等价无穷小替换的条件如果一个分式 分子是两个和 可不可以拆成两个分式想加然后分开用等价无穷小替换的条件再求和？
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时间：2017-11-21 00:56
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关于等价无穷小量替换求极限的归类分析
５２数学教学研究第３３卷第３期，２０１４年３月关于等价无穷小量替换求极限的归类分析臧新建，董艳慧，范玉军（德州职业技术学院，山东德州２５３０００）摘要：在极限运算过程中，经常遇到“罟”待定型极限问题，而解决“罟”待定型极限问题，等价无穷小量替换是一种非常有效的工具，但是，如果使用不当．会造成错误结果，针对这个问题本文进行了归类分析，寻找出了解题规律．关键词：极限｝无穷小量；待定型 中图分类号：０１７２ｌ引言极限是数学分析的基础，极限运算是极 限一章的重要内容，在求解极限问题中，经常么ｎｍ舞钏ｍ船．?一ｃ。ｓ卫～专；２（３）当删ｌ肘，常见的等价无穷小有：ｚ二ｃ～ｓｉｎ二ｃ～ｔａｎ：ｃ～ａｒｃｓｉｎ遇到“＊”待定型极限问题，而解决“＊”待定型极限问题，等价无穷小量替换是一种非常 有效的工具，但是在什么情况下可以直接替 换，什么情况下不能直接替换，目前高等数学 教材中没有很明显的规律．本文主要针对这 个问题进行归类分析，以求寻找出解题规律． 为了下文叙述方便，首先做出有关假设 和列出同济大学等主编的《高等数学》教材中 的有关结论： （１）设在自变量同一变化过程中，函数ｙ ＝八ｚ），ｙ＝ｇ（ｚ），ｙ＝＾（ｚ）都是非零的无穷小量．～ａｒｃｔａｎ ｚ～ｌｎ（１＋ｚ）～ｒ一１；ｌｉｎｌ帮的极限问题此类极限问题，属于分子上有乘法因子（１＋ｚ）。一１～们（口≠０）．的“＊＂待定型极限问题，解决此类极限问题通常可以使用极限运算法则、函数的连续性 及洛必达法则进行求解，但是，当变量比较复 杂时，计算起来比较麻烦，丽使用等价无穷小 量替换求极限可以简化计算过程．为了使用 方便，给出下面的定理． 定理ｌ设在自变量同一变化过程中， ，＝，（ｚ），ｙ―ｇ（ｚ），ｙ＝＾（ｚ），ｙ＝厂（ｚ），ｙ＝ ９７（ｚ），ｙ＝，１７（ｚ）都是非零的无穷小量，且（２）（等价无穷小替换原理）在自变量同 一变化过程中，ｙ＝，（ｚ），ｙ＝ｇ（ｚ），ｙ＝／（ｚ），ｙ＝ｇ’（ｚ）都是无穷小量，且，（ｚ）～／（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），如果ｌｉｍ专罴存在，那收稿日期：２０１３－０７－０６，（ｚ）～厂（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），＾（ｚ）～＾’（ｚ），作者简介：臧新建（１９６５一），男，１９８８年毕业于聊城师范学院数学系，理学学士副教授，研究方向：基础数学；一直从事高等数学教学．Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｚ卿００６０９＠１２６．ｃｏｍ万方数据 第３３卷第３期２０１４年３月如果ｌｉｍ锴存在，则ｌｉｍ訾 ：ｌｉｍ△社．证明Ｉｉｍ学ｇ（ｚ）数学教学研究５３解使用等价无穷小替换原理求极限． 根据前面的常见的等价无穷小结果，当 ｒ＋０时，有ｓｉｎ ２ｚ～２ｚ，ｔ明５ｚ～５ｚ，于是ｌｉｍ粤挈：ｌｉｍ垒：善．ｆ－－０ｔａｎ ａ二Ｃ？－?０ ０．Ｚａ＝．ｉｍ（船?船?船 ?糌州ｚ，） ＝?ｉｍ（船?舄?磐 ?怒．＾，（ｚ）） ＝ｎｍ船“ｍ嬲“ｍ船●――，－――一●自ｌ＇．●ｌ２．２＾（ｚ）≠ｌ的极限问题 此类极限问题的求解，可以使用本文中 的定理１求解．在求解过程中，分式中的乘法 因子如果是无穷小量（不是无穷小量的不考 虑替换问题），可以部分替换，也可以全部替 换．｜『ｌ ７（ｚ）。“～，●――’―――一●＾Ｉ ｆｌｌｊＩｌ７（ｚ）“、４７，例２求姆譬未黜的极限．解根据前面常见的等价无穷小结果，ｓｉｎ当ｐＯ时，有２ｚ～２ｚ，ａｒｃｔ肌５ｚ～５ｚ， 于是．１ｉｍ畿夸“ｎ１７ｌｋ），因为，（ｚ）～／（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），＾（ｚ）～＾７（ｚ），所以，ｌｉｍ鱼蜂蜜鱼＝ｌｉｍｏ＋２）．１ｉｍ』坚些｝ ａ卫ｔ＋Ｏ ｔ－－Ｏｌｉｍ尚－１’ｌｉｍ格＿１’ ｌｉｍ怒＝ｌ，因此，ａｒＣｔａｎ＝ＩｉｍＱ＋２）?“ｍ笋；２．量：三一说明此定理结论可以推广到分子或分 母多项因式乘积的情况． 特殊地，当｜Ｉｌ（ｚ）＝１时，上式变为?ｉｍ絮笋＝ｎｍ锴．５５’注意在此题运算过程中，当ｚ―ｏ时， （ｚ＋２）一２，不是无穷小置，所以不考虑替换 问题． 可以看出，等价无穷小替换求极限可以 简化运算过程．ｌｉｍ轰舅一ｌｉｍ争器，此式为等价无穷小替换原理．例３求蛳鱼；专警的极限．解根据前面常见的等价无穷小结果，当ｒ＋ｏ时，有下面举例说明属于此类情况的“罟’’待定型极限求解问题． ２．１矗（ｘ）＝ｌ的极限问题 此类问题可以直接使用等价无穷小替换 原理求极限．≯一１～２ｚ，ｓｉｎ ｚ～ｚ，１一ｃｏｓ ｚ～去ｚ２，于是，例ｌ求蛳岩｝笔的极限．万方数据Ｉｉｍ譬ｌ粤些＝ｌｉｍ绎竺：４． 删 ｌ―ｃ０Ｓ 删ｌＺ９虿ｒ ５４数掌ｔ学研究第３３卷第３期２０１４年３月３Ｉｉｍ丘等丧笋越的极限问题此类极限问题，一般不可以直接使用等价无穷小替换求极限，但是当ｌｉｍ爱骞≠士１３．１圭№器， 又ｌｉｍ船＝ｌｉｍ勰≠１＇ｔ；ｍ髭离格乩ＩｉｉｌＩ捌≠士ｌ的极限问题此类极限问题，分式分子有加减项，但是ｌｉｍ最骞≠士１，这种类型极限问题，可以分用方便，给出下面的定理．定理２设在自变量同一变化过程中，３，一厂（ｚ），３，＝ｇ（ｚ），ｙ＝｜｝ｌ（ｚ），ｙ＝／（ｚ），ｙ＝ｇ’（ｚ），ｙ。ＪＩｌ７（ｚ）都是非零的无穷小量ｌ且，（ｚ）～／（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），ＪＩｌ（ｚ）～Ｉ｝１７（ｚ）．ｌｉｍ锴存棚ｏ ?；ｍ学钏ｍ锴；【ｉｍ鼍嵩卑存在，则ｇ＼ｚ）１）若ｌｉｍ爱骞≠１，如果?ｔｍ学＝ｎｍ锴． ｌｉｍ学存在测 ｔｉｍ学＝－ｉｍ锴． 例４求蛳亟琴群的极限．