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Unable to connect to your database server using the provided settings.Filename: core/MY_Controller.phpLine Number: 88、9周培优扶差练习题_百度文库
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8、9周培优扶差练习题
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小学六年级奥数培优训练题
目第一章 数与代数 第一讲 比较大小 第二章 实践与应用（一） 第一讲 行程问题（一） 第二讲 行程问题（二） 第三讲 行程问题（三） 第四讲 流水行船问题 第三章 空间与图形 第一讲 表面积、体积（一） 第二讲 表面积、体积（二） 第四章 数论与整除 第一讲应用同余解题 第五章 应用（二） 第一讲 “ 牛吃草”问题 第二讲 不定方程 第三讲 比例（补充） 第六章 组合与推理 第一讲 最大、最小问题 第二讲 乘法和加法原理 第三讲 抽屉原理（一） 第四讲 抽屉原理（二） 第五讲 逻辑推理（一） 第六讲 逻辑推理（二） 第其讲 对策问题录1第一章 数与代数 第一讲 【专题导引】我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研 究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式 1 1 a 的性质进行推理判断。 如:a&b&0， 那么 a2&b2； 如果 a&b&0， 那么 ? ；如果 &1， a b b b&0，那么 a&b 等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近 1 时，可先用 1 减去原分数，再根据 被减数相等（都是 1） ，减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近， 可以先用 1 分别除以这两个数。 再根据被除数相等， 商越小，除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它 作适当的变形后再进行判断。比较大小【典型例题】884 和 【例 1】比较 889【试一试】的大小。661 和 1、比较 663的大小。2、将 987 98 ， ， ， 按从小到大的顺序排列出来。
988 992【例 2】比较111 1111 哪个分数大？ 和 【试一试】 1、比较 A ?333 33 的大小。 和B ? 2、比较4444443 的大小。 和 88888871 3 5 7 9 11 13 15 【例 3】 ? ? ? ? ? ? ? 的积与 0.25 比较，哪个大？ 2 4 6 8 10 12 14 16【试一试】 ： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 35 1 1、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 的积与 比较，哪个大？ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 36 61 3 5 7 99 1 2、 ? ? ? ? ?? ? 的积与 比较，哪个大？ 2 4 6 8 100 1031 2 3 4 73 =B× ? ? 15 =C×15.2÷ =D×14.8× 。A，B， 99 3 4 5 74 C，D 四个数中最大的是_____________。【例 4】已知 A×15× 1【试一试】2 4 1 1、已知 A× 1 ? B ? 90% ? C ? 75% ? D ? ? E ? 1 。把 A，B，C，D，E 这五 3 5 5 个数从小到大排列，第 2 个数是___________。. . 2 5 . 24 13 2、有八个数， 0. 51, ， ， 0.51， ， 是其中的六个数，如果从小到大排列时，第 3 9 47 25四个数是 0.5 1 ，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？.【~例 5】下图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图 中标出（单位：厘米 2） 。问：红色的两个正方形的面积大，还是蓝色的两个正方 形面积大？ 红 蓝19972红20112蓝【~试一试】41、如图所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色两圆的直径分别是 1992 厘 米和 1949 厘米，蓝色两圆的半径分别是 1990 厘米和 1951 厘米。问：红色两圆 面积之和大，还是蓝色两圆的面积之和大？红 红蓝 蓝2、如图所示，正方形被一条曲线分成 了 A、B 两部分，如果 x&y，试比较 A、B 两部分周长的大小。yA Bx课外作业家长签名： 1、比较971 的大小。 和 9742、比较9991 的大小。 和 999454 6 8 、 ? ? ? ?? ? 的积与 0.002 比较，哪个大？ 5 7 9 10000014、在下面四个算式中，最大的得数是几？ 1 1 1 1 （1） ( ? ） （2） ? 20 （ ? ） ? 30 17 19 24 29 1 1 1 1 （3） （4） （ ? ） ? 40 （ ? ） ? 50 31 37 41 4761 3 5 7 99 1 ~5、问 ? ? ? ? ?? ? 与 相比，哪个更大？为什么？ 2 4 6 8 100 10第一章 第一讲 【专题导引】实践与应用（一） 行程问题（一）行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算， 方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种： （1）相遇 问题； （2）相离问题； （3）追及问题。 行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况： （1） 相向而行：相遇时间=距离÷速度和。 （2） 相背而行：相背距离=速度和×时间。 （3） 同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及时间=追及距离÷速度差。7在环行跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差×时间。 解行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情形形象地表示出来，有助于 分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。【典型例题】【例 1】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离 165 千米的工地。甲车 比乙车早到 48 分钟，当甲车到达时，乙车还距工地 24 千米。甲车行完全程用了 多少个小时？【试一试】 1、甲、乙两地之间的距离是 420 千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆 汽车每小时行 42 千米，第二辆汽车每小时行 28 千米。第一辆汽车到乙地立即返 回。两辆车从开出到相遇共用多少小时？2、A、B 两地相距 900 千米，甲车由 A 地到 B 地需 15 小时，乙车由 B 地到 A 地 需 10 小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距 B 地还有多少千米？【例 2】两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站 60 千米的地方 相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回。又 在距中点西侧 30 千米处相遇。两站相距多少千米？【试一试】 1、两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站 55 千米的地方相遇， 之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧 15 千米处相遇。两站相距多少千米？82、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站 40 千米的地方。 两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回，又在离乙站 20 千米的地方相遇。 两站相距多少千米？【例 3】A、B 两地相距 960 米。甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发。若相向 而行，6 分钟相遇；若同向行走，80 分钟甲可以追上乙。甲从 A 地走到 B 地要用 多少分钟？【试一试】 1、一条笔直的马路通过 A、B 两地，甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，若相向 行走，12 分钟相遇；若同向行走，8 分钟甲就落在乙后面 1864 米。已知 A、B 两 地相距 1800 米。甲、乙每分钟各行多少米？2、父、子二人在一 400 米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。若 6 2 相背而行， 2 分钟相遇；若同向而行， 26 分钟父亲可以追上儿子。问：在跑 7 3 道上走一圈，父、子各需要多少分钟？【例 4】上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后，爸爸骑摩托车去 追他。在离家 4 千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头 去追小明。再追上他的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几时几分？9【试一试】 1、A、B 两地相距 21 千米，上午 8 时甲、乙分别从 A、B 两地出发，相向而行。 甲到达 B 地后立即返回，乙到达 A 地后立即返回。上午 10 时他们第二次相遇。 此时，甲走的路程比乙走的多 9 千米。甲一共行了多少千米？甲每小时走多少千 米？2、张师傅上班坐车，回家步行，路上一共要用 80 分钟。如果往、返都坐车，全 部行程要 50 分钟；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？【例 5】甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、72 米。现甲、乙从东 镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过 2 分钟与甲相 遇。东、西两镇相距多少千米？【试一试】 1、有甲、乙、丙三人，甲每分钟行 70 米，乙每分钟行 60 米，丙每分钟行 75 米， 甲、乙从 A 地去 B 地，丙从 B 地去 A 地，三人同时出发，丙遇到甲 8 分钟后，再 遇到乙。A、B 两地相距多少千米？102、 一只狼以每秒 15 米的速度追捕在它前面 100 米处的兔子。 兔子每秒行 4.5 米， 6 秒钟后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒 16.5 米的速度背向兔子逃去。 问：开枪多少秒后兔子与狼又相距 100 米？课外作业家长签名： 1、甲、乙两辆汽车早上 8 点钟分别从 A、B 两城同时相向而行。到 10 点钟时两 车相距 112.5 千米。继续行进到下午 1 时，两车相距还是 112.5 千米。A、B 两 地间的距离是多少千米？2、甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出。第一次相遇时离 A 站有 90 千米。 然后各按原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相遇时离 A 地的距离占 A、B 两站间全程的 65%。A、B 两站间的路程是多少千米？113、两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南 1350 米处向北直行，乙从十字路口处 向东直行。同时出发 10 分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来 速度直行，又过了 80 分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人 的速度。4、当甲在 60 米赛跑中冲过终点线时，比乙领先 10 米，比丙领先 20 米。如果乙 和丙按原来的速度继续冲向终点，那么乙到达终点时将比丙领先多少米？~5、甲、乙两车同时从 A 地开往 B 地，乙车 6 小时可以到达，甲车每小时比乙 车慢 8 千米，因此比乙车迟一小时到达。A、B 两地间的路程是多少千米？12第二讲 【专题导引】行程问题（二）在行程问题中， 与环形有关的行程问题的解决方法与一般行程问题的方法类 似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行 一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。