材料力学课程设计_中华文本库
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材料力学课程设计
汽车工程学院
材料力学课程设计的目的
1．使学生的材料力学知识系统化，完整化。
2．在系统复习的基础上，运用材料力学的知识解决工程中的实际问题。
3．由于选题力求结合专业实际，因而课程设计可以把材料力学的知识和专业需要结合起来。
4．综合了以前所学的各门课程的知识，是相关学科的知识有机的结合起来。
5．初步了解和掌握工程实际中的设计思想和设计方法。
6．为后续课程的教学打下基础。
材料力学课程设计的要求
1．设计计算说明书的要求
设计说明书是该题目的设计思想，设计方法和设计结果的说明，要求书写工整，语言简练，条理清晰，明确，表达完整。
具体内容如下：
〈1〉 设计题目的已知条件，所求及零件图。
〈2〉 画出构件的受力简图，按比例标明尺寸，载荷及支座等。 〈3〉 静不定要画出所选择的基本静定系统及与之相关的全部求解过程。 〈4〉 画出全部内力图，并标明可能的各危险截面。
〈5〉 危险截面上各种应力的分布规律图及由此而判定各危险点处的应力
〈6〉 各危险点的主应力大小及主平面位置。
〈7〉 选择强度理论并建立强度条件。
〈8〉 列出全部计算过程的理论根据，公式的推导过程以及必要的说明。 〈9〉 对变形及刚度分析要写明所用的能量法计算过程及必要的内力图和
单位力图。
〈10〉 疲劳强度计算部分要说明循环特征。
2．分析讨论及说明部分的要求：
分析计算结果是否合理，并分析其原因，改进措施。 〈2〉 提高改进设计的初步方案及设想。
〈3〉 提高强度，刚度及稳定性的措施及建议。
3．程序计算部分的要求：
程序图框。
计算机程序（含必要的语言说明及标识符说明）。 〈3〉
打印结果（结果数据要填写到设计计算说明书上）。 设计题目
传动轴的材料均为优质碳素结构钢（牌号45），许用应力[ ]=80MPa，经高频淬火处理，
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材料力学(I)第八章
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲 §8-2+ 平面弯曲的条件 §I-4 惯性矩和惯性积转轴公式? 截面的主惯性轴 和主惯性矩 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法 §8-6 铆钉和螺栓连接的计算*§8-71榫齿连接材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8-1Ⅰ. 组合变形概 述构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。烟囱（图a）有侧向 荷载（风荷，地震力）时发生弯压组合变形。2材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。吊车立柱（图c）受偏心压缩， 发生弯压组合变形。3材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。(d)4材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加）再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。5材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅱ.连接件的实用计算 连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压 缩）。F6材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。7材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的 受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominal stress）, 然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确 定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法（engineering method of practical analysis）。8材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。9材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2弯矩弯曲正应力10My(x)=F1 x My ?? ? z IyMz(x)=F2 (x-a)? ?? ? ?Mz y Iz材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的 矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。在F1和F2共同作用下x 截面上C 点处的正应力为? ? ? ? ?? ''?11My IyMz z? y Iz材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点 不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力 的作用点及其值。12材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕 通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相 互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点处弯曲正应力为零。13材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算故有中性轴的方程：My IyMz z0 ? y0 ? 0 Iz中性轴与y轴的夹角q（图a）为z0 M z I y I y tanq ? ? ? tan? y0 M y I z I z2 其中? 角为合成弯矩 M ? M y ? M z2与y的夹角。14材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算tanq ?Iy Iztan?这就表明，只要 Iy≠Iz ，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直， 或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常 把这类弯曲称为斜弯曲（obliquebending）。15材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算确定中性轴的方向后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图a中的点D1， D2）就是该截面上拉应力和压应力为 最大的点。从而可分别计算水平和竖 直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。16材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案对于如图c所示横截面具有外棱角的梁，求任何横截面上最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需 定出中性轴的方向角q。(c)工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。17材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算思考: 对于图示悬臂梁， 试问：1. 外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向？ 2. 在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向？ 3. 在固定端和F2作用截面之间，梁的中性轴的方向是否随横截 面位置变化？4. 该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？18材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题8-1 图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载 集度为q (N/m)，集中荷载为 F ? qa ( N) 。试求梁的许可荷载 2 集度[q]。已知：a =1 20a号工字钢：Wz=237×10-6 m3，Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[? ]=160 MPa。