正比例函数图象可知：甲的工作效率是1 2 ? 1 4 )? 1 12 ? 2] ? 2 ? 1 24 ? 1 12 ?乙工作的效率是 [(甲、乙合作的天数为3 4?(1 12?1 24) ? 6 (天)．∵甲先工作了 3 天， ∴完成此项工程共需 9 天． (2)由正比例函数图象可知：甲的工作效率是 甲 9 天完成的工作量是 9 ?1 12 ? 3 4 ? 1 12 ? ∴甲得到的工资是3 4? 8000 ? 6000(元)．例 13 星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发 2 小时后到达目的地， 游玩 3 小时后按原路以原速返回，小强离家 4 小时 40 分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小 强，如图 4－2 是他们离家的路程 y(千米)与时间 x(时)的函数图象．已知小强骑车的速度为 15 千米/时，妈妈驾车的速度为 60 千米/时．图 4－2 (1)小强家与游玩地的距离是多少? (2)妈妈出发多长时间与小强相遇? 解 (1)由题意，得 2×15＝30(千米)． 答：小强家与游玩地的距离是 30 千米． (2)方法一： 设妈妈出发 x 小时与小强相遇． 由题意 60 x 解 得x? ? 15 ( x ? 7 15 ?7 1520 60) ? 30 .答：妈妈出发 方法二：小时与小强相遇．设小强从游玩地返回 y 小时与妈妈相遇．由题意，得 60 ( y 解得 y2 15 ? ? 2 15 20 60 ? 7 157 15?20 60) ? 15 y ? 30 .? ?答：妈妈出发小时与小强相遇．四、课标考试达标题 (一)选择题 1．已知 ?? x ? 1, ? y ? ?1是方程 x－ay＝2 的一个解，那么 a 的值为()． D．－3 )．A．1 B．3 C．－1 2 2．关于 x 的一元二次方程 x －mx＋(m－2)＝0 的根的情况是( A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．已知∠A、∠B 互余，∠A 比∠B 大 30°．设∠A、∠B 的度数分别为 x°、y°，则下列 方程组中符合题意的是( )． A． ?? x ? y ? 180 , ? x ? y ? 30B． ?? x ? y ? 180 , ? x ? y ? 30 ? x ? y ? 90 , ? x ? y ? 30C． ?? x ? y ? 90 , ? x ? y ? 30D． ?4．某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元．设平均降价的百分率为 x，则下 面所列方程正确的是( )． 2 A．289(1－x) ＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289 5．若三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2－6x＋8＝0 的一个根，则这个三 角形的周长是( )． A．9 B．11 C．13 D．11 或 13 2 6．若关于 x 的一元二次方程 ax ＋2x－5＝0 有且仅有一根在 0 与 1 之间(不含 0 和 1)，则 a 的取值范围是( )． A．a＜3 B．a＞3 C．a＜－3 D．a＞－3 7．下列命题： ①若 a＋b＋c＝0，则 b2－4ac≥0； ②若 b＞a＋c，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根； ③若 b＝2a＋3c，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根； ④若 b2－4ac＞0，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3． 其中正确的命题是( ) A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④ (二)填空题 8．方程 x(x－1)＝x 的解是______． 9．当 m＝______时，关于 x 的分式方程2x ? m x?3 ?－1 无解．10．如图 4－3 中，标有相同字母的物体的质量相同，若 A 的质量为 20 克，当天平处于平 衡状态时，B 的质量为______克．图 4－3 11．如图 4－4，已知函数 y＝ax＋b 和 y＝kx 的图象交于点 P，则根据图象可得二元一次方 程组 ?? y ? ax ? b , ? y ? kx的解是______． 图 4－4 12． 如图 4－5， 3×3 的方阵图中， 在 填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)， (1)表格中每行的 3 个数、每列的 3 个数、斜对角的 3 个数之和均相等，则 x＝______， y＝______； 3 －2 2y－x (2)在备用图中完成此方阵图． 3 －2 (备用图) (三)解答题 13．某中学组织爱心捐款支援灾区活动，九年级一班 55 名同学共捐款 1180 元，捐款情 况见下表．表中捐款 10 元和 20 元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，请你帮助 确定表中的数据． 4 4 y c x a b图 4－514．先从括号内①～④备选项中，选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整，然后再 解答． (1)如果 a 是关于 x 的方程 x2＋bx＋a＝0 的根，并且 a≠0，求______的值； (①ab；②b a；③a＋b；④a－b)(2)已知 7a2＋5b2＝12ab，并且 ab≠0，求______的值； (①ab；②b a；③a＋b；④a－b)15．已知关于 x 的方程 x2－2ax－a＋2b＝0，其中 a，b 为实数． (1)若此方程有一个根为 2a(a＜0)，判断 a 与 b 的大小关系并说明理由； (2)若对于任何实数 a，此方程都有实数根，求 b 的取值范围． 参考答案第四讲 方程、方程组1．A． 2．A． 3．C． 4．A． 5．C． 6．B． 7．B． 提示：①当 a＋b＋c＝0 时，b2－4ac＝(－a－c)2－4ac＝(a－c)2≥0； ②当 b 为负数时，?＜0； ③当 b＝2a＋3c 时， b2－4ac＝(2a＋3c)2－4ac＝4a2＋8ac＋9c2 ＝4(a2＋2ac＋c2－c2)＋9c2 ＝4(a＋c)2＋5c2＞0． ④当二次函数的图象过原点时，与坐标轴有两个公共点，否则有三个． 8．x1＝0，x2＝2． 9．－6． 10．10． 11． ? 12．(1)－1，2． (2) 3 5 13．捐 10 元的有 4 人，捐 20 元的有 38 人． 14．(1)问题③a＋b；a＋b＝－1．(2)问题②b a a 2? x ? ?4, ? y ? ?2.4 0-1 6 1b a 7 5－2 2；?或 1．15．解：(1)∵方程 x2－2ax－a＋2b＝0 有一个根为 2a，∴4a2－4a2－a＋2b＝0． 整理，得 b ? ．a 2∵ a ? 0 ，∴ a ?，即 a ? b(2)?＝4a2－4(－a＋2b)＝4a2＋4a－8b． ∵对于任何实数 a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数 a，都有 4a2＋4a－8b≥0，即 a2＋a－2b≥0． ∴对于任何实数 a，都有 b ?a2?a 2?∵a ?a2?1 2(a ?1 2) ?21 8,21 2当a ? ?时，a ? a2有最小值 ?1 81 8．2∴b 的取值范围是 b ? ?中考数学专题复习_伤城文章网
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第一章 第一讲【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数数与式 实数? ? ?正整数 ? ? ? ? ?整数? 零 ? ?有理数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 ? ? ? ?正无理数 ? 无理数? ? ?? 正数 ? ?正无理数 零 ?负有理数 负数 ? ?有限小数或无限循环数 无限不循环小数2、按实数的正负分类： 实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：? 是 2数，不是数，22 是 7数，不是数。2、0 既不是数，也不是数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的， 数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0 的相反数 是 ，a、b 互为相反数 ? 3、倒数：实数 a 的倒数是 ， 没有倒数，a、b 互为倒数 ? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 （a＞0） （a=0） （a＜0） 数，我们学过的非负数有三 ,0 是唯一一个没有倒数的数， ，绝对值等于本身的数a=0因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 个： 、 、 。 【名师提醒： a+b 的相反数是 ， 的相反数是 a-b 相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字：的形式叫做科学记数法。其中1 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似 数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中 a 的取值 范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时， n 是负整数， 它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数 （含整数数位上的零） 。 2、近似数 3.05 万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若 x2=a(a 0),则 x 叫做 a 的 ，正数有 ，记做± a ，其中正数 a 的 个平方根，它们互为 平方根叫做 a 的 ，算术平方根，记做 负数 平方根。 2、 x3=a,则 x 叫做 a 的 若，0 的平方根是， 记做 3 a ， 正数有一个的立方根， 的立方根是 0，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 立方根等于本身的数有 。 】 【重点考点例析】 考点一：无理数的识别。 例 1 （2013?湖州）实数 π， A．π B．个，算术平方根等于本身的数有，1 ，0，-1 中，无理数是（ 5C．0） D．-11 5思路分析： 无理数就是无限不循环小数． 理解无理数的概念， 一定要同时理解有理数的概念， 有理数是整数与分数的统称． 即有限小数和无限循环小数是有理数， 而无限不循环小数是无 理数．由此即可判定选择项． 解：A、是无理数； B、是分数，是有理数，故选项错误； C、是整数，是有理数，选项错误； D、是整数，是有理数，选项错误． 故选 A． 点评：此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽 的数；以及像 0.…等有这样规律的数． 对应训练 1．（2013?安顺）下列各数中，3.14159， ? 3 8 ，0.…，-π， 25 ， ?1 ，无理数 7的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 1．