河北承德二中2018届高三数学上学期第一次月考试卷（理科含解析）
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河北承德二中2018届高三数学上学期第一次月考试卷（理科含解析）
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文章来源 天添 资源网 w w w.tT z Y w.C oM 高三数学（理科）第Ⅰ卷一、：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则& （&&& ）A.&&&&& B.&&&&& C.&&&&& D.& 【答案】C【解析】由A中不等式变形得：(x−2)(x+1)&0，解得：x&−1,或x&2,即A={xOx&−1或x&2}，∵B={x|x&0}，∴A∩B={x|x&2}=(2,+∞).本题选择C选项.2. 若复数 满足 ，则复数 的实部与虚部之和为（&&& ）A. -2&&& B. 2&&& C. -4&&& D. 4【答案】B【解析】由题意可得： ，则实部与虚部之和为 .本题选择B选项.3. 在 中，若 ，则 （&&& ）A.&&&&& B.&&&&& C.&&&&& D.& 【答案】A【解析】由题意可得： ，则 。本题选择A选项.4.& 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 右支上一点，且 ，则 的周长为（&&& ）A. 15&&& B. 16&&& C. 17&&& D. 18【答案】D【解析】由双曲线的方程可知： ，则 ，据此可知 的周长为 .本题选择D选项.点睛：双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验5. 用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于 的概率为（&&& ）A.&&&&& B.&&&&& C.&&&&& D.& 【答案】C【解析】由题意可得：每个实数都大于 的概率为 ，则3个实数都大于 的概率为 .本题选择C选项.6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有 个面是矩形，体积为 ，则（&&& ）&A.&&&&& B.&&&&& C.&&&&& D.& 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，底面为俯视图所示，高为2，故 .本题选择D选项.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．7. 若 ，则 （&&& ）A.&&&&& B.&&&&& C.&&&&& D.& 【答案】C【解析】由题意可得： ，据此整理可得： ，则： .本题选择C选项.点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．8. 设函数 的导函数为 ，若 为偶函数，且在 上存在极大值，则 的图象可能为（&&& ）A.&&&&& B.& C.&&&&& D.& 【答案】C【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B. D，又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意；本题选择C选项.9. 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（&&& ）&&①&②&③A& & & B& & & C& & & D& & &
【答案】B【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环： ，第2次循环： ，第3次循环： ，…依此类推,第7次循环： ，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：i&#?，执行框②应填入： ，③应填入：i=2i.本题选择B选项.点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．10. 已知函数 ，点 是平面区域 内的任意一点，若 的最小值为-6，则 的值为（&&& ）A. -1&&& B. 0&&& C. 1&&& D. 2【答案】A【解析】由函数的解析式可得： ，结合题意可得目标函数 在给定的可行域内的最小值为 ，可行域的顶点坐标为 ，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 处取得最小值，即： ，解得： .本题选择A选项.点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值11. 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围为（&&& ）A.&&&&& B.& C.&&&&& D.& 【答案】B【解析】 &当& 仅与 轴交于 时， 与 轴有三个交点，满足题意，此时与 满足 ；当& 与 轴有两个交点， 与 轴有两个时，满足题意，此时 满足 ；当& 与 轴有三个交点， 与 轴有一个时，满足题意，此时 满足 ；故选C。点睛：& 与 在& 与 轴的交点都是三个，本题的分段函数与 轴交点为四个，需分情况讨论： 与 轴交点个数：0，1，2，3四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了 的图象。12. 直线 与抛物线 相交于 两点， ，给出下列4个命题：&的重心在定直线 上； 的最大值为 ； 的重心在定直线 上； 的最大值为 .其中的真命题为（&&& ）A.&&&&& B.&&&&& C.&&&&& D.& 【答案】A【解析】联立直线与抛物线的方程整理可得： ，结合题意可得： ，且： ，则△ABC的重心坐标为 ， 的重心在定直线 上；由弦长公式可得： ，据此可得： ,令 ，则 ，据此可得函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， ，据此可得： 的最大值为 ；本题选择A选项.第Ⅱ卷二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 在 中，若 ，则 __________．【答案】 【解析】由正弦定理可得： ，不妨设 ，则 .14. 若 ，则 __________．【答案】593【解析】由题意可得：∴log3x=4,log2y=9，∴x=34=81,y=29=512，∴x+y=81+512=593，故答案为：593.15. 若 的展开式中 的系数为20，则 __________．【答案】 【解析】(x+a)(1+2x)5的展开式中x3的系数为&，即40+80a=20，解得 .16. 