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如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．（1）求证：MN=AM+BN．（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
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证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB，在△AMC和△CNB中，∠AMC=∠CNB，∠MAC=∠NCB，AC=CB，△AMC≌△CNB（AAS），AM=CN，MC=NB，∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN；（2）结论：MN=BN-AM．∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB，在△AMC和△CNB中，∠AMC=∠CNB，∠MAC=∠NCB，AC=CB，△AMC≌△CNB（AAS），AM=CN，MC=NB，∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM．
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（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论；（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．
本题考点：
全等三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
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人教版初二数学全等三角形辅助线作法典型题.doc
人教版初二数学全等三角形辅助线作法典型题 人教版初二数学全等三角形辅助线作法典型题 典型1、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是 BC 的中点，过点 M 作 ME∥AD 交 BA 如图， 的平分线， 的中点， ∥ 1 求证： 的延长线于 E，交 AC 于 F.求证：BE=CF= (AB+AC). ， 求证 2E A FM B D CG2、如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB,BC 上的点， ∠EDF=45°； （1）问 AE、EF、CF 存在怎样的数量关系? (2)若 AB=4，E 为 AB 的中点，求 EF 的长。 （3）若 AM=3，CN=1，求 MN 的长。G AA M DD MEE N B F C GN B F C3、 如图， △ABC 中， AC=BC=5， ∠ACB=80°， 为△ABC 内部一点， O ∠OAB=10°， ∠OBA=30°.求线段 AO 的长。CD O A B4、如图，将边长为 12cm 的正方形 ABCD 折叠，使得 A 点落在 CD 上的 E 点，然 后压平得折痕 FG,若 FG=13cm，求线段 CE、BG 的长。A F DEBG HC5、如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CA=BA, ∠DAC=∠DCA=15°，求证：BA=BD.ADCB E6、如图，四边形 ABCD 中，AB=BC, ∠ABC=60°，P 为四边形 ABCD 内一点，且 ∠APD=120°.证明：PA+PD+PC≥BDEA DP B C7、 在△ABC 中， 已知∠ABC=∠ACB=44°， 是此三角形内的一点， P 且∠PBC=16°， ∠PCB=30°，求∠BPC 的度数.8、如图，正方形 ABCD 中，Q 是 CD 的中点，E 为 BC 中点，P 为 CD 上一点，且 ∠BAP=2∠DAQ. (1)求证：AP=AB+PC; (2)若 AB=8，求 PC 的长。ADQ P B E C9、如图，已知 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC 的度数之比为 6:5:4，则在以 OA、OB、OC 为边的三角形中，此三边所对的角度之比为多少？AP O BC10、 在等腰 Rt△ABC 的斜边 AB 所在的直线上取点 P 并设 s=2AP2+BP2，试探求 P 点的位置变化时，s 与 2CP2 的大小关系，并证明你所得到的结论。AD APPD CBEBCE11、如图，在等腰三角形 ABC 中，∠BAC=90°,P 是△ABC 内一点，PA=1，PB=3， PC= 7 ,求∠CPA 的度数。BP' AP C12、如图，在凸四边形 ABCD 中，∠ABC=30°， ∠ADC=60°，AD=DC, 证明: BD 2 = AB 2 + BC 2 .ABDCE如图， 边上一点， ⊥ 的中点. 13、如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BE⊥AD 于 E,CF⊥AD 于 F,M 是 BC 的中点 ⊥ 求证： 求证：EM=FM.AF H D B E M C14、D 是正三角形 ABC 的 BC 边上任一点，角∠ADE=60°，角∠ACB 的外角平分 线交 DE 于点 E.求证：(1) AD=DE； (2) 如果 D 在 CB 的延长线上,其它条件不变，结果还成立吗？说明理由AAFED B CBDCGE15、 已知 Rt△ABC 和 Rt△ADC 有公共斜边 AC,M、 分别是 AC,BD 的中点， M、 N 且 N 不重合。 （1）线段 MN 与 BD 是否垂直？请说明理由。 （2）若∠BAC=30°, ∠CAD=45°,AC=4，求 MN 的长。BH A M N CDN B H(1)ADMC (2)16、如图，在等腰三角形 ABC 中，延长边 AB 到点 D，延长边 CA 到点 E，连接DE，恰好有 AD=BC=CE=DE,求证：∠BAC=100°.E AB C DF17、 、 如图， ABC 中， ACB=90°,AC=BC,点 P 是在△ABC 内部的一点， PA=3， △ 内部的一点， PB=1， PC=2， 如图， ∠ ° 点 是在△ 且 ， ， ， 试求∠ 的度数。 试求∠BPC 的度数。M CAPB18、已知直线 y=-x+6 交 y 轴于 A，交 x 轴于 B，过点 B 作 BD⊥A B 交 y 轴于 D. 、 ， ， ⊥ (1)求直线 BD 的的解析式； 的的解析式； 求直线 (2)如图①，若点 C 是 x 轴负半轴上一点，过 C 作 AC 的垂线与 BD 交于点 E，试确定线段 AC 如图① 轴负半轴上一点， 如图 ， 的大小关系，并给予证明； 与 C E 的大小关系，并给予证明； 的条件下， 为第二象限内的任一点， （3）在(2)的条件下，如图②，若点 G 为第二象限内的任一点，连 EG，过 A 作 AF⊥FG 于 ） 的条件下 如图② ， ⊥ F,连 CF， 轴负半轴上运动时， 的度数是否发生变化？