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数学院08级本科生《实变函数》第四章单元测试题
1、证明：f (x ) 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，E [f &r ]可测。如果集
E [f =r ]可测，问f (x ) 是否可测？
2 . 设f (x ) , f n (x )(n =1, 2,...) 是定义在区间[a , b ]上的实函数，k 为正整数，试证
k =1n →∞f n -f |&1k ]是E 中使f n (x ) 收敛于f (x ) 的点集。
3．设{f n }为E 上可测函数列，证明它的收敛点集与发散点集都是可测的。
?x , x ∈E ; 4． 设E 是[0, 1]中的不可测集，令f (x ) =? 问 f (x )
在[0, 1]上是否可-x , x ∈[0,1]-E . ?
测？f (x )
是[0, 1]否可测？
(() n ) . . . 2, 1=5．设f n x 是E 上a.e 有限的可测函数列，而f n (x )a.e. 收敛于有限函数f (x ) 。则对任意ε&0，存在常数c 与可测集E 0?E , m (E \E 0) &ε，使在E 0上对一切n ，有f n (x ) ≤c 。这mE &∞。
6．设f (x ) 是R 上的连续函数，g (x ) 为[a , b ]上的可测函数，则f (g (x )) 是可测函数。
7．设{f n (x )}(n =1, 2,...) 在有界集E 上“基本上”一致收敛于f (x ) ，证明{f n (x )}a.e
收敛于f (x ) 。
8．试证鲁津理的逆定理成立。即：f (x ) 是可测集E 上的函数，对任意δ&0，存在闭子集
使f (x ) 在E δ上是连续函数，且m (E -E δ) &δ，则f (x ) 是E 上a.e. 有限可测函数。
9．设函数列{f n (x ) }在E 上依测度收敛于f (x ) ，且f n (x ) ≤g(x) a.e. 于E ,
n =1, 2, 3,
。试证f (x ) ≤g (x ) 在E 上a.e. 成立。
10．设在E 上f n (x ) =>f (x ) ，且f n (x ) ≤f n +1(x ) 几乎处处成立，n =1, 2, 3,
{f n (x )} a.e. 收敛于f (x ) 。
() x a.e. 成立n =1, 2, 3,
，11．设在E 上f n (x ) =>f (x ) ，而f n (x ) =g n 则有g n (x ) =>f (x ) 。
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