知识点梳理
【并集】一般地，由属于集合A或者属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的并集（union&set），记作A∪B（读作“&A&并&B&”'），即&A∪B=\left\{{x\left|{x∈A,或x∈B}\right}\right\}．&&【交集】一般地，由属于集合A并且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection&set），记作&A∩B（读作“&A&交&B&”'），即&A∩B\left\{{=x\left|{x∈A,且x∈B}\right}\right\}．&&【补集】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有对象，那么就称这个集合为全集（universe&set），通常记为U．对于一个集合&A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary&set），简称为集合A的补集（补），记作{{C}_{U}}A．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“若A1，A2，…，Am为集合A={1，2，…，n}（n≥2且...”，相似的试题还有：
定义一种集合运算A?B={x|x∈A∪B，且x?A∩B}，设M={x||x|＜2}，N={x|x2-4x+3＜0}，则M?N表示的集合是()
A.（-∞，-2]∪[1，2）∪（3，+∞）
B.（-2，1]∪[2，3）
C.（-2，1）∪（2，3）
D.（-∞，-2]∪（3，+∞）
对任意两个集合X、Y，定义X-Y={x|x∈X且x?Y}、X△Y=(X-Y)∪(Y-X)．设A={y|y=x2，x∈R}，B={y|y=3sinx，x∈R}，则A△B=_____．
对于集合M={1，2，3…，2n，…}，若集合A={a1，a2，…，an，…}，B={b1，b2，…，bn，…}，n∈N*，满足A∪B=M．(1)若数列{an}的通项公式是a_{n}=2^{n-1}，求等差数列{bn}的通项公式；(2)若M为2n元集合，A∩B=?且\sum\limits^{n}_{k=1}{}a_{n}=\sum\limits^{n}_{k=1}{}b_{n}，则称A∪B是集合M的一种“等和划分”(A∪B与B∪A算是同一种划分)．已知集合M={1，2，…，12}①若12∈A，集合A中有五个奇数，试确定集合A；②试确定集合M共有多少种等和划分？若A1.A2.-.Am为集合A={1.2.-.n}(n≥2且n∈N*)的子集.且满足两个条件:①A1∪A2∪-∪Am=A,②对任意的{x.y}⊆A.至少存在一个i∈{1.2.3.-.m}.使Ai∩{x.y}={x}或{y}．则称集合组A1.A2.-.Am具有性质P．如图.作n行m列数表.定义数表中的第k行第l列的数为aki=1(k∈Ai)0(k∉Ai) a1 题目和参考答案——精英家教网——
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若A1，A2，…，Am为集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且满足两个条件：①A1∪A2∪…∪Am=A；②对任意的{x，y}⊆A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使Ai∩{x，y}={x}或{y}．则称集合组A1，A2，…，Am具有性质P．如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为aki=1(k∈Ai)0(k∉Ai)&a11&a12&…&a1m&a21&a22&…&a2m????&an1&an2&…&anm（Ⅰ）当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：A1={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；集合组2：A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}．（Ⅱ）当n=7时，若集合组A1，A2，A3具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A1，A2，A3；（Ⅲ）当n=100时，集合组A1，A2，…，At是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值．（其中|Ai|表示集合Ai所含元素的个数）
考点：数列与函数的综合
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：（Ⅰ）直接根据集合组的性质进行判断即可；（Ⅱ）结合表格进行求解；（Ⅲ）结合数列的求和公式进行求解．
解：（Ⅰ）集合组1具有性质P．所对应的数表为：A1={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；集合组2不具有性质P．因为存在{2，3}&#，3，4}，有A0：0，1，1，3，0，0，与对任意的A1：1，0，1，3，0，0，都至少存在一个A2：2，1，2，0，0，0，有A3：3，0，2，0，0，0或A4：4，1，0，0，0，0矛盾，所以集合组A5：5，0，0，0，0，0不具有性质A4：4，0，0，0，0．（Ⅱ）A3：3，1，0，0，0．（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设A2：2，0，2，0，0所对应的数表为数表A1：1，1，2，0，0，因为集合组A0：0，0，1，3，0为具有性质A0：a0，a1，…，an的集合组，所以集合组ak=0满足条件①和②，由条件①：ai＞0（0≤i≤k-1），可得对任意T-1，都存在T-1有A0，所以{an}，即第ai+i行不全为0，所以由条件①可知数表i中任意一行不全为0．