【典型例题】【例 1】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺序针 3 1 方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。甲第一次遇到乙后 1 分遇到丙，再过 3 4 4 2 分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的 ，湖的周长为 600 米，求丙的速度。 3【试一试】 1、甲、乙、丙三人环湖跑步，同时从湖边一固定点出发。乙、丙两人同向，甲 3 1 与乙、丙反向。在甲第一次遇到乙后 1 分钟第一次遇到丙；再过 3 分钟第二次 4 4 遇到乙。已知甲的速度与乙的速度比是 3：2，湖的周长为 2000 米，求三人的速 度。2、 兄、 妹二人在周长为 30 米的圆形小池边玩。 从同一地点同时背向绕水池而行。 兄每秒走 1.3 米，妹每秒走 1.2 米。他们第 10 次相遇时，妹还要走多少米才能 回到出发点？13【例 2】甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出 发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈。跑 2 1 第一圈时，乙的速度是甲的 。甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 ，乙跑第二 3 3 1 圈时速度提高了 。已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点 190 米。这条 5 椭圆形跑道长多少米？【试一试】 ： 1、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走，从 A 处到 C 处要 12 分钟，从 B 处到 A 处要 15 分钟，从 C 处到 B 处要 11 分钟。从 A 处到 B 处需要多少分钟（如下图所 示）？AB C2、摩托车与小汽车同时从 A 地出发，沿长方形的边行驶，结果在 B 地相遇。已 2 知 B 地与 C 地的距离是 4 千米，且小汽车的速度为摩托车速度的 。这条长方形 3 路的周长是多少千米（如图）？ABC14【例 3】绕湖的一周是 24 千米，小张和小王在湖边某一地点同时出发反向而行。 小王以每小时 4 千米速度走 1 小时后休息 5 分钟， 小张以每小时 6 千米速度每走 50 分钟后休息 10 分钟。两人出发多少时间第一次相遇？【试一试】 1、在 400 米环行跑道上，A、B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A、B 两点 同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行 5 米，乙每秒行 4 米，每人跑 100 米都 要停留 10 秒钟。那么，甲追上乙需要多少秒？2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。往、返一次共用去 4 小时。汽车去时每小 时行 45 千米，返回时每小时行驶 30 千米，那么甲、乙两站相距多少千米？【例 4】一个游泳池长 90 米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到 另一端立即返回。照这样往、返游，两人游 10 分钟。已知甲每秒游 3 米，乙每 秒游 2 米。在出发后的两分钟内，两人相遇了几次？【试一试】 1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向出发做往、返游泳训练。从池的 一端到另一端甲要 3 分钟，乙要 3.2 分钟。两人下水后连续游了 48 分钟，一共 相遇了多少次？152、一游泳池泳道长 100 米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、 返训练 15 分钟，甲每分钟游 81 米，乙每分钟游 89 米。甲运动员一共从乙运动 员身边经过了多少次？【~例 5】甲、乙两地相距 60 千米。张明 8 点从甲地出发去乙地，前一半时间 平均速度为每分钟 1 千米，后一半时间平均速度为每分钟 0.8 千米。张明经过多 少时间到达乙地？【~试一试】 1、A、B 两地相距 90 千米。一辆汽车从 A 地出发到 B 地，前一半时间平均每小 时行 60 千米，后一半时间平均每小时行 40 千米。经过多少时间可以到达 B 地？2、甲、乙两人同时从 A 地背向出发，沿 400 米环行跑道行走。甲每分钟走 80 米， 乙每分钟走 50 米。两人至少经过多少分钟才能在 A 点相遇？课外作业家长签名： 1、如图所示，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点，同时出发反 向而行，他们在 C 点第一次相遇，C 点离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 60 米。求这个圆的周长。CAB D162、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是乙速的 3 倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是 100 米。环行跑道有多少米？3、龟、兔进行 10000 米跑步比赛。兔每分钟跑 400 米，龟每分钟跑 80 米，兔每 跑 5 分钟歇 25 分钟，龟不休息。谁先到达终点？4、马路上有一辆身长为 15 米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时 18 千 米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西 向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6 秒钟之后汽车离开了甲，半分钟后，汽车 遇到迎面跑来的乙，又过了 2 秒钟，汽车离开乙。再过几秒钟后，甲、乙两人相 遇？17~5、在 300 米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行 5 米， 乙平均每秒行 4.4 米。两人起跑后的第一次相遇在起跑线前面多少米？第三讲 【专题导引】行程问题（三）本周主要讲结合分数、 百分数知识相关的较为复杂抽象的行程问题。 要注意： 出发的时间、 地点和行驶方向、 速度的变化等， 常常需画线段图来帮助理解题意。【典型例题】【例 1】客车和货车同时从 A、B 两地相对开出。客车每小时行驶 50 千米，货车 的速度是客车的 80％，相遇后客车继续行 3.2 小时到达 B 地。A、B 两地相距多 少千米？18【试一试】 1、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，相遇点距中点 320 米。已知 5 甲的速度是乙的速度的 ，甲每分钟行 800 米。求 A、B 两地的路程。 62、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定 的速度前进，则 4 小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走 1 千米，则 5 小时相遇。那么 A、B 两地的距离是多少千米？【例 2】从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 1：2： 3，某人走这三段路所用的时间比是 4：5：6。已知他上坡的速度为每小时 2.5 千米，路程全长为 20 千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？【试一试】 1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 2：3：5， 小亮走这三段路所用的时间之比是 6： 5： 4。 已知小亮走平路时速度为每小时 4.5 千米，他从甲地走到乙地共用了 5 小时。问：甲、乙两地相距多少千米？2、小明去登山，上午 6 点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山顶停 了 1 小时后按原路返回，上坡速度为每小时 3 千米，下坡速度为每小时 6 千米。 问：小明一共走了多少千米？19【例 3】甲、乙两人分别从 A、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是 3： 2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了 20%，乙的速度提高了 30%。这样，当甲 到达 B 地时，乙离 A 地还有 14 千米。那么 A、B 两地间的距离是多少千米？【试一试】 1、甲、乙两人步行的速度比是 13：11，他们分别由 A、B 两地同时出发相向而 行，0.5 小时后相遇。如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？2、从 A 地到 B 地，甲要走 2 小时，乙要走 1 小时 40 分钟。若甲从 A 地出发 8 分 钟后，乙从 A 地出发追甲。乙出发多久能追上甲？【例 4】甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一 个班的学生。为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时 出发。 甲班学生在中途下车步行去飞机场， 汽车立即返回接途中步行的乙班同学。 已知两班学生步行速度相同，汽车的速度是步行的 7 倍，汽车应在距飞机场多少 千米处返回接乙班同学，才能使两班学生同时到达飞机场（学生上下车及汽车换 向时间不计算）？【试一试】 1、红星小学有 80 名学生租了一辆 40 座的车去海边看日出。未上车的学生步行， 和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边 48 千米，汽车的速度是步行的 9 倍。 汽车应在距海边多少千米处返回接第二批学生， 才能使学生同时到达海边？202、一辆汽车把货物从甲地运往乙地往返只用了 5 小时，去时所用的时间是回来 1 的 1 倍，去时每小时比回来时慢 17 千米。汽车往、返共行了多少千米？ 2【~例 5】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20％，可以比原定时间提 前 1 小时到达；如果按原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25％，则可提前 40 分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？【~试一试】 1、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高 25％，那么可以比原定时间提前 1 1 小时到达；如果以原速行驶 80 千米后，再将速度提高 ，那么可以提前 10 分钟 3 到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？2、一个正方形的一边减少 20％，另一边增加 2 米，得到一个长方形。这个长方 形的面积与原正方形面积相等。原正方形面积是多少平方米？课外作业家长签名： 1、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行，甲和乙的速度比是 3：4。 1 已知甲行了全程的 ，离相遇地点还有 20 千米，相遇时甲比乙少行多少千米？ 3212、青青从家到学校正好要翻过一座小山，她上坡每分钟行 50 米，下坡速度比上 坡速度快 40％，从家到学校的路程为 2800 米，上学要用 50 分钟。从学校回家 要用多少时间？3、甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是 5： 4，相遇后，甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，这样，当甲到达 B 地时，乙 离 A 地还有 10 千米。那么，A、B 两地相距多少千米？4、甲、乙两人以同样的速度，同时从 A、B 两地相向出发，相遇后甲的速度提高 1 1 1 了 ，用 2 小时到达 B 地。乙的速度减少了 ，再用多少小时可到达 A 地？ 3 2 6~5、客、货两车同时从甲、乙两的相对开出，相遇时客、货两车所行路程的比 是 5：4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走 27 千米。客车仍按原速前进， 结果两车同时到达对方的出发站。已知客车一共行了 10 小时。甲、乙两地相距 多少千米？第四讲 【专题导引】流水行船问题当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的 是迎面吹来的风。当顺风时，借着风力，相对而言用力较少。在你的生活中是否22也遇到过类似的如流水行船问题。 解答这类题的要素有下列几点：水速、顺速、船速（速水速度） 、逆速、距 离，解答这类题与和差问题相似。船速相当于和差问题中的大数，水速相当于小 数，顺流速度相当于和数，逆流速相当于差数。 船速=（顺流船速+逆流船速）÷2； 水速=（顺流船速-逆流船速）÷2； 顺流船速=船速+水速； 逆流船速=船速-水速； 顺流船速=逆流船速+水速×2； 逆流船速=顺流船速-水速×2。