2009年高考数学难点突破专题辅导十三难点13 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数.是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲.数列的问题.最——精英家教网——
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2009年高考数学难点突破专题辅导十三难点13& 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.●难点磁场(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列{an}的前3项.(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)(3)令bn=(n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n).●案例探究［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有=an+1成立，求.命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣.解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b?qn－1=4?(－2)n－1(2)令=dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),∴dn=an+1－an=2,∴=2,即cn=2?bn=8?(－2)n－1；∴Sn=［1－(－2)n］.∴［例2］设An为数列{an}的前n项和，An= (an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式；(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br－Dn，求.命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解.解：(1)由An=(an－1)，可知An+1=(an+1－1)，∴an+1－an= (an+1－an)，即=3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.(2)∵32n+1=3?32n=3?(4－1)2n=3?［42n+C?42n－1(－1)+…+C?4?(－1)+(－1)2n］=4n+3，∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4－1)2n=42n+C?42n－1?(－1)+…+C?4?(－1)+(－1)2n=(4k+1)，∴32n{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4?r+3，可知r=，∴Br=，●锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an=3.求通项常用方法①作新数列法.作等差数列与等比数列.②累差叠加法.最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1.③归纳、猜想法.4.数列前n项和常用求法①重要公式1+2+…+n=n(n+1)12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：④错项相消法⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.●歼灭难点训练一、填空题1.(★★★★★)设zn=()n，(n∈N*)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，则Sn=_________.
2.(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.
二、解答题3.(★★★★)数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an?an+1－
nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.
4.(★★★★)数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
5.(★★★★★)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1.(1)求证：{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足：b1=a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).试问当m为何值时，成立？
6.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn；
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.
7.(★★★★★)设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.
难点磁场解析：(1)由题意，当n=1时，有，S1=a1，∴，解得a1=2.当n=2时，有，S2=a1+a2，将a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6.当n=3时，有，S3=a1+a2+a3，将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10.故该数列的前3项为2，6，10.(2）解法一：由(1）猜想数列{an}.有通项公式an=4n－2.下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是an=4n－2，(n∈N*）.①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立.②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k－2.代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1，将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，即当n=k+1时，上述结论成立.根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N*成立.解法二：由题意知，(n∈N*).整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn=［(an+1+2)2－(an+2)2］.整理得(an+1+an）(an+1－an－4)=0，由题意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，即数列{an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4.∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为an=4n－2.解法三：由已知得,(n∈N*)①，所以有②，由②式得，整理得Sn+1－2?+2－Sn=0，解得，由于数列{an}为正项数列，而，因而，即{Sn}是以为首项，以为公差的等差数列.所以= +(n－1) =n,Sn=2n2，故an=即an=4n－2(n∈N*).(3)令cn=bn－1，则cn=歼灭难点训练一、答案：1+2.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an=，正三角形的内切圆构成等比数列{rn}，可得rn=a,?∴这些圆的周长之和c=2π(r1+r2+…+rn)= a2，面积之和S=π(n2+r22+…+rn2)=a2答案：周长之和πa，面积之和a2二、3.解：(1）可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n－1.(3)Tn－Sn=2n－n2－1，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2＜S2；n=3时，T3＜S3;n=4时，T4＜S4；n=5时，T5＞S5；n=6时T6＞S6.猜想当n≥5时，Tn＞Sn，即2n＞n2+1可用数学归纳法证明(略）.4.解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，?d==－2,∴an=10－2n.(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn＞总成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1?