故ｐｏ、／１十∥一１，（ｚ）一＾（ｚ）～厂（ｚ）一＾７（ｚ）．２）同理可得，当ｌｉｍ最舅≠一１，如果解分子、分母同时使用等价无穷小量 替换求极限．因为工．－Ｏ姆鬟＝蛳蓦＝詈乱ｌｌｍ●―７了２ｌｌｍ ７１２７≠Ｌｔａｎ ｂ．Ｚ。，－?Ｏ ｂ．Ｚ。 ａ２）若ｌｉｍ爱骞≠一１，如果又根据前面的常见的等价无穷小结果，ｌｉｌＩｌ＆掣＝ｌｉｍ厶害喽盟．ｇ＼互）ｓｉｒＩ嵇～嵇，锄５≯～略，廊一１～专≯，证明１）因为，粤■万雹可．．ｓｉｎ３≯一ｔａｎ５２２＝ｎｍ端－ｉｍ笼譬耪万方数据２ｌｌｍ――百――一 枷上≯ ｏ“。．３２２―５２２ｏ：ｌｉｍ三缒：一４．州专Ｆ３．２钏ｍ脚ｍ黜ｌｉｍ最碧＝士ｉ的极限问题该类极限问题，不能直接使用等价无穷 第３３卷第３期２０１４年３月数学教学研究量替换求极限，将会出现错误的结果．下面举 例说明：例５在求“＊”待定型极限问题时，只使用等价无穷小置替换求极限ｔ可能也不方便，有时 需要洛必达法则和等价无穷小定理结合使 用，会更简便．求卿号轰罱的极限．分析此题如果直接使用等价无穷小替 换求极限，会产生错误的结果．即：当ｐｏ时，ｔａｎｊ例６求ｌ‘粤号三笋祟的极限． 删ｚ（ｒ一１）ｌｉｍ耳葛普＝ｌｉｍ￡≯． 粤飞而两２罂‘ｒ‘姆鬻２１．由泰勒公式知：ｔａｎｚ～ｚ。ｓｉｎ ｚ～ｚ，ｌｎ（１―卜ｚ３）～，，解当ｐｏ时，有，一１～≯，１一ｃｏｓ ｚ～去≯，显然此式不存在极限． 那么产生错误结果的原因是什么呢？ 原因是ｔａＪｌ ｚ与ｓｉｎ ｚ是等价无穷小，即ｌｉｍ羔掣＝ｌｉｍ互理学州ｚ（ｅ。一１）删ｚ‘ｚ。￡．．。粤―§：广２躲可２百。．．】一ｃｏｓ．ｚ２】总之，等价无穷小量替换求极限，是解决ｚ―ｓｉｎｚ２专ｚ３＋言一＋ｏ（矿）“＊’’待定型极限问题的一种非常有效的工具，在使用过程中应注意问题的条件，如果极＝去ｚ３＋ｏ（ｚ３）． 在替换过程中丢失了高阶无穷小，所以直接限问题属于分子或分母上是乘法因子的“＊静待定型问题，则可以直接使用等价无穷小量 替换求极限．如果极限问题中的分子或分母 有加减项时，应考虑使用条件，能用则用，不 能用可以通过恒等变形，将其分式中的加减 项进行转换，转换成因式相乘的形式，然后再 使用等价无穷小量替换求极限．参考文献替换相当于丢失了高阶无穷小去ｚ３＋ｏ（ｚ３），因此产生了错误． 类似这种类型的极限问题，正确的做法 应将其分式中的加减项进行转换，转换成因 式相乘的形式，然后再使用本文３．１中的定 理２求极限．解因为当ｐ０时，有ｓｉｎｚ～ｚ，１一ｃ０Ｓ ｚ～÷≯，［１］范玉军。高等数学（上册）［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１１．ｌｎ（１＋ｚ２）～ｚ３， 所以，［２］同济大学，天津大学，浙江大学。重庆大学。高 等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．罂１而丽．．ｔａｎ．ｚ―ｓｉｎ．ｚｚｌ一一ｌ ２姆］斋鬈产 删ｃｏｓ ｚ删 ＝螈击?蛳鼍器霸产ｓｉｎ ｓｌｎｚｆ＿Ｌ一１１Ｉ［２］盛祥耀．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育‘，＋出版社，２００４．［３］胡农．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６． （收稿日期：２０１３―１２一ｌＯ）ｍ【ｌ十∥Ｊ２卿丁２虿?，．Ｚ２ｚ’虿】万方数据
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25 分钟) ,...5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 x ...0 (1 ? cos x ) ln( 1 ? x ) 【分析】 ...模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 1、无穷小量 2、等价无穷小的定义 教学要求 函数与极限 极限的计算---无穷小等价替换 二级模块名称 模块编号 ...最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25 分钟) ,...n 5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 ...x 2 cos 0 【分析】 “ ”型,拆项。 0 1? ...常用等价无穷小等价替换_数学_自然科学_专业资料。1...an(ax+b)? (n+1) 4、 求极限常用:罗比达法则...2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《...? an (ax + b)?(n+1) a b 求极限常用:罗比达法则lim 数) = lim a′ b′ (a’、b’是 a、b 的导 无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用,...利用洛必达法则还有等价无穷小替换以 及泰勒公式等方法求极限,这些方法都有它的...数学中的分析学早期就叫无穷小分析,无穷 小量在当时是一个让人头疼的概念。 ...等价无穷小量替换定理_理学_高等教育_教育专区。等价...其实就是求这两个无穷小量比的极限,再根据定义判 ...2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《...与​等​价​无​穷​小​替​换​有​关​。本科...等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一。在数学分析和高等数学中...分析了等价无穷小 求极限的优势及常见错误. 关键词:等价无穷小;替换;极限 1 ...等价无穷小因子替换求极限,可以大大减少计算量,但利用等价无穷小 因子替换求极限...差函数的等价无穷小替换 这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧,基本上可以涵盖所有的求极限题目,因为,我们所 学的初等函数有五类,反三角函数,对数函数,幂函数,三角...
