第四章线性规划的对偶理论；一、填空题；1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大；线性规划问题与之对应，反之亦然；2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数；3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应；4．对偶问题的对偶问题是原问题_；5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可；6．若某种资源的影子价格等于k；~－7．线性规划问题的最
线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的
线性规划问题与之对应，反之亦然。
2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。
3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。
4．对偶问题的对偶问题是原问题_。
5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。
6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。
~－7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y1
~~~~8．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CXb。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
~~~10．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX。
11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb
YA≥c Y≥0_。
12．影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的对偶变量的数量表现。
13．线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为AT 。
14．在对偶单纯形法迭代中，若某bi&0，且所有的aij≥0(j=1，2，?n)，则原问题_无解。
二、单选题 1．线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为A形式。
A．“≥” B．“≤”
C，“&” D．“=”
2．设X、Y分别是标准形式的原问题与对偶问题的可行解,则
3．对偶单纯形法的迭代是从_ A_开始的。
~4．如果z。是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w
~~A．W=ZB．W≠ZC．W≤ZD．W≥Z
5．如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明_ B
A．该资源过剩B．该资源稀缺 C．企业应尽快处理该资源D．企业应充分利用该资源，开僻新的生产途径
三、多选题
1．在一对对偶问题中，可能存在的情况是ABC。
A．一个问题有可行解，另一个问题无可行解
B．两个问题都有可行解 C．两个问题都无可行解
D．一个问题无界，另一个问题可行
2．下列说法错误的是B 。
A．任何线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题B．对偶问题无可行解时，其原问题的目标函数无界。C．若原问题为maxZ=CX，AX≤b，X≥0，则对偶问题为minW=Yb，YA≥C，Y≥0。D．若原问题有可行解，但目标函数无界，其对偶问题无可行解。
3．如线性规划的原问题为求极大值型，则下列关于原问题与对偶问题的关系中正确的是BCDE。
A原问题的约束条件“≥”，对应的对偶变量“≥0” B原问题的约束条件为“=”，对应的对偶变量为自由变量 C．原问题的变量“≥0”，对应的对偶约束“≥” D．原问题的变量“≤O”对应的对偶约束“≤”E．原问题的变量无符号限制，对应的对偶约束“=”
4．一对互为对偶的问题存在最优解，则在其最优点处有BD
A．若某个变量取值为0，则对应的对偶约束为严格的不等式B．若某个变量取值为正，则相应的对偶约束必为等式C．若某个约束为等式，则相应的对偶变取值为正D．若某个约束为严格的不等式，则相应的对偶变量取值为0 E．若某个约束为等式，则相应的对偶变量取值为0
5．下列有关对偶单纯形法的说法正确的是ABCD。
A．在迭代过程中应先选出基变量，再选进基变量B．当迭代中得到的解满足原始可行性条件时，即得到最优解 C．初始单纯形表中填列的是一个正则解D．初始解不需要满足可行性 E．初始解必须是可行的。
6．根据对偶理论，在求解线性规划的原问题时，可以得到以下结论ACD。
A． 对偶问题的解B．市场上的稀缺情况 C．影子价格D．资源的购销决策E．资源的市场价格
7．在下列线性规划问题中，CE采用求其对偶问题的方法，单纯形迭代的步骤一般会减少。
四、名词、简答题
1、对偶可行基：凡满足条件δ=C-CBBA≤0的基B称为对偶可行基。
2、.对称的对偶问题：设原始线性规划问题为maxZ=CX
称线性规划问题minW=Yb
为其对偶问题。又称它们为一对对称的对偶问题。
3、影子价格：对偶变量Yi表示与原问题的第i个约束条件相对应的资源的影子价格，在数量上表现为，当该约束条件的右端常数增加一个单位时（假设原问题的最优解不变），原问题目标函数最优值增加的数量。
4．影子价格在经济管理中的作用。（1）指出企业内部挖潜的方向；（2）为资源的购销决策提供依据；（3）分析现有产品价格变动时资源紧缺情况的影响；（4）分析资源节约所带来的收益；（5）决定某项新产品是否应投产。
5．线性规划对偶问题可以采用哪些方法求解？（1）用单纯形法解对偶问题；（2）由原问题的最优单纯形表得到；（3）由原问题的最优解利用互补松弛定理求得；（4）由Y*=CBB-1求得，其中B为原问题的最优基
6、一对对偶问题可能出现的情形：1.原问题和对偶问题都有最优解，且二者相等；2.一个问题具有无界解，则另一个问题具有无可行解；3.原问题和对偶问题都无可行解。
五、写出下列线性规划问题的对偶问题
1．minZ=2x1+2x2+4x3 -1
六、已知线性规划问题
应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于
