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大多数题目都可以用夹逼定理证明极限存在,并求出极限如果夹逼定理不能证明,尝试用罗比达法则在分子式中,可以看分子分母的最高次数,在分子分母中的各个正的式子都是相加时,可以直接看最高次数,如果两者都趋于0,那么分母次数高,极限不存在.如果两者都趋于无穷大,那么分子次数高,极限不存在.构造渠道,比如说令y=mx或者y=mx的平方（主要看变量趋于那个几个数时,能否得到一个确定的值）
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多元函数求极限
群体另一方面是大学生的法律意识淡薄要从根本上杜绝以上种种侵权行为就要加强大学生的法律意识用法律武器维护自己的合法权益。&&&&一】建立健全高校的法律制度首先高校教师和管理工作者要转变思想观念增强法律意识要依法从教。&&&&要严格按照教育部有关规定和要求加强教育经费投入定期接上页。&&&&是与驴的取值有关的常数时。&&&&姆以不存在ⅫⅫ参考文献菲赫金哥尔茨京高等教育出版社华东师范大学数学系社微积分学教程第一卷第八版北数学分析上册北京高等教育出版丁殿坤吕端良李淑英多元函数极限的一种求法山东山东科技大学公共科部旷伟平孙勇多元函数极限的一类求法湖南怀化学院数学系向学生公布学校教学经费投入情况要重视公共教学设施的建设保证有足够的公共教学设施供学生免费使用要加强对教师品德的培训和提高培养教师的进取精神和敬业精神等。&&&&其次学校在制定各种规章和条例时必须用法律的眼光加以审视必须符合国家的法律法规和教育政策要有强烈的法律意识。&&&&同时要从学校的实际出发做到充分保护教师、学生的合法权益尤其要保护学生的合法权益真正体现法的价值取向。&&&&二建立健全大学生申诉制度高校与学生之间的关系既不是普通的民事关系也不是普通的行政关系而是一种结构十分复杂的法律关系。&&&&从高校是一种教育机构来看高校与学生是教育者与受教育者的关系两者的权利与义务教育法规定得比较清楚从高校是一种组织系统来看高校与学生是一种管理与被管理的行政关系从高校是一种服务机构来看高校与学生是一种商家与消费者之间的买卖契约关系这实际上体现的是一种普通的民事法律关系。&&&&尤其是随着高校缴费上学制度的实施大学毕业生“双向选择”的就业方式的推行这种契约关系或者合同关系体现得更加明显。&&&&在高校管理的法治化建设进程中逐步推进高校内部学生管理行为的司法审查不仅可以保障学生的合法权益而且司法审查将约束、规范高校学生管理工作者的行为促使他们主动按法治精神来管理学生。&&&&三加强大学生法律维权意识提高自我维权能力在日常的学习生活中大学生的合法权益经常受到损害除了学校、教师和其他教育工作者的因素以外大学生自身的权益意识淡薄自我维权能力差也是一个重要原因。&&&&为此我们要积极开展有关教育活动引导学生逐步树立正确的主体意识和权益意识要支持、鼓励学生成立大学生权益自我保护组织在实践活动中逐步提高自我维权的能力。&&&&参考文献陈葳蕤雍晓慧大学生带薪实习中的权益保障问题探究文教资料陈新黎庆兴建设高校法律咨询室构建大学生维权和法治意识培养的有效平台江西理工大学学报马晓林大学生维权对高校思想政治教育的挑战内江职业技术学院学报冉瑞燕大学生社会兼职权益保护的法律对策北方经贸黄振宣大学生劳动维权意识教育的思考现代教育管理与教学任宪林多元函数求极限邯郸职工大学陈明华关于多元函数极限的一种求法的注记皖西学院计算机科学与技术系刘素芳求二元函数极限的几种方法中山医科大学宋志平二元函数极限的求法内蒙古科技大学理学院冯英杰李丽霞二元函数极限的求法北京高等数学研究作者简介马利强――回族宁夏固原人西北民族大学数学与计算机科学学院研究方向信息与计算科学。&&&&??卜中国电子商务●万方数据多元函数求极限作者马利强作者单位西北民族大学数学与计算机科学学院甘肃兰州730000刊名中国电子商务英文刊名DISCOVERING VALUE年卷期20104被引用次数0次 1.任宪林 多元函数求极限 20012.陈明华 关于多元函数极限的一种求法的注记 20073.刘素芳 求二元函数极限的几种方法 19994.宋志平 二元函数极限的求法 20045.冯英杰.李丽霞 二元函数极限的求法 20036.Γ.M.菲赫金哥尔茨 徽积分学教程 20067.华东师范大学数学系 数学分析上册 20018.丁殿坤.吕端良.李淑英 多元函数极限的一种求法 20049.旷伟平.孙勇 多元函数极限的一类求法 2007 1.期刊论文 梁小林.LIANG Xiao-lin 多元函数极限不存在的直接判别法 -长沙交通学院学报2001172 提出用一种新方法――构造法证明多元函数极限不存在并得到了证明多元函数极限不存在的新条件。