【典型例题】【例 1】一条轮船往返于 A、B 两地之间，由 A 地到 B 地是顺水航行，由 B 地到 A 地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时 20 千米，由 A 到 B 用了 6 小时， 由 B 到 A 所用的时间是由 A 到 B 所用时间的 1.5 倍，求水流速度。【试一试】 ： 1、水流速度是每小时 15 千米。现在有船顺水而行，8 小时行 320 千米。若逆水 行驶 320 千米需几小时？2、水流速度每小时 5 千米。现在有一船逆水在 120 千米的河中航行需 6 小时， 顺水航行需几小时？【例 2】有一船行驶于 120 千米长的河中，逆行需 10 小时，顺行要 6 小时，求 船速和水速。【试一试】231、有只大木船在长江中航行。逆流而上 5 小时行 5 千米，顺流而下 1 小时行 5 千米。求这只木船的静水速度和水流速度各是多少？2、有一船完成 360 千米的水程运输任务。顺流而下 30 小时到达，但逆流而上则 需 60 小时。求河水流速和静水中船的速度？【例 3】轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了 8 小时；逆流而 上，行了 10 小时。如果水流速度是每小时 3 千米，求两码头之间的距离。【试一试】 ： 1、一艘轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行了 7 小时，逆 流而上行了 10 小时。如果水流速度是每小时 3.6 千米，求甲、乙两个港口之间 的距离？2、一艘渔船顺水每小时行 18 千米，逆水每小时行 15 千米。求船速和水速各是 多少？【例 4】汽船每小时行 30 千米，在长 176 千米的河中逆流航行要 11 小时到达， 返回需几小时？【试一试】 ： 1、当一机动船在水流每小时 3 千米的河中逆流而上时，8 小时行 48 千米。返回24时水流速度是逆流而上的 2 倍。需几小时行 195 千米？2、已知一船自上游向下游航行，经 9 小时后，已行 673 千米，此船每小时的船 速是 47 千米。求此河的水速是多少？【~例 5】有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河 东向西而行。甲船行 4 小时后与漂流物相距 100 千米，乙船行 12 小时后与漂流 物相遇，两船的船速相同，河长多少千米？【~试一试】 1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由 A 地向 B 地前行，乙木排也同时从 B 地 向 A 地前行，甲木排 5 小时后与漂流物相距 75 千米，乙木排航行 15 小时后与漂 流物相遇，两只木排的船速相同，A、B 两地长多少千米？2、 有一条河在降雨后， 每小时水的流速在中流和沿岸不同。 中流每小时 59 千米， 沿岸每小时 45 千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行 15 小时走完 570 千米的路 程，回来时几小时走完中流的全程？课外作业家长签名： 1、一船从 A 地顺流到 B 地，航行速度是每小时 32 千米，水流速度是每小时 4 千 1 米， 2 天可以到达。此船从 B 地返回到 A 地需多少小时？ 2252、一海轮在海中航行。顺风每小时行 45 千米，逆风每小时行 31 千米。求这艘 海轮每小时的船速和风速各是多少？3、沿河有上、下两个市镇，相距 85 千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度 是每小时 18.5 千米，水流速度每小时 1.5 千米。求往、返一次所需的时间。4、一只小船在河中逆流航行 3 小时行 3 千米，顺流航行 1 小时行 3 千米。求这 只船每小时的速度和河流的速度各是多少？~5、有一架飞机顺风而行 4 小时飞 360 千米。今出发至某地顺风去，逆风回， 返回的时间比去的时间多 3 小时。已知逆风速度为 75 千米/小时，求距目的地多 少千米？26第二章 第一讲 【专题导引】空间与图形表面积、体积（一）小学阶段所学的立体图形主要有四种：长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。 从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。 因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式做适当的变 形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致的观察，合理大胆的想象， 正确灵活的运用。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。 反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的正方体，应把它们最小的面拼 合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面积拼 合起来。【专题导引】【例 1】从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（考虑有多种挖法）【试一试】 1、从一个长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2 厘米 的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为 12 分米，宽为 6 分米，高为 9 分米的长方体木块锯成两个相同的 小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多 少平方分米？27【例 2】把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来，如下图所示，拼成一个立体 图形，求这个立体图形的表面积。从上往下看从前往后看从左往右看【试一试】 1、用棱长是一厘米的立方体拼成下图所示的立方体图形。求这个立体图形的表 面积。2、一堆积木（如图所示） ，是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体堆成的。它们的 表面积是多少平方厘米？【例 3】把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成 一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？28【试一试】 1、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面 积是多少？2、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体 拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少？【例 4】一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增 加 3 厘米，则体积增加 90 立方厘米。求原长方体的表面积。【试一试】 1、一个长方体，如果长减少 2 厘米，则体积减少 48 立方厘米；如果宽增加厘米， 则体积增加 65 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米。原来长 方体的表面积是多少平方厘米？2、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后， 便成为一个正方体，其表面积减少了 120 平方厘米。原来长方体的体积是多少立 方厘米？【~例 5】如图所示，将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三 个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。【~试一试】291、一个棱长为 40 厘米的正方体零件（如图所示）的上、下两个面上，各有一个 直径为 4 厘米的圆孔，孔深为 10 厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图所示的工件（单位：厘米） ，需用铁皮多少平方厘米？54 15 46课外作业家长签名： 1、在一个棱长是 4 厘米的长方体上挖一个棱长是 1 厘米的小正方体后，表面积 会发生怎样的变化？（考虑有多种挖法）2、一个正方体的表面积是 384 平方厘米，把这个正方体平均分割成 64 个相等的 小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？303、用 6 块长、宽、高分别是 3 厘米、2 厘米、1 厘米的长方体木块拼成一个大长 方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？4、有一个长方体（如图所示） ，它的正面和上面的面积之和是 209。如果它的长、 宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？~5、如图所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、 下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10 厘米，侧面上的洞口 是边长为 4 厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求该立方体 的表面积和体积。 （∏取 3.14） 。31第二讲 【专题导引】表面积、体积（二）解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取 出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如 果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体 积。 （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保 持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止 思维定势。【典型例题】【例 1】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 6 米、3 米、2 米。 把两堆碎石都沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米。如 果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？32【试一试】 1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 4 米、3 米、2 米。把两 堆碎石都沉在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了 4 厘米和 11 厘米。 如果将这两堆碎石都沉在大水池里，那么大水池的水面将升高多少厘米？2、用直径为 20 厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为 30 厘米、20 厘米、5 厘 米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到 0.1 厘米）？【例 2】一只底面直径是 10 厘米的圆柱形瓶中，水深 8 厘米，要在瓶中放入长 和宽都是 8 厘米、高是 15 厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘 米？【试一试】 1、一个底面积是 15 平方厘米的玻璃杯中装有高 3 厘米的水。现把一个底面半径 是 1 厘米、高 5 厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米 （∏取 3）？2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 5 厘米，玻璃杯内侧的底面积是 72 平方 厘米。在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方体铁后，水面没有淹没铁块，这时水面 高多少厘米？33【例 3】某面粉厂有一容积是 24 立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的 2 倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的 体积。 （如图所示）【试一试】 1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积 是 216 立方分米。求这个圆锥体的体积。2、一个正方体的纸盒中，恰好能装入一个体积 6.28 立方厘米的圆柱体。纸盒的 容积有多大（∏取 3.14）？【例 4】如果把 12 件同样长的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种 包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？34【试一试】 1、如果把长 8 厘米，宽 7 厘米，高 3 厘米的 12 件同样的长方形物品打包，形成 一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？