君，已阅读到文档的结尾了呢~~
高中数学函数问题常见习题类型及解法
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
高中数学函数问题常见习题类型及解法
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer--144.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口请问各位一个初中函数问题【数学吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：428,144贴子：
请问各位一个初中函数问题收藏
为什么正比例函数的图像是一条直线？谢谢。
数学题,中高级教师1对1辅导,教学有品质,提分看得见.随时退费家长无忧!
lz的想法很好 实际上一次函数的图像都是直线 用两点间距离公式可以证明
你不用活了
这个很难说，因为如果放到直角坐标以外的坐标系里，就不一定是直线了。这个不仅要考虑【直线是什么】，还要考虑【平面直角坐标系是什么】。你要是不想找麻烦，可以认为直线的定义就是“存在一个平面直角坐标系，使得某个一次函数图像和该图形重合，则该图形是直线”。
登录百度帐号推荐应用& 高二数学函数的概念
高二数学函数的概念
[导读]函数的概念 一.知识网络 二.高考考点 1.映射中的象与原象的概念; 2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题; 3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题; 4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用. 三.知识要点 (一)函数的定义 1、传统定义:设...
函数的概念
　　一.知识网络
　　　 　　　　　　
　　二.高考考点
　　1.映射中的象与原象的概念;
　　2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
　　3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
　　4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.
　三.知识要点
　　(一)函数的定义
　　1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).
　　2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.
　　3、认知:
　　①注意到现代定义中"A、B是非空数集",因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.
　　②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.
　　(二).映射的概念
　　将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.
　　1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B
　　2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.
　　3、认知:
　　映射定义的精髓在于"任一(元素)对应唯一(元素)",即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可"一对多",允许"多对一".因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为"满射"和"非满射"两类.
　　集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.
　　（三）、函数的表示法
　　表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.
　　1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
　　2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.
　　3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.
　　图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.
　　认知:函数符号的意义
　　在函数的概念中,我们用符号"y=f(x)"表示"y是x的函数"这句话.
　　其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则"f"表示解析式蕴含的对自变量x施加的"一套运算的法则",即一套运算的框架.
　　具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x&1)　①　对应法则"f"表示这样一套运算的框架:5(　) －2（　）＋3，（　）＞１．
　　即f: 5(　) -2(　　 )+3,(　　 )&1.　据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:
　　f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a&1);
　　f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x&1);
　　f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有　f(g(x))=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)&1 )　　　　 ②
　　感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:
　　f(x)的解析式f[g(x)]的表达式
　　我们将上述替换形象地称之为"同位替换".
　　显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于"等量替换"，又高于"等量替换"，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是"等量替换"所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.
　　四.经典例题
　　例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中(　　 )　　 　　　 　　
　　分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x,　故当0≤t≤1时,　ｓ＝ ，,由此否定A,B,D,应选C.
　　分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.
　　当l在Ｏ,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1, ΔS2..., ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)= 的凹凸性可排除D,故应选C.
　　例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线ｌ从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线ｌ与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线ｌ截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.　
　　分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定ｌ左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 分划讨论的区间.
　　解:　　(1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时, ｙ＝ ,即 ;
　(2)当2&x≤4时,上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰RtΔ(确定的)和一个矩形,此时 ,即y=2x-2;
　　(3)当4&x≤6时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线ｌ右侧),此时 ,即
　　因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为
　　 　由此可知,f(x)的定义域为[0,2]∪ ∪ =[0,6].
　　又当0≤x≤2时, ,即此时0≤y≤2;　　当2&x≤4时,2&2x-2≤6,即此时2&y≤6;
　　当4&x≤6时,6& ≤8,即此时6&y≤8.　　∴函数f(x)的值域为[0,2] ∪ ∪ =[0,8]
　点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.
　　例3. (1)已知f(x)=x2+2x-1(x&2),求f(2x+1)的解析式;　(2)已知 ,求f(x＋1)的解析式.
　　解: (1) ∵f(x)=x2+2x-1 (x&2)　∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1&2)
　　∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x&1/2 )
　　(2)由已知得 　∴以x替代上式中的 得　f(x)=x2-1 (x≥1)
　　∴f(x+1)=(x＋1)2-1 (x+1≥1)　即f(x+1)=x2+2x (x≥0)
　　点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是"换元法",还是上面实施的"同位替换",它们都包括两个方面的替换:
　　(1)解析式中的替换;　(2) 取值范围中的替换.　根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.
