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对微观经济学供求模型和宏观经济中的AD—AS模型加以比较和分析，说明两者的异同。
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提问人：匿名网友
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对微观经济学供求模型和宏观经济中的AD—AS模型加以比较和分析，说明两者的异同。
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1出口与进口之差称为______，或______。出口大于进口称为______，出口小于进口称为______。2在开放经济中，决定国内生产总值的总需求指的是______。3对国内产品的支出=国内支出+______。4在开放经济中，国内总需求的增加会使得总需求曲线向______移动，从而使得均衡的国内生产总值______，贸易收支状况______。
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请教关于蒙代尔-弗莱明模型和小型开放经济的一些问题
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关于小型开放模型：
1.是不是只有贸易政策才能移动净出口曲线？
2.是不是进口某个国家的商品和在某个国家投资都只能用那个国家的货币？
关于蒙代尔-弗莱明模型：
参考书上说：蒙代尔-弗莱明模型分析的前提是：总供给曲线是水平的；即使在长期里，购买力平价也不存在。
1.因为是短期，所以假设总供给曲线水平吗？可是在模型中好像用不到。
2.购买力平价学说有应用价值吗？有哪一个模型用到购买力平价的假设呢？（并且参考书上又说固定汇率制指现实汇率受平价制约，固定汇率制不是也是蒙代尔-弗莱明模型中的一种情况吗？）
还有一个很重要的问题：什么情况下用小型开放经济模型，什么情况下用蒙代尔-弗莱明模型呢？
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情况下用小型开放经济模型，什么情况下用蒙代尔-弗莱明模型呢...
应该来说，在做题目的时候两个模型是等价的。。在资本完全流动是小型开放经济中，LM曲线就是垂直的
在现实中我起码没有看到过购买力平价。。做题目的时候购买力平价就是意味着实际利率不变。
※ 编辑：gb7231 于 23:43 编辑本文
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购买力平价不成立，是因为在MF模型里面，价格是粘性的。
总供给曲线水平，可以帮助从需求面思考问题，是典型的凯恩斯主义思路。
购买力平价是很有用的工具，或者说是一种理想的状态，尽管严格的实证结果表明：即便是长期，PPP理论也是不成立的。但是，这确实是一种起点，后来的货币主义汇率模型、资产组合调整的汇率模型，都是基于此。
PPP只是一个Benchmark，在此基础上很容易拓展以逼近现实。例如Balassa-Samuelson模型，就是在购买力平价下考虑不可贸易品，这一效应在实证中得到广泛支持。还有一些模型考虑发展中国家二元经济结构等等。经典模型的特色不是其结论的正确性，而是作为一种基础，可以帮助我们研究想要的问题。
短期来说，利率平价是有用的。
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我来比较系统地回答楼主的问题。
首先，也是需要特别强调的，蒙代尔-弗莱明模型只不过是IS-LM模型的变种，它的重要价值是将IS-LM模型推广到开放经济中。这就是说封闭经济中，无论是大国还是小国，运用IS-LM分析即可；而在开放经济中，无论是大国还是小国，用的都是蒙代尔-弗莱明模型。它也因此被称为分析开放型宏观经济的大平台或工作母机。
因此，楼主所提的问题（即什么情况下用小型开放经济模型，什么情况下用蒙代尔-弗莱明模型呢）答案已明了。
其次，所有的假设只不过想使研究工作简化。总供给曲线是水平的假设只不过想说明，产出完全由总需求决定，因此将注意力集中在影响总需求的因素即可；不存在购买力平价的假设也是想表明汇率随行就市。
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再次，回答楼主提出的关于小型开放经济问题。第一个问题是什么因素使净出口曲线移动，如果想理解这个问题，想象一下微观经济学中影响需求的因素，我的意思是说，不仅仅是贸易政策，太多的因素都会影响净出口曲线的移动。但在宏观经济学里，一般认为：
NX= X（Yf，R）- Q（Y，R）=NX（Yf，Y，R）
这个式子中，NX为（比如中国的）净出口，X为出口，Q为进口；因此NX为国外收入Yf(比如美国收入）、Y（本国收入）、R（实际汇率）的函数。
第二个问题，为方便理解，你可以那么认为。
多说几句，在初级宏观经济学中，个人认为，曼昆的书讲得最精彩，此人功力深厚，有很多人对经济学只能深入而不能浅出。曼昆做到了深入浅出。
最后，放点豪言，宏观经济学试题不考IS-LM模型可谓失败，或者说出题人水平很菜，但大部分学校不会考到蒙代尔-弗莱明模型，尽管它那么重要。对于少数学校，这一模型必考。尤其考虑到2008世界宏观经济的大背景，不利用这把杀牛刀杀杀鸡实在说不过去。
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多谢大家的热心回答，在这里先祝大家圣诞快乐！
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原帖由 abigman 于
14:17 发表
再次，回答楼主提出的关于小型开放经济问题。第一个问题是什么因素使净出口曲线移动，如果想理解这个问题，想象一下微观经济学中影响需求的因素，我的意思是说，不仅仅是贸易政策，太多的因素都会影响净出口曲线的移动。但在宏观 ...
不大同意这句豪言。CCER现在的宏观基本就不会考IS-LM，在R.Barro的宏观经济学中仅仅把IS-LM放在最后一章作为一种特例介绍。
并不是说凯恩斯框架不重要，但是从Lucas的理性预期革命以后，这套理论逐渐被学界所忽视也是事实。在主流框架中，价格粘性已经越来越被视作是一种distortion而非经济常态。
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坦率地说，我没看到CCER出题有什么高明之处。它不是几乎年年都考IS-LM或者M-F吗？
再说Barro的书经济增长也只有一章，这能说明什么问题？
※ 编辑：abigman 于 21:57 编辑本文
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曼昆的书讲得是蛮好的，但是忽略了很多，比如汇率调整的滞后效应，还有就是J曲线效用，还有就是国际货币分析法，冲销干预和为冲销干预，再者我搞不清楚为什么分小型经济和大型经济，区别好像很小，在高鸿业的书上还有多恩布什的书上都不分大型还是小型
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大型和小型之分也就是利率的问题。曼昆的书带有太强的门派色彩了。。
所以上财的宏观经济学的题目很容易猜测到。。
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《计量经济分析方法与建模》课件第二版第05章
时间序列模型
第五章 时间序列模型关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估 计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第 9 章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。 这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运 用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和 建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。1
在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是 对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊 的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够 有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动 项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动 平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、 估计及识别方法。2由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概 念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞 速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检 验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本思想及误差修正模型。3§5.1序列相关及其检验第3章在对扰动项ut的一系列假设下，讨论了古典线 性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方 程的扰动项 ut 满足古典回归假设，使用OLS所得到的估 计量是线性无偏最优的。但是如果扰动项 ut 不满足古典回归假设，回归方程的估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明， 扰动项 ut 关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致 回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此， 必须建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带来的模型估计问题。4§5.1.1序列相关及其产生的后果对于线性回归模型yt ? ? 0 ? ?1 x1t ? ? 2 x2t ? ? ? ? k xkt ? ut(5.1.1)随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为cov(ut , ut ?s ) ? 0s ? 0 , t ? 1 , 2 , ?, T(5.1.2)如果扰动项序列 ut 表现为：cov(ut , ut ?s ) ? 0s ? 0 , t ? 1 , 2 , ?, T(5.1.3)即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的， 而 是 存 在 某 种 相 关 性 ， 则 认 为 出 现 了 序 列 相 关 性 (serial correlation)。5由于通常假设随机扰动项都服从均值为 0，同方差 的正态分布，则序列相关性也可以表示为：E (ut ut ?s ) ? 0 s ? 0 , t ? 1 , 2 , ?, T (5.1.4)特别的，如果仅存在E (ut ut ?1 ) ? 0题。t ? 1 , 2 , ?, T(5.1.5)称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问6如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用 最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低 估。因此，检验参数显著性水平的 t 统计量将不再可信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：① 在线性估计中OLS估计量不再是有效的；② 使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的显著性水平的检验不再可信 ； ③ 回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不 再可信。