2、一个精美小礼品盒的形状是长 9 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体。请你 帮厂家设计一个能装 10 个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什 么？【~例 5】一只集装箱，它的内尺寸是 18×18×18。现在有一批货箱，它的外尺 寸是 1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？【试一试】 1、有一个长方体的盒子，从里面量长为 40 厘米、宽为 12 厘米、高为 7 厘米。 在这个盒子里放长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，最多可放几块？2、从一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方体上面，尽可能 大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再 从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体， 剩下的体积是多少立方厘米？35课外作业家长签名： 1、将表面积为 54 平方厘米、96 平方厘米、150 平方厘米的三个铁质正方体熔铸 成一个大正方体（不计损耗） 。求这个大正方体的体积。2、在底面是边长为 60 厘米的正方形的一个长方体容器里，直立放着一个长 100 厘米、底面边长为 15 厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水深 50 厘米。 现在把铁棍轻轻地向正上方提起 24 厘米，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多 少厘米？3、如图所示，圆锥形容器中装有 3 升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这 个容器还能装多少水？hh 24、一包香烟的形状是长方体，它的长是 9 厘米，宽是 5 厘米，高是 2 厘米。把 10 包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需 要多少包装纸（包装纸的重叠部分忽略不计） 。你认为哪一种包装比较合理？36~5、现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘 米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好） ，你做的铁皮 盒容积是多少立方厘米？第三章 第一讲 【专题导引】数论与整除 应用同余解题同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样 的： 两个整数 a、b，如果它们除以同一自然数 m 所得的余数相同，则称 a、b 对 于模 m 同余。记作：a≡b（mod m） 。读做:a 与 b 关于模 m 同余。比如，12 除以 5，47 除以 5，它们有相同的余数 2，这时我们就说，对于除数 5，12 和 47 同余， 记做 12≡47（mod 5） 。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质 1：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差） 同余。比如：32 除以 5 余数是 2，19 除以 5 余数是 4，两个余数的和是 2+4=6。 “32+19”除以 5 的余数就恰好等于它们的余数和 6 除以 5 的余数。也就是说， 对于除数 5， “32+19” 与它们的余数和 “2+4” 同余， 用符号表示就是： 32≡2 （mod 5） ，19≡4（mod 5） ，32+19≡2+4≡1（mod 5） 。 性质 2：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质 3：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被 这个除数整除。 性质 4：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。37应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。 把求 一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数， 使 复杂的题变简单，使困难的问题变容易。【典型例题】【例 1】求 1992×59 除以 7 的余数。【试一试】 ： 1、求
除以 6 的余数。2、求
除以 13 的余数。【例 2】已知 2001 年的国庆节是星期一，求 2010 年的国庆节是星期几？【试一试】 ： 1、已知 2002 年元旦是星期二。求 2008 年元旦是星期几？2、已知 2002 年的“七月一日”是星期一。求 2015 年的“十月一日”是星期几？【例 3】求
除以 13 的余数。38【试一试】 ： 200 1、求 16 除以 13 的余数。2、求 392 除以 21 余几。【例 4】自然数 1，14177 除以 m 的余数相同，m 最大是多少？【试一试】 ： 1、若 ， 四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相 同。除数是多少？2、一个整数除 226，192，141 都得到相同的余数，且余数不为 0，这个整数是 几？【例 5】某数用 6 除余 3，用 7 除余 5，用 8 除余 1。这个数最小是几？【试一试】 ：391、某数除以 7 余 1，除以 5 余 1，除以 12 余 9。这个数最小是几？2、某数除以 7 余 6，除以 5 余 1，除以 11 余 3，求此数最小值？课外作业家长签名： 1、求 879× 除以 11 的余数。2、今天是星期四，再过 36515 天是星期几？3、9 个小朋友坐成一圈，要把 357 粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？404、当 1991 和 1769 除以某一个自然数 m 时，余数分别为 2 和 1，那么 m 最小是 多少？~5、在一个圆圈上有几十个孔（如图） ，小明像玩跳棋那样从 A 孔出发沿逆时针 方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回 A 孔，他先试着每隔 2 孔跳一步， 结果只能跳到 B 孔。他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔。最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回 A 孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？BA第四章应用（二）第一讲 “牛吃草”问题 【专题导引】牛吃草问题是牛顿问题， 因牛顿提出而得名的。 “一堆草可供 10 头牛吃 3 天， 供 6 头牛吃几天？”这题很简单，用 3×10÷6=5（天） 。如果把“一堆草”换成 “一片正在生长的草地” ，问题就不那么简单了。因为草每天都在生长，草的数 量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。 解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。 牧场上原有的草是不 变的， 新长出的草虽然在变化， 因为是匀速生长， 所以每天新长出的草是不变的。 正确计算草地上原有的草及每天长出的新草，问题就容易解决了。【典型例题】【例 1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周。那么这片草地可供 21 头牛吃几周？41【试一试】 ： 1、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供 24 头牛吃 6 天，20 头牛吃 10 天。那么，可供 19 头牛吃多少天？2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或 者可供 15 头牛吃 10 天。问可供 25 头牛吃几天？【例 2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减 少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算， 可供多少头牛吃 10 天？【试一试】 ： 1、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上 的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？2、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供 33 头牛 吃 5 天，或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天？【例 3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。 已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶，结果男孩用 5 分钟到达 楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？【试一试】 ： 1、自动扶梯以均匀速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走4225 级台阶，小红每分钟走 20 级台阶，结果小明用 5 分钟、小红用了 6 分钟分别 到达楼上。该扶梯共多少级台阶？2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27 级台 阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到达另 一端，该扶梯共多少级台阶？【例 4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一 些水。如果用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时才能舀 完。现在要想 2 小时舀完，需要多少人？【试一试】 ： 1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时 可以把水抽干？2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开 后，如果每小时注水 30 立方分米，7 小时可以注满水箱；如果每小时注水 45 立 方分米，注满水箱可少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的 水（设每小时排水量相同）？【~例 5】有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且 长得一样快。 第一块草地可供 11 头牛吃 10 天， 第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。 问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？43【~试一试】 ： 1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口 需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？2、快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度 分别是每小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中车追 上自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用多少小时？课外作业家长签名： 1、牧场上的青草每天都在匀速生长。这片牧草可供 27 头牛吃 6 周或供 23 头牛 吃 9 周。那么，可供 21 头牛吃几周？2、 经测算， 地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年， 或可供 80 亿人生活 300 年。 假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要， 地球最多能养活多少亿人？3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛 白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬 20 分米，另一只爬 15 分米。黑夜里 往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用 5 个昼夜到达井 底，另一只蜗牛恰好用 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？444、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3 台抽水机 来抽水，36 分钟可以抽完；如果使用 5 台抽水机，20 分钟抽完。