副主任医师
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曼月乐出现副作用，是否取环。
状态：就诊前
希望提供的帮助：
想要请问主任几个问题：
1、请问长斑现象是否又是曼月乐的副作用之一。
2、相继出现的长痘、乳腺增生、长斑等问题，是否说明，曼月乐对我的内分泌产生了影响和副作用。这种情况是不是该选择摘掉环了。（我怀孕时，就有孕反应明显，一直到生还吐；且有脸上长痘的问题。）
3、如果摘掉环以后，是否息肉一定会复发。
（另外，当时息肉摘除后，并未做过激素检查，我之前也一直感觉左侧附件不舒服，尤其是月经前，不知道这是否是炎症问题。我的意思是息肉产生的原因到底是炎症还是雌激素分泌过多，复发与否是否与发病原因有关？）
4、如果摘掉环，除了吃避孕药，还有什么更好的方法防治复发吗？
感谢您在百忙之中的解答！
所就诊医院科室：
北医三院 妇科
治疗情况：
医院科室：
计划生育科
治疗过程：宫腔镜手术
&副主任医师
带曼月乐环与你长痘乳腺增生有因果关系，因为曼月乐环是带有激素治疗的环，建议你把环子下了，你的子宫内膜息肉是很容易复发的，复发的表现就是有可能月经量的增多，我个人建议你介入治疗你的子宫内膜息肉，这样复发的几率可能很小
状态：就诊前
请问医生介入治疗子宫内膜息肉，具体是指怎样的治疗方式。
&副主任医师
超选择子宫动脉栓塞术&
&副主任医师
我们做了一些患者 暂时没有发现有复发情况
副主任医师
李兵大夫通知通知:现在您的情况如何？如果有什么疑问请咨询我！
大夫郑重提醒：因不能面诊患者，无法全面了解病情，以上建议仅供参考，具体诊疗请一定到医院在医生指导下进行！
疾病名称：曼月乐出现副作用，是否取环。&&
希望得到的帮助：想要请问主任几个问题：
1、请问长斑现象是否又是曼月乐的副作用之一。
2、相继...
病情描述：2011年10月体检发现子宫内膜息肉，11月在海淀妇幼宫腔镜切除；半年后，2012年6月发现复发，9月在积水潭医院手术切除，2012年11月底在积水潭医院带了曼月乐，带环后，大概有半年左右时间一直月经...
疾病名称：曼月乐出现副作用，是否取环。&&
希望得到的帮助：1、请问长斑现象是否又是曼月乐的副作用之一。
2、相继出现的长痘、乳腺增生、长斑...
病情描述：2011年10月体检发现子宫内膜息肉，11月在海淀妇幼宫腔镜切除；2012年6月发现复发，9月在积水潭医院手术切除，2012年11月底在积水潭医院带了曼月乐，带环后，大概有半年左右时间一直月经持续半个...
疾病名称：上环曼月乐副作用太大想取环&&
希望得到的帮助：希望可以取环，上这个环就是不来月经，取环不都是月经干净了取吗？我这个怎么办？
病情描述：去年五月二十八号上环，前两个月每天都有滴血，九月到现在一直没出血，毒排不出，老长痘痘，皮肤也变的很差，想取了，我在百度查了，太多副作用
疾病名称：子宫肌瘤、卵巢囊肿&&
希望得到的帮助：请问这是不是戴曼月乐环引起的，是否需要取环？适合做哪种手术？
病情描述：为了控制子宫肌瘤、月经量过多、CA125升高（最高时为78）而在去年一月份戴了曼月乐环。戴环后CA125正常，月经量非常少，但在做B超时经常会有左右卵巢交替发现囊肿的现象，两侧乳房也经常会有胀痛...
疾病名称：放了曼月乐环有半年了。&&
希望得到的帮助：请医生给我一些治疗上的建议
病情描述：放了曼月乐环，这个月量特别多，己有半个月多时间了，一直没有停过。
疾病名称：上曼月乐环半年后停经，脸上长痘需取环吗&&
希望得到的帮助：是否和上曼月乐环有关，需要取环吗？激素检测正常
病情描述：停经一年半，偶尔有出血，脸上反复发闭口痘
疾病名称：腺肌症&&
希望得到的帮助：取曼月乐环什么时候合适？是否需要住院？
病情描述：来例假肚子疼，带曼月乐环8个月，效果不很好，还是疼，而且腰疼
疾病名称：曼月乐环距离宫底1.5cm，是否取出。&&
希望得到的帮助：我想请问您1、环已经下移了，必须要取出吗？2、如果取出的话，必须月经期吗？我现在一...
病情描述：因为子宫腺肌症，痛经，在妇产医院上的曼月乐。3月4日上环，手术单写明曼月乐环上推9厘米，尾丝六0.5厘米。我现在一直出血，吃了止血中药不能完全止住。3月中旬查B超据宫底2.1厘米，4月4日查B超...
疾病名称：子宫腺肌症伴子宫肌瘤&&
病情描述（发病时间、主要症状、就诊医院等）：
女，43岁，患有子宫腺肌症有4年，原来放置的是铜环，每月月经量多伴痛经。2011年2月在当地的妇产科医院在医生的建议下放置了曼月乐环。放置了1年...
投诉类型：
投诉说明：（200个汉字以内）
李兵大夫的信息
介入治疗子宫腺肌症、多发性子宫肌瘤、输卵管梗阻性不孕症等疾病微创治疗。
李兵，副主任医师，妇产介入诊疗中心主任，安徽省妇幼保健协会妇产介入专业委员会主任委员、中华医学会妇儿...
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医学影像介入科&p&相似矩阵的定义是：&/p&&blockquote&&b&设&/b& &img src=&///equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&&b&都是&/b& &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b&阶矩阵，若有可逆矩阵&/b& &img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&&b&，&/b& &b&使&/b& &img src=&///equation?tex=P%5E%7B-1%7DAP%3DB& alt=&P^{-1}AP=B& eeimg=&1&&&b&则称&/b& &img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&&b&是&/b& &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&&b&的相似矩阵，或说&/b& &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&&b&和&/b&&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&&b&相似。&/b&
----《线性代数》同济版&/blockquote&&p&我们先说通过人话来说明什么是相似矩阵，然后来看看相似矩阵的几何意义，最后再解释为什么这个代数式就代表了相似矩阵。&/p&&p&&b&1 用人话来解释相似矩阵&/b&&/p&&p&今天《速度与激情8》上映了，我坐在第一排看电影：&/p&&img src=&/v2-5d538b496caad2811435ebe98d5127e9_b.png& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&352& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-5d538b496caad2811435ebe98d5127e9_r.png&&&p&而你坐在最后一排看电影：&/p&&img src=&/v2-df9a63d889e73da8e13fe0f8c7023618_b.png& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&381& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-df9a63d889e73da8e13fe0f8c7023618_r.png&&&p&我们看的是同一部电影，但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同（比如清晰度啊、角度啊），所以说，“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。&/p&&p&通过上面的类比，我们可以粗略的说，矩阵是对运动的描述，那么相似矩阵就是对于同一个运动，在不同视角下的描述。&/p&&p&&b&2 相似矩形的几何意义&/b&&/p&&img src=&/v2-2d3fa8c67ba1ded013c49f_b.png& data-rawwidth=&470& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&470& data-original=&/v2-2d3fa8c67ba1ded013c49f_r.png&&&br&&p&梵高画下名作向日葵的时候，是不需要计算器和直尺的，有《正在作画梵高自画像》为证：&/p&&img src=&/v2-09316dffecc2d4b2c9bab80_b.png& data-rawwidth=&708& data-rawheight=&942& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&708& data-original=&/v2-09316dffecc2d4b2c9bab80_r.png&&&p&但是，为了进行代数计算，我需要给这个向量一个坐标，这个坐标取决于使用的是什么基（不同基下的原点是一样的）：&/p&&img src=&/v2-0a33d1c0c2a2fa1edcc7e_b.png& data-rawwidth=&594& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&594& data-original=&/v2-0a33d1c0c2a2fa1edcc7e_r.png&&&br&&img src=&/v2-f8b4fabf66bbd3_b.png& data-rawwidth=&584& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&584& data-original=&/v2-f8b4fabf66bbd3_r.png&&&br&&img src=&/v2-37cfa7a8e06a21b632d2f_b.png& data-rawwidth=&485& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&485& data-original=&/v2-37cfa7a8e06a21b632d2f_r.png&&&br&&img src=&/v2-742c2a531d9b47bdc251db7bea6718c1_b.png& data-rawwidth=&444& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&444& data-original=&/v2-742c2a531d9b47bdc251db7bea6718c1_r.png&&&br&&img src=&/v2-a55fcdd53e62c8565ef4c_b.png& data-rawwidth=&468& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&/v2-a55fcdd53e62c8565ef4c_r.png&&&p&所以，&img src=&///equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&矩阵实际上对应的是同一个变换，只是在不同基下完成的，因此 &img src=&///equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&& 就被称为：相似矩阵。&/p&&p&下面让我们来阐述一下相似矩阵的代数细节，让我们从矩阵的左乘说起。&/p&&p&&b&3 矩阵左乘的几何意义&/b&&/p&&p&下面注意保持头脑清醒，我要在基之间搞事情了。&/p&&img src=&/v2-ec7ffd0ed_b.png& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&/v2-ec7ffd0ed_r.png&&&p&举一个具体的例子进行讲述：&/p&&img src=&/v2-450b3e511a4cca68a5de674_b.png& data-rawwidth=&522& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&522& data-original=&/v2-450b3e511a4cca68a5de674_r.png&&&br&&img src=&/v2-8cc34b99efd_b.png& data-rawwidth=&579& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&579& data-original=&/v2-8cc34b99efd_r.png&&&p&我们这样来计算：&/p&&img src=&/v2-c470a48d57efab32f696e_b.png& data-rawwidth=&522& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&522& data-original=&/v2-c470a48d57efab32f696e_r.png&&&p&把 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%27i%7D%2C%5Cvec%7Bj%27j%7D& alt=&\vec{i'i},\vec{j'j}& eeimg=&1&& 作为列向量，就可以得到变换矩阵 &img src=&///equation?tex=P%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cvec%7Bi%27i%7D%26%26%5Cvec%7Bj%27j%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&P=\begin{bmatrix}\vec{i'i}&&\vec{j'j}\end{bmatrix}& eeimg=&1&& ：&/p&&img src=&/v2-4cf25a52da19bcb_b.png& data-rawwidth=&522& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&522& data-original=&/v2-4cf25a52da19bcb_r.png&&&p&同理，我们要把基从 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%7D%2C%5Cvec%7Bj%7D& alt=&\vec{i},\vec{j}& eeimg=&1&& 变换回 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%27%7D%2C%5Cvec%7Bj%27%7D& alt=&\vec{i'},\vec{j'}& eeimg=&1&& ，只需要知道 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%7D%2C%5Cvec%7Bj%7D& alt=&\vec{i},\vec{j}& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%27%7D%2C%5Cvec%7Bj%27%7D& alt=&\vec{i'},\vec{j'}& eeimg=&1&& 下的坐标就能得到变换矩阵，变换矩阵实际上就是&img src=&///equation?tex=P%5E%7B-1%7D& alt=&P^{-1}& eeimg=&1&&。