7§5.1.2序列相关的检验方法EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如， 在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变 量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显著的变量引入到解释变量中。8EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。 1．D_W统计量检验 Durbin-Watson 统计量（简称D_W统计量）用于检 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：ut ? ?ut ?1 ? ? t(5.1.6)D_W统计量检验的原假设：? = 0，备选假设是 ? ? 0。9D.W . ?2 ? ? ( u ? u ) ? t t ?1 t ?2 2 ? u ? t t ?1 TT?) ? 2(1 ? ?如果序列不相关，D.W.值在2附近。 如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。 如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。 正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测 值和较少解释变量的方程， D.W. 值小于 1.5 的情况，说明残 差序列存在强的正一阶序列相关。10Dubin-Waston 统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2 ．回归方程右边如果存在滞后因变量， D-W 检验不 再有效。 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。112 . 相关图和Q -统计量1. 自相关系数 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数 和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后 k 阶的 自相关系数由下式估计rk其中? ?Tt ? k ?1?ut ? u ??ut ?k ? u ? T 2 ?t ?1 ?ut ? u ?（5.2.26）u 是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。 称 rk 为时间序列 ut 的自相关系数，自相关系数可以部分的 刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列 ut 的邻近数据之间存在多大程度的相关性。122．偏自相关系数偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，ut 与ut-k 之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数?k,k 度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下? k ,k? r1 ? ? ? ? r ? k ?1? r ? k j ?1 k ?1, j k ? j ? ? 1 ? ?k ?1? k ?1, j rk ? j j ?1 ?k ?1k ?1（5.2.27）其中：rk 是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。? k , j ? ? k ?1, j ? ? k ,k ? k ?1,k ? j这是偏自相关系数的一致估计。（5.2.28）13要得到?k,k的更确切的估计，需要进行回归ut ? ? 0 ? ?1ut ?1 ? ? ? ? k ?1ut ??k ?1? ? ? k ,k ut ?k ? ? tt = 1, 2, ?, T （5.2.29）因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当 ut 对 ut-1，…，ut-k作回归时 ut-k 的系数。称之为偏相关是因为它度量了k 期 间距的相关而不考虑 k -1 期的相关。14我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关 和偏自相关系数，以及Ljung-Box Q-统计量来检验序列 相关。Q-统计量的表达式为：QLB ? T ?T ? 2??j ?1prj2 T?j(5.1.7)其中：rj 是残差序列的 j 阶自相关系数，T 是观测值的个数，p是设定的滞后阶数 。15p 阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在 p 阶自相关；备选假设为：序列存在 p 阶自相关。 如果 Q- 统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说 明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，通常会计算出不同滞后阶数的 Q- 统计量、自相关系数和偏自相关系数。如果，各阶 Q- 统计量都没有超过由 设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。16反之，如果，在某一滞后阶数 p，Q-统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存 在 p 阶自相关。由于Q-统计量的 P 值要根据自由度 p 来估算，因此，一个较大的样本容量是保证 Q- 统计量有效的重要因素。在EViews软件中的操作方法：在方程工具栏选择 View/Residual Tests/correlogramQ-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的 P 值。17例5.1: 利用相关图检验残差序列的相关性考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总 投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的 平减指数（），利息率R为半年期商业票据利息。 回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， inv表示。实际利息率的近似值 r 则是通过贴现率R减去价 格指数变化率 p 得到的。样本区间：1963年～1984年，建 立如下线性回归方程：ln( inv t ) ? ?1rt ?1 ? ? 2 ln( gnpt ) ? utt = 1, 2, ?, T18应用最小二乘法得到的估计方程如下：?t ln( inv t ) ? ?0.016rt ?1 ? 0.734 ln( gnpt ) ? ut =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.9419选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如 果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显 著区别。 本例 1 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1 阶序列相关。1 阶滞后的Q-统计量的 P 值很小，拒绝原假设，残差序 列存在一阶序列相关。203 . 序列相关的LM检验与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不 同，Breush-Godfrey LM检验（Lagrange multiplier，即 拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序 列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量 的情况下，LM检验仍然有效。 LM检验原假设为：直到 p 阶滞后不存在序列相关，p 为预先定义好的整数；备选假设是：存在 p 阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。21（1）估计回归方程，并求出残差et? ?? ? x ?? ? x ??? ? ? x et ? yt ? ? 0 1 1t 2 2t k kt（2）检验统计量可以基于如下回归得到(5.1.8)et ? X t? ? ?1et ?1 ? ? ? ? p et ? p ? vt(5.1.9)这是对原始回归因子Xt 和直到 p 阶的滞后残差的回归。 LM检验通常给出两个统计量：F 统计量和 T×R2 统计量。F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数 T 乘以 回归方程（5.1.9）的 R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的? 2(p) 分布。22在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水 平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设 定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。在EView软件中的操作方法：选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test， 一 般 地 对 高 阶 的 ， 含 有 ARMA 误 差 项 的 情 况 执 行 Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验 序列的最高阶数。23例5.1(续)序列相关LM检验LM统计量显 示，在5%的显 著性水平拒绝原 假设，回归方程 的残差序列存在 序列相关性。因 此，回归方程的估计结果不再有效，必须采取相 应的方式修正残 差的自相关性。24例5.2: 含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验 考虑美国消费CS 和GDP及前期消费之间的关系，数据期间：1947年第1季度～1995年第1季度，数据中已消除了 季节要素，建立如下线性回归方程：CSt ? c0 ? c1CSt ?1 ? c2GDPt ? utt = 1, 2, ?, T 应用最小二乘法得到的估计方程如下：?t CSt ? ?10.15 ? 0.93CSt ?1 ? 0.05GDPt ? ut = (?1.93) (3.23) R2=0.999 (41.24) D.W.=1.60525如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看， 这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释 变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 D.W.值就不能 作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如 果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优 度和 F 统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍 的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。 这里采用 LM 统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：LM 统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的序列相关性。26下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于1%，说明在1%的显著性水平下， 拒绝原假设，残差序列存在序列相关。