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eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E用到的定理\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E1.如果 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+x_0%7Df%28x%29\& alt=\&\\lim_{x \\to x_0}f(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 和 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+x_0%7Dg%28x%29\& alt=\&\\lim_{x \\to x_0}g(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 都存在，那么 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+x_0%7D%28f%28x%29g%28x%29%29%3D%28%5Clim+_%7Bx+%5Cto+x_0%7Df%28x%29%29%28%5Clim+_%7Bx+%5Cto+x_0%7Dg%28x%29%29\& alt=\&\\lim_{x \\to x_0}(f(x)g(x))=(\\lim _{x \\to x_0}f(x))(\\lim _{x \\to x_0}g(x))\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2.在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x+%5Cto+0\& alt=\&x \\to 0\& eeimg=\&1\&\u003E 时，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=ko%28x%5Em%29%5Csim+o%28x%5Em%29\& alt=\&ko(x^m)\\sim o(x^m)\& 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eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m+%5Cgeq+n\& alt=\&m \\geq n\& eeimg=\&1\&\u003E 时，有 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%5Em%29%2Bo%28x%5En%29%5Csim+o%28x%5En%29\& alt=\&o(x^m)+o(x^n)\\sim o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%5Em%2Bx%5En%29%5Csim+o%28x%5En%29\& alt=\&o(x^m+x^n)\\sim o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E3.Taylor公式： \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28x%29%5Csim+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%5Cfrac%7Bf%5E%7B%28k%29%7D%28x_0%29%7D%7Bk%21%7D%28x-x_0%29%5Ek%2Bo%28%28x-x_0%29%5En%29\& alt=\&f(x)\\sim \\sum_{k=0}^n \\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)\& eeimg=\&1\&\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EMaclaurin公式: \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28x%29%5Csim+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%5Cfrac%7Bf%5E%7B%28k%29%7D%280%29%7D%7Bk%21%7Dx%5Ek%2Bo%28x%5En%29\& alt=\&f(x)\\sim \\sum_{k=0}^n \\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E4.复合函数的等价无穷小\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E设 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=y%3Df%28x%29\& alt=\&y=f(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 满足 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%280%29\& alt=\&f(0)\& eeimg=\&1\&\u003E ,\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%280%29\& alt=\&f^{\\prime}(0)\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%28P%280%29%29\& alt=\&f^{\\prime}(P(0))\& eeimg=\&1\&\u003E 都存在且 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%280%29+%5Cneq+0\& alt=\&f^{\\prime}(0) \\neq 0\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29\& alt=\&P(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 是最高项次数为m的多项式，那么在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x+%5Cto+0\& alt=\&x \\to 0\& eeimg=\&1\&\u003E 时，有公式 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%5Csim+o%28f%28x%5Em%29-f%280%29%29\& alt=\&f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))\\sim o(f(x^m)-f(0))\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E证明：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%7D%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%7D%7B%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-P%28x%29%7D%5Cfrac%7Bo%28x%5Em%29%7D%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{f(x^m)-f(0)}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}\\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%7D%7B%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-P%28x%29%7D%3Df%5E%7B%5Cprime%7D%28P%280%29%29\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}=f^{\\prime}(P(0))\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28x%5Em%29%7D%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bo%28x%5Em%29%7D%7Bx%5Em%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D%7Bx%5Em%7D%7D%3D%5Cfrac%7B0%7D%7Bf%5E%7B%5Cprime%7D%280%29%7D%3D0\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{o(x^m)}{x^m}}{\\frac{f(x^m)-f(0)}{x^m}}=\\frac{0}{f^{\\prime}(0)}=0\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E故原命题成立\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E5.等价无穷小的复合函数\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E设 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29\& alt=\&P(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 是最高项次数为m，最低项次数为n的多项式，那么\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29%5Csim+o%28x%5En%29\& alt=\&o(P(x)+o(x^m))\\sim o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E证明：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29%7D%7Bx%5En%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bo%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29%7D%7BP%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7BP%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%7D%7D%3D0\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(P(x)+o(x^m))}{x^n}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{o(P(x)+o(x^m))}{P(x)+o(x^m)}}{\\frac{x^n}{P(x)+o(x^m)}}=0\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E6.