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高一数学问题求教
已知函数f(t)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.
(1)若t为正整数，求f(t)的表达式；
(2)满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列。若有，求出次数列，若没有，说明理由。
(3)若t为正整数且t≥4，f(t)≥mt^+(4m+1)t+3m恒成立，求m的最大值。
解：(1)令x为正整数n y为1
则f(n+1)=f(n)+1+3+3n(n+3)=f(n)+3n^2+9n+4
所以 f(n+1)-f(n)=3n^2+9n+4
f(n)-f(n-1)=3(n-1)^2+9(n-1)+4
f(2)-f(1)=3+9+4
f(n+1)-1=n(n+1)(2n+1)/2+9/2n(n+1)+4n
令t=n+1 则f(t)=(t-1)t(2t-1)/2+9/2(t-1)t+4(t-1)+1
即 f(t)=t^3-3/2t^2+1/2t+9/2t^2-9/2t+4t-4+1
=t^3+3t^2-3
(2)解f(t)=t 则t^3+3t^2-t-3=0
==&t^2(t+3)-(t+3)=0
==&(t-1)(t+1)(t+3)=0
因为 此式之中t为正整数
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3 令x=y=0 得
令x=-y得 -3=f(x)+f(-x)-6x^2+3
所以 当 t为负整数时
f(t)=-f(-t)+6t^2-6=t^3-3t^2+3+6t^2-6=t^3+3t^2-3
即f(t)=t^3+3t^2-3 同理可得
t=-1 和 t=-3
显然 -3，-1，1 可构成等差数列
（3）f(t)≥mt^2+(4m+1)t+3m
所以 m(t^2+4t+3)m(t+1)(t+3)
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