①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－man+1，即(m+1)an+1=man对任意正整数n都成立.∵m为常数，且m＜－1∴，即{}为等比数列.(2)当n=1时，a1=m+1－ma1，∴a1=1，从而b1=.由(1)知q=f(m)=，∴bn=f(bn－1)= (n∈N*,且n≥2)∴，即，∴{}为等差数列.∴=3+(n－1)=n+2，(n∈N*).6.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得：解得b1=1,d=3,∴bn=3n－2.(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…(1+)］，logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小，取n=1时，有(1+1)＞取n=2时，有(1+1)(1+)＞…&由此推测(1+1)(1+)…(1+)＞&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a＞1时，Sn＞logabn+1，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ③下面用数学归纳法证明①式.(?)当n=1时，已验证①式成立.(?)假设当n=k时(k≥1），①式成立，即：.那么当n=k+1时，这就是说①式当n=k+1时也成立.由(?）(?）可知①式对任何正整数n都成立.由此证得：当a＞1时，Sn＞logabn+1；当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1?.7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.∴a2=.又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.∴,n=2,3,4…,所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列；(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn－1?.可见{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列.于是bn=1+(n－1)=;(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1?=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)=－ (b2+b4+…+b2n)=－?n(+)=－
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& 高三数学教学研究：“数列的基本问题”
高三数学教学研究：“数列的基本问题”
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资料概述与简介
高中数学“数列的基本问题”教学研究
一、对“数列的基本问题”中数学知识的深层次理解
（一）数列内容的知识结构
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．研究等差数列和等比数列这两种特殊数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．
（二） 深入理解数列内容在知识体系中的地位及相互联系
数列是函数学习的继续；
数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型；
数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位 ；
归纳和类比是两种用途最广的合情推理 . 也是数列教学和学习中最重要的方
（三）数列教学内容的重点、难点
等差数列与等比数列的通项公式与前 项和公式的探求，在实际问题的情境中抽象出等差数列或等比数列模型，数列递推关系的建立及其应用是这部分内容的重点和难点．
二、“ 数列的基本问题 ” 的教与学的策略
（一） 学生在学习数列概念时的障碍及对策
数列概念是学习数列的起始课，在学习中学生会遇到如下障碍：
1．对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊．
2．对数列与函数的关系认识不清．
3．对数列的表示，特别是通项公式 感到困惑．对数列的通项公式可以不只一个觉得不可思议．
4．由数列的前几项写不出数列的通项公式．
教学策略：
1．为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子等。
2．数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。
数列的概念
定义：像这样按照一定次序排列起来的一列数称为数列 .
从三个层次来理解“次序”
（ 1 ）语言描述
把位置编上号码，这些号码是所有的非零自然数按从小到大顺序排列，每一个有序号的位置都有一个确定的值，由所有这样的数值组成一个数列；
数列的一般形式可以写成 a1 ， a2 ， a3 ， … ， an ， … ，
这种有序性是对数列本质的刻画
（ 2 ）映射角度
“次序”用数学语言来表示，就是一种特殊的对应，即映射：
（ 3 ）函数角度
数列可以看成以正整数集 N * （或它的有限子集 {1 ， 2 ， … ， n} ）为定义域的函数 an= f ( n ) ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
数列——初等函数
对于任意的函数 y = f ( x ) （ x ≥0 ） ，我们可以得到一个数列
3．由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，对程度差的学生，可多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．
归纳数列的通项
教学的目的：归纳法的运用，数列概念的理解。
教学中，分几个层次：
可以先给一些特殊的数列：
再给和特殊数列有关的数列：
4．由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征，让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。最后老师可以和学生共同归纳一些规律性的结论：
（ 1 ）并非所有数列都能写出它的通项公式，如： 0 ， -1 ， 3 ， 7 ， 11 …；
（ 2 ）有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的，如：数列 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， 1 ， -1 ，…的通项可写成
（ 3 ）当一个数列出现“ + ”、“ - ”相间时，应先把符号分离出来，用 等来控制，然后再寻找数量间关系；
（ 4 ）有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示；
（ 5 ） 熟悉常见数列的通项：
例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列
2 ， 4 ， 6 ， … ， 2 n ， … ，
这个数列还可以用列表和图象分别表示为
总之：数列概念的要求比过去高，用图形的变化描述数列，把图形的几何结构量化。
（二）用函数的观点进行等差数列的教学
关于等差数列定义的教学
给出一些等差数列的例子，让学生从项与项关系的角度去观察、归纳、概括得等差数列的定义 .
在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！
研究数列的一个很重要的方法是：从整体上看数列，研究数列中的项与项之间的关系
引入：（ 2004 北京卷）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 . 已知数列 是等和数列，且a1=2，公和为 5 ，那么 a18的值为
从定义的数学表达式：
得： 表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和 , 因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示 .
2．等差数列通项与一次函数
得到结论： 是等差数列
这样，由于公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数 n 的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列
例如， 理解为什么.
