大一微积分求极限问题例15的最后两步是怎么出来的?倒数第三步到倒数第二步没看懂.
分类：政治
1、楼主的解答中,采用了三个方法：A、变量代换,这没有问题；B、分子有理化,这也没有任何问题；C、等价无穷大代换,这是一个很危险的做法,极不可取!2、国内的教学,把等价无穷小代换,炒得走火入魔,
看看国外的教科书、考试题,冷静、理智,只有
我们的教学才会要学生死记硬背很多等价代换,
而且极会出错.3、等价无穷小的炒作者,在国内比比皆是,但是,
胆敢炒作等价无穷大代换者,实属是凤毛麟角!
原因是这种代换,十有八九会出错!风险极大.
越是喜欢穿凿附会、故弄玄虚糊弄学生的教师,
越是喜欢这种僵尸教学法.4、下面的两张图片解答,一是解释楼主的图片,
另一个是不做任何代换的正宗解法.5、楼主的讲义上,舍去正宗解法,无非是想炫耀一下
编者的等价无穷大代换.楼主可以仔细网上查一查,
等价无穷小代换的题目浩如烟海,而等价无穷大代
换的题目寥若星辰,就说明了这种代换祸害无穷.
已知关于x的一元二次方程x2+4x+k2+2k-3=0的一个根为0，求k的值和方程的另外一个根．
∵方程x2+4x+k2+2k-3=0的一个根为0，∴k2+2k-3=0，解得k1=1，k2=-3，∴原方程为x2+4x=0，解得 x1=0，x2=-4，∴k的值为1或-3，方程的另一个根为-4．
以x1、x2为两根的一元二次方程是:x?－(x1+x2)x+(x1·x2)=0
f(x)=4x/(3x^2 +3)怎么求导数?求f'(x),最好给我一个通用的公式,微积分我都忘了的,
A^3-I-3A（A-I）=-I,(A^2+A+I-3A)（A-I）=-I,（A-I）^3=-I,所以（A-I）可逆并且：（I-A）^（-1）==-（A-I）^2,
已知:tanA=1/3,试求代数式4cosA-3sinA/2sinA+5cosA的值thanks
分子分母同除以cosA因为sinA/cosA=tanA所以原式=(4-3tanA)/(2tanA+5)=9/17
求使下列函数取得最大值,最小值的自变量x的集合,并写出最大值和最小值是什么 y=1-(1/2)cos(π/3)x x属于R y=3sin[2x+（π/4)] x属于R y=(-3/2)cos[(1/2x)-(π/6)] x属于R y=(1/2)sin[(1/2)x+(π/3)] x属于R
1、cos(π/3)x=1时最小值1/2(π/3)x=2kπ ,x=6k (k∈Z)cos(π/3)x=-1时最大值3/2(π/3)x=2kπ＋π ,x=3（2k＋1） (k∈Z)2、sin[2x+（π/4)] x＝－1时最小值－3[2x+（π/4)] x＝2kπ-π/2,x=kπ-3/8×π (k∈Z)3sin[2x+（π/4)] x=1时最大值3[2x+（π/4)] x＝2kπ＋π/2,x=kπ＋π /8 (k∈Z)3、cos[(1/2x)-(π/6)] ＝1时最小值－3/2(1/2x)-(π/6)=2kπ,x=4kπ+π/3 (k∈Z)cos[(1/2x)-(π/6)] ＝-1时最大值3/2(1/2x)-(π/6)=2kπ＋π,x=4kπ+7/3×π (k∈Z)4、sin[(1/2)x+(π/3)] ＝－1时最小值－1/2(1/2)x+(π/3)=2kπ-π/2,x=4kπ-3/5×π (k∈Z)sin[(1/2)x+(π/3)] ＝1时最大值1/2(1/2)x+(π/3)=2kπ＋π/2,x=4kπ＋π/3 (k∈Z)
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大一微积分复习资料
大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章 函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中⑴. 对于对数函数y?lnx不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 y?ex互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： uv?evlnu⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.y?esin2x⑵.y?arctan(11?x2) 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解：⑴.y?eu,u?v2,v?sinx⑵.y?arctanu,u?1v,v?x2?1.例2. y?arccotx的定义域、值域各是什么？arccot1＝？ 