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按规律填数,第三题谁教教最后两格如何填,为什么,是什么规律?第一题的规律是,每格少2.第三题我就是不明白,谁教教.
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处在单数位置上的数依次是：15、13、11、9、7...处在双数位置上的数依次是：3、3、3、3...所以填写：3和9希望对你有帮助,满意请及时采纳,你的采纳是我回答的动力!
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初中数学规律题解题基本方法
初中数学规律题解题基本方法 （一）数列的找规律 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行 探索： 一、基本方法――看增幅 （一） 如增幅相等 （此实为等差数列） 对每个数和它的前一个数进行比较， ： 如增幅相等，则第 n 个数可以表示为：a+(n-1)b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第 n 位的总增幅。然后再简化代数
式 a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28??，求第 n 位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅相都是 6，所以，第 n 位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也 即增幅为等差数列） 。如增幅分别为 3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此 种数列第 n 位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅； 2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅； 3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第 n 位数。 举例说明：2、5、10、17??，求第 n 位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列 的第 n-1 位到第 n 位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为： ［3+（2n-1） ］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第 n 位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或 用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三） 增幅不相等， 且增幅也不以同等幅度增加 （即增幅的增幅也不相等） 。 此类题大概没有通用解法， 只用分析观察的方法， 但是， 此类题包括第二类的题， 如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要 求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把 变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第 100 个数是 。 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。 我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。序列号：1，2，3， 4， 5，……。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项 是 n -1，第 100 项是 1002-1。2（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与 n 、n3,或 2n、3n,或 2n、3n 有关。2例如：1，9，25，49， ， ，的第 n 为（2n-1）2 （）（） （三）看例题： A： 2、9、28、65.....增幅是 7、19、37....，增幅的增幅是 12、18 答案与 3 有关且............即：n3+1 B：2、4、8、16.......增幅是 2、4、8.. .....答案与 2 的乘方有关 即：2n （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后 用（一）（二）（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第 、 、 一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26……，同时减去 2 后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5 分析观察可得， 新数列的第 n 项为： 2-1， n 所以题中数列的第 n 项为： 2-1） （n 2 +2＝n +1 （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列， 然后，在再找出规律，并恢复到原来。 例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数） 同除以 4 后可得新数列：1、4、9、16?，很显然是位置数的平方。 （六）同技巧（四）（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除 、 同一数（一般为 1、2、3） 。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或 除的不太常见。 （七） 观察一下， 能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列， 再分别找规律。 三、基本步骤1、 2、 3、 4、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。 如不相等，综合运用技巧（一）（二）（三）找规律 、 、 如不行，就运用技巧（四）（五） （六） 、 、 ，变换成新数列，然后运用 技巧（一）（二）（三）找出新数列的规律 、 、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题四、 【典型例题】例1 观察下列算式：31 ? 3,3 2 ? 9,33 ? 27 ,3 4 ? 81, 35 ? 243,36 ? 729 ,3 7 ? 2187 ,38 ? 6561,?? 用你所发现的规律写出 3 2004 的末位数字是__________。例2观察下列式子： ；1? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? 32 ? 5 ? 2 ? 12 ? 3 ? 4；3 ? 6 ? 2 ? 20 ? 4 ? 5；4 ? 7 ? 2 ? 30 ? 5 ? 6 ??请你将猜想得到的式子用含正整数 n 的式子表示来__________。五、图形找规律小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用 手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。合作交流，探索规律：活动一：探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形?填写下表：?照这样的规律搭建下去， n 个这样的三角形需要多少根火柴棒？ 搭 ★注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤： ① ② ③ 寻找数量关系； 用代数式表示规律 验证规律。★练习： 四棱柱有几个顶点、 几条棱、 几个面？五棱柱呢？十棱柱呢？ n 棱柱呢？ 活动二：探索具体情景下事物的规律 问题 1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有 几种拼法？问题 2.若按图 2 方式摆放桌子和椅子?一张桌子可坐 6 人，2 张桌子可坐 ?按照上图方式继续排列桌子，完成下表：人。问题 3.如果按图 3 的方式将桌子拼在一起 ?2 张桌子拼在一起可坐多少人？3 张呢？n 张呢？ ?教室有 40 张这样的桌子，按上图方式每 5 张拼成 1 张大桌子，则 40 张桌子可拼成 8 张大桌子，共可坐 人。 ?在?中，改成每 8 张桌子拼成 1 张大桌子，则共可坐 人。活动三：探索图表的规律 下面是 2000 年八月份的日历：?日历中的绿色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关 系？ ?这个关系对其它这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系 吗？ ?这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ ?