2011年全国各地中考数学真题分类汇编：第26章矩形、菱形与正方形-共享资料网
2011年全国各地中考数学真题分类汇编：第26章矩形、菱形与正方形
第 26 章一、选择题矩形、菱形与正方形1. （2011 浙江省舟山，10，3 分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个 含 30°内角的菱形 EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面 积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则①②③④四个平行四边形 周长的总和为（ （A）48cm （C）24cmE） （B）36cm （D）18cmAH④ ①B⑤GD③②FC（第 10 题）【答案】A 2. （2011 山东德州 8,3 分）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组 合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形 状相同但尺寸更大的图形（如图 2），依此规律继续拼下去（如图 3），……， 则第 n 个图形的周长是…… 图1 图2 图3（A） 2 n 【答案】C（B） 4 n（C） 2 n ?1（D） 2 n ? 23. （2011 山东泰安，17 ，3 分）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2 的值为A.17 【答案】BB.17C.18D.194. （2011 山东泰安，19 ，3 分）如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上 的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 CE 的长为 A.2 3 B. 3 3 2 C. 3 D.6【答案】A 5. （2011 浙江杭州，10，3）在矩形 ABCD 中，有一个菱形 BFDE(点 E，F 分别 在线段 AB，CD 上)，记它们的面积分别 题：（ ①若S ABCD S BFDE ? 2? 2为 S A B C D 和 S B F D E ．现给出下列命）3，则 ta n ? E D F?3 3．②若 D E 2? BD ? EF , 则 DF ? 2 AD．则: A．①是真命题，②是真命题 C．①是假命题，②是真命题 【答案】A B．①是真命题，②是假命题 D，①是假命题，②是假命题6. （2011 浙江衢州，1,3 分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如 图为一农村民居侧面截图，屋坡 AF 、 AG 分别架在墙体的点 B 、点 C 处，且A B ? A C ,侧面四边形 B D E C为矩形，若测得 ? F A G C.? 100 ? ，则 ? F B D ?()A.A B F35 °B. 40 °55 °D. 70 °C GDE（第 5 题）【答案】C 7. （2011 浙江温州，6，4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为 8 的线段有( A．2 条 B．4 条 C．5 条 D．6 条 )【答案】D 8. 2011 四川重庆，10，4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB＝6，点 E 在边 CD 上， 且 CD＝3DE．将△ADE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连 结 AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 【答案】CB．2C．3D．49. （2011 浙江省嘉兴，10，4 分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个 含 30°内角的菱形 EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面 积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则①②③④四个平行四边形 周长的总和为（ （A）48cm （C）24cmE） （B）36cm （D）18cmAH④ ①B⑤GD③②FC（第 10 题）【答案】A 10． （2011 台湾台北，29） 如图(十二)， 长方形 ABCD 中， 为 BC 中点， ? AEC E 作 的角平分线交 AD 于 F 点。 若 AB ＝6， AD ＝16，则 FD 的长度为何？A．4 【答案】CB．5C．6D．811. （2011 湖南邵阳，7，3 分）如图（二）所示， ?ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，且 AB≠AD，则下列式子不正确的是（）A.AC⊥BD C. BO=ODB.AB＝CD D.∠BAD=∠BCD【答案】A.提示：当且仅当 ?ABCD为菱形时，AC⊥BD。12. （2011 湖南益阳，7，4 分）如图 2，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他 是这样操作的：分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相2 1交于 C、D，则直线 CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一 ． 定是 ．． A．矩形C A D图2B．菱形C．正方形D．等腰梯形B【答案】B 13. （2011 山东聊城，7，3 分）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比 是 4∶3，则这个菱形的面积是（ A．12cm2 【答案】B 14. （2011 四川宜宾,7,3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片 使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF=3，则 AB 的 B． 24cm2 ） C． 48cm2 D． 96cm2长为（ A．3A） B．4DC．5D．6F B C E（第 7 题图）【答案】D 15. （ 2011 重庆江津， 10，4 分）如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC ⊥BD,顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各 边 中 点 , 得 到 四 边 形 A2B2C2D2 … … , 如 此 进 行 下 去 , 得 到 四 边 形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ①四边形 A2B2C2D2 是矩形; ③四边形 A5B5C5D5 的周长a ? b 4 AD2 C3) ②四边形 A4B4C4D4 是菱形; ; ④四边形 AnBnCnDn 的面积是ab 2n ?1A1 A2 BD3D1 C2 B3 C1 D…A3 B2 CB1第 10 题图A.①② 【答案】C〃B.②③C.②③④D.①②③④16. （2011 江苏淮安，5，3 分）在菱形 ABCD 中，AB=5cm，则此菱形的周长 为（ ） B. 15cm C. 20cm D. 25cmA. 5cm 【答案】C17. （2011 山东临沂，11，3 分）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、 AB 于点 D、F，BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E，已知∩A＝30°，BC＝2， AF＝BF,则四边形 BCDE 的面积是（ ）A．2 【答案】A3B．33C．4D．4318. （2011 四川绵阳 7，3）下列关于矩形的说法中正确的是 A．对角线相等的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 19. （2011 四川乐山 9，3 分）如图（5），在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 的中点，AE 交 BF 于点 H，CG∥AE 交 BF 于点 G。下列结论：①tan∠ HBE=cot∠HEB ②CG ? BF ? BC ? CFB．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等且互相平分③BH=FG④BC CF2 2?BG GF.其中正确的序号是 A．①②③ 【答案】D 20．（2011 江苏无锡，5，3 分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 A．对角线互相垂直 角互补 【答案】A 21. （2011 湖北武汉市，12，3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E，F 分别在 AB，AD 上，且 AE=DF．连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相 交于点 H．下列结论： ①△AED≌△DFB； ②S 四边形 BCDG=3 4B．②③④C． ①③④D．①②④() D．对B．对角线相等C．对角线互相平分CG2；③若 AF=2DF，则 BG=6GF．其中正确的结论 A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．D F G A E 第 12 题图 B H C【答案】D 22. （2011 广东茂名，5，3 分）如图，两条笔直的公路 l 1 、 l 2 相交于点 O，村 庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A．B、D，已知 AB＝BC＝CD＝DA ＝5 公里，村庄 C 到公路 l 1 的距离为 4 公里，则村庄 C 到公路 l 2 的距离是l2l1A．3 公里 【答案】BB．4 公里C．5 公里D．6 公里23. （2011 湖北襄阳，10，3 分）顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形 是菱形，则四边形 ABCD 一定是 A.菱形 边形 【答案】D 24. （2011 湖南湘潭市，5，3 分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分 的是 A.平行四边形 【答案】B 25. 26. 27. 28. 二、填空题 1. （2011 山东滨州，17，4 分）将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形。 若∠CED′=56°,则∠AED 的大小是_______. B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四DE D′CA（第 17 题图）B【答案】62° 2. （2011 山东德州 16,4 分）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（1 2 ? a ? 