答：y?arccotx 是y?cotx,x?(0,?) 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知y?arccotx的定义域是Df?(??,??)，值域为Zf?(0,?).arccot1??4四．练习题及参考答案1. f(x)?arctanx则f(x)定义域为 ，值域为 f ；f(0)?2.f(x)?arcsinx则f(x)定义域为 ，值域为f；f?3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.y?e?3x ⑵.y?ln(x3?1) 答案：1.（-∞ +∞）, (????2,2),4,0- 1 -??????2. ??1,1?,??,?,2,3 22??.3. ⑴.y?eu,⑵.y?lnu,(Ⅰ).limsinx?1x?0xu??3xu?x3?1.11x(Ⅱ).lim(1?)?e?lim(1?x)xx??x?0x自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B）.11.记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1型未定式极限：1kxklim(1?)?e?lim(1?kx)x x??x?0x1kx?klim(1?)?e?lim(1?kx)x x??x?0x?第二章 极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。二．复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于f(x0)，即：x?x0limxsinx?01?0,xlimsinx?0x??xlimf(x)?f(x0)3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当?(x)?0时,有：当分段函数在分段点x0的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：?x?x0limf(x)?lim?f(x)?f(x0).x?x0sin?(x)～?(x)； tan?(x)～?(x)6. 掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数f(x)在e?(x)?1～?(x);ln(1??(x))～?(x);x0点间断，必至少有下列三种情况之一发生：⑴、f(x)在x0点无定义；1～?(x)n⑵、limf(x)不存在；x?x01?cos?(x)～?2(x)2.,,,,.⑶、存在limf(x)，但limf(x)?f(x0).x?x0x?x0（参见教材P79）4.掌握两个重要极限:- 2 -若x0为f(x)的间断点，当lim?f(x)及x?x0x?x0?limf(x)都存在时，称x0为f(x)的第一类间断点，特别lim?f(x)＝lim?f(x)时（即limf(x)x?x0x?x0x?x0x?0limf(x)?lim??x?0tanxf(x) ??1?limx?0??x存在时），称x0为f(x)的可去间断点；x?x0?即D也不对，剩下的B就是正确答案。⑵． 由于limf(x)?lim?f(x)时称x0为f(x)的跳x?x0跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。2x21代换x2lim?lim2?lim2?1 2x?0x?0xx?0xsinx∴ 应选择D. 例3.求极限：ln(1?x2)⑴lim x?01?cosx⑵lim(x??x?2x) x?5三.例题选解例1.单项选择题⑴下列极限中正确的是（ ） A.lim解: ⑴ 此极限为0型 0sinx?1 B. limx??x??xsinx1?1∵当x?0时，有x2ln(1?x)～(?x), 1?cosx～222sinx2tanx?1 D. limC. lim?1x?0x?0xx⑵ 当x?01是sinx的2?x2ln(1?x2)∴lim ?lim2??2 x?01?cosxx?0x2⑵ 此极限为1型，可用重要极限????。?（ ）A.低阶无穷小； B.高阶无穷小； C.同阶无穷小，但不是等价无穷小； D. 等价无穷小； 分析与解： ⑴． A与 C显然都不对，对于D, 记f(x)?lim(x??x?2x3x) ) ＝lim(1?x??x?5x?5tanx， xx?03?lim(1?)x??x?5x?53??x3x?5?tanx??x则f(x)???tanx???xf(x)?lim∴lim??x?0x?0x?5??3?lim?