带高阶无穷小的有理分式\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E设 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29\& alt=\&P(x)\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=Q%28x%29\& alt=\&Q(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 分别是最高项次数、最低项次数为 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m_1%2Cn_1\& alt=\&m_1,n_1\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m_2%2Cn_2\& alt=\&m_2,n_2\& eeimg=\&1\&\u003E 的多项式，即 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29%3D%5Csum+_%7Bk%3Dn_1%7D%5E%7Bm_1%7Da_kx%5Ek\& alt=\&P(x)=\\sum _{k=n_1}^{m_1}a_kx^k\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29%3D%5Csum+_%7Bk%3Dn_2%7D%5E%7Bm_2%7Db_kx%5Ek\& alt=\&P(x)=\\sum _{k=n_2}^{m_2}b_kx^k\& eeimg=\&1\&\u003E ，其中 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=a_%7Bn_1%7D%2Cb_%7Bn_2%7D%2Ca_%7Bm_1%7D%2Cb_%7Bm_2%7D+%5Cneq+0\& alt=\&a_{n_1},b_{n_2},a_{m_1},b_{m_2} \\neq 0\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%2Cn_2+%5Cgeq+1\& alt=\&n_1,n_2 \\geq 1\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E那么，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_1%7D%29%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_2%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D\& alt=\&\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)}{Q(x)}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E证明：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们仅讨论 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%3Dn_2\& alt=\&n_1=n_2\& eeimg=\&1\&\u003E 时的情形，当其不等时，证明类似并且结论平凡。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E由于 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_1%7D%29%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_2%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%7Bx%5En%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D\& alt=\&\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{n})}{Q(x)+o(x^{n})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{n})}{x^n}\\frac{x^n}{Q(x)+o(x^{n})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)}{Q(x)}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E正文\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E我们在计算极限的过程中，最常遇见的，便是 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D\& alt=\&\\frac{0}{0}\& eeimg=\&1\&\u003E 型的极限。常用的做法有，约分、等价无穷小代换、L'Hospital法则、Taylor展开。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E事实上，根据我们的第3条定理，等价无穷小代换和L'Hospital法则其实只是Taylor展开的低阶形式，所以，我认为在计算这种极限的时候，还是用Taylor展开比较具有普适性。\u003Cb\u003E所以我建议大家在计算极限的时候，总是带上高阶无穷小，而非愣头愣脑地直接用等价无穷小。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E计算 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D\& alt=\&\\frac{0}{0}\& eeimg=\&1\&\u003E 型极限的步骤，是运用上述定理1、2、3、4、5，将其化成有理分式带上高阶无穷小的形式，再用定理6化简，或者用约分等方法得出结论。\u003Cbr\u003E【例题】\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%5Csin+x%7D-1%7D%7B1-%5Ccos+x+%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x\\sin x}-1}{1-\\cos x }\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E解： \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%5Csin+x%7D-1%7D%7B1-%5Ccos+x+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5Csin+x%2Bo%28x%5Csin+x%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x\\sin x}-1}{1-\\cos x }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x\\sin x+o(x\\sin x)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%5Csin+x%29%5Csim+o%28x%5E2%2Bxo%28x%29%29%5Csim+o%28x%5E2%2Bo%28x%5E2%29%29%5Csim+o%28x%5E2%29\& alt=\&o(x\\sin x)\\sim o(x^2+xo(x))\\sim o(x^2+o(x^2))\\sim o(x^2)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E故原式= \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bxo%28x%29%2Bo%28x%5E2%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29%2Bo%28x%5E2%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2+%7D%3D1\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2+xo(x)+o(x^2)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2)+o(x^2)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2}{\\frac{1}{2}x^2 }=1\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B2%5E%7B%5Csin+x%7D-2%5Ex%7D%7Bx%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{2^{\\sin x}-2^x}{x}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E解： \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B2%5E%7B%5Csin+x%7D-2%5Ex%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B2%5E%7Bx%7D-2%5Ex%2Bo%282%5Ex-1%29%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28x%5Cln2%2Bo%28x%29%29%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28x%29%7D%7Bx%7D%3D0\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{2^{\\sin x}-2^x}{x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{2^{x}-2^x+o(2^x-1)}{x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(x\\ln2+o(x))}{x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(x)}{x}=0\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来我们对上述6个定理中的部分内容进行一定的阐释。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E首先，这其中的许多定理都是被限定在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x+%5Cto+0\& alt=\&x \\to 0\& eeimg=\&1\&\u003E 的情况下，这是由于Maclaurin公式的存在，导致我们讨论极限只需要这样。即使不能在x=0处展开，我们也可以利用 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=t%3Dx-x_0\& alt=\&t=x-x_0\& eeimg=\&1\&\u003E 来将极限化归为这种类型。