已知一个四面体 的每个顶点都在表面积为 的球 的表面上，且 ，则 __________．【答案】 【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为 ，由题意可得：&........................则球的表面积： ，结合 解得： .&三、 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 17. 在等差数列 中， ，公差 .记数列 的前 项和为 .（1）求 ；（2）设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求 .【答案】（1） （2） 【解析】分析：(1)由题意可求得数列的首项为1，则数列的前n项和 .(2)裂项可得 ，且 ，据此可得 .试题解析：（1）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， .（2）若 成等比数列，则 ，即 ，∴ ,∵ ，∴ .点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 如图，在底面为矩形的四棱锥 中， .&（1）证明：平面 平面 ；（2）若异面直线 与 所成角为60°， ，求二面角 的大小.【答案】（1）见解析（2）60°【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定理即可证得平面 平面 .(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角 的大小是 .试题解析：（1）证明：由已知四边形 为矩形，得 ，∵ ， ，∴ 平面 .又 ，∴ 平面 .∵ 平面 ，∴平面 平面 .（2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .&设 ， ，则 ， ， ， ，所以 ， ，则 ，即 ，解得 （ 舍去）.设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取 .设 是平面 的法向量，则 即 ，可取 ，所以 ，由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的大小为 .19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量 （千辆）&2&3&4&5&8每天一辆车平均成本 （元）&3.2&2.4&2&1.9&1.7
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： ，方程乙： .（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注： 称为相应于点 的残差（也叫随机误差））；
租用单车数量 （千辆）&2&3&4&5&8每天一辆车平均成本 (元)&3.2&2.4&2&1.9&1.7模型甲&估计值& &&2.4&2.1&&1.6&残差 &&0&-0.1&&0.1模型乙&估计值 &&2.3&2&1.9&&残差 &&0.1&0&0&
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 及 ，并通过比较 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.【答案】（1）①见解析②模型乙的拟合效果更好（2）投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.【解析】试题分析（1）①通过对回归方程的计算可得两种模型的估计值 ，代入 ，即可得残差；②计算可得 可知模型乙拟合效果更好；（2）分别计算投放 千辆和一万辆时该公司一天获得的总利润，即可得结论。（1）①经计算，可得下表：&② ， ，&，故模型乙的拟合效果更好.（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为 ，所以一天的总利润为 （元）若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为 （元），每辆车一天收入期望为 ，所以一天的总利润为 （元）所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.20. 如图，设椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆 的左、右顶点 为右焦点.直线 与 的交点到 轴的距离为 .过点 作 轴的垂线， 为上异于点 的一点，以 为直径作圆 .&（1）求 的方程；（2）若直线 与 的另一个交点为 ，证明：直线 与圆 相切.【答案】（1） （2）见解析【解析】试题分析：(1)结合题意可求得 ， ，则 的方程为 .(2)由题意可得，直线与圆相切时，直线的斜率为 ，结合(1)中求得的椭圆方程即可证得题中的结论.试题解析：（1）解：由题可知， ，∴ ， ，设椭圆 的方程为 ，由 ，得 ，∴ ， ， ，故 的方程为 .（2）证明：由（1）可得： ，设圆 的圆心为 ，则 ，圆 的半径为 ，直线 的方程为 .设过 与圆 相切的直线方程为 ，则 ，整理得： ，由 ，得 ，又∵ ，∴直线 与圆 相切.21. 已知函数 的图象在 处的切线过点 .（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示）；（2）若 ，证明： .【答案】（1） （2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得： .结合导函数研究函数的单调性可得 .(2)由题意结合(1)的结论有 ，构造函数 ，结合函数的特征即可证得题中的结论.试题解析：（1）由 ，得 ，的方程为 ，又过点 ，∴ ，解得 .∵ ，∴ ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.故 .（2）证明：∵ ，∴ ，&，∴ 令 ， ， ，令 得 ；令 得 .∴ 在 上递减，在 上递增，∴ ，∴ ， ，解得： .（二）选考题共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，点 .以极点 为原点，以极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线 （为参数）与曲线 交于 两点，且 .（1）若 为曲线 上任意一点，求 的最大值，并求此时点 的极坐标；（2）求 .【答案】（1） 最大值 ， （2） 【解析】试题分析：（1）由两角和的正弦公式可得 ，可以求出 的最大值及此时点的极坐标方程；（2）将曲线 转化成普通方程，将的参数方程代入 ，由的几何意义可得 的大小，可得结论。