(1?)3?x??x?5??3?xx?5x?0tanx?1 x- 3 -?e3. (?lim33x?x?lim?3)x??x?5x??x?5x2?9例2．判断函数y?2 的间断点，并x?x?6判断其类型。x2?9(x?3)（x+3)解：由于y?2 ?x?x?6(x?3)(x?2)∴x?3,⑵.lim(x??2x?1x)? __________________；2x?3x?______________.?1)ln(1?5x2)x??2是函数y 无定义的点，因而是⑶.limx?0[cos(3x)?1]tan(e2x函数y 的间断点。 ∵lim(x?3)(x?3)x?36?lim?x?3(x?3)(x?2)x?3x?252.单项选择题 ⑴．设y?∴ x?3为函数 y 的可去间断点； ∵lim(x?3)(x?2)，下面说法正确的是x2?5x?6(x?3)(x?3)x?3?lim??x??2(x?3)(x?2)x??2x?2________；A. 点x??3,x?2都是可去间断点；B. 点x?2是跳跃间断点，点x?3是无穷间断点；C. 点x?2是可去间断点，点x?3是无穷间断点；D. 点x?2是可去间断点，点x?3是跳跃间断点；⑵．下面正确的是______________. A.lim∴ x??2为函数 y 的第二类（无穷型）间断。例3．函数x?1?cos??f(x)??x?02x?x?0k??在点x?0处连续，求常数k .分析与解：由于分段函数f(x)在分段点x?0的左右两边表达式相同，因此f(x)在x?0连续的充要条件是tanx1?1 ； B. limxsin?0；x?0x?0xxtanxtanx?1. 不存在； D. limx?0xx?2C. limx?0limf(x)?f(0)?k.x?0答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵.e ；⑶.?3. 20∵x2x2. ⑴.C; ⑵.B . 1?cos代换?limlimf(x)?lim自我复习 .习题二(A) 22 x?0x?0x?0xx?11. ∴k?.8811. (4).24. ⑴,(4),⑺.27.⑴. (4).28.⑴,⑵. 30.⑵.37．⑴,⑶. 习题二(B).14.四.练习题及参考答案1.填空⑴.当x?0时，(e?1)sin2x与x第三章 导数与微分一.本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.二.复习要求1.掌握函数??x?在x0处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。 导数是一个逐点概念，??x?在x0处的导数的定- 4 -1)ln(1?2x)相比，是__________________无穷小；义式常用的有如下三种形式：f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：f(x0?h)?f(x0)?limh?0hlny?lnx上式两边对x求导，视y为中间变量:f(x)?f(x0)?lim . x?x0x?x02.知道导数的几何意义，会求??x?在x0处的切线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数： ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。1y'lnx?xyy??1??lnx?12? ?1??lnx?12? ?12??(lnx?1) 2注：本题除此方法外，也可以：?y?e?y??e3x?lnx三.例题选解例1.求下列函数的导数： ⑴．y?f(1＋x2) ，求y?,⑵．y=3x?lnx(1?3?lnx?x?)x2x1tanx?sec2x . ⑶． ∵y??etanx?(tanx)? ?ey??. ∴dy?etanx?sec2xdx求y?..tanx⑶．设y=e，求dy3x2⑷. y??1?x3⑷. y?ln(1?x3) ,求y??解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：6x(1?x3)?3x2?3x23x(2?x3)? y???3232(1?x)(1?x)例2. 设??x?在x?1处可导,且?'(1)?2.y??f?(1＋x2)(1＋x2)? ?f?(1?x2)?2x ?2x?f?(1?x2) .y???2f?(1?x2)?2xf??(1?x2)?2x?2f?(1?x22??(? ))?4x2f1x求lim?(4?3x)?????x?1x?1分析:将??x?在x?1处的导数的定义式理解为结构式:??(1)=lim??0?(1??)