&&&&举例说明了利用构造法证明多元函数极限不存在比通常采用的观察法简单。&&&&2.期刊论文 陈明华.CHEN Ming-hua 关于多元函数极限的一种求法的注记 -皖西学院学报2007235 多元函数极限的一种求法1一文把多元函数极限的判断及求法转化为一元函数极限的判断及求法.给出了定理及相应的推论并给予了证明.但其定理和推论的1都是错误的.为防止对读者造成误导特予指正.3.期刊论文 李云霞 多元函数极限的LHospital法则 -湘潭师范学院学报自然科学版2007293 建立和证明了多元函数的Cauchy中值定理然后利用它将LHospital法则推广到多元函数上得到若干结果.4.期刊论文 杨冰.钱淑英.YANG Bin.QIAN shu-ying 求解多元函数极限的几种方法 -晋东南师范专科学校学报2002195 文章从两个方面讨论了多元函数极限的解题方法.5.期刊论文 任春丽.张海琴 从多元函数极限定义引出的问题 -高等数学研究200692 讨论了由多元函数极限定义导致的多元函数的连续、导数、微分等不同于一元函数的性质6.期刊论文 丁殿坤.吕端良.李淑英 多元函数极限的一种求法 -南阳师范学院学报2004312 把多元函数极限的判断及求法转化为一元函数极限的判断及求法.将点x0y0z0的某去心邻域内的点xyz用向量x-x0y-y0z-z0的方向余弦及变量t表示为x0tcosαy0tcosβz0tcosγ使多元函数fxyz转化为含自变量t的一元函数fx0tcosαy0tcosβz0tcosγ且给出了定理及相应的推论并给予证明.得出若t→0时fx0tcosαy0tcosβz0tcosγ→A是与αβγ取值无关的常数则fxyz→Axyz→x0y0z0若A与αβγ取值有关则xyz→x0y0z0时fxyz的极限不存在.7.期刊论文 徐龙封.XU Long-feng 多元函数微分教学中应处理好的几个关键问题 -安徽工业大学学报社会科学版2007243 多元函数微分学是高等数学教学的重点和难点之一.为提高教学质量在教学中教师应着重处理好以下几个关键问题:讲透多元函数极限的复杂性重视偏导数和导数的根本区别教会学生画变量关联图简化多元复合函数微分思路抓住基本规律规范隐函数微分程序等等.8.期刊论文 丁殿坤.王云丽.DING Dian-kun.Wang Yun-li 球面坐标在求多元函数极限中的应用 -雁北师范学院学报2005212 运用球面坐标把多元函数极限的判断及求法转化为一元函数极限的判断及求法并给予证明从而方便地判断多元函数极限的存在与否并能顺利求出极限.9.期刊论文 罗志敏.汪琳 一类多元函数极限的计算 -科技创新导报200826 给出了多元函数极限lim△s-0 ft1X0△y1t2X0△y2…txX0△y2的计算方法并列举了一些相关的应用.10.期刊论文 李金田 从习题中出现的错误谈多元函数极限的教学 -孝感学院学报2004246 通过对学生在练习中出现错误的纠正分析了学生出现错误的根源针对错误根源强调了在教学中应注意的几个问题. 本文链接http://d..cn/Periodical_zgdzsw.aspx授权使用武汉科技大学whkjdx授权号1c8f1e1a-9ae4--9e4下载时间日
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讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系
讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系
祁丽梅 赤峰学院数学与统计学院 ，赤峰 024000 摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。 关键词:
二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微
多元函数微分学是数学学习中的重要内容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。 二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系 1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。 可微的必要条件： 若二元函数在p0?x0,y0?可微，则二元函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?存在两个偏导数，且全微分dz?A?x?B?y中的A与B分别是A?fx??x0,y0?与B?fy??x0,y0? 其中?x,?y为变量x,y的改变量，则?x?dx,?y?dy，于是 二元函数的全微分为dz?fx??x0,y0?dx?fy??x0,y0?dy