七、已知线性规划问题
maxZ=2x1+x2+5x3+6x4
~其对偶问题的最优解为Y=4，Y2=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
七、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：
八、已知线性规划问题
(1) 写出其对偶问题
(2)已知原问题最优解为X~=(2，2，4，0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题
的最优解。
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　y≥0 (6) (5) 求一个任意给定的线性规划问题的对偶问题, 求一个任意给定的线性规划问题的对偶问题,原则上可以先将它等价地转 化为( 的形式再按( 形式写出... 　线性规划的对偶_数学_自然科学_专业资料。线性规划的对偶性质第四章 线性规划的对偶理论 一、填空题 1.线性规划问题具有对偶性,即对于任何一个求最大值的线性规划... 　线性规划的对偶问题_工学_高等教育_教育专区。第二章 线性规划的对偶问题 第二章 线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z =... 　用对偶单纯形法求解线性规划问题_数学_自然科学_专业资料。例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 s.t. -2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 ... 　(班级) :工商管理 04-1～3 命题人: 教研室主任: 第1套 共2页 第1页 一、写出下列线性规划问题的对偶问题(10 分) (1) minz = 2x 1 + 2x 2 + 4x... 　第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结_数学_自然科学_专业资料。自 1102 内部复习资料 绝密版 第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结一.对偶问... 　第二章 线性规划习题(附答案)_管理学_高等教育_教育专区。管理运筹学 线性规划习题 习题2-1 判断下列说法是否正确: (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶... 　第十四章 第十四章 14.1 对称的对偶规划 线性规划的对偶问题 在线性规划早期发展中,对问题是一项重要的发现.早在 1928 著名数学家 John.Von.Neumann 在研究对策... 　1.略 2.用对偶单纯形方法解 1.(1) m i n s ? x1 ? 2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 6 ? x ? x2 ? ?4 ? 1 ? x1 ? 2 ? ? x2 ? 6 ? ? ...导读：第二章线性规划的对偶问题，2.1写出下列线性规划问题的对偶问题，2.2已知线性规划问题maxz＝CX，其对偶问题的解的变化：，（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0），2.3已知线性规划问题minz＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4，(1)写出其对偶问题，(2)已知原问题最优解为x*＝（1，直接求出对偶问题的最优解，2.4已知线性规划问题minz＝2x1＋x2＋5x3＋6x4对偶变量，其对第二章 线性规划的对偶问题 第二章 线性规划的对偶问题 习题
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3
(2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st.
x1＋ x2＋2 x3≤10
x1＋ x2＋ x3 ＋ x4 ≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20
2x1－ x2＋3x3
＝－4 xj ≥0
（j＝1,2,3）
－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4
(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st.
x1－2x2＋3x3＋4x4≤3
－x1＋5x2－3x3 ≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5
－5x1－6x2＋10x3 ≤20
2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝
x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3 无约束
x1≤0， x2≥0，x3 无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3x'1代换。 2.3 已知线性规划问题 min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st.
＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6 x3 ＋ x4＝2
xj≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题 min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4
对偶变量 st. 2x1
＋x3＋ x4≤8
y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12
xj≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
４７ 第二章 线性规划的对偶问题 2.5 考虑线性规划问题
max z＝2x1＋4x2＋3x3
3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 xj≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。 2.6 已知线性规划问题
max z＝10x1＋5x2 st.