x19材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案x解： 1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为qa cos 40 o ? 0.383qa ( 2 qa o qa ( Fz ? F sin 40 ? sin 40 o ? 0.321 2 Fy ? F cos 40 o ?20))材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算2. 作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲的弯矩图―My 图和Mz 图（图c ,d）。21材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案3. 确定此梁的危险截面。A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但因工字钢Wy&&Wz ，故A截面是可能的危险截面。 D 截面上Mz 最大： MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。22材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案z第八章 组合变形及连接部分的计算zD1zMyAy yMzAyD2M zA 0.642q ? (12 ) 0.266q ? (12 ) (? max ) A ? ? ? ? ?6 Wy Wz 31.5 ?10 237?10? 6 M yA? (21.5 ?103 ) ? qM zD 0.444q ? (12 ) 0.456q ? (12 ) (? max ) D ? ? ? ? ?6 Wy Wz 31.5 ?10 237?10?6 M yD? (16.02?103 ) ? q由于 (? max ) A ? (? max ) D ，可见A截面为危险截面。危险点在A截面上的外棱角D1和D2处。23材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算4. 求许可荷载集度[q]。 根据强度条件 (?max A) ? [? ]，有（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa 从而得 于是有160?106 q? ? 7.44?103 N/m 21.5 ?10?3[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m24材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8-2+ 平面弯曲的条件§8－2中讨论的是具有双对称截面的梁在两个相互垂直的 纵向对称面内同时发生弯曲的情况，其实质就是两个相互垂直 的纵向面内平面弯曲的组合。x25材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算现在的问题是，如果梁的横截面只有一个对称轴（图a） 而荷载作用在与对称轴垂直的方向，或者横截面根本就没有对称轴（图b），那么还会发生平面弯曲吗？荷载沿什么方向的形心轴时才会发生平面弯曲呢？这就要分析梁发生平面弯曲的 条件。26材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算横截面如图a所示无对称轴的梁，如果横截面绕形心轴z转动发生平面弯曲，则根据平面假设，横截面上的正应力在与z My 轴垂直的y轴方向按线性规律变化（图b），即 ? ? ； Iz 而这些正应力不应构成对y轴的力矩，故应有 ? z d A ? 0， ?A My M 亦即应有 ?A I z z d A ? 0，即 I z ?A yz d A ? 0cdA yzz +? dAy (a)27(b)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算由此可知，如果梁发生平面弯曲而z轴为中性轴，则必须满足?Ayz d A ? 0换句话说，如果梁上的荷载所产生的弯矩作用在包含满足? yz d A ? 0的y轴的那个纵向面内，则与之垂直的形心轴z就A是中性轴，梁发生平面弯曲。 反之如果荷载产生的 cdAyz yz弯矩作用在包含z轴的纵? dA(a)28向面内，亦发生平面弯曲。材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算?Ayz d A称为横截面对于一对相互垂直轴y , z的惯性积（product of inertia）,用Iyz表示。而满足Iyz=0 且通过横截面形心的一对正交轴（y轴和z轴） 称为形心主惯性轴（principal centroidal axis of inertia）。 横截面对于形心主惯性轴 c dA y z 的惯性矩则称为形心主惯性矩 (principal centroidal moment of? dAy (a)29zinertia)。材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。下节讲述对于没有对称轴的截面确定主惯性轴和主惯性矩的相关问题。30材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§Ⅰ-4 惯性矩和惯性积的转轴公式? 截面的主惯性轴和主惯性矩在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x轴和y轴。31材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅰ. 惯性矩和惯性积的转轴公式图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转a 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩 I x1, I y1和 惯性积 I x y。1 132材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标 的关系为x1 ? OC ? OE ? BD ? x cosa ? y sin a y1 ? AC ? AD ? EB ? y cosa ? x sin a于是有I x1 ? ? y12 dA ? ? ( y cos a ? x sin a ) 2dAA A? cos 2 a ? y 2 dA ? sin 2 a ? x 2 d A ? 2 sin a cos a ? xy d AA A A33? I x cos2 a ? I y sin 2 a ? I xy sin 2a材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案2第八章 组合变形及连接部分的计算1 1 2 利用三角函数 sin a ? (1 ? cos 2a )和 cos a ? (1 ? cos 2a ), 2 2 由上式得 Ix ? Iy Ix ? Iy I x1 ? ? cos 2a ? I xy sin 2a （a） 2 2 同理，根据I y1 ? ? x12dA ? ? ( x cos a ? y sin a ) 2dAA AI x1 y1 ? ? x1 y1dA ? ? ( x cos a ? y sin a )( y cos a ? x sin a )d AA A有I y1 ?Ix ? Iy 2 Ix ? Iy?Ix ? Iy 2cos 2a ? I xy sin 2a（b） （c）2 式(a) ,(b) ,(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。34I x1 y1 ?sin 2a ? I xy cos 2a材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算思考:1. 截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？ 2. 将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意 味着什么？3. 试利用 I p ? ? ? 2 dA ? ? ( x 2 ? y 2 )dAA A从基本概念上论证 (2)中的问题。35材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅱ. 截面的主惯性轴和主惯性矩 截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角 a 0 ，只 需利用惯性积的转轴公式令 I 便可导出。由 x0 y0 ? 0I x0 y0 ? Ix ? Iy 2 sin 2a 0 ? I xy cos2a 0 ? 0有tan2a 0 ?? 2I xy Ix ? I y36材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算根据上式利用三角函数关系将 cos2a0 和 sin 2a 0 写为 Ix ? Iy 1 cos 2a 0 ? ? 