根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列
由，它的含义是什么呢？（可以适当拓展到直线斜率的计算方法）
3．等差数列的性质
表面看是两项之和相等，从对应的项数之间又是一种什么关系呢？
由此归纳得出：
使用等差数列的性质 时要注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不成立。
等差中项的定义是针对三个数的，即如果 x， A， y组成等差数列，则 A叫做 x， y的等差中项 .
从等差数列的整体看： a1 ， a2 ， a3 ， … ， an ， … ，
从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 .
推广：从第二项起，每一项都是到它距离相等的两项的等差中项，
即与数列中的任一项“等距离”的两项之和等于该项的 2 倍 .
这个性质体现的是数列的对称性，这种对称性是由项数之间的关系决定的 .
（三）把握等差数列的前 n项和公式的教学实质
1 ．等差数列的前 n项和公式的教学实质
有些教师在教学中利用“梯形钢管堆的计数”“梯形面积公式”等模型来体现数形结合，认为“倒序求和”是等差数列前 项和公式这一内容蕴含的思想方法。因此，把基础定位在要让学生掌握求和公式及其变式，学会“倒序求和”的思想方法。
其实，“倒序求和”只是为避免对项数 n进行奇偶讨论而引入的一个技巧，并不是什么思想方法。
基础性表现在几个层次：
用等差数列的“基本量”；
用等差数列的性质“等差数列”，将不同数求和化归为相同数求和，从数量关系上看是利用了“平均数”概念；
更进一步地，为了体现从概念出发思考和解决问题的思想，利用等差数列的概念和通项公式，所以实质就是求 。
教学设计：
引入高斯故事，归纳方法本质
从“高斯的故事”引入；归纳“高斯方法”的本质，即实质是利用，将不同数化为相同数求和；
探究求值方法，引出分类讨论
用这一方法求的值，引出需要分 n为奇数、偶数讨论的问题，并
求出和；过渡到利用求等差数列前 n项和公式。
归纳思想方法，提升解题技巧
聚焦基本概念和基本原理，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，从中领悟“化归”的思想方法的思路。
教学中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在讨论 n的奇偶性而得出求和公式后，再让学生思考“能否想个办法避免讨论”，把公式 变形为 ，再联系性质得到。
应把等差数列前 项和这节课看成是等差数列概念、性质的应用课。这一节课的教学，重要的是培养学生从基本概念、基本原理出发思考问题的习惯。具体教学时应明确任务（即用基本量）的基础上，引导学生从基本性质、通项公式入手，寻找化归的方法，在不断“求简”中得到“倒序求和”。
2. 公式的推导
3 ．从函数的观点来认识 Sn
首项为 a1、公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为：
即当 时， Sn是 n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的问题如可以根据二次函数的图象了解 Sn的增减变化、极值等情况
4 ．通过 Sn的有关问题进一步认识等差数列的结构特征
本题给出了等差数列前 6 项的和，应该关注最后六项的和，利用等差数列的性质和前 n项和公式解决问题。要求学生对等差数列前 n项和概念要有深刻理解。
例 2 等差数列 的公差为 d，前 n项和为 Sn，当首项 a1和 d变化时， a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ C ）
本题利用整体代换求解，体现了整体代换的思想。
（四）典型例题的作用及教学
所以，满足不等式组的正整数 n的取值只能是 8， 9.
（五）数列研究的几个基本问题
1 ．关注 an与 Sn
（六）数学归纳法的教学定位
1 ．数学归纳法教学的重点和难点
（ 1 ）初步理解数学归纳法的原理 .
（ 2 ）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤 .
（ 3 ）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的恒等式 .
（ 1 ）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性 .
（ 2 ）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确 .
2 ．数学归纳法原理形成的教学定位
由于数学归纳法原理的高度的抽象性，学生在学习时，往往限于掌握了一些应用数学归纳法的技巧，而不能真正理解它的意义 . 因此学习停留在单纯的模仿之中 . 所以原理的形成过程的教学，既是本节课的重点，也是难点 . 教师要组织形象、生动、与所学内容密切相关的素材，作为数学归纳法原理产生的背景，以激发学生浓厚的学习兴趣，帮助、引导学生从中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果 . 抽象出数学归纳法的原理，如何通过探究顺利实现迁移抽象的目标，就成了本节课能否成功的关键 .