1 ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下 的矩形如图那样折一下， 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次 操作）；如此反复操作下去．若在第 n 此操作后，剩下的矩形为 正方形，则操作终止．当 n=3 时，a 的值为_____________．【答案】 或5 3 3 4第一次操作第二次操作3. （2011 湖北鄂州，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8， 则图中五个小矩形的周长之和为_______．A DB第 5 题图C【答案】28 4. （2011 山东烟台，17,4 分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、O2 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.O2O1【答案】2 5. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为 2 的正方形，乙类纸片是边 长为 1 的正方形，丙类纸片是长、宽分别为 2 和 1 的长方形．现有甲类纸片 1 张，乙类纸片 4 张，则应至少取丙类纸片 的正方形． 张，才能用它们拼成一个新【答案】4 6. (2011 浙江绍兴，15，5 分) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折，并 沿图 3 中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面 上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比 为 .【答案】3 :27. （2011 甘肃兰州，20，4 分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已 知第一个矩形的面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 。……【答案】41n ?18. （2011 江苏泰州，18，3 分）如图，平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4 是一组平 行线， 相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度， 正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线 L1 和 L4 上，该正方形的面积是11 12 13 14平方单位．【答案】5 或 9 9. （2011 山东潍坊，16，3 分）已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下 方作正方形 ACDB.取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形AENM.过 E 作 EF⊥CD，垂足为 F 点.若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，则 AE 的长为_________________.【答案】5 ?1 2a10．（2011 山东潍坊，17，3 分）已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过 对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F， 则 AE 的长为_______________.【答案】7 8cm11. （2011 四川内江，16，5 分）如图，点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点，当四边形 ABCD 的边至少满足 件时，四边形 EFGH 是菱形．E A F H D条BGC【答案】AB=CD 12. (2011 重庆綦江，14，4 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， 且 AC＝8，BD＝6，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距 离 OH＝ ．【答案】：12 513. （2011 江苏淮安，17，3 分）在四边形 ABCD 中，AB=DC，AD=BC.请再 添加一个条件，使四边形 ABCD 是矩形.你添加的条件是 一种即可) 【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或 AC=BD(答案不唯 一，写出一种即可) 14. (2011 江苏南京，12，2 分)如图，菱形 ABCD 的连长是 2 M，E 是 AB 中点， 且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为_________M 2． .(写出D A E B (第 12 题) C【答案】 2315. （2011 江苏南通，15，3 分）如同，矩形纸片 ABCD 中，AB＝2cm，点 E 在 BC 上，且AE＝EC.若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 B '重合，则 AC＝ ▲ cm.【答案】4 16. （2011 四川绵阳 17，4）如图，将长 8cm，宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与 C 重合，则折痕 EF 的长为_____cm.【答案】2 5 17. （2011 四川凉山州，17，4 分）已知菱形 ABCD 的边长是 8，点 E 在直线AD 上 ， 若 DE=3 ， 连 接 BE 与 对 角 线 AC 相 交 于 点 M ， 则是 【答案】 或5 8 8 11MC AM的值。18. （2011 湖北黄冈，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8， 则图中五个小矩形的周长之和为_______．A DB第 5 题图C【答案】28 19. （2011 湖北黄石，13，3 分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的 2 倍， （4） 如图 .将这两张纸条交叉重叠地放在一起， 重合部分为四边形 ABCD， 则 AB 与 BC 的数量关系为 【答案】AB=2BC 20．（2011 山东日照，16，4 分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、 CD 上的两个动点，且始终保持 AM⊥MN．当 BM= 时，四边形 ABCN 的面积最大． 。【答案】2; 21. （2011 河北，14，3 分）如图 6，已知菱形 ABCD，其顶点 A，B 在数轴对 应的数分别为-4 和 1，则 BC=__．D A图6 0BC【答案】5 22. （2010 湖北孝感，16，3 分）已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边△CDE， 则∠AED 的度数是 【答案】15°或 75° 23. 24. 25. 26. 27. 28. 三、解答题 1. （2011 浙江省舟山，23，10 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为 斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这 四个点，得四边形 EFGH． .（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形； 如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不 要求证明）； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC= ? （0°＜ ? ＜90°）， ① 试用含 ? 的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由．HA E BH DG CE BHADE ADCG CBGFFF（第 23 题图 1）（第 23 题图 2）（第 23 题图 3）【答案】（1）四边形 EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD 中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－ （180°－a）＝90°＋a．②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴AE=2 2AB，DG=2 2CD，在□ABCD 中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三 角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．∵△HAD 是等腰直角三角形， HA=HD， ∴ ∴△HAE≌△HDG， HE=HG． ∴ ③四边形 EFGH 是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE， ∴四边形 EFGH 是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又 ∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形 EFGH 是正方形． 2. （2011 安徽，23，14 分）如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1 、l 2 、l 3、l 4 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h1 、 h 2 、 h 3 （ h1＞0， h 2 ＞0， h 3 ＞0）． （1）求证： h1 = h 3 ；l1A h1l2 l3B h2 D h3l4C（2）设正方形 ABCD 的面积为 S，求证：S= ( h1 （3） 若l13 2 h 1 ? h 2 ? 1 ， h 1 变化时，说明正方形 当? h 2 ) ? h122；ABCD 的面积 S 随 h1 的变化情况．A h1l2 l3B1 GE F2 3 4 D h3 h2l4C【答案】（1）过 A 点作 AF⊥l3 分别交 l2、l3 于点 E、F，过 C 点作 CG⊥l3 交 l3 于点 G， ∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即 h1 = h 3 ；（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4， 又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S= ( h1(3)由题意，得 h 2?1?2? h 2 ) ? h122；3 2h1 ，所以3 5 2 ? ? 2 S ? ? h1 ? 1 ? h1 ? ? h1 ? h1 ? h1 ? 