你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？用代数式表示。?你还能提出那些问题？4 图 3―4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图 3―4②； 再分别连结图 3―4②中间的小三角形三边的中点，得到图 3―4③，按此方法继 续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。①②③?? (1)将下表填写完整 图形编号 三角形个 数 1 1 2 5 3 9 4 5 ? ?（2） 在第 n 个图形中有____________________个三角形 （用含 n 的式子表示） 。例 6．如图，把一个面积为 1 的正方形分等分成两个面积为1 的矩形，接着把面 21 1 1 积为 的矩形等分成两个面积为 的正方形， 再把面积为 的矩形等分成两个面 2 4 4 1 积为 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： 81 21 41 8 1 16 1 321 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 8 16 32 64 128 256例 7．把棱长为 a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层 1 个，第二层 3 个??按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是例 8.观察下列图形并填表。1 12个数 周长1 52 83 114 1456 ?7?n六、巩固练习题 1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （1）第 4 个图案中有白色地面砖 （2）第 n 个图案中有白色地面砖 块； 块。??第一个 第二个 第三个2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个 顶点） 上都有 n(n ? 2) 个棋子， 每个图案棋子总数为 S， 按下图的排列规律推断， S 与 n 之间的关系可以用式子 来表示。? ?n ?2 s ?4n ?3 s ?8n?4n ?5 s ? 16s ? 12 3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。①5，9，13，17， ②4，5，7，11，19， ③10，20，21，42，43， ④4，9，19，34，54， ⑤45，1，43，3，41，5， ⑥6，1，8，3，10，5，12，7， ⑦0，1，1，2，3，5， ⑧180，155，131，108， ⑨5，15，45，135， ⑩60，63，68，75， ， ， ， ， 。 。 ， ， ， 。 。 ， ， ， 。 。 ，174，175。 ，144。 ，37，9。 。4．你能很快算出 1995 2 吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数为 5 的自然数的平方，任意一个个 位数为 5 的自然数可写成 10? n +5,即求 (10n ? 5) 2 的值 n 为自然数） 你试分析 （ ，n ? 1, n ? 2, n ? 3,? 这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果） 。 （1） 通过计算，控索规律：15 2 ? 225 可写成 100 ? 1(1 ? 1) ? 25 25 2 ? 625 可写成 100 ? 2(2 ? 1) ? 25 35 2 ? 1225 可写成 100 ? 3(3 ? 1) ? 25 45 2 ? 2025 可写成 100 ? 4(4 ? 1) ? 25????75 2 ? 5625 可写成85 2 ? 7225 可写成（2） 从第（1）的结果，归纳、推测得： (10 n ? 5) 2 ?（3） 根据上面的归纳、推测，请算出： 1995 2 ?5．观察下列几个算式，找出规律： 1＋2＋1=4 1＋2＋3＋2＋1=9 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25 ?? 利用上面规律，请你迅速算出： ①1＋2＋3＋?＋99＋100＋99＋?＋3＋2＋1= ②据①你会算出 1＋2＋3＋?＋100 是多少吗？ ③据上你能推导出 1＋2＋3＋?＋ n 的计算公式吗？ 12． 给出下列算式：32 ? 12 ? 8 ? 8 ? 1 ，52 ? 32 ? 16 ? 8 ? 2 ，7 2 ? 52 ? 24 ? 8 ? 3 ，9 2 ? 7 2 ? 32 ? 8 ? 4 ，?，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是。6．研究下列算式，你会发现有什么规律？1? 3 ? 1 ? 4 ? 2 2 ； 2 ? 4 ? 1 ? 9 ? 32 ；3 ? 5 ? 1 ? 16 ? 4 2 ；4 ? 6 ? 1 ? 25 ? 5 2 ??请将你找出的规律用公式表示出来：。7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图 中的数构成的规律填写：1 1 1 1 1 1 5 4 b 3 a b 2 3 4 5 1 1 1 1 1a 所表示的数：b 所表示的数：3 2。 。8．因为 1 ? 1? 1?1 ? 1 ， 1 ? 1? 1 ? 1，13 ? 2 3 ? 1 ? 8 ? 9(1 ? 2) 2 ? 32 ? 9(1 ? 2 ? 3) 2 ? 6 2 ? 3613 ? 23 ? 33 ? 1 ? 8 ? 27 ? 3613 ? 23 ? 33 ? 43 ? 1 ? 8 ? 27 ? 64 ? 100(1 ? 2 ? 3 ? 4) 2 ? 10 2 ? 100那么 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? ? ? 99 3 ? 100 3 ?。9．将 1， ?1 1 1 1 1 ， ， ? ， ， ? ，?按一定规律排成下表： 3 5 2 4 6 1 在第 2006试找出 ?行第个数? 1 7 1 11 ? 1 12 1 41 ? 1 2 1 5 ? 1 8 1 13 1 9 ? 1 14 1 3 ? 1 6 ? 1 10 1 1510．如下图：（1）25 1045 28541 262417 217 227 21359 36 466 43 25 31（2）11．把 1 到 200 的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的 3 个数，竖的 3 个数，这 9 个数的和是 162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的 9 个数。 （1） 当正方形左上角的数是 100 时，这 9 个数的和是多少？ （2） 当正方形中 9 个数的和是 1557 时，最大的数是多少？1 8 15 22 ? ?2 9 16 23 ? ?3 10 17 24 ? ?4 11 18 25 ? ?5 12 19 26 ?6 13 20 27 ?7 14 21 28 ?? 195 196197 198 199 20012．将 1 至 1001 个数如下图的格式排列。用一个长方形框入 12 个数，要使这 12 个数的和等于（1）1986； （2）2529； （3）1989 是否办得到？如果办不到，简 单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。1 8 15 22 ? 2 9 16 23 ? 3 10 17 24 ? 4 11 18 25 ? 5 12 19 26 ? 6 13 20 27 ? 7 14 21 28 ?995 996 997998 999 13． （2010 年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆 第 2 个图案需要 19 枚棋子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则 摆第 6 个图案需要 【关键词】规律 枚棋子，摆第 n 个图案需要 枚棋子．?第 13 题图14、 （2010 盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值 是 0 2 A．38 4 8 2 4 B．52 6 22 4 6 8 44 6 m D．74C．66关键词：数字排列规律 15． （2010 年门头沟区）如图，?AOB ? 45? ，过 OA 上到点 O 的距离分别为 1 3，7，11 ? ，5，9，， 的 点 作 OA 的 垂 线 与 OB 相 交 ， 得 到 并 标 出 一 组 黑 色 梯 形 ， 它 们 的 面 积 分 别 为S1，S2，S3，S4， ． ?则第一个黑色梯形的面积 S1 ? 【关键词】规律题、梯形面积 16.（2010 年山东省济南市）如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 A 点开 始按 ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动， 行走 2010 厘米后停下， 则这只蚂蚁停 在 点． A B G C D F E 第 12 题 ；观察图中的规律， ． 