有些教师对数学归纳法原理形成过程的教学不够重视，表现在有的教师没有安排实验探究，急于向学生展示一种思维“模式”和“套路”，接着通过大量的例题、习题进行强化；有的教师虽然安排了实验，但也是一带而过，很快抽象出了数学归纳法原理，这只能是教师的“成果”，而不是学生的成果，仍然摆脱不了生硬灌输这种教学模式的影子；甚至有的教师将相当多的时间和精力花在举例说明“不完全归纳法”的缺陷上，这显然偏离了本节课的主题与核心 .
“多米诺骨牌实验”的教学定位
本节课所需的“引例”，形式丰富多样，教师用的最多的是“多米诺骨牌实验”，因为这几乎是所有学生小时候都玩过的一种游戏，贴近学生的生活实际，具有一种无形的亲近感。同时“多米诺骨牌实验”以简便的形式蕴含了数学归纳法的深刻原理，因而成为这节课的典型素材 .
问题是如何正确认识，科学定位“多米诺骨牌实验”？在实验的方式上，“多米诺骨牌实验”应从不同角度多次进行，每次实验都要有不同的目的，都要引发学生不同的思考、探究，让学生既要有实验成功的体验，又要有实验失败的反思；而多次的实验又能形成一个有机的整体，当将每次实验的体验和反思糅合在一起后，数学归纳法的内在原理就扎根于学生的心中了。从学生的基础来看，学生用原有的知识结构同化数学归纳法存在着数学知识和逻辑知识上的准备不足，需要具体的实例帮助；从学生的认知规律来看认知抽象的事物应尽可能将其具体化、形象化，同时，对抽象事物本质的认识不能一步到位，应该由浅入深、由表及里、正反对比，方能凸显本质。
“多米诺骨牌实验”的功能应该包含两个层次：一是将实验转化为关于正整数的命题，即“第一块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0时命题成立” ，“第二块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0+1时命题成立”，…，“所有的骨牌都倒下（即游戏成功）”对应“命题对从 n0开始的所有正整数都成立”，若“第 块骨牌倒下，则一定有第 k+1块骨牌跟着倒下”对应“若 时命题成立，则 n=K+1时命题也一定成立”。
二是将游戏转化为具体的数学问题，引导学生通过解决具体的数学问题进一步体验数学归纳法的思想，并从中感受到成功的喜悦，然后在此基础上才能推广到一般命题，抽象概括，得到数学归纳法原理。这样学生才能够切实掌握数学归纳法原理，本节课的难点才能够得到有效突破。
“多米诺骨牌实验”的教学设计
实验 1 ：用手推倒 1 号骨牌，然后 2 号骨牌， 3 号骨牌，…，紧跟着全部倒下，让学生讨论为什么会出现这种结果，在这个环节，学生对现象的本质的认识可能是比较模糊的，但必要的讨论为下面显现本质奠定了基础。
实验 2 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距和实验 1 相同，用手推倒 1 号骨牌，没有推倒，然后 2 号骨牌， 3 号骨牌，…，自然就没有倒下，即游戏失败。这时教师让学生对比实验 1 和实验 2 ，讨论游戏失败的原因，从而得到游戏成功的第一个必要条件， 1 号骨牌必须被推倒。
实验 3 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距出现分化， 1 号骨牌与 2 号骨牌的间距拉开的足够大，其他骨牌间距不变（同实验 1 ），这是用手推倒了 1 号骨牌，但 2 号骨牌没有倒下， 3 号骨牌， 4 号骨牌…，自然就没有倒下，即游戏失败。同样让学生对比不同实验及其结果，分析原因。这是学生得到的结论往往在具体骨牌上，即 1 号骨牌倒下，没有带动 2 号骨牌倒下导致了失败，而学生对其中的任意性很难提炼出来。继续下去，再将 2 号骨牌和 3 号骨牌 ,3 号骨牌和 4 号骨牌…，的间距拉开的足够大，（每一次试验只改变一个间距），重复实验 3 ，如此反复几次，学生不难悟出游戏成功的第二个必要条件，即第 k块骨牌倒下，则一定有第 k+1块骨牌倒下（这里暗示了无穷推理的合理性）。
至此，用数学归纳法证明数学问题时，为何两步缺一不可，便不言自明。
两次迁移：
骨牌游戏虽然有数学归纳法的影子，但毕竟不是数学归纳法原理本身，不能直接用来证明数学问题，这就需要将游戏迁移到数学问题中去。
迁移 1 将骨牌游戏换成数学问题，提出问题：设等差数列 的首项为 a1，公差为 d，我们在前面推导其通项公式时，得到与正整数有关的无穷多等式：
要使这无穷多个等式都成立，你能否用数学语言概括上面游戏成功的两个条件？然后让学生独立思考、合作讨论、得到
（ 1 ）第一个等式成立（即当 n=1成立）
（ 2 ）假设第 个等式成立，一定能推出第k+1个等式也成立。这样就实现了由游戏向原理的第一次迁移。
迁移 2 教师请同学就等差数列通项公式问题具体尝试，是否能做到这两步？最后将无穷多个等式统一为 。至此，由游戏向原理的第二次迁移顺利完成。数学归纳法原理的得出已经是水到渠成。
（ 1 ）归纳奠基
（ 2 ）归纳递推
从多米诺骨牌实验到数学归纳法原理，清晰地反映了生活问题 — 数学问题 — 数学形式化的发展轨迹。在对实验的探究过程中，学生经历了成功与失败的种种体验，经历了将生活语言转化为数学语言的过程，经历了将生活中蕴含的原理转化为数学原理的过程。由于始终坚持在学生的“最近发展区”内设置问题情境，注重层层递进，避免一步到位，因而学生能够积极思考。乐于交流讨论，不断体验到成功的快乐，从而顺利地建立了新旧知识及其本质之间的联系。
学生通过数列一章内容和其它相关内容的学习，已经初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。
三、学生学习目标的检测
（一）课程标准与高考对数列内容的要求
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．
（ 1 ）数列的概念和简单表示法
通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．
（ 2 ）等差数列、等比数列
①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．
②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式．
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 .