&/p&&p&综上，我们可以说矩阵的左乘就是“搞基”的：&/p&&img src=&/v2-922dc2d31e860b7dbcc01_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/v2-922dc2d31e860b7dbcc01_r.png&&&p&&b&4 相似矩形代数式的几何解释&/b&&/p&&p&理解了矩阵的左乘，再理解相似矩阵的代数式就很简单了。&/p&&p&我们这就来解释下什么是：&/p&&img src=&///equation?tex=P%5E%7B-1%7DAP%3DB& alt=&P^{-1}AP=B& eeimg=&1&&&p&为了方便讲解，我们规定 &img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 是把基从 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%27%7D%2C%5Cvec%7Bj%27%7D& alt=&\vec{i'},\vec{j'}& eeimg=&1&& 变换到 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%7D%2C%5Cvec%7Bj%7D& alt=&\vec{i},\vec{j}& eeimg=&1&& 的矩阵，这个规定并不妨碍一般性。&/p&&p&下面的图像都非示意图，是真正根据数学公式计算出来的。&/p&&p&好了，开讲：&/p&&img src=&/v2-55be42124_b.png& data-rawwidth=&398& data-rawheight=&402& class=&content_image& width=&398&&&p&左乘&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&：&/p&&img src=&/v2-2d20c02cc12eb40ab930_b.png& data-rawwidth=&487& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&487& data-original=&/v2-2d20c02cc12eb40ab930_r.png&&&p&左乘&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&：&/p&&img src=&/v2-9dfde20530a5bfdac1369_b.png& data-rawwidth=&487& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&487& data-original=&/v2-9dfde20530a5bfdac1369_r.png&&&p&左乘&img src=&///equation?tex=P%5E%7B-1%7D& alt=&P^{-1}& eeimg=&1&&：&/p&&img src=&/v2-9e26319ead828a2f36e08bcae6e46fbd_b.png& data-rawwidth=&487& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&487& data-original=&/v2-9e26319ead828a2f36e08bcae6e46fbd_r.png&&&p&所以对于同一个变换， &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是在 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%7D%2C%5Cvec%7Bj%7D& alt=&\vec{i},\vec{j}& eeimg=&1&& 下的矩阵， &img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 是在 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi%27%7D%2C%5Cvec%7Bj%27%7D& alt=&\vec{i'},\vec{j'}& eeimg=&1&& 下的矩阵。&/p&&p&&b&5 为什么需要相似矩阵&/b&&/p&&p&这就好比，在直角坐标系下，圆的方程为：&/p&&img src=&/v2-0eea64dfb1_b.png& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&/v2-0eea64dfb1_r.png&&&p&而在极坐标系下，圆的方程更简单：&/p&&img src=&/v2-ee937dfcaa50a71bd867ba_b.png& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&/v2-ee937dfcaa50a71bd867ba_r.png&&&p&同样的，我们在线性代数中，经常利用相似矩阵，在不同的基下，把“难看”的矩阵转为“好看”的矩阵（比如对角矩阵），因为它们的相似性，所以并不会影响研究结果，只会简化计算，并且可以把很多问题转化为已经解决过的问题。&/p&
相似矩阵的定义是：设 A,B都是 n阶矩阵，若有可逆矩阵 P， 使 P^{-1}AP=B则称 B是 A的相似矩阵，或说 A和B相似。
----《线性代数》同济版我们先说通过人话来说明什么是相似矩阵，然后来看看相似矩阵的几何意义，最后再解释为什么这个代数式就代表了相似矩阵。…
看了问题描述真是太心疼题主了TuT（如果我是老师的话，有学生问出这个问题我肯定非常激动！）&a data-hash=&5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& href=&///people/5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Yuhang Liu& data-hovercard=&p$b$5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf&&@Yuhang Liu&/a&给出的是这个问题的『标准答案』，我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。（与以前一样，为了可读性，会牺牲严谨性。想认真学还是应该看教材。）&br&&br&回答分为两部分：第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果（实数毁灭）；第二部分是解释虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&是怎么出现的（使用『模法』）。&br&&br&===============第一部分开始了呦===============&br&&br&首先，对于题主问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得&b&所有的实数都等于零&/b&，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。&br&&br&我们先来想一个问题：大家都知道&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&，可是它们为什么相等呢？&br&&br&&blockquote&这还不简单？因为&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D0.5%3D3%2F6& alt=&1/2=0.5=3/6& eeimg=&1&&啊！&/blockquote&&br&这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，&img src=&///equation?tex=0.5%3D5%5Ctimes10%5E%7B-1%7D%3D5%2F10& alt=&0.5=5\times10^{-1}=5/10& eeimg=&1&&，所以我们就需要进一步解释为什么&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D5%2F10& alt=&1/2=5/10& eeimg=&1&&以及为什么&img src=&///equation?tex=3%2F6%3D5%2F10& alt=&3/6=5/10& eeimg=&1&&，于是问题变得更复杂了。&br&&br&正确答案是：因为&img src=&///equation?tex=1%5Ctimes6%3D2%5Ctimes3& alt=&1\times6=2\times3& eeimg=&1&&，所以&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&.&br&&br&&blockquote&切，那我也可以继续问啊！为什么&img src=&///equation?tex=1%5Ctimes6%3D2%5Ctimes3& alt=&1\times6=2\times3& eeimg=&1&&就意味着&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&？&/blockquote&&br&因为我们就是这么定义两个分数相等的。&br&&br&不妨先想一想分数到底是怎么回事：&br&&br&一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=3%2F6& alt=&3/6& eeimg=&1&&这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=3%2F6& alt=&3/6& eeimg=&1&&就一定相等。&br&&br&但是光创造数没有用，我们想做&b&运算&/b&呀。现在什么规定都没有，那&img src=&///equation?tex=1%2F2%2B3%2F6& alt=&1/2+3/6& eeimg=&1&&是啥？？&br&&br&于是人们规定，&b&对于两个分数&img src=&///equation?tex=a%2Fb& alt=&a/b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c%2Fd& alt=&c/d& eeimg=&1&&，如果&img src=&///equation?tex=ad%3Dbc& alt=&ad=bc& eeimg=&1&&，那么它们就相等。&/b&接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！&br&&br&这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，&b&当我们把原来的每个整数&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&都当成&img src=&///equation?tex=n%2F1& alt=&n/1& eeimg=&1&&时，有理数的运算和整数的运算是一致的。&/b&&br&&br&这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，&b&而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』&/b&。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即&b&代数结构&/b&）。&br&&br&所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。&br&&br&有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。&br&&br&现在再看之前的问题：如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢？&br&&br&&img src=&///equation?tex=0%3D1-1+%3Da%5Ctimes0-a%5Ctimes+0%3Da%5Ctimes%280-0%29%3Da%5Ctimes+0%3D1.& alt=&0=1-1 =a\times0-a\times 0=a\times(0-0)=a\times 0=1.& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&/v2-fe8b80d62ef75_b.jpg& data-rawwidth=&80& data-rawheight=&105& class=&content_image& width=&80&&&br&我们可以接着证明&b&所有的实数都等于零&/b&，于是整数/有理数/实数的代数结构就被破坏了。所以，试图加入一个『与0的乘积等于1』的数，并不能扩充实数，反而会把实数整个毁掉……&br&&br&（对学数学的同学多说一句：我们其实可以把环中&b&任意一个对乘法封闭的子集&/b&作为分母集合，而对乘法封闭的子集显然是可以包含零的。但是只要包含了零，我们就&b&只能得到一个等价类&/b&。具体可以看GTM73第三章第四节。）&br&&br&===============第二部分开始了呦===============&br&&br&&blockquote&那么虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&又是怎么出现的呢？