　　例4. 设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)&x的解集.
　　分析:为将不等式f(1-x)&x具体化,根据"同位替换"法则,先求f(1-x)的表达式.
　　解:由题设知,在y= f(2x+1)中有-1≤x≤1 -1≤2x+1≤3,
　　∴运用"同位替换"的思想　在f(x-1)中应有-1≤x-1≤3　①　　又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1　②
　　∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1　(-1≤x-1≤3)　∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1　(-1≤1-x≤3)　即f(1-x)=x2-4x+4　(-2≤x≤2)
　　于是有f(1-x)&xx2-4x+4&x(-2≤x≤2)x2-5x+4&0(-2≤x≤2)(x-1)(x-4)&0(-2≤x≤2)1&x&4(-2≤x≤2)1&x≤2
　　因此,所求不等式f(1-x)&x的解集为 .
　　点评:在这里,三个不同函数f(2x+1), f(x-1), f(x+1)均以x为自变量,x是"一仆三主".因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意"两方替换",双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.
　　例5. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
　　①若映射f满足f(a)&f(b)≥f(c),则映射f的个数为　　　　　　 ;
　　②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为　　　　 ;
　　③若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为　　　　.
　　(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为　　　　 .
　　分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.
　　解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
　　①列表法：∵f(a)&f(b)≥f(c)　∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
　　根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:　　f(a)　　f(b)　　f(c)　　1　　0　　0　　1　　0　　-1　　1　　-1　　-1　　0　　-1　　-1　　由此可知符合条件的映射是4个.
　　②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察　　f(a)　　f(b)　　f(c)　　0　　0　　0　　0　　1　　-1　　0　　-1　　1　　1　　0　　-1　　1　　-1　　0　　-1　　1　　0　　-1　　0　　1
　　由此可知符合条件的映射有7个.
　　③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.
　　（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.
　　（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0} {-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
　　此时符合条件的映射有4个.
（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1} {-1,0,1}: 0=1+(-1), 0=(-1)+1∴此时符合条件的映射f有2个
　　于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.
　　(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.
　　(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;
　　(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 ×3=12个;
　　(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有 种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 ×1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.
　　点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.
　　例6. 已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
　　(1)求f(1)的值;　(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
　　分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着"一般"与"特殊"之间的辩证关系,想到从"特殊"(特殊取值或特殊关系)入手去破解"一般",以寻出目标.
　　解: (1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)　　①　又令x=0,y=0得f(0)=-1　②
　　令x=-1,y=-1得　　 f(-2)=2f(-1)+2　　∵f(-2)=-2,　　 ∴f(-1)=-2　 ③　∴将②、③代入①得f(1)=1.
　　(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2　∴当t∈Z时,有f(t+1)-f(t)=t+2　④
　　根据④,运用阶差法得　f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+...+[f(t)-f(t-1)]
∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+...+[(t-1)+2]=1+2(t-1)+ 　　即f(t)= 　　∴f(t)=t
t2+t-2=0 (t-1)(t+2)=0 t=1或t=-2
　　于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1.
　　点评: 函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.
　　五. 高考真题
　　(一)选择题
1. 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0&x1&x2&1时, 恒成立的函数的个数是(　　 ).
　　A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
　　分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1&x2,当f(x)总满足 时,函数f(x)在区间I上的图象是"上凸"的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x, 本题应选B
　　2.已知 ,则f(x)的解析式可取为(　　 )
　　A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
分析:运用直接法．　令 =t，则x= (t≠-1), ∴f(t)= (t≠-1)∴f(ｘ)= 　　(x≠-1) 应选C
　　说明:注意到对于 ,有 =－1+ ≠-1,∴对于 f(x)应有x≠-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法.
　　3. 设函数f(x)= ,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为(　　 ).