…由条件②知，对任意的{an}，都至少存在一个P，使{an}或P，所以{an}一定是一个1一个0，即第{bn}行与第{bn}行的第b1，b2，b3，…，bn列的两个数一定不同．所以由条件②可得数表a1，a2，a3，…，an中任意两行不完全相同．因为由{bn}所构成的P元有序数组共有{an}个，去掉全是P的{an}元有序数组，共有n个，又因数表Sn=n3(n2-1)中任意两行都不完全相同，又当满足条件P时，由{bn}所构成的A元有序数组共有n个，去掉全是n∈[12，m2]（m≥5）的数组，共A个，选择其中的P个数组构造n∈[m2+1，（m+1）2]行A列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P．所以n≥2．因为an=Sn-Sn-1等于表格中数字1的个数，所以，要使=n3(n2-1)-n-13[(n-1)2-1]=n2-n取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而a1=0时，在数表an=n2-n(n∈N*)中，ai+i=i2(i=1，2，3，…)的个数为{an}的行最多P行；P的个数为{bn}的行最多P行；P的个数为n=m2+j，1≤j≤2m+1的行最多（m+2）2-（m2+j）=4m+4-j行；h=4m+4-j-1的个数为1≤j≤2m+1，m≥5的行最多h=4m+4-j-1≥2m+2≥12行；因为上述共有m2-h=m2-4m-4+j+1≥m2-4m-2行，所以还有m2-4m-2=（m-2）2-6＞0行各有h＜m2个h∈[12，m2]，所以此时表格中最少有n∈[12，m2]（m≥5）个{an}．所以P的最小值为：4m+4．
点评：本题结合集合的知识，综合考查了数列的基本性质、数列的运算等知识，属于中档题．考查比较综合．
科目：高中数学
在△ABC中，A=60°，b=4，a=23，则△ABC的面积等于．
科目：高中数学
△ABC中，a=2，b=6，B=π3，则sinA的值是（　　）
A、12B、22C、32D、12或32
科目：高中数学
直线a，b是异面直线是指①a∩b=∅，且a与b不平行；&&&&②a?面α，b?面β，且平面α∩β=∅；③a?面α，b?面β，且a∩b=∅；④不存在平面α，能使a?α且b?α成立．上述结论正确的有（　　）
A、①④B、②③C、③④D、②④
科目：高中数学
在实数集R中定义一种运算“*”，?a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（ex）•1ex的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]．其中所有正确说法的个数为（　　）
A、0B、1C、2D、3
科目：高中数学
已知正六边形ABCDEF，边长为1，其中心为O．（1）在A、B、C、D、E、F、0中任取2点，作为向量的起点和终点，求得到单位向量的概率；（2）在A、B、C、D、E、F中任取3点，求构成三角形的面积为34的概率．
科目：高中数学
已知过点A（0，b），且斜率为1的直线l与圆O：x2+y2=16交于不同的两点M、N．（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）若|MN|=43，求实数b的值；（Ⅲ）&记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为U，V，若在区域U内任取一点M（x，y），求点M落在区域V的概率．
科目：高中数学
若函数y=sin（wx+Φ）（w＞0）的部分图象如图，则w=（　　）
A、1B、2C、3D、4
科目：高中数学
函数y=log12x+1x-1（x≥3）的值域是（　　）
A、（0，1]B、[-1，0）C、[-1，+∞）D、（-∞，-1]
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本题难度：0.60&&题型：计算题
（2016o黄浦区二模）已知数列{an}中，若a1=0，ai=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足ai+a2i≥100的i的最小值为&&&&．
来源：2016o黄浦区二模 | 【考点】数列递推式．
已知数列{an}中，a1=2，an=3an-1+2（n≥2，n∈N*），数列{bn}中，bn=an+1．（Ⅰ）证明数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若cn=n(bn+1)(bn+3)，求数列{cn}的前n项和Sn．
（2016春o衡水校级期中）已知数列{an}中a1，a2的分别是直线2x+y-2=0的横、纵截距，且n+1-an-1an+an+1=2（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式为&&&&．
已知数列{an}中，an=32，前n项和为Sn=63．（1）若数列{an}为公差为11的等差数列，求a1；（2）若数列{an}为以a1=1为首项的等比数列，求数列{a}的前m项和Tm．
（2016o平度市模拟）已知数列{an}中，a1=2，且n=an-1+1(n≥2，n∈N+)．（I）求证：数列{an-1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=n（an-1），数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn＜4．