3x1＋4x2≤9 5x1＋2x2≤8 xj≥0（j＝1,2） 用单纯形法求得最终表如下表所示：
x2 x1 x1 0 1 0 x2 1 0 0 x3 x4 b ?j=cj-Zj 5 141― 75― 143 142 725― 14―3 21
试用灵敏度分析的方法分别判断： （1）目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动，上述最优解不变； （2）约束条件右端项b1，b2，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变； （3）问题的目标函数变为max z ＝12x1＋4x2时上述最优解的变化； （4）约束条件右端项由????时上述最优解的变化。 ???变为?2.7 线性规划问题如下： max z＝―5x1＋5x2＋13x3
―x1＋x2＋3x3≤20
① 12x1＋4x2＋10x3≤90
② ?9??8??11??19?xj≥0 （j＝1,2,3） 先用单纯形法求解，然后分析下列各种条件下，最优解分别有什么变化？ （1） 约束条件①的右端常数由20变为30； ４８ 第二章 线性规划的对偶问题 （2） （3） （4） （5） 约束条件②的右端常数由90变为70； 目标函数中x3的系数由13变为8； TTx1的系数列向量由（―1，12）变为（0，5）； 增加一个约束条件③：2x1＋3x2＋5x3≤50； （6） 将原约束条件②改变为：10x1＋5x2＋10x3≤100。 2.8 用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下： cj a b 基变量 c d ?j=cj-Zj 50 x1 0 1 0 40 x2 1 0 0 10 x3 60 x4 1 2 f S 6 4 g 1 21 4e （1）给出a，b，c，d，e，f，g的值或表达式； （2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值； （3）用a+?a，b+?b分别代替a和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求?a，?b满足的范围。 2.9 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸坯纸1040千克，每打日记本用白坯纸千克，每箱练习本用白3380千克。又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生3产一箱练习本获利1元。试确定： （1）现有生产条件下获利最大的方案； （2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？ 2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。 产品原料 A B 销售价（元） 甲 2 3 13 乙 4 2 16 可用量（千克） 原料成本（元/千克） 160 180
（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。
４９ 第二章 线性规划的对偶问题 （2）原料A、B的影子价格各为多少。 （3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。 （4）工厂可在市场上买到原料A。工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？ 2.11 某厂生产A、B两种产品需要同种原料，所需原料、工时和利润等参数如下表： 单位产品 原料（千克） 工时（小时） 利润（万元） A 1 2 4 B 2 1 3 可用量（千克） 200 300
（1） 请构造一数学模型使该厂总利润最大，并求解。 （2） 如果原料和工时的限制分别为300公斤和900小时，又如何安排生产？ （3） 如果生产中除原料和工时外，尚考虑水的用量，设两A，B产品的单位产品分别需要水4吨和2吨，水的总用量限制在400吨以内，又应如何安排生产？
复习思考题
2.12 试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。 2.13 根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出两个问题变量之间、解以及检验数之间的对应关系。 2.14 什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。 2.15 试述对偶单纯形法的计算步骤，它的优点及应用上的局限性。 2.16 将aij，b，c的变化分别直接反映到最终单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解各自将会出现什么变化，有多少种不同情况以及如何去处理。 2.17 判断下列说法是否正确 (a)任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题； (b)对偶问题的对偶问题一定是原问题； (c)根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解； (d)若某种资源的影子价格等于k，在其它条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k； (e)应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi<0，又xi所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解； (f)若线性规划问题中的bi，c,值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出５０ 第二章 线性规划的对偶问题 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； (g)在线性规划问题的最优解中，如某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数cj或在各约束中的相应系数aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。
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对偶线性规划
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对偶线性规klJ(dual linear programming)与一线性规划(问题)相关的另一个线性规划(问题)。
考虑线性规划问题(LP)&参见“线性规划的数学模型”和“线性规划的标准型”):
以及与它相关的另一个线性规划问题(DI_P )
称前一个问题为原规划(问题)，后一个问题为前一个问题的对偶线性规划(问题).它们互为对偶线性规划问题.对偶规划最初是由冯·诺伊曼(von Neu-mann,J.)于1947年提出来的，以后库恩(Kuhn , H.W.)和塔克尔(Tucker,A. W.)证明了对偶定理.哥德曼(Goldman,A. J.)和塔克尔于1956年比较系统地叙述了对偶规划的理论.