现在 12 分钟内 要抽完井水，需要抽水机多少台？~5、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 17 头牛吃 30 天，或供 19 头牛吃 24 天。现有一群牛吃了 6 天后卖掉 4 头，余下的牛又吃了 2 天将草吃 完。这群牛原来有多少头？第二讲 【专题导引】不定方程当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方 程。如 5x-3y=9 就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话， 它的解有无数个；如果附加一些限制的条件，那么它的解的个数就是有限的了。 如 5x-3y=9 的解有：?x ? 2 .4 y ?1， y ?1.5 ， y ? 2 ， y ? 2.1 ，?x ? 2 .7?x ?3?x ? 3.06?x ? 3 .6 y ?3，??如果限定 x,y 的解是小于 5 的整数，那么解就只有 x=3,y=2 这组了。因此， 研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形， 把其中的一个未知数用另一个未知 数来表示，然后在一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数前面系数的特 点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有 3 个未知数的不定方程组， 可用消去法把它转化为二元一次不定方程45后再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取 适当的值。【典型例题】【例 1】求 3x+4y=23 的自然数解。【试一试】 1、求 3x+2y=25 的自然数解。2、求 4x+5y=37 的自然数解。【例 2】求下面方程组的正整数解。?5 x ? 7 y ? 3 z ? 25 3 x ? y ?6 z ? 2【试一试】求下面方程组的正整数解。4 x ?3 y ? 2 z ?7 1、 3 x ? 2 y ? 4 z ? 21?7 x ? 9 y ?11z ? 68 2、 5 x ? 7 y ? 9 z ? 52?【例 3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装 12 个，每个小盒子装 546个，恰好装完。如果弹子数为 99，盒子数大于 9，问两种盒子各有多少个？【试一试】 1、某校六（1）班学生 48 人到公园划船。如果每只小船可坐 3 人，每只大船可 坐 5 人。那么需要小船和大船各几只（大、小船都有）？2、甲级铅笔 7 角钱一支，乙级铅笔 3 角钱一支，小花用六元钱恰好可以买两种 不同的铅笔共几支？【例 4】买三种水果 30 千克，共用去 80 元。其中苹果每千克 4 元，橘子每千克 3 元，梨每千克 2 元。问三种水果各买了多少千克？【试一试】 1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的 9 倍， 蓝皮球有多少只？2、用 10 元钱买 25 支笔。已知毛笔每支 2 角，彩色笔每支 4 角，钢笔每支 9 角。 问每种笔各买几支（每种都要买）？【~例 5】某次数学竞赛准备了 22 支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的 学生。原计划一等奖每人发 6 支，二等奖每人发 3 支，三等奖每人发 2 支。后来 又改为一等奖每人发 9 支，二等奖每人发 4 支，三等奖每人发 1 支。问：一、二、 三等奖的学生各有几人？47【~试一试】 1、某人打靶，8 发打了 53 环，全部命中在 10 环、7 环和 5 环上。他命中 10 环、 7 环和 5 环各几发？2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋 30 个，价值 24 元。已知煮蛋每个 0.60 元，茶 叶蛋每个 1 元，皮蛋每个 1.20 元。问篮子里最多有几个皮蛋？课外作业家长签名： 1、求 5x-3y=16 的最小自然数解。2、求下面方程组的正整数解。?5 x ? 7 y ? 4 z ? 26 3 x ? y ?6 z ? 23、小华和小强各用 6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一支 和 7 分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来铅笔多少48支？4、小敏在文具店买了三种贴纸：普通贴纸每张 8 分，荧光贴纸每张 1 角，高级 贴纸每张 2 角。她一共用了一元两角两分钱。那么，小敏的三种贴纸的总数最少 是多少张？1 1 1 ~5、一头猪卖 3 个银币，一头山羊卖 1 个银币，一头绵羊卖 个银币。有人 2 3 2 用 100 个银币买了这三种牲畜 100 头。问猪、山羊、绵羊各几头？49第六章 第一讲 【专题导引】组合与推理 最大、最小问题人们碰到的各种优化问题、 高效低耗问题， 最终都表现为数学上的极值问题， 即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题涉及到的知识多，灵活性强，解题时 要善于综合运用所学的各种知识。【典型例题】【例 1】a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数，求a?b 的最大值。 a?b【试一试】 1、设 x 和 y 是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求x? y 的最大值。 x? y2、a 和 b 是小于 50 的两个不同的自然数，且 a&b，求a?b 的最小值。 a?b【例 2】有甲、乙两个两位数，甲数的 是多少？2 2 等于乙数的 。这两个两位数的差最多 7 350【试一试】 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 少？3 4 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多 10 52、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 的和最小是多少？5 1 恰好等于乙数的 。那么甲、乙两数 6 4【例 3】把 14 拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积 最大？【试一试】 1、把 16 拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？2、把 50 拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？【例 4】三个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。这 三个数中最小的数是多少？ 试一试：1、三个连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是 252。三个数中最小 的数是__________。512、a，b，c 是从大到小排列的三个数，且 a-b=b-c，前两个数的积与后两个数的 积之差是 280。如果 b=35，那么 c 是__________。【~例 5】有三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数的和是 2886。求 所有这样的 6 个三位数中最小的三位数。【试一试】 1、有三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个不同的三位数的和是 3108。所 有这样的 6 个三位数中最大的一个是多少？2、有三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个不同三位数的和是 2220。所有 这样的 6 个三位数中最小的一个是多少？课外作业家长签名： 1、x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数，且 x&y，①求x? y 的最小值。 x? y x? y 的最大值； x? y②求2、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别52能做 48 个、32 个、28 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少 工人？3、把 2001 拆成若干个自然数的和，使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？6 5 10 4、被分数 ， ， 除得的结果都是整数的最小分数是_________。 7 14 21~5、用 a，b，c 三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数相加的和是 2886。已知 a，b，c 三个数字中，最大的数字是最小数字的 2 倍，这 6 个三位数 中最小的数是多少？53第二讲 【专题导引】乘法和加法原理在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法， 要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理解决。做一件事时有几类不 同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。【典型例题】【例 1】由数字 0，1，2，3 组成三位数，问： ① 可组成多少个不相等的三位数？ ② 可组成多少个没有重复数字的三位数？【试一试】 1、由数字 1，2，3，4，5，6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减 法算式？【例 2】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1，2，3，4， 5，6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？54【试一试】 1、在 1～1000 的自然数中，一共有多少个数字 0？2、在 1～500 的自然数中，不含数字 0 和 1 的数有多少个？【例 3】书架上层有 6 本不同的数学书，下层有 5 本不同的语文书，若任意从书 架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？【试一试】 1、商店里有 5 种不同的儿童上衣，4 种不同的裙子，妈妈准备为女儿买上衣一 件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？2、小明家到学校共有 5 条路可走，从学校到少年宫共有 3 条路可走。小明从家 出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？【例 4】在 2，3，5，7，9 这五个数字中，选出四个数字，组成被 3 除余 2 的四 位数，这样的四位数有多少个？55【试一试】 1、在 1，2，3，4，5 这五个数字中，选出四个数字组成被 3 除余 2 的四位数， 这样的四位数有多少个？2、在 1，2，3，4，5 这五个数字中，选出四个数字组成被 3 整除的四位数，这 样的四位数有多少个？【~例 5】从学校到少年宫有 4 条东西的马路和 3 条南北的马路相通（如图） ， 小明从学校出发步行到少年宫（只许向东或向西南行进） ，最多有多少种走法？A D G N S B E H C F M T （少年宫）【~试一试】 1、从学校到图书馆有 5 条东西的马路和 5 条南北的马路相通（如图） 。李菊从学 校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进） ，最多有多少种走法？学校（少年宫）2、某区的街道非常整齐（如图） ，从西南角 A 处走到东北角 B 处，要求走最近 的路，一共有多少种不同的走法？56BA课外作业家长签名： 1、由数字 1，2，3，4，5，6，7，8 可组成多少个： ① 三位数； ② 三位偶数； ③ 没有重复数字的三位偶数； ④ 百位是 8 的没有重复数字的三位数； ⑤ 百位是 8 的没有重复数字的三位偶数。2、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能 把锁和钥匙配起来？3、由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？4、张师傅到食堂吃饭，主食有 2 种，副食有 6 种，主、副食各选一种，他有几 种不同的选法？575、在 1，4，5，6，7 这五个数字中，选出四个数字组成被 3 除余 1 的四位数， 这样的四位数有多少个？~6、如图有 6 个点，9 条线段，一只小虫从 A 点出发，要沿着某几条线段爬到 F 点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不 同的走法？A B CDEF第三讲 【专题导引】抽屉原理（一）如果给你 5 盒饼干，让你把它们放进 4 个抽屉，可以肯定有一个抽屉里至少 有 2 盒饼干。如果把 4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有 2 封信。如果把 3 本联系册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分 到 2 本练习册。