27§5.1.3 扰动项存在序列相关的 线性回归方程的修正与估计线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型 估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予 正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的 不利影响。 通常可以用 AR(p) 模型来描述一个平稳序列的自相 关的结构，定义如下：yt ? ? 0 ? ?1 x1t ? ? 2 x2t ? ? ? ? k xkt ? utut ? ?1 ut ?1 ? ? 2 ut ?2 ? ? ? ? p ut ? p ? ? t(5.1.10)(5.1.11)28其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10）的扰动项，参数 ?0，?1， ?2，?，?k 是回归模型的系数。 式（5.1.11）是扰动项 ut 的 p 阶自回归模型，参数 ?1，?2， ?，?p 是 p 阶自回归模型的系数，?t 是无条件扰动项ut自 回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪 声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误 差为基础的预测值之差。下面将讨论如何利用 AR(p) 模型修正扰动项的序列相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数。291．修正一阶序列相关最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归 AR(1)模型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一阶序列相关的情形，即p = 1的情形：y t ? ? 0 ? ? 1 xt ? u t(5.1.12) (5.1.13)ut ? ? ut ?1 ? ? t把式（5.1.13）带入式（5.1.12）中得到yt ? ? 0 ? ?1 xt ? ? ut ?1 ? ? t(5.1.14)30然而，由式（5.1.12）可得ut ?1 ? yt ?1 ? ? 0 ? ?1 xt ?1再把式（5.1.15）代入式（5.1.14）中，(5.1.15)yt ? ?0 ? ?1 xt ? ? ( yt ?1 ? ?0 ? ?1 xt ?1 ) ? ? t并整理yt ? ? yt ?1 ? ? 0 (1 ? ? ) ? ?1 ( xt ? ? xt ?1 ) ? ? t令(5.1.16)yt* ? yt ? ? yt ?1 , xt* ? xt ? ? xt ?1 ，代入式（5.1.16）中有yt* ? ? 0 (1 ? ? ) ? ?1 xt* ? ? t(5.1.17) 如果已知? 的具体值，可以直接使用OLS方法进行估计。如果? 的值未知，通常可以采用Gauss―Newton迭代法求解，同时得到? ，? 0，? 1的估计量。312．修正高阶序列相关 通常如果残差序列存在 p 阶序列相关，误差形式可以 由 AR(p) 过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一 阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到 一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并 且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。 例如，仍讨论一元线性回归模型，并且扰动项序列具 有3阶序列相关的情形，即p = 3的情形：32y t ? ? 0 ? ? 1 xt ? u tut ? ?1 ut ?1 ? ?2 ut ?2 ? ?3 ut ?3 ? ? t方程中去，得到如下表达式：(5.1.18) (5.1.19)按照上面处理AR(1) 的方法，把扰动项的滞后项代入原yt ? ? 0 ? ?1 xt ? ?1 ( yt ?1 ? ? 0 ? ?1 xt ?1 ) ? ?2 ( yt ?2 ? ? 0 ? ?1 xt ?2 ) ? ?3 ( yt ?3 ? ? 0 ? ?1 xt ?3 ) ? ? t(5.1.20)通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性，误 差项 ? t 为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘法， 可以估计出回归方程的未知参数? 0 , ? 1 , ? 1 , ? 2 , ? 3。33我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线性形式为 f (xt , ? )的非线性模型，xt = {1, x1t , x2t ,…, xkt} ，? = {?0 , ?1 ,…, ?k }，若扰动项序列存在p阶序列相关，yt ? f ( x t , β ) ? utut ? ?1 ut ?1 ? ?2 ut ?2 ? ? ? ? p ut ? p ? ? t性回归方程，以p = 1为例，(5.1.21) (5.1.22)也可用类似方法转换成误差项 ?t为白噪声序列的非线yt ? ?1 yt ?1 ? f ( xt , β ) ? ?1 f ( xt ?1 , β ) ? ? t (5.1.23)使用Gauss-Newton算法来估计参数。343. 在Eviews中的操作：打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入 ar(1) ar(2) ar(3)。针对例5.2定义方程为：35需要注意的是，输入的ar(1) ar(2) ar(3) 分别代表3个 滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后 2 阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即ut ? ?2 ut ?2 ? ?4 ut ?4 ? ? t则估计时应输入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4)EViews 在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输 入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据 而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入： cs gdp cs(-1) ar(4)。36c例5.3 用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关（1）例5.1中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相 关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：ln( invt ) ? ?1rt ? ? 2 ln( gnpt ) ? utut ? ?1 ut ?1 ? ? tt = 1, 2, ?, T回归估计的结果如下：?vt ) ? 0.027rt ? 0.72 ln( gnpt ) ln( int = (1.79) （55.36）?t ? 0.74u ?t ?1 ut = (4.45) R2= 0.86 D.W. = 1.4737再对新的残差序列进行LM检验(p=2)，最终得到的检 验结果如下：检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。38例5.4 用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关 例5.2中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采用AR(3) 模型来修正回归方程的自相关性。CSt ? c0 ? c1CSt ?1 ? c2 GDPt ? utut ? ?1 ut ?1 ? ?2 ut ?2 ? ?3 ut ?3 ? ? t回归估计的结果如下：39模型建立如下：?t CSt ? ?65.86 ? 0.65CSt ?1 ? 0.25GDPt ? u?t ? 0.37u ?t ?1 ? 0.23u ?t ?2 ? 0.22u ? t ?3 ? ? t ut = (4.85) (3.07) （3.03） R2=0.999 D.W=1.9440t = (-3.9)(7.29)（13.54）给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识 到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。再对新的残差序列 ε ? 进行LM检验，最终得到的检验结果如下：t41含有AR项模型的估计输出当估计某个含有 AR 项的模型时，在解释结果时一 定要小心。在用通常的方法解释估计系数、系数标准误 差和 t- 统计量时，涉及残差的结果会不同于 OLS的估计 结果。 要理解这些差别，记住一个含有 AR 项的模型有两 种残差： 第一种是无条件残差?t ? yt ? xt?b u通过原始变量以及估计参数? 算出。在用同期信息 对 yt 值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但 要忽略滞后残差中包含的信息。42第二种残差是估计的一期向前预测误差 ? ? 。如 名所示，这种残差代表预测误差。 对于含有 AR 项的模型，基于残差的回归统计 量，如R2 (回归标准误差)和D-W值都是以一期向前 预测误差? 为基础的。含有AR项的模型独有的统 ?? 。 计量是估计的AR系数 ? i43? 是无条件残差 ? 对于简单AR(1)模型，? t 的序列 1相关系数。对于平稳 AR(1) 模型， ? 1 在 -1（极端负序 列相关）和 +1 （极端正序列相关）之间。一般 AR(p) 平稳条件是：滞后算子的特征多项式1 ? ?1 z ? ?2 z 2 ? ? ? ? p z p ? 0的根全部落在单位圆之外，即根的倒数在单位圆内。 EViews在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于1。44另外： EViews 可以估计带有 AR 误差项的非线性回 归模型。 例如：将例5.4中的模型变为如下的非线性模型，估 计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：CSt ? c0 ? c1CSt ?1 ? GDPt c2 ? utut ? ?1 ut ?1 ? ?2 ut ?2 ? ?3 ut ?3 ? ? t用公式法输入： cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4), ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)]45输出结果显示为：46§ 5.2平稳时间序列建模本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及 汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。本节中介绍的ARMA模型(autoregressive moving average models)可以用来研究这些经济变量的变化规 律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范 畴。47§ 5.2.1 平稳时间序列的概念经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样的情 况，它是一个随机事件的惟一记录，如中国1980年～2004年的进出口总额是惟一的实际发生的历史记录。从经济的角度看，这个过程是不可重复的。横截面数据中 的随机变量可以非常方便地通过其均值、方差或生成数 据的概率分布加以描述，但是在时间序列中这种描述很 不清楚。