④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．
因此教师在检测中要注意
1 ．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
2 ．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系．但训练要控制难度和复杂程度．
（二）典型题目分析
本题涉及到等差数列与等比数列的基本知识，涉及到求公比的问题，应该注意对公比q的讨论，这一点学生往往容易忽略。
本题的第一问涉及到判断数列是否是等比数列的问题，通过解决本题，教师应该让学生掌握证明等比数列的方法，第二问是数列求和问题，教师应该让学生掌握根据已知条件选择恰当的求和方法。
此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（ 21 ）题，试卷中不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分，因此在检测中要加强这方面的训练。
【互动话题】
1．注意易混易错概念的教学
数列中有些概念看似差不多，但本质截然不同很容易混淆，如：项与项数、通项与末项、等差中项与等比中项等概念。比如：通项与末项的概念。通项不仅可以用来求数列中的每一项，同时它本身就是数列中的第 n 项；而末项只是数列中的最后一项 . 这就说明， 通项可以是末项，但末项未必是通项。
2．教学中要关注通项与前 n项和的关系
在数列求和问题中，有关项数的问题确实是学生一个易错点。对于通项与前 n 项和的关系中也应该加以关注。
有时一道题的条件中，既含有 an 又含有 Sn ，这时就要根据所求问题找到转化的方向。我们一起来看一个例子 …
3．学生学习中容易忽视公式的使用条件，乱用公式
有时学生在使用公式的时候，会忽略公式的条件，乱用公式而产生错误。比如，等差数列和等比数列的性质（脚码和定理）。这两个定理都是数列中四项间的关系，学生有时会写成三项间的关系： a2 ＋ a4 ＝ a6 ；
还有的学生会把等差、等比的脚码和定理混用
4．教学中 注意挖掘知识发生的过程中隐含的思想方法
等差等比定义的代数表示。此即递推形式。这是让学生认识递推形式的很好载体，注意： n 的取值的任意性； n 取值的等效性。
研究等差数列、等比数列通项公式的时候，不仅要关注结论，还要关注通项公式的推导过程，真正发挥好用教材训练学生能力的功能。
5．把握等比数列的教学要点
等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质、通项公式、前 n 项和公式、两个数的等差 ( 等比 ) 中项
教学要点：
要点（ 1 ）从项与项数的关系及项与项之间的关系作为研究数列的方法
要点（ 2 ） 等比数列与指数型函数的联系
要点（ 3 ）等比数列前 n 项和公式的推导
要点（ 4 ）等比数列的性质
【案例评析】
教师在设计本节课的教学时，力图借助典型例题，通过学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合等多种手段，使学生主动参与数学实践活动，掌握等差、等比数列的基本公式及常用解题方法，体会方程思想的运用。 培养学生的数学思维能力，使学生在学习中获得成功的体验。
本课是一节数列的复习课。 有关等差、等比数列的计算问题是数列中的重点问题， 教师在教学设计中重点把握了怎样让学生在复习中掌握数列计算的基本方法， 根据学生的现状设计的本节课的教学内容——利用方程思想解决与等差、等比数列有关的计算问题。
本节课具有以下几个特点：
一、教学目标明确
由于 学生是普通校学生，基础相对比较薄弱，基本功不扎实，学习能力尤其是计算能力比较薄弱。但他们思维比较活跃，针对学生这样的特点，教师制定了合理的教学目标
1．通过复习使学生掌握等差、等比数列的基本公式，并能运用这些公式和方程思想解决相关的计算问题，掌握解决等差、等比数列问题的常用方法，提高学生的计算能力。
2．借助典型例题，使学生学会灵活选用公式，尤其在利用等比数列求和时注意对公比的分类讨论，培养学生的逻辑思维能力和综合运用能力。
3．通过教师指导下的探究活动，使学生经历数学的思维过程，体会方程思想的运用，更好地构建科学的知识体系，获得成功的体验。
以上教学目标的确定，体现了教师对学生情况了解清晰，对教学内容把握准确。
二、教学重点、难点把握准确，教学方法得当
教学重点： 运用方程思想解决等差、等比数列的计算问题。
教学难点：等差、等比公式的综合运用，对公比的分类讨论
教学方法：探究法、分组合作
教师准确地把握重点、难点，并采取正确的教学方法，有利于教学目标的落实。
三、教学过程注意揭示学生的思维过程，落实基础和方法
在教学过程中，教师从等差数列的题目入手，引导学生展示思维过程，逐步形成解决这类题型的思维模式；并且每道题的选择上又各有侧重，如：一题多解、简化计算的方法等等。 在整个教学的过程中， 摆正师生的位置，把学习的权利真正交给学生，让学生成为学习的主人； 借助典型例题，通过学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合等多种手段，使学生主动参与数学实践活动；并充分利用一题多解拓展学生的思维，让学生学会灵活选用公式，掌握等差、等比数列的基本公式及常用解题方法，体会方程思想的运用；同时 对学生在学习过程中的表现，给予适度评价 。
本节课使用的题目都是从近几年高考真题中挑选出来的，这样既使得教学过程有针对性，又可以让学生体验了高考试题。 从而不仅培养了学生的数学思维能力，夯实了基础公式，锻炼了计算能力，落实了方程思想解题方法的运用； 而且使学生在学习的过程中获得成功的体验，提高了学习数学的兴趣，增强了学好数学的信心 。
数列是特殊的函数，等差、等比数列是数列中的重点内容之一，有关等差、等比数列的计算问题是高考的考查重点，本节课就是利用方程思想解决与等差、等比数列有关的计算问题。
例 1 等差数列 { an } 的前 n 项和是 Sn
教师在处理此题时，注意引导学生展示思维过程，让学生思考本题已知什么？要求的是什么？涉及到哪些量？几个未知数？需要几个方程？怎么转化？教师这一系列问题的目的 是 通过本题让学生学会分析问题、解决问题的思维过程，体会如何运用方程思想解决计算问题，知道解决等差数列的计算问题应该运用方程思想。
