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罗尔定理的证明">罗尔定理的证明
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函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理的作用就在于此。函数在一定条件下、在给定的区间中存在着一点ξ(即中值)，使得在此点的函数与导数在区间上存在着某种特定的等式联系。通常，中值ξ的值不易求出，即中值的准确值常不易知道，但我们能把握的是它的存在性。由于导数中值的存在性，中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，中值定理通过导数去研究函数的性态，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。其中拉格朗日中值定理是核心，其建立了函数值与导数值之间的定量联系。罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广了的拉格朗日中值定理。
首先要清楚定理的条件和结论。
设函数f(x)在ξ处取得极值，且f(x)在点ξ处可导，则f'(ξ)=0。
罗尔定理如果函数f(x）满足，在闭区间[a,b]上连续；在开区间（a,b）内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b）。那么在（a,b）内至少有一点ξ（a&ξ&b），使得
f'（ξ）=0;拉格朗日定理
如果函数 f(x) 满足，在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导。那么在(a,b)内至少有一点ξ(a&ξ&b),使等式
f(b)-f(a)=f&(ξ)(b-a) 成立。
如果函数f(x)及F(x)满足,在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；对任意x∈(a,b)，F'(x)≠0。那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。
泰勒中值定理
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x0)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!&(x-x0)^2,+f'''(x。)/3!&(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!&(x-x。)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!&(x-x0)^(n+1),这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
以上定理之间的关系如图所示
再者，要清楚定理的证明过程。
罗尔定理的证明，依托于闭区间连续函数的最值定理和费马定理。如果函数为常函数，怎最大值最小值相等，那么在开区间上处处都是导数得零点选择一个即可（端点也满足，为了和情况二取交集，故不取）。如果函数不为常函数，那么，在最大值与最小值之间，至少有一个不等于端点值，该处的导数即为零。从证明中我们可以看出，我们选取的这个具有存在性的点，是排斥端点的，只能在开区间内取得。从上图中我们知道，罗尔定理是其它中值定理的基础，所以其余定理的中值同样排斥端点。故相对于中值来说，端点的地位比较特殊。
拉格朗日中值定理的证明，依托于罗尔定理。从两个定理的条件我们可以看出，拉格朗日中值定理的条件是罗尔定理去掉端点值相等后的形式。将两个定理联系起来的是“曲线减直线”的思想，端点相同的曲线减去直线，其意义是曲线到直线的距离，那么端点处自然会出现两个相等的零值。而曲线相对于这条直线的其他特性则不会改变，依然会显示在这个差值函数上。
柯西中值定理的证明，我们可以理解为“参数方程下的拉格朗日定理”就可以，需要强调的是，分母不为零，这一点做题时在使用柯西中值定理之前，要写在答题纸上给予强调。
泰勒中值定理我不想证明，我想说说它的来历，效果会更好一些。对于一些较为复杂的函数，为了便于研究，往往用一些简单的函数近似表达。用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次的加减乘除，便可以求出其函数值，故我们往往用多项式来表示复杂函数。但我们还不能仅用一次多项式，因为这样的话精度不高，无法表示误差，故我们用高次多项式来表示函数，同时给出误差。于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：&&&
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足
P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!&(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!&(x-x.)^n。在求取系数的过程中，求导数的目的是将前面的式子化为零，带入x.的目的是将后面的式子化为零，最后就只剩下所求项的系数值了。误差的求解不解释了。
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