1 2 4 ? ? 5? 2? 4 ? ? h1 ? ? ? 4? 5? 5? h1 ? 0 ? 又? 3 ，解得 1 ? h1 ? 0 ? 2 ?2 32，0＜h1＜∴当 0＜h1＜ 当 h1= 当2 52 52 5时，S 随 h1 的增大而减小；4 5时，S 取得最小值；＜h1＜2 3时，S 随 h1 的增大而增大.? 4 cm3. （2011 福建福州，21，12 分）已知,矩形 A B C D 中, A B 直平分线 E F 分别交 A D 、 B C 于点 E 、 F ,垂足为 O ., BC? 8 cm, A C 的垂(1)如图 10-1,连接 A F 、 C E .求证四边形 A F C E 为菱形,并求 A F 的长； (2)如图 10-2,动点 P 、 Q 分别从 A 、 C 两点同时出发,沿 ? A F B 和 ? C D E 各边匀 速运动一周.即点 P 自 A → F → B → A 停止,点 Q 自 C → D → E → C 停止.在 运动过程中, ①已知点 P 的速度为每秒 5 cm ,点 Q 的速度为每秒 4 cm ,运动时间为 t 秒,当 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 t 的值. ②若点 P 、 Q 的运动路程分别为 a 、b (单位: cm , ab ? 0 ),已知 A 、C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求 a 与 b 满足的数量关系式.AEDA PEDA PQEDOBFQCBFCBFC图 10-1图 10-2备用图【答案】(1)证明:①∵四边形 A B C D 是矩形 ∴ AD ∥ BC ∴ ? C A D ? ? A C B , ? AEF ? ? C FE ∵ E F 垂直平分 A C ,垂足为 O ∴ OA ? OC ∴ ?AOE ≌ ?COF ∴ OE ? OF ∴四边形 A F C E 为平行四边形 又∵ E F ? A C ∴四边形 A F C E 为菱形 ②设菱形的边长 A F ? C F 在 R t ? ABF 中, A B ? 4 cm 由勾股定理得 4 ∴ AF ? 5 cm2? xcm,则 B F2? (8 ? x ) cm? (8 ? x ) ? x2,解得 x ? 5(2)①显然当 P 点在 A F 上时, Q 点在 C D 上,此时 A 、 C 、 P 、 Q 四点不可能构 成平行四边形;同理 P 点在 A B 上时, Q 点在 D E 或 C E 上,也不能构成平行 四边形.因此只有当 P 点在 B F 上、 Q 点在 E D 上时,才能构成平行四边形 ∴以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时, P C ∴ PC ∴ 5t? 5 t , Q A ? 12 ? 4 t? QA∵点 P 的速度为每秒 5 cm ,点 Q 的速度为每秒 4 cm ,运动时间为 t 秒t ? 4 3 t ? 4 3? 12 ? 4 t,解得∴以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,A EQD秒.BPFC②由题意得,以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 P 、 在互相平行的对应边上. 分三种情况: i) 如 图 1, 当 P 点 在a ? b ? 12QAF上、 Q 点在 CE 上时,AP ? C Q, 即 a ? 12 ? b , 得 , 即 12 ? b ? a ,得ii)如图 2,当 P 点在 B F 上、 Q 点在 D E 上时, AQ? CPa ? b ? 12iii)如图 3,当 P 点在a ? b ? 12AB上、 Q 点在 C D 上时,AP ? C Q,即 12 ? a ? b ,得综上所述, a 与 b 满足的数量关系式是 a ? b ? 12A EQD( ab ? 0)A EDAEQDQP BPFCBPFCBFC图1图2图34. （2011 广东广州市，18，9 分） 如图 4， 是菱形 ABCD 的对角线， E、 分别在边 AB、 上， AE=AF． AC 点 F AD 且 求证：△ACE≌△ACF．A F DE B 图4 C【答案】∵四边形 ABCD 为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF，AC=AC ∴△ACE≌△ACF（SAS） 5. （2011 山东滨州，24，10 分）如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点 除外）的一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E, 交∠BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE、AF。那么当点 O 运动到何下时，四边 形 AECF 是矩形？并证明你的结论。AM BEO CF N（第 24 题图）【答案】当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时， 四边形 AECF 是矩形………………2 分 证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3 分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5 分 同理，FO=CO………………6 分 ∴EO=FO 又 OA=OC, ∴四边形 AECF 是平行四边形………………7 分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8 分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90°………………9 分 ∴四边形 AECF 是矩形………………10 分 6. （2011 山东济宁，22，8 分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 1 ，正方形 A B C D 的边长为 1 2 ，P 为边 B C 延长线上的一点，E 为 D P 的中点，D P 的垂直平分线交边 D C 于 M ，交边 A B 的延长线于 N .当 C P 的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 E 作直线平行于 B C 交 D C ，AB?6时，E M 与 E N分别于 F ，G ， 如图 2 ， 则可得：DF FC?DE EP， 因为 D E? EP， 所以 D F? FC.可求出 E F 和 E G 的值，进而可求得 E M 与 E N 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 D P? MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.(第 22 题)（1）解：过 E 作直线平行于 B C 交 D C ， A B 分别于点 F ， G ， 则DF FC ? DE EP，EM EN?EF EG， G F ? B C ? 12 . . 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 2 分? G F ? EF ? 12 ? 3 ? 15∵ DE ∴ EF ∴EM EN? EP? 1 2 ?，∴ D F1 2? FCCP ? EF EG ??6 ? 3 ? 1 5， EG.3 15. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 4 分（2）证明：作 M H ∥ B C 交 A B 于点 H ， 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 5 分 则 MH? CB ? CD， ?MHN? 90 ? .∵ ? D C P ? 180 ? ? 90 ? ? 90 ? ， ∴ ?DCP ∵ ?MNH ∴ ?DPC ∴ DPA? ?MHN. ， ? D PC? 90 ? ? ? C D P? ? C M N ? ? D M E ? 90 ? ? ? C D P ? ?MNH，.∴ ? D P C? ?M NH. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 7 分? MN. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 8 分DE H MBCPN(第 22 题)7. （ 2011 山 东 威 海 ， 24 ， 11 分 ） 如 图 ， ABCD 是 一 张 矩 形 纸 片 ，AD=BC=1,AB=CD=5． 在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M， CD 上取一点 N， 在将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于 理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情1 2？若能，求出此时∠1 的度数；若不能，试说明况，求出最大值．（备用图） 【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM∥DN， ∴∠KNM=∠1． ∵∠KMN=∠1， ∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=70°． ∴∠MNK=40°． （2）不能． 过 M 点作 ME⊥DN，垂足为点 E，则 ME=AD=1, 由（1）知∠KNM=∠KMN． ∴MK=NK． 又 MK≥ME, ∴NK≥1． ∴ S ?MNK? 1 2 NK ?ME ? 1 2 1 2． ，不可能小于1 2∴△MNK 的面积最小值为 （3）分两种情况：．情况一：将矩形纸片对折，使点 B 与点 D 重合，此时点 K 也与点 D 重合． 设 MK=MD=x，则 AM=5-x，由勾股定理，得1 ? (5 ? x ) ? x2 22,解得， x 即 MD? 2 .6 ．? N D ? 2.6 ．? S ?ACK ? 1 2 ? 1 ? 2 .6 ? 1 .3∴ S ?M NK．（情况一）情况二：将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕为AC．设 MK=AK= CK=x，则 DK=5-x，同理可得 即 MK? N K ? 2.6 ．? S ?ACK ? 1 2 ? 1 ? 2 .6 ? 1 .3∴ S ?M NK． （情∴△MNK 的面积最大值为 1.3． 况二）8. （2011 山东烟台，24,10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求证：AB＝BC； （2）当 BE⊥AD 于 E 时，试证明：BE＝AE＋CD．BCAED【答案】（1）证明：连接 AC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， ∴AB＝BC.（2）证明：过 C 作 CF⊥BE 于 F. ∵BE⊥AD，∴四边形 CDEF 是矩形. ∴CD＝EF. ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF. ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.9. (2011 浙江湖州， 22， 如图已知 E、 分别是□ABCD 的边 BC、 上的点， 8) F AD 且 BE=DF． (1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2) 若 BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形 AECF 是菱形，求 BE 的长 ．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，且 AD=BC， ∴AF∥EC，∵BE=DF， ∴AF=EC，∴四边形 AECF 是平行四边形. （2）∵四边形 AECF 是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝ ∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝ BC＝5.2110．（2011 宁波市，23，8 分）如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 ABCD 的 中点，BD 是对角线，过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G． （1）求证：DE∥BF； （2）若∠G＝90，求证四边形 DEBF 是菱形．解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD ∵E、F 分别为 AB、CD 的中点 1 1 ∴DF＝ DC，BE＝ AB 2 2 ∴DF∥BE，DF＝BE ∴四边形 DEBF 为平行四边形 ∴DE∥BF (2)证明：∵AG∥BD ∴∠G＝∠DBC＝90° ∴ ? DBC 为直角三角形 又∵F 为边 CD 的中点． 1 ∴BF＝ DC＝DF 2 又∵四边形 DEBF 为平行四边形 ∴四边形 DEBF 是菱形 11. （2011 浙江衢州，22,10 分）如图， ? A B C 中， AD 是边 B C 上的中线，过点A作 AE? BC，过点 D 作 D E ;? AB, DE与 A C 、 A E 分别交于点 O 、点 E ，连接 E C求证： A D 当 ?BAC? EC? R t?时，求证：四边形 A D C E 是菱形；? AO在（2）的条件下，若 A BA E O B，求 tan ? O A D 的值.DC（第 22 题）【答案】.证明：(1) 解法 1：因为 DE//AB,AE//BC,所以四边形 ABDE 是平行四边形， 所以 AE//BD 且 AE=BD，又因为 AD 是边 BC 上的中线，所以 BD=CD，所以 AE 平行且等于 CD，所以四边形 ADCE 是平行四边形，所以 AD=EC. 解法 2：? D E/ / AB, AE / / BC , B ? E D C ??四 边 形 A B D 是 平 行 四 边 形 ， ? E? A B?D E又?AD是 边 BC上 的 中 线? B D? C D?? A B D ? ? E D C ( SA S )? A D?E D(2)解法 1： 证明? ? B A C? R t? , A D是斜边 B C 上的中线? A D ? B D? C D又? 四边形 A D C E 是平行四边形? 四边形 A D C E是菱形解法 2 证明：? D E/ / A B , ? B A C ? R t?A C? D E?又? 四边形 A D C E 是平行四边形? 四边形 A D C E是菱形解法 3 证明：? ? B A C? R t? ， A D 是 斜 边 B C 上 的 中 线? A D ? B D? C D? 四边形 ABD E是平行四边形? A E ? B D? C D又? AD ? EC ? AD ? CD ? CE ? AE? 四边形 A D C E是菱形解法 1 解：? 四边形 A D C E 是菱形? AO ? C O , ? AO D ? 90? 又 ? BD ? CD? OD是 ?ABC? AB ? AO ? OD ? 1 2 AO的中位线，则 O D?1 2AB? 在 R t? A B C 中 ， n ? O A D ? taOD OA?1 2解法 2 解：? 四边形 A D C E 是菱形? AO ? CO ? ? AB ? AO ? AB ? 1 2 AC1 2AC , AD ? C D , ? AO D ? 90?? 在 R t? A B C中 ， n ? A C B ? ta ? AD ? CD ? ?DAC ? ?DCA ? ta n ? O A D ? ta n ? A C B ? 1 2AB AC?1 212. （2011 浙江省嘉兴，23，12 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结 这四个点，得四边形 EFGH． （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形； 如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不 要求证明）； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC= ? （0°＜ ? ＜90°）， ① 试用含 ? 的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由．HA E BH DG CE BHADE ADCG CBGFFF（第 23 题图 1）（第 23 题图 2）（第 23 题图 3）【答案】（1）四边形 EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD 中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－ （180°－a）＝90°＋a．②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴AE=2 2AB，DG=2 2CD，在□ABCD 中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三 角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．∵△HAD 是等腰直角三角形， HA=HD， ∴ ∴△HAE≌△HDG， HE=HG． ∴ ③四边形 EFGH 是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE， ∴四边形 EFGH 是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又 ∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四 边形 EFGH 是正方形． 13. （2011 福建泉州，21，9 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 △ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1． (1)证明：△A1AD1≌△CC1B； (2)若∠ACB＝30°，试问当点 C1 在线段 AC 上的什么位置时，四边形 ABC1D1 是菱形. （直接写出答案） 【答案】 ∵矩形 ABCD ∴BC=AD,BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB ∵把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1． ∴∠A1=∠DAC,A1D 1=AD,AA1=CC1D1 DA1A BC1C∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。（第 21 题）∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。……………6 分 当 C1 在 AC 中点时四边形 ABC1D1 是菱形，……………9 分 14.（2011 甘肃兰州， 12 分） 27， 已知： 如图所示的一张矩形纸片 ABCD （AD&AB） ， 将纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F，分别连结 AF 和 CE。 （1）求证：四边形 AFCE 是菱形； （2）若 AE=10cm，△ABF 的面积为 24cm2，求△ABF 的周长； （3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2=AC〃AP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。A EDOBFC【答案】（1）由折叠可知 EF⊥AC，AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形 AFCE 是菱形。 （2）由（1）得 AF=AE=10 设 AB=a，BF=b，得a2+b2=100 ①，ab=48 ②①+2×②得(a+b)2=196，得 a+b=14（另一负值舍去）∴△ABF 的周长为 24cm （3）存在，过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P，则点 P 符合题意。A EDO P B F C证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴AO AE ? AE AP，得 AE2=AO〃AP 即 2AE2=2AO〃AP又 AC=2AO ∴2AE2=AC〃AP 15. （2011 广东株洲，23，8 分）如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动 点，O 为 BD 的中点， PO 的延长线交 BC 于 Q. （1）求证： OP=OQ； （2）若 AD=8 厘米，AB=6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与 D 重合）.设点 P 运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD 的长；并求 t 为 何值时，四边形 PBQD 是菱形．【答案】（1）证明：? 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又 OB=OD，∠POD=∠QOB， ∴△POD≌△QOB， ∴OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°， ∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 当四边形 PBQD 是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB， ∴△ODP∽△ADB， ∴OD PD ? AD BD ? 7 4，即5 8?t?8 10 7 4， 秒时，四边形 PBQD 是菱形.