年高中常见题型解决方法归纳_专题06_函数单调性的判断、证明和单调区间的求法-博泰典藏网
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年高中常见题型解决方法归纳_专题06_函数单调性的判断、证明和单调区间的求法
导读：第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，区间具有严格的单调性，区间D叫做y?f(x)的单调区间，否则都叫函数不具有严格的单调性，3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，④判断f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)，⑤根据函数单调性的定义下结论，（2）复合函数分析法，u?[m,n]都是
第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法 【考纲要求】 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。 【基础知识】 区间具有严格的单调性，区间D叫做y?f(x)的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。 3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 （1）定义法
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设x1,x2?D，且x1?x2；②作差，求；④判断f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论。 （2）复合函数分析法 设y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是单调函数，则y?f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有f(x)?0(f(x)?0)，则f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数）。 111（4）图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。 4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 （1）定义法
（2）复合函数法
先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。 （3）导数法
在其对称区间上的单调性相减，如函数y?x2。
（2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数?增函数不一定是增函数，函数y?x和函数y?x3都是增函数，但是它们的乘积函数y?x4不是增函数。
（3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
（4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“?”连接，只能用逗号隔开。 【方法讲评】
证明函数f(x)?x?ax(a?0)在区间(a,??)是增函数。 解：设a?x1?x2，f(x2)?f(x1)?x2?x1x2(x2?x1)?a(x2?x1)x1x2ax2?x1?ax1?x2x1?ax1?x1x2?ax2x1x222 ??(x2?x1)(x1x2?a)x1x2
?f(x2)?f(x1)?0
?函数f(x)?x?ax(a?0)在区间(a,??)是增函数。 例2
求函数f(x)?x?(a?0)的单调区间． x解：∵函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，设x1、x2≠0，且x1<x2， [来源:学科网]a2a2a2f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ x1x2?(x1?x2)?a??(x1?x2)(2x2?x1x1x22?(x1?x2)(1?a2x1x22) x1x2?ax1x2)?(x1?x2)(x1x2?a)x1x2 (1)当x1<x2≤－a或a≤x1＜x2时， x1－x2a2， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－a]上和在[a，＋∞)上都是增函数． (2)当－a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时，x1－x2<0， 0<x1?x20，∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数．
已知函数f(x)的定义域是x?0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2，都有f(x1x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1时f(x)?0，f(2)?1 （1）求证f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,??)上时增函数；（3）解不等式f(2x?1)?2 解：(1)令x1?x2?1?f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?0?0?2f(?1)?f(?1)?0?f(x)是偶函数2令x1?x2??1?f[(?1)?(?1)]?f(?1)?f(?1)令x1?xx2??1?f[x?(?1)]?f(x)?f(?1) ?f(?x)?f(x)(2)设x1?x2?0?f(x1x2?f(x1)?f(x2)?f(x2??x1x2x1x2)?f(x2)?f(x2)?f(?f(x1x2x1x2)?f(x2))?x1?x2?0?1?x?1时，f(x)?0)?0?f(x1)?f(x2)?0?函数在（0，+?）上是增函数(3)令x1?x2?22?f(2?2)?f(2)?f(2)?2?f(4)?2 ?f(2x?1)?2?f(4)?f(x)是偶函数?x?0?2?2x?1?0?2?|2x?1|<4102102在（0，+?）上时增函数 22????x?且x?0,x??【变式演练2】已知f(x)是定义在区间[?1,1]上的奇函数，且f(1)?1，若m,n?[?1,1],m?n?0时，有f(m)?f(n)m?n?0。（1）解不等式f(x?12)?f(1?x)（2）若f(x)?t2?2at?1对所有x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立，求实数t的取值范围。 例4
已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1 （I）讨论函数f(x)的单调性； （II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。 解：（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?a?1x?2ax?2ax?a?1x22. 当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少； 当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??a?12a. 则当x?(0,?a?12a)时，f'(x)＞0；x?(?a?12a,??)时，f'(x)＜0. 故f(x)在(0,?a?12a)单调增加，在(?a?12a,??)单调减少. （Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2 等价于 ?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1
① 令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)?a?1x?2ax?4 ①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即
a?1x?2ax?4?0.
从而a??4x?12x?12?(2x?1)?4x?22x?)222x?1?2
故a的取值范围为（-∞，-2].
(Ⅰ)当a?12时，讨论f(x)的单调性； 142（Ⅱ）设g(x)?x?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使 f(x1)?g(x2)，求实数b取值范围. 例5
设函数f?x??sinx?cosx?x?1，0?x?2?，求函数f?x?的单调区间与极值。 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2?,知f(x)?1?令f(x)?0，从面sin(x?,,,2sin(x?3?2，?4).?4)?22，得x??，或x?当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表： 包含总结汇报、表格模板、出国留学、外语学习、教学研究、人文社科、IT计算机以及年高中常见题型解决方法归纳_专题06_函数单调性的判断、证明和单调区间的求法等内容。本文共4页
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1.3.1函数的单调性例题讲解.doc 11页
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1.3.1函数的单调性
题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间
例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间
相应作业1：课本P32第3题.