??(1)?其中?为?x?x?1或?x的函数.且当?x?0- 5 -时,??0即可. 解:lim?(4?3x)?????x?1x?1?lim?????(x?1)]?????x?1?3(x?1)?(?3) ??3f?(1)??6例3．求曲线 x3?y3?3axy?a3在点?0,a? 处的切线方程。解：显然，点?0,a?在曲线上，现求切线的斜率，即y?(0,a) 曲线方程两边对x求导：3x2?3y2?y??3ay?3axy??0解得 y??ay?x2y2?ax∴y?(0,a)＝1切线方程为：y?a?x 即 y?x?a?e?x2例4、设f(x)???1?x?0 ?x?0x?0试讨论f(x)在x?0处的连续性及可导性。分析与解：由已知，f(0)?0； （1）讨论f(x)在x?0处的连续性。e?x2lim?1∵ x?0f(x)?limx?0x代换2?lim?xx?0x＝0＝f(0).∴f(x)在x?0处连续。（2）讨论f(x)在x?0处的可导性。分段函数在分段点的导数必须用定义求：f?(０)?limf（x）?f(0)x?0x?0e?x2?1?lim?0x?0x?0e?x2?lim?1代换x?0x2?lim?x2x?0x2??1 即存在 f?(０)??1.四.练习题及参考答案1.单项选择题 ??ln(1?x2).设xx?0f(x)??2?????1x?0??下面说法正确的是（ ）. A.f(x)在x?0不连续；B. .f(x)在x?0连续，但不可导； C. f(x)在x?0可导，且f?(0)??1；D. f(x)在x?0可导，且f?(0)?0.2.填空题f(x)在x?x0处可导，且f?(x0)??1,则（1）limf(x0?h)?f(x0?h)h?0h?______3.求函数的导数或微分： 1⑴y?xx, 求y?⑵y?f?ln(1?x)?(x?1),求y?,y??⑶．y?dy.4.设y3?x?cos(xy)确定y是x的函数，求- 6 -dy，并求出函数在点(0,1)的切线方程。 dx5、证明：（1）若f(x)是偶函数且可导，那么f?(x)是奇函数，（2）若f(x)是奇函数且可导，那么注意:⑴洛必达法则只能直接用于求““”型或0?”型未定式的极限，对于其他类型的未定式?0?极限，必须将其转化为“”型或“”型未定0?式才能使用法则。⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.f?(x)是偶函数，答案：1.D. 2. ?2 3.⑴.y??x(2).y??1?2x(1?lnx)1?f??ln(1?x)? ； x?1y???1f???ln(1?x)?2(x?1)?1f??ln(1?x)?(x?1)2xdx. x2?1⑶.dy?dy1?ysin(xy)4.； ?2dx3y?xsin(xy)切线方程：3y?x?3.自我复习:习题三(A) 13； 21,⑹，⑼； 24.⑴，⑵； 25；26.⑴,⑺; 27.⑸；29.⑵，⑹，⑺； 47.⑴，⑵．54.习题三(B) 1 ；3；11.三.例题选解例1. 求下列极限ex?sinx?2x?1(1). limx?0xln(1?x)(2).x?02sinxlimx ?第四章 中值定理与导数的应用一.本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；(3). lim?x?0解：?1?1???xln(1?x)?0() 0ex?sinx?2x?1(1) limx?0xln(1?x)代换二.复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的?，掌握拉格朗日定理推论的意义。ex?sinx?2x?1＝limx?0x2洛2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。- 7 -ex?cosx?2＝limx?02x() 0ex?sinx＝limx?02洛(不是未定式) 例2.求函数y?间和拐点。 解：函数y?x的单调区间和极值，凹凸区1?x21 =.2(2) 原式为幂指型不定式（0型），利用代数变0x的定义域为(??,??) 21?x换：uv?evlnu，得：lim2sinx2sinx?lnx?0?x?xlimx?0?e?elim2sinx?lnxx?0?其中 limx?0?2sinx?lnx(0??)?xlim?0?2x?lnx （代换） ?lim2lnxx?0? （??）x2洛?limx?0??1x2?lim(?2x)?0. ∴原式＝e0x?0??1 (3) lim??11?x?0?x?ln(1?x)??(???