第 n(n 为 正 整 数 )个 黑 色 梯 形 的 面 积 S n ?【关键词】点的移动17、 （2010 年毕节地区）搭建如图①的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要 根钢管．【关键词】找规律 18、 （2010 年宁波市） 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 （V） 面数 、 （F） 、 棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多 面体模型，解答下列问题：四面体长方体正八面体正十二面体（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体 四面体 长方体 正八面体 正十二面体顶点数（V） 4 8面数（F） 7 6 8棱数（E）12 12 302012你发现顶点数（V） 、面数（F） 、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。 （2） 一个多面体的面数比顶点数大 8， 且有 30 条棱， 则这个多面体的面数是____________。 （3） 某个玻璃M品的外形是简单多面体， 它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼 接而成，且有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，设该多面体外表三角形的个数为 x 个，八边形的个数为 y 个，求 x ? y 的值。 【关键词】规律与探索 19、15．直线上有 2010 个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入 1 个点,经过 3 次这 样的操作后,直线上共有 【关键词】点 个点.20、 （2010 年安徽中考）下面两个多位数 1248624??、6248624??，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数， 则将其个位数字写在第 2 位。对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字??，后面 的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第 1 位数字是 3 时，仍按如上 操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和 是????????????????（ A）495 B）497 C）501 D）503 【关键词】探索规律 ）21、 （2010 年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序 ab = n，可以使： （a+c）b= n+c，a（b+c）=n－2c， 如果 11=2，那么
= 【关键词】阅读理解、探究规律 22、(2010 重庆市)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对 称中心 O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转 45°，第 1 次旋转后得到图①，第 2 次旋 转后得到图②，??，则第 10 次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（） ．A．图① B．图② C．图③ D．图④ 解析：观察图形，可知每转动 4 次为一个循环，所以 10÷4=2?2，即第 10 次旋转后得 到图形是图②. 24.（2010 年四川省眉山市）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行 分割，得到第二个图（图②） ；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行 分割，得到第三个图（图③） ；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行 分割，??，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．??图① 图② 图③【关键词】规律与探索 25． （2010 年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 4 个小正方 形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 7 个小正 方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10 个小正 方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到 2011 个小正 方形，则需要操作的次数是( A. 669 B. 670 ). C.671 D. 672【关键词】大正方形剪成小正方形、规律与探索26、 （2010 江苏泰州，17，3 分）观察等式：① 9 ? 1 ? 2 ? 4 ，② 25 ? 1 ? 4 ? 6 ，③ 49 ? 1 ? 6 ? 8 ?按照这种规律写出第 n 个等式： ．2【答案】 ?2n ? 1? ? 1 ? 2n(2n ? 2) 【关键词】规律归纳猜想 27、 （2010 山东德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始 时在 BC 边的 P0 处， 0=2． BP 跳蚤第一步从 P0 跳到 AC 边的 P1 （第 1 次落点） 且 CP1= 处， CP0；第二步从 P1 跳到 AB 边的 P2（第 2 次落点）处，且 AP2= AP1；第三步从 P2 跳到 BC 边的 P3（第 3 次落点）处，且 BP3= BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第 n 次落点为 Pn（n 为正整数） ，则点 P2009 与点 P2010 之间的距离为_________．【关键词】寻找规律P2A P1BP3 P0 第 27 题图C一、数字规律类： 1、 一组按规律排列的数： ， ， 2、已知下列等式： ① 13＝12； ④ 是21 43 7 13 21 ， ， ， ?? 请你推断第 9 个数是 9 16 25 36② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ．第 n 个等式是2 2．13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ 43 ＝ 102 ； ? ? ? ? 由 此 规 律 知 ， 第 ⑤ 个 等 式 ． ③、3 +3=3×4 ；???请把 。3、观察下列各式；①、1 +1=1×2 ；②、2 +2=2×3； 你猜想到的规律用自然数 n 表示出来 根据你所发现的规律，请你直接写出第 n 个式子4、 观察下面的几个算式： ①、 1+2+1=4； ②、 1+2+3+2+1=9； ③、 1+2+3+4+3+2+1=16； ??5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、?，那么第 2005 个数是 。 6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、??，中间 用虚线围的一列，从上至下依次为 1、5、13、25、??，则第 10 个数为________。 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行1 －2 －4 7 11 3 5 －8 －12 －6 9 13 －10 －14 15?????? 7、已知一列数：1，D2，3，D4，5，D6，7，? 将这列数排成如上所示的形式：按照上 述规律排下去，那么第 10 行从左边数第 5 个数等于 ．1 2 1 2 3 1 8． 有一列数： 1, , , , , , ??，第 9 个数是 2 2 3 3 3 4.9．观察下列各式：12 ? 1 ? 1? 2 ， 2 2 ? 2 ? 2 ? 3 ， 32 ? 3 ? 3 ? 4 ， 4 2 ? 4 ? 4 ? 5 ，?? 将上面的规律用含有 n 的公式表示出来是10．观察下列各式： 律表示出来．.?，用 n（自然数）把这个规11．观察下列等式 9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，??这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设 n 表示自然数， 请用含有 n 的等式表示出来。 12 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋?＋－＋1997． 二、图形规律类： 13、 一质点 P 从距原点 1 个单位的 A 点处向原点方向跳动， 第一次跳动到 OA 的中点 A1 处， 第二次从 A1 点跳动到 O A1 的中点 A 2 处，第三次从 A 2 点跳动到 O A 2 的中点 A 3 处，如 此不断跳动下去，则第 n 次跳动后，该质点到原点 O 的距离为 。