B 考点二、实数的有关概念。 例 2 （2013?遵义）如果+30m 表示向东走 30m，那么向西走 40m 表示为（ ） A．+40m B．-40m C．+30m D．-30m 思路分析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记 为负，直接得出结论即可．2 解：如果+30 米表示向东走 30 米，那么向西走 40m 表示-40m． 故选 B． 点评：此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为 正，则和它意义相反的就为负． 例 3 （2013?资阳）16 的平方根是（ ） A．4 B．± 4 C．8 D．± 8 思路分析：根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题． 解：解：∵（± 2=16，∴16 的平方根是± 4） 4．故选 B． 点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方 根是 0；负数没有平方根． 例 4 （2013?铁岭）- 2 的绝对值是（ ）A． 2B．- 2C．2 2D．-2 2思路分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 解：|- 2 |= 2 ． 故选 A． 点评：本题考查了实数的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数． 对应训练 2．（2013?盐城）如果收入 50 元，记作+50 元，那么支出 30 元记作（ ） A．+30 B．-30 C．+80 D．-80 2．B 3．（2013?珠海）实数 4 的算术平方根是（ ） A．-2 B．2 C．± 2 D．± 4 3．B 4．（2013?绵阳） 2 的相反数是（ ）A． 2B．2 2C．- 2D．-2 24．C 5．（2013?南京）-3 的相反数是 5．3， ?；-3 的倒数是。1 36．（2013?湘西州）-2013 的绝对值是 ． 6．2013 7．（2013?宁波）实数-8 的立方根是 ． 7．-2 考点三：实数与数轴。 例 5 （2013?广州）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a-2.5|=（）3 A．a-2.5B．2.5-aC．a+2.5D．-a-2.5思路分析：首先观察数轴，可得 a＜2.5，然后由绝对值的性质，可得|a-2.5|=-（a-2.5） ，则可 求得答案． 解：如图可得：a＜2.5， 即 a-2.5＜0， 则|a-2.5|=-（a-2.5）=2.5-a． 故选 B． 点评：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数 轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 对应训练 8． （2013?连云港）如图， 数轴上的点 A、 分别对应实数 a、b， B 下列结论中正确的是 （ ） A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜b D．a+b＜0 8．C 考点四：科学记数法。 例 6 （2013?威海）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，已知 1 克=1000 毫克，那么 0.000037 毫克可用科学记数法表示为（ ） -5 -6 -7 A．3.7× 10 克 B．3.7× 克 10 C．37× 克 10 D．3.7× -8 克 10 思路分析：绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a× -n，与较大数 10 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定． 解：1 克=1000 毫克， 将 0.000037 毫克用科学记数法表示为：3.7× -8 克． 10 故选 D． 点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a× -n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原 10 数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 对应训练 9． （2013?潍坊）2012 年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达 4%的目 标， 其中在促进义务教育均衡方面， 安排农村义务教育经费保障机制改革资金达 865.4 亿元， 数据“865.4 亿元”用科学记数法可表示为（ ）元． 8 9 A．865× 10 B．8.65× 10 C．8.65× 10 10 D．0.865× 11 10 9．C 10． （2013?绵阳）2013 年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9 是一种新型禽 流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为 0. 米，这一直径用科学 记数法表示为（ ） -9 A．1.2× 10 米 B．1.2× -8 米 10 C．12× -8 米 10 D．1.2× -7 米 10 10．D 考点五：非负数的性质 例 7 （2013?新疆）若 a，b 为实数，且|a+1|+ b ? 1 =0，则（ab）2013 的值是（ ）A．0 B．1 C．-1 D．± 1 思路分析：根据非负数的性质列式求出 a、b，然后代入代数式进行计算即可得解． 解：根据题意得，a+1=0，b-1=0，解得 a=-1，b=1，所以，（ab）2013=（-1× 2013=-1． 1）4 故选 C． 点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0． 对应训练 11．（2013?攀枝花）已知实数 x，y，m 满足 x ? 2 +|3x+y+m|=0，且 y 为负数，则 m 的取 值范围是（ A．m＞6 11．A ） B．m＜6 C．m＞-6 D．m＜-6【聚焦山东中考】 1．（2013?济宁）一运动员某次跳水的最高点离跳台 2m，记作+2m，则水面离跳台 10m 可 以记作（ ） A．-10m B．-12m C．+10m D．+12m 1．A 2．（2013?临沂）-2 的绝对值是（ ） A．2 B．-2 C．1 2D．-1 22．A 3．（2013?烟台）-6 的倒数是（ A．） C．6 D．-61 6B．-1 63．B 4． （2013?潍坊）实数 0.5 的算术平方根等于（ A．2 B． 2 C．）2 2）D．1 24．C 5． （2013?威海）下列各式化简结果为无理数的是（ A． 3 ?27 B．( 2 ? 1 )0 C． 82 D． ( ?2)5．C 6． （2013?烟台）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年 浪费食物总量折合粮食大约是
人一年的口粮．
用科学记数法表示为 将 （ ） A．2.1× 9 10 B．0.21× 9 10 C．2.1× 8 10 D．21× 7 10 6．C 7． （2013?泰安）2012 年我国国民生产总值约 52 万亿元人民币，用科学记数法表示 2012 年 我国国民生产总值为（ ） 12 A．5.2× 10 元 B．52× 12 元 10 14 C．0.52× 10 元 D．5.2× 13 元 10 7．D 8． （2013?临沂） 拒绝“餐桌浪费”， 刻不容缓． 据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000 千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） 11 A．0.5× 10 千克 B．50× 9 千克 105 C．5× 9 千克 10 D．5× 10 千克 10 8．D 9． （2013?德州）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约 28.3 亿吨的有机物．28.3 亿吨用 科学记数法表示为（ ） 7 A．28.3× 10 B．2.83× 8 10 C．0.283× 10 10 D．2.83× 9 10 9．D 10． （2013?菏泽）明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的 结果个数约为 4680000，这个数用科学记数法表示为 ． 6 10．4.68× 10 11． （2013?菏泽）如图，数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别是 a、b、c，其中 AB=BC， 如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ） A．点 A 的左边 B．点 A 与点 B 之间 C．点 B 与点 C 之间 D．点 B 与点 C 之间或点 C 的右边11．D 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?咸宁）如果温泉河的水位升高 0.8m 时水位变化记作+0.8m，那么水位下降 0.5m 时水位变化记作（ ） A．0m B．0.5m C．-0.8m D．-0.5m 1．D 2．（2013?丽水）在数 0，2，-3，-1.2 中，属于负整数的是（ ） A．0 B．2 C．-3 D．-1.2 2．C 3． （2013?连云港）下列各数中是正数的为（ ） A．3 B．-1 2）C．- 2D．03．A 4．（2013?玉林）2 的相反数是（ A．2 B．-2C．1 2D．-1 24．B 5．（2013?张家界）-2013 的绝对值是（ A．-2013 B．2013） C．1 2013D．-1 20135．B 6．（2013?乌鲁木齐）|-2|的相反数是（ A．-2 B．-） C．1 21 2D．26．A 7．（2013?随州）与-3 互为倒数的是（ A．-） C．1 3B．-31 3D．36 7．A 8．（2013?钦州）在下列实数中，无理数是（ A．0 B．） C． 5 D．61 48．C 9． （2013?宜宾）据宜宾市旅游局公布的数据，今年“五一”小长假期间，全市实现旅游总收 入