&/blockquote&&br&回答这个问题之前，我们先来做一个小小的计算：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4%5Cmathrm%7Bi%7D%29%282%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%29%3D%286-4%29%2B%283%2B8%29%5Cmathrm%7Bi%7D%3D2%2B11%5Cmathrm%7Bi%7D.& alt=&(3+4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=(6-4)+(3+8)\mathrm{i}=2+11\mathrm{i}.& eeimg=&1&&&br&&br&没问题吧？好，看来大家都知道虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&是什么……好的，从现在开始，我们要假装自己不知道虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&，只知道实数。&br&&br&接下来我们回顾一点点初中的知识：&b&多项式加法、减法、乘法&/b&和&b&因式分解&/b&。&br&&br&&blockquote&是啥来着的……？&br&&/blockquote&&br&多项式加法就比如：&img src=&///equation?tex=%283x%5E2-3x%2B1%29%2B%285x-2%29%3D3x%5E2%2B2x-1& alt=&(3x^2-3x+1)+(5x-2)=3x^2+2x-1& eeimg=&1&&，减法类似；&br&&br&多项式乘法就比如：&img src=&///equation?tex=%283x%5E2-3x%2B1%29%285x-2%29%3D15x%5E3-21x%5E2%2B11x-2& alt=&(3x^2-3x+1)(5x-2)=15x^3-21x^2+11x-2& eeimg=&1&&；&br&&br&因式分解就比如：&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9%3D%282x%2B3%29%282x-3%29& alt=&4x^2-9=(2x+3)(2x-3)& eeimg=&1&&，这些大家都还记得吧=w=&br&&br&顺便提醒一下：多项式除以多项式不一定是多项式，比如&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%5E3-2%7D& alt=&\frac{x+1}{x^3-2}& eeimg=&1&&就不是多项式。&br&&br&所以，两个（实系数）多项式做加法、减法、乘法之后仍然是（实系数）多项式。&br&&br&（于是我们说&b&实系数多项式构成了一个环&/b&，记作&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{R}[x]& eeimg=&1&&. ）&br&&br&（啊，不要被『环』这个奇怪的词吓到，简单说来『环』就是一个&b&可以做加法、减法、乘法的集合&/b&。整数、有理数、实数等等都是环。）&br&&br&好的，接下来我们来讨论因式分解=w=&br&&br&再看一眼之前的例子，&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9%3D%282x%2B3%29%282x-3%29.& alt=&4x^2-9=(2x+3)(2x-3).& eeimg=&1&&&br&&br&这里我们把一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，而一次多项式显然不可能再继续被分解为两个多项式的乘积，除非其中一个是常数。于是，我们就说一次多项式是『&b&不可约&/b&』的。&br&&br&相对应地，&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9& alt=&4x^2-9& eeimg=&1&&可以被分解为两个次数更低的多项式的乘积，我们就说它是『&b&可约&/b&』的。&br&&br&那么二次多项式有不可约的吗？有，比如&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&就不可约。（别忘了我们现在只知道实数！只知道实数！只知道实数！）&br&&br&&blockquote&不可约！真是高冷！&br&&/blockquote&&br&没事，&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&不可约，那我们就&b&不要它&/b&了╭(╯^╰)╮&br&&br&&img src=&/v2-acb9a2dd53b22fd0e1b0f4ec8d1222b6_b.jpg& data-rawwidth=&41& data-rawheight=&65& class=&content_image& width=&41&&&br&&blockquote&哼！好！不过啥叫『不要&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&』？？&/blockquote&&br&『不要&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&』的意思就是：&b&把所有的&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&都换成零。&/b&&br&&br&我们来看看这样会发生什么。举个例子，比如我们知道：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4x%29%282%2Bx%29%3D6%2B11x%2B4x%5E2.& alt=&(3+4x)(2+x)=6+11x+4x^2.& eeimg=&1&&&br&&br&然后我们把所有高冷的&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&都找出来：&br&&br&&img src=&///equation?tex=6%2B11x%2B4x%5E2%3D2%2B11x%2B4%28x%5E2%2B1%29.& alt=&6+11x+4x^2=2+11x+4(x^2+1).& eeimg=&1&&&br&&br&接着，我们把高冷的&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零：&br&&br&&img src=&///equation?tex=2%2B11x%2B4%28x%5E2%2B1%29%3D2%2B11x%2B4%5Ccdot0%3D2%2B11x.& alt=&2+11x+4(x^2+1)=2+11x+4\cdot0=2+11x.& eeimg=&1&&&br&&br&所以，当我们把&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零之后，运算结果就变成了：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4x%29%282%2Bx%29%3D2%2B11x.& alt=&(3+4x)(2+x)=2+11x.& eeimg=&1&&&br&&br&诶嘿，是不是有点眼熟？再看看一开始复数乘法的例子：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4%5Cmathrm%7Bi%7D%29%282%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%29%3D2%2B11%5Cmathrm%7Bi%7D.& alt=&(3+4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=2+11\mathrm{i}.& eeimg=&1&&&br&&br&&blockquote&哇！&br&&/blockquote&&br&我们发现，&b&把所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零之后，多项式的乘法就跟复数的乘法一样了！&/b&&br&&br&&blockquote&好神奇啊！这是巧合吗？？？&br&&/blockquote&&br&这不是巧合。&br&&br&不妨设想一下，假如有个人只知道实数而不知道复数，我们如何向他解释&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&是什么呢？&br&&br&我们会说：&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&就是一个平方等于&img src=&///equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&&的数，也就是说，&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D%5E2%2B1%3D0.& alt=&\mathrm{i}^2+1=0.& eeimg=&1&&&br&&br&这不正是我们之前做的事情吗？&br&&br&我们先在实数中加入了一个奇怪的『数』，记作&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，接着把所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&都换成零。&br&&br&所以，把实系数多项式环&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{R}[x]& eeimg=&1&&中所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零，&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&就变得跟&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&一样了，于是我们就可以得到复数（域）了。&br&&br&复数域就是这么来的。（当然也可以直接定义，这里只讲代数方法。）&br&&br&用数学语言来说，『&b&把所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零&/b&』这个操作叫『&b&模掉&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&生成的理想&/b&』。&br&&br&所谓『&b&&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&生成的理想&/b&』，在这里就是指&b&一切&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&的倍数&/b&，记作&img src=&///equation?tex=%28x%5E2%2B1%29& alt=&(x^2+1)& eeimg=&1&&. 因为&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&变为零，那么它的倍数肯定都变为零了嘛。所以&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&所有的倍数，即&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&生成的理想，都被『模掉』啦。&br&&br&写成数学语言就是：&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D%2F%28x%5E2%2B1%29%5Ccong%5Cmathbb%7BR%7D%28%5Cmathrm%7Bi%7D%29%3D%5Cmathbb%7BC%7D.& alt=&\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{R}(\mathrm{i})=\mathbb{C}.& eeimg=&1&&&br&&br&这个『模掉理想』的操作并不局限于&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&. 实际上，&b&我们把任何一个不可约多项式生成的理想模掉，都相当于是在原来的数域中加入了该多项式的根。&/b&&br&&br&当然，我们一般用这个方法扩张有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&而不是实数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&，因为&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&扩张一步之后得到复数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&&，就没法再继续这样扩张了（因为&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&&是&b&代数闭域&/b&），而&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&有很多有趣的扩张。&br&&br&举个例子，&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&不在有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&中，而它是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的不可约多项式&img src=&///equation?tex=x%5E2-2& alt=&x^2-2& eeimg=&1&&的根，所以我们如果想把&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&加进&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&中，我们就把有理系数多项式环&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{Q}[x]& eeimg=&1&&模掉&img src=&///equation?tex=x%5E2-2& alt=&x^2-2& eeimg=&1&&生成的理想，也就是：&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Bx%5D%2F%28x%5E2-2%29%5Ccong%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29.