14、 如下图是小明用火柴搭的 1 条、 条、 条 2 3 “金鱼” ??， 则搭 n 条 “金鱼” 需要火柴 ??1条 2条 3条根.15、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○● ???? 从第 1 个球起到第 2005 个球止，共有实心球 个． 16、 如图， 在图 1 中， 互不重叠的三角形共有 4 个， 在图 2 中， 互不重叠的三角形共有 7 个， 在图 3 中，互不重叠的三角形共有 10 个，??，则在第 n 个图形中，互不重叠的三角 形 共有 个（用含 n 的代数式表示） 。 ??n=3n=4（第 12 题）n=517、已知一个面积为 S 的等边三角形，现将其各边 n（n 为大于 2 的整数）等分，并以相邻 等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示） ． （1）当 n = 5 时，共向外作出了 （2） n = k 时， 当 共向外作出了 18、观察图形，并完成下列表格： 序号 图形 的 个数 的个数 ? ? 1 2 3 ? ? n 个小等边三角形 个小等边三角形 （用含 k 的式子表示） ．(此空不填)8 1 42419.研究下列等式，你会发现什么规律？1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 ? 设 n 为正整数，请用 n 表示出规律性的公式来.20 ． 探 索 规 律可写成,可写成可写成,可写成（1）把这个规律用含有 n 的式子写出来； （2）计算 952．21．观察：?计算： 22. 图案：．如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个（1）第 4 个图案中有白色地面砖__________块； （2）第 n 个图案中有白色地面砖__________块．23， （05 青岛）12. 已知：2 ?2 2 3 3 4 4 5 5 ? 2 2 ? ，3 ? ? 32 ? ，4 ? ? 4 2 ? ，5 ? ? 52 ? ， 3 3 8 8 15 15 24 24?，若10 ?b b ? 10 2 ? 符合前面式子的规律，则a ? b ? a a 1 1 1 1 1 ? ( ? )， 3 5 2 3 5 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 5 7 2 5 7 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 7 9 2 7 9????。24(岳阳 04)．观察： ?计算：1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?L ? ? ＝ 2 4 4 6 6 8 18 20。二，探索图形规律 25(浙江湖州 05)．观察下面图形我们可以发现：第 1 个图中有 1 个正方形，第 2 个图中共 有 5 个正方形，第 3 个图中共有 14 个正方形，按照这种规律下去的第 5 个图形共有________个 正方形。26：(05 山东泉州）下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了块石子．27、探索题： 如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些等圆．BBB（１） ① 请观察上图并填写下表 （１）（２）（３）图形编号 圆的个数 ②（２）（３）（４）（５）（６）你能试着表示出第 n 个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第 2008 个图形中有多少个圆.28 电话费与通话时间之间的关系如下表： 通话时间 x(分) 1 2 3 4 5 电话费 y(元) 0.3+0.6 0.6+0.6 0.9+0.6 1.2+0.6 1.5+0.6??(1)写出用通话时间 x 表示电话费 y 的公式：_________. (2)并用你所列的公式求当通话时间 x=100 分钟时的费用：__________. (3)小明家四月份电话费是 96.6 元，那么他家一共打了多长时间的电话：__________.探索找规律习题集及中考题集 1.如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第 n 个图案所需花盆的总数是 ___________________． * * * * * * * * * * * * * * * * * * *2.观察正方形图案， 每条边上有 n(n ? 2) 个圆点， 每个图案中圆点总数式 S ， 按此推断 S 与n 的关系式为??????n=2,S=4n=3,s =8n=4,s =123．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成，通过观察可以发现：n=1n=2n=3n=4（1）第 4 个图形中火柴棒的根数是 是 4．① ●●● ● ●； （2）第 n 个图形中火柴棒的根数③ ●●●●●●● ● ● ● ●；② ●●●●● ● ● ●上面是用棋子摆成的 “T” 字，按这样的规律摆下去， 摆成第 10 个“T”字需要多少个棋子？ 第 n 个呢？ 5．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线） ．继续对折，对折时每次 折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可以 得到 条折痕．如果对折 n 次，可以得到 条折痕．6．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了块石子．7．为庆祝“六 ?一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：?? ① ② ③按照上面的规律，摆 n 个“金鱼”需用火柴棒的根数______________ 8．柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有 2 ? 3 听罐头， 第二层有 3 ? 4 听罐头， 第三层有 4 ? 5 听罐头， ?? 根据这堆罐头排列的规律， n（ n 为正整数） 第 层有 9．按如下规律摆放三角形： 听罐头 （用含 n 的式子表示） ． 第 8 题图则第(4)堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为________________. 10．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第 5 个图案 中白色正方形的个数为 ____________________。 ?第1个 第2个 第3个；第 n 个图案中白色正方形的个数为11、用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第 n 个图案中正方形的个数 是??n=1 n=2 n=312．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案：第1个第2个第3个（1） 4 个图案中有白色纸片 第张；2） n 个图案中有白色纸片 （ 第张.13．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四 个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，??，根据 以上操作方法，请你填写下表： 操作次数 N 1 2 3 4 5 ? N ?正方形的个数4710??15．观察下列等式： 9 ? 1 ? 8 ;16 ? 4 ? 12 ; 25 ? 9 ? 16 ; ????? 这些等式反映出自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来：16.观察下列等式： 12 ? 1 ? 1? 2 ; 2 2 ? 2 ? 2 ? 3 ; 32 ? 3 ? 3 ? 3 ;??????? 请你将猜想到的规律用自然数 n(n ? 1) 表示出来 ； 17.观察下列各式： 12 ? 1 ? 1? 2 ; 2 2 ? 2 ? 2 ? 3 ; 32 ? 3 ? 3 ? 4 ;??????? 请你将猜想到的规律用自然数 n(n ? 1) 表示出来： ； 18.树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表： （树苗原高 100 厘米） 年数 a 1 2 3 4 ? ?? (1)填出第 4 年树苗可能达到的高度；(2)请用含 a 的代数式表示高度 h：____________ (3)用你得到的代数式求生长了 10 年后的树苗可能达到的高度。 19． 已知：2 ? 高度 h（单位：厘米） 115 130 1452 2 3 3 4 4 a a ?若 10 ? ? 10 2 ? （a、 ? 2 2 ? ，3 ? ? 3 2 ? ，4 ? ? 42 ? ， 3 3 8 8 15 15 b b。b 为正整数） ，则 a＋b＝20．观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； ??