10_多元函数的极值_大学数学（三）：多元微积分学课件_ppt_大学课件预览_高等教育资讯网
大学数学（三）：多元微积分学课件：10_多元函数的极值
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高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学（三）多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。7,知道二元函数的泰勒公式形式。8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。多元微分学的应用● 在几何方面的应用● 在优化方面的应用● 在优化方面的应用极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,它是一种简单的优化问题,多元函数的极值无约束极值有约束极值变量替代法拉格朗日乘数法多元函数的极值无约束极值的形式目标函数,nRXXfu,)(表现形式,XXf )(m a xXXf )(m in一,无约束极值极大值和极小值的定义设 )( Xfu? 在nRX?)U( 0内有定义,若,)(U? 0XX总有)()( 0XfXf? ))()(( 0XfXf?则称 )(0Xf为函数 )(Xf 的极大值 (极小值 ).0X称为函数的极大点 (极小点 ).函数的极大值和极小值统称为函数的极值,例 1 函数 221 yxz 在点 )0,0( 处 取极大值,函数 22 yxz 在点 )0,0( 处取极小值,例 2现在对已有的结果进行分析,看能否得到一点什么,例 1 函数 221 yxz 在点 )0,0( 处 取极大值,进行分析：函数 21 xz (即固定 )0?y 在点 0?x 处取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有0)0,0( xz取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有类似地,函数 (即固定 )0?x 在点 0?y 处21 yz0)0,0(?yz上半单位球面函数 22 yxz 在点 )0,0( 处取极小值,例 2进行分析,上半空间中的圆锥面函数 22 yxz 在点 )0,0( 处偏导数不存在,固定,)0(0 xy 发现相应的一元函数 || xz?)||( yz? 在 )0(0 yx 处取极值,将以上对两例的分析与极值的定义综合起来,你能得出什么样的结论？得出结论没有？如果点 X0 是函数的极值点,则在过 X0 的任何一条曲线上,点 X0 将仍是函数的极值点,若 ),(000 yxX是函数 ),( yxf 的极值点,则0x 是一元函数 ),( 0yxf 的极值点 ;0y是一元函数 ),(0 yxf的极值点,能存在,也可能不存在,故可得到结论,但函数 ),( yxf 在极值点 ),(000 yxX 处偏导数可如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零,使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点,先以二元函数为例,叙述结果,然后将它推广到一般的 n 元函数,定理 (二元可导函数取极值的必要条件 )证若 在点 具有偏导数,且在),( yxfz? ),( 00 yx处取极值,则必有),( 00 yx,0),(,0),( 0000 y yxfx yxf,),( ),( 00 则处取极大值在点不妨设 yxyxf)),U( (),( ),(),( 0000 yxyxyxfyxf故 )),U( (),( ),(),( 000000 yxyxyxfyxf)),U( (),( ),(),( 000000 yxyxyxfyxf由一元函数取极值的必要条件,得即即 一元函数 ),( ),( 00 yxfzyxfz 和,),( 00 处取极大值和极小值在点 yx,0d),(d,0d),(d0000?yyyyxfxxxyxf,0 ),(,0 ),( 0000 y yxfx yxf,0),(,0),(,0),( g r ad000000yxJfyxfyxf或该结论还可写为处的切平面方程为0)())(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx由可微函数取极值的必要条件：0),(),( 0000 yxfyxf yx此时,切平面平行于 xy 平面,设函数 在点 ),(00 yx处可微且取),( yxf极值,则相应的曲面 在点 ),(00 yx),( yxfz?下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为,0zz?定理 (n 元可导函数取极值的必要条件 )若 )( Xfu? 在点0X具有偏导数,且在0X处取极值,则必有0)( 0ixXf,),,2,1( ni证 不妨设 )(Xf 在点0X处取极大值,则)U(,)()( 00 XXXfXf其中,),,,,,( 00 100 1010 niii xxxxxX),,,,,( 00 10 101 niiii xxxxxX),,,,,( 111 niii xxxxxX记,)U( 0XX i? 