2 2 1 ? tan 2a 0 ( I x ? I y ) 2 ? 4 I xysin 2a 0 ? t an 2a 0 1 ? t an 2a 02?? 2 I xy2 ( I x ? I y ) 2 ? 4 I xy以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式：I x0 ? Ix ? Iy 2 1 2 ? ( I x ? I y ) 2 ? 4 I xy , 2I y0 ?Ix ? Iy 21 2 ? ( I x ? I y ) 2 ? 4 I xy 237材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算注意到惯性矩的转轴公式(a)和惯性积的转轴公式(c):I x1 ?I x1 y1 ?Ix ? Iy 2 Ix ? Iy?Ix ? Iy 2cos 2a ? I xy sin 2a （a）2 与§7-2中关于平面应力状态下求a 斜截面上正应力和切应力的sin 2a ? I xy cos 2a（c）公式完全相似：?a ??a ?38? x ?? y2?? x ?? y2cos 2a ? ? x sin 2a（7-1）? x ?? y2sin 2a ? ? x cos2a（7-2）材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案而惯性矩转轴公式(b)所示 I y 的表达式实际上只需在 I x 的表达式 1 1(a)中以(a +90?)代替a 即得，这与求?a+90?也完全相似。因此惯性矩和惯性积的转轴公式也可用与应力圆类似的一个圆――惯 性圆来表达。上述计算主惯性轴方向角和主惯性矩值的公式也 就可根据惯性圆上的几何关系来记忆。Ixy由惯性圆显然可见，主惯 性矩 I x 和 I y 就是截面对于通过 0 0Iy0(Ix1, Ix1y1)2a(Ix, Ixy)2a0同一点的所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin。(-) (Iy, -Ixy) Ix039Ix, Iy材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须先确定截面的形心C的位置，并取一对通过形心而相互垂直的轴xC , yC作为参考轴，计算出 I x ，I y ， x y ，然后求主惯 ICC C C 性轴的方向角a0和主惯性矩 I x 和 I y 。 C0 C0yCa0 a0CxC40材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算思考:对于正方形截面:1. 试根据惯性积的转轴公式判断是否任何形心轴都是形心主惯性轴？2. 试根据惯性矩的转轴公式判断截面对于任何形心轴的惯性 矩的值是否都是相等的？41材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算对于由若干基本几何图形组成的截面(例如图中所示者)，在求 , I yC和 I xC 时需要应用惯性矩和惯性积的平行移轴公 I xC yC式。前已在第四章中讲述了惯性矩的平行移轴公式及其应用。 下面讲述惯性积的平行移轴公式。42材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅲ. 惯性积的平行移轴公式(参见教材附录§I－3 ) 图示任意形状的截面对于坐标轴x,y的惯性积Ixy可以由截面对分别平行于x,y轴的形心轴xC，yC 的惯性积IxC yC，以及截面形心C 在x,y坐标系中的坐标 x ? b, y ? a 求出如下：I xy ? ? xy d A ? ? ( xC ? b)( yC ? a) d AA A? ? xC yC d A ? b ? yC d A ? a ? xC d A ? ab ? d AA A A A? I xC yC ? abA43材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算I xy ? I xC yC ? abA这就是惯性积的平行移轴公式。 应该注意的是：(1) 公式中的IxC yC必须是截面对于一对形心轴的惯性积；(2) 公式中的a，b是指截面形心在平行移动后的坐标系x，y中 的坐标，它是有正负的。44材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题Ⅰ-7 试确定图示不等边L形截面的形心主惯性轴的 方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。45材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算解：1. 取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将截面分为Ⅰ，Ⅱ两个矩形(如图所示)AⅠ=1 200 mm2, AⅡ=700 mm2矩形Ⅰ的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为 aΙ=15 mm, 中的坐标为 aⅡ =-25 mm, bⅡ=-35 mm46bI=20 mm矩形Ⅱ的形心在参考坐标系材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算yC2. 利用平行移轴公式求截面的 I xC , I y C 和 I xCI xC ? I xC ? ? I xC ?? 120 mm ? (10 mm) 3 ?[ ? 1 200 mm2 ? (15 mm) 2 ] ? 12 10 mm ? (70 mm) 3 [ ? 700 mm2 ? (?25 mm) 2 ] 12 ? 100.4 ? 104 mm447材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算I yC ? I yC Ι ? I yC ? 10 mm ? (120 mm) 3 ?[ ? 1200mm2 ? (20 mm) 2 ] ? 12 70 mm ? (10 mm) 3 [ ? 700 mm2 ? (?35 mm) 2 ] 12 ? 278.4 ? 104 mm4 I xC yC ? I xC yC Ι ? I xC yC ??? [0 ? 1200mm2 ? (15 mm) ? (20 mm)] ? [0 ? 700 mm2 ? (?25 mm)(?35 mm)] ? 97.3 ?104 mm4 由于通过矩形Ⅰ和Ⅱ各自形心而平行于xC ，yC的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。48材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算3. 确定截面的形心主惯性轴 xC0，yC0 的方向Ixy (IxC, IxCyC) IyC0tan 2a 0 ?? 2 I xC yC I xC ? I yC2a0IxC0Ix, Iy (IyC, -IxCyC)? 2(97.3 ?104 mm4 ) ? 100.4 ?104 mm4 ? 278.4 ?104 mm4 ? 1.093从所示惯性圆可见，2ao&180°,且为逆时针转向，于是由 tan2a0=1.093 和 2a0=180°+ 47.6°= 227.6°，而a0=113.8°。图中据此示出了形心主轴 xC0 和 yC0。49材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算50材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算4. 该截面的形心主惯性矩为I xC 0 ? I max ? 1 2 ( I xC ? I yC ) 2 ? 4 I xC yC 2 2 100.4 ?104 mm4 ? 278.4 ?104 mm4 ? ? 2 1 (100.4 ?104 mm4 ? 278.4 ?104 mm4 ) 2 ? 4 ? (97.3 ?104 mm4 ) 2 2 ? 321?104 mm4 ? I xC ? I yCI yC 0 ? I min ?I xC ? I yC 2?1 2 ( I xC ? I yC ) 2 ? 4 I xC yC ? 57.4 ?104 mm4 251材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8－3拉伸(压缩)与弯曲的组合变形Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft作 用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。52材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。