& alt=&\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)\cong\mathbb{Q}(\sqrt{2}).& eeimg=&1&&&br&&br&&blockquote&那如果模掉&b&可约多项式&/b&生成的理想会怎么样？比如，模掉&img src=&///equation?tex=%284x%5E2-9%29& alt=&(4x^2-9)& eeimg=&1&&会怎么样？&/blockquote&&br&额，那就会得到一个很奇怪的东西……想一想，由于&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9%3D%282x%2B3%29%282x-3%29& alt=&4x^2-9=(2x+3)(2x-3)& eeimg=&1&&，我们把&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9& alt=&4x^2-9& eeimg=&1&&换成零，却没有把它的因子&img src=&///equation?tex=2x%2B3& alt=&2x+3& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=2x-3& alt=&2x-3& eeimg=&1&&换成零。这就意味着，&b&将会有两个不是零的数乘起来是零&/b&……这样的环性质就太差了（连整环都不是），并不是原来数域的扩张。&br&&br&&blockquote&走之前我想问你最后一个问题……&br&&/blockquote&&br&爱过，不可约，理想已被模掉，不是巧合……&br&&br&&blockquote&不不不，不是这些。你刚刚说在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{R}[x]& eeimg=&1&&中模掉&img src=&///equation?tex=%28x%5E2%2B1%29& alt=&(x^2+1)& eeimg=&1&&就相当于是在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&中加入了&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&的根&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&，可是为什么不是加入&img src=&///equation?tex=-%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&-\mathrm{i}& eeimg=&1&&呢？&img src=&///equation?tex=-%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&-\mathrm{i}& eeimg=&1&&也是&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&的根啊。&/blockquote&&br&啊，这是个好问题。简单一点的回答就是，你在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&中加入&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&或&img src=&///equation?tex=-%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&-\mathrm{i}& eeimg=&1&&，得到的都是复数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&&. 更深层次的原因是，&b&不可约多项式的根在代数上是没有办法区分的&/b&，加入『不同』的根，得到的扩域在代数上没有区别（同构）——这是伽罗瓦理论告诉我们的。不过在这里我就不多说了=w=&br&&br&那么就这样=w=
看了问题描述真是太心疼题主了TuT（如果我是老师的话，有学生问出这个问题我肯定非常激动！）给出的是这个问题的『标准答案』，我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。（与以前一样，为了可读性，会牺牲严谨性。想认真学还是应该…
&img src=&/v2-d706f4605af3cdef7aea82ea045d91b3_b.png& data-rawwidth=&1343& data-rawheight=&625& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1343& data-original=&/v2-d706f4605af3cdef7aea82ea045d91b3_r.png&&&p&导语：在现实生活中，我们经常要利用观测现象（特征数据）推测现象背后的原因。例如我们看到草地湿了，需要判断是不是下雨导致的；今天的交易量大涨，需要判断是有新资金入场、还是存量资金雄起了一把；去医院体检，检查结果为阳性，是因为真的得病了，还是因为医院的误诊。朴素贝叶斯算法可以利用历史数据的分布，给你一个最有可能的结果，使你犯错误的概率最小化。&/p&&p&本文由JoinQuant量化课堂推出 。难度标签为进阶上，理解深度标签：level-0&/p&&h4&1. 一个例子说清楚的事情绝不用定义：&/h4&&p&先说一句特别复杂的朴素贝叶斯介绍：朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理，特征条件独立假设和后验概率最大化的分类方法。不知道你们看完了什么感受，反正我是一脸懵逼。下面我用一个小例子让大家明白这到底是怎么回事。&br&举个例子：某一种病，年轻人得病的概率远远小于年长的。如果一个年轻人检查为阳性，那么他就能直接被确诊吗？要知道，检查为阳性，可能会是误诊的哦。这个时候，朴素贝叶斯就登场了。我们不妨把各种可能性列出来，画一个图：&/p&&img src=&/v2-a20f05c66d78aa71406e_b.png& data-rawwidth=&1145& data-rawheight=&528& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1145& data-original=&/v2-a20f05c66d78aa71406e_r.png&&&p&上图中，箭头附近的数字表示各种情况的概率。例如，没病然而检查为阳性（说明误诊了）的概率是1%，没病而且检查为阴性的概率是99%。如果一个年轻人去医院体检，体检结果是有病，那么这个人到底是有病还是没病呢？或者说这个人真实得病的概率有多大呢？&/p&&p&有的人可能会说，既然有病的人会有99%的被确诊，至少得病的概率比没病的概率要高吧。其实，一个年轻人检查出有病，真正得病的概率比没病的概率还要低！&/p&&p&现在我们来分析下：假设人群中有20000人，按照第一个图中的患病的概率，18000人是没有病的，2000人是有病的；在18000个没有病的人中，年轻人的概率为95%，检查为阳性的概率为1%，那么“年轻”并且“检查为阳性”并且“没病”的人数一共有%=171人；在2000个有病的人中，年轻人的概率是5%，检查为阳性的概率是99%。那么年轻人得病并且被检查出来的人数为%=99人。如果我们现在只知道这个人是年轻人，而且检查结果是阳性：那么他有可能是本身真的得病并且被检查出来的人，也有可能是误诊了的人。前者的概率就是99/(99+171)=36.7%。后者为171/(99+171)=63.3%。很显然，我们有更大的可能性相信他没有得病（所以现实生活中，医生会让你多复诊几次）。&/p&&p&&img src=&/v2-eddfc33d5ee_b.png& data-rawwidth=&1141& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1141& data-original=&/v2-eddfc33d5ee_r.png&&在上面的整个分析过程中，我们就分别用到了特征条件独立假设，贝叶斯定理，条件概率最大化这几个知识点。下面我们进行详细说明。&br&&/p&&h4&2. 特征的条件独立假设&/h4&&p&我们的目的是通过“目前已知的数据”判断未知的结果，那么这个“目前已知的数据”就被称为特征。在上面判断有没有得病的例子中，特征就是这个人“是否年轻”以及“检查结果是否为阳性”。&/p&&p&这里我们要做一个重要的假设：上述两个特征之间是独立的。在判断这个人有没有病的时候，我们认为这个人“是否年轻”和“检查是否为阳性”之间没有联系。因此，随机抽取一个检查者，他“年轻”并且“检查结果为阳性”的概率就等于“年轻”的概率乘以“检查结果为阳性”的概率。&/p&&p&上面这个假设就是条件独立假设。如果变量不满足独立性，则不可以将两者的概率相乘，比如天空有云的概率是0.5，下雨的概率是0.33，但下雨和“天空中有云”不是独立的，就不能得到“即有云又下雨”的概率为0.5?0.33这个结论。&br&&/p&&h4&3.贝叶斯定理&/h4&&p&贝叶斯定理主要描述在给定特征数据的情况下，判定属于某个类别的概率。在下面的公式中，样本的数据用X=x表示，样本的类别属于某个类别用Y=ck表示。&/p&&p&&img src=&/v2-0155cf85cdf193aabbcced_b.png& data-rawwidth=&974& data-rawheight=&83& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&974& data-original=&/v2-0155cf85cdf193aabbcced_r.png&&在章节1给出的例子中，注意看我们计算真正得病的公式：&/p&&p&&img src=&/v2-0ab44f8a645f1df84b58d16b_b.png& data-rawwidth=&657& data-rawheight=&48& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&657& data-original=&/v2-0ab44f8a645f1df84b58d16b_r.png&&其中，A为真实得病的人中“检查为阳性”并且“年轻”的数目，B为人群中所有“检查为阳性”并且“年轻”的人的数目，其实这个公式就是贝叶斯定理的公式。现在感觉贝叶斯定理是不是简单了很多。&br&&/p&&h4&4. 后验概率最大化&/h4&&p&我们知道一个“年轻”人“检查为阳性”，现在需要你告诉他有病还是没病。那么很显然，我们只要用上文公式做计算，看看这个“年轻”并且“检查结果为阳性”的人到底是得病的概率更高，还是没得病的概率更高。这个就是后验概率最大化的直观解释。在上面的例子中，我们就可以告诉他，检查结果为阳性也不意味着你就得病了，但是为了安全起见，需要后续跟进复查。&br&&/p&&h4&5. 朴素贝叶斯的具体使用-sklearn&/h4&&p&上面通过了一个小例子介绍了一下朴素贝叶斯算法的算法原理，但是如何在实际的代码中使用朴素贝叶斯算法帮助我们完成分类呢？下面介绍下python环境中的朴素贝叶斯算法是如何使用的。&/p&&p&特征是通过收盘价数据计算的SMA，WMA，MOM指标，训练样本的特征是从到中截止前一天的SMA，WMA，MOM指标，训练样本的类别标签是日到中每一天的涨跌情况，涨了就是True，跌了就是False，测试样本是日的三个指标以及涨跌情况。我们可以判定之后判断结果是正确还是错误，如果通过朴素贝叶斯判断的结果和当天的涨跌情况相符，则输出True，如果判断结果和当天的涨跌情况不符，则输出False。（和SVM那一篇中例子的作用是一样滴，只是为了展示如何使用，不对预测的准确性做担保啊）&/p&&p&本文由JoinQuant量化课堂推出，版权归JoinQuant所有，商业转载请联系我们获得授权，非商业转载请注明出处。&/p&&p&&b&到JoinQuant查看代码&/b&并与作者交流讨论：&a class=& wrap external& href=&/?target=https%3A///post/1727%3Ff%3Dzh& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【量化课堂】朴素贝叶斯入门&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
导语：在现实生活中，我们经常要利用观测现象（特征数据）推测现象背后的原因。例如我们看到草地湿了，需要判断是不是下雨导致的；今天的交易量大涨，需要判断是有新资金入场、还是存量资金雄起了一把；去医院体检，检查结果为阳性，是因为真的得病了，还是…