则)()( 0XfXf i? ),,2,1( ni即一元函数 )(iXfu?在点 0ii xx?处取极大值,由一元函数取极值的必要条件,得0d )(d 0ii xxiixXf即0)( 0ixXf ),,2,1( ni该结论还可写为,0)( 0?XJf,0)( 0 Xf,0)( g r a d 0?Xf函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可疑点,函数在其极值可疑点处,可能取极值,也可能不取极值,使函数 )( Xfu?零的点0X称为函数的驻点,的一阶偏导数全为这就产生了一个问题,如何判断函数在极值可疑点处是否取极值,我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果,则 0d),(d),(d0000 yyxfxyxfz yx故由微分形式的泰勒公式,得),(22222200),(!21yxyfxyfyxfxfyx2R?yx,0),(g r a d ),),U((),( 00002 yxfyxCyxfz设20020000 ),(d!21),(d),(),( Ryxfyxfyxfyxf我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果,则 0d),(d),(d0000 yyxfxyxfz yx故由微分形式的泰勒公式,得),(22222200),(!21yxyfxyfyxfxfyx2R?yx,0),(g r a d ),),U((),( 00002 yxfyxCyxfz设20020000 ),(d!21),(d),(),( Ryxfyxfyxfyxf注意条件正 (负 )取决于二次型的正 (负 )定余项Q记,),(2200 yxxfA,),(200 yxyxfB,),(2200 yxyfC则 ),(),(00 yxfyxfyxCBBAyx ),(!21)),((2 yxR?H 称为函数 f 的 Hessian 矩阵H当 0?A 且 02 BAC 时,二次型 Q 正定,即从而,,0),(),(00 yxfyxf ),( 00 yxf为函数的极小值,二次型与它的矩阵具有相同的有定性矩阵 H 正定当 0?A 且 02 BAC 时,二次型 Q 负定,从而,,0),(),(00 yxfyxf即 ),( 00 yxf为函数的极大值,当 02 BAC 时,二次型 Q 是不定的,此时,),(00 yxf不是函数的极值,当 02 BAC 时,二次型 Q 是半定的,运为函数的极值,若要判定则需要运用更高阶的泰勒公式,),( 00 yxf用二阶泰勒公式已不能判定 是否定理 (可微的二元函数极值判别法 )记,),(2200 yxxfA,),(200 yxyxfB,),(2200 yxyfC,AH?CBB 那么,(1) 若 H 正定,则 ),( yxf 在 ),(00 yx取极小值,(2) 若 H 负定,则 ),( yxf 在 ),(00 yx取极大值,(3) 若 H 不定,则 ),(00 yx不是 ),( yxf 的极值点,取极值,(4) 若 H 半定,则不能判定 ),( yxf 在 ),( 00 yx 是否设,0),( g r ad )),,( U (),( 00002 yxfyxCyxfz定理 (可微的二元函数极值判别法 )记,),(2200 yxxfA,),(200 yxyxfB,),(2200 yxyfC设,0),( g r ad )),,( U (),( 00002 yxfyxCyxfz,),( ),(,0 )1( 002 处取极值在点则 yxyxfACB.,0 ;,0 取极小值时取极大值时 AA,),( ),(,0 )2( 002 的极值点不是则 yxfyxACB,),(,0 )3( 002 是否极值点则不能判断 yxACB该定理的常用写法是下面的形式,该判别法可直接推广到元函数的情形,其结论请看书,n例 3 求 yxxyxyxf 12153),( 23 的极值,解 联立方程组,求驻点,012601533 22xyfyxfyx解之得驻点,)2,1(,)2,1(,)1,2(,)1,2(又,6 xfA xx,6 yfB xy,6 xfC yy故CBBAH?x6 y6y6 x6)(36 22 yx一阶主子式,xW 61?二阶主子式,)(36|H| 222 yxWHessian 矩阵的顺序主子式 xy yx 66 66H1W 2W点 是否极值点)2,1()2,1()1,2(极大点)1,2( 极小点 不是不是H不定不定正定负定综上所述,点 )1,2( 是极小点,极小值为,28)1,2(f点 )1,2( 是极大点,极大值为,28)1,2(f点,)2,1( )2,1( 不是极值点,下面用另一种方式来写出 例 3 的解,例 3 求 yxxyxyxf 12153),( 23 的极值,解 联立方程组,求驻点,012601533 22xyfyxfyx解之得驻点,)2,1(,)2,1(,)1,2(,)1,2(又,6 xfA xx,6 yfB xy,6 xfC yy此例也可用下面方式写出,)(36 222 xyACB,012,0)( )1,2()1,2(2 AACB点 )1,2( 是极小点,极小值为,28)1,2(f,012,0)( )1,2()1,2(2 AACB点 )1,2( 是极大点,极大值为,28)1,2(f,0)( )2,1(2 ACB,0)( )2,1(2ACB点,)2,1( )2,1( 不是极值点,故 )(36 222 xyACB二,函数的最大值和最小值,)( 上有定义在有界闭区域设函数 Xfu并与内的所有极值在求出,)(?Xf从中上的所有极值进行比较在,)(Xf上的最大值和最小值,在它们就是取出最大者和最小者 )(,Xf?