①1=12； ②1+3=22； ③1+3+5=32；④；⑤；??（2）通过猜想写出与第 n 个点阵相对应的等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.21．阅读下列一段话，并解决后面的问题 观察下面一列数：1，2，4，8， ?, 我们发现，这一列数从第 2 项起，每一项与它前 一项的比都等于 2． 一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列 数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． （1） 等比数列 5，-15，45， ?, 的第 4 项是_________． （2） 如果一列数 a1 , a 2 , a3 , a 4 ,? 是等比数列，且公比为 q ，那么根据上述的规定，有a a2 a ? q ， 3 ? q ， 4 ? q ? ， 所 以 a 2 ? a1 q ， a 3 ? a 2 q ? a1 q 2 ， a1 a2 a3a4 ? a3 q ? a1q 3 ? ， a n ? _________．（3） 一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第 1 项与第 4 项．22.将 1， ?1 1 1 1 1 ， ， ? ， ， ? ， ??按一定规律排成下表： 2 3 4 5 61第一行 第二行 第三行 第四行 第五行? ?1 7 1 111 21 51 31 4 ? 1 8?1 91 6 ? 1 10 1 15?1 121 13?1 14从表中可以看到， 4 行中自左向右第 3 个数是 第 那么（1） ?1 1 ， 5 行中自左向右第 4 个数是 ? 第 ， 9 141 是第______行中自左向右第________个数 32（2）第 12 行中自左向右第 11 个数是_____________（3）第 199 行中自左向右第 8 个 数是______________ 23．如果依次用 a1 , a2 , a3 , a4 分别表示图(1)、(2)、(3)、(4)中三角形的个数，那么a1 ? 3, a2 ? 8, a3 ? 15, a4 ? ___________ ；如果按照，上述规律继续画图，那么 a9 与 a8 之间是：a9 ? a8 ? _______ ，又 an ? _______________ .猜想、探索规律型（提高）一、选择题 1． （2009 年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组 进行发芽试验；第 1 组取 3 粒，第 2 组取 5 粒，第 3 组取 7 粒??即每组所取种子数目比该 组前一组增加 2 粒，按此规律，那么请你推测第 n 组应该有种子数（ A、 2n ? 1 B、 2n ? 1 C、 2n D、 n ? 2 ）粒。2． （2009 年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数：第 1 个数：1 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ； 2 ? 2 ?第 2 个数：1 ? ?1 ? ? (?1) 2 ?? (?1)3 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ??1 ? ?； 3 ? 2 ?? 3 ?? 4 ?第 3 个数： ?? 第 n 个数：1 ? ?1 ? ? ( ?1) 2 ? ? ( ?1)3 ? ? ( ?1) 4 ? ? ( ?1) 5 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?； 4 ? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ?2 3 2 n ?1 ? 1 ? ?1 ? ? (?1) ?? (?1) ? ? ( ?1) ? ?1 ? ? ?1 ? 1? ? ?1 ? ?? ? ?． n ?1 ? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? 2n ?那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是（ A．第 10 个数 B．第 11 个数 C．第 12 个数 3． （2009 年重庆）观察下列图形，则第 n 个图形中三角形的个数是（ ?? 第1个 A． 2n ? 2 第2个 B． 4n ? 4 第3个 C． 4n ? 4 D． 4n ））D．第 13 个数4．(2009 年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、 6、 … 这样的数称为 3、 10 “三角形数” ， 而把 1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数” 从图 7 中可以发现，任何一个大于 1 ． 的 “正方形数” 都可以看作两个相邻 “三角形数” 之和． 下列等式中， 符合这一规律的是 （ ）? 4=1+3 9=3+6 图7 A．13 = 3+10 二、填空题 1．(2009 年四川省内江市)把一张纸片剪成 4 块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪 成 4 块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么 ， 这四 个数中______________可能是剪出的纸片数. 2． (2009 武汉)14． 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： 1 个图形有 6 个小圆， 第 第 2 个图形有 10 个小圆，第 3 个图形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆，??，依次 规律，第 6 个图形有 个小圆． B．25 = 9+16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+31 16=6+10? 第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形3． （2009 年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则 第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用 含 n 的代数式表示） ．（1）（2）（3）4． （2009 年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪 纸，则第 n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．?? （2） （3） （1） ?? 5． （2009 年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第 n 个 “中”字形图案需 根火柴棒.?6． （2009 年广州市）如图 7-①，图 7-②，图 7-③，图 7-④，?，是用围棋棋子按照某种规 律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第 5 个“广”字中的棋子个数是________，第 n 个 “广”字中的棋子个数是________７、 （2009 丽水市）如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底1 边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②， 然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三 2角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 n(n≥3) 块纸板的周长为 Pn，则 Pn-Pn-1= ▲ .1 ）后，得图③，④，?，记第 2? ① ② ③ ④8、（2009 年益阳市）图 8 是一组有规律的图案，第 1 个 图案由 4 个基础图形组成，第 2 ． 个图案由 7 个基础图形组成， ??， n (n 是正整数)个图案中由 第 ?? (2) (3)个基础图形组成．(1)9. 观察下表，回答问题： 序号 1 2 3 ?图形?第个图形中“△”的个数是“○”的个数的 5 倍． 个 ．10． （2009 年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角 形中白色三角形有第1个第2个第3个11． （2009 年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样 的规律摆下去，则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．12．(2009 年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的） ，请写出第 n 个图 ．． 中最小的三角形的个数有 ．． 个．