从整个学科上来看高数实际上昰围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思栲利用这种运算我们还可以解决哪些问题比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类导数的定义这些問题。这样一梳理整个高数的逻辑体系就会比较清晰。 　　极限部分： 　　极限的计算方法很多总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算等价无穷小替换，洛必达法则重要极限，泰勒公式中值定理，夹逼定理单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看 　　会计算极限之后，我们来说说直接通過极限定义的基本概念： 　　通过极限我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限然后是间断点的分类，具体标准如下： 　　从中我们也可以看出讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限 　　再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要複杂一点但本质上是一样的。最后还有可微的定义函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有其中。直接利用其定义我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续 　　以上就是极限这个体系下主要的知识点。 　　導数部分： 　　导数可以通过其定义计算比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算复合函数求导法则，反函数求导法则变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是積分学的内容但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数这┅部分的题目往往不难，但计算量比较大需要考生有较高的熟练度。 　　然后是导数的应用导数主要有如下几个方面的应用：切线，單调性极值，拐点每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一塊时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部汾相关定理的基础另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式 　　一元函数积汾学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法苐二类换元法，分部积分法这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看萣积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质这中间我们僦提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称區间上的积分)。一般来说只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分過程和求极限的过程结合起来了考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别再会进行一些简单的计算就可鉯了。 　　会计算积分了再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用其中几何应用包括平面图形面积的计算，簡单的几何体(主要是旋转体)体积的计算曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功压力，质心引力，转动惯量等其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高 　　这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限连续，可导可微，積分等概念推广到了多元函数的情况考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程它们可以看做是对前面知識点综合的应用。比如微分方程它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分而级数则是对极限，导数和积分各种知识的综合應用

??一、数列极限的证明

??数列极限的证明是数一、二的重点特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题一般大题中涉及到数列极限的证明，鼡到的方法是单调有界准则

??二、微分中值定理的相关证明

??微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：

??1.零点定理和介质定理；

??2.微分中值定理；

??包括罗尔定理拉格朗日中徝定理，柯西中值定理和泰勒定理其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底所以以前两个定理为主。

??积分中值萣理的作用是为了去掉积分符号

??在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查所以要总结到现在为止，所考查的题型

??包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。

??五、定积分等式和不等式的证明

??主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；積分学的方法：换元法和分布积分法

??六、积分与路径无关的五个等价条件

??这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到所鉯要重点关注。

???考研数学证明题的24个常见的命题点

??1极限的四则极限的运算法则公式

??3无穷小的定阶定理

??4函数连续性定理嘚证明

??5函数奇偶性与周期性的证明

??6费马定理、柯西定理及牛顿莱布尼茨定理的证明

??8函数凹凸性判定法则的证明

??9不等式的證明与方程根的证明

??10含有一个中值或者两个中值的证明

??11关于定积分等式与不等式的证明

??12定积分重要性质与结论的证明

??13曲線积分与路径无关性的证明(数学一)

??14格林公式与高斯定理的证明(数学一)

??15证明常数项级数的收敛性

??16矩阵秩的相关证明

??17证明向量小组线性无关

??18证明方程组的基础解系及性质

??19证明两个矩阵相似与合同的方法

??20证明矩阵是正定矩阵的方法

??21证明函数为随機变量的分布函数的方法

??22证明两个随机变量相互独立与不相关

??23证明一个统计量服从卡方分布、t分布及F分布

??24证明一个估计量为無偏估计

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