不一定能函数一般说来 )(,Xf,值取得它的最大值和最小在?怎 么 办？有何高见？由于区域的边界通常都比较复杂,较困难的一件事情,所以求多元函数的最大值和最小值是比求函数最大值和最小值的基本原则工程中遇到的函数大部分是连续的,或者能保证在所讨论的区域内,取到它的最大值或最小值,如果知道可微函数 )(Xf 的最大值或最小值一定在区域? 内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点,如果,)()( CXf)(Xf为有界闭区域,则函必在 上取到它的最大值和最小值,?数例 4 )1,0( ),0,1( ( 0,0 ),CBOxy 平面上求到点在距离之平方和为最大及最小的点,解xyOCB·P,),( yxP设所求点为222 |||||| PCPBOP22233 22 yxyx所求距离之平方和为),( 所在区域为所求点 yxP}1,0,0|),({D yxyxyx区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数：最值问题：,),(m a xD yxf ),(m inD yxf22233),( 22 yxyxyxf所讨论的问题归结为下面的优化问题,区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数,22233),( 22 yxyxyxf最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf求函数 f 在有界闭区域 D 上的最大、最小值的一般步骤为：※※先求函数 f 在开区域 D 上的极大、极小值点 ;再求函数 f 在边界 D? 上的极大、极小值点 ;※ 将所求出的极值 (及边界上的特殊点的函数值 )进行比较,即可得出函数的最大、最小值,区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数,22233),( 22 yxyxyxf最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf※,D 内在由方程组026xxf026 yyf得到驻点,),( 3131且,),( 343131?f区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数,22233),( 22 yxyxyxf最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf※,D 上在?xyOCB·P,10,0,OB xy上在,223),( 2 xxyxf故由一元函数求极值的方法,得驻点：,),( 31 00函数值：),( 31f35区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数,22233),( 22 yxyxyxf最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf※,D 上在?xyOCB·P,10,0,OC yx上在,223),( 2 yyyxf故由一元函数求极值的方法,得驻点：,),( 310 函数值：),( 31035f区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数,22233),( 22 yxyxyxf最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf※,D 上在?xyOCB·P,10,1,BC xyx上在,366),( 2 xxyxf故由一元函数求极值的方法,得驻点：,),( 2121函数值：),( 2121f23区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数,22233),( 22 yxyxyxf最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf综上所述※f?),(31350f?),(31035f?),(212123f?),(313134边界上端点值：,2)0,0(?f,3)0,1(?f,3)1,0(?f区域,}1,0,0|),({D yxyxyx目标函数,22233),( 22 yxyxyxf最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf:),(m a xD yxf 