教师在处理此题时，注意引导引导学生使用等差数列的两个通项公式分别求解。 比较两种方法的不同之处。 让学生根据自身情况灵活选用公式。 此题的分析和计算对学生而言应该不算难了，多数学生可以自己解决。 因此教师将重点放在了公式的灵活选用上。 但对学生不做强行推荐，让学生按照自己对公式的掌握情况，以提高解题正确率为目的进行选用。
例 2 等比数列 { an } 的前 n 项和是 Sn。
教师处理此题时强调，等比数列求和特别需要关注公比是否为 1 ，以确定公式的形式，而将 Sn的概念和公式结合起来使用往往可以达到简化计算的目的。
本题的计算对部分学生来说应该是有难度的。 学生会列方程组，但是不会有效的将方程组转化为一元方程。 因此，教师在这里对学生做必要的指导，让他们找到求解与等比求和、通项有关的方程组的常用方法。
总之，本节课层次清晰，较好地落实了方程思想，让学生对数列的有关计算问题的解题方法策略有了比较清楚的认识，达成了教学目标 。教学中教师还可以给学生创造更多的展示思维的机会，对于基础薄弱的学生，也应该不断训练他们的思维能力。
思考与活动
【思考与活动】
思考 1 ：数列可以直接求导吗？
思考 2 ： 教学中怎样体现新课标的理念？
思考 3 ：请根据所教学生的实际写出《等比数列前 n项和》一节课的教学设计
【相关资源】
1. 等比数列前n项和
2. 数列的基本问题教学设计
3. 数列的基本问题
4. 数列的教学设计（PDF）
5. 推导等比数列S_n公式的两种教学情境设计（PDF）
6. 多米诺（WMV）
说课题目：等比数列的前 n 项和（第一课时）
（选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节）
一、教材分析
1. 从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅 在现实生活中 有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款 的有关计算等等 ，而且 公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．
2. 从学生认知角度看
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．
3. 学情分析
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨．
4. 重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．
二、目标分析
知识与技能目标：
理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点
在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．
过程与方法目标：
通过对公式推导方法的探索与发现， 向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
情感与态度价值观：
通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．
三、过程分析
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
1. 创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？
设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性． 故事内容紧扣本节课的主题与重点 ．
此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数 ．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．
设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔 .
2. 师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，我接着问：是什么数列？有何特征？ 设 应归结为什么数学问题呢？
探讨 1 ： ，记为（ 1 ）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍）
探讨 2 ： 如果我们把每一项都乘以 2 ，就变成了它的后一项，（ 1 ）式两边同乘以 2 则有 ，记为（ 2 ）式．比较（ 1 ） (2 ）两式，你有什么发现？
设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．
经过比较、研究，学生发现：（ 1 ）、（ 2 ）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到： ．老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（ 1 ）式两边要同乘以 2 呢？
设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．
3. 类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导．
设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．
对不对？这里的 q 能不能等于 1 ？等比数列中的公比能不能为 1 ？ q=1 时是什么数列？此时 sn = ？（这里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）
再次追问：结合等比数列的通项公式 an =a1 qn-1 , 如何把 sn 用 a1 、 an 、 q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）
设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用．
4. 讨论交流，延伸拓展
在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？我们知道,