53材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当 大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。54材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截面， 1 其上的内力为FN=Ft， M max ? 。该横截面上与轴力FN对应 Fl 4 FN Ft 的拉伸正应力?t为均匀分布(图b)， ，而与最大弯 ?t ? ? A A 矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对值?b ?55M max Fl ? 。 W 4W材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算在FN 和Mmax共同作用下，危险 截面上正应力沿高度的变化随?b和?t的值的相对大小可能有图d ,e ,f 三种情况。危险截面上的最大正应力是拉 应力：? t ,maxFt Fl ? ? A 4W注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把?t,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件。56材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题 8－2 图a所示折杆ACB由钢管焊成，A和B处铰支,C 处作用有集中荷载F=10 kN。试求此折杆危险截面上的最大拉应力 和最大压应力。已知钢管的外直径D =140 mm，壁厚d =10 mm。解： 1.约束力FA=FB= 5 kN。折杆的受力图如图b。57材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆；将约束 力FA分解为FAx =3 kN和FAy=4 kN后可知，AC 杆的危险截面为m-m(图b)，其上的内力为FN=-FAx=-3 kN Mmax=FAy×2= 8 kN? m可见此杆产生弯一压组合变形。现按大刚度杆来计算应力。58材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力?t,max和最大压应力?c,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：? t ,max ?F M FN M max 或 ? c ,max ? N ? max ? A W A W（a）3. 根据钢管的横截面尺寸算得：π 2 [ D ? ( D ? 2d ) 2 ] 4 ? 40.8 ? 10? 4 m 2 π I ? [ D 4 ? ( D ? 2d ) 4 ] 64 ? 868?10?8 m 4 I W? ? 124 ?10 ?6 m3 D/2 A?59材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算4. 将FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得? 3 ?103 N 8 ?103 N ? m ? t,max ? ? ? 63.8 ?106 Pa ? 63.8MPa 40.8?10-4 m 2 124?10-6 m3 ? 3 ?103 N 8 ?103 N ? m ? c,max ? ? ? ?65.2 ?106 Pa ? ?65.2 MPa 40.8?10-4 m 2 124?10-6 m3注意，在弯一压组合变形情况下，| ?c,max | &?t,max,故对于拉、 压许用应力相等的情况，建立强度条件时应以 |?c,max |与许用正应力进行比较。倘若材料的许用拉应力[?t]小于许用压应力[?c]，则应将?t,max和|?c,max|分别与 [?t]和 [?c]比较。60材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅱ.偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况。 图a所示等直杆受偏心 距为e的偏心拉力F作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为y轴和z轴。61材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算(1) 偏心拉(压)杆横截面上的内力和应力将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化 为轴向拉力F和力偶矩 Fe，再将该力偶矩分解 为对形心主惯性轴y和z的分量Mey和Mez(图b及图c)： Mey=Fe sina =F?F , z Mez=Fe cosa =F?F y62材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内，故引起的都是平面弯曲。可见偏心拉伸（压缩）实为轴向拉伸（压缩）与平面弯曲的组合，且当杆的弯曲刚度相当大时 可认为各横截面上的内力相同。63材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算图c所示任意横截面n－n上的内力为FN=F,My=Mey=F?F, z Mz=Mez=F?F y 横截面上任意点C ( y, z ) 处的正应力为FN M y z M z y ?? ? ? A Iy Iz F FzF ? z FyF ? y ? ? ? A Iy Iz（b）64材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩Iy和Iz写作如下形式：2 I y ? AiyI z ? Aiz2上列式中的iy和iz分别称为截面对于y轴和z轴的惯性半径(radiusof gyration)，其单位为m或mm；它们也是只与截面形状和尺寸有关的几何量―截面的几何性质。于是式(b)亦可写作??F z z y y (1 ? F2 ? F2 ) A iy iz（c）上式是一个平面方程，它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应 力按直线规律变化。65材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算(2) 偏心拉(压)杆横截面上中性轴的位置现在来确定横截面绕着转动的中性轴的位置。设中性轴 上任意点的坐标为y0，z0，以此代入式(c)并令? =0可得中性轴 的方程zF yF 1 ? 2 z0 ? 2 y0 ? 0 iy iz可见，偏心拉伸时中性轴为一条不通 过横截面形心的直线（图a）。66材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算而中性轴在形心主惯性轴y，z上的截距（图b）为iz2 ay ? ? yF或az ? ?2 iyzF由此还可知，中性轴与偏心拉力作用点位于截面形心的相 对两侧。67材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算中性轴与z轴的夹角b 的正切为 iz2 (? ) ay yF t an b ? ? 2 iy az (? ) zFz F iz2 ? ( )( 2 ) yF i y Iz / A ? (t ana )( ) Iy / A Iz t ana Iy 式中的角a 为偏心拉力作用点与截面形心的连线(亦即力偶矩 ?Fe作用的纵向面）和y轴之间的夹角。68材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Iz tan b ? tana Iy由此式可知： 1. 若偏心拉力作用在形心主惯性轴y上(即tana=0)或者作用在形心主惯性轴z上,则恒有tanb =tana ,即中性轴垂直于力偶矩Fe所在的纵向面； 2. 当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tana ?0, tana ?90°时，只要横截面的形心主惯性矩Iz?Iy， 则中性轴就 不与力偶矩Fe所在的纵向面垂直。69材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算(3) 横截面上危险点的位置 对于没有外棱角的截面，为找出横截面上危险点的位置，可在确定中性轴位置后作平行于中性轴的直线使与横截面周边相切(图b)，切点D1和D2分别就是最大拉应力和最大压应力的 作用点，根据它们的坐标即可确定最大拉应力和最大压应力的 值。(b)横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时，危险点必定在横截面的外棱角处。70材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时,其横截面上分别对应于轴力F，弯矩My=F?F和Mz=F?F的正应力变化规律如图a，b， z yc所示；它们叠加后的应力则如图d，图 中还示出了中性 轴的位置。