2013专转本高数第二章导数复习资料(同方)
&&&&罗君秋个人资料1第二章 导数计算及应用本章主要知识点&&&&导数定义 复合函数求导 ,高阶导数 , 微分 隐函数 ,参数方程求导 导数应用一、导数定义函数 y
x0 处导数定义为f ( x 0
f &&&&( x 0 ) h 0 h f ( x 0
f ( x 0 ) 左导数 f
f ( x 0 ) 右导数 f
h f ( x0 )
lim ( x0 ), f
( x0 ) 有限且 f
( x0 ) 导数 f ( x0 ) 存在
f 分段点求导必须应用定义。 两个重要变形： x0 )
lim 1. f（x
f ( x0 ) x
n) f ( x0 ) h 0 h f (1
5h ) 例 2.1. 若 f (1)
2 ，求 lim h 0 h f (1
5h ) 解： lim ＝ (2
14 h 0 h2. 若 f ( x0 ) 存在， lim 例 2.2. 若 f (0)
0, 求 limx 0f (2 x) 1
1-1-罗君秋个人资料2解： limx 0f (2x ) f (2 x)
f (0) f (2 x)
f (0) 4 8 ＝ lim
0 1 3x 3 3 1
sin 3x 2求 f (0) x 2
0 例 2.3． f ( x)
(0) 所以 f '(0)不存在 .例 2.4． f ( x)
2| x| ，求 f
0 解： f ( x)
h h h h f (0
h h 所以 f (0) 不存在。1
0 例 2.5． f ( x)
0 。1 h sin
sinh 2 1 h 解： f (0)
不存在 h0 h0 h h所以f
0 不存在 f (1
例 2.6．如果 f
2 ，分析函数 f ( x)
0 在 x=0 处的连续性。
-2-罗君秋个人资料解： f (0
f (1 2h ) 1 3
(2)) f (1)
3 h 0 2h 2 2 f (1
8 h 0 h 0 ln(1
h) h所以 f(x)在 x=0 处不连续。二、复合函数求导、高阶导数、微分1．复合函数中的层次关系识别 正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子 来说明复合函数层次识别问题。 例 2.7． y
e1 sin(cos ) x由外及里 y 分为四层： e
例 2.8． y
ln x sin 2 x1 xy 分为一层： 3 2 例 2.9． y
tan xy 分为三层：立方
例 2.10． y
x2y 分为四层： sin
化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。 2、复合函数的求导原则 我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀” ： “外及里；号变号；则用则；层间乘” 。 例 2.11． y
2x sin3 x，求 y ，x sin 2x ln 2 x sin 3x
2 2 x sin 3 x ln 2 x sin 3 x
sin 3 x -3-罗君秋个人资料4 2xsin3x ln 2 sin3x
2xsin3x ln 2 sin3x
3x cos3x 例 2.12． y
earctan(sin 2 x ) ，求 y ；arctan(sin 2 x 解： y
e )2 cos 2x 1
sin2 2x2例 2.13． y
解： y xesin x ，求 y ；2 2x esin x
x (esin x )1 2 x2esin x
xesin x cos( x 2 )2 x 1 2 x
2 x x cos x 2 )22 esin x (例 2.14． y
sin 2 (ln 2x
x2 ) ，求 y 解： y
2sin(ln( 2 x
x )) cos(ln( 2 x
x ))2 21 2 (
1 sin 2ln 2 x
2x 1 分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。 例 2.15． f
lim 1 h 0 h 0 h h f
lim -4-罗君秋个人资料 3x 2
0 综合得， f
0 例 2.16. f
2xa5，求 f
x 2 x a , x
解： f ( x )
ln 2 ， h 0 h 0
0 h h所以 f
0 例 2.17. 已知 f
0（ 1）求 f
； （ 2）研究 f
0 处的连续性。 解： （ 1） f
2 x sin1 1 1
cos x ， x x x 1 1 f
0 x x1 2 h sin
1 。 h0 h0 h0 h h h 1 1 （ 2） lim f
lim 2 x sin
1 x 0 x 0 x x 0 x 1 lim f
lim cos ，不存在， x 0 x 0 x故 f
0 处不连续，且为 ii 类间断。-5-罗君秋个人资料63. 高阶导数与微分（ 1）高阶导数y d 2 y d
2 dx dx dx
n几个常用公式 （ 1）
n 1nn!n 1 ax
b an（ 2）
（ 4） e x n
n e x（ 5）莱伯尼兹公式 uv
cni ui v ni n i 0n例 2.18. y
e2 x2 x，求 y
410 2 x 例 2.19. y
x e ，求 y -6-罗君秋个人资料10 解： y