解得 t,即运动时间为解法二：PD=8-t 当四边形 PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在 RT△ABP 中，AB=6cm， ∴ AP 2 解得 t? AB ? BP2 2，∴t27 4? 6 ? (8 ? t )22，?7 4,即运动时间为秒时，四边形 PBQD 是菱形.16. （2011 江苏苏州，28,9 分）（本题满分 9 分）如图①，小慧同学吧一个正 三角形纸片（即△OAB）放在直线 l1 上，OA 边与直线 l1 重合，然后将三角形纸 片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120°，此时点 O 运动到了点 O1 处，点 B 运动 到了点 B1 处； 小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°， A 点 运动到了点 A1 处，点 O1 运动到了点 O2 处（即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动所形成的图 形是两段圆弧，即弧 OO1 和弧 O1O2，顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长 度之和，并且这两端圆弧与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1 的面积、△AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上， 边与直线 l2 重合， OA 然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°， 此时点 O 运动到了点 O1 处（即点 B 处），点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到 了点 B1 处； 小慧又将正方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 90°， ……， 按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的 路程，并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积；若 正方形 OABC 按上述方法经过 5 次旋转，求顶点 O 经过的路程； 问题②：正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路 程是41 ? 20 2 2π？请你解答上述两个问题.【答案】解问题①：如图，正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转，顶点 O 运动所形 成的图形是三段弧，即弧 OO1、弧 O1O2 以及弧 O2O3， ∴顶点 O 运动过程中经过的路程为90 ? ? ? 1 180 ?2? 90 ? ? ? 180 2 ? (1 ? 2 2 )?.顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为90 ? ? ? 1 3602?2?90 ? ? ? ( 3602)2? 2?1 2? 1 ? 1 =1+π.正方形 OABC 经过 5 次旋转，顶点 O 经过的路程为90 ? ? ? 1 180 ?3? 90 ? ? ? 180 2 ? ( 3 2 ? 2 2 )?.问题②：∵方形 OABC 经过 4 次旋转，顶点 O 经过的路程为90 ? ? ? 1 180 41 ? 20 2 2 ?2? 90 ? ? ? 180 2 2 2 ? (1 ? 2 21)?∴π=20× (1 ?)π+ π.2∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转. 17. （2011 江苏泰州，24，10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 L 垂直平 分线段 AC，垂足为 O，直线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F． （1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？ （2）试判定四边形 AFCE 的形状，并说明理由．A D O E lFBC【答案】 (1)相似.由直线 L 垂直平分线段 AC， 所以 AF=FC， ∴∠FAC=∠ACF， 又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA．（2）四边形 AFCE 是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝ CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又 AE∥CF，∴四边形 AFCE 为平行四边形，又 AF=FC，所以平行四边形 AFCE 为菱形． 18. （2011 江苏泰州，28，12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，边长为 a（a 为大 于 0 的常数）的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正 半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包 含原点 O），顶点 C、D 都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点 P 的坐标; (2)求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在 ∠AOB 的平分线上； （3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的取值范围，并说明理由．y CD B POAx【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在 RtSAOB 中，OA ＝2 2 2 2AB＝2 2a， RtSAPB 中， ＝ 在 PA2 2AB＝2 2a。 ∴点 P 的坐标为 （2 2a，a）（2） 过点 P 分别作 x 轴、 轴的垂线垂足分别为 M、 ， y N 则有∠PMA=∠PNB= ∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又 PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点 P 都在∠AOB 的平分线上；y CD N B POaMA2 2xa（3） ＜h≤2a。当点 B 与点 O 重合时，点 P 到 AB 的距离为 ，然后顶2点 A 在 x 轴正半轴上向左运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上向上运动时，点 P 到 AB 的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x 轴，这时点 P 到 AB 的距离最大为2 2a，然后又逐渐减小到a 2，∵x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O ，∴点 P 到 x 轴的距离的取值范围是a 2＜h≤2 2a。19. （2011 山东济宁，17， 5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥BD，分别交 AD、BC 于点 E 和点 F，求证：四边形 BEDF 是菱形．A E DO B F C第 17 题【答案】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD ∥ BC ， OB=OD ，…………………………………………1分 ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2 分 ∴△OED≌△OFB， ∴DE=BF， ………………………………………………………3 分 又∵DE∥BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形，………………………………4 分 ∵EF⊥BD， ∴四边形 BEDF 是菱形．………………………………………5 分 20．（2011 山东聊城，25，12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝ 8cm，点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针 方向移动，点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上 点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）． （1）当 t＝1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围． （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的 三角形与以 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．【答案】（1）如图甲，当 t＝1 秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG ＝2，由 S＝S 梯形 EGCG－SEBF－SFCG＝1 2(10＋2)×8－1 2×10×4－1 2×4×2＝24(2)如图（甲），当 0≤t≤2 时，点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上移动， 此时 AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2） （3）如图乙，当点 F 追上点 G 时，4t＝2t＝8，解得 t＝4，当 2＜t≤4 时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即 S＝－8t＋32(2＜t≤4)，(3)如图（甲），当点 F 在矩形的边 BC 上移动时，0≤t≤2，在 EFF 和 FCG 中，B＝C＝90，，①若≤2，所以当 t＝ ＝ ，又 t＝2 3 2 3 3 2 2 3EB FC?BF CG，即12 ? 2 t 8 ? 4t?4t 2t，解得 t＝? BF CF2 3，又 t＝?2 3满足 0≤t ，解得 t2 3时△EBF∽△GCF②若EB GC 3 2，即12 ? 2 t 2t4t 8 ? 4t满足 0≤t≤2，所以当 t＝时△EBF∽△GCF，综上知，当 t＝或 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角形相似 21. （2011 山东潍坊， 18， 分） 8 已知正方形 ABCD 的边长为 a， 两条对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是射线 AB 上任意一点，过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足为 E、F. （1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE+PF 的值； （2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PE－PF 的值.