用科学记数法表示为（ ） 8 9 7 A．3.3× 10 B．3.3× 10 C．3.3× 10 D．0.33× 10 10 9．A 10．（2013?包头）若|a|=-a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（ ） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 10．B 11．（2013?遵义）如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别是 a、b，则下列式子中成立的 是（ ） A．a+b＜0 B．-a＜-b C．1-2a＞1-2b D．|a|-|b|＞011．C 二．填空题 12．（2013?乐山）如果规定向东为正，那么向西即为负．汽车向东行驶 3 千米记作 3 千米， 向西行驶 2 千米应记作 千米． 12．-2 13．（2013?重庆）实数 6 的相反数是 ． 13．-6 14．（2013?上海模拟）求值： 3 ?8 = 14．-2 15．（2013?黔西南州） 81 的平方根是 15．± 3 16．（2013?黔西南州）已知 a ? 1 +|a+b+1|=0，则 ab= 16．1 ． ． ．7 第二讲【重点考点例析】 考点一：实数的大小比较。实数的运算例 1 （2013?淮安）如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为 2 和 5.1，则 A、B 两点之 间表示整数的点共有（ ） A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个思路分析：根据 2 比 1 大比 2 小，5.1 比 5 大比 6 小，即可得出 A、B 两点之间表示整数 的点的个数． 解：∵1＜ 2 ＜2，5＜5.1＜6， ∴A、B 两点之间表示整数的点有 2，3，4，5，共有 4 个； 故选 C． 点评：本题主要考查了无理数的估算和数轴，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也 就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问 题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 对应训练 1．（2013?内江）下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A．-5 B．- 2 C．1 D．41．C 考点二：估算无理数的大小 例 2 （2013?毕节地区）估计 11 的值在（ A．1 与 2 之间 B．2 与 3 之间 ）之间． C．3 与 4 之间 D．4 与 5 之间思路分析：11 介于 9 与 16 之间，即 9＜11＜16，则利用不等式的性质可以求得 11 介于 3 与 4 之间． 解：∵9＜11＜16， ∴3＜ 11 ＜4，即 11 的值在 3 与 4 之间． 故选 C． 点评： 此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小， 解题需掌握二次根式的基本运算技 能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 对应训练 2． （2013?吴江市模拟）3+ 3 的整数部分是 a，32． 6 ? 383 的小数部分是 b，则 a+b 等于． 考点三：有关绝对值的运算 例 3 （2013?咸宁）在数轴上，点 A（表示整数 a）在原点的左侧，点 B（表示整数 b）在原 点的右侧．若|a-b|=2013，且 AO=2BO，则 a+b 的值为 ． 思路分析：根据已知条件可以得到 a＜0＜b．然后通过取绝对值，根据两点间的距离定义知 b-a=2013，a=-2b，则易求 b=671．所以 a+b=-2b+b=-b=-671． 解：如图，a＜0＜b．∵|a-b|=2013，且 AO=2BO， ∴b-a=2013，① a=-2b，② 由①②，解得 b=671， ∴a+b=-2b+b=-b=-671． 故答案是：-671． 点评：本题考查了数轴、绝对值以及两点间的距离．根据已知条件得到 a＜0＜b 是解题的关 键． 对应训练 3．（2013?永州）已知a b ab 的值为 ? ? 0 ，则 | ab | |a| |b|．3．-1 考点四：实数的混合运算。 例 4 （2013?自贡）计算：20130+(1 -1 ) -2sin60° 3 -2|= -| 2．思路分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等四个考点．针对 每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解：原式=1+3 1 -2× -（2- 3 ）=1+2- 3 -2+ 3 =1， 1 2 2故答案为 1． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关 键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝 对值等考点的运算． 对应训练 4．（2013?玉林）计算： 3 8 +2cos60° -（π-2-1）0． 4．解：原式=2+2× -1=2． 考点五：实数中的规律探索。 例 5 （2013?永州）我们知道，一元二次方程 x2=-1 没有实数根，即不存在一个实数的平方 等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足 i2=-1（即方程 x2=-1 有一个根为 i）．并且进一 步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于任意正整数 n，我们可以得1 29 到 i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得 i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么 i+i2+i3+i4+…+i 的 值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．i 1 2 3 2 4 2 2 2 5 4 思路分析：i =i，i =-1，i =i ?i=（-1）?i=-i，i =（i ） =（-1） =1，i =i ?i=i，i6=i5?i=-1，从 而可得 4 次一循环，一个循环内的和为 0，计算即可． 解：由题意得，i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=-1， 故可发现 4 次一循环，一个循环内的和为 0， ∵…1， 4∴i+i2+i3+i4+…+i=i． 故选 D． 点评：本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出 一个循环内的和再计算，有一定难度． 对应训练 5．（2013?台州）任何实数 a，可用[a]表示不超过 a 的最大整数，如[4]=4，[ 3 ]=1．现对 72 进行如下操作： 72第一次[72] ? 8第二次[8] ? 2第三次[2] ? 1，这样对 72 只需进行 3 ???????? ???????? ???????? 次操作后变为 1，类似的，①对 81 只需进行几次操作后变为 1：②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的是几？ 5．解：①[ 81 ]=9，[ 9 ]=3，[ 3 ]=1，故答案为：3； ②最大的是 255， 255 ]=15， 15 ]=3， 3 ]=1， 256 ]=16， 16 ]=4， 4 ]=2， 2 ]=1， [ [ [ 而[ [ [ [ 即只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的正整数是 255， 故答案为：255． 【聚焦山东中考】 1．（2013?莱芜）在A．1．B 2．（2013?滨州）计算 A． 2．D 3．（2013?日照）计算-22+3 的结果是（ A．7 B．5 3．C 4．（2013?聊城）（-2）3 的相反数是（ A．-6 4．B B．8 ） C．-1 ） C．D．-51 21 1 ，- ，-2，-1 这四个数中，最大的数是（ 2 3 1 B．C．-2 3 1 1 ，正确的结果为（ ） 3 2 1 1 B．C． 5 6） D．-11 5D．-1 61 6D．1 610 5．（2013?菏泽）如果 a 的倒数是-1，那么 a2013 等于（ A．1 B．-1 C．2013 5．B 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?广州）比 0 大的数是（ ） A．-1 1．D B．-） D．-20131 2C．0D．12．（2013?重庆）在-2，0，1，-4 这四个数中，最大的数是（ A．-4 B．-2 C．0 2．D 3．（2013?天津）计算（-3）+（-9）的结果等于（ ） A．12 B．-12 C．6 3．B 4．（2013?河北）气温由-1℃上升 2℃后是（ ） A．-1℃ B．1℃ C．2℃ 4．B 5．（2013?自贡）与-3 的差为 0 的数是（ ） A．3 B．-3 C．） D．1D．-6D．3℃1 3D．-1 35．B 6．（2013?温州）计算：（-2）× 的结果是（ 3 ） A．-6 B．-1 C．1 6．A 7．（2013?厦门）下列计算正确的是（ ） A．-1+2=1 B．-1-1=0 C．（-1）2=-1 7．A 8．（2013?南京）计算：12-7× （-4）+8÷ （-2）的结果是（ A．-24 B．-20 C．6 8．D 9．（2013?常德）计算 2 × 8 + 3 ?27 的结果为（ A．-1 B．1 C．4-3 3 ）D．6D．-12=1 ） D．36D．79．B 10．（2013?南京）设边长为 3 的正方形的对角线长为 a．下列关于 a 的四种说法：①a 是无 理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a 是 18 的算术平方根．其中，所 有正确说法的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．C 二、填空题 11．（2013?钦州）比较大小：-1 11．＜ 2（填“＞”或“＜”）11 12．（2013?曲靖）若 a=1.9× 5，b=9.1× 4，则 a 10 10 12．＞ 13．（2013?衡阳）计算(-4)× (13．2 14．（2013?河南）计算：|-3|14．1 15．（2013?呼和浩特）大于 2 且小于 15．2 16．（2013?湘潭）计算： 2 sin45° +(- ．2b（填“＜”或“＞”）．1 )= 24=．．5 的整数是．．17．（2013?牡丹江）定义一种新的运算 a}b=ab，如 2}3=23=8，那么请试求（3}2）} 2= ．17．81 18．（2013?红河州模拟）计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归 纳计算结果中的个位数字的规律，猜测 32009+1 的个位数字是 ． 18．4 19．（2013?黄石）在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”，而计数制 方法很多，如 60 进位制：60 秒化为 1 分，60 分化为 1 小时；24 进位制：24 小时化为一天； 7 进位制：7 天化为 1 周等…而二进位制是计算机处理数据的依据．已知二进位制与十进位 制比较如下表： 十进位制 二进位制 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 ． 5 101 6 110 … …请将二进位制数 （二）写成十进位制数为19．170 20．（2013?天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有 数码 0 和 1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2 换算成十进制数应 为： (101)2=1× 2+0× 1+1× 0=4+0+1=5；(× 3+0× 2+1× 1+1× 0=11 2 2 2 2 2 2 2 按此方式，将二进制（1101）2 换算成十进制数的结果是 20．13 三、解答题 21．（2013?株洲）计算： ．4 +|-3|-2sin30° ．21．解：原式=2+3-2× =5-1=4．1 212 1 -1 1 2 ) - 3 -1）0+| - |。 3 2 3 2 1 13 22．解：原式=3-1+ - = ． 3 2 622．（2013?珠海）计算：( 23．（2013?重庆）计算：(-1)2013-|-2|+( 23．解：原式=-1-2+1× 2+4=3． 24．（2013?