那么我们能否利用这个关系而求出 sn 呢？根据等比数列的定义又有 ，能否联想到等比定理从而求出 sn 呢？
设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围 . 以上两种方法都可以化归到 , 这其实就是关于 sn的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用 .
5. 变式训练 , 深化认识
首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．
设计意图： 采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成． 通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．
6. 例题讲解，形成技能
设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．
7. 总结归纳，加深理解
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．
设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．
8. 故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84 × 1019 粒，大约 7000 亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的 459 倍，显然国王兑现不了他的承诺．
设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．
9. 课后作业，分层练习
必做： P129 练习 1 、 2 、 3 、 4
（ 2 ） “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？ 设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．
四、教法分析
对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段 ．
利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．
五、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．
课题：数学归纳法及其应用举例
人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学第三册 ( 选修 II) 第二章第一节
【 教学目标 】
1. 使学生了解归纳法 , 理解数学归纳的原理与实质．
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．
3. 培养学生观察 , 分析 , 论证的能力 , 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力， 让学生经历知识的构建过程 , 体会类比的数学思想．
4. 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．
5. 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法 ( 先猜想后证明 ), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．
【 教学重点 】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
【 教学难点 】 数学归纳法中递推思想的理解
【 教学方法 】 类比启发探究式教学方法
【 教学手段 】 多媒体辅助课堂教学
【 教学程序 】
第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容
1. 创设问题情境，启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例：
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．
(2) 完全归纳法对比引例：
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．
在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．
2. 回顾数学旧知，追溯归纳意识
（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）
(1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项 , 写出该数列的通项公式．
(2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．
3. 借助数学史料 , 促使学生思辨
（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）
问题 1 已知
(1) 分别求 a1； a2； a3； a4．
(2) 由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？
（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）
问题 2 费马（ Fermat ）是 17 世纪法国著名的数学家，他曾认为，当 n ∈ N 时， 一定都是质数，这是他对 n ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 作了验证后得到的．后来， 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（ Euler ）却证明了 ＝ 4 294 967 297 ＝ 6 700 417×641 ，从而否定了费马的推测．没想到当 n ＝ 5 这一结论便不成立．
