发布时间： 08:29:21
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&&&&&&&&编号研究类型理论研究分类号湖北师范大学文理学院学士学位论文论文题目：矩阵的秩及其应用作者姓名周国梁指导老师刘伟明所在院系文理学院专业名称数学与应用数学完成时间年月日学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：矩阵的秩及其应用外文题目：TherankofMatrixanditsapplication学生姓名周国梁学生学号院系专业文理学院数学与应用数学学生班级学生承诺我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。&&&&&&&&如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。&&&&&&&&学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。&&&&&&&&指导教师（签名）：年月日矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石)摘要：矩阵的秩是线性代数中的一个重要研究工具盒研究对象，以矩阵的秩作为主要的研究对象，分析了矩阵的秩再线性代数中的一部分常见应用与方法，对于学习和掌握线性代数有一定的帮助，进而加深对矩阵的秩的理解，能灵活运用解决相关问题；通过分析初等变换求矩阵的秩、利用初等变换求矩阵的秩与高斯消元法解线性方程组，向量组的线性表示，向量组的线性相关性的相通性原理，将初等变换求秩应用在以上方面，既解决了三个问题的求解判断，更将知识融会贯通，精密联系在一起，为以后相关知识的学习奠定基础。&&&&&&&&关键词:矩阵的秩；线性方程组；线性相关。&&&&&&&&中图分类号:OTherankofMatrixanditsapplication周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石)Abstract：Matrixrankisanimportantresearchtoolboxoflinearalgebraresearchobject,bymatrixrankasthemainresearchobject,analyzestherankofmatrixandapartofthecommonapplicationandthemethodoflinearalgebraforlearningandmasteringthelinearalgebrahascertainhelp,todeepentheunderstandingofmatrixrank,canapplytosolverelatedproblems；Byanalyzingtheelementarytransformationofmatrixrank,usingelementarytransformationofmatrixrankandgausseliminationmethodofsolvinglinearequationslinearrepresentationofvectorgroup,vectorlinearcorrelationprincipleofphaseconnectivity,theapplicationofelementarytransformationandrankintheaboveaspects,boththesolutiontosolvetheproblemofthethreejudgments,moreknowledgetoachievemasterythroughacomprehensive,precise,layafoundationforlaterrelatedknowledgeoflearningKeywords:Matrixrank；Systemoflinearequations；Linearcorrelation引言秩的概念及其等价描述秩的概念矩阵秩的等价描述秩在线性代数中的应用在求解线性方程组中的应用在特征值中的应用在判别线性相关中的应用在判断二次型的正定中的作用参考文献湖北师范大学文理学院届学士学位论文矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石)引言矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩即为研究问题的“试金石”。&&&&&&&&矩阵的秩是矩阵的一种重要属性，秩的理论决定着矩阵的地位。&&&&&&&&其理论几乎贯穿整个线性代数，是讨论矩阵求逆问题、线性方程组问题、线性相关性问题的重要工具。&&&&&&&&秩的概念及其等价描述秩的概念设在矩阵A中有一个不等于的r阶子式，且所有存在的r?