对偶线性规划的经济背景是:若原问题是利用有限资源安排最优生产方案，以获得最大总产值的线性规划问题，则它的对偶问题就是在相同资源的条件下，正确估计资源的使用价值，以达到支付最少费用的线性规划问题.简言之，若原问题为求解资源的最优配置问题，则对偶问题就是求解估价资源的[1]
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Duality theory 研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论。 在线性规划早期发展中最重要的发现是对偶问题，即每一个线性规划问题（称为原始问题）有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。 1928年美籍匈牙利数学家 J.von诺伊曼在研究对策论发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。两零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。
对偶理论简介
对偶理论: Duality theory :
研究中原始问题与对偶问题之间关系的理论。[1]
对偶理论属自动控制与系统工程范畴
对偶理论主要研究经济学中的相互确定关系，涉及到经济学的诸多方面。产出与成本的对偶、效用与支出的对偶，是经济学中典型的对偶关系。经济系统中还有许多其他这样的对偶关系。
利用对偶性来进行经济分析的这种方法，就叫做对偶方法。
每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
对偶理论 1947年由美籍数学家J·von·诺依曼提出创立。
对偶理论发展简史
在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。1928年美籍匈牙利数学家 J·von·诺伊曼在研究对策论时已发现线性规划与之间存在着密切的联系。两人零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。他于1947年提出对偶理论。1951年G.B.丹齐克引用对偶理论求解线性规划的运输问题，研究出确定检验数的原理。1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，成为管理决策中进行灵敏度分析的重要工具。对偶理论有许多重要应用：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是。
对偶问题 　每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称为对偶问题。原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。对偶问题有许多重要的特征，它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解和分析。对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：①目标函数对原始问题是极大化，对对偶问题则是极小化。②原始问题目标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，而原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中目标函数的收益系数。③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号方向相反。④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。⑤原始问题的约束方程数对应于对偶问题的变量数，而原始问题的变量数对应于对偶问题的约束方程数。⑥对偶问题的对偶问题是原始问题，这一性质被称为原始和对偶问题的对称性。
对偶理论基本定理
原始问题和对偶问题的标准形式如下：
原始问题　对偶问题
max　z=cx　min　 w=yb
s.t.　 　Ax≤b　s.t.　yA≥c
x≥0　 　 y≥0
式中max表示求极大值,min表示求极小值,s.t.表示“约束条件为”；z为原始问题的目标函数，w为对偶问题的目标函数；x为原始问题的决策变量列向量（n×1），y为对偶问题的决策变量行向量(1×m);A为原始问题的系数矩阵(m×n),b为原始问题的右端常数列向量（m×1），c为原始问题的目标函数系数行向量（1×n）。在原始问题与对偶问题之间存在着一系列深刻的关系，现已得到严格数学证明的有如下一些定理。
对偶理论弱对偶定理
若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,则cx0&=y0b。这个定理表明极大化问题任一可行解的目标函数值总是不大于它的对偶问题的任一可行解的目标函数值。
对偶理论强对偶定理
若上述原始问题和对偶问题都可行，则它们分别有最优解x*和y*，且cx*=y*b。
对偶理论最优准则定理
若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,且两者的目标函数值相等，即y0b=cx0,则两个可行解分别为对应线性规划的最优解。
对偶理论互补松弛定理
若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0，且u0和v0分别为它们的松弛变量,则当且仅当v0x0+u0y0时，x0和y0分别为它们的最优解。
对偶理论松弛定理
若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,且u0和v0分别为它们的松弛变量，则当且仅当v0x0=0 和u0y0=0时, x0和y0分别为它们的最优解。v0x0=0和u0y0=0这两个等式称为互补松弛条件。
对称对偶线性规划 　具有对称形式的线性规划的特点是：
①全部约束条件均为不等式，对极大化问题为≤，对极小化问题为≥。
②全部变量均为非负。
列出对称对偶线性规划的步骤是：
①规定非负的对偶变量，变量数等于原始问题的约束方程数。
②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。
③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。
④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。
⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等号。
⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。
非对称对偶线性规划 　有时线性规划并不以对称方式出现，如约束条件并不都是同向不等式，变量可以是非正的或没有符号约束。
列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表（见表）按下列步骤进行：
①规定对偶变量，变量个数等于原始问题约束不等式数。
②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。
③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。
④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。
⑤根据原始问题的约束不等式情况，确定对偶变量的符号约束。
⑥根据原始问题决策变量的符号约束，确定对偶问题约束不等式的符号方向。
对偶问题的最优解 　从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0,且cx0=y0b,若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。}