（2016o杨浦区三模）已知数列{an}中，an+1=n+n（n∈N*），a1=1；（1）设bn=3nan（n∈N*），求证：{bn}是等差数列；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求n9an的值．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o黄浦区二模）已知数列{an}中，若a1=0，ai=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足ai+a2i≥100的i的最小值为．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】由题意可得ai+a2i=k2+（k+1）2≥100从而解得．
【解答】解：∵ai=k2（i∈N*2k≤i＜2k+1k=123…）∴ai+a2i=k2+（k+1）2≥100故k≥7故i的最小值为27=128故答案为：128．
【考点】数列递推式．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o黄浦区二模）已知数列{an}中，若a1=0，ai”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列递推式
递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。用递推公式表示的数列就叫做递推数列比如等比数列An=A1*q^（n－1）可以表示为：An=q*An-1
知识点试题推荐
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)An infinite family of non-isomorphic C-algebras with identical K-theory 三亿文库
An infinite family of non-isomorphic C-algebras with identical K-theory
6ANDREWS.TOMSProof.Thetheoremistrivialifliminfrc(Ai)=∞,sosupposethatr:=liminfrc(Ai)<∞.Passingtoasubsequenceifnecessary,weassumethat(rc(Ai))∞i=1isdecreasing.Lettherebegivena,b∈Mn(A)+?→M∞(A)+andm>rsuchthats(a)+m<s(b),?s∈LDF(A).By[18,Proposition6.3],itwillsu?cetoprovethata??b.Let?>0begiven,anduseLemma3.1to?ndaδ>0suchthats((a??/2)+)+m<s((b?δ)+),?s∈LDF(A).Find,usingLemma3.2,apositiveelementa?∈Aj,somej∈N,suchthat||(a??/2)+?a?||<?/2and(a??)+??a???(a??/2)+.Put?=min{?,δ},and?ndapositiveelement?binsomeAj(wemayassumethatit′isthesameAjthatcontainsa?)suchthat||b??b||<?and(b?δ)+???b??b.Finally,assumethatj∈Nhasbeenchosenlargeenoughtoensurethatrc(Aj)<m.Wenowhavesγ(?a)+m≤sγ((a??/2)+)+m<sγ((b?δ)+)≤sγ(?b),?γ∈QT(A).′Chooseη>0suchthatm?η>rc(Aj).Byourhypothesiswemayassume,uponincresingjifnecessary,thatsγ(?a)+m?η<sγ(?b),?γ∈QT(Aj).Sincerc(Aj)<m?η,weconcludethat(a??)+??a????b??b;?wasarbitrary,andthepropositionfollows.??Thereadermaywonderwhetherthe“extra”hypothesisofProposition3.3―the“e?cientdecomposition”hypothesisalludedtoatthebeginningofthissubsection―canberemoved.Indeed,ifaandbasinthepropositionareprojections,thenthereisalwaysanaturalnumberjsuchthatsτ(a)=τ(a)<τ(b)=sτ(b)foreachτ∈QT(Aj).(Tothebestofourknowledge,thiswas?rstobservedbyBlackadarin[1].)Wepointoutwhythisargumentdoesnotcarryovertothesettingofpositiveelementsandlowersemicontinuousdimensionfunctionsafterprovingthenextlemma.WethankWilhelmWinterforpointingouttheultra?lterargumentusedintheproof.Lemma3.4.LetA=limi→∞(Ai,φi)besimpleandunital,witheachAistably?niteandeachφiinjective.Supposethata,b∈M∞(∪∞i=1Ai)+aresuchthats(a)<s(b),?s∈DF(A).Then,thereissomej∈Nsuchthata,b∈M∞(Aj)+ands(a)<s(b),?s∈DF(Aj).NON-ISOMORPHICC?-ALGEBRASWITHIDENTICALK-THEORY7Proof.LetBbetheC?