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函数的定义域测试题(含答案)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
函数的定义域测试题(含答案)
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性
二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。
三. 教学重点：函数性质的运用．
四. 教学难点：函数性质的理解。
［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（ 注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函数）（4）函数的单调性：特别关注 的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法： （3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（－x）的关系。f（x） －f（－x）＝0& f（x） ＝f（－x）& f（x）为偶函数；f（x）+f（－x）＝0& f（x） ＝－f（－x）& f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
二、典型例题分析例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由原理可知，A到B的映射的个数共有N＝2&#26;2＝8个。
例2. 线段|BC|＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。解：1°若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，&x2＝22+y2－4ycos∠AMB& ①（6－x）2＝22+y2－4ycos（180°－∠AMB） ②①+② x2+（6－x）2＝2y2+8& ∴y2＝x2－6x+14又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，∴ 又三点A、B、C能构成三角形&&&&&∴1＜x＜52°若三点A、B、C共线，由题意可知，x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x& x＝5综上所述：&&&&& 说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。
例3. 设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。 解：（1）当x≤－1时，设f（x）＝x+b∵射线过点（－2，0）&& ∴0＝－2+b即b＝2，∴f（x）＝x+2&& （2）当－1&x&1时，设f（x）＝ax2+2&& ∵抛物线过点（－1，1），∴1＝a&#8226;（－1）2+2，即a＝－1∴f（x）＝－x2+2 （3）当x≥1时，f（x）＝－x+2综上可知：f（x）＝ 作图由读者来完成。
例4. 求下列函数的定义域（1）&&&&&&&&&&&&& （2） 解：（1） ∴x≥4或x≤－1且x≠－3，即函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3，－1）∪[4，+∞]（2） ，则 ∴ 0&x2－3x－10≤8，即&∴－3≤x＜－2或5＜x≤6即定义域为[－3，－2]∪（5，6）说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。变、已知函数f（x）的定义域为[－1，4]，求 的定义域。解： ，则 又& ，∴ 或 则 或 即为所求函数的定义域。说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把 看成是由y＝f（u）、 两个函数复合而成的，因为－1≤u＜4，则 ，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。
例5. 若对于任何实数x，不等式： 恒成立，求实数a的取值范围。解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为&&&&&&&&&&&&&& 5－3x&&&& x＜1&&&& f（x）＝&&& 3－x&&&&& 1≤x≤2&&&&&&&&&&&&& 3x－5&&&& x＞2作出y＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1。说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。
例6. 求函数 的值域。解：令 ，则13－4x＝t2& ∴ 该二次函数的对称轴为t＝1，又t≥0由二次函数的性质可知y≤4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）。说明：对于所有形如 的函数，求值域时我们可以用换元法令&转化为关于t的二次函数在区间[0，+∞）上的最值来处理。这里要注意t≥0的范围不能少。如：已知f（x）的值域为 ，试求函数 的值域。该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数 的值域，若令 ，则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围：－2≤x≤2，则－1≤ ≤1的话，我们就可以用三角换元：令& θ∈[0，π]，问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条件，因为当θ取遍0到π之间的每一个值时， 恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。