　　A.1　　　　　　 B.2　　　　　　 C.3　　　　 D.4
　　分析: 从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得　
　　∴方程f(x)=x 或
　或x=2 或x=2,　　 故本题应选C
　　4.设函数f(x)= ,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为(　　 )
　　A. ∪[0,10]　　 　　B. ∪[0,1]　　　C. ∪[1,10]　　 D.[-2,0]∪[1,10]
　　分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.
　　f(x)≥1 或 　x≤-2 或 0≤x≤10,故应选A
　运用特取法:取 ,则 ,由此否定C,D;取x=2,得 ,由此否定B,故本题应选A
　　(二)填空题
　　1.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=　　　　 .
　　分析: 由f(x)=x2+4x+3得　f(ax+b)=(ax+b)2＋4（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,
　　∴由已知条件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3= x2+10x+24
　　故有 　 　　∴5a-b=2
　　2. 对于函数定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
　　① f(x1+x2)= f(x1)?f(x2)　　② f(x1?x2)= f(x1)+f(x2)
　　③ ;　　④ .
　　当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是　　　　　　　　 .
　　分析:根据对数的运算法则知②正确,①不正确;　借助f(x)=lgx的图象,考察 的几何意义;经过点(x1, f(x1)),( x2, f(x2))的直线的斜率,可知③正确;注意到f(x)=lgx的图象"上凸",可知④正确.故本题应填②、③、④.
　　3.已知 ,则不等式x+(x+2)?f(x+2)≤5的解集是　　　　 .
　　分析: 注意到原不等式中"f"之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化.　原不等式 或 或 x&-2
　　∴原不等式的解集为 .
　　(三)解答题
　　1. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
　　(1)求函数g(x)的解析式;　　(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
　　分析: 求"对称曲线"的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时,"分类讨论"乃是解题取胜的杀手锏.
　　解: (1)设点Q(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点,点Q关于原点的对称点为P(x,y),则有
　　 　　①　∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)图象上　∴y0=x02+2x0②∴①代入②得-y=(-x)2+2(-x)
　　即 y=-x2+2x　　故有g(x)=-x2+2x
　　(2) g(x)≥f(x)-|x-1|2x2-|x-1|≤0　　当x≥1时,2x2-x+1≤0, 此不等式无解;　当x&1时, 2x2+x-1≤0 .
　　∴原不等式的解集为 .
　　点评:以"点对称"入手破解对称问题,以"绝对值的零值"分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.
　　2.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B, = ( 分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6
　　(1) 求k、b的值;　(2) 当x满足f(x)&g(x)时,求函数 的最小值.
　　分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用 = 建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)&g(x)的解集，探求所给函数的最小值.
　　解: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),从而 =( ,b)、又 =(2,2),故得 ∴所求k=1,b=2.
　　(2) f(x)&g(x) x+2&x2-x-6 x2-2x-8&0 -2&x&4　①
　　 = = =(x+2)+ -5 (分离整式项)　 ②
　　又由①知　 0&x+2&6　　　③
　　∴由②得 -5=-3当且仅当x+2= 即x=-1(满足①式)时等号成立.
　　∴函数 的最小值为-3.
　　点评:在这里,运用不等式求所给函数的最小值,函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地,当分子次数等于分母次数时,分式可分离出一个常数项;当分子次数大于分母次数时,分式可分离出一个整式项."分离"整式项的手法,是在分子实施"配凑",将分子表示为分母的函数式.
　　3.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
　　(1)求函数f(x)的解析式;　　(2)设k&1,解关x的不等式 .
　　分析: 对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项-通分-分解因式-转化(为整式不等式)-求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.
解: 　(1) f(x)-x+12=0 -x+12=0　将x1=3,x2=4代入方程得 解得 ∴f(x)=
　(2)原不等式 f(x)-
(2-x)[ ]&0
　　 (x-2)(x-1)(x-k)&0※
　　(I) 当1&k&2时,由(※)解得1&x&k 或 x&2;　(II)当k=2时,由(※)得(x-2)2(x-1)&0 1&x&2 或 x&2;
　　(III)当k&2时,由(※)得1&x&2 或 x&k.　于是可知,当1&k≤2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);
　　当k&2时, 原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).
点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用"根轴法"，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试.
　4.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x), y=g(x),规定:函数　 　　　　
　　(1) 若函数f(x)= ,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;　　(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;
　　(3) 若g(x)=f(x+ ),其中 是常数,且 ∈ ,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个 的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
　　分析: 对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于"分段探求,综合结论"的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+ ),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x) f(x+ ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x+ )=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的"一分为二"的变形入手.