&p&虚数 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 是不是真实存在的，这真的不是一个显而易见的问题，而且按照中国教材的编写顺序，数学教育中第一次出现和现实脱离的概念大概就是虚数，这应该是教育中一次很好阐述数学思想的时间和机会。&/p&&p&&strong&1 数系的扩展&/strong&&/p&&p&数系的扩展过程直观上来说就是给数轴“填坑”的过程。&/p&&p&&strong&1.1 整数&/strong&&/p&&p&自然数出现是挺自然的，小孩自然就知道了一个苹果、两个香蕉，去掉苹果香蕉，剩下1、2，就是数学的初步抽象。&img src=&/3abdd8ec3fc98d71eff1b_b.png& data-rawwidth=&770& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&/3abdd8ec3fc98d71eff1b_r.png&&&/p&&p&这个时候数轴上有没有坑啊？当然有了。&img src=&/c13d1ef08f881b0994967bbaaa98548d_b.png& data-rawwidth=&770& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&/c13d1ef08f881b0994967bbaaa98548d_r.png&&&/p&&p&&strong&1.2 有理数&/strong&&/p&&p&数轴上还有坑吗？当然有。&img src=&/280f6ace818d_b.png& data-rawwidth=&770& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&/280f6ace818d_r.png&&&/p&&p&整数与整数的比就是有理数。有理数这个名字翻译的有点意思，英文是rational number，明明是可以翻译为”比例数“（就是整数和整数的比），让我以前一直觉得后面出现的无理数好粗鲁。&/p&&p&&strong&1.3 无理数&/strong&&/p&&p&有了整数和有理数之后，数轴还有没有坑？这个问题真的不那么显然了。任何两个有理数，比如说0.5和0.7，平均值 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B0.5%2B0.7%7D%7B2%7D%3D0.6& alt=&\frac{0.5+0.7}{2}=0.6& eeimg=&1&& 还是有理数，不论这两个有理数之间隔得有多近。就是说任何两个有理数之间不可能相邻，他们之间必定还有有理数。看起来就仿佛在数轴上连绵不断。&img src=&/f62db1401b1cae1eafa78f9d86b3504a_b.png& data-rawwidth=&770& data-rawheight=&388& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&/f62db1401b1cae1eafa78f9d86b3504a_r.png&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Csqrt2& alt=&\sqrt2& eeimg=&1&& 是第一个发现的无理数，因此还引发了 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25AC%25AC%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E5%25AD%25B8%25E5%258D%25B1%25E6%25A9%259F& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第一次数学危机&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。&/p&&p&我们回头来看看 &img src=&///equation?tex=%5Csqrt2& alt=&\sqrt2& eeimg=&1&& ，不通过证明我们还真没有办法说明它不是有理数，实际上大多数时候，无理数都需要证明，比如 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&& 这样有名的无理数，在证明之前我们并不知道它是有理数还是无理数，而且证明难度还不小。&/p&&p&这里稍微提一下，其实无理数的数目要比有理数多得多。我们知道，有理数是无限循环小数，无理数是无限不循环小数。我们直观的来想象一下，我们面前有10个球，上面标着0到9的数字，我们闭着眼睛随机抓取一个球，球上标注的数字就作为小数点后面的第一个数字，把球放回去再抓，就作为第二个数字，无限的抓下去，生成有理数的概率为0（概率学里面，概率为0不并意味着事件完全不可能发生，而是说几乎不可能）。&img src=&/666ccaa90dc7a6df935be_b.png& data-rawwidth=&770& data-rawheight=&235& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&/666ccaa90dc7a6df935be_r.png&&&/p&&p&其实无理数才是常态，有理数才是没有道理的数。&/p&&p&&strong&1.4 实数的连续性&/strong&&/p&&p&现在，数轴上有了整数、有理数、无理数了，数轴上还有坑吗？没有了。&/p&&p&怎么证明？呃，这个证明虽然不复杂，但是有点烧脑，跳过吧，不妨碍后面的讲解（谢谢评论区的同学指正）。&/p&&blockquote&&b&整数、有理数、无理数统称为实数，实数是连续的。&/b&&/blockquote&&p&直观理解连续，就是数轴上没有坑了，再也不可能有别的数了。&/p&&p&实数的连续性是非常重要而且基础的性质，没有实数连续性，函数就不连续，函数不连续，可微可导微积分都没有了，真不知道世界会是什么样子。&/p&&p&再比如，我们想想，有理数是一个个的点，长度为0，就算无数多个有理数加起来，长度还是为0，那么长度是哪里来的？连续的实数才有长度，怎么证明？也无法证明，这是关于连续性的一种性质。&/p&&p&至此，我们把实数称为”完备“。&/p&&p&当然，还有人说，我可以不破坏实数的各种性质，但是可以在实数的缝隙里面加上无穷小量（在上面的实数理论中，无穷小量不是确确实实的数，只是一个概念），就这么创造了新的实数，这种实数自有它的用处，不过目前不是主流。&/p&&p&&strong&1.5 数学并非科学&/strong&&/p&&p&什么是科学？科学很重要的一点是，可以被证伪。比如说我们说水的沸点是100摄氏度，那到底是不是呢？用温度计量了就知道。科学的研究需要用事实来证明或者证伪。&/p&&p&从实数理论来看，我们可以认识到一点，数学并非科学。比如上面说的无穷小量到底是不是数，就可以被随意的定义了，在这个基础上，没有逻辑矛盾的推出了各种理论理论，自然也没有办法证明和证伪。&/p&&p&所以数学会从各种公理出发建立很多分支，不过如果和科学研究脱钩的话，这个分支也不会有很多人去研究它，慢慢也就失去了活力。当然也有很多分支本来也只是少数数学家的玩具，后来被发现可以作为工具进行各种数学研究。现在可能最纯粹的数学只有”数论“了。&/p&&p&想起一个爱因斯坦的公案，爱因斯坦作为一个理论物理学家，工作方式很像是一个数学家，从光速不变这个假设出发，推出了”相对论“，学术界都说，你好牛哦，说的好有道理哦，但是，诺贝尔物理学奖没有办法颁给他，因为证明不了也证伪不了！颁奖委员会当时的心态是”我好想给爱因斯坦颁奖哦“，就在爱因斯坦的研究中找个靠谱的”光电效应“颁奖。&/p&&p&&strong&2 虚数是否真是存在？&/strong&&/p&&p&虚数这个名字，指出了一点，虚数在现实中没有对应物的，是一个人工数。&/p&&p&似乎是人工数就必然不真实，让我们来看看是不是？&/p&&p&&strong&2.1 虚数开始是数学家的玩具&/strong&&/p&&p&古代的数学家也和我们一样，也玩24点，意大利米兰有个数学家叫做卡当，出了一个题，能否把10分成两部分，让它的乘积为40？他给出的答案是， &img src=&///equation?tex=%285%2B%5Csqrt%7B-15%7D%29%285-%5Csqrt%7B-15%7D%29%3D40& alt=&(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15})=40& eeimg=&1&&，这里负数第一次出现在了根式里，不过就好像几何题划的辅助线一样，虽然参与运算，但是并没有意义。数学家也不可能给辅助线专门定义一个概念。&/p&&p&&strong&2.2 虚数似乎没有充分存在的理由&/strong&&/p&&p&虚数 &img src=&///equation?tex=i%3D%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&i=\sqrt{-1}& eeimg=&1&& ，这个就是 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&听它的名字就感觉它是“虚”的：&/p&&ul&&li&&b&从自然数扩张到整数：&/b&增加的负数可以对应“欠债、减少”&/li&&li&&b&从整数扩张到有理数：&/b&增加的分数可以对应“分割、部分”&/li&&li&&b&从有理数扩张到实数：&/b&增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（ &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&& ）”&/li&&li&&b&从实数扩张到复数：&/b&增加的虚数对应什么？&/li&&/ul&&p&虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。&/p&&p&看起来我们没有必要去理会 &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&& 到底等于多少，我们规定 &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&& 没有意义就可以了嘛，就好像 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D& alt=&\frac{1}{0}& eeimg=&1&& 一样。&/p&&p&我们来看一下，一元二次方程 &img src=&///equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%28a%5Cneq+0%29& alt=&ax^2+bx+c=0(a\neq 0)& eeimg=&1&& 的万能公式：其根可以表示为：&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D& alt=&x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& eeimg=&1&& ，其判别式 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3Db%5E2-4ac& alt=&\Delta =b^2-4ac& eeimg=&1&& 。&/p&&ul&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3E0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个不等的实数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D0& alt=&\Delta =0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个相等的实数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3C0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？&/li&&/ul&&p&数学家很吝啬的，不会为这点微不足道的好处去增加概念。虚数如果只是让开方可以封闭，运算出来的结果还是虚数，这个理由不充分。&/p&&p&对于数学而言，概念、公理越少越好，越少数学的根基就越稳固。欧式几何的五个公设，两千年来数学家都在企图去证明第五公设，只为了减少一条公设。&/p&&p&&strong&2.3 虚数是解一元三次方程的必须工具&/strong&&/p&&p&我们再看一下，一元三次方程 &img src=&///equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%28a%5Cneq+0%29& alt=&ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)& eeimg=&1&& ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E7%25A8%258B& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&维基百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，但愿大家能够打开。&/p&&p&我们讨论一下 &img src=&///equation?tex=b%3D0& alt=&b=0& eeimg=&1&& ，此时，一元三次方程可以化为 &img src=&///equation?tex=x%5E3%2Bpx%2Bq%3D0& alt=&x^3+px+q=0& eeimg=&1&& ，其根可以表示为：&/p&&img src=&///equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D++x_1%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%5C%5C+x_2%3D%5Comega+%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Comega+%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%5C%5C+x_3%3D%5Comega+%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Comega+%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D+%5Cend%7Bcases%7D+& alt=& \begin{cases}