-algebraconsistingofallboundedsequences(a1,a2,a3,...),whereai∈Ai,andletI?Bbetheclosedtwo-sidedidealofsequencessuchthatai→0asi→∞.Then,thereisa?-monomorphismι:A→B/Igivenbya→(0,...,0,a,φi(a),φi+1(φi(a)),...)+I????i?1timesonAi?A,i∈N,andextendedbycontinuity.Wemayassume,bytruncatingourinductivesequenceifnecessary,thata,b∈A1.Suppose,contrarytoourdesiredconclusion,thatforeachi∈Nthereexistsadimensionfunctiondi∈DF(Ai)satisfyingdi(a)≥di(b).Letωbeafreeultra?lteronN,andletsbethemapgivenbys(a1,a2,...)=limdi(ai).ωItisstraightforwardtocheckthats∈DF(A).Butthens(b)≥s(a),contrarytoourassumption.??Thefreeultra?lterapproachinLemma3.4canbeappliedafterreplacingthediwithlowersemicontinuousdimensionfunctionssτi∈LDF(Ai),butitisthenunclearwhethertheresultingdimensionfunctionislowersemicontinuous.Alternatively,onecanusetheτithemselvestode?ne,viathefreeultra?lter,afaithfultraceτonA,butitisthenunclearwhethersτ(a)≥sτ(b).Atissueisaninterchangingofthelimitoverωandthelimitappearinginthede?nitionofalowersemicontinuousdimensionfunction.Inanycase,thereisnoobviouswaytoprovethelemmauponsubstitutinglowersemicontinuousdimensionfunctionsfordimensionfunctions.Butthisdi?cultyvanishesifLDF(A)isdenseinDF(A)wheneverAisunitalandstably?nite.Theorem3.5.LetA=limi→∞(Ai,φ)beunitalandsimple,witheachAistably?niteandeachφiinjective.AlsosupposethatLDF(A)isdenseinDF(A).Then,rc(A)≤liminfrc(Ai).i→∞Proof.AsintheproofofProposition3.3,weassumethatr:=liminfrc(Ai)<∞.i→∞Let?>0anda,b∈A+begiven.Foranyd∈DF(A),thereisasequence(sτi)∞i=1inLDF(A)convergingtod.Itfollowsthatd(a)≤d(b)<d(b)+?wheneversτ(a)<sτ(b),?sτ∈LDF(A).ByLemma3.4thereissomei∈Nsuchthatd(a)<d(b)+?foreveryd∈DF(Ai)?LDF(Ai).Thus,Asatis?esthehypothesesofProposition3.3,andthetheoremfollows.??8ANDREWS.TOMS4.ThemainresultTheorem4.1.Thereisasimple,separable,andnuclearC?-algebraAsuchthatforanynaturalnumbersn=monehas:(i)Mn(A)?Mm(A);(ii)Mn(A)andMm(A)agreeontheE(iii)Mn(A)andMm(A)(iv)Mn(A)isnon-Z-stable,andhasstablerankone,realrankone,andproperty(SP);(v)(V(Mn(A)),[1Mn(A)])～=(Q+,1);inparticular,K0(Mn(A))isadivisibleandweaklyunperforatedpartiallyorderedgroup.Beforeproceedingwiththeproofwebrie?yrecallsometerminology.LetXandYbecompactHausdor?spaces,andletm,n∈Nbesuchthatm|n.Recallthata?-homomorphismφ:Mm(C(X))→Mn(C(Y))iscalleddiagonalifn/mφ(f)=??f?λi,i=1whereeachλi:Y→Xiscontinuous.Theλiarecalledeigenvaluemaps.Proof.Awillbeconstructedasperthegeneralframeworksetoutin[20],andwillbeidenticaltotheconstructionintheproofof[17,Theorem1.1].Itisnecessary,however,torecallthedetailsoftheconstruction,astheyareessentialtoprovingthatrc(A)is?niteandnon-zero.PutX=[?1,1]3.PutX1=X×X,andCartesianproductofXiwithitself.LetπjputXi+1=(Xi)ni―theni-fold:Xi+1→Xi,1≤j≤nibetheco-ordinateprojections.LetAiibethehomogeneousC?