71材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算最大拉应力?t,max和最大压应力?c,max 作用在外棱角D1和D2处，其值为? t ,max ? c,maxF FzF FyF ? ? ? A Wy Wz F FzF FyF ? ? ? A Wy Wz由此式还可以看出，如果偏心距e(亦即yF , zF)较小，则横截 面上就可能不出现压应力，亦即中性轴不与横截面相交。72材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题 试求图示杆件横截面上的最大拉应力和最大压应力。外力F与杆件的轴线平行。解：轴向外力F未通过横截面形心，故杆件受偏心拉伸。73材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案1. 确定横截面形心的具体位置横截面的形心C必落在对称轴z上，只需计算形心距参考轴y1的距离(图a)。a zz?4a* C?Azi ?1 2 i2i?Ai ?1i6az4a (a)74y1(4a ? a )(2a ? 2a ) ? (2a ? 4a )(a ) ? ( 4a ? a ) ? ( 2a ? 4a ) ? 2a材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算 a 2. 确定形心主惯性轴，并求形心主惯性矩 z 4a* C由于包含对称轴在内并通过形心的一对相互垂直的轴就是形心主惯性轴，故图b 中的y轴和z轴为形心主惯性轴。6a y该截面的形心主惯性矩Iy可利用惯性矩平行移轴公式可知为4a (b)a ( 4a ) 3 4 a ( 2a ) 3 Iy ?[ ? ( a ? 4a ) ? ( 2 a ) 2 ] ? [ ? (4a ? 2a) ? a 2 ] ? 32a 4 12 12形心主惯性矩Iz则为4a ( a ) 3 2a ( 4a ) 3 Iz ? ? ? 11a 4 12 1275材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算3. 计算横截面上的内力FN=F，My=F? 2a， Mz=F? 2aaz4a* Cy4a (b)766a材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算4. 确定最大拉应力和最大压应力作用点位置并计算应力值 杆的横截面上的点D1处(图b)，对应于FN 的为拉应力，对应于My和Mz的是各自最大的a z D2拉应力，可见该点为?t,max的作用点。横截面上点D2处，除对应于FN的是与其它点处等值 的拉应力外，对应于My和Mz的则是各自最大 的压应力，可见该点为?c,max 的作用点。D1 4a (b)* C4a y6aFN M y 2a M z 2a 151 F ? t ,max ? ? ? ? A Iy Iz 264 a 2 FN M y 4a M z (0.5a) 17 F ? c,max ? ? ? ?? A Iy Iz 66 a 277材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅲ. 截面核心土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面 形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心（core of section）。 要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么 中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作 用点的位置来确定的。78材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算图中所示任意形状的截面，y轴和z轴为其形心主惯性轴。为确定截面核心的边界(图中的封闭曲线1-2-3-4-5-1)，可 作一系列与截面周边相切和外接的直线把它们视为中性轴。79材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算根据这些直线中每一直线在y轴和z 轴上的截距ayi和azi即可由前面已讲过的中性轴在形心主惯性轴上截距的计算公式iz2 ay ? ? yFaz ? ?2 iyzF得出每一与圆边相切或外接的直线（中性轴）所对应的偏心压 力作用点的位置，亦即截面核心边界上相应点的坐标?yi,?ziiz2 ? yi ? ? a yi80? zi ? ?2 iyazi材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心。应该注意的是，截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和 外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。81材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案(1) 圆截面的截面核心： 圆截面对圆心（形心）O是极对称的，因而其截面核心 的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线①，它在形心主惯性轴y和z上的截距为ay1 ? d / 2, az1 ? ?而对于圆截面有I z πd 4 / 64 d 2 2 i y ? iz2 ? ? ? ? 2 A A πd / 4 16 Iy从而82iz2 d 2 / 16 d ? y1 ? ? ?? ?? a y1 d /2 8? z1 ? ?2 iyaz1?0材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算这就是截面核心边界上点1的坐标。以O为圆心，以d /8为半径 所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心。83材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算思考: 一个外直径为D，内直径为D/2的空心圆截面，试检验该 截面的： 1. 对于形心主惯性轴的惯性半径为 i y ? iz ? 2.5 D 的圆。 该截面核心为半径等于 325 D, 884材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算(2) 矩形截面的截面核心 图中y轴和z轴为矩形截面的形心主惯性轴。对于这两根轴的惯性半径iy和iz的平方为b3h / 12 b 2 2 iy ? ? ? A bh 12 IyI z bh3 / 12 h 2 iz2 ? ? ? A bh 12作与周边相切的直线①, ②, ③, ④，将它们视为中性轴， 根据它们在形心主惯性轴 y, z上的截距便可求得截面核心边界 上的相应点1，2，3，4。85材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算现以计算与周边上切线①相应的核心边界点1的坐标?y1，?z1例作具体计算： 截距h a y1 ? , a z 1 ? ? 2核心边界点坐标iz2 h 2 / 12 h ? y1 ? ? ?? ?? a y1 h/2 6? z1 ? ?2 iya z1?0对应于周边上其他三条切线的截面核心边界点的坐标可类似 地求得，并也已标注以图中。86材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案现在的问题是,确定截面核心边界上的四个点1，2， 3，4后，相邻各点之间应如 何连接。实际上这就是说，当与截面相切的直线（中性轴）绕截 面周边上一点旋转至下一条与周边相切的直线时，偏心压力 的作用点按什么轨迹移动。现以切线①绕B点旋转至切线②时 的情况来说明。87材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算前面已讲过，杆件偏心受力时横截面上中性轴的方程为 zF yF 1 ? 2 z0 ? 2 y0 ? 0 iy iz当中性轴绕一点B转动时，位于中性轴上的B点的坐标yB， zB 不变，亦即上式中的y0，z0 在此情况下为定值yB，zB，而 偏心压力的作用点yF，zF在移动，将上式改写为zB yB 1 ? 2 z F ? 2 yF ? 0 iy iz显然，这是关于yF，zF的直线方程。88材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算这表明，当截面周边的切线（中性轴）绕周边上的点转动时，相应的偏心压力的作用点亦即截面核心的边界点沿直线移动。于是在确定截面核心边界上的点1，2，3，4后，顺次以直线连接这些点所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。该 菱形的对角线长度分别为h/3和b/3(如图所示)。89材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题 8－4 试确定图示T形截面的截面核心。