第 1 个图第 2 个图第 3 个图第 4 个图13． (2009 年梅州市)如图 5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个， 第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，则第 4 幅图中有 个． 个，第 n 幅图中共有? 第1幅 第2幅 第3幅 图5? 第n幅14． （2009 年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是 1，2，3 根火柴棍时的正方 形．当边长为 n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 s ，则 s ＝ ． （用 n 的代数式表示 s ）?? n=1 n=2 n=3 ；15．观察： x ， ?2x 2 ， 4x3 ， ?8x 4 ，?根据你发现的规律，第 7 个单项式为 第 n 个单项式为 16．观察下列一组数： 数的第 k 个数是1 3 5 7 ， ， ， ，?? ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组 2 4 6 8．17．一组按一定规律排列的式子：－ a 2 ，a5 a8 a11 ，－ ， ，…， （a≠0）则第 n 个式子是_ 2 3 4_（n 为正整数） ． 18．观察下列等式： 1.42 ? 12 ? 3 ? 5 ；2.52 ? 22 ? 3 ? 7 ；3.62 ? 32 ? 3 ? 9 ；4.72 ? 42 ? 3 ?11 ；??则第 n（ n 是正整数）个等式为________. 19． （2009 恩施市）观察数表1?1 1 1 4 ?2 1 1 1 3 ?1 ?3 1 个 1 ?4 1 6 ?4 1 1 图 1 ?1 5 10 A 5 ?1 1 1 ?6 15形?20 15 ?61 1 1 第 1 1 1 3 根据表中数的排列规律，则字母 A 所表示的数是____________． 个20 ． 2009 肇图 ） 15 ． 观 察 下 列 各 式 ： （ 庆 ? ?1 ? ? ， ? ? ? ? ， 1? 3 2 ? 3 ? 3? 5 2 ? 3 5 ? 形11?1?11?1 1?1 1 1 1 1 1?1 1? ? ? ??? ? ? ? 1? ， ? ， 根 据 观 察 计 算 ： 5? 7 2 ? 5 7 ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)＝ ． 为正整数） （n21.(2009 年牡丹江市)有一列数 ? ， ， ?1 2 2 53 4 ?，那么第 7 个数是 ， ， 10 17第四列 10 11 12 13 22 第五列 17 18 19 20 21 ? ? ? ? ?． ．22．2009 年广西南宁） （ 正整数按图 8 的规律排列． 请写出第 20 行， 21 列的数字 第 第一列 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 ?? 1 4 9 16 25 第二列 2 3 8 15 24 第三列 5 6 7 14 23 图823． 将正整数依次按下表规律排成四列， 则根据规律， 2009 应排的位置是第 数 第 列． 第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 7 1 第2列 2 6 8 12 第3列 3 5 9 11 10 4 第4列行??24．(2009 年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 48，我们发现第 1 次输 出的结果为 24，第 2 次输出的结果为 12，??第 2009 次输出的结果为___________．x 为偶数输入 x1 2 x输出x 为奇数x +3（第 23 题） 25． （2009 年台州市）将正整数 1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第 4 行第 2 列的 数为 32，则 ① n? ；②第 i 行第 j 列的数为 第 1列 第 1行 第 2行 第 3行 1 第 2列 （用 i ， j 表示） ． 第 3列 … … … … … 第 n列n ?1 2n ? 1…2 n?22n ? 2…3 n?3 2n ? 3…n2n 3n…26． （2009 白银市）29．本试卷第 19 题为：若 a ? 数的方法比较 a、b 的大小． ． 27、计算并观察下列每组算式： ? ，b ? ，试不用将分数化小 ．． ?8 ? 8 ? ?7 ? 9 ?，??5 ? 5 ? ?4 ? 6 ?，??12 ? 12 ? ?11 ? 13 ?；（2）已知 25×25=625，那么 24×26= 个规律表示出来.；（3）从以上的过程中，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？请用代数式把这28、先观察图形，阅读相关文字后，再回答问题。 两条直线相交，最多有 1 个交点； 三条直线相交，最多有 3 个交点； 四条直线相交，最多有 6 个交点； …… …… 个. 问题： 条直线相交， 10 最多有几个交点？n 条直线最多有几个交点？ 29、观察下列图形，则第 n 个图形中三角形的个数是 ?? 第1个 第2个 第3个30、用同样规格的黑、白两色的正方形方块铺成如图 3.1.1 图， 用 n 的代数式表示出第 n 幅图中黑色正方形块数 白色正方形块数n＝1 n＝2 n＝3图 3.1.131、一组按一定规律排列的式子：－ a 2 ， _（n 为正整数） ．a5 a8 a11 ，－ ， ，…， （a≠0）则第 n 个式子是_ 2 3 4猜想、探索规律型一、选择题 1． （2009 年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组 进行发芽试验；第 1 组取 3 粒，第 2 组取 5 粒，第 3 组取 7 粒??即每组所取种子数目 比该组前一组增加 2 粒，按此规律，那么请你推测第 n 组应该有种子数（ A、 2n ? 1 B、 2n ? 1 C、 2n ）粒。 D、 n ? 22． （2009 年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数： 第 1 个数：1 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ； 2 ? 2 ?第 2 个数：1 ? ?1 ? ? (?1) 2 ?? (?1)3 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ??1 ? ?； 3 ? 2 ?? 3 ?? 4 ?1 ? ?1 ? ? ( ?1) 2 ? ? ( ?1)3 ? ? ( ?1) 4 ? ? ( ?1) 5 ? 第 3 个数： ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?； ? ?1 ? 4 ? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ??? 第 n 个数：2 3 2 n ?1 ? 1 ? ?1 ? ? (?1) ?? (?1) ? ? ( ?1) ? ?1 ? ? ?1 ? 1? ? ?1 ? ?? ? ?． n ?1 ? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? 2n ?那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是（ A．第 10 个数 B．第 11 个数 C．第 12 个数 D．第 13 个数 ） 3． （2009 年重庆）观察下列图形，则第 n 个图形中三角形的个数是（ ?? 第1个 A． 2n ? 2 B． 4n ? 4 第2个 第3个 D． 4n）C． 4n ? 44． (2009 年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、 6、 … 这样的数称为 3、 10 “三角形数” ， 而把 1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数” 从图 7 中可以发现，任何一个大于 1 ． 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的 是（ ）? 4=1+3 9=3+6 图7 A．13 = 3+10 C．36 = 15+21 二、填空题 1．(2009 年四川省内江市)把一张纸片剪成 4 块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪 成 4 块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么 ， 这四个数中______________可能是剪出的纸片数. 2． (2009 武汉)14． 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： 1 个图形有 6 个小圆， 第 第 2 个图形有 10 个小圆，第 3 个图形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆，??