张家界）计算：(2013-π)0-(1 3 -π)0× 3 8 +( )-1． 4 1 -2 ) -2sin60° 3 -1|． +| 224．解：原式=1-4-2×3 + 3 -1=-4． 227 +2cos60° +（-2）25．（2013?南宁）计算：20130-25．解：原式=1-3 3 +2× -2=-3 3 ． 26．（2013?遂宁）计算：|-3|+1 23 ?tan30°- 3 8 -(2013-π)0．26．解：原式=3+ 3 ×3 -2-1 =3+1-2-1 =1． 213 第三讲整式【基础知识回顾】 一、整式的有关概念： ：由数与字母的积组成的代数式 1、整式： 多项式： 。 单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ， 多项式的每一项都要带着前面的符号。 2、同类项： ①定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同 类项。 ②合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。 【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是 式。2、判断同类项要抓住两个相同： 一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。 】 二、整式的运算： 1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a. ②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( ) ③整式加减的步骤是先 ，再 。 【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去 括号时括号内每一项都要 。 】 2、整式的乘法： ①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的 作为积的一个因式。 ②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即 m(a+b+c)= 。 ③多项式乘以多项式： 先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项， 再把所得的 积 ，即（m+n）(a+b)= 。 ④乘法公式：Ⅰ、平方差公式： （a＋b） （a―b）＝ ， Ⅱ、完全平方公式： （a± 2 = b） 。 【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错 误，三是展开式中有同类项的一定要 。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛 的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。 】 3、整式的除法： ①单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的 商 。即（am+bm）÷ m= 。 三、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n 为整数） m n 2、幂的乘方： 不变 相乘，即：(a ) ＝ （a＞0，m、n 为整数） 3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。 n 即：(ab) ＝ （a＞0，b＞0，n 为整数） 。14 4、同底数幂的除法: 不变 相减，即：a m÷ n＝ a （a＞0，m、n 为整数） 【名师提醒： 运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误， n = (-a) （n 为奇数） ， n m n (-a) = （n 为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知 3 =4,2 =3,则 m n 9 8= 。】 【重点考点例析】 考点一：代数式的相关概念。 例 1 （2013?凉山州）如果单项式-xa+1y3 与1 b 2 y x 是同类项，那么 a、b 的值分别为（ 2）A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2 思路分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出 a， b 的值． 解：根据题意得： ??a ? 1 ? 2 ，则 a=1，b=3． ?b ? 3故选 C． 点评：考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此 成了中考的常考点。 对应训练 1．（2013?苏州）计算-2x2+3x2 的结果为（ ） 2 2 A．-5x B．5x C．-x2 D．x2 1．D 考点二：代数式求值 例 2 （2013?苏州）已知 xA．11 1 3 =3，则 4- x2+ x 的值为（ x 2 2 3 5 B． C． 2 2） D．7 2思路分析： 所求式子后两项提取公因式变形后， 将已知等式去分母变形后代入计算即可求出 值． 解：∵x-1 1 1 7 =3，即 x2-3x=1，∴原式=4- （x2-3x）=4- = ． x 2 2 2故选 D． 点评：此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了 整体代入的思想． 例 3 （2013?湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为 3 时，则输出的 数值为 ．思路分析：输入 x 的值为 3 时，得出它的平方是 9，再加（-2）是 7，最后再除以 7 等于 1． 解：由题图可得代数式为： 2-2）÷ （x 7．当 x=3 时，原式=（32-2）÷ 7=（9-2）÷ 7=7÷ 7=1 故答案为：1． 点评：此题考查了代数式求值，此类题要能正确表示出代数式，然后代值计算，解答本题的 关键就是弄清楚题目给出的计算程序．对应训练2．（2013?盐城）若 x2-2x=3，则代数式 2x2-4x+3 的值为 ．15 2．9 3．（2013?绥化）按如图所示的程序计算．若输入 x 的值为 3，则输出的值为．3．-3 考点三：单项式与多项式。 例 4 （2013?云南）下列运算，结果正确的是（ ） 6 3 2 A．m ÷ =m m B．3mn2?m2n=3m3n3 C． （m+n）2=m2+n2 D．2mn+3mn=5m2n2 思路分析：依据同底数的幂的除法、单项式的乘法以及完全平方公式，合并同类项法则即可 判断． 解：A、m6÷ 3=m3，选项错误； m B、正确； C、 （m+n）2=m2+2mn+n2，选项错误； D、2mn+3mn=5mn，选项错误． 故选 B． 点评：本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握 运算法则是解题的关键． 对应训练 4．（2013?沈阳）下面的计算一定正确的是（ ） 3 3 6 A．b +b =2b B．（-3pq）2=-9p2q2 C．5y3?3y5=15y8 D．b9÷ 3=b3 b 4．C 考点四：幂的运算。 例 5 （2013?株洲）下列计算正确的是（ ） 2 3 2 5 A．x+x=2x B．x ?x =x C． 2）3=x5 （x D． （2x）2=2x2 思路分析： 根据合并同类项的法则， 同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求 得答案． 解：A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误； B、x3?x2=x5，故本选项正确； C、 2）3=x6≠x5，故本选项错误； （x D、 （2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误． 故选：B． 点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要 注意细心． 对应训练 5．（2013?张家界）下列运算正确的是（ ） A．3a-2a=1 B．x8-x4=x2 C．( ?2) 2 =-2D．-（2x2y）3=-8x6y35．D 考点五：完全平方公式与平方差公式16 例 6 （1）（2013?郴州）已知 a+b=4，a-b=3，则 a2-b2= （2） （2013?珠海）已知 a、b 满足 a+b=3，ab=2，则 a2+b2=． ．思路分析： （1）根据 a2-b2=（a+b） （a-b） ，然后代入求解． （2）将 a+b=3 两边平方，利用完全平方公式化简，将 ab 的值代入计算，即可求出所求式子 的值． 解： （1）a2-b2=（a+b） （a-b）=4× 3=12．故答案是：12． （2）将 a+b=3 两边平方得： （a+b）2=a2+2ab+b2=9， 把 ab=2 代入得：a2+4+b2=9，则 a2+b2=5．故答案为：5． 点评：此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 例 7 （2013?张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 3cm 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长 为 acm，则另一边长是（ ）A．（2a+3）cmB．（2a+6）cmC．（2a+3）cmD．（a+6）cm思路分析：根据第一个图形中，从边长为（a+3）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 3cm 的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，即可求解． 解：解：根据第一个图：从边长为（a+3）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 3cm 的正方 形，剩余部分的面积是： （a+3）2-32， 设拼成的矩形另一边长是 b，则 ab=（a+3）2-32， 解得：b=a+6． 故选 D． 点评：本题考查了图形的变化，正确理解：第一个图形中，从边长为（a+3）cm 的正方形纸 片中剪去一个边长为 3cm 的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，是解题的 关键． 对应训练 6．（2013?徐州）当 m+n=3 时，式子 m2+2mn+n2 的值为 ． 6．9 7．（2013?攀枝花模拟）如图（一），在边长为 a 的正方形中，挖掉一个边长为 b 的小正方 形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分） 的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） 2 2 A．a -b =（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b217 7．A 考点六：整式的运算 例 8 （2013?株洲）先化简，再求值： （x-1） （x+1）-x（x-3） ，其中 x=3． 思路分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号 合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 解：原式=x2-1-x2+3x=3x-1， 当 x=3 时，原式=9-1=8． 