问题 3 , 当 n ∈ N 时， 是否都为质数？
验证： f （ 0 ）＝ 41 ， f （ 1 ）＝ 43 ， f （ 2 ）＝ 47 ， f （ 3 ）＝ 53 ， f （ 4 ）＝ 61 ， f （ 5 ）＝ 71 ， f （ 6 ）＝ 83 ， f （ 7 ）＝ 97 ， f （ 8 ）＝ 113 ， f （ 9 ）＝ 131 ， f （ 10 ）＝ 151 ，…， f （ 39 ）＝ 1 601 ．但是 f （ 40 ）＝ 1 681 ＝ 412，是合数．
第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构
4. 搜索生活实例，激发学习兴趣
（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理 , 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）
实例 ：播放多米诺骨牌录像
关键 ： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下 , 则它的后一张牌必定倒下． 于是 , 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．
搜索 ：再举几则生活事例：推倒自行车 , 早操排队对齐等．
5. 类比数学问题 , 激起思维浪花
类比多米诺骨牌过程 , 证明等差数列通项公式 ：
(1) 当 n ＝ 1 时等式成立； (2) 假设当 n ＝ k 时等式成立 , 即 , 则 , 即 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立． 于是 , 我们可以下结论： 等差数列的通项公式 对任何 n ∈ 都成立．
（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）
6. 引导学生概括 , 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(1) 证明当 n 取第一个值 n0时结论正确；
(2) 假设当 时结论正确 , 证明当 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确．
完成这两个步骤后 , 就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都正确．
这种证明方法叫做 数学归纳法 ．
第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程
7. 蕴含猜想证明 , 培养研究意识
（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）
例题 在数列 先计算 a2， a3， a4的值，再推测通项 an的公式 , 最后证明你的结论．
8. 基础反馈练习 , 巩固方法应用
（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第 3 题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）
(1) （第 63 页例 1 ）用数学归纳法证明： 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋…＋（ 2 n － 1 ）＝ n2．
(2) （第 64 页 练习 3 ）首项是 a1，公比是 q 的等比数列的通项公式是 ．
9. 师生共同小结 , 完成概括提升
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；
(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推 ( 递归 ) 思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．
10. 布置课后作业 , 巩固延伸铺垫
(1) 课本第 64 页练习第 1, 2 题； 第 67 页习题 2.1 第 2 题．
(2) 在数学归纳法证明的第二步中，证明 n ＝ k ＋ 1 时命题成立 , 必须要用到 n ＝ k 时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：
【教学设计说明】
1．数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．
3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明 n ＝ k ＋ 1 命题成立时必须要用到 n ＝ k 时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
数列的基本问题
高中数学“数列的基本问题”教学研究
【课程简介】
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在本专题中通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
本课程从对数列的基本问题的深层次理解， 教与学的策略，学生学习目标检测几个方面对教学的重点、难点；学生学习中常见的问题；教师对数列教学实质的把握， 典型例题的作用及教学， 数学归纳法的教学定位等方面对数列的基本问题的教学进行了阐述。
本课程体现了新课标的理念，揭示了数列的本质，强调了用函数的思维研究数列的问题，主线清晰。例举了等差数列的教学，等差数列前n项和教学实质，数学归纳法的教学等教学策略，可操作性强。
【学习要求】
1．了解数列在教材中的地位和作用；
2．明确数列这部分内容中的基本知识，基本方法，基本问题；
3．通过学习知道数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，并能从函数的角度认识数列；
4．等差数列、等比数列是数列中两种特殊的数列，明确用研究函数的方法研究等差数列、等比数列的方法；
5．能够采用科学有效的教学方法进行等比数列的教学。
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