，依 次规律，第 6 个图形有 个小圆． B．25 = 9+16 D．49 = 18+31 16=6+10? 第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形3． （2009 年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则 第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖__________块 （用含 n 的代数式表示） ．（1）（2）（3）4． （2009 年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪 纸，则第 n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．?? （2） （3） （1） ?? 5． （2009 年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第 n 个 “中”字形图案需 根火柴棒.?6． （2009 年广州市）如图 7-①，图 7-②，图 7-③，图 7-④，?，是用围棋棋子按照某种规 律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第 5 个“广”字中的棋子个数是________，第 n 个“广”字中的棋子个数是________７、 （2009 丽水市）如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底1 边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的 2 1 正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 ）后，得图③，④，?， 2记第 n(n≥3) 块纸板的周长为 Pn，则 Pn-Pn-1= ▲ .? ① ② ③ ④8、 （2009 年益阳市）图 8 是一组有规律的图案，第 1 个 图案由 4 个基础图形组成，第 2 个 图案由 7 个基础图形组成，??，第 n (n 是正整数)个图案中由 成． ?? (2) 图8 (3)个基础图形组(1)9. 观察下表，回答问题： 序号 1 2 3 ?图形?第个图形中“△”的个数是“○”的个数的 5 倍． 个 ．10． （2009 年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角 形中白色三角形有第1个第2个第3个11． （2009 年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样 的规律摆下去，则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．12．(2009 年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的） ，请写出第 n 个图 ．． 中最小的三角形的个数有 ．． 个．第 1 个图第 2 个图第 3 个图第 4 个图13． (2009 年梅州市)如图 5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个， 第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，则第 4 幅图中有 有 个． 个，第 n 幅图中共? 第1幅 第2幅 第3幅 图5? 第n幅14． （2009 年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是 1，2，3 根火柴棍时的正方 形．当边长为 n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 s ，则 s ＝ ★ ． （用 n 的代数式表示 s ）?? n=1 n=2 n=315． （2009 年青海）观察下面的一列单项式： x ， ?2x 2 ， 4x3 ， ?8x 4 ，?根据你发现的规 律，第 7 个单项式为 ；第 n 个单项式为1 3 5 7 16． （2009 年龙岩） 观察下列一组数： ， ， ， ， ?? ， 它们是按一定规律排列的． 那 2 4 6 8么这一组数的第 k 个数是．17． （2009 年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：－ a 2 ， 则第 n 个式子是_▲_（n 为正整数） ． 18． （2009 重庆綦江）观察下列等式： 1.42 ? 12 ? 3 ? 5 ； 2.52 ? 22 ? 3 ? 7 ；a5 a 8 a11 ，－ ， ，…， （a≠0） 2 3 43.62 ? 32 ? 3 ? 9 4.72 ? 42 ? 3 ?11 ；???? 则第 n （ n 是正整数）个等式为________. 19． （2009 恩施市）观察数表 1 1 4 ?2 1 1 1 ?1 3 ?3 1 个 1 ?4 1 6 ?4 1 1 图 1 ?1 5 10 A 5 ?1 1 1 ?6 15形?20 15 ?61 1 1 第 1 1 1 1?1根据表中数的排列规律，则字母 A 所表示的数是____________． 20 ． 2009 肇 庆 ） 15 ． 观 察 下 列 各 式 ： （1 1? 1? 1 1?1 1? ? ?1 ? ? ， ? ? ? ? ， 1? 3 2 ? 3 ? 3? 5 2 ? 3 5 ?1 1 1 1 1 1?1 1? ? ? ??? ? ? ? ? ，?，根据观察计算： 5? 7 2 ? 5 7 ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)＝ ． 为正整数） （n21.(2009 年牡丹江市)有一列数 ? ， ， ?1 2 2 53 4 ?，那么第 7 个数是 ， ， 10 17第四列 10 11 12 13 22 第五列 17 18 19 20 21 ? ? ? ? ?． ．22．2009 年广西南宁） （ 正整数按图 8 的规律排列． 请写出第 20 行， 21 列的数字 第 第一列 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 ?? 1 4 9 16 25 第二列 2 3 8 15 24 第三列 5 6 7 14 23 图823． （2009 年绵阳市）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数 2009 应排的位置是第 行第 第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 ?? 24．(2009 年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 48，我们发现第 1 次输 出的结果为 24，第 2 次输出的结果为 12，??第 2009 次输出的结果为___________． 7 1 列． 第2列 2 6 8 12 第3列 3 5 9 11 10 4 第4列x 为偶数输入 x1 2 x输出x 为奇数x +3（第 23 题） 25． （2009 年台州市）将正整数 1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第 4 行第 2 列的 数为 32，则 ① n? 第 1行 第 2行 第 3行 ；②第 i 行第 j 列的数为 第 1列 1 第 2列 第 3列 （用 i ， j 表示） ． … … … … … 第 n列n ?1 2n ? 1…2 n?22n ? 2…3 n?3 2n ? 3…n2n 3n…26． （2009 白银市）29．本试卷第 19 题为：若 a ? 数的方法比较 a、b 的大小． ． ，b ? ，试不用将分数化小 ．．
1、 【答案】 10i ? j ? 10（第一空 2 分， 10， 第二空 3 分； 10(i ? 1) ? j 给 3 分， n(i ? 1) ? j 答 答 给2分 2、解：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分．n n ?1 ． ? m m ?1 n n ?1 若 m、n 是任意正实数，且 m＞n，则 ． ? m m ?1若 m、n 是任意正整数，且 m＞n，则 若 m、n、r 是任意正整数，且 m＞n；或 m、n 是任意正整数，r 是任意正实数，且 m＞n，观察 本题中数 a、b 的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论． 则n n?r ． ? m m?r若 m、n 是任意正实数，r 是任意正整数，且 m＞n；或 m、n、r 是任意正实数，且 m＞n， 则n n?r ? m m?r探索规律练习题一 细心观察，巧妙发现！ 班级： 学号： 姓名：1． （2009 年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水 稻种子分组进行发芽试验；第 1 组取 3 粒，第 2 组取 5 粒，第 3 组取 7 粒??即 每组所取种子数目比该组前一组增加 2 粒，按此规律，那么请你推测第 n 组应该 有种子数（ A、 2n ? 1 ）粒。 B、 2n ? 