类似的n元函数u?f?x1,x2,?,xn?在点Q?x1,x2,?,xn?的全微分为
du??f?f?f?fdx1?dx2?dx2???dxn?x1?x2?x2?xn
我们知道一元函数的可微与可导是等价的，但通过上述情况可以知道二元函数可微一定存在两 1
个偏导数，反之二元函数存在两个偏导数却不一定可微。 例1 函数f?x,y??xy在原点?0,0?存在两个偏导数，由偏导数定义有 f??x,0??f?0,0?0?lim?0 ?x?0?x?xfx??0,0??limfy??0,0??lim?x?0?y?0f?0,?y??f?0,0?0?lim?0 ?y?0?y?y两个偏导数都存在，但f?x,y??证明：假设它在原点可微 xy在原点?0,0?不可微
df?fx??0,0??x?fy??0,0??y?0
?f?f?0??x,0??y??f?0,0??
???x??y ??x?2???y?2 特别地，取?x??y
lim??0?x??y??x??x 2??x?2???y?2?f?df?2??x??2?x 2??lim?x2?x?x?0?1?0 2即 ?f?dx比?不是高阶无穷小???0?。与可微定义矛盾，于是 函数f?x,y??xy在原点?0,0?不可微。 二元函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?的全微分dz?fx??x0,y0??x?fy??x0,y0??y涉及函数f?x,y?在点 p0?x0,y0?邻域内所有点的函数值，而偏导数fx??x0,y0?与fy??x0,y0?存在并不能保证函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?可微。 2、若二元函数函数f在其定义域内的某点可微,则二元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。
3、函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?可微 是指f?x,y?在该点的全增量?z与其全微分dz之差是关于?的高阶无穷小，当?x?0,?y?0时的高阶无穷小，即?z??z?x0,y0??x??z?x0,y0??y?????
其中?x?y????x?2???y?2 从全微分定义可知，?z?fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y?????，则lim??z??0 x?x0y?y0??因此函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?连续。 若函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?可微，则它在该点一定连续，但反之是不一定成立的。 例2 2222
f?x,y??sinx?y在原点?0,0?连续，但f?x,y??sinx?y在原点?0,0?不可微。 事实上
lim?x?0sin?xf?0??x,0??f?0,0?不存在 ?lim?x?0?x?x?y?0sin?yf?0,0??y??f?0,0??lim也不存在 ?x?0?y?y即
该函数在原点?0,0?的偏导数是不存在的。 例2 ?x2y,x2?y2?0?22设f?x,y???x?y ?0,x2?y2?0?则f?x,y?在点?0,0?连续，偏倒数存在，但在该点不可微。 1）fx??0,0??lim
fy??0,0??lim?x?0?y?0f?0,0??y??f?0,0??0 ?yf?0??x,0??f?0,0??0 ?x故f?x,y?在点?0,0?偏导数存在 x2yx2y1??x?x?yx?y22xy22 3
x2y?0?f?0,0?，故 所以lim?x,y???0,0?x2?y2f?x,y?在点?0,0?连续。 3）lim??0?f?df????x,?y???0,0?lim??x?2?y??x?2???y?2 此时，若取?y?k?x，则 ??x,?y???0,0?lim??x?2?y??x?2???y?2?limk???x?32?x?0?x?1?k?? 此极限显然不存在，所以lim?f?df??0?不存在，故?x,y?在点?0,0?不可微。 3、二院函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数存在无关。