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E其次，我们在多项式后的高阶无穷小总是与多项式次数相同。这也是Maclaurin公式决定的。对于不同的情况，我们要么把高阶无穷小利用定理2进行变化，要么就纯粹是高阶无穷小的题，而非一般函数的题，我们就不再讨论。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E还有就是，定理4和5其实是有关系的。对于复合函数来说，如果先对内函数用Taylor展开，那么就用定理4；如果先对外函数用Taylor展开，那么就用定理5.此外，还需声明的是，有时候用定理4或定理5之后得出的结论不一样，也就是先展开外函数和先展开内函数的结果所带的高阶无穷小不同。这个就看缘分吧。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以及，定理4中有一个条件， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%280%29%5Cneq+0\& alt=\&f^{\\prime}(0)\\neq 0\& eeimg=\&1\&\u003E 。这个条件我总觉得有些辣眼睛。我试着规避这个条件，但总是找不到合适的替代条件。事实上，如果 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%5Cprime+%280%29%3D0\& alt=\&f^\\prime (0)=0\& eeimg=\&1\&\u003E ，有反例 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28x%29%3Dx%5E2\& alt=\&f(x)=x^2\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=g%28x%29%3D%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D\& alt=\&g(x)=\\sqrt{1+x^2}\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m%3D1\& alt=\&m=1\& eeimg=\&1\&\u003E 。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对于定理6，事实上，它的公式我们不太需要记住。定理6的目的是告诉大家，只有 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%2Cn_2+%5Cgeq+1\& alt=\&n_1,n_2 \\geq 1\& eeimg=\&1\&\u003E 时才能出现有效的结果。在我们正规计算极限的过程中，实际上就是把定理6证了一遍。比如求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D-e%5Ex%7D%7B%5Csin+x%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-e^x}{\\sin x}\& eeimg=\&1\&\u003E ,正规过程即为 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D-e%5Ex%7D%7B%5Csin+x%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7B1%2Bx%7D-1%29-%28e%5Ex-1%29%7D%7Bx%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csin+x%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-e^x}{\\sin x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{(\\sqrt{1+x}-1)-(e^x-1)}{x}\\frac{x}{\\sin x}=-\\frac{1}{2}\& eeimg=\&1\&\u003E .\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E【下述重要】\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E此外，为什么等价无穷小只能用于乘除，而不能用于加减呢？事实上，这与我们定理6有关。\u003Cb\u003E在分式的分子或分母中，事实上是可以用等价无穷小的，但只有在不被抵消为0的情况下可以。\u003C\u002Fb\u003E比如说，如果分子或分母中是 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x-%5Csin+x\& alt=\&x-\\sin x\& eeimg=\&1\&\u003E ,那么只能通过等价无穷小代换至 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E3%2Bo%28x%5E3%29\& alt=\&\\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\& eeimg=\&1\&\u003E ,而不能代换成 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%29\& alt=\&o(x)\& eeimg=\&1\&\u003E ,因为此时高阶无穷小前多项式的最低次项的次数是0，不符合定理6中 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%2Cn_2+%5Cgeq+1\& alt=\&n_1,n_2 \\geq 1\& eeimg=\&1\&\u003E 的条件。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E【上述重要】\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E我们讲了这么多定理，事实上，大多数都不是在标准课本上的（事实上，有些定理网络上也没有。。。）。所以在正规考试中也不能用。\u003Cb\u003E我用这些定理的目的，是让大家理解为什么在某种情况下能用等价无穷小，但在某种情况下用等价无穷小就是错的。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来，我们看一些非 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D\& alt=\&\\frac{0}{0}\& eeimg=\&1\&\u003E 型的极限的求法：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=0%5Ccdot%5Cinfty%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cinfty%7D%29%7D\& alt=\&0\\cdot\\infty=\\frac{0}{(\\frac{1}{\\infty})}\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=1%5E%5Cinfty+%3De%5E%7B%5Cinfty+%5Cln+1%7D%3De%5E%7B0+%5Ccdot+%5Cinfty%7D\& alt=\&1^\\infty =e^{\\infty \\ln 1}=e^{0 \\cdot \\infty}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以及，一些灵活的技巧，如：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%2B%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%5Ex\& alt=\&\\lim_{x \\to \\infty}(\\sin \\frac{4}{x}+\\cos \\frac{2}{x})^x\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E原式= \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%28%281%2B%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%7D%29%5E%7Bx%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%7D%3De%5E%7B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%7Bx%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%7D%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to \\infty}((1+\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))^\\frac{1}{\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x})})^{x(\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))}=e^{\\lim_{x \\to \\infty}{x(\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))}}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%7Bx%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%7D%3D%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csin+%284t%29-%281-%5Ccos+%282t%29%29%7D%7Bt%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to \\infty}{x(\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))}=\\lim_{t \\to 0}\\frac{\\sin (4t)-(1-\\cos (2t))}{t}\& eeimg=\&1\&\u003E 就变成了正常的分式极限\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以上就是用等价无穷小求极限的我的一点思考。\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T01:17:05.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&anyone&,&commentCount&:11,&collapsedCount&:1,&likeCount&:21,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&lastestTipjarors&:[{&isFollowed&:false,&name&:&Tina&,&headline&:&Less is 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关于等价无穷小量替换求极限的归类分析