阶子式全等于零，则D为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，()RAr?。&&&&&&&&零矩阵的秩规定为零。&&&&&&&&本质上，矩阵的秩是矩阵中不等于零的子式的最高阶数。&&&&&&&&即矩阵A的秩()RA就是就是A中不等于零的子式的最高阶数。&&&&&&&&矩阵的秩的概念还可以这样叙述：矩阵()ijmnAa?的行（列）向量组的极大线性无关组的个数为该矩阵的秩。&&&&&&&&设()RAr?,即矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，那么该子式所在的r个行（列）向量就是行（列）向量组的一个极大无关组。&&&&&&&&矩阵秩的等价描述设mnAF??，则下述各命题等价：）()RAr?；湖北师范大学文理学院届学士学位论文）A中有一个r阶子式不为零，所有r?阶子式全为零；）A中有一个r阶子式D不为零，所有包含D作为子式的r?阶子式全为零；）A等价于标准型Er??????；）存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ?Er??????；）A的行向量组的秩等于r；）A的列向量组的秩等于r；）A的行空间的维数等于r；）A的列空间的维数等于r；）方程组AX?有r个独立的方程，其余方程是这些方程的线性组合；）方程组AX?的解空间的维数等于nr?；）设n为线性空间V的一个基为,naaa?,m维线性空间W的一个基为,,n????,从V到W的线性映射T的矩阵A，既：TA?，则T的像空间ImT的维数等于r；)存在mr?型的列满秩阵P和rn?型的行满秩阵Q，使得APQ?。&&&&&&&&证明易知()?()?()?()。&&&&&&&&()?()因为()RAr?，故可将A经过一系列的初等变换可化为,rE??????而这一些列的初等变换等价于存在m阶初等阵,,SPPP?和n阶初等阵tQQQQ?，使得：,,SPPPA?rtEQQQ????????令sPPPPP??，tQQQQQ??，由初等阵可逆知,PQ可逆。&&&&&&&&()?()由,PQ为可逆矩阵，使得rEPAQ???????，得rEAPQ?????????,这相当于A由rE??????经过一系列的初等变换而得；由于初等变换不改变矩阵的湖北师范大学文理学院届学士学位论文秩，所以()RAr?。&&&&&&&&()?()设mTTTaaAa????????????????，Tia为行向量由于()RAr?，由命题（）知存在r阶子式rD?，且所有rD??，既有rD所在的r行线性无关，且任意r?个行向量都线性相关，因此rD所在的r行是A的行向量组的一个极大无关组，从而A的行向量组的秩为r。&&&&&&&&()?()由A的行向量组的秩为r，根据向量组线性无关的条件知这r个行向量所在的行的r阶子式不为零，且所有r?阶子式都为零，故()RAr?。&&&&&&&&()?()的证明和()?()类似。&&&&&&&&()?()设A的行向量组为,,,TTTmaaa?，由它们所生成的行空间为??,,,TTTmmmLxaaaR??????????????显然行向量空间的维数与行向量组的秩相等。&&&&&&&&()?()的证明和()?()类似。&&&&&&&&()?()矩阵的初等变换的过程实际上可以看做是解方程组AX?的过程，等价性显然成立()?()由AX?的基础解系就是方程组AX?的解空间的一个基可知命题是成立的。&&&&&&&&()?()设A的列向量组为,,,m????，则,,,ImT??????线性方程组AX??有解,,,n???????,这里,,,n????表示,,,n????生成空间[]。&&&&&&&&因此Im,,,nT?????，从而ImT的维数与的,,,n????维数相等，而由（）知,,,n????的维数与()RA相等，故命题成立。&&&&&&&&()?()由()RAr?，mnAF??，则A的行向量组有一个极大无关组，不妨设,,,rTTTiiiaaa?，从而：,,,TTTmaaa?湖北师范大学文理学院届学士学位论文rrrTTTTiiriTTTTiiriTTTTmmimimriaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaa??????????????????????????????????????rTirTirTmmmriaaaaaaaaaaaa???????????????????????????????。&&&&&&&&令,rTirTirTmmmriaaaaaaaaPQaaaa????????????????????????????????。&&&&&&&&显然Q为行满秩r的矩阵。&&&&&&&&下面证明P为列满秩r的矩阵，即证R(P)=r就可以了。&&&&&&&&注意，由于,,,TTTmaaa?被,,,rTTTiiiaaa?线性表出的系数是唯一的，且,,,rTTTiiiaaa?被,,,rTTTiiiaaa?