图中y, z轴为形心主轴。已知：截面积A=0.6 m2；惯性矩Iy=48×10-3 m4,2 Iz=27.5×10-3 m4；惯性半径的平方 iy ? 8 ?10?2 m2 以及iz2 ? 4.58?10?2 m2 。解: 对于周边有凹入部分的截面， 例如槽形截面、T形截面等，确定截面核心边界点所对应的中性轴仍然不应与截面相交，也就是在周边的凹入部 分只能以外接直线作为中性轴。90材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算图中的6条直线①,②,…,⑥便是用以确定该T形截面核心边界点1,2 …,6的中性轴；根据它们各自在形心主惯性轴上的截 距计算所得核心边界的结果如下表所示：中性轴编号 中性轴 的截距 /m ay az① ② ③ ④ ⑤ ⑥0.45 -∞ 1∞ -0.40 2-0.45 ∞ 3-0.45 1.08 4∞ 0.60 50.45 1.08 6对应的截面核 心边界上的点截面核 心边界 上点的 坐标值 /m91i z2 ?y ? ? ay-0.10200.1020.1020-0.102?z ? ?2 iyaz00.200-0.074-0.133-0.074材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算注意到直线（中性轴）①，②，…，⑥， ①中顺次编号的相邻直线都是由前一直线绕定点转动到后一直线，故把核心边界点1，2， … ，6，顺次连以直线便可得到截面核心的边界。92材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8-4扭转和弯曲的组合变形机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴便是一种典型的情况。土建工程中发生扭－弯组合变形的杆件 往往是非圆截面的。93材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算本节讲述圆截面杆发生扭－弯组合变形时的强度计算。图a所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用下，其 AB杆的受力图如图b所示。该杆为直径为d 的圆截面杆。94材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算图c，d示出了AB杆的弯矩图（M 图）和扭矩图（T 图）。由于扭－弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影响，故未示出剪力图（FS图）。该AB杆的危险截面为固定端处的A截面。95材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。由此可知危险截面上的危险点为C1和C2。由于杆的材料 是拉压许用应力相等的塑性材料，C1和C2两点的危险程度相 同，故只需对其中的一个点作强度计算即可。96材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算围绕点C1以杆的横截面、径向纵截面和切向纵截面取出单元体，其各面上的应力如图g所示，而M Fl ?? ? 3 W πd / 32T T Fa ?? ? ? 3 Wp 2W πd / 1697材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算点C1处于平面应力状态，其三个主应力为?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 4? 2 , ? 2 ? 0 ? ?3? 2 2按第三强度理论作强度计算，相当应力为? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? 4? 2按第四强度理论作强度计算，相当应力为(a)? r4 ?1 [(? 1 ? ? 2 ) 2 ? (? 2 ? ? 3 ) 2 ? (? 3 ? ? 1 ) 2 ] ? ? 2 ? 3? 2 (b) 2强度条件为98? r 3 ? [? ] 或? r 4 ? [? ]材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危 险点处：M W??T T ?? ? Wp 2W2 2为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：?M ? ? T ? ? r 3 ? ? ? ? 4? ? ? ?W ? ? 2W ?2 2M 2 ?T 2 WM 2 ? 0.75T 2 ?M ? ? T ? ? r 4 ? ? ? ? 3? ? ? W ?W ? ? 2W ? 式中，M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的弯曲截面系数。99材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算需要注意的是，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时[? ]的值取得也比较低。事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一点处的弯曲 正应力是随轴的转动交替变化的。这种应力称为交变应力 （alternating stress），工程设计中对于在交变应力下工作的构 件另有计算准则。100材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题 8－5 图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的 圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直径dD=200 mm。已知许用 应力 [? ]=100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径。101材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算解：1. 作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图－Mz图和My图（图c, d）及扭矩图－－T 图（图e）。102材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算2. 由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩MzB和MyB（图f）按矢 量相加所得的总弯矩 MB（图g）为：2 2 M B ? M yB ? M zB ? (364N ? m) 2 ? (1000N ? m) 2 ? 1064N ? m103材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算由Mz图和My图可知，B截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见B截面上的 扭矩与CD段其它横截面上 相同，TB＝-1000 N? m，于 是判定横截面B为危险截面。104材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为? r4即M 2 ? 0.75T 2 ? ? [? ] W(1064 N ? m) 2 ? 0.75(?1000 N ? m) 2 ? 100?106 Pa W亦即1372 N ? m ? 100 ?10 6 Pa πd 3 / 32于是得3d?10532?1372 N ? m ? 0.0519 m ? 51.9 mm 6 π(100?10 Pa)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8-5 连接件的实用计算法图a所示螺栓连接主要有三种 可能的破坏： Ⅰ. 螺栓被剪断（参见图b和图c）； Ⅱ. 螺栓和钢板因在接触面上受压 而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图d）；Ⅲ. 钢板在螺栓孔削弱的截面处全 面发生塑性变形。 实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。106材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算(1) 剪切的实用计算在实用计算中，认为连接件的剪切面（图b，c）上各点处切应力相等，即剪切面上的名义切应力为FS ?? As式中，FS为剪切面上的剪力， As为剪切面的面积。 F ? ? S ? [? ] 强度条件 As 其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形情况下的 试验（称为直接试验）测得的破坏剪力也按名义切应力算得极 限切应力除以安全因数确定。