-algebraMmmspeci?ed,andletφi?C(Xi),whereiisanaturalnumbertobei:Ai→Ai+1bethe?-homomorphismgivenφi(a)(x)=diagXi??bya?π1i(x),...,a?πnii(x),a(x1i),...,a(xii)wherex1i,...,xii∈aretobespeci?ed.PutA=limi→∞(Ai,??,?x∈Xi+1,φi),andde?neφi,j:=φj?1?????φi.Letφi∞:Ai→Abethecanonicalmap.Assumethatthenihavebeenchosensothat??∞nii=1NON-ISOMORPHICC?-ALGEBRASWITHIDENTICALK-THEORY9Wewillaccomplishthisby?ndingforeach?>0ani∈Nsuchthatthefollowingholds:foranyτ∈T(Ai)thereissomeγ∈T(A)satisfyingφ?i∞(γ)=(1?λ)τ+ληforsomeλsuchthat0<λ1?λ=1sφ?sη(a)=1?λ1i∞(γ)(a)=1?λ1sγ(b)1?λ<sτ(b)+?.sη(b)Let?>0begiven.Foranyi∈N,τ∈T(Ai),andj>i,letτi,j∈T(Aj)bethetracecorrespondingtotheproductmeasureni+1ni+2???njtimesjIfi≤k<j,thende?neτk:=φ?k,j(τi,j).Astaightforwardcalculationshowsthatjjjjjτk=(1?λjk)τi,k+λkηkforsomeηk∈T(Ak)and0<λk<1.Infact,ifNk,jdenotesthenumberofeigenvaluemapsofφk,jwhichareco-ordinateprojectionsontoXk,thenNk,jλjk=τ×???×τ????.|Rk,j|x∈Rk,j??10ANDREWS.TOMSjηkisa?niteconvexcombinationofextremetracesonAk.Rk,j+1isformedbytakingtheunion(withmultiplicity)ofmult(φj,j+1)copiesofRk,jandsomeothermultisetSj+1.Thus,j+1ηk=1??mult(φj,j+1)|Rj,k|+|Sj+1|+1evxx∈Rk,jmult(φj,j+1)|Rj,k|+|Sj+1|1+jηkmult(φj,j+1)|Rj,k|+|Sj+1|.Byconstruction,therighthandsidevanishesasj→∞,provingtheclaim.jWenowhavethatforeachk∈N,thesequenceτkconvergesasj→∞.Callj?jthelimitτk.Sinceτk=φk,k+1(τk+1),wehavethatτk=φ?k,k+1(τk+1)foreveryk≥i.Itfollowsthatthesequence(τi,τi+1,...)de?nesapointinlimitoftheinversesystem(T(Ai),φ?i),i.e.,apointinT(A).Thus,τi=(1?λi)τ+λiηiistheimageofsomeγ∈T(A)underthemapφ?i∞.Since0<λi/(1?λi)<?,wehaveestablishedthehypothesesofProposition3.3fortheinductivesystem(Ai,φi).Itisclearfromourconstructionand[19,Theorem4.2]thatrc(Ai)<10,?i∈N.Proposition3.3thenshowsthatrc(A)0,sothatrc(A)is?niteandnonzero.Nowletm=nbenaturalnumbers.[18,Proposition6.2,(i)]showsthatrc(Mn(A))=rc(A)/n=rc(A)/m=rc(Mm(A)),whenceMn(A)?Mm(A),asdesired.(ii).BythecontractibilityofXiwehaveK0(Ai)～=Z,K1(Ai)=0,andK0(φi)(1)=mi.Itfollowsfromourassumptiononthemisthat(K0(A),K0(A)+,[1A])～=(Q,Q+,1),andthissameisomorphismclearlyholdsforanymatrixalgebraoverA.SinceK0(Mn(A))～=Q,thereisauniquepairingbetweentracesandK0.Thus,allofthenon-stableinformationintheElliottinvariantofMn(A)isindependentofn.TheremainingelementsoftheElliottinvariantarestableisomorphisminvariants,andarethusalsoindependentofn.(iii).WewillprovethatAandM2(A)areshapeequivalent.TheargumentforMn(A)andMm(A)issimilar.
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