【解】（1）∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形，故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB= a c o s 4 5 ? ?2 a 2.（2）∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形，故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE－PF=OF－BF= OB= a c o s 4 5 ? ?2 a 2.22. （2011 四川广安， 8 分） 23， 如图 5 所示， 在菱形 ABCD 中， ABC= 60°， ∠DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E．求证：DE= BE21ADBCE图5【答案】证明：∵ABCD 是菱形，∠ABC= 60° ∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴CE=AD=BC ∴ACED 为平行四边形DE=AC∴DE=CE=BC∴DE=1 2BE23. (2011 江苏南京， 7 分)如图， 21， 将□ABCD 的边 DC 延长到点 E， CE=DC， 使 连接 AE，交 BC 于点 F． ⑴求证：△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D，连接 AC、BE．求证：四边形 ABEC 是矩形．A DBFC(第 21 题)E【答案】证明：⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴ ∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC． 在△ABF 和△ECF 中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴SABF≌SECF．（2） 解法一： ∵AB=EC ， AB∥EC， ∴四边形 ABEC 是平行四边形． ∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠ AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口 ABEC 是矩形． 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形 ABEC 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE． 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE， ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD． 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°． ∴口 ABEC 是矩形． 24. （2011 江苏南通，26，10 分）（本体满分 10 分） 已知： 如图 1， 为正方形 ABCD 的中心， O 分别延长 OA 到点 F， OD 到点 E， 使 OF＝2OA， ＝2OD， OE 连结 EF， 将△FOE 绕点 O 逆时针旋转α角得到△ F ' O E ' （如图 2）. （1） 探究 AE′与 BF'的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.【答案】（1）AE′＝BF 证明：如图 2， ∵在正方形 ABCD 中， AC⊥BD ∴∠ F ' O E ' ＝∠AOD＝∠AOB＝90° 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′ ∴∠AOE′＝∠BOF′ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA ∴OE′＝OF′ ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′＝BF （2）作△AOE′的中线 AM，如图 3. 则 OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM 为等边三角形 ∴ MA＝MO＝ME′，∠ A E ' M ＝∠ E ' A M 又∵∠ A E ' M ＋∠ E ' A M ＝∠AMO 即 2∠ A E ' M ＝60° ∴∠ A E ' M ＝30° ∴∠ A E ' M ＋∠AOE′＝30°＋60°＝90° ∴△AOE′为直角三角形.25. （2011 山东临沂，22，7 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，AD、CD 分别是 △ABC 两个外角的平分线． 在直角梯形 ABCD 中， ∥CD， ABC＝90°， AB ∠ ＝2CD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，线段 OA，OB 的中点分别为点 E，F（1）求证：AC＝AD； （2）若∠B＝60°，求证：四边形 ABCD 是菱形；【解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B， ∵AD 平分∠FAC， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC，……………………………………………………………………（2 分）∴∠D＝∠DCE， ∵CD 平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠D＝∠ACD，……………………………………………………………… （3 分） ∴AC＝AD；…………………………………………………………………… （4 分） （2）证明：∵∠B＝60°， ∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°， ∴∠DCE＝∠B＝60°，………………………………………………………（5 分） ∴DC∥AB, ∵AD∥BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形，……………………………………………（6 分） 又由（1）知 AC＝AD， ∴AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形．……………………………………………………（7 分） 26. （2011 山东临沂，25，11 分)如图 1，奖三角板放在正方形 ABCD 上，使三 角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F， 另一边交 CB 的延长线于点 G． （1）求证：EF＝EG；（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上， 其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不 成立，请说明理由； （3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三 角板的一边经过点 B，其他条件不变，若 AB＝a,BC＝b，求EF EG的值．图1图2图3（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°， ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1 分） 又∵ED＝BE， ∴Rt△FED≌Rt△GEB，………………………………………… （ 2 分） ∴EF＝EG． …………………………………………………… 3 （ 分） (2)成立．……………………………………………………………………（ 4 分） 证明：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I， 则 EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5 分）∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°， ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6 分） ∴Rt△FEI≌Rt△GEH, ∴EF＝EG． ……………………………………………………… 分） （7(3)解：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N ， 则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8 分） ∴ ∴EM AB EM EN＝ ＝CE CA AB AD＝ ＝EN AD a b，, …………………………………………（9 分）∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°， ∴∠FEN＝∠GEM， ∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10 分） ∴EF EG＝EN EM＝b a．…………………………………………（11 分）27. （2011 上海，23，12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB＝DC，过 点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，并延长 DE 至 F，使 EF＝DE．联结 BF、CF、AC．（1）求证：四边形 ABFC 是平行四边形； （2）如果 DE2＝BE〃CE，求证四边形 ABFC 是矩形．A DBECF【答案】（1）连接 BD． ∵DE⊥BC，EF=DE， ∴BD=BF，CD=CF． ∵在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=DC， ∴四边形 ABCD 是等腰梯形． ∴BD=AC． ∴AC=BF，AB=CF． ∴四边形 ABFC 是平行四边形．A DBE FC（2）∵DE2 =BE〃CE，EF=DE， ∴EF2 =BE〃CE． ∴EF BE ? CE EF．又∵DE⊥BC， ∴∠CEF=∠FEB=90°．∴△CEF∽△FEB． ∴∠CFE=∠FBE． ∵∠FBE+∠BFE=90°， ∴∠CFE +∠BFE=90°． 即∠BFC=90°． 由（1）知四边形 ABFC 是平行四边形， ∴证四边形 ABFC 是矩形． 20．28. （2011 四川乐山 20，10 分）如图，E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上的点，且 AE=DF。