107材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算(2) 挤压的实用计算 在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力 （bearing stress）是按某些假定进行计算的。对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大 挤压应力?bs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触 面）在直径面上的投影。108材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算故取名义挤压应力为Fbs ? bs ? dd式中，d 为挤压面高度，d 为螺栓或铆钉的直径。109材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算挤压强度条件为? bs ? [? bs ]其中的许用挤压应力[?bs]也是通过直接试验，由挤压破坏时的挤压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安全因数确定的。 应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作 用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。110材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算(3) 拉伸的实用计算螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并 且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为FN ?? ? [? ] A 式中：FN为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b C d )d 。111d材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力?max可能出现在轴力最大即FN= FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面积最小的横截面上。112材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算§8-6 铆钉和螺栓连接的计算螺栓连接示例113材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算铆钉连接主要有三种方式：1.搭接（图a），铆钉受单剪； 2.单盖板对接（图b），铆钉受单剪；3.双盖板对接（图c）， 铆钉受双剪。114材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算实际工程结构的铆钉连接都用一组铆钉来传力，在此情况 下，由于铆钉和被连接件的弹性变形，所以铆钉组中位于两端 的铆钉所传递的力要比中间的铆钉所传递的力大。但为了简化计算，并考虑到铆钉和被连接件都将发生塑性 变形，在实用计算中如果作用于连接上的力其作用线通过铆钉组中所有铆钉横截面的形心，而且各铆钉的材料和直径均相同，则认为每个铆钉传递相等的力。115材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算搭接和单盖板对接的铆钉连接中，铆钉会发生弯曲，被连接件会发生局部弯曲，在实用计算中对此不加考虑。销钉连接和螺栓连接的分析计算方法与铆钉连接相同。至 于在螺栓连接中使用高强度螺栓，将螺帽拧得很紧以利用螺栓 的预紧力藉钢板之间的摩擦力来传递连接所受外力，则不属于 这里讨论的范围。116材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅰ. 作用于连接上的力其作用线通过铆钉组形心 此情况下每一铆钉所传递的力可认为相等，Fi= F / n。据此进行铆钉剪切强度和挤压强度的计算；对被连接件进行挤压强度计算，并按危险截面进行拉伸强度计算。117材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题 8－7 某钢桁架的一个节点如图a所示。斜杆A由两根63 mm×6 mm的等边角钢组成，受轴向力F =140 kN作用。该斜 杆用直径为d =16 mm螺栓连接在厚度为10 mm的结点板上，螺 栓按单行排列。已知角钢、结点板和螺栓材料均为Q235钢，许 用应力为[? ]=170 MPa,[? ]=130 MPa,[?bs]=300 MPa。试选择 所需的螺栓个数并校核角钢的拉伸强度。118材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算解： 1.按剪切强度条件选择螺栓个数 由于此连接中各螺栓的材料和直径相同，且斜杆上的轴向 力其作用线通过该组螺栓的截面形心，故认为每个螺栓所传递 的力相等，为F/n，此处 n 为螺栓个数。F(b)此连接中的螺栓受双剪（图b），每个剪切面上的剪力为F /n F FS ? ? 2 2n119材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算螺栓的剪切强度条件为FS F / 2n 2 ? (140?103 N) ?? ? 2 ? ? 130?106 Pa As πd / 4 nπ(16?10?3 m) 2从而求得所需的螺栓个数：n ? 2.68取 n =3120材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案2. 校核挤压强度 由于结点板的厚度（10 mm）小于两根角钢肢厚度之和 （2×6 mm）,所以应校核螺栓与结点板之间的挤压强度。每 个螺栓所传递的力为 F/n ，亦即每个螺栓与结点板之间的挤 压压力为Fbs ? F nF(b)121材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算而挤压应力为Fbs F / n (140? 103 N) / 3 ? bs ? ? ? Abs d d (10?10?3 m)(16?10?3 m) ? 292?106 P a ? 292 MP a其值小于许用挤压应力[?bs] ?300 MPa，满足挤压强度条件。122材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算3. 校核角钢的拉伸强度 斜杆上三个螺栓按单 行排列（图b）。图c示出 了该斜杆（含两角钢）的受力图和轴力FN图。该斜杆在图c中所示的m-m截面上轴力最大，而净截面面积又最小，故为危险截面。123材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算该截面上： FN,max=F=140 kN 由型钢规格表可查得每根 63 mm×6 mm 等边角钢的横截面面积为7.29 cm2，故危险截面的净面积为A = 2×(729 mm2 － 6 mm×16 mm) = 1266 mm2 从而得危险截面上的拉伸应力：??FN,max A140?103 N ? ? 111?106 Pa ? 111 MPa 12.66?10?4 m2其值小于许用拉应力[? ] = 170 MPa，满足拉伸强度条件。124材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题 8－8 由两根钢轨铆接成的组合梁，其连接情况如 图a，b 所示。在所研究它的梁 段内，剪力FS=50 kN为常值。 试校核铆钉的剪切强度。计算 中偏于安全地不考虑上、下两 钢轨间的摩擦。已知： （a）每根钢轨横截面的几何性质为: 面积 A＝8000 mm2，形 心距轨底的高度c=80 mm，对于自身形心轴 z1的惯性矩 Iz1= mm4；（b）铆钉的直径d =20 mm，纵向间距 s = 150 mm，许用切应力[? ] ? 95 MPa。125材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算解： 1. 图d示出了横向两个为一组的铆钉共同承受剪力的范围内，亦即铆钉的纵向间距s 范围内，上面钢轨其两侧横 截面上的弯曲正应力和它们组成的合力FT和FT1 。这两个合力之差 FT1? FT 就是横向两个铆钉所共同承受的' 剪力 FT' ，它等于每个铆钉承受的剪力 FS' 的两倍， FT' ? 2FS。126材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算2. 按题文中所用符号，在以下分析中也以A表示一根钢轨的横截面面积，即组合梁半个横截面的面积。FT 和FT1的算式为My FT ? ? ?dA ? ? dA A A I z M * S z ,max ?A Iz ( M ? FS s) y FT1 ? ? ?dA ? ? dA A A Iz ? ydA ? ( M ? FS s) ( M ? FS s) * ? ?A ydA ? I z S z ,max Iz* 式中，S z ,max 为一根钢轨（组合梁的半个横截面）对于组合梁M Iz中性轴z 的静矩。