e i 0 i 10 210i x n i y10
90ex1 ，求 y
2 1 解： y
2例 2.20． y 1
2 5 2x 1y n1 1
例 2.21． y
1 ，求 y解： y
1n 1 n 1例 2.22． f x
cos x ，求 f22 解： f
cos 2 x 2fn x
f (50) (0)
249 cos(25 )
249例 2.23． f
sin5x cos 2x ，求 f 解： f
sin 3x 2-7-罗君秋个人资料8fn x 1 n n
2 （ 2）一阶微分 定义：对于函数 y
f ( x) ，如果存在常数 a ，使得：f ( x0
0则称 f ( x) 在 x
x0 处可微。 成立： f x
可微，且 dy
f ( x0 )dx 。dy
dx 可作为微分求解公式。例 2.24． y
x sin 2 x ，求 dy | 解： y
2x cos 2xx2y( )
dx 。 2 sin 2 x 例 2.25． y
，求 dy 。 x 2 x cos 2x
sin 2x 2 x cos 2 x
sin 2 x dx 解： y
2 x x2 2 x
2 例 2.26． f ( x )
0 ，求 df | x0
x sin x, x
f (0) 解： f (0)
h 0 h2 lim h 0he h2h2 20，f (h)
f (0) h sinh f
h 0 h 0 h h故 f (0)
0 ，所以 dy |x0
0 。-8-罗君秋个人资料例 2.27．利用微分近似计算 e 0.05 。 解：令 x
e x ， 则 e0.05
f '( x0 )x0 = 1
1.05 。94、求导中若干特别问题 （ 1）奇偶函数导数 结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。 例 2.28． f（ x）为奇函数， f (2)
(5) 。 例 2.29． f(x)为可导函数，则 f ( x)
f ( x) 的导数为（偶函数） 。 （ 2） d ln x 1 dx x(ln( x
a（ 3） f ( x)
a)n |,(n为奇） ，在 x＝ a 导数最大阶数等于 m+n-1. 例 2.30． f ( x)
1)3 | 导数最大阶数为（ 1 阶） 。 （ 4） (u ( x)v( x))
(ev ln u )
u ( x) v ( x ) (v ln u vu ) u例 2.31． y
(sin x) x , 求 y 解： y
(sin x )x (ln sinx
x cotx ) （ 5）符号型求导 例 2.32.y
f ( f ( x2 )) ,求 y 。2解： y
f ( f ( x )) f ( x2 )
2x-9-罗君秋个人资料10三、隐函数、参数方法求导1．隐函数求导 由方程 f ( x, y)
0 确定的函数 y
y ( x) ，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。 例 2.33．由 xy2
x确定隐函数 y
y ( x) ，求 解：方程两边对 x 求导得dy 。 dxy 2
2 y)2例 2.34．由方程 sin
1确定隐函数 y
, 求 y , y
. 解： sin
12方程两边对 x 求导，得： cos
0（ *）y = 2 cos(2 x
y ) ， （ *）式再对 x 求导，得： 2 y
y )2 2 sin
2 2例 2.35．已知 y
x 由方程 ( y
2e 确定，求 y (0) .x xy x解：将 x
0 代入 ( y
2e ，得到 y
3 。x xy x- 10 -罗君秋个人资料方程两端对 x 求导，得 e ( y
xex x xy xy11 y
2 ex ， xy2e x
x 2 xy 1 e x e2．参数方程求导问题： x
y(t ),求dy d 2 y , . dx dx 2求导公式：dy d dy ( ) 2 ( y) d y dt dx d y dt y t t
= = ， = . 2 dx d x dx x t dx xt dt dt例 2.36．已知
ln( 1 t2 ) t
arct an求dy d 2 y , . dx dx 21 1
dy y t 1 t 2 = t ， 解： = = 2t dx x t 2 2 1 t d dy 1 ( ) 2 d 2 y dt dx 2 = 1 t . = = dx 2t dx 2 4t 2 dt 1 t x
例 2.37．已知
，求 ， 2 ，并给出 t
y ( x) 的切线法线方程 . dx 2 dx
t costd dy ( ) dy y t cos t
t sin t d 2 y dt dx
2 t2 解: = = , 2 = = ， dx dx x t sin t
t cos t dx (sin t
t cost ) 3 dt
2 ， 2 2 dx t
1 2 22- 11 -罗君秋个人资料12切线方程为 y
法线斜率 k 2(x 2 2) 。 y2 22，法线方程为：(x 2 2)2 2 2
1 例 2.38． 已知 y
确定，求 。 t dx
1解：将方程中 x , y 分别看成为 t 的函数，分别对 t 求导得dy
dt解得：dy t 2
y 2 e t = ， = dt dt xet