表出的系数恰好是P阵的第,,,riii?行，且分别为(,,,,),(,,,,),,(,,,,)????,即P有r行线性无关，其余各行都可以由这r行线性表出，所以R(P)=r。&&&&&&&&()?()由APQ?，且R(P)=r，()RQr?，所以()()min{(),()}RARPQRPRQr???。&&&&&&&&只需证()RAr?即可。&&&&&&&&而此证明只需利用一个结果就可以：设,AB分别是mr?型和rn?型矩阵，则有[]()()()RABRARBr???，由此可知()RAr?。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文秩在线性代数中的应用在求解线性方程组中的应用线性方程组的解是线性代数的核心问题，要解决解的判定，解的个数和如何求出的问题，可以建立方程组解的判定和矩阵秩之间的关系，从而将方程组问题转化为矩阵秩的问题，可以降低线性方程组解的判定。&&&&&&&&对与N元线性方程组AXb?，无解的充分必要条件是()(,)RARAb?；有唯一解的充分必要条件是()(,)RARAbn??；有无限多解的充分必要条件是()(,)RARAbn??。&&&&&&&&例如解线性方程组：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx???????????????????????????????????将原线性方程组增广矩阵进行初等变换A?????????????????????????????????????????????????????????湖北师范大学文理学院届学士学位论文?????????????????????????????????????????。&&&&&&&&方程组的解为xxxxxxx????????????????????，其中x是自由未知量。&&&&&&&&通过矩阵秩的引入，使得方程组与增广矩阵对应，将线性方程组的变换抽象成为了矩阵的行变换，把线性方程组的一些重要性质反映在矩阵上，从而使问题变得简单明了。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文再例如设线性方程组()()()xxxxxxxxx?????????????????????问?取何值时，此方程组有唯一解？无解？无限多解？并求其无限多解时的通解。&&&&&&&&系数矩阵A为方阵，故方程有唯一解的充要条件是系数行列式A?，而且有A????????()???????()()????????。&&&&&&&&因此当??且???时，故方程有唯一解；当??时，对增广矩阵B做初等行变换，将其化为B????，则()RA?，()RB?，故方程组无解；当???时，对增广矩阵做初等行变换，将其化为B??????????????????????。&&&&&&&&则()()RARB??，故方程组无限多个解，其通解为湖北师范大学文理学院届学士学位论文xxcx??????????????????????????????????，cR?。&&&&&&&&针对方程个数与未知数个数相等这一特点，应用克莱姆法则，确定待定参数值，简化了问题，但此方法仅适用于当方程数与未知数个数相等时使用。&&&&&&&&在特征值中的应用与矩阵的秩相关的特征值和二次型是线性代数的重要内容，特征值的概念为：设A是n阶矩阵,如果对于数?，存在n维非零列向量X，使得AXX??，则称?为A的一个特征值，X是A的属于?的特征向量。&&&&&&&&一方阵A的特征值与A的秩有如下关系：n阶方阵A的特征值全不为零的充分必要条件是()RAn?，即方阵A为满秩等价于A?。&&&&&&&&若设为?阶方阵A的特征值，则有如下关系：）当()RAn?时，?为A?的特征值；A?为A?的特征值；）当()RAn??时，??为A?的n?重特征值；nnAAA????是A?的单特征值；）当()RAn??时，??为A?的n重特征值。&&&&&&&&在判别线性相关中的应用矩阵的秩在求向量组的最大无关组以及判别向量组的线性相关时有非常大的帮组。&&&&&&&&对于n维向量组,,,maaa?记矩阵(,,,)mAaaa??，则下列结论等价：（）向量组,,,maaa?线性相关或线性无关；（）齐次线性方程组AX?有非零解或只有零解；（)矩阵的秩()RAm?或()RAm?。&&&&&&&&此命题的意义为将向量组的线性相关判别问题转化为判别向量组的矩阵的秩与相量个数之间的关系问题。&&&&&&&&判别一个向量b能否被向量组线性表示，其实质就是非齐次线性方程组是否有解并求出方程组mmxaxaxab?????的具体解湖北师范大学文理学院届学士学位论文的问题。&&&&&&&&研究两个向量组的关系，比研究一个向量内部的关系复杂，可以借助矩阵的秩这个工具，从而降低难度。&&&&&&&&向量组,,,mbbb?能由向量组,maaa?线性表示的充分必要条件是矩阵(,)mAaaa??