５２数学教学研究第３３卷第３期，２０１４年３月关于等价无穷小量替换求极限的归类分析臧新建，董艳慧，范玉军（德州职业技术学院，山东德州２５３０００）摘要：在极限运算过程中，经常遇到“罟”待定型极限问题，而解决“罟”待定型极限问题，等价无穷小量替换是一种非常有效的工具，但是，如果使用不当．会造成错误结果，针对这个问题本文进行了归类分析，寻找出了解题规律．关键词：极限｝无穷小量；待定型 中图分类号：０１７２ｌ引言极限是数学分析的基础，极限运算是极 限一章的重要内容，在求解极限问题中，经常么ｎｍ舞钏ｍ船．?一ｃ。ｓ卫～专；２（３）当删ｌ肘，常见的等价无穷小有：ｚ二ｃ～ｓｉｎ二ｃ～ｔａｎ：ｃ～ａｒｃｓｉｎ遇到“＊”待定型极限问题，而解决“＊”待定型极限问题，等价无穷小量替换是一种非常 有效的工具，但是在什么情况下可以直接替 换，什么情况下不能直接替换，目前高等数学 教材中没有很明显的规律．本文主要针对这 个问题进行归类分析，以求寻找出解题规律． 为了下文叙述方便，首先做出有关假设 和列出同济大学等主编的《高等数学》教材中 的有关结论： （１）设在自变量同一变化过程中，函数ｙ ＝八ｚ），ｙ＝ｇ（ｚ），ｙ＝＾（ｚ）都是非零的无穷小量．～ａｒｃｔａｎ ｚ～ｌｎ（１＋ｚ）～ｒ一１；ｌｉｎｌ帮的极限问题此类极限问题，属于分子上有乘法因子（１＋ｚ）。一１～们（口≠０）．的“＊＂待定型极限问题，解决此类极限问题通常可以使用极限运算法则、函数的连续性 及洛必达法则进行求解，但是，当变量比较复 杂时，计算起来比较麻烦，丽使用等价无穷小 量替换求极限可以简化计算过程．为了使用 方便，给出下面的定理． 定理ｌ设在自变量同一变化过程中， ，＝，（ｚ），ｙ―ｇ（ｚ），ｙ＝＾（ｚ），ｙ＝厂（ｚ），ｙ＝ ９７（ｚ），ｙ＝，１７（ｚ）都是非零的无穷小量，且（２）（等价无穷小替换原理）在自变量同 一变化过程中，ｙ＝，（ｚ），ｙ＝ｇ（ｚ），ｙ＝／（ｚ），ｙ＝ｇ’（ｚ）都是无穷小量，且，（ｚ）～／（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），如果ｌｉｍ专罴存在，那收稿日期：２０１３－０７－０６，（ｚ）～厂（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），＾（ｚ）～＾’（ｚ），作者简介：臧新建（１９６５一），男，１９８８年毕业于聊城师范学院数学系，理学学士副教授，研究方向：基础数学；一直从事高等数学教学．Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｚ卿００６０９＠１２６．ｃｏｍ万方数据 第３３卷第３期２０１４年３月如果ｌｉｍ锴存在，则ｌｉｍ訾 ：ｌｉｍ△社．证明Ｉｉｍ学ｇ（ｚ）数学教学研究５３解使用等价无穷小替换原理求极限． 根据前面的常见的等价无穷小结果，当 ｒ＋０时，有ｓｉｎ ２ｚ～２ｚ，ｔ明５ｚ～５ｚ，于是ｌｉｍ粤挈：ｌｉｍ垒：善．ｆ－－０ｔａｎ ａ二Ｃ？－?０ ０．Ｚａ＝．ｉｍ（船?船?船 ?糌州ｚ，） ＝?ｉｍ（船?舄?磐 ?怒．＾，（ｚ）） ＝ｎｍ船“ｍ嬲“ｍ船●――，－――一●自ｌ＇．●ｌ２．２＾（ｚ）≠ｌ的极限问题 此类极限问题的求解，可以使用本文中 的定理１求解．在求解过程中，分式中的乘法 因子如果是无穷小量（不是无穷小量的不考 虑替换问题），可以部分替换，也可以全部替 换．｜『ｌ ７（ｚ）。“～，●――’―――一●＾Ｉ ｆｌｌｊＩｌ７（ｚ）“、４７，例２求姆譬未黜的极限．解根据前面常见的等价无穷小结果，ｓｉｎ当ｐＯ时，有２ｚ～２ｚ，ａｒｃｔ肌５ｚ～５ｚ， 于是．１ｉｍ畿夸“ｎ１７ｌｋ），因为，（ｚ）～／（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），＾（ｚ）～＾７（ｚ），所以，ｌｉｍ鱼蜂蜜鱼＝ｌｉｍｏ＋２）．１ｉｍ』坚些｝ ａ卫ｔ＋Ｏ ｔ－－Ｏｌｉｍ尚－１’ｌｉｍ格＿１’ ｌｉｍ怒＝ｌ，因此，ａｒＣｔａｎ＝ＩｉｍＱ＋２）?“ｍ笋；２．量：三一说明此定理结论可以推广到分子或分 母多项因式乘积的情况． 特殊地，当｜Ｉｌ（ｚ）＝１时，上式变为?ｉｍ絮笋＝ｎｍ锴．５５’注意在此题运算过程中，当ｚ―ｏ时， （ｚ＋２）一２，不是无穷小置，所以不考虑替换 问题． 可以看出，等价无穷小替换求极限可以 简化运算过程．ｌｉｍ轰舅一ｌｉｍ争器，此式为等价无穷小替换原理．例３求蛳鱼；专警的极限．解根据前面常见的等价无穷小结果，当ｒ＋ｏ时，有下面举例说明属于此类情况的“罟’’待定型极限求解问题． ２．１矗（ｘ）＝ｌ的极限问题 此类问题可以直接使用等价无穷小替换 原理求极限．≯一１～２ｚ，ｓｉｎ ｚ～ｚ，１一ｃｏｓ ｚ～去ｚ２，于是，例ｌ求蛳岩｝笔的极限．万方数据Ｉｉｍ譬ｌ粤些＝ｌｉｍ绎竺：４． 删 ｌ―ｃ０Ｓ 删ｌＺ９虿ｒ ５４数掌ｔ学研究第３３卷第３期２０１４年３月３Ｉｉｍ丘等丧笋越的极限问题此类极限问题，一般不可以直接使用等价无穷小替换求极限，但是当ｌｉｍ爱骞≠士１３．１圭№器， 又ｌｉｍ船＝ｌｉｍ勰≠１＇ｔ；ｍ髭离格乩ＩｉｉｌＩ捌≠士ｌ的极限问题此类极限问题，分式分子有加减项，但是ｌｉｍ最骞≠士１，这种类型极限问题，可以分用方便，给出下面的定理．定理２设在自变量同一变化过程中，３，一厂（ｚ），３，＝ｇ（ｚ），ｙ＝｜｝ｌ（ｚ），ｙ＝／（ｚ），ｙ＝ｇ’（ｚ），ｙ。ＪＩｌ７（ｚ）都是非零的无穷小量ｌ且，（ｚ）～／（ｚ），ｇ（ｚ）～９７（ｚ），ＪＩｌ（ｚ）～Ｉ｝１７（ｚ）．ｌｉｍ锴存棚ｏ ?；ｍ学钏ｍ锴；【ｉｍ鼍嵩卑存在，则ｇ＼ｚ）１）若ｌｉｍ爱骞≠１，如果?ｔｍ学＝ｎｍ锴． ｌｉｍ学存在测 ｔｉｍ学＝－ｉｍ锴． 例４求蛳亟琴群的极限．故ｐｏ、／１十∥一１，（ｚ）一＾（ｚ）～厂（ｚ）一＾７（ｚ）．２）同理可得，当ｌｉｍ最舅≠一１，如果解分子、分母同时使用等价无穷小量 替换求极限．因为工．－Ｏ姆鬟＝蛳蓦＝詈乱ｌｌｍ●―７了２ｌｌｍ ７１２７≠Ｌｔａｎ ｂ．Ｚ。，－?Ｏ ｂ．Ｚ。 ａ２）若ｌｉｍ爱骞≠一１，如果又根据前面的常见的等价无穷小结果，ｌｉｌＩｌ＆掣＝ｌｉｍ厶害喽盟．ｇ＼互）ｓｉｒＩ嵇～嵇，锄５≯～略，廊一１～专≯，证明１）因为，粤■万雹可．．ｓｉｎ３≯一ｔａｎ５２２＝ｎｍ端－ｉｍ笼譬耪万方数据２ｌｌｍ――百――一 枷上≯ ｏ“。．３２２―５２２ｏ：ｌｉｍ三缒：一４．州专Ｆ３．２钏ｍ脚ｍ黜ｌｉｍ最碧＝士ｉ的极限问题该类极限问题，不能直接使用等价无穷 第３３卷第３期２０１４年３月数学教学研究量替换求极限，将会出现错误的结果．下面举 例说明：例５在求“＊”待定型极限问题时，只使用等价无穷小置替换求极限ｔ可能也不方便，有时 需要洛必达法则和等价无穷小定理结合使 用，会更简便．求卿号轰罱的极限．分析此题如果直接使用等价无穷小替 换求极限，会产生错误的结果．即：当ｐｏ时，ｔａｎｊ例６求ｌ‘粤号三笋祟的极限． 删ｚ（ｒ一１）ｌｉｍ耳葛普＝ｌｉｍ￡≯． 粤飞而两２罂‘ｒ‘姆鬻２１．由泰勒公式知：ｔａｎｚ～ｚ。ｓｉｎ ｚ～ｚ，ｌｎ（１―卜ｚ３）～，，解当ｐｏ时，有，一１～≯，１一ｃｏｓ ｚ～去≯，显然此式不存在极限． 那么产生错误结果的原因是什么呢？ 原因是ｔａＪｌ ｚ与ｓｉｎ ｚ是等价无穷小，即ｌｉｍ羔掣＝ｌｉｍ互理学州ｚ（ｅ。一１）删ｚ‘ｚ。￡．．。粤―§：广２躲可２百。．．】一ｃｏｓ．ｚ２】总之，等价无穷小量替换求极限，是解决ｚ―ｓｉｎｚ２专ｚ３＋言一＋ｏ（矿）“＊’’待定型极限问题的一种非常有效的工具，在使用过程中应注意问题的条件，如果极＝去ｚ３＋ｏ（ｚ３）． 在替换过程中丢失了高阶无穷小，所以直接限问题属于分子或分母上是乘法因子的“＊静待定型问题，则可以直接使用等价无穷小量 替换求极限．如果极限问题中的分子或分母 有加减项时，应考虑使用条件，能用则用，不 能用可以通过恒等变形，将其分式中的加减 项进行转换，转换成因式相乘的形式，然后再 使用等价无穷小量替换求极限．参考文献替换相当于丢失了高阶无穷小去ｚ３＋ｏ（ｚ３），因此产生了错误． 类似这种类型的极限问题，正确的做法 应将其分式中的加减项进行转换，转换成因 式相乘的形式，然后再使用本文３．１中的定 理２求极限．解因为当ｐ０时，有ｓｉｎｚ～ｚ，１一ｃ０Ｓ ｚ～÷≯，［１］范玉军。高等数学（上册）［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１１．ｌｎ（１＋ｚ２）～ｚ３， 所以，［２］同济大学，天津大学，浙江大学。重庆大学。高 等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．罂１而丽．．ｔａｎ．ｚ―ｓｉｎ．ｚｚｌ一一ｌ ２姆］斋鬈产 删ｃｏｓ ｚ删 ＝螈击?蛳鼍器霸产ｓｉｎ ｓｌｎｚｆ＿Ｌ一１１Ｉ［２］盛祥耀．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育‘，＋出版社，２００４．［３］胡农．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６． （收稿日期：２０１３―１２一ｌＯ）ｍ【ｌ十∥Ｊ２卿丁２虿?，．Ｚ２ｚ’虿】万方数据
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25 分钟) ,...5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 x ...0 (1 ? cos x ) ln( 1 ? x ) 【分析】 ...模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 1、无穷小量 2、等价无穷小的定义 教学要求 函数与极限 极限的计算---无穷小等价替换 二级模块名称 模块编号 ...最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25 分钟) ,...n 5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 ...x 2 cos 0 【分析】 “ ”型,拆项。 0 1? ...常用等价无穷小等价替换_数学_自然科学_专业资料。1...an(ax+b)? (n+1) 4、 求极限常用:罗比达法则...2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《...? an (ax + b)?(n+1) a b 求极限常用:罗比达法则lim 数) = lim a′ b′ (a’、b’是 a、b 的导 无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用,...利用洛必达法则还有等价无穷小替换以 及泰勒公式等方法求极限,这些方法都有它的...数学中的分析学早期就叫无穷小分析,无穷 小量在当时是一个让人头疼的概念。 ...等价无穷小量替换定理_理学_高等教育_教育专区。等价...其实就是求这两个无穷小量比的极限,再根据定义判 ...2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《...与​等​价​无​穷​小​替​换​有​关​。本科...等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一。在数学分析和高等数学中...分析了等价无穷小 求极限的优势及常见错误. 关键词:等价无穷小;替换;极限 1 ...等价无穷小因子替换求极限,可以大大减少计算量,但利用等价无穷小 因子替换求极限...差函数的等价无穷小替换 这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧,基本上可以涵盖所有的求极限题目,因为,我们所 学的初等函数有五类,反三角函数,对数函数,幂函数,三角...