这些简单的例子就是数学中的“抽屉原理” 。 基本的抽屉原理有两条： （1）如果把 x+k（k≥1）个元素放到 x 个抽屉里， 那么至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素。 （2）如果把 m×x+k（x＞k ≥1） 个元素放到 x 个抽屉里， 那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按 以下步骤解答：a、构造抽屉，找出元素。B、把元素放入（或取出）抽屉。C、 说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。【典型例题】【例 1】某校六年级有学生 367 人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什58么？【试一试】 1、某校有 370 名 1992 年出生的学生，其中至少有两个学生的生日是同一天，为 什么？2、某校有 30 名学生是 2 月份出生的。能否至少有两个学生的生日是在同一天？【例 2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、 二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的 书（每种书最多买一本）？【试一试】 1、某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本、 二本、三本或四本的。问至少去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书 （每种书最多买一本）？2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么 至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？【例 3】一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四 种，问最少要摸出多少只手套才能保证有 3 副同色的？59【试一试】 1、一只布袋中装有大小相同、颜色不同的手套。颜色有黑、红、蓝、黄四种。 问：最少要摸出多少只手套才能保证有 4 副同色的？2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问： 最少要摸出多少只袜子，才能保证有 3 双同色的？【例 4】任意 5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 的倍数，这是为 什么？【试一试】 1、 任意 6 个不相同的自然数， 其中至少有两个数的差是 5 的倍数， 这是为什么？2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数？【~例 5】能否在下图的 5 行 5 列方格表的每个空格中，分别填上 1，2，3 这三 个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？60【~试一试】 1、能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中分别填上 1，2，3 这三个数中的任一个， 使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？2、证明在 8×8 的方格表的每个空格中，分别填上 3，4，5 这三个数中的任一个， 在每行、每列及每条对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。课外作业家长签名： 1、15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？2、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种， 问最少要取出多少个珠子才能保证有 2 个同色的？613、一个布袋里有红、黄、蓝色的袜子各 8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，最 少要拿出多少只才能保证其中至少有 2 双颜色相同的袜子？4、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为 n 的倍数。~5、在 3×9 的方格图中（如下图所示） ，将每一个小方格涂上红色或者蓝色， 不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？62第四讲 【专题导引】抽屉原理（二）在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而 增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的 等式： 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是 0，则最小数=商+1；如果余数正好是 0，则最小数=商。【典型例题】【例 1】幼儿园里有 120 个小朋友，各种玩具有 364 件。把这些玩具分给小朋友， 是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？【试一试】 1、一个幼儿园大班有 40 名小朋友，班里有各种玩具 125 件。把这些玩具分给小 朋友，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？2、把 16 支铅笔放入三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于 6 支。这是为什 么？【例 2】布袋里有 4 种不同颜色的球，每种都有 10 个。最少取出多少个球，才 能保证其中一定有 3 个球的颜色一样？【试一试】 1、布袋中有足够多的 5 种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定 有 3 个颜色一样的球？2、一个容器里放有 10 块红木块、10 块白木块、10 块蓝木块，它们的形状、大63小都一样，当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同，应至少取出多少块木块？【例 3】某班共有 46 名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、 美术、书法和英语，每人可参加 1 个、2 个、3 个或 4 个兴趣小组。问班级中至 少有几名学生参加的项目完全相同？【试一试】 1、某班有 37 个学生，他们都订阅了《小主人报》 、 《少年文艺》 、 《小学生优秀作 文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参 加两个（可以不参加） 。某班有 52 名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的 情况完全相同？【例 4】从 1 至 30 中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数 是 3 的倍数？【试一试】 1、在 1，2，3，??，49，50 中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中64一定有一个数能被 5 整除？2、从 1 至 120 中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的 倍数？【~例 5】将 400 张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不超过 11 张， 试证明：至少有七名同学得到的卡片的张数相同。【~试一试】 1、把 280 个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过 10 个。证明无论怎样分，至少 有 6 只猴子得到的桃一样多。2、把 61 颗棋子放在若干个格子中，每个格子最多可以放 5 颗棋子。证明：至少 有 5 个格子中的棋子数目相同。课外作业65家长签名： 1、把 25 个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有 7 个球？2、一副扑克牌共 54 张，其中 1~13 点各有 4 张，还有两张王的扑克牌。至少要 取出几张牌，才能保证其中必有 4 张牌的点数相同？3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个问：在 31 个搬运 者中至少有几人搬运完全相同？4、 从 1 至 36 中， 最多可以取出几个数， 使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数？66~5、汽车 8 小时行了 310 米，已知汽车第一小时行了 25 千米，最后一小时行了 45 千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了 80 千米。第五讲 【专题导引】逻辑推理（一）逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它 依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 解决这类问题通常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法 等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找 到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。 推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反证法” 。要善于借助表格， 把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。 填表时， 对正确的 （或不正确的） 结果要及时注上“√” （或“×” ） ，也可以分别用“1”或“0”代替，以免引 起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。 推理的过程， 必须要有充足的理由或充分的根据， 并常常伴随着论证、 推理， 论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。【典型例题】【例 1】星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室 人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、67李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一人说的是真话，请问：桌凳是谁修好的？【试一试】 1、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获 奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人 说了真话，那么，谁是获奖者？2、一位警察，抓获 4 个盗窃嫌疑犯 A，B，C，D，他们的供词如下： A 说： “不是我偷的” 。 B 说： “是 A 偷的” 。 C 说： “不是我” 。 D 说： “是 B 偷的” 。 他们 4 人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？ 【例 2】虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名 学生的成绩进行了如下的估计： （1） 丙得第一，乙得第二。 （2） 丙得第二，丁得第三。 （3） 甲得第二，丁得第四。 比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前 4 名。但以上三种估计，每一 种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？【试一试】 1、甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛。赛后，他们四人预测名次的谈话如 下： 甲： “丙得第一，我第三” 。 乙： “我第一，丁第四” 。 丙： “丁第二，我第三。 ” 丁：没有说话。 最后公布结果时，发现甲、乙、丙三人的预测都只对了一半。请你说出这 次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。682、某小学最近举行一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的 5 名学生的短跑成 绩作了如下的估计： A 说： “第二名是 D，第三名是 B” ； B 说： “第二名是 C，第四名是 E” ； C 说： “第一名是 E，第五名四 A” ； D 说： “第三名是 C，第四名是 A” ； E 说： “第二名是 B，第五名是 D。 ” 这 5 位同学每人说对了一半。请你猜一猜 5 位同学的名次。【例 3】张、王、李三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电 工。 ① 张不在甲厂，②王不在乙厂，③在甲厂的不是钳工，④在乙厂的是车工， ⑤王不是电工。 