的秩等于(,)(,,,,,)mmABaaabbb???的秩。&&&&&&&&可以推出，向量组,,,mbbb?与向量组,maaa?等价的充分必要条件是()()(,)RARBRAB??。&&&&&&&&在判断二次型的正定中的作用设二次型(,,,)TnfxxxxAx??，其中TAA?，那么有一下结论：)A正定f?的正惯性指数与秩都等与n；）A负定f?的负惯性指数与秩都等于n；）A半正定f?的正惯性指数与秩相等。&&&&&&&&若设A为n阶满秩矩阵，试证明:()TTXAAX是一个正定二次型，这里(,,,)nXxxx??。&&&&&&&&证明：设A是满秩矩阵，令TTTYAX?，其中(,,,)nYyyy??，则()TTTXAY??是非退化线性替换，且()=TTTnXAAXYYyyy?????，由此可以得出，此二次型的正惯性指数与秩都等于n；()TTXAAX所以是正定二次型。&&&&&&&&矩阵的秩在线性带数中有着重要的作用，对于线性代数的学习有着指导作用，从对矩阵的秩的认识论述了矩阵理论对线性代数的重要作用，矩阵的许多思想和方法极大丰富了线性代数理论。&&&&&&&&学会利用矩阵的秩来解决线性代数的相关问题，是学好线性代数的基础。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文参考文献[]王萼芳高等代数北京：高等教育出版社，（重印）。&&&&&&&&[]邓勇矩阵：线性代数的重要工具[J]思茅师范高等专科学校学报，（）：。&&&&&&&&[]高萍浅谈矩阵的秩在线性代数中的应用[J]武昌理工学院学报，（）：。&&&&&&&&[]杨瑞云，杨剑波。&&&&&&&&矩阵理论在线性代数中的应用[J]科技创新科教导刊，（）：。&&&&&&&&[]朱仁先。&&&&&&&&关于矩阵若干问题的探讨[J]滁州学院学报，（）：。&&&&&&&&[]许锋，范爱华。&&&&&&&&线性代数[M]。&&&&&&&&合肥：中国科学技术大学出版社，。&&&&&&&&[]苏芳，许湛，成礼智。&&&&&&&&矩阵的秩在线性代数中的应用[J]。&&&&&&&&科技创新导报，（）。&&&&&&&&[]兰德新，吴碧霞。&&&&&&&&矩阵求秩方法的改进[J]。&&&&&&&&南平师专学报，（）。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文致谢这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我一人之功劳，是所有指导过我的老师，帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果。&&&&&&&&我要在这里对他们表示深深的谢意!感谢我的指导老师——刘伟明老师，没有您的悉心指导就没有这篇论文的顺利完成。&&&&&&&&感谢班主任陈晨老师，四年的生活相处不久，却从您身上学到了太多，必将终身受益。&&&&&&&&感谢所有教授过我课程的暨南大学的老师们，是你们诲人不倦才有了现在的我。&&&&&&&&感谢我的父母，没有你们，就没有我的今天，你们的支持与鼓励，永远是支撑我前进的最大动力。&&&&&&&&感谢我的室友，安农礼堂里挥汗如雨，日月湖畔闲庭信步，绿荫场上把酒言欢,,,,最难忘的记忆里都有你身影。&&&&&&&&感谢一起欢笑一起惆怅的日子，不论何时，请不要忘记最初的梦想。&&&&&&&&感谢馨悦，最黑暗的日子我们一起走过，为了梦想，我们永不放弃，总有一天，我们会在梦想的天堂再次相遇。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录论文选题、指导学生怎样进行资料的收集，并要求学生尽可能结合自己所学专业以及自身情况来选择课题作为毕业论文的题目；、指导学生在收集资料的基础上，如何进行毕业论文的选题；、强调按照学校对毕业论文的具体要求，进行论文题目的选定。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录填写任务书要求学生按照选题任务书的事项进行论文资料的收集，并结合学生的实际提出了具体要求，明确自己的任务。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录撰写开题报告、并就论文提纲、开题报告的编写作了说明和要求；、针对存在的问题，指导学生把握论文提纲编写的要求和注意事项，强调学生应严格按照学校的格式要求进行编写。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录论文提纲的撰写、严格按照学校的要求，逐项完成检查的相关内容，并对论文提纲进行检查；、针对存在的问题，指导学生把握论文提纲编写的要求和注意事项，强调学生应严格按照学校的格式要求进行编写；、检查学生提交的论文提纲，并对其中存在的问题进行解答。