求证：BE=CF【答案】 证明：∵四边形 ABCD 为矩形 ∴OA=OB=OC=OD ∵AE=DF ∴OE=OF 在ΔBOE 与ΔCOF 中，? OB ? OC ? ? ? BOE ? ? COF ? OE ? OF ?AB=CD∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF 29. （2011 湖南衡阳，26，10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，AB=m(m ＞4)，点 P 是 AB 边上的任意一点（不与 A、B 重合），连结 PD，过点 P 作 PQ ⊥PD，交直线 BC 于点 Q． (1)当 m=10 时， 是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在， 求出此时 AP 的长；若不存在，说明理由； (2)连结 AC，若 PQ∥AC,求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示） (3)若△PQD 为等腰三角形，求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值范围．【解】(1) 假设当 m=10 时，存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合（如下图），∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°， 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴ ∴10 ? AP 4 ? 4 AP PB DA ? BC AP，，∴ A P ? 2 或 8，∴存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合，出此时 AP 的长 2 或 8． (2) 如下图， PQ∥AC， ∵ ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠BPQ=∠ADP， ∴∠BAC=∠ADP， 又∠B=∠DAP=90°， ∴△ABC∽△DAP， ∴ ∴ AP? 16 mAB DA?BC AP， 即m 4?4 AP，．∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠B=∠B， ∴△PBQ∽△ABC，m ? 16 m m ? BQ 416 m2PB AB?BQ BC，即，∴ B Q? 4?．(3)由已知 PQ⊥PD， 所以只有当 DP=PQ 时， PQD 为等腰三角形 △ （如图） ，∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP， ∴PB=DA=4，AP=BQ= m?4，∴以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式为：S 四边形 PQCD= S 矩形 ABCD－S△DAP－S△QBP= D A ?1 2 ? 4 ? ?m ? 4?AB ?1 2? DA ? AP ?1 2? PB ? BQ=4m?1 2? 4? ?m ? 4? ?=16（4＜ m ≤8）．30. （2011 贵州贵阳，18，10 分） 如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接 EB、EA， 延长 BE 交边 AD 于点 F． （1）求证：△ADE≌△BCE；（5 分） （2）求∠AFB 的度数．（5 分）（第 18 题图） 【答案】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC． ∵△CDE 是等边三角形， ∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE． ∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°， ∴∠ADE=∠BCE=30°． ∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE， ∴△ADE≌△BCE． （2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠ABE． ∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE， ∴∠DAE=∠AFB． ∵AD=CD=DE， ∴∠DAE=∠DEA． ∵∠ADE=30°， ∴∠DAE=75°， ∴∠AFB=75°．31. （2011 广东肇庆，20，7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上 一点，连接 EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC； （2）延长 BE 交 AD 于点 F，若∠DEB ＝ 140?，求∠AFE 的度数．D F AECB【答案】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴CD＝CB， ∵AC 是正方形的对角线 又 CE ＝ CE (2）∵∠DEB ＝ 140? 由△BEC≌△DEC 可得∠DEC ＝∠BEC＝140??2＝70?， ∴∠AEF ＝∠BEC＝70?， 又∵AC 是正方形的对角线， ∠DAB＝90? ∴∠DAC ＝∠BAC＝90??2＝45?， 在△AEF 中，∠AFE＝180?― 70?― 45?＝65? 32. （2011 广东肇庆，22，8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE ∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形 OCED 是菱形； （2）若∠ACB＝30?，菱形 OCED 的面积为 83∴∠DCA＝∠BCA ∴△BEC≌△DEC，求 AC 的长．A OD EBC【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形 OCED 是平行四边 形． ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴四边形 OCED 是菱形．A O E F B 图 8 C D∴ AO＝OC＝BO＝OD（2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°― 30°＝ 60° 又∵OD＝ OC， ∴△OCD 是等边三角形1过 D 作 DF⊥OC 于 F，则 CF＝ OC，设 CF＝ x ，则 OC＝ 2 x ，AC＝4 x2在 Rt△DFC 中，tan 60°＝DF FC∴DF＝FC? tan 60° ?33x 3x ? 8 3由已知菱形 OCED 的面积为 8 解得x得 OC? DF＝ 83，即 2 x ?，＝2，∴ AC＝4?2＝833. （2011 湖北襄阳，25，10 分) 如图 9，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F， 连接 BE，DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE 的度数；（3）当AP AB的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由.D CFE BAP图9【答案】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1 分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 2 分 （2）过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G，则∠EGP＝∠A＝90° 3 分D CFE B GAP又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 〃〃〃〃〃〃 4 分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 5 分 （3）方法一： 当AP AB ? 1 2时，△PFE∽△BFP. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 6 分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 〃〃〃 7 分设 AD＝AB＝a，则 AP＝PB＝ ∴ PD ∴PB PD? AD21 2a，∴BF＝BP〃PB2AP AD?1 4a〃 8分? AP2?5 2a， PF?? BF2?5 4a?BF PF?5 5〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 9 分又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 〃〃〃〃〃 10 分 方法二： 假设△ADP∽△BFP，则PB PD ? BF PF. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 6 分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 〃〃 7 分 ∴ ∴ ∴PB＝AP，PD PF PB BF ? ? AP BF AP BF， 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 8 分 ， 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 9 分AP AB ? 1 2∴当时，△PFE∽△BFP.10 分34. （2011 湖南永州，25，10 分）探究问题： ⑴方法感悟： 如图①，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足∠ EAF=45°，连接 EF，求证 DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可 得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∵∠1=∠2， ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________． 又 AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______． ∴_________=EF，故 DE+BF=EF．A 1 32D EGBFC（第 25 题） ①⑵方法迁移： 如图②，将 Rt ? ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点， 且∠EAF= ∠DAB．试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．2 1ADE B FC（第 25 题） ②⑶问题拓展： 如图③，在四边形 ABCD 中，AB=AD，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足? EAF ? 