（1）∵ ， ，∴当 时， 取得最大值 ，此时， 的极坐标为 .（2）由 ，得 ，即 ，故曲线 的直角坐标方程为 .将 代入 并整理得： ，解得 ，∵ ，∴由的几何意义得， ， ，故 .点睛：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意& 的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数 .求不等式 的解集；若函数 的图象在 上与 轴有3个不同的交点，求 的取值范围.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）本题可转化为含两个绝对值的不等式，分三种情况去绝对值即可；（2）本题转化为当 有三个不同交点时， 的范围，可作 的图象，得 的范围。（1）由 ，得 ，∴ 或 或 ，解得 ，故不等式 的解集为 .（2）&& ，当 时，&& ，当且仅当 ，即 时取等号，∴ ，当 时， 递减，由 ，得 ，又 ，结合 的图像可得 .&文章来源 天添 资源网 w w w.tT z Y w.C oM
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y=ax^2+bx+cy(0)=c=4y(1)=a+b+c = a+b+4 =3 (1)y(-1)=a-b+c = a-b+4=4 (2)(1)+(2)2a+8=7a=-1/2b=-1/2
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函数y=3sin(2x-π/3),x属于[π/3,3π/4]的值域为函数y=3sin(2x-π/3),x属于[π/3,3π/4]的值域是
下面有1到100的序数词,以后用到就打开这个网页看吧,不用去找了.第1 first 1st 　　第2 second 2nd 　　第3 third 3rd 　　第4 fourth 4th 　　第5 fifth 5th 　　第6 sixth 6th 　　第7 seventh 7th 　　第8 eighth 8th 　　第9 ninth 9th 　　第10 tenth 10th 　　第11 eleventh 11th 　　第12 twelfth 12th 　　第13 thirteenth 13th 　　第14 fourteenth 14th 　　第15 fifteenth 15th 　　第16 sixteenth 16th 　　第17 seventeenth 17th 　　第18 eighteenth 18th 　　第19 nineteenth 19th 　　第20 twentieth 20th 　　第21 twenty-first 21st 　　第22 twenty-second 22nd 　　第23 twenty-third 23rd 　　第24 twenty-fourth 24th 　　第25 twenty-fifth 25th 　　第26 twenty-sixth 26th 　　第27 twenty-seventh 27th 　　第28 twenty-eighth 28th 　　第29 twenty-ninth 29th 　　第30 thirtieth 30th 　　第31 thirty-first 31st 　　第32 thirty-second 　　第33 thirty-third 　　第34 thirty-fourth 　　第35 thirty-fifth 　　第36 thirty-sixth 　　第37 thirty-seventh 　　第38 thirty-eighth 　　第39 thirty-ninth 　　第40 fortieth 　　第41 forty-first 　　第42 forty-second 　　第43 forty-third 　　第44 forty-fourth 　　第45 forty-fifth 　　第46 forty-sixth 　　第47 forty-seventh 　　第48 forty-eighth 　　第49 forty-ninth 　　第50 fiftieth 　　第51 fifty-first 　　第52 fifty-second 　　第53 fifty-third 　　第54 fifty-fourth 　　第55 fifty-fifth 　　第56 fifty-sixth 　　第57 fifty-seventh 　　第58 fifty-eighth 　　第59 fifty-ninth 　　第60 sixtieth 　　第61 sixty-first 　　第62 sixty-second 　　第63 sixty-third 　　第64 sixty-fourth 　　第65 sixty-fifth 　　第66 sixty-sixth 　　第67 sixty-seventh 　　第68 sixty-eighth 　　第69 sixty-ninth 　　第70 seventieth 　　第71 seventy-first 　　第72 seventy-second 　　第73 seventy-third 　　第74 seventy-fourth 　　第75 seventy-fifth 　　第76 seventy-sixth 　　第77 seventy-seventh 　　第78 seventy-eighth 　　第79 seventy-ninth 　　第80 eightieth 　　第81 eighty-first 　　第82 eighty-second 　　第83 eighty-third 　　第84 eighty-fourth 　　第85 eighty-fifth 　　第86 eighty-sixth 　　第87 eighty-seventh 　　第88 eighty-eighth 　　第89 eighty-ninth 　　第90 ninetieth 　　第91 ninety-first 　　第92 ninety-second 　　第93 ninety-third 　　第94 ninety-fourth 　　第95 ninety-fifth 　　第96 ninety-sixth 　　第97 ninety-seventh 　　第98 ninety-eighth 　　第99 ninety-ninth 　　第100 one hundredth
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据魔方格专家权威分析，试题“抛物线的图象经过（0，3），（-2，-5）和（1，4）三点，则它的解析式为..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“抛物线的图象经过（0，3），（-2，-5）和（1，4）三点，则它的解析式为..”考查相似的试题有：
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