3)1,0(?f3)0,1(?f:),(m inD yxf f?),(313134所求最值点为,……以下的工作,由学生自己完成,例 5 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体,zxyOP球面解 选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为 2222 azyx设所求长方体在第一卦限中的顶点为 ),,,(P zyx则长方体的三个棱边长是,2,2,2 zyx 长方体体积为)(2( yxaxyx y zzyxV区域：,222 ayx 0?x,0?y目标函数,2228 yxaxyV:D最值问题,VDm a x 2Dm a x V原问题归结为下面的优化问题,区域：,D,222 ayx 0?x,0?y目标函数,2228 yxaxyV最值问题：2Dm a x V )(64m a x 22222Dyxayx由0022yVxV22222222ayxayx解之得,3ayx。3222 ayxaz由0022yVxV22222222ayxayx解之得,3ayx。3222 ayxaz应用题,又仅有唯一的个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为,32222 azyx区域：,D,222 ayx 0?x,0?y目标函数,2228 yxaxyV最值问题：2Dm a x V )(64m a x 22222Dyxayx在两个例题中,出现了一个相同的问题,这个问题已被我们轻松地解决了,什么问题?目标函数中的变量必须满足一定的条件这就是对目标函数的约束应满足方程对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题,例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题,长方体顶点必须位于球面上,其坐标x 2 + y 2 + z 2 = a 2,三,有约束极值 （条件极值）有约束极值 (条件极值 )的定义},0)(,,0)(,|{ 1nmXXRXXLmn设若,0 LX?,)(U? 0XLX 有 )()( 0XfXf?( 或,))()(0XfXf?则称 )(0Xf为函数 )(Xf 在约束条件,,0)(1X? )}(,0)( nmXm下的极大值 (或极小值 ).这种极值通常简称为函数的条件极大 (小 )值,这里的约束称为等式约束,有约束极值带等式约束的极值带其它约束的极值无约束极值转化有约束极值的形式目标函数,nRXXfu,)(表现形式,XXf )(m a x,0)(1?X?,t,s,,0)(?Xm?min有约束极值无约束极值拉格朗日乘数法变量替代法我们再举一例说明变量替代法例 6 现需用钢板制造容积为 2 m3 的有盖的长方体水箱,问当长、宽、高各为多少时用料最省？解 设长方体的长、宽、高分别为,x,y,z则问题归结为下列有约束极值问题：min,)(2 xzyzxySt.s,2?xyz)0,,(?zyx,2xyz?由约束条件,2?x yz得 代入目标函数中,使问题转化为下列无约束极值问题：222m in?yxxyS)0,(?yx令02202222yxSxySyx唯一的驻点)2,2( 33故当水箱的长、宽、高均为3 2 )(m时,用料最省,就是已经讲过的方法,拉格朗日乘数法问题,求函数 ),,( zyxfu? 在0),,(?zyx? 下的极值,条件运用变量替代法求解有约束极值问题时,往往会遇到困难 ―― 有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式,自然我们会想到运用隐函数及其有关的定理和方法,能由这里求得 z=z (x,y )再作变量替代吗？一般不能,但对满足隐函数存在定理条件的可微函数可行,问题,求函数 ),,( zyxfu? 在0),,(?zyx? 下的极值,条件拉格朗日乘数法分析与推导若函数 ),,( zyxf 在点 ),,(000 zyx处取得极值,求 ),,( zyxfu? 在条件 0),,(?zyx? 下的极值,则首先应有 0.),,( 000?zyx?若 0),,(?zyx? 可确定隐函数 ),,( yxzz?于是原问题转化为无约束极值问题：求函数 )),(,,( yxzyxfu? 的极值,则函数 )),(,,( yxzyxf 在 ),(00 yx处取极值,(假设以下的各种运算均成立 )对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有),( 00 yxxu 0)(),( 00 yxxzx zff),( 00 yxyu0)( ),( 00 yxyzy zff由隐函数求导公式,得zxxz?zyyz?对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有),( 00 yxxu 0)(),( 00 yxxzx zff),( 00 yxyu0)( ),( 00 yxyzy zff由隐函数求导公式,得zxxz?zyyz?