ty所以dy dy / dt t 2
xyet = = 。 dx dx / dt
y 2 e t四、导数应用（ a）斜率和几何应用 （ b）洛必达法则求极限 （ c）函数单调性 ,凹凸性 , 极值与拐点 ,渐近线 （ d）最大值，最小值与实际应用 （ e）微分中值定理的应用 （ f）证明不等式1．斜率与几何应用 函数 y
x0 处导数 y ( x ) 为切线斜率 k ，即 k
y ( x ) ,过点 x0 , f
的 切线方程为 y
f ( x0 ) = f ( xo )( x
x0 ) 。法线方程为 y
f ( x0 ) = 1 ( x
x0 ) 。 f ( xo )- 12 -罗君秋个人资料例 2.39． y
x x ，求过 1,1 的切线方程。133 3 x ， k
2 2 3 切线方程为 y
1) 。 2解：y 例 2.40．过点
0, 0 引抛物线 y = 1
x 2 的切线，求切线方程。2 解： 设切点为 x0 ,1
x0 ， 因 y = 2 x ，yy
2 x0 ，切线方程为 y = 2 x0 x ， 因为 x0 ,1
亦在切线上， x ,1
x 0 2 02 2 = 2 x0 x0 ，x0 1
1 ，xo所以，切线方程为 y =± 2 x 。 例 2.41．问函数 y =x0图示 2.11
0 哪一点 x0上的切线与直线 y = x 成 60 角 解：设切线斜率为 k2
0 ， y = x ， k 1 = 1 ， tan
k 2 ， 3= 1
k1 k 2解得： k 2 =
3 ，解得： x = . 2 x 2 32．洛必达法则 洛必达法则是导数对极限的应用， 归结为求极限问题的题型六。 它是求极限问题非常 重要的一个题型。 洛必达法则：若 lim f ( x)
0, lim g ( x)
0, 且在 a 的邻域附近 g ( x), g ( x) 可导。如果xa x a成立 limx af ( x) f ( x)
a g ( x) g ( x)- 13 -罗君秋个人资料14注：①洛必达法则处理的形式必须是未定式0
, 。对于 0
等必须变形为 0 0
, 形式。 0 ②洛必达法则是一个充分性的法则，若 limx af ( x) 不存在，则说明此方法失效。 g ( x)③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。 ④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。 5 注意其和连续，可导概念结合的综合题。 ○ 例 2.42． limx 0x
sin x tan x
sin 2 x1 2 x x
cos x 1 2 解：原式 = lim
0 x 3x 3x 6 1 1 ) 例 2.43． lim(
x e 1 x 0 x解：原式 = limex 1
x ex 1 x 1
2 x 0 x(e x
0 x 2x 2x 22例 2.44． lim x ln xx 0解：原式
lim x 0x ln x x 1 x2
lim 0 x 2 x0 2 x 3 x0 22例 2.45． lim xe
x 解：原式 = lim2
ex 2 xe x 1 1 ) 例 2.46． lim( 2
x 0 x sin 2 x (sin x
x) 解：原式 = lim x 0 x 2 sin 2 xxx 2 lim11
3 2 x 0 x 0 x 0 3x x x 3x 3 1 1 ) 例 2.47． lim( 2
x 0 x tan 2 x- 14 -罗君秋个人资料解：原式 = lim15tan 2 x
x 2 tan 2 x
lim x 0 x 2 tan 2 x x 0 x4 tan x
1 2 tan 2 x 2
x 0 x 0 x 0 x3 x 3x 2 3 x 0 x 3x
cos x例 2.48． limx 解：由罗必塔法则，原式＝ lim这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。sin x x 1 原式 = lim x
sin x 1 x 1(1
x ln x) 例 2.49． lim x 0 csc x1 ln x x
lim 解： lim x
0 x 0 1 x 0 1 x 0 x x2xlnxcscx 1
x0 xlnx 原式
x 例 2.50． lim x0x解： 原式 = lim e x ln x
e x0 x 0lim x ln x e0
1( x x -1) x 0 x ( x x )
lim (e x ln x )
lim e x ln x (ln x
解：原式 = lim x
0 1例 2.51． lim
例 2.52．设 f ( x) 有二阶连续导数，且 f (0)
0 ， g ( x)
0证明： g ( x) 有一阶连续导数。 解：当 x
0 时， g ( x ) xf '( x)
g ( x) , g
0 处连续 x2- 15 -罗君秋个人资料16f (h)
f (0) g (h)
g (0) f (h)
f (0)h h ： g (0)
lim h0 h0 h0 h h h2 f (h)
f (0) f (h) f (0)
h 0 h 0 2h 2 2xf ( x)
f ( x) f ( x) f (0)