因此，经济时间序列需要对均值和方差给出明 晰的定义。 为了叙述方便，本节中的{ut}代表平稳时间序列， 而不是残差序列。48如果随机过程 ut ? {?, u?1 , u0 , u1 , u2 ,??, uT , uT ?1 ,??}的均值和方差、自协方差都不取决于 t，则称{ut}是协方差平 稳的或弱平稳的：E (ut ) ? ?对所有的 t 对所有的 t 对所有的 t 和 s(5.2.1) (5.2.2) (5.2.3)var( ut ) ? ? 2E (ut ? ? )(ut ?s ? ? ) ? ? s注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与 ut-s 之 间的协方差仅取决于s ，即仅与观测值之间的间隔长度 s 有 关，而与时期 t 无关。一般所说的“平稳性”含义就是上 述的弱平稳定义。49§5.2.2 ARMA模型1. 自回归模型AR(p)p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：ut ? c ? ?1 ut ?1 ? ?2 ut ?2 ? ? ? ? p ut ? p ? ? t(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；?1 , ?2 ,…, ?p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；?t 是均值为0，方差为? 2 的白噪声序列。502. 移动平均模型MA(q)q 阶移动平均模型记作 MA(q) ，满足下面的方 程：ut ? ? ? ? t ? ?1 ? t ?1 ? ? ? ? q ? t ?q(5.2.5)其中：参数 ? 为常数；参数?1 , ?2 ,…, ?q 是 q 阶移动平均模型的系数；?t 是均值为0，方差为? 2的白噪声 序列。513. ARMA(p,q)模型ut ? c ? ?1ut ?1 ? ? ? ? p ut ? p ? ? t ? ?1? t ?1 ? ? ? ? q ? t ?q(5.2.6) 显然此模型是模型(5.2.4)与(5.2.5)的组合形式，称为混合 模型，常记作ARMA(p,q)。 当 p=0 时，ARMA(0, q) = MA(q) 当q = 0时，ARMA(p, 0) = AR(p)52§5.2.3 ARMA模型的平稳性1. AR(p)模型的平稳性条件为了理解 AR(p) 、 MA(q) 和 ARMA(p,q) 模型的理论结构，简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型ut ? c ? ?1 ut ?1 ? ?2 ut ?2 ? ? ? ? p ut ? p ? ? t(5.2.7)设 L 为滞后算子，则有 Lut ? ut-1, Lput ? ut-p ， 特别地，L0ut?ut。则式（5.2.7）可以改写为：(1 ? ?1 L ? ?2 L 2 ? ? ? ? p Lp ) ut ? c ? ? t(5.2.8)53若设?(L) ? 1 - ?1 L - ?2 L2 - …- ?p Lp ，令Φ( z ) ? 1 ? ?1 z ? ?2 z 2 ? ? ? ?P z p ? 0(5.2.9)则 ?(z) 是一个关于 z 的 p 次多项式，AR(p) 模型平稳的充要条件是?(z) 的根全部落在单位圆之外。式(5.2.7)可以改写为滞后算子多项式的形式Φ( L ) ut ? c ? ? t(5.2.10)可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件，则式(5.2.10)可以表示为 MA(?) 的形式，从而可以推导出来任何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。542．MA(q) 模型的可逆性考察MA(q) 模型ut ? ? ? (1 ? ?1 L? ? 2 L2 ? ? ? ? q Lq )? t?? 2 E (? t ? ? ) ? ? ?02(5.2.16)t ?? t ??q若1 ? ?1 z ? ? 2 z ? ? ? ? q z ? 0的根全部落在单位圆之外，则式 (5.2.16) 的 MA 算子称为可逆 的。尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据，但是一些参数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。553．ARMA(p,q) 模型的平稳性条件ARMA(p,q) 模型包括了一个自回归模型AR(p)和一个移动平均模型MA(q)u t ? c ? ?1u t ?1 ? ? ? ? p u t ? p ? ? t ? ?1? t ?1 ? ? ? ? q ? t ?q或者以滞后算子多项式的形式表示 (5.2.19)(1 ? ?1 L ? ?2 L2 ? ? ? p Lp ) ut ? c ? (1 ? ?1 L ? ? 2 L ? ? ? ? q L ) ? t2 q(5.2.20)56若令?( z) ? 1 ? ?1 z ? ?2 z ? ? ? ? p z ? 02 p(5.2.21)则ARMA(p,q)模型(5.2.19)平稳的充要条件是 ?(z) 的根全部 落在单位圆之外。ARMA 模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性组合，近似逼近一个平稳序列。可以看出ARMA模型的平稳 性完全取决于自回归模型的参数(?1 , ?2 ,…, ?p )，而与移动平 均模型参数(?1 , ?2 ,…, ?q )无关。57§ 5.5.3 ARMA(p,q)模型的估计1. ARMA(p,q)模型的输入形式 ARMA(p,q)模型中AR和MA部分应使用关键词ar和ma 定义。在上面AR定义中，我们已见过这种方法的例子，这 对MA也同样适用。 例如，估计因变量为LS的一个2阶自回归和1阶动平均过程ARMA(2,1)，应将AR(1), MA(1), AR(2) 包含在回归因子列表中：LS c ar(1) ar(2) ma(1)如果采用公式法输入方程，要将AR项系数明确列出，形式为：LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。含有MA项只能用列表法。58例5.5 利用 AR(1) 模型描述上证指数的变化规律 本例取我国上证收盘指数（时间期间： 1991 年 1月～2007年8月）的月度时间序列 S作为研究对象，用AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率， srt = 100×(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, ?, T） 这样便得到了变化率序列。一般来讲，股价指数序列 并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据， 是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。 记上证股价指数变化率序列为sr。59建立如下模型：srt ? c ? ? srt ?1 ? ut估计输出结果显示为：t = 1, 2, ?, T60如果建立如下模型：srt ? c ? ut ut ? ?ut ?1 ? ? tt = 1, 2, ?, T估计输出结果显示为：注意到两种方法计算的常数项不同，差在c ? ? ? c 上。61图5.2 蓝线是上证股价指数变化率序列sr，红线是AR(1)模型的拟合值从图 5.2 可以看出我国上证股价指数变化率序列在 1991 年～1994年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在3%上下波 动。近年来波动平缓，并且大多在3%下面波动。拟合曲线基本代表了这一时期的均值。62对例5.5中我国上证收盘指数（时间期间： 1991年1月～ 2007年8月）的月度时间序列S的对数差分变换LS=dlog(S)， 即股票收益率用 ARMA(1,1) 模型来估计，来说明 EViews 是 如何估计一个ARMA(p，q)模型的。LS t ? c ? utut ? ? ut ?1 ? ? t ? ?? t ?1建立方程，输入LS c ar(1) ma(1)63估计输出显示：64估计方程可写为：? ? 0.0186 ? u ?t LS tt = (1.87)?t ? ?0.39u ?t ?1 ? ? t ? 0.32? t ?1 ut = (-0.43) （0.35）R2= 0.00476 D.W. = 1.98也可写为：? ?c ?u ?? ? ? LS ? ? ? ? ? ? t 1 t ?1 t 1 t ?1 ? ? 0.0186) ? ? ? 0.32 ? ? ? 0.0186 ? 0.39 ? ( LS t ?1 t t ?1 ? ? ? ? 0.32 ? ? ? 0.0186 ? (1 ? 0.39) ? 0.39 ? LS t ?1 t t ?1652. ARMA(p,q)模型的输出形式一个含有 AR 项的模型有两种残差：第一种是无条件 残差 u ?t 。如名 ? t ，第二种残差是估计的一期向前预测误差 ? 所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残 差的预测能力，改善了无条件预测和残差。 对于含有ARMA项的模型，基于残差的回归统计量， 如 R2 和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含 有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单 AR(1)模型，?1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出 表中?1用AR(1)表示，MA(1) 模型的系数?1用MA(1)表示。 对于平稳AR(1)模型，?1在-1和+1之间。一般AR(p) 模型平 稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。66含有AR或MA项的模型的估计输出和OLS模型一样， 只是在回归输出的底部增加了一个AR，MA多项式的根 的倒数（inverted AR roots 或 inverted MA roots）。我 们利用滞后算子多项式写一般的ARMA模型：?( L ) ut ? c ? ?( L) ? t如果AR模型滞后多项式有实根或一对复根的倒数 在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。674. ARMA(p,q)模型的估计选择EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点在于：易被理解，应用广泛，易被扩展为非线性定义的模型。注意：非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且 渐进有效。 非线性估计方法对所有系数估计都要求初值。EViews 自行确定初值。有时当迭代达到最大值时，方程终止迭代，尽管还未达到收敛。从前一步初值重新开始，使方程从中止处开始而不是从开始处开始。也可以试试不同的初值来 保证估计是全部而不是局部平方误差最小，可以通过提供初值加速估计过程。68为控制 ARMA估计初值，在方程定义对话框单击 Options。在EViews提供的选项中，ARMA Options有几项设置初值的选择。EViews缺省方法是 OLS/TSLS，这种方法先进行没有ARMA项的预备估计，再从这些 值开始非线性估计。另一选择是使用 OLS 或 TSLS 系数的一部分作为初值。可以选择 0.3、0.5、 0.8或者可以将所有初值设为零。 用户确定初值选项是User Supplied。在这个选项 下，EViews使用系数向量C中的值。为设置初值，双 击图标，打开系数向量C窗口，进行编辑。69为适当地设置初值，需对 EViews 如何为 ARMA 设 置系数多些了解。系数向量C按下列规则为变量安排系数：（1）变量系数，以输入为序； （2）定义的AR项，以输入为序；（3）SAR，MA，SMA系数（按阶数）。这样，下面两种定义将有同样规格的系数： Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1)70§ 5.2.4 ARMA模型的识别1．