代入对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有),( 00 yxxu 0)(),( 00 yxxzx zff),( 00 yxyu0)( ),( 00 yxyzy zff由隐函数求导公式,得zxxz?zyyz?代入0)),,(),,(),,(),,((000000000000zyxzyxzyxfzyxfzyzy?0)),,(),,(),,(),,((000000000000zyxzyxzyxfzyxfzxzx?想想这一段要求函数满足什么条件？0),,( 000?zyx?0)),,(),,(),,(),,((000000000000zyxzyxzyxfzyxfzxzx?0)),,(),,(),,(),,((000000000000zyxzyxzyxfzyxfzyzy?),,( zyxfu? 在条件 0),,(?zyx?函数 下,于点 ),,(000 zyx处取得极值的必要条件是综上所述,还有一个令?),,(),,(000000zyxzyxfzz则上述的必要条件可写为0),,( 000?zyx? ),,( 000 zyxf x 0),,( 000 zyxx ),,( 000 zyxf y 0),,( 000 zyxy ),,( 000 zyxf z 0),,( 000 zyxz令?),,(),,(000000zyxzyxfzz则上述的必要条件可写为0),,( 000?zyx? ),,( 000 zyxf x 0),,( 000 zyxx ),,( 000 zyxf y 0),,( 000 zyxy ),,( 000 zyxf z 0),,( 000 zyxz拉格朗日函数问题,求函数 ),,( zyxfu? 在条件0),,(?zyx? 下的极值,若,),,( zyxf,),,( 1Czyx 则称),,,(?zyxL?),,( zyxf ),,( zyx为该极值问题的拉格朗日函数,? 称为拉格朗日乘数,转化为拉格朗日函数的无条件极值问题拉格朗日乘数法求解 nRXXf? )( m a x0)(,t.s 1?X?0)(?Xm?构造拉格朗日函数),,,( 1 mXL)( Xf?)(11 X )( Xmm由取极值的必要条件 01xL0?nxL01L0?mL解方程组 驻点进行判别这部分确定隐函数关系这部分确定变量 xi 与i 间的关系例 7 求函数 x y zzyxf?),,( 在条件azyx1111下的极小值,并证明此时不等式成立：311113 x y zzyx其中,x,y,z,a & 0为实数,解 作拉格朗日函数),,,(?zyxL?xyzazyx1111?令,02 xyzL x,02yxzL y?,02 zxyL z?,01111azyxL?由这一部分找出zyx,,与? 间的关系。代入此方程，求出拉格朗日函数的驻点由前三式得,zyxx y z 从而,zyx将它代入最后一式,得到拉格朗日函数的驻点：,3 azyx )3,3,3( aa该驻点是否为原函数的极值点?应该怎么进行判断?01111azyx设方程 确定隐函数,),( yxzz?则可令,),()),(,,(),( yxzxyyxzyxfyxF从而xF xzxyyz,2xyzyzyFyzxyxz,2yxzxz22xFxzxyzxyzxzy222,2 33xyz?22xzxz22yzyz22yF,233yxz?yxF2,2 322xyzxzyzz在点 ayx 3 处H22xF22yFyxF2xyF2)3,3(),( aayx?aaaa6336,027 2 a,0622axF又aaaa6336故 Hessian 矩阵 H 正定,函数 F (x,y)在点 (3a,3a)处取极小值,这等价于函数 f (x,y,z) 在 (3a,3a,3a)取极小值,27)3,3,3( 3aaaaf?请课后自己计算下面证明不等式,311113 x y zzyx由于点 (3a,3a,3a) 是可微函数 x y zzyxf?),,(的唯一 (条件 )极小值点,故在,)3( 3ax y z?}0,0,0,1111|),,{(D zyxazyxzyx中有 D),,(?zyx即有,1113 31 x y zzyxD),,(?zyx由 x,y,z,a & 0 的任意性,即可得311113 x y zzyx)0,0,0( zyx证明已完成看看还有没有附带的产物由 x,y,z,a & 0 的任意性,即可得311113 x y zzyx)0,0,0( zyx将上式稍加变形,即可得到一个重要的不等式：zyxzyx111311113 )0,0,0( zyx几何平均值 算术平均值
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数学分析中用拉格朗日乘数法解题时,一般的五元方程很难解,有什么好方法吗?除了硬解.
Iove随缘0462
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一般来讲先要简单分析一下不用该方法是否能解,如果要用的话则要尽快消去部分未知数,对于某些问题还可以事先分析极值点的性质（比如对称性）然后简化方程组.但总体来讲Lagrange乘子法在实际运用中的主要困难就是方程组难解,提高代数功底可以扩大“硬解”的范围,不过不要指望有特别万能的好办法.