&&&&&&&&论文的提纲为：&&&&&&&&一、摘要（文章的中心思想）二、引言三、矩阵初等变换及其应用四、参考文献湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录检查初稿检查初稿，指出学生存在的问题有：、论文的内容较少；、摘要比较冗杂,并且英文摘要翻译有误；、不太像论文，所有的内容实际上可以合为两章：矩阵特征值与特征向量性质定理以及矩阵特征值与特征向量的几种解法，广义特征值问题、编号不正确，第一章&&&&&&&&下的内容要用定义，定义等等湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录论文再次修改，任然存在部分问题：、英文摘要还要修改；、格式要求不对，参考格式要求，把文章顺好；、认真核对每一个符号，不能有错；、将文章中的标点统一，检查语句是否通顺合理；、参考文献格式不对。&&&&&&&&湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录论文定稿再指导学生对论文进行次修改的基础上，进行论文定稿,还需要做的是：、指导学生再仔细地检查一遍论文，指出错误；、参考文献的顺序不是按照文中出现的顺序，需要改正；、由于很多改动，页中的页数也需要做改动。&&&&&&&&姓名周国梁学生学号院系专业文理学院数学与应用数学学生班级学生承诺我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。&&&&&&&&如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。&&&&&&&&学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。&&&&&&&&指导教师（签名）：年月日矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石)摘要：矩阵的秩是线性代数中的一个重要研究工具盒研究对象，以矩阵的秩作为主要的研究对象，分析了矩阵的秩再线性代数中的一部分常见应用与方法，对于学习和掌握线性代数有一定的帮助，进而加深对矩阵的秩的理解，能灵活运用解决相关问题；通过分析初等变换求矩阵的秩、利用初等变换求矩阵的秩与高斯消元法解线性方程组，向量组的线性表示，向量组的线性相关性的相通性原理，将初等
；一是剪应力，一是张应力。&&&&&&&&由此，根据节理的力学成因，可将其分为剪节理和张节理俩种。&&&&&&&&剪节理是由
等实际速度显示速度误差参数在一定时间内，行驶一定路程，液晶显示速度数据。&&&&&&&&km/hkm/h系统功能及指标参数分析：在误差允许的范围内，自行车数字里程表功能及
{unsignedinti,j；for(i=；i&t；i++)for(j=；j&；j++)；}/*________________________写命令到LCD______________________________*/voidwrite_command(unsignedcharcmdcode){RS=；RW=；P=cmdcode；delay()；E=
跃，这一步是否成功，直接关系到开发出来的软件产品能否得到用户认可，顺利交付给客户，客户能否真正运用我们的产品帮助他解决业务或管理问题。&&&&&&&&用户功能需求
。&&&&&&&&主要特性：&;与MCS_兼容&;K字节可编程FLASH存储器&;寿命：写/擦循环&;数据保留时间：年&;全静态工作：Hz_MHz&;三级程序存储器锁定&;&;位内部RAM&;可编程I/
工总平面布置图，组织施工机械、设备和工具进场，按规定地点和方式安装、存放，并进行相应的保养和试运转。&&&&&&&&组织建筑材料进场：根据建筑材料、构配件需用量计
束后，不是直接启动下一步的工作，而是等待启动按钮的命令后再工作。&&&&&&&&（四）程序结构框图图基于S_的机械手PLC控制程序五、分析该设计优缺点该设计方式初步满
的铸铁井盖座不配套或铸铁加工时误差太大，造成车辆行驶时产生冲击力，从而损害路面。&&&&&&&&从以上水泥混凝土病害产生的原因分析，水泥混凝土路面的质量涉及到很多
区域综合交通枢纽和区域教育、医疗、应急中心。&&&&&&&&成渝铁路、成渝高速公路和在建的成渝城际高铁、重庆三环高速公路在永交汇设站，永川长江大桥加快建设，永川港
设备的故障率模型和使用寿命等等再对设备进行进一步的预防性维修调度分析即可大幅改善设备的维修成本或者延长其使用寿命。&&&&&&&&（二）国内外研究现状EAghezzafeta
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/FileRoot3//073fc2f-90c0-ba5e00eac126/073FC2F-90C0-BA5E00EAC12622.swf《矩阵的秩与行列式的几何意义》
矩阵的秩与行列式的几何意义