这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？ 【试一试】 1、某大学宿舍里 A，B，C，D，E，F，G 七位同学，其中两位来自哈尔滨，两 位来自天津，两位来自海南，一位来自广州，还知道： （1）D，E 来自同一地方； （2）B，G，F 不是北方人； （3）C 没有去过哈尔滨。 那么，A 来自什么地方？2、每个星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都在讲真话；乙 在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话。 今天甲说： “昨天是我说谎的日子。 ”乙说： “昨天也是我说谎的日子。 ”今天 是星期几？ 你能确定谁是校长，谁是老师，谁是家长吗？【例 4】六年级有四个班，每个班都有正、副班长各一人。平时召开年级班长会 议时，各班都只有一人参加。参加第一次会议的是小马、小张、小刘、小林；参 加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、 小马、小张，小徐因有病，三次都没有参加。你知道他们哪两个是同班的吗？69【试一试】 1、某市举行家庭普法学习竞赛，有 5 个家庭进入决赛（每家 2 名成员） 。决赛时 进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参赛，第一项参赛的是吴、孙、赵、李、 王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑； 第四项参赛的是周、吴、孙、张、王。另外，刘某因故四次均未参赛。谁和谁是 同一家庭的？2、刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。 事先规定：兄、妹不许搭伴。 第一局：刘刚和小丽对李强和小英。 第二局：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。 那么，三个男孩的妹妹分别是谁？ 【例 5】已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的大学学习化 学、地理、物理。①张新不在北京学习；②李敏不在苏州学习；③在北京学习的 同学不学物理；④在苏州学习的同学是学化学的；⑤李敏不学地理。三位同学各 在什么城市学什么？【试一试】 1、甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和 教师。已知：①甲不在南京工作；乙不在苏州工作；在苏州工作的是工人；在南 京工作的不是教师；乙不是农民。三人各在什么地方工作？各是什么职业？2、小明、小青、小菊读书的学校分别是一小、二小、三小，他们各自爱好游泳、 篮球、排球中的一项体育运动。但究竟谁爱好哪一项运动，在哪个学校读书还不 清楚，只知道： （1）小明不在一小。 （2）小青不在二小。 （3）爱好排球的在二小。 （4）爱好游泳的在一小。 （5）爱好游泳的不是小青。课外作业70家长签名： 1、有 500 人聚会，其中至少有一人说假话，这 500 人里任意两个人总有一个说 真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？2、某次考试考完后，A、B、C、D 四个同学猜测他们的考试成绩。 A 说： “我肯定考得最好” 。 B 说： “我不会是最差的” 。 C 说： “我没有 A 考得好，但也不是最差的” 。 D 说： “可能我考得最差。 ” 成绩一公布，只有一人说错了。请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序3、王涛、李明、江兵三人在一起谈话。他们当中一位是校长，一位是老师，一 位是学生家长。现在只知道： （1）江兵比家长年龄大。 （2）王涛和老师不同岁。 （3）老师比李明年龄小。 你能确定谁是校长、谁是老师、谁是家长吗？4、有三只小袋，一只小袋有两粒红珠，另一只小袋有两粒蓝珠，第三只小袋装 有一粒蓝珠和一粒红珠。小兰不慎把小袋外面的三只标签都贴错了。请问从哪只 小袋中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠？71~5、甲、乙、丙分别是工程师、会计师和教师。他们的业余爱好分别是文学、 绘画和音乐。现在知道： （1）爱好音乐、文学者和甲一起看电影。 （2）爱好绘画 者常常请会计师讲经济学。 （3）乙不爱好文学。 （4）工程师常埋怨自己对绘画和 音乐一窍不通。 请问每个人的职业和爱好各是什么？第六讲 【专题导引】逻辑推理（二）解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与 推理交替进行。而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识72与生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学 数学竞赛中比较流行的题型。 解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。通常从已知 条件出发可以推出两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这 就要善于运用排除法、反证法逐一试验。 当感到题中条件不够时，要注意从生活常识、数的性质、数量关系和数学规 律等方面寻找隐蔽条件。【典型例题】【例 1】小华和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。 到现在为止，小华已经比赛了 4 盘。甲赛了 3 盘，乙赛了 2 盘，丁赛了 1 盘。丙 赛了几盘？【试一试】 1、A，B，C，D，E 五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止， A 已经比赛了 4 盘， B 比赛了 3 盘， C 比赛了 2 盘， D 比赛了 1 盘， E 比赛了几盘？2、A 先生和 A 太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一 次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A 先生问了每个人（包括他妻子）握 手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A 太太握了几次手？【例 2】图示是同一个标有 1，2，3，4，5，6 的小正方体的三种不同的摆法。 图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少？6 1 （1） 4 2 3 （2）735 1 4 （3） 3【试一试】 1、如图所示，标有 1，2，3，4，5，6 的三个正方体是同一个正方体的几种不同 摆法。三个正方体朝左的那一面的数字和是多少？2 1 （1） 3 2 3 （2） 4 6 3 （3） 红 12、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂 （每一面只涂一种颜色） 。现有涂色方式完全一 小正方体，把它们拼成长方体（如图所示） ，每 面的对面涂的是什么颜色？黄色对面呢？黑色黑 黄 红 白 蓝 红在正方体各面上 样的相同的四块 个小正方体红色 对面呢？黄 白【例 3】某班 44 人，从 A，B，C，D，E 五位候选人中选举班长。A 得选票 23 张， B 得选票占第二位，C，D 得票相同，E 的选票最少，只得了 4 票。那么 B 得选票 多少张？【试一试】 1、某商品编号是一个三位数，现有 5 个三位数：874，765，123，364，925。其 中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字， 这个商品编号是多 少？2、某楼住着 4 个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最小的 4 岁。最大的男孩比最小的女孩大 4 岁，最大的女孩也比最小的男孩大 4 岁。最 大的男孩多少岁？74【例 4】将 1，2，3，4，5，6，7，8 八个数分成两组，每组 4 个数，并且两组 数之和相等。从 A 组拿一个到 B 组后，B 组五个数之和将是 A 组剩下三位数之和 的 2 倍。从 B 组拿一个数到 A 组后，B 组剩下的三个数之和是 A 组五个数之和的 5 。这八个数如何分成两组？ 7【试一试】 1、某年的 8 月份有 4 个星期四，5 个星期三。这年 8 月 8 日是星期几？2、甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到 20 粒。如果甲给乙一定数量的糖 后，甲的糖的粒数是乙的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖的粒数就是 乙的 3 倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？【~例 5】在一次射击练习中，小张、小王、小李各打 4 发子弹，全部中靶。命 中的情况如下： （1）每人 4 发子弹所命中的环数各不相同。 （2）每人 4 发子弹所命中的总环数均为 17 环。 （3）小王有两发命中的环数分别与小张命中的两发一样；小王另两发命中的环 数与小李命中的两发一样。 （4）小张和小李只有一发环数相同。 （5）每人每发子弹的最好成绩不超过 7 环。 小张、小李命中相同的环数是几环？【~试一试】 1、甲、乙、丙三人玩转盘（如图所示） ，转盘上的数字表示应得的分。75甲说： “我转 8 次得 26 分” 。 乙说： “我转 7 次得 34 分” 。 丙说： “我转 9 次得 41 分” 。 其中有一人没说真话，他是谁？2、将 3 张数字卡片（均不超过 10）分给甲、乙、丙三人，各人记下所得卡片上 的数再重新分。分了 3 次后，每人将各自记下的数相加，甲为 13，乙为 15，丙 为 23。你能写出三张卡片上的数吗？课外作业家长签名： 1、五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说： “我打了 四盘。 ”乙说： “我打了一盘。 ”丙说： “我打了三盘。 ”丁说； “我打了四盘。 ”戊 说： “我打了三盘。 ” 你能肯定其中有人说错了吗？为什么？2、如图所示，每个正方形的 6 个面分别写着数字 1～6，并且任意两个相对的面 上所写的两个数之和都等于 7。把这样的 5 个正方形一个接一个连接起来后，紧 挨着的两个面上的数字之和等于 8。图中写“？”的这个面上的数字是几？761 ？ 13、小明将玻璃球放进大、小两种盒子中。大盒装 12 个玻璃球，小盒装 5 个玻璃 球，正好装完。如果玻璃球总数为 99，盒子超过 10 个，那么两种盒子各有多少 个？4、某个家庭现有四个家庭成员。他们的年龄各不相同，总和是 129 岁，其中有 三个人的年龄是平方数。如果倒退 15 年，这四人中仍有三人的年龄是平方数。 你知道他们各自的年龄吗？~5、A,B,C 三个足球队进行一次比赛，每两个队赛一场。按规则每胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。现在已知： （1）B 队一球未进，结果得 1 分； （2）C 队进一球，失 2 球，并且胜了一场； 求 A 队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。77第七讲 【专题导引】对策问题同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌 采取了“扬长避短”的策略，取得了胜利。 生活中的许多事都蕴含着数学道理，如小至下棋、打桥牌、玩游戏，大至体 育比赛、 军事较量等， 人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利， 这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战 不殆” 。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。【典型例题】【例 1】两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流 移走 1 至 7 根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根就算谁输。如果开始时 有 1000 根火柴， 首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。【试一试】 1、一堆火柴 40 根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以 拿 1 至 3 根，不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么 策略？2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过 8 的自然数。把两人报的数累加 起来，谁先报到 88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？【例 2】有 1987 粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取 1 粒，最多 取 4 粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你 认为先取的获胜，还是后取的获胜？