利用自相关系数和偏自相关系数识别ARMA(p, q) 模型 在实际研究中，通常的做法是根据经济指标时间序列 数据的样本特征，来推断经济指标的总体（真实）特征。在实际研究中，所能获得的只是经济指标时间序列ut 的数据，根据经济指标的样本特征，来推断其总体（真实） 特征。下面介绍利用ut 的自相关系数 (AC) 和偏自相关系数 (PAC) 这两个统计量去识别ARMA(p, q) 模型。71通常的，AR(p) 模型的自相关系数是随着滞后阶数k的增加而呈现指数衰减或者震荡式的衰减，具体的衰减形式取决于AR(p) 模型滞后项的系数。因此，可以通过自相 关系数来获得一些有关AR(p) 模型的信息，如低阶AR(p) 模型系数符号的信息。如果r1 ? 0 ，意味着序列ut 是一阶 自相关。如果rk 随着滞后阶数 k 的增加而呈几何级数减小，表明序列 ut 服从低阶自回归过程。如果 rk 在小的滞后阶数下趋于零，表明序列 ut 服从低阶移动平均过程72如果这种自相关的形式可由滞后小于k阶的自相关表示，那么偏相关在k期滞后下的值趋于零。一个纯的p 阶自回归过程AR(p) 的偏相关系数在p阶截尾，而纯的动平均函数的 偏相关过程渐进趋于零。因此，如果我们能求出关于? k , k的估计值，并检验其显著性水平，就能够确定时间序列ut的自相关的阶数。732. MA模型的识别MA(q)模型ut ? ? ? ? t ? ?1 ? t ?1 ? ? ? ? q ? t ?q(5.2.26)其中：?t是均值为0，方差为? 2的白噪声序列，ut的均值为 ?， 则自协方差?k? k ? E( ut ? k计算可得q q ? ?? ? ? ? ? ? )(ut ? ? ) ? E? ? t ? ?? j ? t ? j ?? ? ? t ? k ? ? ? i ? t ? k ?i ? ? j ? 1 i ? 1 ? ? ??(5.2.27)?? 2 (1 ? ?12 ??? ? q2 ) ? ? 2 ? k ? ?? (? k ? ?1? k ?1 ??? ? q ? k ? q ) ? 0 ? ?k ?0 0?k ?q k?q(5.2.28) 74进而得到? 1 ? ? k ? ? k ? ?1? k ?1 ??? ? q ?k ? q rk ? ?? ?0 ? 1 ? ?12 ??? ? q2 ? 0 ? k ?0 0?k ?q k?q(5.2.29)上式表明对MA(q)模型，当 k & q 时，rk = 0。ut与ut+k 不 相关，这种性质通常称为截尾。即 MA(q) 模型的自相关函数在 q 步以后是截尾的。75MA(q) 的偏自相关系数的具体形式随着 q 的增加变得越来越复杂，很难给出一个关于 q 的一般表达式，但是，一个 MA(q) 模型对应于一个 AR(∞) 模型。因此，MA(q) 模型的偏自相关系数 一定呈现出某种衰减的形式是拖尾的。故可以通 过识别一个序列的偏自相关系数的拖尾形式，大致确定它应该服从一个MA(q) 过程。763. AR模型的识别可以不加证明的给出AR(p)过程的自相关系数rk ? g ? ? g 2 ? ? ? ? g p ?k 1 1 k 2k p(5.2.34)其中?1 , ?2 , …, ?p 是AR(p) 模型的特征多项式? p ? ?1 ? p?1 ? ?2 ? p?2 ? ? ? ? p ? 0的p个特征根，g1 , g2 , …, gp为任意给定的p个常数。(5.2.35)77由此可知，AR(p) 模型的自相关系数会由于g1 , g2 , …, gp 及 k 取值的不同，呈现出不同的衰减形式，可能是指数式的衰减，也可能是符号交替的震荡式的衰减。例如，对于AR(1) 模型，其自相关系数为 rk??1k ，当?1 & 0时，rk呈 指数式的衰减；当?1 & 0时，rk呈震荡式的衰减。因此，可以通过自相关系数来获得一些有关AR(p) 模型的信息，如低阶AR(p) 模型系数符号的信息。但是，对 于自回归过程 AR(p) ，自相关系数并不能帮助我们确定 AR(p) 模型的阶数p。所以，可以考虑使用偏自相关系数? k,k ，以便更加全面的描述自相关过程 AR(p) 的统计特征。78这里我们通过简单的证明给出 AR(p) 模型的偏自相关系数。对于一个AR(p)模型，ut ? ?1 ut ?1 ? ? 2 ut ?2 ? ? ? ? p ut ? p ? ? t(5.2.36)将式（5.2.36）两边同时乘以ut-k ( k = 1, 2 , …, p) ，再对方程 两边取期望值并除以序列 ut 的方差得到如下关于系数 ? 1 ,?2 , …, ?p的线性方程组：??1 ? ?2 r1 ? ? ? ? p rp ?1 ? r1 ? ? ? ? ? p rp ? 2 ? r2 ??1r1 ? ?2 ? ? ? ?? r ? ? r ? ? ? ? ? rp p ? 1 p ?1 2 p ? 2(5.2.37)79其中：r1 , r2 , …, rp分别为序列 ut 的1 , 2 , …, p阶自 相关系数。对于形如(5.2.37)的p(p =1,2,…,k,…)阶方程组 求解，每个方程组的最后一个解就是相应的偏自相关系 数?1,1, ?2,2 , …, ?k,k … 。且对于一个AR(p) 模型，?k,k 的最高阶数为p，也即AR(p) 模型的偏自相关系数是 p 阶截尾的。因此，可以通过识别 AR(p) 模型的偏自相关系数 的个数，来确定AR(p) 模型的阶数p，进而设定正确的模 型形式，并通过具体的估计方法估计出AR(p) 模型的参 数。804. 模型的识别与建立我们引入了自相关系数和偏自相关系数这两个统计 量来识别ARMA(p,q) 模型的系数特点和模型的阶数。但是，在实际操作中，自相关系数和偏自相关系数是通过要识别序列的样本数据估计出来的，并且随着抽样的不 同而不同，其估计值只能同理论上的大致趋势保持一致， 并不能精确的相同。因此，在实际的模型识别中，自相 关系数和偏自相关系数只能作为模型识别过程中的一个参考，并不能通过它们准确的识别模型的具体形式。具体的模型形式，还要通过自相关和偏自相关系数给出的 信息，经过反复的试验及检验，最终挑选出各项统计指 标均符合要求的模型形式。81例5.6 利用消费价格指数研究模型识别和建模本例将用ARMA模型模拟我国1983年1月～2007年8月的 居民消费价格指数CPI（上年同月=100）的变化规律。实际 上用后面学到的单位根检验可知CPI序列是一个非平稳的序 列，但是它的一阶差分序列?CPI是平稳的。首先观察?CPI 序列的自相关系数和偏自相关系数的图形:图5.6 ?CPI序列的相关图82从图5.6可以看出?CPI序列的自相关系数是拖尾的，偏 自相关系数在2阶截尾。由前面的知识可以判断CPI序列基本 满足AR(2)过程。建模得到?t ?CPI t ? 0.42?CPI t ?1 ? 0.19?CPI t ?2 ? ut = (7.25) (3.29)R2=0.286 D.W.=2.03图5.7 左边是CPI序列的实际值和拟合值，右边是残差序列83由图5.7可以观察到AR(2) 模型比较好的拟合了CPI序列，回 归方程的残差序列基本上也是一个零均值的平稳序列。从图5.8 的回归方程的残差序列的自相关系数和偏自相关系数可以看到 不存在序列相关。因此，在实际建模中，可以借助ARMA(p,q) 模型去拟合一些具有平稳性的经济变量的变化规律。图5.8 ?CPI序列方程残差序列的相关图84§5. 3 非平稳时间序列建模前述的AR(p)、MA(q) 和ARMA(p,q) 三个模型只适 用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数 字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而 变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的 概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通 过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。85然而，对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的某些数字特征是随着时间的变化而变化的。非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同 的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的 随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平 稳的时间序列。86图5.9 中国1978年～2006年的生产法GDP序列87§ 5. 3.1 非平稳序列和单整1.确定性时间趋势描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势yt ? a ? ? t ? ut(5.3.1)其中 ut 是平稳序列；a + ? t 是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(5.3.1)中减去 a +? t，结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序 列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。88一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：yt ? a ? ? 1 t ? ? 2 t ? ? ? ? n t ? ut2 n(5.3.2)t = 1, 2, ?, T同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势 后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定 性时间趋势的形式很重要。如果 yt 能够通过去势方法排除 确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。892. 差分平稳过程 非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具 有平稳性的序列，考虑下式yt ? a ? yt ?1 ? ut也可写成(5.3.3)? yt ? (1 ? L) yt ? a ? ut(5.3.4)其中 a 是常数，ut 是平稳序列，若ut ～ i.i.d. N (0, ? 2) ，且ut 是一个白噪声序列。若令a = 0， y0=0，则由式(5.3.2)生成的序列 yt，有var(yt) = t? 2（t = 1, 2, ?, T），显然违背了时 间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移 a 的随机游走，说明 yt 的差分序列?yt是平稳序列。90实际上，在5.1节中讨论的回归方程的序列自相关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。这是因为，如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除 了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化 仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因 变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未来信息的。91残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪回归，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这 种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存 在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回 归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加 解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分， 以使残差序列达到平稳。 