我们知道，若一元函数y?f?x?在点x0可导，则y?f?x?在x0连续。但反过来若一元函数y?f?x?在x0连续，则它在该点的导数却不一定存在。这就是所谓的可导必连续，连续不一定可导。 然而，二元函数z?f?x,y?在某点p0?x0,y0?有关于x和y的两个偏导数存在，可是z?f?x,y?在点p0?x0,y0?却不一定连续。这是因为z?f?x,y?在点p0?x0,y0?存在关于x的偏导数fx??x0,y0?，只能得到一元函数z?f?x,y0?在点x0连续。同样，由fy??x0,y0?存在，只能得到一元函数z?f?x0,y?在y0连续， 但是，并不能得出z?f?x,y?在点p0?x0,y0?连续。 例4 ?x2?y2,xy?0f?x,y????1,xy?0 ??x??lim?x?0 f?0??x,0??f?0,0?f??0,0??lim?lim?x?0?x?0?x?x?0?x2同理fy??0,0??0 于是，函数f?x,y?在点?0,0?存在两个偏导数，但是沿着直线y?0，有limf?x,0??limx?0。2x?0x?0 4
沿着直线y?x?x?0?，有limf?x,x??lim1?1即函数f?x,y?在点?0,0?不存在极限，则函数x?0x?0f?x,y?在点?0,0?不连续。 例5
f?x,y??x2?y2在点?0,0?连续，但它在点?0,0?处偏导却不存在 事实上：
?x,y???0,0?limf?x,y??0?f?0,0? x2?y2在点?0,0?连续，
即f?x,y??f?0??x,0?lim?lim?x?0?x?0?x同理lim?0??x?2?02?x?02?02?lim?x?x?x?0，此极限不存在 ?y?0f?0,0??y??f?0,0?也不存在。 ?y以上两例题说明： 1）二元函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?偏导数存在，二元函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?可以不连续； 2）二元函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?连续，二元函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?偏导数也可能不存在； 即二元函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关。但反之是不一定成立的。 4、函数z?f?x,y?的偏导数再点p0?x0,y0?的某邻域内存在，且在点p0?x0,y0?处连续，则二元函数f在该点可微。
如果函数z?f?x,y?的偏导数在某点p0?x0,y0?的某邻域内存在，且fx??x0,y0?，fy??x0,y0?在某点p0?x0,y0?连续（函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?已经连续），那么函数z?f?x,y?在某点p0?x0,y0?可微。 把全增量?z记作 ?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0? ?f?x0??x,y0??y??fx0,y0??y?f?x0,y0??y??fx0,y0
5 ????????
联系客服：cand57</微积分学中对一元函数“连续”的定义是：
设y=f(x)在U(x0)有定义，若
limx→x0f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0处连续。
即如果函数f(x)当x→x0时的极限值等于该点的函数值，称f(x)在点x0处连续。
关于连续性的定义不止一个，还有一种比较学术定义如下：
在点x0附近，如果自变量的该变量是无穷小时，对应的因变量的该变量也是无穷小，则这个函数在点x0处连续。
通俗地说，所谓“连续”，就是不间断。放到函数上，就是没有“断点”（但是可以有“拐点”）。
下面的两个函数是连续函数。
（注：虽然这个函数是连续的，但并不可微，因为在x=0处有拐点。）
下面的函数就不是连续函数，因为它在x=0处有间断。
多元函数的连续性
与一元函数类似，二元函数的连续性可以定义为：
设z=f(x,y)的定义域为Df，P0(x0,y0)是Df的聚点(P0∈Df)，若
limx→x0y→y0f(x,y)=f(x0,y0)，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
即如果f(x,y)在开区域（或闭区域）D内的每一点都连续，则函数f(x,y)在D内连续。