2 h 0 x 0 h 0 x 0 x 2x 2 2 f (0) 所以 lim g
，故 g ( x ) 在 =0 处连续。 x 0 2因 lim g ( x)
lim 综上所述 g(x)有一阶连续导数。3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性 a、 单调性 如果 f ( x)
i 则 f ( x) 在 i 上严格单调增加，f ( x)
i ， 则 f ( x) 在 i 上 严格单调减少。 满足 f ( x)
0 的点称为驻点。 b、 极大值，极小值 判别
x0 的附近，当 x
x0 ， f ( x) 单调增加， x
x0 ， f ( x) 单调减少， 则 f ( x) 在 x
x0 取得极大值，反之取极小值。 判别 ii： 如果 f ( x) 在 x
x0 邻域存在两阶导数，且 f ( x0 )
0 取极小值， f ( x0 )
0 取极大值。 极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。 c、 凹凸法 xi ， xi ， 如果 f ( x)
0 ， 则 f ( x) 在 i 上向上凹；f ( x)
0 ， f ( x) 在 i 上存在， 则 f ( x) 在 i 上向上凸。 d、 拐点 凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在 f ( x)
0 的点或 f ( x) 不存在的 点。 e、 渐进线 如果 lim f ( x)
a为 y f x x 如果 lim f ( x)
的水平渐近线； x a- 16 -罗君秋个人资料为 y
的垂直渐近线。 有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为 （ 1） 求定义域，渐近线； （ 2） 计算 y , y ； （ 3） 求 y
0 的点和找出使 y , y 不存在的点，设为 x1 , x2 , （ 4） 列表分析； （ 5） 结论。 例 3.53．分析函数 y
xex17, xn ；的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。解： （ 1）定义域为 x
r ，x 渐近线：因 lim xe
0 ，即 x 轴为水平渐近线（ 2） y
2)e x ，由 y
2（ 3）列表分析xy yy(,1)1 极大值(1,2) 2(2,) 拐点y 1
xe x 在 (,1) 上单调上升向上凸，(1,2) 上单调下降，向上凸，(2,) 上单调下降，向上凸， （ 1， e ）为极大值点， （ 2， 2e 例 2.54．分析 y 21 2）为拐点。1 x 的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线。 1 x2 解： （ 1）定义域 x
1 为水平渐近线。 因 lim x
x 2- 17 -罗君秋个人资料18因 lim （ 2 ） y 1 x2
1 为垂直渐近线。 x 1 1
x 2 )(2 x) 4x ，
12 x 22 3，由 y
1 ， y ， y 不存在。 列表分析xy yy函 数(, 1)1(1, 0)0(0,1)1(1, )
极小值 拐点
11 x2 在 (, 1) 上单调下降，向上凸；在
1,0 单调下降，向上凹； 1 x2 0,1 单调上升向上凹； (1, ) 单调上升向上凸。 0,1 为极小值点， x
1 处为拐点。例 2.55．已知函数 f ( x)
2 处有极值，试求 a , b 的值，并2求 f
的拐点。 解： f
1, 题意知 f (1)
0 ， f (2)
0 ，得： xa
， 3 6 a 2 1 f
0 , 解得 x
2 （负号舍去） 。 x 3x 3- 18 -罗君秋个人资料当0 x
故x192 ， f ( x)
0 ，向上凹， 当 x
2 时， f ( x )
0 ，向上凸，2 为 f ( x) 的拐点。4．最大值、最小值与实际应用 将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考 点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经 济学等方面的内容。 分析问题的流程为： （ 1）适当假设求解变量 x 。 （ 2）函数关系 y
y ( x) 确定； （ 3） y
0 求解，交待 y 最大、最小的理由； （ 4）合理分析。 注：第二步是整个问题的关键步骤， (3) 中的理由部分可能是容易疏忽之处。 例 2.56． （几何问题）半径为 r 的半圆内接梯形， （ 1） 何时面积最大 （ 2） 何时周长最长 解：设上底长度为 2 x ，即 of
x ， 如图所示， oe aebr2
x 2 ，do图示 2.2fc（ 1） s ( x)
x 2s ' ( x)
r) 2x 2 r2
x2由 s ( x)
r / 2 （ x
r 舍去） 因为 x r 为唯一驻点，即为所求（或 s ( r / 2)
0 ） 2此时 s max 3 3 2 2 r 2r / 2
r 2 42 2（ 2） l ( x)
x) 2- 19 -罗君秋个人资料20 2( x
2 2 r 2 2 r 2
2 rx 22r 2 r 2