一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列，根据5.2节中的方法建模，并利用变量之间的相关信息，描述经济时间序列的变化规 律。923.单整 像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得 到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下： 定义：如果序列 yt ，通过 d 次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分 d C 1 次时却不平稳，那么称序列 yt为 d 阶单整序列，记为 yt ～ I(d)。特别地，如果序列 yt 本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt ～ I(0)。93单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面 的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样， 平稳序列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不 变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为 2阶单整 I(2) ；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为1阶单整I(1) ；而像利率、收益率等变化 率的数据则经常表现为0阶单整I(0) 。94§5.3.2非平稳序列的单位根检验检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单 位 根 检 验 方 法 ： ADF 检 验 、 DFGLS 检 验 、 PP 检 验 、KPSS 检验、 ERS 检验和 NP 检验，本节将介绍 DF 检验、ADF检验。 ADF检验和 PP检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起 来带有一定的不便；其它几种方法克服了前 2种方法带来 的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验 序列是否存在单位根，应用起来较为方便。951. DF检验 为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型yt ? ? yt ?1 ? utyt ? ? yt ?1 ? a ? ut(5.3.5) (5.3.6) (5.3.7)yt ? ? yt ?1 ? a ? ? t ? ut其中 a 是常数，? t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0, ? 2) 。96(1) 如果 -1& ? &1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果 ?=1，yt 序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：显然 yt 的差分序列是平稳的。 是非平稳的。yt ? yt ?1 ? ?yt ? ut(3) 如果 ? 的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列?yt ? ( ? ? 1) yt ? ut97因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 ? 是否严格小于1来实现。也就是说： 原假设H0：? =1，备选假设H1：? & 1 从方程两边同时减去 yt-1 得，?yt ? ? yt ?1 ? ut(5.3.8) (5.3.9) (5.3.10)?yt ? ? yt ?1 ? a ? ut?yt ? ? yt ?1 ? a ? ? t ? ut其中：? =? -1。98其中：? =? -1，所以原假设和备选假设可以改写为显著性检验的方法，构造检验 ? ? 显著性的 t 统计量。可以通过最小二乘法得到? 的估计值 ? ?，并对其进行?H 0 : ? ? 0 ? ? H1 : ? ? 0但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常数项和趋势项) 和样本长度T 。99Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样， 就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量 来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为 Dickey-Fuller检 验(DF检验)。上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同 分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的 DF 检验方 法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列 相关的序列的单位根。1002. ADF检验考虑 yt 存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，yt ? a ? ?1 yt ?1 ? ?2 yt ?2 ? ? ? ? p yt ? p ? ut在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得Δ yt ? a ? ? yt ?1 ? ? ?i Δ yt ?i ? uti ?1p ?1其中? ? ? ?i ? 1i ?1p? i ? ? ?? jj ?i ?1p101ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞 后差分项来控制高阶序列相关?yt ? ? yt ?1 ? ? ?i ?yt ?i ?uti ?1p(5.3.11)?yt ? ? yt ?1 ? a ? ? ? i ?yt ?i ?uti ?1p(5.3.12)?yt ? ? yt ?1 ? a ? ? t ? ? ?i ?yt ?i ?uti ?1p(5.3.13)102扩展定义将检验?H 0 : ? ? 0 ? ? H1 : ? ? 0(5.3.14)原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列 不存在单位根。序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。 判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。 类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回 归模型及不同样本容量下检验 ? ? 不同显著性水平的 t 统计 量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平判断? 的估计值 ? ? 是接受原假设或者接受备选假设，进而下判断高阶自相关序列是否存在单位根。103但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际 问题： （ 1 ）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用 AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际 应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。（ 2 ）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形 式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下 的渐近分布依赖于关于这些项的定义。104① 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数，意味着所检验的序列的均值不为 0；若原序列 中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所 检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检 验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检 验时添加常数项。 ② 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若 原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋 势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否 在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线 图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势 呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。1053. DFGLS检验在经验研究中，尽管DF检验的DF 统计量是应用最广泛的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非 常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的 退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF 检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock (1996) 基于GLS 方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：106首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：? yt d ( y t | a) ? ? ? yt ? ayt ?1并且构造如下回归方程：if t ? 1 if t ? 1t = 1, 2, ?, Td ( yt | a) ? d ( xt? | a) δ(a) ? utt = 1, 2, ?, T (5.3.14)其中xt =(1) 表示 yt 中只含有截距项，或 xt = (1,t)?表示 yt 中含有截距项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计量， 在实际计算中通常如下定义参数 a：?1 ? 7 / T a?? ?1 ? 13.5 / Tif x t ? {1} if x t ? {1, t}?107利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列ytd为?(a ) ytd ? yt ? xt??DFGLS检验。检验过程如下：t = 1, 2, ?, T然后，对退势后的序列ytd，应用ADF检验，即为?ytd ? ? ytd?1 ? ? ? i ?ytd?i ?uti ?1p ?1t = 1, 2, ?, T原假设和备选假设同ADF检验一致，为?H 0 : ? ? 0 ? ? H1 : ? ? 0 Elliott，Rothenberg和Stock (1996)给出了不同置信水平下的临界值，DFGLS检验同一般的ADF检验一样是左侧单边检验。108EViews软件中单位根检验操作说明： 双击序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test， 得到下图：单位根检验窗口109进行单位根检验必须定义4项：1．选择检验类型 在 Test type 的下拉列表中，选择检验方法。 