127材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算从而有FS s * F ? FT1 ? FT ? S z ,max Iz' T每个铆钉承受的剪力为FT' sFS S z ,max ' FS ? ? 2 2I z* 3. 为计算 FS 的值，先计算 S z ,max和 Iz 的值。* S z ,max ? A ? c ? 8000mm2 ? 80 mm*'? 64?104 mm3 ? 640?10?6 m 3I z ? 2( I z1 ? A ? c 2 ) ? 2[ mm4 ? (8000mm2 ? (80 mm) 2 ]? 1.344?108 mm4 ? 1.344?10?4 m4128材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算于是有FS' ?* sFS S z ,max2I z0.15 m ? 50 ? 103 N ? 640? 10?6 m 3 ? 2 ? 1.344? 10? 4 m 4? 17.86 ? 103 N ? 17.86 kN4. 铆钉剪切面上的切应力FS' 17860N ?? 2 ? ? 56.9 ?106 P a ? 56.9 MP a πd / 4 π (20?10?3 m) 2 4其值小于许用切应力[? ] ?95 MPa，满足剪切强度条件。129材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅱ. 作用于连接上的力其作用线不通过铆钉组形心对于受偏心荷载F的铆钉连接（或螺栓连接）（图a），亦即作用于连接上的力其作用线不通过铆钉组的形心O时，可如图b所示，简化为通过形心O的力和力偶矩Me=F? e。130材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算若铆钉组中各铆钉的材料和直径都相同，则由于力F引起 的作用在任意铆钉i上的力 Fi ' 均为F Fi ? n'而由于力偶矩Me引起的作用在铆钉i上的力 Fi '' (图b):(1) 其方向垂直于该铆钉中心与铆钉组形心O的连线； (2) 其大小与该连线的长度成正比（将连接板视为刚体）， 即131r '' '' r2 '' '' rn F ? Fi , F2 ? Fi ,?, Fn ? Fi ri ri ri'' 1 '' 1材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算于是由静力关系可导得：M e ? ? Fi '' ri ? F1'' r1 ? F2'' r2 ? ? ? Fi '' ri ? ? ? Fn'' rni ?1n即r r r r M e ? ( Fi '' 1 )r1 ? ( Fi '' 2 )r2 ? ? ? ( Fi '' i )ri ? ? ? ( Fi '' n )rn ri ri ri ri1 n 2 M e ? Fi ? ri ri i ?1''故Fi '' ?M e ri ri 2 ?i ?1 n132材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算' 作用在铆钉i上总的力Fi 则为 Fi '和Fi '' 的矢量和， i ? Fi ' ? Fi '。 F进行铆钉的剪切强度和挤压强度计算时，应对受力最大的铆钉进行。133材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算例题 8－9 图a所示铆钉搭接的托架受集中力F = 12 kN作用，铆钉直径 d = 20 mm。试求受力最大的铆钉其剪切面上的切 应力。 解： 1. 将外力F向铆钉组的形心O简化， 得力F 和力偶矩M e ? (12?103 N) ? (40 mm ? 80 mm) ? 1.44?103 N ? m? 1.44 kN ? m134材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算2. 确定铆钉组形心O至每一铆钉中心的距离ri（参见图b）：r1 ? r6 ? (40 mm) 2 ? (40 mm) 2 ? 56.6 mm ? 0.0566 mr2 ? r5 ? (0) 2 ? (60 mm) 2 ? 60 mm ? 0.06 mr3 ? r4 ? (40 mm) 2 ? (80 mm) 2 ? 89.4 mm ? 0.0894 m135材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案6第八章 组合变形及连接部分的计算i ?1ri 2 ： 3. 确定铆钉组的几何量?ri 2 ? 2 ? (r12 ? r22 ? r32 ) ?i ?1 6? 2 ? (32?10? 4 m2 ? 36?10? 4 m2 ? 80?10? 4 m2 ) ? 296?10? 4 m24. 计算各铆钉所受的力（图b） 由于通过铆钉组形心O的力F：F1' ? F2' ? ? ? F6' ? F ? 2 kN 6136材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算由于力偶矩Me： M r F1'' ? F6'' ? 6 e 1 ri 2 ?i ?1(1.44?103 N ? m)? 0.0566m ? 296?10-4 m 2 ? 2.754?103 N ? 2.754kNF ?F ?'' 2 '' 5M e r2 ri 2 ?i ?1 6? 2.928kNF ?F ?'' 3 '' 4M e r3 ri 2 ?i ?1 6? 4.344kN需要注意的是 F1''和F6'' 虽然数值相同，但它们的方向各自垂直于 连线 O1和O6 而各不相同。 3''和F4'' 以及 F2''和F5'' 的关系也是如此。 F137材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算将 Fi '和Fi '' 按矢量合成以得出每一铆钉所受的力Fi。图b中 示出了1,2,3三个铆钉所受力的情况。经比较按矢量合成后的力 F1，F2，…，F6 知，铆钉1和6所受力最大，F1=F6=4.41 kN。138材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算5. 此连接为搭接，铆钉受单剪，故受力最大的铆钉1和6剪切面上的切应力为F1 4.41?103 N ?1 ? ? 6 ? ? ? 14 ?106 P a ? 14 MP a A s1 π (0.02 m) 2 4139材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案*§8-7第八章 组合变形及连接部分的计算榫齿连接在木结构中，常用榫齿连接，其中有平齿连接（图a）、单齿连接（图b）和双齿连接（图c）等。140材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案图b, c所示连接中的螺栓用来使被连接的两杆件成一个整 体，以防止发生意外事故。在对连接进行强度计算时，这类 螺栓是不予考虑的。现结合图b所示单齿连接说明榫齿连接的 强度计算中需要考虑的几个方面: Ⅰ. 需要保证连接处承压面的压缩强度，并注意到木材为正 交异性材料，其斜纹许用压应力小于顺纹许用压应力。141材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算压缩强度条件为FN ?c ? ? [? c ]a Ac式中， N 为承压面上的压力； A 为承压面面积； [? c ]a为木材 Fc的斜纹许用压应力，下角标a 为承压面上压力 FN 与木纹之间 的夹角；木结构设计规范中对 [? c ]a 随a 的变化有规定。142材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算Ⅱ. 需保证连接处沿剪切面的剪切强度。剪切面强度条件为FS ? ? ? Ks [? ] As式中，FS为剪切面上的剪力，在图示情况下，FS=FNcosa；As 为剪切面面积，图示情况下为 As=bl，此处b为剪切面的宽度；[?] 为木材的顺纹许用切应力；Ks为许用切应力的降低因数，用以考虑剪切面上切应力沿长度分布不均匀，在木结构设计规 范中，根据剪切面长度l 与剪切面“埋深”d 之比有具体规定。143材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案第八章 组合变形及连接部分的计算需要注意的是，在双齿连接的剪切强度计算中，设计规范规定剪切面面积As只取上面那个齿所对应的剪切面面积。Ⅲ. 需保证受拉杆件在截面被榫齿削弱处的拉伸强度。在图示情况下，强剪切面度条件为??FN cosa ? [? ] b( h ? d )式中，[? ] 为木材的顺纹许用拉应力。第八章完144
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