点评：此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则， 以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 例 9 （2013?宁波）7 张如图 1 的长为 a，宽为 b（a＞b）的小长方形纸片，按图 2 的方式 不重叠地放在矩形 ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下 角的阴影部分的面积的差为 S，当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不 变，则 a，b 满足（ ） A．a=5 b 2B．a=3bC．a=7 b 2D．a=4b思路分析：表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与 BC 无关即可求出 a 与 b 的关系式． 解：如图，左上角阴影部分的长为 AE，宽为 AF=3b，右下角阴影部分的长为 PC，宽为 a，∵AD=BC，即 AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC， ∴AE+a=4b+PC，即 AE-PC=4b-a， ∴阴影部分面积之差 S=AE?AF-PC?CG=3bAE-aPC=3b （PC+4b-a） -aPC= （3b-a） PC+12b2-3ab， 则 3b-a=0，即 a=3b． 故选 B18 点评：此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 对应训练 8． （2013?扬州）先化简，再求值： （x+1） （2x-1）-（x-3）2，其中 x=-2． 8．解：原式=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10， 当 x=-2 时，原式=4-14-10=-20． 9．（2013?泰州）把三张大小相同的正方形卡片 A、B、C 叠放在一个底面为正方形的盒底 上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图 1 摆放时，阴影部分的面积为 S1；若按 图 2 摆放时，阴影部分的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．无法确定9．C 考点七：规律探索。 例 10 （ （2013?山西）一组按规律排列的式子： a ,2a 4 a 6 a8 , , ，…，则第 n 个式子 3 5 7是 ． 思路分析：观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可． 解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n， 1，3，5，7，…分母可表示为 2n-1， 则第 n 个式子为：a 2n ． 2n ? 1故答案为：a 2n ． 2n ? 1点评：本题考查了单项式的知识，属于基础题，关键是观察分子、分母的变化规律． 例 11 （2013?淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻 格子所填整数之和都相等，则第 2013 个格子中的整数是 ． -4 a b c 6 b -2 …思路分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出 a、c 的值，再根据第 9 个数是-2 可 得 b=-2，然后找出格子中的数每 3 个为一个循环组依次循环，在用 2013 除以 3，根据余数 的情况确定与第几个数相同即可得解． 解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴-4+a+b=a+b+c，解得 c=-4，a+b+c=b+c+6，解得 a=6， 所以，数据从左到右依次为-4、6、b、-4、6、b， 第 9 个数与第三个数相同，即 b=-2， 所以，每 3 个数“-4、6、-2”为一个循环组依次循环， ∵2013÷ 3=671，∴第 2013 个格子中的整数与第 3 个格子中的数相同，为-2． 故答案为：-2． 点评：此题主要考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出 a、b、c 的值，从而得到其规19 律是解题的关键． 例 12 （2013?烟台）将正方形图 1 作如下操作：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形…， 以此类推，根据以上操作，若要得到 2013 个正方形，则需要操作的次数是（ ）A．502 B．503 C．504 D．505 思路分析：根据正方形的个数变化得出第 n 次得到 2013 个正方形，则 4n+1=2013，求出即 可． 解：∵第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 4+1=5 个正方形； 第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 4× 2+1=9 个正方形…， 以此类推，根据以上操作，若第 n 次得到 2013 个正方形，则 4n+1=2013， 解得：n=503． 故选：B． 点评：此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键． 对应训练 10．（2013?淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第 2013 个单项 式是 ． 2 10．4025x 11．（2013?玉林）一列数 a1，a2，a3，…，其中 a1= 数），则 a100=（ A． ） B．2 C．-1 D．-21 1 ， an ? （n 为不小于 2 的整 1 ? an ?1 21 211．A 12． （2013?十堰） 如图， 是一组按照某种规律摆放成的图案， 则图 5 中三角形的个数是 （）A．8 B．9 C．16 D．17 12．C 【聚焦山东中考】 1．（2013?济宁）如果整式 xn-2-5x+2 是关于 x 的三次三项式，那么 n 等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．C 2．（2013?东营）下列运算正确的是（ ） 3 2 2 3 6 A．a -a =a B．a ?a =a C．（a3）2=a6 D．（3a）3=9a320 2．C 3．（2013?烟台）下列各运算中，正确的是（ ） 2 3 2 6 A．3a+2a=5a B．（-3a ） =9a C．a4÷ 2=a3 a 3．B 4．（2013?日照）下列计算正确的是（ ） 2 2 6 3 2 A．（-2a） =2a B．a ÷ =a a C．-2（a-1）=2-2a 4．C 5．（2013?威海）若 m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n 的值是（ ） A．3 B．2 C．1 5．A 6．（2013?威海）下列运算正确的是（ ） 2 2 4 A．3x +4x =7x B．2x3?3x3=6x3 C．x6+x3=x2 D．（x2）4=x8 6．D 7．（2013?泰安）下列运算正确的是（ ） 3 3 A．3x -5x =-2x B．6x3÷ -2=3x 2x C．（D．（a+2）2=a2+4D．a?a2=a2D．-11 3 2 1 6 x）= x 3 9D．-3（2x-4）=-6x-127．C 8．（2013?临沂）下列运算正确的是（ ） 2 3 5 2 2 A．x +x =x B．（x-2） =x -4 C．2x2?x3=2x5 D．（x3）4=x7 8．C 9．（2013?聊城）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把 钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面 16cm，那么钢丝大约需要加长（ ） 2 4 6 8 A．10 cm B．10 cm C．10 cm D．10 cm 9．A 10． （2013?日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形 中 M 与 m、n 的关系是（ ）A．M=mn 10．DB．M=n（m+1）C．M=mn+1D．M=m（n+1）11．（2013?日照）已知 m2-m=6，则 1-2m2+2m= 11．-11 12．（2013?滨州）观察下列各式的计算过程： 5× 5=0× 100+25， 1× 15× 15=1× 100+25， 2× 25× 25=2× 100+25， 3× 35× 35=3× 100+25， 4×．21 … 请猜测，第 n 个算式（n 为正整数）应表示为 ． 12．100n（n-1）+25 13．（2013?潍坊）当 n 等于 1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分 别如图所示， 则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ．用 （ n 表示，n 是正整数）13．n2+4n 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?丽水）化简-2a+3a 的结果是（ ） A．-a B．a C．5a 1．B 2．（2013?徐州）下列各式的运算结果为 x6 的是（ ） 9 3 3 3 2 3 A．x ÷ x B．（x ） C．x ?x 2．A 3．（2013?连云港）计算 a2?a4 的结果是（ ） 6 8 A．a B．a C．2a6 3．A 4．（2013?重庆）计算 3x3÷ 2 的结果是（ x ） 2 2 A．2x B．3x C．3x 4．D 5．（2013?遵义）计算（A．-D．-5aD．x3+x3D．2a8D．33 3 6 ab 21 2 3 ab ） 的结果是（ ） 2 1 1 B．- a3b5 C．- a3b5 2 8D．-1 3 6 ab 85．D 6．（2013?佛山）多项式 1+2xy-3xy2 的次数及最高次项的系数分别是（ ） A．3，-3 B．2，-3 C．5，-3 D．2，3 6．A 7．（2013?遂宁）下列计算错误的是（ ） A．-|-2|=-2 B．（a2）3=a5 C．2x2+3x2=5x2 7．B 8．（2013?盘锦）下列计算正确的是（ A．3mn-3n=m B．（2m）3=6m3 8．D D．8 =2 2） C．m8÷ 4=m2 m D．3m2?m=3m322 9．（2013?达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价 20%， 后又降价 10%；乙超市连续两次降价 15%；丙超市一次降价 30%．那么顾客到哪家超市购 买这种商品更合算（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 9．B 10．（2013?黄冈）矩形 AB=a，AD=b，AE=BF=CG=DH=c，则图中阴影部分面积是（ ） 2 2 A．bc-ab+ac+b B．a +ab+bc-ac 2 C．ab-bc-ac+c D．b2-bc+a2-ab10．C 11．（2013?保康）如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为 a 的正方形之后，剩 余部分可剪拼成一个矩形 （不重叠无缝隙） 若拼成的矩形一边长为 2， ， 则另一边长是 （ ）A．2 B．a+4 C．2a+2 D．2a+4 12．C 13．（2013?