例7. 求下列函数的最值。（1）&&&&& &&（2） 解：（1）先求出函数的定义域： ∴－2≤x≤7，又在区间[－2，7]上函数 单调递增， 单调递增，所以 在定义域内也单调递增。当x＝－2时， ；当x＝7时， （2）∵ ≥0 ∴y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：y2＝x2（1－x2）≤ ，又y≥0& ∴ ， 。说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。
例8. 设a＞0，x∈[－1，1]时函数y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。解： ∵a＞0，∴& ＜0，又定义域为[－1，1]∴x＝1时 ，即－1－a+b＝－1& ∴a－b＝0下面分a的情形来讨论：1°当0＞ ≥－1即0＜a≤2时，当 时， 即 ，则&&&&&∴a2+4a－4＝0， 又a∈（0，2） ∴ ，则 2°当 ＜－1，即a＞2时，当x＝－1时 ∴－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b& ∴a＝1& 与a＞2矛盾，舍去综上所述：x＝1时， ， 时 。
例9. 已知函数y＝f（x）＝& （a，b，c∈R，a&0，b&0）是奇函数，当x&0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f（1）&&&& （1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即 ∴c＝0，∵a&0，b&0，x&0，∴f（x）＝ ≥2 ，当且仅当x＝ 时等号成立，于是2 ＝2，∴a＝b2，由f（1）＜ 得 ＜ 即 ＜ ，∴2b2－5b+2＜0，解得 ＜b＜2，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，∴f（x）＝x+&&& （2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的图象上，则 消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1±&&& ∴y＝f（x）的图象上存在两点（1+ ，2 ），（1－ ，－2 ）关于（1，0）对称&&
例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2θ－3）+f（4m－2mcosθ）&f（0）对所有θ∈［0， ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由&& 解：∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f（x）是R上的增函数&& 于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3）&f（2mcosθ－4m），即cos2θ－3&2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ+2m－2&0&& 设t＝cosθ，则问题等价地转化为函数g（t）＝t2－mt+2m－2＝（t－ ）2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正&& ∴当 &0，即m&0时，g（0）＝2m－2&0 m&1与m&0不符；当0≤ ≤1时，即0≤m≤2时，g（m）＝－ +2m－2&0&4－2 &m&4+2 ，∴4－2 &m≤2&& 当 &1，即m&2时，g（1）＝m－1&0 m&1&& ∴m&2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m&4－2&&& 另法（仅限当m能够解出的情况）cos2θ－mcosθ+2m－2&0对于θ∈［0， ］恒成立，等价于m&（2－cos2θ）/（2－cosθ） 对于θ∈［0， ］恒成立∵当θ∈［0， ］时，（2－cos2θ）/（2－cosθ） ≤4－2 ，∴m&4－2&&&
例11. 设a为实数，记函数f（x）＝a 的最大值为g（a）。（1）设t＝ ，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）求满足g（a）＝g（ ）的所有实数a.解：（1）∵t＝ ∴要使t有意义，必须有1+x≥0且1－x≥0，即－1≤x≤1.∵t2＝2+2 ∈[2，4]，t≥0&& ……①∴t的取值范围是[ ，2]由①得 ＝ x2－1∴m（t）＝a（ t2－１）＋t＝ at2+t－a， t∈[ ，2] （2）由题意知g（a）即为函数m（t）＝ at2+t－a， t∈[ ，2]的最大值.注意到直线t＝－ 是抛物线m（t）＝ at2+t－a的对称轴，分下列情况讨论.&1&当a&0时，函数y＝m（t）， t∈[ ，2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t＝－ &0知m（t）在[ ，2]上单调递增，∴g（a）＝m（2）＝a+2.&2&当a＝0时，m（t）＝t， t∈[ ，2]， ∴g（a）＝2.&3& 当a&0时，函数y＝m（t）， t∈[ ，2]的图像是开口向下的抛物线的一段，若有t＝－ ∈[0， ]，即a≤－ ，则g（a）＝m（ ）＝ .若有t＝－ ∈（ ，2），即a∈ ，则g（a）＝m（－ ）＝－a－ .若有t＝－ ∈ [0， ]，即a∈ ，则g（a）＝m（2）＝a+2.综上有g（a）＝ （3）当a&－ 时，g（a）＝a+2& & ，当 时，－a∈ ， ∈ ，所以 ，g（a）＝ &2 ＝ .因此当a&－ 时，g（a） & .当a&0时， &0，由g（a）＝g（ ）知a+2＝ +2解得a＝1.当a&0时， ＝1，因此a≤－1或 ≤－1，从而g（a）＝ 或g（ ）＝ .要使g（a）＝g（ ），必须有a≤－ 或 ≤－ ，即－ ≤a≤－ 此时g（a）＝ ＝g（ ）.综上知，满足g（a）＝g（ ）的所有实数a为：－ ≤a≤－ 或a＝1.