2 rx，由 l ( x)
r / 2 。 因 x
r / 2 为唯一驻点，即为所求（或 l ' ' ( r / 2)
5r 。 2 例 2.57． （几何问题）半径为 r 的圆板，剪下圆心角
围成一个圆锥漏斗，问
为何角 lmax
2(度时，使得漏斗的容积为最大 解：设圆锥漏斗的下底半径为 x ，v ( x) 1 1 sh
x 2 3 3ro1 2 x v ( x)
x 2 ) 3 2 r2
x2由 v ( x)
0 舍去 ， x
图示 2.32 r （负号舍去） 32 r， 3r所以，符合题意的驻点是唯一的 x 即为所求（或 v (2 r)
0） ， 3xo图示 2.41 2 3 2 3 3 vmax
r 2 r r 3 3 3 272 r 2x 2 6 3 2
。 由 推知 r r 3 例 2.58． （几何问题）设计一个容积为 v ＝ 16 （ m3）的立方 2体的有盖圆锥贮油桶，已知单位面积造价：顶、侧面、底面为 1:2:3，问贮油桶的尺寸如何设计使造价最低- 20 -r罗君秋个人资料解：设该圆柱形底面半径为 r ，高为 h ， 顶单位造价为 l （元 /平方米） ， 由
图示 2.521v 16
2， 2 r r22 2 总造价函数 m
4 l (r 16 )， rm
4 l (2r 16 )0， r2解得： r
2 ；唯一驻点，即为所求（或 m
0 ） ， 此时 h v
r21 2 x （元） ，产品产量 40例 2.59．已知某厂生产 x 件产品的成本为 c ( x)
2 x x 与价格 p 之间的关系： p ( x)
440 1 x （元） 20求： （ 1）要使平均成本最小，应生产多少件产品 （ 2）当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润 解： （ 1）平均成本c ( x) 2500 1
x x x 40 2500 1 c ( x)
0 x 40 c ( x) 解得： x
1000(件） ， 因c(1000)
1000(件） ，平均成本 c ( x) 最小， cmin
300 （元 /件） （ 2）利润函数q( x)
440 x 1 2 1 2 x
x 20 403 2 x
25000 ， 40 6 q( x)
1600 （件） ， 40 唯一驻点，即为所求， qmax
127000 （元） 。 例 2.60．一租赁公司有 40 套设备要出租。当租金每月每套 200 元时，该设备可以全部 租出；当租金每月每套增加 10 元时，租出的设备就会减少 1 套；而对于租出的设备，每- 21 -罗君秋个人资料22月需要花 20 元的修整费。问：租金定为多少时，该公司可获最大利润 解 ： 设 每 月 每 套 租 金 定 为 (200
10 x), 则 租 出 设 备 总 数 为 40 x ， 每 月 的 毛 收 入 为(200
x) ；维护成本为 (40
20 ，于是利润为l( x)
x 10 x2 (0
40) ，l( x)
11 比较 l(11), l (0),l (40) 处利润： l(11)
l (40)； 所以，租金为 (200
310 元时，利润最大。5．罗尔定理、微分中值定理及其应用 rolle 定理：如果 f ( x ) 在 ( a, b) 可导，在 [ a, b] 上连续，且 f (a)
f (b) ，则
(a, b ) 存在，使得 f ( )
0 。 lagrange 中值定理：如果 f ( x ) 在 ( a, b) 可导，在 [ a, b] 上连续，则存在
(a, b) ， 使得 f ( a)
a )。 例 3.53．问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件： （ a） y
sin x, x [ ,
] ， b） y
x | x |, 1
1 c） y 3）x , 1
1解：选择 c，因为 y x 在 x
0 处导数不存在。 1,1] 例 2.61 已知 f ( x)
arctan x ,x
[ ，求 lagrange 中值定理中的
。 ) 解： f (1)
例 2.62．证明 f ( x)
a 在 [0,1]上不可能有两个零点 . 证明 :反证法。如果在 [0,1]上有两个零点 x1, x2 (不妨设 x1
x2 )，即 f x1
在 [ x1, x2 ] 满足定理条件 ,所以存在
(0,1) 时, 3 2
0 ，故矛盾 ,原命题得证 .例 2.62．设 f ( x) 可导 ,求证 f ( x) 的两个零点之间定有 af
f ( x) 的零点 . 证明 :构造辅助函数 f ( x)
f ( x)eax.设 x1, x2 为 f x
的两个互异零点 ,不妨假设 x1
x2 ,且 f x1
0- 22 -罗君秋个人资料所以 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上满足罗尔定理条件 ,故存在
( x1 , x2 ) 使得23f ( )
0 。所以 f ( )
0,命题得证 . 例 2.63． f ( x) 在 [b, a ] 上二阶可导 , f (a)
0 ,设 f ( x)
b)2 f ( x) ,证明：存在
(b, a), 使得 f ( )
0.证明 :由于 f (b)