新华区一模）定义运算 ab=a（1-b），下面给出了这种运算的四个结论： ①2（-2）=6； ②若 a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab； ③ab=ba； ④若 ab=0，则 a=0 或 b=1． 其中结论正确的有（ ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 13．D 二、填空题 14．（2013?晋江市）计算：2a2+3a2= ． 2 14．5a 15．（2013?天津）计算 a?a6 的结果等于 ． 7 15．a 16．（2013?上海模拟）计算：6x2y3÷ 3y3= 2x ． 16．3 x 1 的数”用代数式表示是 5．17．（2013?同安区一模）“比 a 的 2 倍大23 17． 2a ?1 518．（2013?义乌市）计算：3a?a2+a3= ． 3 18．4a 19．（2013?铁岭）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来 每件 m 元，加价 50%，再做两次降价处理，第一次降价 30%，第二次降价 10%．经过两次 降价后的价格为 元（结果用含 m 的代数式表示） 19．0.945m 20． （2013?贵港）若 ab=-1，a+b=2，则式子（a-1） （b-1）= ． 20．-2 21． （2013?沈阳） 如果 x=1 时， 代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5， 那么 x=-1 时， 代数式 2ax3+3bx+4 的值是 ． 21．3 22． （2013?苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入 x 的值为 2，则输出的值为 ．22．20 21．（2013?泰州）若 m=2n+1，则 m2-4mn+4n2 的值是 21．1 22．（2013?晋江市）若 a+b=5，ab=6，则 a-b= ． 22．± 1 23． （（2013?永州）定义．a cb d1为二阶行列式．规定它的运算法则为a cb d=ad-bc．那么当 x=1 时，二阶行列式x ?1 0x ?1的值为．23．0 24． （2013?雅安） 已知一组数 2， 8， 4， 16， 32， …， 按此规律， 则第 n 个数是 24．2n．25．（2013?云南）下面是按一定规律排列的一列数： 是 25． ．1 3 5 7 , , , ，…那么第 n 个数 4 7 12 192n ? 1 n2 ? 324 26．（2013?孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称 图中的数 1，5，12，22…为五边形数，则第 6 个五边形数是 ．26．51 27．（2013?青岛）要把一个正方体分割成 8 个小正方体，至少需要切 3 刀，因为这 8 个小 正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切 3 次才能切出来．那么，要把一个 正方体分割成 27 个小正方体，至少需用刀切 次；分割成 64 个小正方体，至少需 要用刀切 次． 27．6，9 三、解答题 28． （2013?宜昌）化简： （a-b）2+a（2b-a） 28．解：原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2． 29． （2013?宁波）先化简，再求值： （1+a） （1-a）+（a-2）2，其中 a=-3． 29．解：原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5， 当 a=-3 时，原式=12+5=17． 30． （2013?三明）先化简，再求值： （a+2） （a-2）+4（a+1）-4a，其中 a= 2 -1． 30．解：原式=a2-4+4a+4-4a=a2， 当 a= 2 -1 时，原式=（ 2 -1）2=2-2 2 +1=3-2 2 ． 31． （2013?邵阳）先化简，再求值： （a-b）2+a（2b-a） ，其中 a=31．解：原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2， 当 b=3 时，原式=9． 32． （2013?娄底）先化简，再求值： （x+y） （x-y）-（4x3y-8xy3）÷ 2xy，其中 x=-1，y= 32．解：原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2， 当 x=-1，y=1 ，b=3． 23 ． 33 时，原式=-1+1=0． 333． （2013?义乌市） 如图 1 所示， 从边长为 a 的正方形纸片中减去一个边长为 b 的小正方形， 再沿着线段 AB 剪开，把剪成的两张纸拼成如图 2 的等腰梯形， （1）设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2，请直接用含 a，b 的代数式 表示 S1 和 S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．25 33．解： （1）∵大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b， ∴S1=a2-b2，S2=1 （2a+2b） （a-b）=（a+b） （a-b） ； 2（2）根据题意得： （a+b） （a-b）=a2-b2。 34． （2013?张家界）阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22013 的值． 解：设 S=1+2+22+23+24+…+，将等式两边同时乘以 2 得： 2S=2+22+23+24+25+…+ 将下式减去上式得 2S-S=22014-1 即 S=22014-1 即 1+2+22+23+24+…+-1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中 n 为正整数） ． 34．解： （1）设 S=1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以 2 得 2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S-S=211-1，即 S=211-1， 则 1+2+22+23+24+…+210=211-1； （2）设 S=1+3+32+33+34+…+3n， 两边乘以 3 得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1， 下式减去上式得：3S-S=3n+1-1，即 S= 则 1+3+32+33+34+…+3n=1 （3n+1-1） ， 21 （3n+1-1） ． 235． （2013?常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形 的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为 S，该多 边形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为 b，则 S=1 a+b-1（史称“皮克公式”） ． 2小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角 形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为 格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：26 根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边 上的格点的个数 多边形 1 多边形 2 … 一般格点多边形 8 7 … a 格点边多边形内 部的格点个数 1 3 … b … S （用含 a、b 的代数式表示） ． 格点边多边形内 部的格点个数 1 3 … b 格点多边形的面 积 8 11 … S 格点多边形的面 积则 S 与 a、b 之间的关系为 S= 35．解：填表如下： 格点多边形各边 上的格点的个数 多边形 1 多边形 2 … 一般格点多边形 8 7 … a则 S 与 a、b 之间的关系为 S=a+2（b-1） （用含 a、b 的代数式表示） ．27 第四讲因式分解【基础知识回顾】 一、因式分解的定义： 1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。 （ ） 整式的积 2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 （ ） 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是 否为 的形式。 】 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。 【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取 系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提 出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是 一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。 】 2、运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 ①平方差公式：a2-b2= , 2 2 ②完全平方公式：a ± 2ab+b = 。 【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点， 找准里面的 a 与 b。如：x2-x+1 1 符合完全平方公式形式，而 x2- x+ 就不符合该公式的形 4 2式。 】 三、因式分解的一般步骤 1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。 2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。 3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为 两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】 考点一：因式分解的概念 例 1 （2013?株洲）多项式 x2+mx+5 因式分解得（x+5） （x+n） ，则 m= ，n= ． 2 2 思路分析：将（x+5） （x+n）展开，得到，使得 x +（n+5）x+5n 与 x +mx+5 的系数对应相 等即可． 解：∵（x+5） （x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n ∴??n ? 1 ?n ? 5 ? m ，∴ ? ， ?m ? 6 ?5 n ? 5故答案为 6，1． 点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 对应训练 1．（2013?河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）28 A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1） 1．D 考点二：因式分解 例 2 （2013?无锡）分解因式：2x2-4x= ． 思路分析：首先找出多项式的公因式 2x，然后提取公因式法因式分解即可． 