【模拟试题】（一）1. 设f（x）是（－∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7&& 5）等于（&&& ）A. 0.5&&&&B. －0.5&&&&C. 1.5&&&&D. －1.52. 已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a－3）+f（9－a2）&0，则a的取值范围是（&&& ）A. （2 ，3）&&&B. （3， ）&&&C. （2 ，4）&&&D. （－2，3）3. 若函数f（x）＝ （x≠ ）在定义域内恒有f［f（x）］＝x，则m等于（&& ）A. －3&&&&B.& &&&&C. － &&&&D. 34. 设函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，在x≤1时，f（x）＝（x+1）2－1，则x&1时f（x）等于（&&& ）A. f（x）＝（x+3）2－1&&&&&&&B . f（x）＝（x－3）2－1C. f（x）＝（x－3）2+1&&&&&&&D. f（x）＝（x－1）2－15. 函数 的值域是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）A. （－∞，1）& &&B. [1，+∞]&&&C. （0，1）&&&D. [0，1]6.& 的值域是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）A. y≥－2 &&&B. y≤－2 &&&C. y∈R &&&&D. y≥0
（二）题7. 若f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（－3）＝0，则xf（x）&0的解集为_________。8. 如果函数f（x）在R上为奇函数，在（－1，0）上是增函数，且f（x+2）＝－f（x），试比较f（ ），f（ ），f（1）的大小关系_________。
（三）解答题9. （1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝4x－1，求f（x）的解析式；（2）已知 ，求f（x）的解析式；10. 若函数 的定义域为R，试求实数k的取值范围。11. 求下列函数的值域（1）&& （2） 12. 定义在（－∞，4）上的减函数f（x）满足f（m－sinx）≤f（ － +cos2x）对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围 。& 13. 已知函数y＝f（x）＝& （a，b，c∈R，a&0，b&0）是奇函数，当x&0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f（1）&&&& （1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 。14. 已知函数y＝f（x）是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，又知y＝f（x）在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x＝2时，函数取得最小值，最小值为－5 。 （1）证明&& f（1）+f（4）＝0；（2）试求y＝f（x），x∈［1，4］的解析式；（3）试求y＝f（x）在［4，9］上的解析式。
&【试题答案】1. B&&2. A&&3. D&&4. B&&5. C&&6. A7. （－3，0）∪（0，3）8. f（ ）＜f（ ）＜f（1）9. （1）& 或f（x）＝－2x+1& （2）& 10. 0≤k＜ 11. 解：（1）（－∞，lg5）&&&& （2）[& ， ]&对x∈R恒成立&&∴m∈［ ，3］∪{ }&& 13. 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即 ∴c＝0，∵a&0，b&0，x&0，∴f（x）＝ ≥2 ，当且仅当x＝ 时等号成立，于是2 ＝2，∴a＝b2，由f（1）＜ 得 ＜ 即 ＜ ，∴2b2－5b+2＜0，解得 ＜b＜2，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，∴f（x）＝x+ 。（2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）图象上，则 消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1± 。 ∴y＝f（x）图象上存在两点（1+ ，2 ），（1－ ，－2 ）关于（1，0）对。14. （1）证明：∵y＝f（x）是以5为周期的周期函数，∴f（4）＝f（4－5）＝f（－1），又y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝－f（4），∴f（1）+f（4）＝0&& （2）解：当x∈［1，4］时，由题意，可设f（x）＝a（x－2）2－5（a≠0），由f（1）+f（4）＝0得a（1－2）2－5+a（4－2）2－5＝0，解得a＝2，∴f（x）＝2（x－2）2－5（1≤x≤4）&& （3）解：∵y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，∴f（0）＝－f（－0），∴f（0）＝0，又y＝f（x） （0≤x≤1）是一次函数，∴可设f（x）＝kx（0≤x≤1），∵f（1）＝2（1－2）2－5＝－3，& f（1）＝k&#8226;1＝k，∴k＝－3&& ∴当0≤x≤1时，f（x）＝－3x，当－1≤x＜0时，f（x）＝－3x，当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1，∴f（x）＝f（x－5）＝－3（x－5）＝－3x+15，当6＜x≤9时，1＜x－5≤4，f（x）＝f（x－5）＝2［（x－5）－2］2－5＝2（x－7）2－5& ∴f（x）＝&&
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中职数学教案——函数的定义域及求法
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3秒自动关闭窗口函数的定义域是什么意思
函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。符号y=f(x)即是“y是x的函数”的相关信息表示，应理解为......
函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。符号y=f(x)即是“y是x的函数”的相关信息表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g’(x)，F’(x)，G‘(x)等符号来表示。对函数概念的理解函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。 祝福楼主~新年快乐 欢迎追问，希望对楼主有所帮助，期待楼主的好评
函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。
有两个自变量,给定其中某个变量(自变量)的值,相应地就确定了另一个变量(因变量)的值.一般的,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定...
复合函数的定义域要同时考虑中间变量函数的允许值范围，也要考虑整个函数的允许值范围，最后结果是 他们的交集。举例说明：f(x)=1/(1-lgx),是由f(t)=...
区间、集合和不等式都可以，关键是表达得正确。“、”、“，”和“和”也都是可以用的，例如f(x)=1/(x-x^2)的定义域不是一个区间，是三个区间的并集，就表示...
答: 贵阳文凡状元别院两个大人两个孩子，一个13岁，一个9岁，一件精选客房真的可以住下吗
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)=1/ex->∞:limxsin(1/x)=1/x->0:lim[sin(...
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