定义:sgn(x)=1.x＞00.x=0-1.x＜0.若已知函数f(x)=ax-sgn(x)a|x|=32．≤2,+4≥0对于任意正实数t恒成立.求实数m的取值范围． 题目和参考答案——精英家教网——
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定义：sgn(x)=1，x＞00，x=0-1，x＜0，若已知函数f(x)=ax-sgn(x)a|x|（a＞0且a≠1）满足f（1）=32．（1）解不等式：f（x）≤2；（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）根据f（1）=32，可求a的值，根据所给定义，分类讨论化简函数，分别解不等式，即可得到结论；（2）表示出相应函数，将不等式等价变形，利用换元法，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可求得实数m的取值范围．解答：解：（1）由题意，f（1）=a-1a=32，∴a=2或-12（舍），…（1分）当x＞0时，f（x）=2x+12x≥2，∵f（x）=2x+12x≤2，∴2x+12x=2，∴2x=12x=1，∴x=0；∵x＞0，∴无解，…（3分）当x=0时，f（0）=20-020=1≤2，∴x=0，…（4分）当x＜0时，f（x）=2x--12-x=2x+1≤2，∴x≤0，因为x＜0，所以x＜0，…（6分）综上所述，不等式的解集为（-∞，0]．…（7分）（2）因为t＞0，所以f（t）=2t+12t，f（2t）=22t+122t，∴f（2t）+mf（t）+4=22t+122t+m（2t+12t）+4≥0恒成立，…（8分）令u=2t+12t（t＞0）∈[2，+∞），…（9分）则22t+122t+m（2t+12t）+4=u2-2+mu+4=u2+mu+2≥0恒成立，∴m≥-（u+2u）（u∈[2，+∞））恒成立，∴m≥[-（u+2u）]max（u∈[2，+∞）），…（11分）∵y=-（u+2u）在[2，+∞）上单调递减，…（12分）∴[-（u+2u）]max（u∈[2，+∞））=-3，…（13分）综上所述，m≥-3．…（14分）点评：本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的解析式．
科目：高中数学
（;韶关二模）定义符号函数sgnx=1，x＞00，x=0-1，x＜0，设f（x）=sgn(12-x)+12•f1（x）+sgn(&x-12)+1&2•f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=x+12，f2（x）=2（1-x），则f（x）的最大值等于（　　）A．2B．1C．34D．12
科目：高中数学
对x∈R，定义函数sgn（x）=1，x＞00，x=0-1，x＜0（1）求方程&x2-3x+1=sgn（x） 的根；（2）设函数f（x）=[sgn（x-2）]•（x2-2|x|）f（x）=[sgn（x-2）]•x2-2.x&.，若关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根，求实数a的取值范围；（3）记点集S={（x，y）|xsgn（x-1）•ysgn（y-1）=10，x＞0，y＞0} s={（x，y），点集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求点集T围成的区域的面积．
科目：高中数学
对x∈R，定义sgn(x)=1，x＞00，x=0-1，x＜0．（I）求方程x2-3x+1=sgn（x）的根；（II）求函数f（x）=sgn（x-2）（x-lnx）的单调区间；（III）记点集S={（x，y）|xsgn（x-1）•ysgn（y-1）=10}，x＞0，y＞0，点集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求点集T围成的区域的面积．
科目：高中数学
（;宁城县模拟）定义函数sgn（x）=1(x≥0)-1(x＜0)，函数f（x）=1-sgn(x)2•(2-x-1)+1+sgn(x)2•x．若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）A．（-1，1）B．（-1，+∞）C．（-∞，-2）∪（0，+∞）D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
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已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3-3x2+x+1）的大致图象是（　　）A．B．C．D．
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令f（x）=x3-3x2+x+1，则f（x）=（x-1）（x2-2x-1）=（x-1）（x-1-）（x-1+），∴f（，1）=0，f（1-）=0，f（1+）=0，∵sgn（x）=，∴sgn（f（1））=0，可排除A，B；又sgn（f（1-））=0，sgn（f（1-））=0，可排除C，故选D．
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对x∈R，定义函数sgn（x）=（1）求方程&x2-3x+1=sgn（x） 的根；（2）设函数f（x）=[sgn（x-2）]o（x2-2|x|）f（x）=[sgn（x-2）]o2-2.x&.，若关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根，求实数a的取值范围；（3）记点集S={（x，y）|xsgn（x-1）oysgn（y-1）=10，x＞0，y＞0} s={（x，y），点集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求点集T围成的区域的面积．
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（1）当x＞0时，sgn（x）=1，解方程x2-3x+1=1，得x=3（x=0不合题意舍去）；当x=0时，sgn（x）=0，0不是方程x2-3x+1=0的解；当x＜0时，sgn（x）=-1，解方程x2-3x+1=-1，得x=1或x=2（均不合题意舍去）．综上所述，x=3是方程x2-3x+1=sgn（x）的根．（2）由于函数2-2x&，&&&&&&&&&&x≥2&-x2+2x&，&&0＜x＜2-x2-2x&，&&&&&&&x≤0，则原方程转化为：2-3x&，&&&&&&&&x≥2-x2+x&，&&0＜x＜2-x2-3x&，&&&&&&x≤0．数形结合可知：①a＜-2时，原方程有1个实根；②当a=-2时，原方程有2个实根；③当-2＜a＜0时，原方程有3个实根；④当a=0时，原方程有4个实根；⑤当时，原方程有5个实根；⑥当时，原方程有4个实根；⑦当时，原方程有3个实根；⑧当时，原方程有2个实根；⑨当时，原方程有1个实根．故当时，关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根．（3）设点P（x，y）∈T，则（10x，10y）∈S．于是有（10x）sgn（10x-1）o（10y）sgn（10y-1）=10，得xosgn（10x-1）+yosgn（10y-1）=1．当x＞0时，10x-1＞0，sgn（（10x-1），xsgn（10x-1）；当x＜0时，10x-1＜0，sgn（10x-1）=-1，xsgn（
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（1）根据分段落函数的性质，利用分类讨论思想能够推导方程x2-3x+1=sgn（x）的根．（2）由于函数2-2x&，&&&&&&&&&&x≥2&-x2+2x&，&&0＜x＜2-x2-2x&，&&&&&&&x≤0，把原方程转化为：2-3x&，&&&&&&&&x≥2-x2+x&，&&0＜x＜2-x2-3x&，&&&&&&x≤0．利用数形结合思想能推导出关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根．（3）设点P（x，y）∈T，则（10x，10y）∈S．于是有xosgn（10x-1）+yosgn（10y-1）=1．由此利用分类讨论思想能求出点集T围成的区域的面积．
本题考点：
函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断．
考点点评：
本题考查方程的根的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查区域面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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