矩阵的秩与行列式的几何意义 2016年7月16日16:39:301 关于面积：一种映射大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。平行四边形面积的定义，几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以下事实：面积是一个标量，它来自于（构成其相邻边）两个矢量。因此，我们可以将面积看成一个映射：其中V就是一个矢量，V*V代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。 下面我们将说明这个映射是一个线性映射。从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（1，0），第二个矢量是（0，1）；也就是说，两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1。因此有：如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍。如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab倍。这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下：最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）：假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有：注意计算过程中用到了上面的结论。这说明：也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。孰正孰负取决于认为的定义。一般，我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后，从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。1.1 右手定则由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效。如果以X正方向为首，Y正方向为尾，右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来，那么纸面向内就是该面积的正方向，与规定的正方向相反，取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了。由此，我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积（*）：我们不难看到，所谓面积就是一个2x2矩阵的行列式：如下图：其中第一行就是我们的第一个行向量(a,b)；第二行就是第二个行向量(c,d)。或者第一列是第一个列向量(a,b)^T, 第二列是第二个列向量(c,d)^T。这取决于我们把矢量写成行向量（前者）还是列向量（后者）的形式。1.2 行列式的计算性质由此我们很容易能发现，行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。这也就是为什么说，在计算行列式时，行和列的地位是对等的。并且注意到，由上述分析，交换矢量的顺序，面积的值取负号，这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次，就要取一次负号的原因。另外，行列式的其他计算性质，都一一反映在面积映射的线性性之中。由此我们可见，行列式就是关于“面积”的推广。他就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。2 行列式的推广由上，我们可以轻松推广到三维体积的计算：注意到，行列式的定义，是每一行各取一个不同列的元素的乘积并且符号和所谓的逆序性有关（PARITY）。所谓逆序性，其几何意义就是在规定了一个正方向之后（比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号），交换任意一对数都取一次负号。这样的性质我们在上述的面积函数中已经有所看到，实际上体积，更高维度的广义体积，也有正方向之说，只不过已经难以用右手法则（以及叉乘）来形象说明罢了。右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一。对于这种交换任何一对指标（操作数）就改变符号的性质，我们叫做：反对称（ANTISYMMETRIC）性。之所以要取不同行不同列元素的乘积，是因为如果有任意两个元素是同行（列）的，那么交换他们的列指标，乘积不变但符号要相反，这乘积必须是0，也就是在行列式的值中不予体现。行列式的定义之所以这么冗杂，就是来自于面积映射的反对称性。实际上面积映射是一个2-FORM，把2-FORM拓展到任意的R-FORM，我们能看到R-FORM的形式和一个R乘R矩阵的行列式是完全一致的。