　　解: 　(1)这里Df=(-∞,1)∪(1,+∞)　　 Dg=R　∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 时， ;
　　当x Df且x ∈ Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1;　又x∈Df且x Dg的x不存在,故得
　　(2)当x≠1时, =(x-1)+ +2　∴若x&1, 则x-1&0, h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;
　　若x&1, 则 x-1&0, 故有h(x)≤0, 当且仅当x=0时等号成立.　又当x=1时,h(x)=1.
　　∴函数h(x)的值域为 ∪{1}∪ .
　　(3)由题意得h(x)=f(x) f(x+ )　　①
　　又注意到cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=(cos2x+sin2x) 　　　　②
　　∴由①、②知, 令f(x)= cos2x+sin2x (x∈R) = 则有g(x)= f(x+ )= = cos2x－sin2x　　
　　于是有 h(x)=f(x) f(x+ )=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x)= cos22x-sin22x=cos4x.
　　点评: 　　　(I) 对于 (1),务必要注意逐段考察, 不可忽略f(1)=1.
　　(II) 既要注意(3)中g(x)=f(x+ ),又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x) f(x+ ).至此,解题的难点得以突破,问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换.
　　5. 已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x)　　(1)求函数f(x)的表达式;　　(2)证明: 当a&3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.
　　分析: 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用"待定系数法"探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.
　　解: 　(1)由题意设f1(x)=ax2, f2(x)= (k&0), 　由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2　　又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A ,B ,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)= 　　∴ f(x)=x2+
　　(2)　证法一: 由f(x)=f(a)得x2+ = =－x2+
　　在同一坐标系内作出f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的大致图象,注意到f2(x)= 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)= －x2+ 的图象则是以点(0, )为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的图象在第三象限有一个交点,　即f(x)=f(a)有一个负数解.　①
　　又∵f2(2)=4, f3(2)= -4　∴当a&3时, f3(2)－f2(2)= -8&0,
　　∴当a&3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2))在y=f2(x) 图象的上方.
　　∴y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点.　　即方程f(x)=f(a)有两个正数解.　　　　　 　②
　　于是由①、②知,当a&3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
　　证法二: 由f(x)=f(a)得x2+ = (x-a)(x+a- )=0
　　∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解.　　　　　①
　　又方程 x+a- =0可化为ax2+ －8=0　②
　　由a&3得方程②的判别式Δ=a4+32a&0
　　∴由②解得x2= ,x3=
　　∵x2&0. x3&0,　　 ∴x1≠x2 且x2≠x3　　 　　　　　　　　　　③
　　此时,若x1= x3,则有a= 3a2= a4=4aa=0 或 a=
　　这与a&3矛盾,故有x1≠ x3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④
　　于是由①、③、④知,原方程有三个实数解.
　　点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.
高二数学函数的概念
品德与社会
Copyright& 北京学而思网络科技有限公司（京ICP备号-1）北京市公安局海淀分局备案编号：全国各地重点高中：
全国各地杯赛：
&&&&请下载附件：
&&&&《2012中考数学压轴题函数梯形问题(一)》
欢迎使用手机、平板等移动设备访问中考网，2017中考一路陪伴同行！
中考网版权所有Copyright© . All Rights Reserved.Posts - 133,
Articles - 0,
Comments - 11
18:25 by 猎手家园, ... 阅读,
1、方差：就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。标准差是方差平方根。
举例：比如1.2.3.4.5 这五个数的平均数是3