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eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E用到的定理\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E1.如果 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+x_0%7Df%28x%29\& alt=\&\\lim_{x \\to x_0}f(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 和 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+x_0%7Dg%28x%29\& alt=\&\\lim_{x \\to x_0}g(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 都存在，那么 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+x_0%7D%28f%28x%29g%28x%29%29%3D%28%5Clim+_%7Bx+%5Cto+x_0%7Df%28x%29%29%28%5Clim+_%7Bx+%5Cto+x_0%7Dg%28x%29%29\& alt=\&\\lim_{x \\to x_0}(f(x)g(x))=(\\lim _{x \\to x_0}f(x))(\\lim _{x \\to x_0}g(x))\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2.在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x+%5Cto+0\& alt=\&x \\to 0\& eeimg=\&1\&\u003E 时，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=ko%28x%5Em%29%5Csim+o%28x%5Em%29\& alt=\&ko(x^m)\\sim o(x^m)\& 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eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m+%5Cgeq+n\& alt=\&m \\geq n\& eeimg=\&1\&\u003E 时，有 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%5Em%29%2Bo%28x%5En%29%5Csim+o%28x%5En%29\& alt=\&o(x^m)+o(x^n)\\sim o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%5Em%2Bx%5En%29%5Csim+o%28x%5En%29\& alt=\&o(x^m+x^n)\\sim o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E3.Taylor公式： \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28x%29%5Csim+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%5Cfrac%7Bf%5E%7B%28k%29%7D%28x_0%29%7D%7Bk%21%7D%28x-x_0%29%5Ek%2Bo%28%28x-x_0%29%5En%29\& alt=\&f(x)\\sim \\sum_{k=0}^n \\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)\& eeimg=\&1\&\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EMaclaurin公式: \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28x%29%5Csim+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%5Cfrac%7Bf%5E%7B%28k%29%7D%280%29%7D%7Bk%21%7Dx%5Ek%2Bo%28x%5En%29\& alt=\&f(x)\\sim \\sum_{k=0}^n \\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E4.复合函数的等价无穷小\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E设 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=y%3Df%28x%29\& alt=\&y=f(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 满足 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%280%29\& alt=\&f(0)\& eeimg=\&1\&\u003E ,\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%280%29\& alt=\&f^{\\prime}(0)\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%28P%280%29%29\& alt=\&f^{\\prime}(P(0))\& eeimg=\&1\&\u003E 都存在且 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%280%29+%5Cneq+0\& alt=\&f^{\\prime}(0) \\neq 0\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29\& alt=\&P(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 是最高项次数为m的多项式，那么在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x+%5Cto+0\& alt=\&x \\to 0\& eeimg=\&1\&\u003E 时，有公式 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%5Csim+o%28f%28x%5Em%29-f%280%29%29\& alt=\&f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))\\sim o(f(x^m)-f(0))\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E证明：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%7D%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%7D%7B%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-P%28x%29%7D%5Cfrac%7Bo%28x%5Em%29%7D%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{f(x^m)-f(0)}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}\\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-f%28P%28x%29%29%7D%7B%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29-P%28x%29%7D%3Df%5E%7B%5Cprime%7D%28P%280%29%29\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}=f^{\\prime}(P(0))\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28x%5Em%29%7D%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bo%28x%5Em%29%7D%7Bx%5Em%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bf%28x%5Em%29-f%280%29%7D%7Bx%5Em%7D%7D%3D%5Cfrac%7B0%7D%7Bf%5E%7B%5Cprime%7D%280%29%7D%3D0\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{o(x^m)}{x^m}}{\\frac{f(x^m)-f(0)}{x^m}}=\\frac{0}{f^{\\prime}(0)}=0\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E故原命题成立\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E5.等价无穷小的复合函数\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E设 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29\& alt=\&P(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 是最高项次数为m，最低项次数为n的多项式，那么\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29%5Csim+o%28x%5En%29\& alt=\&o(P(x)+o(x^m))\\sim o(x^n)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E证明：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29%7D%7Bx%5En%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bo%28P%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%29%7D%7BP%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7BP%28x%29%2Bo%28x%5Em%29%7D%7D%3D0\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(P(x)+o(x^m))}{x^n}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{o(P(x)+o(x^m))}{P(x)+o(x^m)}}{\\frac{x^n}{P(x)+o(x^m)}}=0\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E6.带高阶无穷小的有理分式\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E设 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29\& alt=\&P(x)\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=Q%28x%29\& alt=\&Q(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 分别是最高项次数、最低项次数为 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m_1%2Cn_1\& alt=\&m_1,n_1\& eeimg=\&1\&\u003E ， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m_2%2Cn_2\& alt=\&m_2,n_2\& eeimg=\&1\&\u003E 的多项式，即 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29%3D%5Csum+_%7Bk%3Dn_1%7D%5E%7Bm_1%7Da_kx%5Ek\& alt=\&P(x)=\\sum _{k=n_1}^{m_1}a_kx^k\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=P%28x%29%3D%5Csum+_%7Bk%3Dn_2%7D%5E%7Bm_2%7Db_kx%5Ek\& alt=\&P(x)=\\sum _{k=n_2}^{m_2}b_kx^k\& eeimg=\&1\&\u003E ，其中 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=a_%7Bn_1%7D%2Cb_%7Bn_2%7D%2Ca_%7Bm_1%7D%2Cb_%7Bm_2%7D+%5Cneq+0\& alt=\&a_{n_1},b_{n_2},a_{m_1},b_{m_2} \\neq 0\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%2Cn_2+%5Cgeq+1\& alt=\&n_1,n_2 \\geq 1\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E那么，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_1%7D%29%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_2%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D\& alt=\&\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)}{Q(x)}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E证明：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们仅讨论 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%3Dn_2\& alt=\&n_1=n_2\& eeimg=\&1\&\u003E 时的情形，当其不等时，证明类似并且结论平凡。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E由于 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_1%7D%29%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bm_2%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%7Bx%5En%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7BQ%28x%29%2Bo%28x%5E%7Bn%7D%29%7D%3D%5Clim+_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D\& alt=\&\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{n})}{Q(x)+o(x^{n})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)+o(x^{n})}{x^n}\\frac{x^n}{Q(x)+o(x^{n})}=\\lim _{x \\to 0}\\frac{P(x)}{Q(x)}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E正文\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E我们在计算极限的过程中，最常遇见的，便是 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D\& alt=\&\\frac{0}{0}\& eeimg=\&1\&\u003E 型的极限。常用的做法有，约分、等价无穷小代换、L'Hospital法则、Taylor展开。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E事实上，根据我们的第3条定理，等价无穷小代换和L'Hospital法则其实只是Taylor展开的低阶形式，所以，我认为在计算这种极限的时候，还是用Taylor展开比较具有普适性。\u003Cb\u003E所以我建议大家在计算极限的时候，总是带上高阶无穷小，而非愣头愣脑地直接用等价无穷小。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E计算 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D\& alt=\&\\frac{0}{0}\& eeimg=\&1\&\u003E 型极限的步骤，是运用上述定理1、2、3、4、5，将其化成有理分式带上高阶无穷小的形式，再用定理6化简，或者用约分等方法得出结论。