怎样取法才能取胜？78【试一试】 1、甲、乙两人从 1993 粒棋子中取走 1 粒或 2 粒或 3 粒，谁取到最后一粒的是胜 利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能取胜，应采取什么策略？2、有 1997 根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取 1 至 10 根，谁能取 到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什 么？【例 3】在黑板上写有 999 个数：2，3，4，??1000。甲、乙两人轮流擦去黑 板上的一个数（甲先擦、乙后擦） ，如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则 乙胜。谁能必胜？必胜的策略是什么？【试一试】 1、甲、乙两人轮流从分别写有 1，2，3，??，99 的 99 张卡片中任意取走一张， 先取卡的人能否保证在他取走第 97 张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是 奇数 ，一个是偶数？2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列 1，2，3，??，100，101 中勾 去九个数。经过这样的 11 次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是 55， 这时判第一个勾数的人获胜。 问第一个勾数的人能否获胜？获胜的策略是什么？【例 4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规定禁止在黑板上 写已写过的数的约数， 最后不能写的人为失败者。 如果甲第一个写， 谁一定获胜？ 写出一种获胜的方法。79【试一试】 1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过 14 的自然数，书写规则是：不允许在黑 板上写已写过的数的约数， 轮到书写人无法再写时就是输者。 现甲先写， 乙后写， 谁能获胜？应采取什么对策？2、甲、乙两人轮流从分别写有 3，4，5，??，11 的 9 张卡片中任意取走一张， 规定取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。现甲先取， 乙后取，甲能否必然获胜？应采取的对策是什么？【~例 5】有一个 3×3 的棋盘以及 9 张大小为一个方格的卡片如图所示，9 张卡 片分别写有 1，3，4，5，6，7，8，9，10 这几个数。小兵和小强两人做游戏， 轮流取一张卡片放在 9 格中的一格，小兵计算上、下两行 6 个数的和；小强计算 左、右两列 6 个数的和，和数大的一方取胜。小兵一定能取胜吗？ A B D C【~试一试】 1、在 5×5 的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线 走一格。两人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者。必胜的策略是什么？2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放 一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。如 果甲先放，那么他怎样才能取胜？80课外作业家长签名： 1、把 1994 个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子， 每人每次可后移 1 格、2 格、3 格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的 方法是什么？2、盒子里有 47 粒珠子，两人轮流取，每次最多取 5 粒，最少取 1 粒，谁最先把 盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，小明先、小红 后，谁胜？取胜的策略是什么？3、在黑板上写 n-1（n&3）个数：2，3，4，??，n。甲、乙两人轮流在黑板上 擦去一个数。如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。n 分别取什么值 时： （1）甲必胜？（2）乙必胜？必胜的策略是什么？4、甲、乙两人轮流在 2004 粒棋子中取走 1 粒、3 粒、5 粒或 7 粒棋子。甲先取， 乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？5、两人轮流在 3×3 的方格画“√” “×” ，规定每人每次至少画一格，至多画三 格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。谁有获胜的策略？81竞赛模拟试题(一) 一、 填空。1. 有一串数：1，3，8，22，60，16，448，??其中第一个数是 1，第二个数 3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的两倍。那么在这串数中， 第 2000 个数除以 9 的余数是（ ） 。6 5 ，乙班女生占 ，问甲乙两班一 11 92. 甲乙两班一共有 108 人，其中甲班男生占 共有（ ）女生。3. 小明家的电话号码是个七位数，将前四位组成的数与后三位组成的数相加， 得到 9063；将前三位组成的数和后四们组成的数相加，得到 2529。小明家 的电话号码是（ ） 。4. 小红一家今年的年龄和是 88 岁，爸爸比妈妈大 1 岁，小红比弟弟大 3 岁， 5 年前她们家的年龄和是 70 岁，小红家每人的年龄分别是（ ）岁。5. 一次考试共有五道试题， 做对 1， 2， 3， 4， 5 题的分别占参加考试人数的 56%， 84%，88%，72%，80%，如果做对三道或三道以上的为及格，那么这次考试 的及格率至少是（ ）6. 有两堆棋子 A 堆白子 400 个和黑子 350 个； B 堆有白子 150 个和黑子 400 个。 为了使 A 堆中黑子占 75%，B 堆中黑子占 50%，要从 A 堆中拿到 B 堆的黑 子（ ）个，白子（ ）个。7. 一个小圆固定不动，另一个周长为 16 厘米的大圆紧贴着小圆滚动一周，自 身转了 1.75 圈。小圆的周长是（ 8. ）厘米。有一些铅笔发给一（1）级的小朋友们，如果只发给第一小组，每人发到 1282支，如果只发给第二小组，每人发到 15 支，如果只发给第三小组，每人发 到 20 支，那么发给全班同学平均每人发（ ）支。二、 综合应用题。1．甲乙两地相距 222 千米，小李、小张从甲地，小王从乙地同时出发相向而行， 小李、小张和小王的速度分别是 17 千米，13 千米、16 千米，问经过几小时 后，小李正好在小张和小王相距路程的正中处？2．某电影院有 31 排座位，每排 29 个座位。某天放映两场电影，每个座位上都 坐了一个观众。如果要求每两个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、 左、右）相邻的某一个观众交换座位，这样能办到吗？为什么？3．装厂有甲、乙两个车间，生产同一款西服。甲车间每月可生产这种西服 600 套，其中生产上衣需 18 天，生产裤子需 12 天。乙车间每月也可生产这种西 服 600 套，其中生产上衣和裤子各需 15 天，如果让两个车间合作，可以使 月产量达到最大？最大月产量是多少套？（每月按 30 天计算）834．有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从 A 开往 B 地，沿着同一条公路追赶 一骑车人，分别用 10 分钟，20 分钟、50 分钟追上骑车人。甲每分钟行 300 米，乙每分行 200 米，丙每分行多少米？5．公司要把 A、B 两运往甲、乙两家客户的所在地，A 库有 17 台，B 库有 12 台，甲家要 16 台，乙家要 13 台请你根据下图给出的数据设计运输方案，使 总运费最少。 运到甲每台费用（元） 运到乙每台费用 （元） A库 B库 500 300 700 6006．参加团体操表演的 200 个学生站成若干排，全部面向教练，然后按劳 1、2、843、??199、200 的顺序报数。教练要求学生按照如下的步骤进行操作： ① 报的数是 2 的倍数的同学向后转； ② 报的数是 3 的倍数的同学向后转； ③ 报的数是 5 的倍数的同学向后转。 经过这 3 个步骤以后，面向教练的学生还有多少个？7．有两项工程，A 工程甲独做要 4 天完成，乙独做要 9 天完成。B 工程甲独做 要 10 天完成，乙独做要 8 天完成，现两人合做完成这两项工程，最少要多 少天？第九届 2011 年小学希望杯数学85六年级题1、计算：4.8×17.4×6.25―37.5×0.174×5. 3 =_________。 2、计算： 0. 6 ＋0. 1 8 ＋0.4 3 9 =_________。 3、计算：? 2009 ＋ ? 2010＋ ? 2011＋ ? 2012 =_________。 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1? ?????4、计算：12 ? 2 2 22 ? 32 1002 ? 1012 ＋ ＋?＋ =_________。 1? 2 2? 3 100? 1015、在 10 个连续自然数中，最多有_________个质数。 6、一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字的和， 如 123,235 等等，这类三位数共有________个。 7、已知一串分数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，8 1 2 11 1 2 ， ， ，? ， ， ，?其中第 2011 个分数是_________。 9 12 12 12 15 15 1 3 2 3 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 98、已知 A={1,3,5,7}，B={1,4,7}，C={2,5,7,8}。规定： A∩B={1,3,5,7}∩ {1,4,7}={1,7}； A∪B={1,3,5,7}∪{1,4,7}={1,3,4,5,7}。根据此规定，可求 得（ A∪C）∩B={_________}． 9、某月的日历如图 1 所示。若用 2×3（2 行 3 列）的长方形框出 6 个数，使 它们的和是 81．那么这 6 个数中最小的是_________。10、某些数除以 11 余 1，除以 13 余 3，除以 15 余 13，那么这些数中最小的 数是_________．8611、已知：1?1 1 2? 1 3? 1 x?20 ，则 43x=_________。12、在自然数 1―2011 中，最多可以取出________个数，使得这些数中任意四 个数的和都不能被 11 整除。 13、在自然数中，1? =1，2?=4，3? =9，?，数 1,4,9,?称为完全平方数。若? 12 ?? ?? 12 （1≤m ≤2011）是一个完全平方数，则这样的 N 有 自然数 N= 12 ?? ? ? ??m 个12________个。 14、有 4 个不同的自然数 a,b, c, d 而且 0＜a＜b＜c＜d．如果 b－a =5, d －c =7, a,b,c, d 的平均数是 17,那么 d 最大是________． 15、在数学竞赛中取得前四名的方方、园园、宝宝、贝贝年龄依次是相差 1 岁， 而且他们年龄的乘积是 1180,则他们的年龄分别是________、________、 ________、________． 16、 一个多位数是 481?,从左向右数的第 100 个数字是________． 17、有 100 个连续自然数，请你按某种顺序排列，然后计算相邻三个数的和， 其中和为偶数的最多有________个。 18、已知 a,b 为质数( a＞b )，ab 表示 a 与 b 的乘积，若 a＋ab＋b =55，那 么 a－b 的值是________． 19、一个六位数，它的个位上的数字是 6。如果把数字 6 移到第一位，所得的 数是原数的 4 倍。这个六位数是________． 20、 两个数的最小公倍数是 252,最大公约数是 7,并且两个数中的大数不是小数 的倍数，则这两个数是________． 21、小宝记得英语单词 “hello”是由三个不同的字母 h,e,o 和两个相同的字 母 l 组成的，但不记得排列顺序，则小宝可能出现的拼写错误共有________种。 22、将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加， 得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是________．8723、一批树苗，如果让男女一起栽，平均每人需栽 6 棵．如果只让女生栽，平 均每人需栽 10 棵．若只让男生栽，平均每人需________棵． 24、小明同学准备把自己的零花钱都捐献给舟曲灾区的小朋友．他共有三个储钱 罐，A 储钱罐里的钱占全部零花钱的七分之五，B 储钱罐里有 33 元钱，C 储钱罐 里的钱占全部零花钱的五分之几，小明共有零花钱________元． 25、将 1～9 这九个数字分别填入下列算式中的□中，使等式成立： （每个数字 只能用一次） □□□×□□＝□□×□□＝4002 26、福利种子店对某种子进行促销：购买 5 千克以内按 2 元/千克销售 ,超过 5 千克时,超出部分按八折销售． 下面四个图中的_______为购买种子数(千克)与所 付钱}