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f(x,y)?f(x0,y0)?fx(x0??(x?x0),y0??(y?y0))(x?x0)?fy(x0??(x?x0),y0??(y?y0))(y?y0)
注意到D为凸区域，从而(x0??(x?x0),y0??(y?y0))?o0(p0). 由条件⑴可知：f(x,y)?f(x0,y0)，?p(x,y)?o0(p0)
由p(x,y)的任意性以及极值的定义，可知，函数f(x,y)在p0取得极小值。同以上证明方法可以得到，在条件⑵下，函数f(x,y)在p0取得极大值。结论⑵证毕。
考虑到条件⑴，⑵的结构，若记?f?(
)，p0p?(x?x0,y?y0)
引入R2中的内积?f?p0p?洁的形式。 2.2.2 推广
(y?y0),则可将定理写成更简
在引入上述记号后，我们可以将问题推广到n维情形：
定理2：设D?Rn为凸区域，p0?D，若f:D?R，在o(p0)连续，在o0(p0)可导，
⑴若?f?p0p?0，?p?o0(p0)，则函数f在p0处取得极小值。 ⑵若?f?p0p?0，?p?o0(p0)，则函数f在p0处取得极大值。 证明同定理1，此处不再赘述。 2.2.3 应用
与一元函数相同，由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件弱，从而一阶偏导数判别准则的应用更为广泛。
：试研究函数f(x,y)?1?0，0）是否达到极值。
在原点处无定义，不能利用二阶判别法 。可利用定理1，?(x,y)?(0,0)，因为
,)?(x?0,y?0)??
?0 成立，从而，可知f(x,y)
在原点（0，0）处可以取得极大值f(0,0)?1
例2：求函数f(x,y)?x2?5y2?6x?10y?6的极值。
解：容易知道f(x,y)的稳定点为p0(3,?1)，?(x,y)?(3,?1)
(?f,?f)?(x?3,y?1)?(2x?6,10y?10)?(x?3,y?1)?2(x?3)?10(y?1)?0 22?x?y
因此f在点p0(3,?1)处取得极小值，又因为f出处存在偏导数，故(3,?1)是f的唯一极值点。
3 条件极值
3.1 求条件极值的常用解法
我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值 的求解，在本节我们以例析的形式给出其一些常用解题方法。
3.1.1 运用梯度法求条件极值
将梯度法用于求条件极值的问题。方程组
n?1??gradf(x1,x2,?,xn)???igrad?i(x1,x2,?,xn)的解,就是所求极值问题的可能极?i?1
??(x,x,?,x)?0,(i?1,2,?,n?1)n?i12
实质上这种解法可以看作是将拉格朗日乘数法用梯度的形式来简写。这是因 为将以上的梯度形式按各分量写开，就是拉格朗日乘数法的形式。
例1：试求n个正数,其和为定值l的条件下,什么时候乘积最大,并证明
?1n(x1?x2???xn)
证明:本题的实质是求y?f(x1,x2,?,xn)?x1x2?xn在条件x1?x2???xn?l下的最大值问题。根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。
?grad(x1x2?xn)??grad(x1?x2???xn?l)??x1?x2???xn?l
进一步求解得
???x2x3?xn,x1x3?xn,??,x1x2?xn?1????1,1,?,1????x1?x2???xn?l
x1?x2???xn?ln,根据题意,则(,,?,)是唯一的极大值点,也是最大值nnnlll
1?l?f(x1,x2,?,xn)???,
即?(x1?x2???xn) n?n?n
这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。 例如:求z?f(x,y)在条件?(x,y?)下0的极值, 只要列出方程组
,则其中(x,y)是可能的极值点. ?gradf(x,y)??grad?(x,y)再求出相应的?,x,y??(x,y)?0?
3.1.2利用二次方程判别式的符号求某些条件极值
例2：若x2?y2?z2?1,试求f?x?2y?2z的极值.
解 因为y?1
2(x?2z?f),代入x?y?z?1得 222
4(x?2z?f)?z?1?022
5x2?(4z?2f)x?(28
① z?f?4zf?4 ?)
这个关于x的二次方程要有实数解, 必须:
??(4z?2f)?20(8z?f222?4zf?4)?0
f2?4zf?9z2?5?0
解关于f的二次不等式,得:
2z??f?2z?显然,求函数f的极值, 相当于求
f?2z??1?z?1 ?1?z?1
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