0且 f ( x) 在 [b,a]上二阶可导 ,所以 f ( x) 在 [b,a]满足罗尔 定理 ,故存在 1
(b, a ) 使得 f (1 )
0 ， f ( x)
b)2 f ( x) 知 f (b)
0 。 ( x) , 现 在 考 虑 g ( x) f x[
b ] ,在 [b ,1 ]满 足 罗 尔 定 理 条 件 ， 所 以 存 在 1, 其
(b, a), 使得 f ( )
0 。例 2.64．证明方程 x4
0 只有一个正根 . 证明： （ 1）根的存在性 令 f ( x)
3, x [0,1], f (0)
0, 由于 f ( x) 在闭区间 [0,1]上连 续，故由闭区间连续函数介值定理知，存在
(0,1) ，使得 f ( )
0, 即，方程 f ( x)
0 有正根 .4（ 2）根的唯一性 应用反证法。设有两个不同根 x1, x2 , ( x1
x2 ) ，则 f ( x)
3 在 [ x1 , x2 ] 上满3 足罗尔定理条件，所以，存在
( x1 , x2 ) ，使得 f ( )
0, 这不可能，故矛盾，所以根是唯一的。 综合 (1)(2)，原命题成立。 例 2.65．证明：方程 sin x
x 有且仅有一实根。 证明： x
0 是方程的一个根。 对 | x | 1 ，方程无根，只要考虑 x
[1,1], 令 f ( x)
1 ，当 x [1 ,0) 时， f ( x )
0, f ( x) 严格单调上升， f ( x)
(0,1] 时， f ( x )
0, f ( x ) 严格单调上升， f ( x)
0 ，总之，方程仅有一实根 0。注：注意上述两例的区别。 例 2.66．设函数 f ( x) 在
上具有严格单调递减的导数 f ( x), f ( x) 在 x
0 处连续且- 23 -罗君秋个人资料24f (0)
0, 试证：对于满足不等式 0
c 的 a , b 均有下式成立： f (a)
b) 。证明 : f ( x) 在
上满足拉格朗日的定理条件，故存在 1
(0, a) 使得f (a)
f (1 )a,由 f (0)
0 ，所以 f (a)
f (1 )a ；f ( x) 在 (b, a
b) 上满足拉格朗日的中值定理条件 ,故存在 2
b) 使得f (a
f (2) )a由于 1
2 ，而 f ( x ) 是单调下降的函数，故 f (1 )
f (2 ) ； 所以 f ( a
f ( a)成立，即 f (a
f (b) ，原命题得证。 例 2.67． f ( x) 在 0, a
上连续，且 (0, a ) 内可导， f (a )
0 。 证明：存在
(0, a) ，使得 f ( )
0 。 证明：构造 f ( x)
xf ( x), x
(0, a) ，f ( x) 在 (0, a ) 上可导，
上连续，且 f (0)
0 ，故 f ( x) 在 0, a
上满足罗尔定理，故存在
(0, a) ，使得f ( )
0 ，例 即原命题得证。 x ) [a, b] 上 存 在 二 阶 导 数 ， g ( x)
0 ， 2.68 ． 设 f ( x) , g ( 在f ( ) f ( )
g ( ) g ( ) 证明：构造 p( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x) ，由条件 p(a)
0 ，p(x)满足罗尔定理 条 件 ， 因 此 存 在
(a, b) 使 p( )
f ( ) g ( )
f ( ) g ( )
0 ， 因 为 f ( ) f ( ) g ( x ) 0 g ,
( （否则 ) g 0 (a , )
0推得 g (c)
， 于是 。 g ( ) g ( )f (a)
0 ，证明：存在
(a, b) 使例 2.69 ． 已 知 f ( x) 在 0, a
上 连 续 ， 在 ( a, b) 内 f ( x) 存 在 ， 又 过 点 a(a, f (a)) ，b(b, f (b)) 两点直线交曲线 y
f ( x) 于 c (c, f (c)) ，且 a
b 。试证明：在 ( a, b) 内至 少存在一个
使得 f ( )
0 。证明：构造 f ( x)
f (a ) f (b)
f (a ) ( x
a) ， ba- 24 -罗君秋个人资料由题意可知： f (a)
0 。25f ( x) 在 a, c 和 c, b 上 分 别 满 足 拉 格 朗 日 定 理 条 件 。 故 存 在 1
(a, c) 使 得f (1 )
(a, c) 使得 f ( 2 )
0 ； （1， 2）
（a, b) 使得 f ( x) 在区间 1 ,
上满足罗尔定理条件。所以存在
0 。 而 f ( x)
f ( x) ，故 f ( )
0 ，原命题得证。6．函数不等式证明 通常证明不等式的方法有：应用微分中值定理；应用单调性；函数最大最小值。 例 2.70．证明 arctan a
ba 证明：当 a
b 时，原不等式显然成立。 当 a
b （无妨设 a
b ） ，设 f
arctan x ，在 a, b 上满足拉格朗日定理，存 在
(a, b) 使得；arctanb
arctana 两边取绝对值，1 (b
2arctanb - arctana
a 。例 2.71．证明：当 0
x 成立。证明：构造 f x
sin x, f 0
上严格单调上升， f x