方差就是：
即：1/5[（1-3）²+（2-3）²+（3-3）²+（4-3）²+（5-3）²]=2
2、kmeans是最简单的聚类算法之一,但是运用十分广泛。kmeans一般在数据分析前期使用，选取适当的k，将数据分类后，然后分类研究不同聚类下数据的特点。
3、正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为&、方差为&^2的高斯分布，记为N(&，&^2)。
4、&表示求和：&读音为sigma，英文意思为Sum。其中i表示下界，n表示上界， k从i开始取数，一直取到n,全部加起来。
5、对数函数：如果ax=N（a&0，且a&1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
图形如下：
6、自然对数：以常数e为底数的对数叫做自然对数，记作lnN(N&0)。它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。我们定义：当n趋于无限时，。
e是一个无限不循环小数，其值约等于2.&，它是一个超越数。
7、最小二乘法
残差：设yi是被解释变量的第i次样本观测值，&yi^是相应的第&i 次样本估计值。将&yi 与&yi^之间的偏差记作ei称&ei为第 i&次样本观测值的残差。
&&&&&& 最小二乘准则：使全部样本观测值的残差平方和达到最小。
8、导数：导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
9、基本初等函数：
10、各分步函数与图形
伯努力试验
11、泊松分步：是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布。
&&&&&& 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数等等。
12、伯努力试验和二项分步：(Bernoulli experiment)是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验。其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。
二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用&表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P,则不发生的概率 q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是：
那么就说&服从二项分布。.其中P称为成功概率。
记作：&~B(n,p)
期望：E&=np
方差：D&=npq
13、排列：从n个不同元素中取出m（m&n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm（或Pnm，或nPm）表示。
14、组合：一般地，从m个不同的元素中，任取n（n&m）个元素为一组，叫作从m个不同元素中取出n个元素的一个组合。
15、阶乘：一个正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。
16、神经网络算法：人工神经网络也就是一个普通的分类器而已，解决那些人类可以解决的Task。机器学习模型都只能解决两个问题：特征选择（Feature Selection）和函数拟合（Function Fitting）
17、箱形图（箱尾图）：是一种用作显示一组数据分散情况资料的统计图。
（1）箱形图为我们提供了识别异常值的一个标准：异常值被定义为小于Q1－1.5IQR或大于Q3+1.5IQR的值。
（2）判断数据偏态和尾重。
（3）比较几批数据的形状
18、支持向量机（SVM）：超级通俗的解释：支持向量机是用来解决分类问题的。
先考虑最简单的情况，豌豆和米粒，用筛子很快可以分开，小颗粒漏下去，大颗粒保留。
用一个函数来表示就是当直径d大于某个值D，就判定为豌豆，小于某个值就是米粒。
在数轴上就是在d左边就是米粒，右边就是绿豆，这是一维的情况。
但是实际问题没这么简单，考虑的问题不单单是尺寸，一个花的两个品种，怎么分类？
假设决定他们分类的有两个属性，花瓣尺寸和颜色。单独用一个属性来分类，像刚才分米粒那样，就不行了。这个时候我们设置两个值 尺寸x和颜色y。
我们把所有的数据都丢到x-y平面上作为点，按道理如果只有这两个属性决定了两个品种，数据肯定会按两类聚集在这个二维平面上。
我们只要找到一条直线，把这两类划分开来，分类就很容易了，以后遇到一个数据，就丢进这个平面，看在直线的哪一边，就是哪一类。
比如x+y-2=0这条直线，我们把数据(x,y)代入，只要认为x+y-2&0的就是A类，x+y-2&0的就是B类。
以此类推，还有三维的，四维的，N维的 属性的分类，这样构造的也许就不是直线，而是平面，超平面。
一个三维的函数分类 ：x+y+z-2=0，这就是个分类的平面了。
有时候，分类的那条线不一定是直线，还有可能是曲线，我们通过某些函数来转换，就可以转化成刚才的哪种多维的分类问题，这个就是核函数的思想。
例如：分类的函数是个圆形x^2+y^2-4=0。这个时候令x^2=a; y^2=b,还不就变成了a+b-4=0 这种直线问题了。
这就是支持向量机的思想。机的意思就是&算法&，机器学习领域里面常常用&机&这个字表示算法。
支持向量意思就是数据集种的某些点，位置比较特殊，比如刚才提到的x+y-2=0这条直线，直线上面区域x+y-2&0的全是A类，下面的x+y-2&0的全是B类，我们找这条直线的时候，一般就看聚集在一起的两类数据，他们各自的最边缘位置的点，也就是最靠近划分直线的那几个点，而其他点对这条直线的最终位置的确定起不了作用，所以我姑且叫这些点叫&支持点&（意思就是有用的点），但是在数学上，没这种说法，数学里的点，又可以叫向量，比如二维点(x,y)就是二维向量，三维度的就是三维向量（ x,y,z)。所以 &支持点&改叫&支持向量&，听起来比较专业，NB。所以就是 支持向量机 了。}