解：2x2-4x=2x（x-2） ． 故答案为：2x（x-2） ． 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是 整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母 的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 例 3 （2013?南昌）下列因式分解正确的是（ ） 2 A．x -xy+x=x（x-y） B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2 C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3） （x-3） 思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案． 解：A、x2-xy+x=x（x-y+1） ，故此选项错误； 3 2 2 2 B、a -2a b+ab =a（a-b） ，故此选项正确； C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误； D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误． 故选：B． 点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次 要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶． 例 4 （2013?湖州）因式分解：mx2-my2． 思路分析：先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解：mx2-my2， =m（x2-y2） ， =m（x+y） （x-y） ． 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解， 一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 对应训练 2．（2013?温州）因式分解：m2-5m= ． 2．m（m-5） 3．（2013?西宁）下列分解因式正确的是（ ） 2 A．3x -6x=x（3x-6） B．-a2+b2=（b+a）（b-a） C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2 3．B 4．（2013?北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ． 2 4．a（b-2） 考点三：因式分解的应用 例 5 （2013?宝应县一模）已知 a+b=2，则 a2-b2+4b 的值为 ． 思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可． 解：∵a+b=2， ∴a2-b2+4b=（a+b） （a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2× 2=4．29 故答案为：4． 点评： 本题考查了利用平方差公式分解因式， 利用平方差公式和提公因式法整理出 a+b 的形 式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想． 对应训练 5．（2013?鹰潭模拟）已知 ab=2，a-b=3，则 a3b-2a2b2+ab3= ． 5．18【聚焦山东中考】1．（2013?临沂）分解因式 4x-x2= 1．x（4-x） 2．（2013?滨州）分解因式：5x2-20= 2．5（x+2）（x-2） 3．（2013?泰安）分解因式：m3-4m= 3．m（m-2）（m+2） 4．（2013?莱芜）分解因式：2m3-8m= 4．2m（m+2）（m-2） 5．（2013?东营）分解因式：2a2-8b2= 5．2（a-2b）（a+2b） 6．（2013?烟台）分解因式：a2b-4b3= 6．b（a+2b）（a-2b） 7．（2013?威海）分解因式：-3x2+2x7． ? (3x ? 1) ． ． ． ． ． ．1 = 3．1 328．（2013?菏泽）分解因式：3a2-12ab+12b2= ． 2 8．3（a-2b） 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） 2 2 2 2 A．x +x+1 B．x +2x-1 C．x -1 D．x -6x+9 1．D 2．（2013?佛山）分解因式 a3-a 的结果是（ ） 2 2 A．a（a -1） B．a（a-1） C．a（a+1）（a-1） D．（a2+a）（a-1） 2．C 3．（2013?恩施州）把 x2y-2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） 2 2 2 2 2 A．y（x -2xy+y ） B．x y-y （2x-y） C．y（x-y） D．y（x+y）2 3．C 二、填空题 4．（2013?自贡）多项式 ax2-a 与多项式 x2-2x+1 的公因式是 ． 4．x-1 5．（2013?太原）分解因式：a2-2a= ． 5．a（a-2） 6．（2013?广州）分解因式：x2+xy= ． 6．x（x+y） 7．（2013?盐城）因式分解：a2-9= ．30 7．（a+3）（a-3） 8．（2013?厦门）x2-4x+4=（ ）2． 8．x-2 9．（2013?绍兴）分解因式：x2-y2= ． 9．（x+y）（x-y） 10．（2013?邵阳）因式分解：x2-9y2= ． 11．（x+3y）（x-3y） 12．（2013?南充）分解因式：x2-4（x-1）= ． 2 12．（x-2） 13．（2013?遵义）分解因式：x3-x= ． 13．x（x+1）（x-1） 14．（2013?舟山）因式分解：ab2-a= ． 14．a（b+1）（b-1） 15．（2013?宜宾）分解因式：am2-4an2= ． 15．a（m+2n）（m-2n） 16．（2013?绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ． 2 2 16．x y （y-x）（y+x） 17．（2013?内江）若 m2-n2=6，且 m-n=2，则 m+n= ． 17．3 18．（2013?廊坊一模）已知 x+y=6，xy=4，则 x2y+xy2 的值为 ． 18．24 19． （2013?凉山州）已知（2x-21） （3x-7）-（3x-7） （x-13）可分解因式为（3x+a） （x+b）， 其中 a、b 均为整数，则 a+3b= ． 19．-3131 第五讲【基础知识回顾】 一、 分式的概念 若 A，B 表示两个整式，且 B 中含有 【名师提醒：①若 则分式分式那么式子就叫做分式A A 无意义②若分式 =0，则 B B应 且 】 二、 分式的基本性质 分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。a.m 1、 = a.ma?m ， = b?m ?b b = = a（m≠0）2、分式的变号法则。3、 约分： 根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约 分。 约分的关键是确定分式的分子和分母中的 ， 约分的结果必须是 分式或整式。 4、通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式 的通分，通分的关键是确定各分母的 。 【名师提醒：①最简分式是指 ； ② 约分时确定公因式的方法：当分子、 分母是单项式时，公因式应取系数的 ，相同字母的 ，当分母、分母是 多项式时应先 再进行约分； ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数 的 相同字母 ，分母中有多项式时仍然要先 ，通分中有整式 的应将整式看成是分母为 的式子 ； ④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏 乘和漏除项】 二、 分式的运算： 1、分式的乘除b d . = a c b d ②分式的除法： ? = a c①分式的乘法： 2、分式的加减=b c ± = a a b d ②异分母分式相加减： ± = a c①用分母分式相加减：=【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质 是 的过程 ②异分母分式加减过程的关键是 】 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即( 4、 分式的混合运算：应先算 再算 的。 5、 分式求值：①先化简，再求值。b m ) = a最后算 有括号的先算括号里面32 ②由化简后的形式直接代数所求分式的值 ③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中 【名师 提醒：①实数 的各种运 算律也符合分 式 ②分式 运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入思想 的运用。 】 【重点考点例析】 考点一：分式有意义的条件 例 1 （2013?南京）使式子 1+1 有意义的 x 的取值范围是 x ?1．思路分析：分式有意义，分母不等于零． 解：由题意知，分母 x-1≠0，即 x≠1 时，式子 1+1 有意义． x ?1故填：x≠1． 点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义?分母为零； （2）分式有意义?分母不为零； （3）分式值为零?分子为零且分母不为零． 对应训练 1．（2013?成都）要使分式5 有意义，则 x 的取值范围是（ x ?1C．x＜1） D．x≠-1A．x≠1 B．x＞1 1．A 考点二：分式的值为零的条件 例 2 （2013?深圳）分式x2 ? 4 的值为 0，则（ x?2）A．x=-2 B．x=± 2 C．x=2 D．x=0 思路分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零． 解：由题意，得 x2-4=0，且 x+2≠0， 解得 x=2． 故选 C． 点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分 子为 0；（2）分母不为 0．这两个条件缺一不可． 对应训练 2．（2013?云南）要使分式 A．9 2．D 考点三：分式的运算 例 3 （2013?济宁三模）化简(1+x2 ? 9 的值为 0，你认为 x 可取得数是（ 3x ? 9C．-3） D．3B．± 31 m )÷ 2 的结果是 m ?1 m ?1．33 思路分析：把原式括号中通分后，利用同分母分式的加法运算法则：分母不变，只把分子相 加进行计算， 同时将除式的分母利用平方差公式分解因式， 并根据除以一个数等于乘以这个 数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果． 解：原式=（m m ?1 1 m ? 1 ? 1 (m ? 1)(m ? 1) ）÷ = ? ? (m ? 1)(m ? 1) m ?1 m ?1 m ?1 m=m (m ? 1)(m ? 1) =m+1． ? m ?1 m故答案为：m+1 点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分 母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分子分母是多项式，应 先将多项式分解因式后再约分． 对应训练 3．（2013?凉山州）化简(13．