1 C、 2n D、 n ? 2 ）2． （2009 年重庆）观察下列图形，则第 n 个图形中三角形的个数是（?? 第1个 第2个 第3个A． 2n ? 2 B． 4n ? 4 C． 4n ? 4 D． 4n 3．(2009 武汉)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1 个图形有 6 个小圆，第 2 个图形有 10 个小圆，第 3 个图形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆，??，依次规律，第 6 个图形有 个小圆．? 第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形4． （2009 重庆綦江）观察下列等式： 1.42 ? 12 ? 3 ? 5 ； 2.52 ? 22 ? 3 ? 7 ； 3.62 ? 32 ? 3 ? 9 4.72 ? 42 ? 3 ?11 ； ???? 则第 n （ n 是正整数）个等式为________.1 2 3 4 5．(2009 年牡丹江市)有一列数 ? ， ， ， ， ?，那么第 7 个数是 ? 2 5 10 17．6. 2009 年娄底） （ 王婧同学用火柴棒摆成如下的三个 “中” 字形图案， 依此规律， 第 n 个“中”字形图案需 根火柴棒.?7． （2009 恩施市）观察数表1 1 4 ?2 1 1 1 3 ?3 ?1 1 个 1 ?4 1 6 ?4 1 1 图 1 ?1 5 10 A 5 ?1 1 1 ?6 15形?20 15 ?61 1 1 第 1 1 1 3 个 第?1根据表中数的排列规律，则字母 A 所表示的数是____________． 图形 1 8． （2009 年益阳市）图 6 是一组有规律的图案，第 1 个 图案由 4 个基础图形组 成，第 2 个图案由 7 个基础图形组成，??，第 n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成． ?? (2) 图6 (3)(1)9． （2009 年广州市）如图 7-①，图 7-②，图 7-③，图 7-④，?，是用围棋棋子 按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第 5 个“广”字中的棋子个 数是________，第 n 个“广”字中的棋子个数是________10 ． 2009 肇 庆 ） 观 察 下 列 各 式 ： （1 1?1 1? 1 1? 1? ? ? ? ? ， ? ?1 ? ? ， 3? 5 2 ? 3 5 ? 1? 3 2 ? 3 ?1 1?1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ，?，根据观察计算： ? ? ?? ? 5? 7 2 ? 5 7 ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) ＝ ． 为正整数） （n11.（2009 年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 ．第1个第2个第3个12.（2009 年广西梧州）下图是用火柴棍摆成的边长分别是 1，2，3 根火柴棍时 的正方形．当边长为 n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 s ， 则 s＝ ． （用 n 的代数式表示 s ）??n=1n=2n=313．(2009 年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 48，我们发现 第 1 次输出的结果为 24，第 2 次输出的结果为 12，??第 2009 次输出的结果为 ___________．x 为偶数输入 x1 x 2输出x 为奇数x +3（第 13 题）14． （2009 年湖北荆州）将四张花纹面相同的扑克牌的花纹面都朝上，两张一叠 放成两堆不变．若每次可任选一堆的最上面的一张翻看（看后不放回） ，并全部 看完，则共有 种不同的翻牌方式． 15． （2009 年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸 上所贴的剪纸，则第 n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．?? （1） （2） （3） ??16.（2009 年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式 铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第 n 个图形中需要黑色 瓷砖__________块（用含 n 的代数式表示） ．（1）（2）（3）17．观察下表，回答问题： 序号 1 2 3 ?图形?第个图形中“△”的个数是“○”的个数的 5 倍．18． （2009 年绵阳市）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规 律，数 2009 应排的位置是第 第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 ?? 7 1 第2列 2 6 8 12 行第 第3列 3 5 9 11 10 4 列． 第4列
探索规律练习题二 班级： 学号： 姓名：1．(2009 年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10 … 这样的数称为 “三角形数” ，而把 1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数” 从图 1 中可以 ． 发现， 任何一个大于 1 的 “正方形数” 都可以看作两个相邻 “三角形数” 之和． 下 列等式中，符合这一规律的是（ ）? 4=1+3 9=3+6 图1 16=6+10A．13 = 3+10 C．36 = 15+21B．25 = 9+16 D．49 = 18+31a5 a8 a11 ，－ ， ，…， 2 3 42.（2009 年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：－ a 2 ， （a≠0）则第 n 个式子是_ 3.(2009 成 都 ) 已 知 an ? _（n 为正整数） ．1 (n ? ， ， 3， . 记 . b1 ? 2(1 ? a1 ) ， 1 2 ， . ) 2 (n ? 1 )b2 ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ，?， bn ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 )...(1 ? an ) ，则通过计算推测出 bn 的表达式 bn ＝_______．(用含 n 的代数式表示)4． （2009 年广西南宁）正整数按图 2 的规律排列．请写出第 20 行，第 21 列的 数字 ．第一列 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 ?? 1 4 9 16 25 第二列 2 3 8 15 24 第三列 5 6 7 14 23 图2 第四列 10 11 12 13 22 第五列 17 18 19 20 21 ? ? ? ? ?5． （2009 年宜宾）如图，菱形 ABCD 的对角线长分别为 a、b ，以菱形 ABCD 各边 的中点为顶点作矩形 A1B1C1D1 ，然后再以矩形 A1B1C1D1 的中点为顶点作菱形 A2B2C2D2，??，如此下去，得到四边形 A09D2009 的面积用含 a、b 的代数式 表示为 ．D D1 D3 A2 A A3 A1 B2 B 第20题图 3 B3 B1 D2 C3 C2 C C16． （2009 年青海）观察下面的一列单项式： x ， ?2x 2 ， 4x3 ， ?8x 4 ，?根据你 发现的规律，第 7 个单项式为 ；第 n 个单项式为 . 7． （2009 年台州市）将正整数 1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第 4 行 第 2 列的数为 32，则 ① n? ；②第 i 行第 j 列的数为 （用 i ， j 表示） ． 第 1行 第 2行 第 3行 … 第 1列 1 n ?1 2n ? 1 … 第 2列2 n?2 2n ? 2 …第 3列 3 n?3 2n ? 3 …… … … … …第 n列 n2n 3n …8.（2009 丽水市）如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿 图①的底边剪去一块边长为 1 的正三角形纸板后得到图②， 然后沿同一底边依次2剪去一块更小的正三角形纸板 （即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 1 ）2后，得图③，④，?，记第 n(n≥3) 块纸板的周长为 Pn，则 Pn-Pn-1=.? ① ② ③ ④9． (2009 年四川省内江市)把一张纸片剪成 4 块， 再从所得的纸片中任取若干块， 每块又剪成 4 块， 像这样依次地进行下去， 到剪完某一次为止。 那么 2007， 2008，
这四个数中______________可能是剪出的纸片数。}