若不变， 请求其度数； 连 ， 当点 C 在 x 轴负半轴上运动时， CFE 的度数是否发生变化？若不变， ∠ 请求其度数； 若变化，说明理由。 若变化，说明理由。x AH G F G C O B y x AB C O E D求证：BC+DC=ACy①ED②19、如图，四边形 ABCD 中，AB=AD, ∠BAD=60°，∠BCD=120°. 、AB CDE20、如图所示，在△ABC 内部有一点 P，使得∠PAB=10°, ∠PBA=20°, ∠PAC=40°, ∠ 、如图所示， ，使得∠ ° ° ° PCA=30°，求证：△ABC 是等腰三角形。 是等腰三角形。 ° 求证：BP Q CA21、如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°,AD=AE,AF⊥BE 于点 F，过点 F 作 FG⊥CD 、如图所示，在等腰直角△ ° ⊥ ， ⊥ 交 BE 的延长线于点 G，求证：BG=AF+FG. ，求证：A D M Q B N F C E GP22、如图，△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC,点 D 是 BC 的一点 、如图， 的一点. ° 点 (1)DE⊥AD 且 DE=AD,连接 CE.求证：CE⊥AC. 求证： ⊥ ⊥ 连接 求证 (2)以 CD 为斜边在△ABC 外作等腰 Rt△CDM，N 是 BD 的中点，连接 MN,AN,试说明 MN 与 为斜边在△ 的中点， 以 △ ， 试说明 AN 之间的关系 之间的关系.A E B O D (1) CAO F B N (2)DH MC23、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°, ∠CAD=30°,AC=BC=AD. 、如图， ° ° 求证:CD=BD. 求证CF E D A B24、如图，△ABC 中，∠ACB=40°, ∠BAC=60°,P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分 、如图， ° ° 、 、 、 别是∠ 的平分线. 别是∠BAC、∠ABC 的平分线 、 求证： 求证：BQ+AQ=BP.A QC B PP'25、一块空地，如图 AC=BC，∠ACB=90°，∠DCE=45°AD=3m，BE=4m，在△ADC 、中种红花，△ DCE 中种紫花，△BCE 中种黄花，红花、紫花、黄花每平方米 要投入 8 元、10 元、12 元，问共需投入多少元？FDE=DF=526、在正△ABC 内有一点 P,PA=2，PB= 2 3 ,PC=4，求 CB 的长。 、在正△ 的长。 ， ，CM BP C的度数。 27、如图，P 在正方形 ABCD 内，PA=2，PB=1，PC= 6 ,求∠APB 的度数。 、如图， 求 ， ，ADP P' B C28、 1）如图（1） 在等边△ABC 的边 BC 上任意取一点 D，作∠ADE=60°,DE 交△ABC 的 、 ）如图（ ） 在等边△ （ ，在等边 ， ， ° 外角∠ 是什么三角形？证明你的结论。 外角∠ACM 的平分线于 E，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论。 ，那么△，当点 的延长线上时，如果其它条件不变，那么△ （2）如图（2） 当点 D 落在边 BC 的延长线上时，如果其它条件不变，那么△ADE 的形状 ）如图（ ） ， 改变吗？证明你的结论。 改变吗？证明你的结论。 ，当点 的延长线上时， 的外角∠ （3）如图（3） 当点 D 落在边 CB 的延长线上时，DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线的反 ）如图（ ） ， 的形状改变吗？证明你的结论。 向延长线于 E，其它条件不变，那么△ADE 的形状改变吗？证明你的结论。 ，其它条件不变，那么△A A F B C D (1) E B (2) C FEAD B D F (3) EC
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如图，AD=BF，DE∥FG∥BC，MN是△ABC的中位线．求证：DE+FG=2MN．
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证明：∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，AM=BM，∵DE∥FG∥BC，∴DE∥MN∥FG，∵AD=BF，∴AM-AD=BM-BF，即DM=MF，又∵DE∥MN∥FG，∴MN是梯形DFGE的中位线，∴DE+FG=2MN．
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扫描下载二维码如图，AD=BF,DE平行FG平行BC,MN是三角形ABC的中位线，求证：DE+FG=2MN_百度知道
如图，AD=BF,DE平行FG平行BC,MN是三角形ABC的中位线，求证：DE+FG=2MN
MN是三角形ABC的中位线，有AM=MB，AN=NC因为AD=BF,DE平行FG平行BC所以AE=CGEN=NG所以MN是梯形DEGF的中位线DE+FG=2MN
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在正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC中点,CE、DF相交于M,求证：AM=AD
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取CD中点为G,连结AG AF FG,AG交DF于H,∵△DMC为直角三角形,G为斜边中点,∴DG=FG∵AG⊥DF,GH=GH,DG=FG∴△DGH≌△MGH,∴DH=MH,又∵AG⊥DF∴AM=AD
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连接AM，取CD的中点G，然后连接AG交DF于N，然后证明DN=MN 角AND=角ANM=90度即可。证角AND=角ANM=90度，只需证明三角形DNG相似于三角形DCF即可，同理角CMF=90度；假设AB=BC=CD=AD=2，则，FM=根号5分之1，DN=根号5分之2，DF=根号5；则NM=DN=根号5分之2。于是AD=AM，证毕！...
取CD中点P，衔接AP交DF于M，轻易证实△ADP=△DCF=CBE，所以∠DAP=∠CDF，又∠CDF+∠ADF=90° ，所以∠DAP+∠ADF=90°， 所以AP⊥DF 同理可证CE⊥DF，所以AP‖CE 又DP=CP ，所以DQ=MQ ，所以AP为DM地垂直等分线，所以AM=AD
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