下面的二元函数是连续函数：
这个就不是连续的了：
上面对二元函数连续性的定义可以推广到多元函数。
一元函数的微分表达式：
df(x)=f′(x)dx
如果函数f(x)在x0处存在微分，则称其在x0处可微。
将微分表达式稍作变换，就得到：
df(x)dx=f′(x)
可见，对于一元函数，可微与可导是等价的。
通俗地理解，可微就是函数曲线光滑连续，没有断点和那些突兀的拐点。
多元函数可微性
多元函数的微分又叫“全微分”，类似一元函数，二元函数z=f(x,y)的全微分定义为：
dz=?z?xdx+?z?ydy
多元函数可微、可导、连续的关系
对于一元函数，可微与可导等价，可微（可导）一定连续，连续不一定可微（可导）。所以一元函数可微的充要条件就是其可导。
多元函数的可微和可导并不等价，而是这样的关系：
如果多元函数在某点可微，则其在该点处的所有偏导数都存在，且多元函数在该点处连续。
但是将上面的描述反过来是不成立的，即：即便在某点处，多元函数的所有偏导数都存在且多元函数在该点处连续，函数也不一定可微。多元函数在某点可微的充分条件是：它在该点处所有的偏导数是连续的。
小结如下：
多元函数连续和偏导数没有绝对的关系。多元函数在一点连续不一定在该点存在偏导数，在一点存在偏导数也不一定在该点连续。
多元函数在一点连续与偏导数存在都是它在该点可谓的必要条件而不是充条件。
多元函数在一点可微的充分条件是它在该点的所有偏导数连续（但不是必要条件）。
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(最多只允许输入30个字)二元函数f(x,y)里的几个关系不大懂：
1.“f(x,y)在(x0,y0)连续”为什么不能推出“f(x,y)在(x0,y0)的偏导数都存在”？（顺便
2.为什么f(x,y)在(x0,y0)可微分不能推出f(x,y)在(x0,y0)的偏导数都连续呢？
3.f(x,y)在(
二元函数f(x,y)里的几个关系不大懂：
1.“f(x,y)在(x0,y0)连续”为什么不能推出“f(x,y)在(x0,y0)的偏导数都存在”？（顺便
2.为什么f(x,y)在(x0,y0)可微分不能推出f(x,y)在(x0,y0)的偏导数都连续呢？
3.f(x,y)在(x0,y0)连续为什么不能推出f(x,y)在(x0,y0)可微分?
麻烦高手详细解释一下，感觉好混乱。谢了
你搞不清楚多元函数，一元函数总应该搞得清楚吧？
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在一元函数里，可微一定可导，可导一定可微，可导就是导数存在的意思，没有听说过连续可以推出可导、可微可以推出导函数连续吧？
多元函数里出现的“偏导数”是一元函数里没有的概念，因为一元函数一共只有一个自变量。所谓“偏导数”，实际上是固定其它的自变量，把多元函数当作一元函数求导数。以前很多教材把多元函数各个偏导数都存在也叫做多元函数“可导”，这样一元函数里的“可导”与多元函数里的“可导”就不同了，一元函数里“可导”是可微的充分必要条件，多元函数里“可导”只是可微的必要条件，这更把一些人弄得稀里糊涂，所以现在出版的教材大多已不这样叫了，偏导数存在就叫“偏导数存在”。
明白了偏导数的实际意义（即把多元函数当作一元函数时的导数），你的问题就不成为问题了，
连续不能推出可导，当然连续不能推出偏导数存在；
可微不能推出导函数连续，当然可微不能推出偏导数连续。
其他答案（共1个回答）
楼上的大师说的很好我也表达一下我的看法函数连续性的几何意义是说函数(图像)没有间断点的而函数可导是说函数不存在尖点，也就是说函数(图像)是光滑的。直观的例子就是f(x)=|x|,显然函数是连续的（没有间断点），而函数在0点不是光滑的(即是个尖点)，用数学相关信息37+5，，求发动，入盆了吧快点出来吧，...新生儿应什么时候洗头如题：)))))))...还有多少留级的啊我是真没想到我居然也留级...有男翻女的吗？概率有多大？？？？？？？夸奖孩子的技巧是什么？难道一定要6个月了才能去检查吗如题，，，...37.5是低烧吗？如题，，，，，，，，，有多少宝妈留级了？？？同上。。。。。。如何成功地帮助孩子改掉粗心的坏习惯？告诉宝宝画连点画时，应该注意什么？请60度等于常用数学公式30分钟跳绳自然数 整数椭圆的面积公语言表达就是在0点的左右导数不相等。也就是说函数在0点不可导。另一方面，我们有上面的例子看到函数连续，不能推出函数可导，因而更无从谈起导函数的连续性了。其实多元函数和一元函数的情形差不多，只是多元函数要求对路径无关。
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