m 考点四：分式的化简与求值 例 4 （2013?自贡）先化简(1 )(m+1)的结果是 m ?1．1 1 a )÷ 2 ，然后从 1、 2 、-1 中选取一个你认 ? a ? 1 a ? 1 2a ? 2为合适的数作为 a 的值代入求值． 思路分析：先把除法转化成乘法，再根据乘法的分配律分别进行计算，然后把所得的结果化 简，最后选取一个合适的数代入即可． 解：原式=（2 1 1 2(a ? 1)(a ? 1) 2(a ? 1)(a ? 1) 4 ）× = × = ， ? (a ? 1)(a ? 1) a ?1 a ?1 a a a4 ?2 2． 2由于 a≠±1，所以当 a= 2 时，原式=点评：此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是乘法的分配律、约分，在计算时要注意 把结果化到最简． 对应训练 4．（2013?重庆）先化简，再求值：( ＞1 的负整数解． 4．解：原式=[x ? 2 x ?1 x?4 )÷ 2 ，其中 x 是不等式 3x+7 ? x x ? 2 x ? 4x ? 4( x ? 2)( x ? 2) ? x ( x ? 1) ( x ? 2)2 x 2 ? 4 ? x 2 ? x ( x ? 2) 2 ? ? = x( x ? 2) x?4 x( x ? 2) x?4x?4 ( x ? 2) 2 x ? 2 ? = = ， x( x ? 2) x?4 x3x+7＞1，3x＞-6，x＞-2， ∵x 是不等式 3x+7＞1 的负整数解，∴x=-1， 把 x=-1 代入?1 ? 2 x?2 中得： ?3． ?1 x34 考点五：零指数幂和负指数幂 例 5 （2013?荆州）下列等式成立的是（ A．|-2|=2 B．（ 2 -1）0=0） C．（-1 -1 ） =2 2D．-（-2）=-2思路分析：根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，结合各选项进行判断即可． 解：A、|-2|=2，计算正确，故本选项正确； B、（ 2 -1）0=1，原式计算错误，故本选项错误； C、（-1 -1 ） =-2，原式计算错误，故本选项错误； 2D、-（-2）=2，原式计算错误，故本选项错误； 故选 A． 点评：本题考查了绝对值、零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键 是掌握各部分的运算法则． 对应训练 5．（2013?济南）下列计算正确的是（ ） A．(1 -2 ) =9 3B．( ?2) 2 =-2C．（-2）0=-1D．|-5-3|=25．A 【聚焦山东中考】 1．（2013?滨州）化简a3 ，正确结果为（ a） C．a-1 D．a-2A．a B．a2 1．B 2．（2013?泰安）（-2）-2 等于（ A．-4 2．D B．4） C．-1 4D．1 4x2 ?1 3．（2013?淄博）如果分式 的值为 0，则 x 的值是（ 2x ? 2A．1 B．0 3．A 4．（2013?淄博）下列运算错误的是（ A． C．-1 ）） D．± 1( a ? b) 2 ?1 (b ? a ) 2B．?a ? b ? ?1 a?bC． 4．D0.5a ? b 5a ? 10b ? 0.2a ? 0.3b 2a ? 3bD．a ?b b?a ? a?b b?a）5．（2013?泰安）化简分式2 2 1 ?( 2 ? ) )的结果是（ x ?1 x ?1 x ? 135 A．2 5．A 6．（2013?临沂）化简 A．B．2 x ?1C．2 x ?1）D．-21 a ?1a ?1 2 ? (1 ? ) 的结果是（ a ? 2a ? 1 a ?1 1 1 B． C． 2 a ?1 a ?12D．1 a ?126．A1 x2 ? 2 x ? 1 7．（2013?威海）先化简，再求值： ( ，其中 x= 2 -1． ? 1) ? x ?1 x2 ?17．解：原式=1 ? x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? x ? 2 ． ? ? x ?1 ( x ? 1)2 x ?1当 x= 2 -1 时， 原式=? 2 ?1? 2 3 ? 2 3 2 ? 2 ? ? ． 2 2 ?1 ?1 2x2 4x2 ? 4x ? 1 8．（2013?烟台）先化简，再求值： ( ，其中 x 满足 x2+x-2=0． ? x ? 1) ? x ?1 1? x8．解：原式=x 2 ? ( x ? 1)( x ? 1) 1 ? x 2x ?1 1 ? x 1 ? = = ， ? 2 2 x ?1 (2 x ? 1) x ? 1 (2 x ? 1) 2 x ? 1由 x2+x-2=0，解得 x1=-2，x2=1， ∵x≠1， ∴当 x=-2 时，原式=1 1 ? ． 1 ? 2 ? (?2) 59．（2013?莱芜）先化简，再求值：a?2 4 ? (a ? ) ，其中 a= 3 +2． a?4 a?49．解：原式=a ? 2 a 2 ? 4a ? 4 a ? 2 a ? 4 1 ? ? = = ． 2 a ? 4 (a ? 2) a ? 2 a?4 a?41 3 ? ． 3 3 ?2?2当 a= 3 +2 时，原式= 【备考真题过关】 一、选择题1．（2013?温州）若分式 A．x=3 1．Ax?3 的值为 0，则 x 的值是（ x?4C．x=-3） D．x=-4B．x=036 2．（2013?黔西南州）分式 A．-1 2．Dx2 ?1 的值为零，则 x 的值为（ x ?1C．± 1） D．1B．03．（2013?南京）计算 a3?（ A．a 3．A 4．（2013?沈阳）计算 A． B．a31 2 ） 的结果是（ a） C．a6 D．a91 x ?12 3 的结果是（ ） ? x ?1 1 ? x 1 5 B． C． 1? x x ?1） C．（-2）0=0D．5 1? x4．B 5．（2013?河北）下列运算中，正确的是（ A． 9 =± 3 5．D B． 3 ?8 =2D．2-1=1 216 ? a 2 a?4 a?2 6．（2013?包头）化简 2 ，其结果是（ ? ? a ? 4a ? 4 2a ? 4 a ? 4A．-2 6．A 7．（2013?杭州）如图，设 k= B．2 C．- ?）2 (a ? 2)2D．2 (a ? 2) 2甲图中阴影部分的面积 （a＞b＞0），则有（ 乙图中阴影部分的面积C．）A．k＞2B．1＜k＜21 ＜k＜1 2D．0＜k＜1 27．B 二、填空题 8．（2013?钦州）当 x= 8．2 9．（2013?攀枝花）若分式 时，分式3 无意义． x?2x2 ?1 的值为 0，则实数 x 的值为 x ?1．37 9．1 10．（2013?遵义）计算：= 10．．1 22x 2 = ? x ?1 x ?13b 2 a ? = a b．11．（2013?株洲）计算： 11．2 12．（2013?上海）计算： 12．3b 13．（2013?泉州）计算： 13．1 14．（2013?新疆）化简．2 n ?1 = ? n ?1 n ?1．x ?1 x2 ? 2x ? 1 = ? x?2 x2 ? 4．14．x?2 x ?1．x2 ? 2x 15．（2013?大连）化简：x+1= x ?115．1 x ?1 1 )(m ? 1) 的结果是 m ?1．16．（2013?凉山州）化简(1- (1 ? 16．m 三、解答题 17．（2013?佛山）按要求化简：2 a?3 ． ? a ?1 1 ? a217．解：原式=2(a ? 1) a?3 2(a ? 1) ? a ? 3 a ?1 1 = = = ． ? (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 1) a ? 118．（2013?永州）先化简，再求值： (x ?1 x x ?1 ，其中 x=2． ? )? 2 2 x ?1 x ?1 x ? 2x ?118．解：原式= (1 x ( x ? 1) 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ? )? ? = =x-1， x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1当 x=2 时，运算=2-1=1．3 x2 ? 4 x ? 4 ? x ? 1) ? 19．（2013?乌鲁木齐）先化简： ( ，然后从-1≤x≤2 中选一个合适 x ?1 x ?1的整数作为 x 的值代入求值．38 19．解：原式= (x ?1 3 x 2 ? 1 ( x ? 2) 2 3 ? x 2 ? 1 x?2 = = ， ? ? )? 2 x ?1 ( x ? 2) 2 ? x x ?1 x ?1 x ?1当 x=1 时，原式=1? 2 =3． 2 ?120．（2013?遵义）已知实数 a 满足 a2+2a-15=0，求1 a ? 2 (a ? 1)(a ? 2) 的值． ? 2 ? a ? 1 a ? 1 a 2 ? 2a ? 11 a?2 (a ? 1) 2 1 a ?1 2 20．解：原式= = = ， ? ? ? 2 a ? 1 (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 2) a ? 1 (a ? 1) ( a ? 1) 2∵a2+2a-15=0，∴（a+1）2=16， ∴原式=2 1 ? ． 16 8a 2 ? 6ab ? 9b 2 5b 2 1 ?( ? a ? 2b) ? ，其中 a，b 2 a ? 2ab a ? 2b a21．（2013?重庆）先化简，再求值：满足 ??a ? b ? 4 ． ?a ? b ? 221．解：原式=a ? 2b 1 (a ? 3b) 2 9b 2 ? a 2 1 (a ? 3b) 2 ? ? ? ? = 2 a ? 2ab a ? 2b a a(a ? 2b) (3b ? a)(3b ? a) a=3b ? a 1 2 ， ? =? a(3b ? a) a 3b ? a?a ? b ? 4 ?a ? 3 ， ∴? ， ?a ? b ? 2 ?b ? 1∵?∴原式=- ?2 1 ?? ． 3 ?1 ? 3 31 1 1 ? ( ? ) ，其中 x= 3 ? 2 ，y= x? y y x3? 2 ．22．（2013?孝感）先化简，再求值：22．解：原式=1 x? y 1 xy xy = = ， ? ? x? y xy x ? y x ? y ( x ? y)23 ? 2 时，当 x= 3 ? 2 ，y= 原式=( 3 ? 2)( 3 ? 2) 1 ? ． ( 3 ? 2 ? 3 ? 2) 2 839 23． （2013?达州） 已知 f(x)=1 1 1 1 1 ， f(1)= 则 ， f(2)= …， ? ? x ( x ? 1) 1? (1 ? 1) 1? 2 2 ? (2 ? 1) 2 ? 3已知 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=14 ，求 n 的值． 1523．解：∵f（x）=1 1 1 = ? ， x ( x ? 1) x x ? 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1， ? ? ? ? ? ? +…+ ? 2 2 3 3 4 4 5 n n ?1 n ?1 14 ∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）= ， 15 1 14 ∴1= ，解得 n=14． n ? 1 15∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1-40 第六讲【基础知识回顾】 一、 二次根式 式子 a （ ）叫做二次根式二次根式【名师提醒： ①二次}
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