型) =limln(1?x)?xx?0xln(1?x) (通分化为00型)=limln(1?x)?xx?0x?x（代换）1?lim?1x?02x（洛必达） ＝lim?x1x?02x(1?x)??2.y??(1?x2)?2x?x1?x2(1?x2)2?(1?x2)2，y???(?2x)?(1?x2)2?2(1?x2)?2x?(1?x2)(1?x2)4?2x(x2?3)(1?x2)3。令y??(1?x)(1?x)(1?x2)2?0，得驻点x??1，x?1；无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：令y???2x(xx?(1?x2)3?0 得 x?0,x?y??不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：由上面的讨论看出： 函数y?x1?x2的单减区间为 (??,?1)?(1,??)；单增区间为[?1,1]。极小值是y(?1)??12， - 8 -极大值是y(1)?1。 2F(x)?arcsin1 xx曲线y?的凸区间是(??,?1?x2凹区间是(???)。由拉格朗日定理的推论，若能证明F?(x)?0 则?F(x)?c，再确定c??2即可。曲线y?x的拐点有三个：(?， 21?x4证：当x?1时，(0,0)，。 4例3.证明不等式(1?x)ln(1?x)?12x?x2(x?0)分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令1()?F?(x)???112??21?x?1???0f(x)?(1?x)ln(1?x)?12x?x 2∴ F(x)?c则问题转化为证f(x)?0?f(0)即证在x?0时，f(x)单减。(x?0) ∵F(1)?arctan0?arcsin1?∴ c??2?2，证毕！∵f?(x)?ln(1?x)?1?x?x?1 1?x例5求出函数y?x5?5x4?5x3?1在区间?ln(1?x)?x [?2,1]上的最大、最小值。解：显然函数y?x5?5x4?5x3?1在闭区间f??(x)?1?x?1??0 1?x1?x∴x?0时，f?(x)单减，有 [?2,1]上连续，因而必存在最大、最小值。f?(x)?f?(0)?0∴f(x)也单减，有f(x)?f(0)?0， 证毕。 例4.证明：对任意x?1，有y??5x4?20x3?15x2?5x2(x?1)(x?3)由y??0，解得区间(?1,2)内的可疑点为：x1?0,x2?1. 比较以下函数值，f(?1)??10,f(0)?1,f(1)?2,f(2)??7arcsin1?? x2分析： 本题为恒等式的证明。我们设- 9 -得 fmax(1)?2,fmin(?1)??10.5. 证明当x?0时，有：例6.某食品加工厂生产x单位的总成本为参考答案： 1. (1).?C，并求出常数C.C(x)?200?4x?0.03x2，得到的总收益是R(x)?8x?0.02x2，求出生产该商品x单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。 解：⑴.利润函数1； ⑵.0 ； ⑶.e. 2L(x)?R(x)?C(x)??0.01x2?4x?2004. 单增区间(??,?1)?(3,??)；边际利润函数L?(x)??0.02x?4. ⑵.当x?300时，单减区间(?1,1)；极大值y(?1)?14， 极小值y(3)??18；上凹区间（1 ＋∞）；下凹（凸）区间（-∞ 1） ； 拐点（1 , －2）. 5. C?L?(300)??0.02?300?4?2⑶.令L?(x)??0.02x?4?0 解得：x?200?2L??(200)??0.02?0，∴产量x?200单位时，可获最大利润。 注：设函数y?f(x)可导，导函数f?(x)也称为边际函数。.自我复习：习题四 （A）8, 9.⑸,⑻,⑼，⑾ ，⑿； 14.⑴,⑶,⑸； 18.⑴，⑵；19.⑴ ；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37； 41。习题四 （B） 10；12.四.练习题与参考答案1. 求极限 (1) limx(1?cosx??21) x⑵ lim(x?011?) xsinx1lnx(tanx)⑶ lim?x?02. 证明. 当x?1时，有: (x?1)lnx?2(x?1).3证明： cosx?1?3212x2(x?0)4 .求y?x?3x?9x?9单调区间和极值，凹凸区间和拐点。- 10 -本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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