sin x sin x ， g
， x2 x即， x
sin x 。 构造 g
- 25 -罗君秋个人资料26令 f x
sin x ， f x
0 所以 f x
严格单调下降， f 0
0 ，故 f x
0 ， 所以 g x
0 。说明 g x
严格单调下降， g x
即， sin x
2 2x 。结合前面的两结论可知原命题成立。 1 x 1 x2 x 例 2.72．证明 ,当 0
1 时 ,有 e 证明 :原命题等价于 : e2 x(1
(1 x ), f (0)
0 ,构造函数 f ( x)
e2 xf ( x)
0 , f ( x) = 4 xe2 x
1 )f ( x) 严格单调上升 , f ( x) & f (0)
严格单调上升 ,即 f ( x)
0 ，亦即， e2 x ( x
0，即原命题得证。2 例 2.73． 证明：当 0
2 时， 4 x ln x
0。证明 :令 f ( x)
4 ，2f ( x)
2 ， f ( x)
0 有且仅有一根 x
1 ， 4 f ( x)
f ( x) 在 x
1 取极小值， x(4 x ln x
4 ， f (2)
0 ， f (1)
1 ， f (0)
lim x 0所以， f ( x)
0，命题得证 .2例 2.74．证明：当 x
0 时 , ln 1
arctanx 1 x证明 : 原命题等价于： 1
arctan x ， 构造 f
arctanx， f
0 ，- 26 -罗君秋个人资料f ( x)
0 ，所以 f
严格单调上升， 1
x227f ( x)
0 ，即原命题得证。例 7.3 证明 :当 x
2 时 , 3 x
2证明 :令 f
3x ，3 2由 f
2 ；所以，当 x
2 时， f max
2 ，32 即， 3 x
2 成立。单元练习题 21． y
x , dy x。2． f ( x)
2, 则 limh 0f (2
3h) = h。 。2 2 3 3．设 x y
1 ，确定 y
y ( x) ，则 y =4．若 y
f ( x) 在 x0 可导，且 f ( x0 ) 为其极大值，则曲线 y
f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) ）处的 切线方程是 。5．如果满足 f ( x)
( x )，且 limx0 ( x)x 0 ，则 f (0) =。。6．函数 y
1 x的极值点为，它的图形拐点为：2x 的渐进线为： ( x
1) 2，垂直渐进线为：。8． 设 y
f ( x) 二阶可导， 且 f ( x)
0, ， 又 y
f ( x) ，x
f ( x)x ，则 y 与 dy 相差是。- 27 -罗君秋个人资料289． y
f ( x) 由 ln(x
y) e xy 确定，则 y
10．函数 y
9 的凹区间为|x 0。 。。11. f ( x)
f ( x), 且f ( x0 )
k , 则f ( x0 )
12．1 d 1 1 ( f ( 2 ))
, 则 f ( )
2 dx x x。13．函数 f 为可导函数，则 y
sin{ f [sin f ( x)]}，则dy = dx。14．函数 y
f ( x) 由方程 e 2 x y
1 所确定，则曲线 y
f ( x) 在点（ 0 ， 1） 处的切线方程为： 。1
0 15． 设 f ( x)
0 处可导，则 x
0, b 为任意实数 （ c） b
0 （ d） a
1, b 为任意实数 16．设函数 y
f ( x) 在 x
a 处可导，则函数 y
f ( x) 的绝对值在 x
a 处不可导的充分(b) 条件是： （ a） f
0 （ c） f
02 2（ b） f
017． f ( x)
x | x | ,则使存在的最高阶导数 n 为 : （a） 0 （ c） 2 （ b） 1 （d） 318． y
x 2 ), 则下列正确的是： （a） dy 1 x
1x2（b） dy 1 1x2dx（ c）y'
x 2 dx（ d） y ' 1 x
1x2- 28 -罗君秋个人资料19．曲线 y
x 4 的凸区间为： （a）
（ c） （ b）
20．函数 y
sin x 在区间
上满足罗尔定理的
（ ） （a） 0 （b） 4（ c）21．设 f
0 ，且极限 limx 0f
x （ ） 存在，则 lim x
0 x x 2（d） （a） f ( x ) (c )(b) (d)f
0 2 22. 设 y
f ( x) 可导，则 f ( x
0（a） f ( x)h
o(h) (c)(b) 2 f
h23 若直线 l 与 ox 轴平行，且与曲线 y
x e 相切，则切点坐标为： （ ） （a） (c)1 , 1
0, 1x(b) (d) 1,1
0,124.设 f ( x)
e3sin(3x) ，则下列式中正确的是（）(b) f
arctan 26. y
esin( x 27. y
xsin x21 3(c) f
0 不存在x 1 , 求 y . x 11),求 dy, 求 y- 29 -罗君秋个人资料3028.设 y
y ( x) 由 x y
y x 确定 ,求 dy 29. y x 1 ,求 y
0 x 130.设 f ( x) 已知二阶可导函数 , 求 y
f ( x2 ) 的二阶导数 . 31. f (ln x
3x ,求df ( x ) . dx32.