x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases} & eeimg=&1&&&p&其中 &img src=&///equation?tex=%5Comega+%3D%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt%7B3%7Di%7D%7B2%7D& alt=&\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&判别式为 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3& alt=&\Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3& eeimg=&1&& ，注意观察解的形式， &img src=&///equation?tex=%5CDelta+& alt=&\Delta & eeimg=&1&& 是被包含在根式里面的。&/p&&ul&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3E0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有一个实数根和两个复数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D0& alt=&\Delta =0& eeimg=&1&& ：&/b&有三个实数根，当 &img src=&///equation?tex=p%3Dq%3D0& alt=&p=q=0& eeimg=&1&& ，根为0，当 &img src=&///equation?tex=p%2Cq%5Cneq+0& alt=&p,q\neq 0& eeimg=&1&& ，三个根里面有两个相等&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3C0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？&/li&&/ul&&img src=&/a0bedf49bba391aac13ed_b.png& data-rawwidth=&825& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&825& data-original=&/a0bedf49bba391aac13ed_r.png&&&p&要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根（谢谢匿名网友勘误），但是在当时并不知道，并且开始思考复数到底是什么？&br&&/p&&p&求解方程组，确实让人觉得虚数是一个数学工具，但是还是没有揭开它的本质，还不足以让其登堂入室。&/p&&p&&strong&2.4 虚数真实存在的理由&/strong&&/p&&p&这个必须从泰勒公式的收敛性说起，关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何通俗地解释泰勒公式？&/a& 。&/p&&blockquote&&b&泰勒公式的收敛性直观来说就是泰勒级数（即泰勒公式展开后的级数）的函数图像是否能够贴合原函数，这个和泰勒级数本身的收敛性有关。&/b&&/blockquote&&p&&strong&2.4.1 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dsin%28x%29& alt=&f(x)=sin(x)& eeimg=&1&& 的收敛性&/strong&&/p&&p&在 &img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&& 点泰勒展开， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Csin+x%3D%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%7D%7D%7B%282n%2B1%29%21%7D%7Dx%5E%7B2n%2B1%7D& alt=&\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}& eeimg=&1&& ，级数的收敛范围是 &img src=&///equation?tex=-%5Cinfty+%3Cx%3C%2B%5Cinfty+& alt=&-\infty &x&+\infty & eeimg=&1&&，如图，用 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 来表示展开的阶数（阶数即泰勒级数里面求导的次数，或者可以理解为级数多项式的最高次数)：&img src=&/6d4bda5f9e5_b.png& data-rawwidth=&819& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&/6d4bda5f9e5_r.png&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=sin%28x%29& alt=&sin(x)& eeimg=&1&& 的泰勒级数在整个实数范围收敛，展开的阶数越多，对原函数的贴合就越好。&/p&&p&&strong&2.4.2 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D& alt=&f(x)=\frac{1}{1-x}& eeimg=&1&& 的收敛性&/strong&&/p&&p&在 &img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&& 点泰勒展开， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D%3D%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}& eeimg=&1&& ，级数的收敛范围 &img src=&///equation?tex=%5Cleft%7Cx%5Cright%7C%3C1& alt=&\left|x\right|&1& eeimg=&1&& ：&img src=&/e6f396cb280b1cfad8c3a5_b.png& data-rawwidth=&796& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&796& data-original=&/e6f396cb280b1cfad8c3a5_r.png&&&/p&&p&从图中可以看到，泰勒级数在 &img src=&///equation?tex=%5Cleft%7Cx%5Cright%7C%3C1& alt=&\left|x\right|&1& eeimg=&1&& 收敛。超出这个范围，泰勒级数的图像就远离原函数的图像。&/p&&p&在 &img src=&///equation?tex=x%3D0.5& alt=&x=0.5& eeimg=&1&& 点泰勒展开， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D%3D%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D2%5E%7Bn%2B1%7D%28x-0.5%29%5E%7Bn%7D& alt=&\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n+1}(x-0.5)^{n}& eeimg=&1&& ，级数的收敛范围 &img src=&///equation?tex=0%3Cx%3C1& alt=&0&x&1& eeimg=&1&& ：&img src=&/d46edb9e415ee18e257100_b.png& data-rawwidth=&796& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&796& data-original=&/d46edb9e415ee18e257100_r.png&&&/p&&p&从图中可以看到，泰勒级数在 &img src=&///equation?tex=0%3Cx%3C1& alt=&0&x&1& eeimg=&1&& 之间收敛。超出这个范围，泰勒级数的图像就远离原函数的图像。&/p&&p&对比这两个展开的收敛区间，我们看不出什么特点出来，我们以收敛范围作为直径，展开点作为圆心来画下圆（这个圆被成为泰勒级数的收敛圆）看看：&img src=&/c6dca0bcad2b4c0d3658f1_b.png& data-rawwidth=&689& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&689& data-original=&/c6dca0bcad2b4c0d3658f1_r.png&&&/p&&p&在不同位置展开的泰勒级数的收敛圆都相切于 &img src=&///equation?tex=x%3D1& alt=&x=1& eeimg=&1&& 这根直线。&/p&&p&解释一下原因， &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D& alt=&f(x)=\frac{1}{1-x}& eeimg=&1&& 有一个奇点，即 &img src=&///equation?tex=x%3D1& alt=&x=1& eeimg=&1&& 的话，有 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D& alt=&\frac{1}{1-x}=\frac{1}{0}& eeimg=&1&& 没有定义，而泰勒级数的图像会以展开点为中心对称（容易验证，级数不是奇函数就是偶函数），所以如果在 &img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&& 点展开的话，因为 &img src=&///equation?tex=x%3D1& alt=&x=1& eeimg=&1&& 有 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%5Cto+%5Cinfty+& alt=&f(x)\to \infty & eeimg=&1&& ，所以对称的位置 &img src=&///equation?tex=x%3D-1& alt=&x=-1& eeimg=&1&& 有&img src=&///equation?tex=f%28x%29%5Cto+-%5Cinfty+& alt=&f(x)\to -\infty & eeimg=&1&& 。同理如果在 &img src=&///equation?tex=x%3D0.5& alt=&x=0.5& eeimg=&1&& 点展开的话，因为 &img src=&///equation?tex=x%3D1& alt=&x=1& eeimg=&1&& 有 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%5Cto+%5Cinfty+& alt=&f(x)\to \infty & eeimg=&1&& ，所以对称的位置 &img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&& 有 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%5Cto+-%5Cinfty+& alt=&f(x)\to -\infty & eeimg=&1&& 。&/p&&p&数学总是有道理的对吗？&/p&&p&&strong&2.4.3 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D& alt=&f(x)=\frac{1}{1+x^2}& eeimg=&1&& 的收敛性&/strong&&/p&&p&在 &img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&& 点泰勒展开， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%3D%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%28-1%29%5E+nx%5E%7B2n%7D& alt=&\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^ nx^{2n}& eeimg=&1&& ，级数的收敛范围 &img src=&///equation?tex=%5Cleft%7Cx%5Cright%7C%3C1& alt=&\left|x\right|&1& eeimg=&1&& ：&img src=&/db381acb9a5c2d0bf46dac_b.png& data-rawwidth=&828& data-rawheight=&613& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&828& data-original=&/db381acb9a5c2d0bf46dac_r.png&&&/p&&p&可以看出， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D& alt=&\frac{1}{1+x^2}& eeimg=&1&& 很奇怪的在 &img src=&///equation?tex=%5Cleft%7Cx%5Cright%7C%3C1& alt=&\left|x\right|&1& eeimg=&1&& 收敛，可是 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D& alt=&\frac{1}{1+x^2}& eeimg=&1&& 本身并没有奇点啊？&/p&&p&在 &img src=&///equation?tex=x%3D1& alt=&x=1& eeimg=&1&& 点泰勒展开，级数的收敛范围 &img src=&///equation?tex=1-%5Csqrt%7B2%7D%3Cx%3C1%2B%5Csqrt%7B2%7D& alt=&1-\sqrt{2}&x&1+\sqrt{2}& eeimg=&1&& ：&img src=&/32dd691fea75f61e48edbb4f_b.png& data-rawwidth=&810& data-rawheight=&613& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&810& data-original=&/32dd691fea75f61e48edbb4f_r.png&&&/p&&p&可以看出， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D& alt=&\frac{1}{1+x^2}& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=1-%5Csqrt%7B2%7D%3Cx%3C1%2B%5Csqrt%7B2%7D& alt=&1-\sqrt{2}&x&1+\sqrt{2}& eeimg=&1&& 收敛，仍然很奇怪。