EViews5 提供 了6种单位根检验的方法： ① Augmented Dickey-Fuller(ADF) Test② Dickey-Fuller GLS Test③ Phillips-Perron(PP) Test ④ Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test ⑤ Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test ⑥ Ng and Perron (NP) Test1102．选择差分形式 在Test for unit root in中确定序列在水平值、一阶差 分、二阶差分下进行单位根检验。可以使用这个选项决 定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在 一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶 单整 I(1) ；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设， 则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。1113．定义检验方程中需要包含的选项 在Include in test equation中定义在检验回归中是否 含有常数项、常数和趋势项、或二者都不包含。这一选 择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这 3 种 情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项， 刚才已经作了介绍。1124．定义序列相关阶数 在Lag lenth这个选项中可以选择一些确定消除序列 相关所需的滞后阶数的准则。一般而言， EViews 默认 SIC准则。定义上述选项后，单击 OK 进行检验。 EViews 显示检验统计量和估计检验回归。 单位根检验后，应检查EViews显示的估计检验回归， 尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定， 可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。113例5.7 检验居民消费价格指数序列的平稳性图5.9 中国1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列114例5.7用AR(1) 模型模拟1983年1月～2007年8月居民消费价格指数一阶差分 ?CPI的变化规律。在用ADF 进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有 常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列 的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。 从图5.7的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。CPI序列的ADF检验结果(选择既无常数项也无趋势项)如下：1151983年1月～2007年8月的CPI序列单位根ADF检验结果。可 以看出不能拒绝原假 设，存在单位根。1161983年1月～2007 年8月的CPI序列单位根DF-GLS检验结果。采用含有常数和 趋势项的形式。不能 拒绝原假设， CPI序 列存在单位根。117检验结果显示，CPI序列接受原假设，因此，CPI序列 是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分?CPI序列进行单 位根检验，ADF检验结果如下：检验结果显示，一阶差分 ? CPI 序列拒绝原假设，接 受?CPI序列是平稳序列的结论。因此，CPI序列是1阶单整 序列，即CPI～I(1)。118例5.9 检验中国GDP序列的平稳性 在图5.9中，我们可以观察到1978年～2006年我国GDP （现价，生产法）具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含 有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（p=4）。 GDP序列的ADF检验如下 ：检验结果显示，GDP序列以较大的P值，即100%的概率接 受原假设，即存在单位根的结论。119将GDP序列做1阶差分，然后对ΔGDP进行ADF检验 （选择含有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶 数（p=6））如下 ：检验结果显示，ΔGDP序列仍接受存在单位根的结论。 其他检验方法的结果也接受原假设，ΔGDP序列存在单位 根，是非平稳的。120再对Δ GDP序列做差分，则Δ 2GDP的ADF检验（选择 不含常数项和趋势项, 由SIC准则确定滞后阶数（p=6））如 下：检验结果显示，二阶差分序列Δ 2GDP在1%的显著性 水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确 定GDP序列是2阶单整序列，即GDP ～I (2)。 1215.3.3 ARIMA模型1．ARIMA模型的形式 我们已经介绍了对于单整序列能够通过 d 次差分将非平稳 序列转化为平稳序列。设 yt 是 d 阶单整序列，即 yt～ I(d)，则wt ? ? yt ? (1 ? L) ytd d(5.3.40)wt 为平稳序列，即 wt～ I(0) ，于是可以对 wt 建立ARMA(p,q)模型wt ? c ? ?1 wt ?1 ? ? ? ? p wt ? p ? ? t ? ?1? t ?1 ? ? ? ? q ? t ?q(5.3.41)122用滞后算子表示，则?( L ) wt ? c ? ?( L) ? t其中(5.3.42)?( L) ? 1 ? ?1 L ? ?2 L 2 ? ? ? ? p Lp?( L) ? 1 ? ?1 L? ? 2 L2 ? ? ? ? q Lq经 过 d 阶 差 分 变 换 后 的 ARMA(p,q) 模 型 称 为 ARIMA(p,d,q) 模 型 (autoregressive integrated movingaverage models)，式（5.3.42）等价于下式?( L ) (1 ? L) d yt ? c ? ?( L) ? t(5.3.43)123估计 ARIMA(p,d,q) 模型同估计 ARMA(p,q) 具体的步 骤相同，惟一不同的是在估计之前要确定原序列的差分 阶数d，对 yt 进行 d 阶差分。 因此， ARIMA(p,d,q) 模型区别于 ARMA(p,q) 之处就在于前者的自回归部分的特征多项式含有d个单位根。因此，对一个序列建模之前，我们应当首先确定该序列 是否具有非平稳性，这就首先需要对序列的平稳性进行 检验，特别是要检验其是否含有单位根及所含有的单位 根的个数。1242. 应用ARIMA(p, d, q) 模型建模的过程 Box-Jenkins 提出了具有广泛影响的建模思想，能 够对实际建模起到指导作用。 Box-Jenkins的建模思想 可分为如下4个步骤： （1）对原序列进行平稳性检验，如果序列不满足平稳性条件，可以通过差分变换（单整阶数为d，则进行d阶差分）或者其他变换，如对数差分变换使序列满足平 稳性条件；（2）通过计算能够描述序列特征的一些统计量（如自相关系数和偏自相关系数），来确定 ARMA 模型的 阶数 p 和 q，并在初始估计中选择尽可能少的参数；125（3）估计模型的未知参数，并检验参数的显著性， 以及模型本身的合理性； （4）进行诊断分析，以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符。对于Box-Jenkins建模思想的第3、4步，需要一些统 计量和检验来分析在第 2 步中的模型形式选择得是否合 适，所需要的统计量和检验如下： （1）检验模型参数显著性水平的 t 统计量； （ 2）为保证 ARIMA(p,d,q) 模型的平稳性，模型的 特征根的倒数皆小于1； （3）模型的残差序列应当是一个白噪声序列，可用 5.1节中的检验序列相关的方法检验。126在EViews中估计ARIMA模型 可以直接在估计定义式中包含差分算子 D 。例如：GDP ～ I(2) ，对 GDP 估计 ARIMA(1,2,1) 模型，可以输入列表： D(GDP, 2) c ar(1) ma(1) 使用因变量差分因子D(GDP)定义模型， EViews将提 供水平变量GDP的预测值。127例5.9建立中国GDP的ARIMA模型例5.8用ADF单位根检验得到结论：GDP序列是2阶单整 序列，即 GDP ～ I (2) 。但是检验得到 GDP 的对数序列 ln(GDP) 是 1 阶 单 整 序 列 ， 所 以 本 例 建 立 Δln(GDP) 序 列 的 ARIMA 模型。首先观察 Δln(GDP) 序列的相关图（图 5.10）。图5.10 Δln(GDP) 序列的相关图128Δln(GDP) 序列的自相关系数和偏自相关系数都在 1 阶 截尾，则取模型的阶数 p =1 和q =1，建立ARIMA(1,1,1) 模型 ( 时间期间： 1978 ～ 2004 年， 2005 和 2006 年实际数据 不参加建模，留作检验）：129Δln(GDPt) = 0.9Δln(GDPt-1) + t = (8.98)R2 = 0.54 D.W= 2.2+ ?t ?1 ?t 0.76 ? ?(5.49)图5.11 Δln(GDP) 序列的ARIMA(1,1,1)模型残差的相关图从图5.11的相关图中可以看出模型的残差不存在序列 相关，并且模型的各项统计量也很好。130图5.12 蓝线是GDP序列的原数据，红线是模型拟合和预测结果图5.12是这个模型的拟合和预测（静态）的结果，其中 2005年和2006年为预测结果。131§5.4 协整和误差修正模型在前面介绍的 ARMA 模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳 趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍 的 ARIMA 模型。但是变换后的序列限制了所讨论经 济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。1321987年 Engle 和Granger提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经 济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合 却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协 整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具 有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能 比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。1335.4.1 协整关系假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么 从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检 验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机 干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时 的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏 离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协 整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。 协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们 刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一 个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均 值、方差或协方差随时间而变化，而这些时间序列的线 性组合序列却可能有不随时间变化的性质。