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&&不定积分讲解
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∫sec xdx的不定积分求法,
元_爆_用011d
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方法多了.第一种：∫ secx dx= ∫ secx · (secx + tanx)/(secx + tanx) dx= ∫ (secxtanx + sec²x)/(secx + tanx) dx= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)= ln|secx + tanx| + C第二种：∫ secx dx= ∫ 1/cosx dx = ∫ cosx/cos²x dx = ∫ dsinx/(1 - sin²x)= (1/2)∫ [(1 - sinx) + (1 + sinx)]/[(1 - sinx)(1 + sinx)] dsinx= (1/2)∫ [1/(1 + sinx) + 1/(1 - sinx)] dsinx= (1/2)[ln|1 + sinx| - ln|1 - sinx|] + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= ln| √(1 + sinx)/√(1 - sinx) | + C= ln| [√(1 + sinx)]²/√[(1 - sinx)(1 + sinx)] | + C= ln| (1 + sinx)/cosx | + C= ln|secx + tanx| + C第三种：∫ secx dx = ∫ 1/cosx dx= ∫ 1/sin(x + π/2) dx,或者化为1/sin(π/2 - x)= ∫ 1/[2sin(x/2 + π/4)cos(x/2 + π/4)] dx,分子分母各除以cos²(x/2 + π/4)= ∫ sec²(x/2 + π/4)/tan(x/2 + π/4) d(x/2)= ∫ 1/tan(x/2 + π/4) d[tan(x/2 + π/4)]= ln|tan(x/2 + π/4)| + C他们的答案形式可以互相转化的.
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∫sec xdx=∫1/cosxdx=∫cosx/cos^2xdx=∫1/(1-sin^2x)dsinx=1/2∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]dsinx=1/2ln[(1+sinx)/(1-sinx)]+C
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