&/p&&p&对比这两个展开的收敛区间，看不出什么规律来，同样的画下收敛圆看看：&img src=&/1f74ceb159c0f02909a02_b.png& data-rawwidth=&886& data-rawheight=&530& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&886& data-original=&/1f74ceb159c0f02909a02_r.png&&&/p&&p&注意两个圆的交点是 &img src=&///equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 或者放到复平面上去就是 &img src=&///equation?tex=%280%2Ci%29& alt=&(0,i)& eeimg=&1&& 。这并不是巧合，确实是和虚数有关。&/p&&p&很长时间数学家都不知道为什么 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D& alt=&\frac{1}{1+x^2}& eeimg=&1&& 收敛范围这么奇怪，直到虚数出现之后，大家才知道 &img src=&///equation?tex=x%3Di& alt=&x=i& eeimg=&1&& 的话，有 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D& alt=&\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{0}& eeimg=&1&& 是个奇点！&/p&&p&整个推论过程从头到尾就没有出现过 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 的身影，最后却不得不考虑 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 。泰勒公式也使得数学家不得不认真面对虚数这个问题。&/p&&p&数学还是很讲道理的对吗？&/p&&p&泰勒公式的收敛性不得不让我们这样去考虑问题，虚数是真实存在的。我们长期习惯了用实数去思考数学问题，直到我们发现实数只是真实存在的复数的一部分。把实数比作三维空间，复数就是四维空间，泰勒公式就是生存在四维空间的动物。当我们在实数范围内研究泰勒公式时，我们发现它的行为好奇怪，最后才发现原来这不过是它在三维空间的投影。&/p&&p&实数是复数的一部分，用实数去研究数学问题并不是说不正确，就好像用牛顿力学在微观领域没有建树，但是去研究宏观物体仍然适用一样。只是我们应该看到更大的一个世界。&/p&&p&&strong&3 结论&/strong&&/p&&p&虚数是人工设立的一个概念，没有现实的对应物，但是我们不能认为它不存在，是虚构的。就好像每天我们要喝的水，我们知道他是由 &img src=&///equation?tex=H_2O& alt=&H_2O& eeimg=&1&& 组成，可是谁见过 &img src=&///equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&& 究竟是什么？目前对原子的了解也只是停留在数学方程式上，到底是什么样子我们也不清楚，但是肯定不能说&img src=&///equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&& 不存在。&/p&
虚数 i 是不是真实存在的，这真的不是一个显而易见的问题，而且按照中国教材的编写顺序，数学教育中第一次出现和现实脱离的概念大概就是虚数，这应该是教育中一次很好阐述数学思想的时间和机会。1 数系的扩展数系的扩展过程直观上来说就是给数轴“填坑”的…
谢邀。&br&&br&下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。&br&&br&我们来看两组数：&br&&ul&&li&&b&A：1，5，10，18，&b&23，&/b&27；&br&&/b&&/li&&li&&b&B：2，3，13，15，25，26。&/b&&br&&/li&&/ul&&br&这两组数有什么关系呢？&br&&br&它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。&br&即：&img src=&///equation?tex=1%2B5%2B10%2B18%2B23%2B27%3D84%3D2%2B3%2B13%2B15%2B25%2B26& alt=&1+5+10+18+23+27=84=2+3+13+15+25+26& eeimg=&1&&&br&&br&看到这里，你也许会不屑一顾：这有什么稀奇，这样的数组要多少有多少！&br&&br&真的是这样吗？那我们做一个小小的变化：算算各自数组的平方和。&br&然后你可能发现了：&img src=&///equation?tex=1%5E%7B2%7D%2B5%5E%7B2%7D%2B10%5E%7B2%7D%2B18%5E%7B2%7D%2B23%5E%7B2%7D%2B27%5E%7B2%7D%3D%5E%7B2%7D%2B3%5E%7B2%7D%2B13%5E%7B2%7D%2B15%5E%7B2%7D%2B25%5E%7B2%7D%2B26%5E%7B2%7D& alt=&1^{2}+5^{2}+10^{2}+18^{2}+23^{2}+27^{2}=}+3^{2}+13^{2}+15^{2}+25^{2}+26^{2}& eeimg=&1&&&br&这两组数的平方和也相等！&br&&br&这个时候，有些人可能有点小惊讶，但也有人会很淡定：毕竟每组6个数呢，找两组和及平方和都相等的应该并不是什么难事啊。&br&&br&但是事情并没有结束，我们算算它们各自的立方和：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B3%7D%2B5%5E%7B3%7D%2B10%5E%7B3%7D%2B18%5E%7B3%7D%2B23%5E%7B3%7D%2B27%5E%7B3%7D%3D%5E%7B3%7D%2B3%5E%7B3%7D%2B13%5E%7B3%7D%2B15%5E%7B3%7D%2B25%5E%7B3%7D%2B26%5E%7B3%7D& alt=&1^{3}+5^{3}+10^{3}+18^{3}+23^{3}+27^{3}=}+3^{3}+13^{3}+15^{3}+25^{3}+26^{3}& eeimg=&1&&&br&&br&这就让人有点意外了，不过，这并不是终点，请看：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B4%7D%2B5%5E%7B4%7D%2B10%5E%7B4%7D%2B18%5E%7B4%7D%2B23%5E%7B4%7D%2B27%5E%7B4%7D%3DD2%5E%7B4%7D%2B3%5E%7B4%7D%2B13%5E%7B4%7D%2B15%5E%7B4%7D%2B25%5E%7B4%7D%2B26%5E%7B4%7D& alt=&1^{4}+5^{4}+10^{4}+18^{4}+23^{4}+27^{4}=^{4}+3^{4}+13^{4}+15^{4}+25^{4}+26^{4}& eeimg=&1&&&br&&br&请再看：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B5%7D%2B5%5E%7B5%7D%2B10%5E%7B5%7D%2B18%5E%7B5%7D%2B23%5E%7B5%7D%2B27%5E%7B5%7D%3DD2%5E%7B5%7D%2B3%5E%7B5%7D%2B13%5E%7B5%7D%2B15%5E%7B5%7D%2B25%5E%7B5%7D%2B26%5E%7B5%7D& alt=&1^{5}+5^{5}+10^{5}+18^{5}+23^{5}+27^{5}=^{5}+3^{5}+13^{5}+15^{5}+25^{5}+26^{5}& eeimg=&1&&&br&&br&神奇吧？难道有什么玄机吗？&br&&br&并没有，如果我们继续下去：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B6%7D%2B5%5E%7B6%7D%2B10%5E%7B6%7D%2B18%5E%7B6%7D%2B23%5E%7B6%7D%2B27%5E%7B6%7D%3D& alt=&1^{6}+5^{6}+10^{6}+18^{6}+23^{6}+27^{6}=& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=2%5E%7B6%7D%2B3%5E%7B6%7D%2B13%5E%7B6%7D%2B15%5E%7B6%7D%2B25%5E%7B6%7D%2B26%5E%7B6%7D%3D& alt=&2^{6}+3^{6}+13^{6}+15^{6}+25^{6}+26^{6}=& eeimg=&1&&&br&六次方和就不一样了。&br&&br&这两组数看上去真是匪夷所思，奇妙之极。那么，它们究竟是怎么来的呢？&br&&br&原来，这些数字源于前苏联数学家 &i&Gelfond&/i& 发现的恒等式：&br&&img src=&///equation?tex=a%5E%7Bn%7D%2B%28a%2Bb%2B4c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B2b%2Bc%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B4b%2B9c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B5b%2B6c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B6b%2B10c%29%5E%7Bn%7D& alt=&a^{n}+(a+b+4c)^{n}+(a+2b+c)^{n}+(a+4b+9c)^{n}+(a+5b+6c)^{n}+(a+6b+10c)^{n}& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%28a%2Bb%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2Bc%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B2b%2B6c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B4b%2B4c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B5b%2B10c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B6b%2B9c%29%5E%7Bn%7D& alt=&=(a+b)^{n}+(a+c)^{n}+(a+2b+6c)^{n}+(a+4b+4c)^{n}+(a+5b+10c)^{n}+(a+6b+9c)^{n}& eeimg=&1&&&br&其中 &i&n&/i& = 1，2，3，4，5&br&&br&上面的例子，只是 &i&a &/i&= 1，&i&b &/i&= 1，&i&c &/i&= 2 的情形而已。如果改变 &i&a&/i&，&i&b&/i&，&i&c&/i& 的值，我们就可以得到其它满足要求的数组了。&br&&br&我们原以为这样的数组是「凤毛麟角」，不可多得的，现在看来，它们真的是「要多少有多少」的！&br&&br&这类问题，在数学上叫做「k 次乘方幂的等和问题」，或者「等幂和问题」。这个问题在表述上极为简洁，但是深究起来却有很多门道。比如，如果限定数组的个数（如每组 6 个数），我们能构造出多大的 &i&n&/i& 次幂等式？这个 &i&n&/i& 是不是有上界&b&？这依然是未解之谜。&/b&&br&&br&不过……&br&&br&我们知道，上文中 &i&Gelfond &/i&的构造的恒等式是「神来之笔」，要构造这样的等式，对普通人来说显然太难了。但是，如果我们放宽条件（比如：不对每个数组中数的个数作严格限制），那么，对普通人来说，这也是一件并不困难的事情哦！&br&&br&怎么做呢？请移步我的专栏文章：&a href=&/MathplusPlus/& class=&internal&&如何将一群人分成两组，使各自的总体实力「旗鼓相当」？- 看！你身边有一只数学&/a& ，这里不仅展现如何构造「等幂和」，更是挖掘了这个问题背后有趣的应用场景。&br&&br&#
谢邀。 下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。 我们来看两组数： A：1，5，10，18，23，27； B：2，3，13，15，25，26。 这两组数有什么关系呢？ 它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。 即：1+5+10+…