134下面给出协整的定义： k 维向量 Y = (y1，y2，…，yk)? 的分量间被称为d,b阶协整， 记为Y ～ CI (d，b)，如果满足： (1) y1 ， y2 ， … ， yk 都 是 d 阶 单 整 的 ， 即 yi ～ I(d) ， i=1,2,…,k ，要求 Y 的每个分量 yi ～I (d)； (2) 存在非零向量 ? = (?1, ?2 , …, ?k )，使得 ?? Y～I (d-b)， 0&b≤d 。 简称 Y 是协整的，向量 ? 又称为协整向量。135需要注意的是： (1) 作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不惟一的；(2) 协整变量必须具有相同的单整阶数；(3) 最多可能存在 k-1个线性无关的协整向量 ( Y 的维数是 k )； (4) 协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成 比例 。1365.4.2 协整检验协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如 Johansen 协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、DF 检验和ADF检验。 本节将主要介绍 Engle 和 Granger （ 1987 ）提出的 协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。从协整理论的思想来看，自变量和因变量之间存在协整关系。137也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解 释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的。 因此，检验一组变量（因变量和解释变量）之间 是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是 否是一个平稳序列。通常地，可以应用上节中的ADF 检验来判断残差序列的平稳性，进而判断因变量和解释变量之间的协整关系是否存在。138检验的主要步骤如下： （ 1 ）若 k 个序列 y1t 和 y2t ， y3t ， … ， ykt 都是 1 阶 单整序列，建立回归方程y1t ? ? 2 y2t ? ?3 y3t ? ? ? ? k ykt ? ut模型估计的残差为? y ?? ? y ??? ? ? y ?t ? y1t ? ? u 2 2t 3 3t k kt139（2）检验残差序列? t是否平稳，也就是判断序列? t是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列 ? t是否是平稳的。（ 3）如果残差序列 ? t是平稳的，则可以确定回归 方程中的k个变量（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间存在协? , ?? ? ,? , ? ? ? )? ；否则 整关系，并且协整向量为 (1, ?? 2 3 k（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间不存在协整关系。140协整检验的目的是决定一组非平稳序列的线性组合 是否具有协整关系，也可以通过协整检验来判断线性回 归方程设定是否合理、稳定，这两者的检验思想和过程是完全相同的。利用ADF的协整检验方法来判断残差序列是否平稳，如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的，说明回归方程的因变量和解释变量之间存在稳定的均衡 关系。反之，说明回归方程的因变量和解释变量之间不存在稳定均衡的关系，即便参数估计的结果很理想，这样的一个回归也是没有意义的，模型本身的设定出现了 问题，这样的回归是一个伪回归。141例5.10财政支出和财政收入的协整关系检验为了描述财政支出和财政收入之间是否存在协整关系，本例选择1990年1月～2007年12月的月度数据进行实证分析，其中用f_ext表示财政支出，f_int表示财政收入。首先 利用X-12季节调整方法对这 2个指标进行季节调整，去掉季节因素，然后取对数，发现取对数后呈线性变化。单位根检验发现序列ln(f_ext)和ln(f_int)是非平稳的，一阶差 分以后是平稳，即 ln(f_ext)和ln(f_int)均是I(1)序列。142左图是去掉季节因素的财政收入和财政支出的对数图形 右图是去掉季节因素和不规则因素的财政收入和财政支出的对数图形143第一步，建立如下回归方程：ln( f _ ext ) ? ? ln( f _ int ) ? ut估计后得到?t ln( f _ ext ) ? 1.01ln( f _ int ) ? ut = (760.92)R2 =0.976 D.W. =1.37144第二步，对上式的残差进行单位根检验，由回归方程估计结果可得?t ? ln( f _ ext ) ? 1.01ln( f _ int ) u对? t进行单位根检验，选择无截距项、也无趋势项 的检验模型，由SIC信息准则确定滞后阶数为2，其结果 如下：145检验结果显示，残差序列? t 在1%的显著性水平下 拒绝原假设，因此可以确定 ? t 为平稳序列，即 ? t ～ I(0) 。 上述结果表明： 1990年1月～ 2007年12月期间 ln(f_ext)和 ln(f_int) 之间存在协整关系，即是CI(1, 1)的，协整向量为(1，?1.01)。1465.4.3 误差修正模型误差修正这个术语最早是由Sargen(1964)提出的， 但 是 误 差 修 正 模 型 基 本 形 式 的 形 成 是 在 1978 年 由 Davidson、Hendry等提出的。传统的经济模型通常表述 的是变量之间的一种“长期均衡”关系，而实际经济数 据却是由“非均衡过程”生成的。因此，建模时需要用 数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程。 最 一 般 的 模 型 是 自 回 归 分 布 滞 后 模 型 (autoregressive distributed lag， ADL)。147如果一个内生变量 yt 只被表示成同一时点的外生变量 xt 的函数，xt 对 yt 的长期影响很容易求出。然而如果每个变量的滞后也出现在模型之中，其长期影响 将通过分布滞后的函数反映，这就是ADL模型。 先考虑一阶自回归分布滞后模型，记为ADL(1,1)yt ? ? 0 ? ?1 yt ?1 ? ? 2 xt ? ? 3 xt ?1 ? ut(5.4.3)148其中：ut ～i.i.d. (0,? 2)，记 y* = E(yt)，x* = E(xt) ，由于E(ut) = 0，在式(5.4.3)两边取期望得y ? ? 0 ? ?1 y ? ? 2 x ? ? 3 x? ? ??(5.4.4)进而有? ? ? ( ? ? ? ) x ?0 (? 2 ? ? 3 ) ? ? 0 2 3 y ? ? ? x (5.4.5) 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ?1149记 k0 =? 0 / (1 -? 1)，k1 = (? 2 +? 3) / (1 -? 1) ，则式(5.4.5)可写为y ? k 0 ? k1 x的长期乘数。??(5.4.6)其中：k1 度量了 yt 与 xt 的长期均衡关系，也是 yt 关于 xt150在式(5.4.3)两端减去 yt-1，在右边加减 ?2xt-1 得到 ：?yt ? ? 0 ? (?1 ? 1) yt ?1 ? ? 2 ?xt ? (? 2 ? ? 3 ) xt ?1 ? ut(5.4.7) 利用?2+?3 = k1(1 -?1)， 又可改写成? 0 = k0(1 -?1)，式(5.4.7)?yt ? ( ?1 ? 1)( yt ?1 ? k0 ? k1 xt ?1 ) ? ? 2 ?xt ? ut令? = ?1-1，则式(5.4.8) 可写成(5.4.8)151?yt ? ? ( yt ?1 ? k0 ? k1 xt ?1 ) ? ? 2 ?xt ? ut(5.4.9)上式称为误差修正模型 (error correction model， 简记ECM)。当长期平衡关系是 y* = k0 + k1x* 时，误 差修正项是如 (yt - k0- k1xt) 的形式，它反映了 yt 关于xt 在第 t 时点的短期偏离。一般地，由于式(5.4.3)中|? 1|&1 ，所以误差项的系数 ? = (? 1-1) & 0，通常称为调整系数，表示在 t-1 期 yt-1 关于 k0 + k1xt-1 之间的偏差调整的速度。152式(5.4.3)和式（5.4.9）包含相同的关系，它们是等 价的，根据不同的需要使用这两种模型来分析、研究经 济现象或经济系统，但每个方程都有不同的解释与含义。 原始模型式(5.4.3)的右端除解释变量 xt 外还含有 yt 与 xt 的滞后项，yt 与 xt 之间有长期均衡关系，对经济数据而言，xt 与 xt-1 也高度相关，因此这三个解释变量之间存在着较强的多重共线性。由于 yt 的滞后项作为解 释变量，也增强了模型扰动项的序列相关性。因此，误 差修正模型除了以上介绍的性质外，还可以削弱原模型 的多重共线性，以及扰动项的序列相关性。153最 常 用 的 ECM 模 型 的 估 计 方 法 是 Engle 和 Granger(1981)两步法，其基本思想如下： 第一步是求模型：yt ? k0 ? k1 xt ? ut的OLS估计，又称协整回归，得到及残差序列：? ?k ?x ?t ? yt ? k u 0 1 t154第二步是用 ? t -1 替换式(5.4.9)中的? ?k ?x yt ?1 ? k 0 1 t ?1即对?t ?1 ? ? 2 ?xt ? ? t ?yt ? ? 0 ? ?u再用OLS方法估计其参数。注意，误差修正模型不再单纯地使用变量的水 平值（指变量的原始值）或变量的差分建模，而是 把两者有机地结合在一起，充分利用这两者所提供 的信息。155例5.11建立财政收入和财政支出的误差修正模型为了考察我国财政收入和财政支出之间的动态关系， 本例采用例5.10中的我国1990年1月～2007年12月月度数据通过ECM模型来进行分析。f_ext表示财政支出，f_int表示财政收入。季节调整后 取 对 数 ， 例 5.10 中 的 单 位 根 检 验 发 现 序 列 ln(f_ext) 和ln(f_int)是非平稳的，一阶差分以后是平稳，即ln(f_ext)和ln(f_int)均是I(1)序列。156① 首先建立财政收入和财政支出的协整方程：ln( f _ ext ) ? k0 ? k1 ln( f _ int ) ? ut估计得到?t （5.4.14） ln( f _ ext ) ? 0.4 ? 0.953 ln( f _ int ) ? ut = (6.25) (101.5) R2 = 0.98 D.W. =1.47② 令ecmt = ? t ，即将协整方程的残差序列 ? t 作为误差修正项，建立下面的误差修正模型：? ln( f _ ext ) ? ?0 ? ? ecmt ?1 ? ?1? ln( f _ int ) ? ? t也可以写为? ln( f _ ext ) ? ?0 ? ? [ln( f _ ext ?1 ) ? 0.4 ? 0.953 ln( f _ int ?1 )] ? ?1? ln( f _ int ) ? ? t157估计得到:158?xt ) ? 0.008 ? 0.38 ? ecmt ?1 ? 0.37 ? ? ln( f _ int ) ? ln( f _ et = (1.45) (?7.01) （9.14） （5.4.16）R2 = 0.31D.W. =2.45在式（5.4.14）表示的长期均衡方程中财政收入的系数为 0.95，接近1，体现了我国财政收支“量入为出”的原则。在式 （5.4.16）表示的误差修正模型中，差分项反映了短期波动的影 响。财政支出的短期变动可以分为两部分：一部分是短期财政 收入波动的影响；一部分是财政收支偏离长期均衡的影响。误 差修正项ecmt 的系数的大小反映了对偏离长期均衡的调整力度。 从系数估计值（?0.38）来看，当短期波动偏离长期均衡时，将 以（?0.38）的调整力度将非均衡状态拉回到均衡状态。 159从短期看，被解释变量的变动是由较稳定的长期趋势和短期波动所决定的，短期内系统对于均衡状态的偏离程度的大小直接导致波动振幅的 大小。 从长期看，协整关系式起到引力线的作用，将 非均衡状态拉回到均衡状态。160}