题型二、用定义法证明函数的单调性
用定义法证明函数的单调性步骤：取值
(取值，即_____________________________；
(作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等；
(定号，即____________________________________________________________;
④下结论，即______________________________________________________。
例2.用定义法证明下列函数的单调性
证明：在上是减函数.
▲定义法证明单调性的等价形式：
在上是增函数；
在上是减函数.
证明：在其定义域内是减函数；
证明：在上是增函数；
法一： 作差
法二：作商
已知函数在上为增函数，且，试判断在上的单调性，并给出证明过程；
▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：
直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27（2）P31（上5、1）
运算性质法：
①当时，函数与有相同的单调性；
当时，函数与有相反的单调性；
②当函数恒不等于零时，与单调性相反；
③若，则与具有相同的单调性；
④若、的单调性相同，则的单调性与之不变；
▲即：增+增=增
⑤若、的单调性相反，则的单调性与同.
▲即：增-减=增
注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断；
（2）与的单调性不能确定.
相应作业2：（1）讨论函数在上的单调性（）；
▲（2）务必记住“对勾”函数的单调区间（见练习册P29探究之窗.探究1）
知识拓展——复合函数单调性（▲难点）
一、复习回顾：
复合函数的定义：如果函数的定义域为A，函数的定义域为D，值域为C，则当时，称函数为与在D上的复合函数，其中叫做中间变量，叫内层函数，叫外层函数。
已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
引理1的证明：
▲重要结论1：复合法则
规律可简记为“_____________________”（四个字）
▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:
(若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；
(若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.
规律可简记为“_____________________”（四个字）
题型三、求复合函数的单调区间
例3. 求下列函数的单调区间.
1、注意：（1）求单调区间必先求定义域；
单调区间必须是定义域的子集；
写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开.
判断复合函数单调性步骤：
(求函数的定义域；
(将复合函数分解成基本初等函数：与；
(确定两个函数的单调性；
④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.
相应作业3：求下列函数的单调区间.
单调性的应用
题型四、比较函数值的大小
例4.已知函数在上是减函数，试比较与的
正在加载中，请稍后...由一道导数题谈解答导数解答题的方法和策略
&&&&导数的高考要求很高，是连接高中知识和大学高数之间的桥梁，在学习导数的过程中，把握导数考察的重点和常见的题型十分的关键，特别是一些常见的题目的处理方法十分关键。
下面是四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试的一道导数题目，其中涉及了导数的极值，单调性，最值等知识点。解题的思路和方法也是常见的，最后一问的问题转化一定要留意，高考题目不是竞赛，所有的考题都是围绕着考纲和知识点展开的，也就是说，我们只要积累了常见知识点的关键信息，迅速转化就可以了。
&&&下面就利用本题谈谈解答导数问题的注意点和方法：
1、正确求导并不要忘记定义域！
这是一部分中等生的关键点，就好像是解三角函数问题第一步的化标一样，没有正确的化标，一切就归零啦，所以一定要熟悉各种求导的公式和法则，迅速判断函数解析式的形式，正确选择公式法则。定义域就是要注意高考导数解答题中的分式，偶次根式和对数，所以一旦看到这些首先要写出正确的定义域，就有些童鞋慌张，在求解包含对数的时候单调性从负无穷还是讨论，犯错！！
2、熟悉各种题型的方法策略
导数的重点就是以用导数探求函数的单调性，并在此基础上才得到了极值最值等知识，所以一定要向知识点，总结题型和方法，如函数的单调性要掌握常见函数的单调性的求法，含参数的函数的单调性的求法，一直函数单调区间求参数的取值范围等题型，并仔细体会每种题型中的不同的处理方法。
比如本题的第二问就是属于已知函数单调区间求参数的取值范围，这类题目一般来说有两种处理方法，一是转化为含参数的函数单调性，求出题目的单调区间，和已知的单调区间对照，列出不等式或者不等式组，这个方法主要针对含参数的到导数方程能快速求解，比如能够因式分解啊。第二种就是转化为恒成立，转化成恒成立必须要考虑能不能分离参数，为什幺分离参数啊，其实就是转化为恒成立为题的标准形式啊。在解答数学问题中，我们必须熟悉常见问题的标准形式及其处理方法，然后就是转化问题了。
3、转化问题
转化问题就是根据题目中的已知条件对题目进行数学化处理，这就要求必须熟悉常见数学符号的处理方式，比如说本题第三问的满足区域的条件，这个数学符号不难理解啊，就是同时成立的意思啊，所以这般转化也就没问题啦，所以还要总结常见问题的转化策略。这就要求熟练运用三种数学语言：文字语言，图形语言和符号语言，并做到这几种语言间的熟练转化。
数学并不可怕，可怕的是没有方法！
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函数的单调性
一、知识梳理
单调性定义
设函数y ＝f (x ) 的定义域为A ，区间M ?A . 如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量?x =x 2-x 1＞0，则
当?y =f (x 2) -f (x 1) ＞0时，就称函数f (x ) 在区间M 上是增函数； 当?y =f (x 2) -f (x 1) ＜0时，就称函数f (x ) 在区间M 上是增函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．
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