对于初学者，我推荐用&b&复利&/b&的例子来理解卷积可能更直观一些：&br&&br&小明存入100元钱，年利率是5%，按复利计算（即将每一年所获利息加入本金，以计算下一年的利息），那么在五年之后他能拿到的钱数是&img src=&///equation?tex=100%281%2B5%5C%25%29%5E5& alt=&100(1+5\%)^5& eeimg=&1&&，如下表所示：&br&&img src=&/5fa86c80c31dd277daa4d75_b.jpg& data-rawwidth=&1293& data-rawheight=&95& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1293& data-original=&/5fa86c80c31dd277daa4d75_r.jpg&&将这笔钱存入银行的一年之后，小明又往银行中存入了100元钱，年利率仍为5%，那么这笔钱按复利计算，到了第五年，将收回的钱数是&img src=&///equation?tex=100%281%2B5%5C%25%29%5E4& alt=&100(1+5\%)^4& eeimg=&1&&，我们将这一结果作为新的一行加入上面的表格中：&br&&img src=&/39f37df8c96d7219cba5da2f_b.jpg& data-rawwidth=&1296& data-rawheight=&134& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1296& data-original=&/39f37df8c96d7219cba5da2f_r.jpg&&以此类推，如果小明每年都往银行中存入新的100元钱，那么这个收益表格将是这样的：&br&&img src=&/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_b.jpg& data-rawwidth=&1296& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1296& data-original=&/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_r.jpg&&可见，最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和，即：&br&&img src=&/fbab606a0e_b.jpg& data-rawwidth=&1077& data-rawheight=&124& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1077& data-original=&/fbab606a0e_r.jpg&&用求和符号来简化这个公式，可以得到：&br&&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B5%7D%7Bf%28i%29g%285-i%29%7D%2C+%5Cmathrm%7Bwhere%7D+%5C+f%28i%29%3D100%2C+g%285-i%29+%3D+%281.05%29%5E%7B5-i%7D& alt=&\sum_{i=0}^{5}{f(i)g(5-i)}, \mathrm{where} \ f(i)=100, g(5-i) = (1.05)^{5-i}& eeimg=&1&&&br&在上式中，&img src=&///equation?tex=f%28i%29& alt=&f(i)& eeimg=&1&&为小明的&b&存钱函数&/b&，而&img src=&///equation?tex=g%28i%29& alt=&g(i)& eeimg=&1&&为存入银行的每一笔钱的&b&复利计算函数&/b&。&b&&u&在这里，小明最终得到的钱就是他的存钱函数和复利计算函数的卷积。&/u&&/b&&br&为了更清晰地看到这一点，我们将这个公式推广到连续的情况，也就是说，小明在从&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&到&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的这一段时间内，每时每刻都往银行里存钱，他的存钱函数为&img src=&///equation?tex=f%28%5Ctau%29%5C+%280%5Cleq+%5Ctau%5Cleq+t%29& alt=&f(\tau)\ (0\leq \tau\leq t)& eeimg=&1&&，而银行也对他存入的每一笔钱按复利公式计算收益：&img src=&///equation?tex=g%28t-%5Ctau%29%3D%281%2B5%5C%25%29%5E%7Bt-%5Ctau%7D& alt=&g(t-\tau)=(1+5\%)^{t-\tau}& eeimg=&1&&，则小明到时间&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&将得到的总钱数为：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7D+f%28%5Ctau%29g%28t-%5Ctau%29d%5Ctau%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7D+f%28%5Ctau%29%281%2B5%5C%25%29%5E%7Bt-%5Ctau%7Dd%5Ctau& alt=&\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau)(1+5\%)^{t-\tau}d\tau& eeimg=&1&&&br&&b&这也就是卷积的表达式了，上式可以记为&img src=&///equation?tex=%28f%5Cast+g%29%28t%29& alt=&(f\ast g)(t)& eeimg=&1&&。&/b&&br&&br&相信通过上面这个例子，大家应该能够很清晰地记住卷积公式了。下面我们再展开说两句：&br&&br&如果我们将小明的存款函数视为一个&b&信号发生（也就是激励）&/b&的过程，而将复利函数&img src=&///equation?tex=g%28t-%5Ctau%29& alt=&g(t-\tau)& eeimg=&1&&视为一个&b&系统对信号的响应函数（也就是&/b&&b&响应&/b&&b&）&/b&，那么二者的卷积&img src=&///equation?tex=%28f%5Cast+g%29%28t%29& alt=&(f\ast g)(t)& eeimg=&1&&就可以看做是在&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&时刻对系统进行观察，&b&得到的观察结果（也就是输出）&/b&将是过去产生的所有信号经过系统的「处理／响应」后得到的结果的&b&叠加，&/b&这也就是&u&&b&卷积的物理意义&/b&&/u&了。
对于初学者，我推荐用复利的例子来理解卷积可能更直观一些： 小明存入100元钱，年利率是5%，按复利计算（即将每一年所获利息加入本金，以计算下一年的利息），那么在五年之后他能拿到的钱数是100(1+5\%)^5，如下表所示： 将这笔钱存入银行的一年之后，小明…
这个项目：&a href=&///?target=https%3A///kimwalisch/primesieve& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&kimwalisch/primesieve · GitHub&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&在我的MBP(i7 2.3GHz)用clang++ -O3运行的结果是0.443秒。&br&&br&连参数都不用改啊，这个项目README里demo程序就是10亿。
这个项目： 在我的MBP(i7 2.3GHz)用clang++ -O3运行的结果是0.443秒。 连参数都不用改啊，这个项目README里demo程序就是10亿。
过600赞，感谢知友赏光。感谢 &a data-hash=&24c0f8a6d86dae0fa56f08& href=&///people/24c0f8a6d86dae0fa56f08& class=&member_mention& data-hovercard=&p$b$24c0f8a6d86dae0fa56f08&&@余翔&/a&在本原根上的指正，已修改。之前在引理的证明上有失误，感谢@李亦仰指正，已经对关键证明做了修正。&br&&br&---------------------------------600赞感谢分割线---------------------------&br&&br&按理来讲 &a data-hash=&099d18f09beb956e13db& href=&///people/099d18f09beb956e13db& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@zero& data-hovercard=&p$b$099d18f09beb956e13db&&@zero&/a&的答案已经说明清楚了，不过从这个问题的问法看来题主好像对整个过程并不清楚，那我们就做详细一点的剖析，主要走伽罗华理论的这条路。&br&该答案主要面向数学系之外的爱好者，&b&部分地牺牲了逻辑上的严密&/b&。长文预警，为此先给本文一个任务清单：&br&&br&&ul&&li&了解根式求解的局限性从何而来；&/li&&li&开根号和加多项式的根是两种扩张数域的方式；扩张的结构是否相同，决定多项式能不能用根式求解；&/li&&li&将同一多项式的所有根视为一个整体，为何可以看作一个整体；&/li&&li&了解刻画整体的方式：{局部}+{局部到其他局部的映射的集合（也就是&b&群&/b&）}&/li&&li&了解怎样用这种刻画方式来描述整体的层级结构；&/li&&li&群和扩张构成结构上的一一对应，群结构不同于根式求解的多项式，其扩张结构和开根号的扩张结构也不同，此类多项式将无法用根式求解。&/li&&/ul&&br&&br&&b&一&/b&&br&这个问题提得比较糙，导致最后问起来好像特别玄乎。我们应该说“有理系数五次方程”或者说“有理数域上的五次多项式”没有求根公式。在另外一些的特定数域上，存在五次方程有求根公式的情况，不过我只是知道有这回事，那些数域并没有做详细的了解。&br&&br&先说说多项式。大家都知道它长这样：&br&&img src=&///equation?tex=a_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_1x%2Ba_0& alt=&a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0& eeimg=&1&&&br&&b&“有理数域上的多项式”，不是说这个多项式的根是有理数，而是指多项式的系数&img src=&///equation?tex=a_n%2Ca_%7Bn-1%7D%2C...%2Ca_0& alt=&a_n,a_{n-1},...,a_0& eeimg=&1&&是有理数。&/b&&br&强调系数是有理数有什么意义？看一下有理系数二次方程标准形式&img src=&///equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0& alt=&ax^2+bx+c=0& eeimg=&1&&的求根公式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+& alt=&\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} & eeimg=&1&&&br&当然我们可以把它记为&br&&img src=&///equation?tex=f%28a%2Cb%2Cc%29%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+& alt=&f(a,b,c)=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} & eeimg=&1&&&br&也就是说，它实际上相当于系数&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&的一个函数。&br&这意味着什么？假设一个函数&img src=&///equation?tex=f%28a%2Cb%2Cc%29& alt=&f(a,b,c)& eeimg=&1&&只是对&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&做加减乘除，那么，当&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&是有理数的时候，只要分母不为0，&img src=&///equation?tex=f%28a%2Cb%2Cc%29& alt=&f(a,b,c)& eeimg=&1&&一定不是无理数。&br&而也就是说，&b&系数及其计算方式控制着求根公式的输出范围，这使得根式求解有它的局限&/b&。比如，如果只允许加减乘除的计算方式，那么连&img src=&///equation?tex=x%5E2-2%3D0& alt=&x^2-2=0& eeimg=&1&&这种都不存在求根公式，因为有理数做加减乘除不会得到无理数。要是系数是复数，因为复数域是代数闭域，复数域上任何一个多项式的根都是复数，就不存在无法求解的问题了。&br&&br&所以，“有理系数五次以上多项式无法用根式求解”的意思，是说五次以上的多项式里存在这些多项式，它们的根无法用有理数做四则运算和开乘方得出。&br&总而言之，根在有理数域里的，靠四则运算就已经能求解（数学上称有理数域对四则运算&b&封闭&/b&）。根在有理数域外的，我们只有通过开方去拓展有理数域——加入有理数的整数次方根——组成一个新的数域，让方程的根可以算出来。这就是要出现“根式求解”的原因。人们一直以为靠开方生成的“拓展树”（数学上称这个“拓展树”为&b&根式扩张塔&/b&）可以把它的枝桠伸到任何一个多项式的根那里，但是阿贝尔扼杀了这种乐观。直观地说，五次以上多项式无法用根式求解，就是存在多项式的根藏在在这株“拓展树”的枝桠的“缝隙”里。&br&&br&&b&二&/b&&br&怎样发现这种“缝隙”？这个问题就像我们问&有理数之间的缝隙怎样被发现“一样。有理数和有理数的间隔可以任意小，用直观的发现方法已不可行，因此发现这个”缝隙“只能是利用反证法。&br&这个反证法怎么做？回忆一下&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+& alt=&\sqrt{2} & eeimg=&1&&是无理数的证明。概括地说，有理数总可以表示为互质的两个整数之比p/q，在这种情况下分子分母不可能继续约分，而费马证明，&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+& alt=&\sqrt{2} & eeimg=&1&&如果有整数比的形式，分子和分母可以无穷次地约分下去，从而&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+& alt=&\sqrt{2} & eeimg=&1&&不可能是有理数。&br&这就是说，发现“缝隙”的方式，就}