由上我们已经可以看到，2-FORM代表的是平面内的面积；3-FORM自然而然就是3维空间内的体积；4-FORM是4维空间里的超体积。以此类推。而实际上，由上我们已经看到，将这些矢量在给定的基坐标下写成矩阵（必定是方阵），矩阵的行列式就是对应的面积（体积）。3 线性无关的几何意义记空间的维度为N，给定一组矢量，什么是他们线性无关性？我们下面将说明，一组矢量的线性相关性本质上，是描述他们所张成的广义平行四边形体积是否为NULL（零）。我们仍然从最简单的2维空间出发。如果两个2维空间的向量是线性相关的，那么就是说，其中一个与另外一个共线，也就是说，他们所张成的四边形，面积是零。反之，如果线性无关，则不共线，则面积不为零。同理，如果三个三维空间的向量是线性无关的，那么他们三者就不共面。因此他们所张成的平行六面体，体积不是零。更进一步地，我们知道，二维空间如果给定三个向量，他们必定共面（二维空间内不可能存在一个“体积”），因此他们必定线性相关。推而广之，我们不难理解，为什么一个维度为N的空间内，任意一组M个向量（M>N）必定线性相关了：因为维度大于空间维度的超平形四边体不存在。由此我们得到一个一一对应的关系：N个向量线性无关 == 他们所张成的N维体体积不为零反之，如果N个向量线性相关，那么他们所张成N维体，体积为零。例如，一对共线矢量张成的平行四边形，退化成一个线，其面积显然是0；一组共面的三个矢量张成的平行六面体，退化成一个面，其体积显然是0。 因为我们已经知道行列式与面积的关系，因此我们有结论：线性无关矢量组成的矩阵的行列式不为零；线性相关矢量组成的矩阵的行列式必为零。4行列式与矩阵的逆我们知道，行列式为0的矩阵，不可逆；行列式不为零的矩阵，可逆。我们不禁要问，代表面积的行列式，是如何和线性变换的可逆性联系在一起的呢？ 当我们理解了线性变换的几何意义之后，就不难解答了。我们现陈述如下： 记线性变换的矩阵为A。如果我们把空间中一组线性无关的矢量都写成列向量的形式，那么他们所张成的N维体体积不为零，根据上面的分析，其值由行列式给出。向量经过线性变换A变换之后，得到的新向量形式如下：注意到A是一个N*N的矩阵，向量是列向量。变换前，N维体的体积是：变换之后，N维体的体积是（注意到，第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的，也就是N*N矩阵A和另外一个N个列向量组成的N*N矩阵的乘法）：A的行列式如果不为零，则代表这个变换后，N维体的体积不是NULL。又结合线性无关与体积的性质，我们可以说：如果A的行列式不为零，那么A可以把一组线性无关的矢量，映射成一组新的，线性无关的矢量；A是可逆的（一对一的映射，保真映射，KERNEL是{0}） 如果A的行列式为零，那么A就会把一组线性无关的矢量，映射成一组线性相关的矢量；A就不是可逆的（非保真映射，KERNEL不是{0}。我们可以研究他的陪集）如果A的行列式为负数，那么A将会改变原N维体体积的朝向。从线性无关到线性相关，其中丢失了部分信息（例如坍缩成共线或者共面），因此这个变换显然就是不可逆的。线性是否无关和所张成N维体的体积有直接关系，这个体积值又与A的行列式有关。因此我们就建立了A的行列式与其是否可逆的几何关系。举例说明，我们假设A是一个3维的矩阵。如果映射前，有一组三个线性无关的矢量，我们知道它们张成的体积不是0；经过映射后，他们对应的新矢量也能张成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积就是原体积乘以A的行列式。 显然，如果A的行列式是0，那么变换后的新“平行六面体"的体积将不可避免的也是0。根据上文的结论，我们有：变换后的这一组新矢量线性相关。 结论：线性变换A的行列式是否为零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一组线性无关的矢量变换成另一组保持无关性的矢量。5，秩有时候，虽然A并不能保持把空间一组最大数目矢量的线性无关性，但它能保证一组更少数目矢量的线性无关性。这个数目往往少于A的维度（或者说，线性空间的维度），这个数目就叫做线性变换A的秩。例如，一个秩为2的三乘三矩阵A。因为秩小于3，那么任何一个3维六面体经过他的变换后，体积都为零（退化一个面）；但存在一个面积不为零的面，在变换之后还可以是一个非零面积的面。所谓一个线性变换的秩，无非就是变换后，还能保持非零体积的几何形状的最大维度。理解了秩，行列式和可逆性的几何意义，我们就能随意构造一些线性变换A，使得他要么保全所有的几何体，要么将特定维度特定结构的几何体，压缩成更低维度的几何体。本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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