1 2 ? DAB,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．A D E B FC（第 25 题） ③【答案】⑴EAF、△EAF、GF． ⑵DE+BF=EF，理由如下： 假设∠BAD 的度数为 m ，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 m ? 得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=1 2 m?∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= m ? ? ∴∠1+∠3=1 2 m?1 2m? ?1 2m?∵∠1=∠2，．即∠GAF=∠EAF 又 AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌△EAF． ∴GF=EF， 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF．A 1 32DEGBFC（第 25 题）②解得图⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得 DE+BF=EF． 35. （2011 江苏盐城，27，12 分） 情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图 1 所示.将△A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转， 使点 D、A(A′)、B 在同一条直线上，如图 2 所示． 观察图 2 可知： BC 相等的线段是 与 ▲C' D C D C' C C， CAC′= ∠▲°．ABA' A图1BDA(A')图2B问题探究 如图 3，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF，过点 E、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.E Q A P FBG图3C拓展延伸 如图 4，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC=k AF，试探究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由.EH F AM N B G图4C【答案】情境观察 AD（或 A′D），90 问题探究 结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴ ∠ABG=∠EAP. ∵ EP ⊥ AG ，∴∠ AGB=∠EPA=90°，∴ Rt △ ABG≌ Rt △ EAP. ∴ AG=EP. 同理 AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论： HE=HF. 理由：过点 E 作 EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为 P、Q.E P H Q A M N B G C F∵四边形 ABME 是矩形，∴∠BAE=90°， ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP. ∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ 同理△ACG∽△FAQ，∴AG AB = . EP EAAG AC = . FP FA AB AC AG AG ∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴ EA FA EP FP EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF. 36. (20011 江苏镇江,23,7 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中 AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E 为 AB 中点, 求证:四边形 BCDE 是菱形.答案:证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°。1 1又 E 为 AB 中点，∴DE= AB,BE= AB, ∴DE=BE2 2∴∠ DBE =∠EDB又 AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC∴BC∥DE.∵EB∥CD∴四边形 BCDE 是平行四边形∵BC=CD∴四边形 BCDE 是菱形。 37. (20011 江苏镇江,25,6 分)已知:如图 1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图 2).记作 AB 的长 度为 a,BM 的长度为 b. (1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度. (2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸 片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞 镖一号”. ①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形,需要这种纸片____ 张; ②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图 3),其中 ∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线 并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)【答案】（1）∠B=72°，∠E=36° （2）5 个； （3）图略 38. （2011贵州安顺，25，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． ⑴说明四边形ACEF是平行四边形； ⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．第 25 题图【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形 ACEF 是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时，四边形 ACEF 是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=1 2 AB∴∠，∵DE 垂直平分 BC，∴BE=CE又∵AE=CE，∴CE=1 2 AB，∴AC=CE，∴四边形 ACEF 是菱形．39. （2011 河北，23，9 分）如图 12，四边形 ABCD 是正方形，点 E,K 分别在 BC,AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且 CE=BK=AG. (1)求证：①DE=EG; ②DE⊥EG； （2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕 迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证 明你的猜想； （4）当CE CB ? 1 n时，请直接写出S 正方形 S 正方形ABCD DEFG的值.G A K B图12DE C【答案】 1） （ 证明： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴DC=DA， ∠DCE=∠DAG=90°， 又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠ EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG. （2）如图G A F B K M E C D(3)四边形 CEFK 为平行四边形。 证明：设 CK,DE 相交于 M 点，∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，∴ AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形 CKGD 为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠ KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形 CKEF 为平行四边形。 （4）S 正方形 S 正方形ABCD DEFG=nn22?140. （2011 湖南湘潭市，24，8 分）（本题满分 8 分） 两个全等的直角三角形重叠放在直线 l 上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm， ∠ABC=90°，将 Rt△ABC 在直线 l 上左右平移，如图⑵所示.⑴ 求证：四边形 ACFD 是平行四边形; ⑵ 怎样移动 Rt△ABC，使得四边形 ACFD 为菱形; ⑶ 将 Rt△ABC 向左平移 4 cm ，求四边形 DHCF 的面积.A(D)AD HB(E) 图(1)C(F)lBE 图(2)CFl【答案】 （1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥ DF， ∴四边形 ACFD 是平行四边形； （2）在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC=10cm，要使四边形 ACFD 为菱形，则 AC=CF， ∴可将 Rt△ABC 向左平移 10cm 或向右平移 10cm； （3）在 Rt△ABC 中， ta n ? A C B? AB BC ? 6 8 ? 3 4．∴当 Rt△ABC 向左平移 4 cm 时，EC=BC-BE=8-4=4（cm）， 在 Rt△HEC 中， H E? E C ta n ? A C B ? 4 ? 1 2 ?8? 6 ? 1 2 3 4 ? 3．∴四边形 DHCF 的面积为：? 4 ? 3 ? 18cm2．41. （2011 湖北荆州，19，7 分）（本题满分 7 分）如图，P 是矩形 ABCD 下方 一点，将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后恰好 D 点与 A 点重合，得到△PEA， 连接 EB，问△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由.D EAC PB【答案】△ABE 是等边三角形，理由如下： 因为△PEA 是将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后得到的 所以△PEA≌△PCD，且 AE 与 DC 所夹的锐角为 60° 所以 AE＝DC 又因为四边形 ABCD 是矩形 所以 DC＝AB 且 DC∥AB 所以 AE＝AB 且∠EAB＝60° 所以△ABE 是等边三角形.}