\u003Cbr\u003E【例题】\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%5Csin+x%7D-1%7D%7B1-%5Ccos+x+%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x\\sin x}-1}{1-\\cos x }\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E解： \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%5Csin+x%7D-1%7D%7B1-%5Ccos+x+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5Csin+x%2Bo%28x%5Csin+x%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x\\sin x}-1}{1-\\cos x }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x\\sin x+o(x\\sin x)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%5Csin+x%29%5Csim+o%28x%5E2%2Bxo%28x%29%29%5Csim+o%28x%5E2%2Bo%28x%5E2%29%29%5Csim+o%28x%5E2%29\& alt=\&o(x\\sin x)\\sim o(x^2+xo(x))\\sim o(x^2+o(x^2))\\sim o(x^2)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E故原式= \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bxo%28x%29%2Bo%28x%5E2%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29%2Bo%28x%5E2%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2+%7D%3D1\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2+xo(x)+o(x^2)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2)+o(x^2)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{\\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\frac{1}{2}x^2}{\\frac{1}{2}x^2 }=1\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B2%5E%7B%5Csin+x%7D-2%5Ex%7D%7Bx%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{2^{\\sin x}-2^x}{x}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E解： \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B2%5E%7B%5Csin+x%7D-2%5Ex%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B2%5E%7Bx%7D-2%5Ex%2Bo%282%5Ex-1%29%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28x%5Cln2%2Bo%28x%29%29%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bo%28x%29%7D%7Bx%7D%3D0\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{2^{\\sin x}-2^x}{x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{2^{x}-2^x+o(2^x-1)}{x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(x\\ln2+o(x))}{x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{o(x)}{x}=0\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来我们对上述6个定理中的部分内容进行一定的阐释。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E首先，这其中的许多定理都是被限定在 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x+%5Cto+0\& alt=\&x \\to 0\& eeimg=\&1\&\u003E 的情况下，这是由于Maclaurin公式的存在，导致我们讨论极限只需要这样。即使不能在x=0处展开，我们也可以利用 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=t%3Dx-x_0\& alt=\&t=x-x_0\& eeimg=\&1\&\u003E 来将极限化归为这种类型。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E其次，我们在多项式后的高阶无穷小总是与多项式次数相同。这也是Maclaurin公式决定的。对于不同的情况，我们要么把高阶无穷小利用定理2进行变化，要么就纯粹是高阶无穷小的题，而非一般函数的题，我们就不再讨论。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E还有就是，定理4和5其实是有关系的。对于复合函数来说，如果先对内函数用Taylor展开，那么就用定理4；如果先对外函数用Taylor展开，那么就用定理5.此外，还需声明的是，有时候用定理4或定理5之后得出的结论不一样，也就是先展开外函数和先展开内函数的结果所带的高阶无穷小不同。这个就看缘分吧。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以及，定理4中有一个条件， \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D%280%29%5Cneq+0\& alt=\&f^{\\prime}(0)\\neq 0\& eeimg=\&1\&\u003E 。这个条件我总觉得有些辣眼睛。我试着规避这个条件，但总是找不到合适的替代条件。事实上，如果 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%5E%5Cprime+%280%29%3D0\& alt=\&f^\\prime (0)=0\& eeimg=\&1\&\u003E ，有反例 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=f%28x%29%3Dx%5E2\& alt=\&f(x)=x^2\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=g%28x%29%3D%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D\& alt=\&g(x)=\\sqrt{1+x^2}\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=m%3D1\& alt=\&m=1\& eeimg=\&1\&\u003E 。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对于定理6，事实上，它的公式我们不太需要记住。定理6的目的是告诉大家，只有 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%2Cn_2+%5Cgeq+1\& alt=\&n_1,n_2 \\geq 1\& eeimg=\&1\&\u003E 时才能出现有效的结果。在我们正规计算极限的过程中，实际上就是把定理6证了一遍。比如求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D-e%5Ex%7D%7B%5Csin+x%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-e^x}{\\sin x}\& eeimg=\&1\&\u003E ,正规过程即为 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D-e%5Ex%7D%7B%5Csin+x%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7B1%2Bx%7D-1%29-%28e%5Ex-1%29%7D%7Bx%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csin+x%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-e^x}{\\sin x}=\\lim_{x \\to 0}\\frac{(\\sqrt{1+x}-1)-(e^x-1)}{x}\\frac{x}{\\sin x}=-\\frac{1}{2}\& eeimg=\&1\&\u003E .\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E【下述重要】\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E此外，为什么等价无穷小只能用于乘除，而不能用于加减呢？事实上，这与我们定理6有关。\u003Cb\u003E在分式的分子或分母中，事实上是可以用等价无穷小的，但只有在不被抵消为0的情况下可以。\u003C\u002Fb\u003E比如说，如果分子或分母中是 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=x-%5Csin+x\& alt=\&x-\\sin x\& eeimg=\&1\&\u003E ,那么只能通过等价无穷小代换至 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E3%2Bo%28x%5E3%29\& alt=\&\\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\& eeimg=\&1\&\u003E ,而不能代换成 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=o%28x%29\& alt=\&o(x)\& eeimg=\&1\&\u003E ,因为此时高阶无穷小前多项式的最低次项的次数是0，不符合定理6中 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=n_1%2Cn_2+%5Cgeq+1\& alt=\&n_1,n_2 \\geq 1\& eeimg=\&1\&\u003E 的条件。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E【上述重要】\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E我们讲了这么多定理，事实上，大多数都不是在标准课本上的（事实上，有些定理网络上也没有。。。）。所以在正规考试中也不能用。\u003Cb\u003E我用这些定理的目的，是让大家理解为什么在某种情况下能用等价无穷小，但在某种情况下用等价无穷小就是错的。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来，我们看一些非 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D\& alt=\&\\frac{0}{0}\& eeimg=\&1\&\u003E 型的极限的求法：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=0%5Ccdot%5Cinfty%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cinfty%7D%29%7D\& alt=\&0\\cdot\\infty=\\frac{0}{(\\frac{1}{\\infty})}\& eeimg=\&1\&\u003E , \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=1%5E%5Cinfty+%3De%5E%7B%5Cinfty+%5Cln+1%7D%3De%5E%7B0+%5Ccdot+%5Cinfty%7D\& alt=\&1^\\infty =e^{\\infty \\ln 1}=e^{0 \\cdot \\infty}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以及，一些灵活的技巧，如：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E求 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%2B%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%5Ex\& alt=\&\\lim_{x \\to \\infty}(\\sin \\frac{4}{x}+\\cos \\frac{2}{x})^x\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E原式= \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%28%281%2B%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%7D%29%5E%7Bx%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%7D%3De%5E%7B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%7Bx%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%7D%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to \\infty}((1+\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))^\\frac{1}{\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x})})^{x(\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))}=e^{\\lim_{x \\to \\infty}{x(\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))}}\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而 \u003Cimg src=\&http:\u002F\\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D%7Bx%28%5Csin+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-%281-%5Ccos+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%29%29%7D%3D%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csin+%284t%29-%281-%5Ccos+%282t%29%29%7D%7Bt%7D\& alt=\&\\lim_{x \\to \\infty}{x(\\sin \\frac{4}{x}-(1-\\cos \\frac{2}{x}))}=\\lim_{t \\to 0}\\frac{\\sin (4t)-(1-\\cos (2t))}{t}\& eeimg=\&1\&\u003E 就变成了正常的分式极限\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以上就是用等价无穷小求极限的我的一点思考。\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T01:17:05.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&anyone&,&commentCount&:11,&collapsedCount&:1,&likeCount&:21,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&lastestTipjarors&:[{&isFollowed&:false,&name&:&Tina&,&headline&:&Less is 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