et sin t d2y
, 求 t dx 2
te 33.设曲线 x
y(t ) ,由方程组
t 确定，求该曲线在 t
1 时的斜率 k 。 y e
34. y x2 n ,求 y
. 1 xn 35. y
x3 ln x ,求 y
x2 )cos x ,求 y
37. f ( x)
2) arctan 38. f ( x)
x2 0,39. y |
13| , 求 y .x 2
2 x 3，求 y .1
0 41. f ( x)
,（ 1）求 f
, （ 2）求 f
0 处是否连续 . x 2 x , x0 - 30 -罗君秋个人资料42.方程 lny 31dy d 2 y x
y ( x) ,求 , 2 dx dx y2
x 2 ,| x | 2 43.设 f ( x)
。 2, | x |
44. f ( x)
，其中 g ( x) 具有二阶连续导数，且 g (0)
1, x 0, x0 求（ 1） f
； （ 2）讨论 f
的连续性。 45.证明曲线 x
的切线介于坐标轴之间的长度为一常数 . 46.已知 arctan2 3 2 3 2 3dy y
y 2 ,求 . dx x g ( x )
47.已知 f ( x)
有二阶连续导数 ,且 g (0)
a,（ 1）确定 a 值，使 f ( x) 在 x
0 处连续； （ 2）求 f
。 f ( x) ,x
48．设 f ( x) 有二阶连续导数，且 f (0)
0 ， g ( x)
0证明： g ( x) 有一阶连续导数。 49．求下列极限1 ln(1
) x （ 1） lim x
arc cot x（ 4） lim(x 1x （ 2） lim x 0sin xx
xx （ 3） lim x 1 1
x ln x（ 5） limx 0x(e
1) x sin 2 xxx (1
cos ) x 2 （ 6） lim x 0 tan x
sin x50．证明下列不等式 （ 1）当 x
x 1 x- 31 -罗君秋个人资料32（ 2）当 b
0 时， 3a 2 (b
a) （ 3）当 x
x 2 （ 4）当 x
1 时， 2 x
（ 5）当 1 x 12x2时， cos x
1 x21 2p 1（ 6）设 0
1 ，证明不等式 51．分析函数 y x x p
1e 的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。 x52．分析函数 y
x) 的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。 53．求内接于半径为 r 的半圆的矩形的最大面积。 54．已知三角形高 h ，底边长为 l ，求一边落于底边的内接矩形的最大面积。 55．把一根长为 a 的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各 多长时，圆形面积与正方形面积之和最小 56．用面积为 a 的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶，问油桶直径为多长时，油桶的容积 最大又这时油桶的高是多少 57．已知 a 、 b 两地相距 30 公里，如下图所示。在它们之间铺设一条管道，由于地质 条件不同，在 y
0 地区，铺设管道费用为 10 元 /公里，在 y
0 地区，铺设管道费用为56
104 元 /公里。求最经济的铺设路线。ya
15,5ob 15,5oocodoo图示 2.62 2x oo58 ．在直角坐标系的第一象限内作 4 x
1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角 形面积最小，求切点坐标。- 32 -罗君秋个人资料本是 c
1 （百元） （ 1）若每销售 1kg 商品，政府要征税 t （百元） ，求商家获得最大利润是的销售量 （ 2）商家获得最大利润前提下， t 为何值时，政府的税收总额最大 历年真考题 1、 （ 2001）若 f ( x)
f ( x) ，且在 (0,
)内： f ( x)
0， 则 f ( x) 在 ( , 0) 内必有（ a. f ( x)
0 , f ( x)
0 c. f ( x)
0 , f ( x)
0 2、 （ 2001）设参数方程为
b. d. ）3359 ．一商家销售某种商品价格 p
0.2 x ，其中 x 为销售量（单位： kg ） ，商品的成f ( x)
0 , f ( x)
0 , f ( x)
0 x 2 ) cos ，求 dy 。 3、 （ 2001）已知 y
ln(1 54、 （ 2001）已知 y
x 2ln y dy ，求 x dx。x 1 y 15、 （ 2001）已知曲线 y
f ( x) 经过原点，并且在原点的切线平行于直线 2 x
0 ， 若 f ( x)
b ， 且 f ( x) 在 x
1 处 取 得 极 值 ， 试 确 定 a , b 的 值 ， 并 求 出 函 数y
f ( x) 的表达式。 f ( x)
6、 （ 2001）设函数 g ( x)
ax0 x0， f ( x) 具有二阶连续导数，且 f (0)
0 ， （ 1）求 a ，使得 g ( x) 在 x
0 连续； （ 2）求 g (0) 。 7、 （ 2002）已知 f ( x ) 是可导函数，则 limh 0a. f ( x )b. f (0)xf ( h)
h) （ h c. 2 f (0) d. 2 f ( x)））8、 （ 2002）若 y
arctane ，则 dy
（a.1 dx 1
e2 xb.ex dx 1
e2 xdxd.ex 1
e2 xdx）9、 （ 2002）已知 f ( x) 在 (, ) 内是可导函数，则 ( f ( x)
f ( x)) 一定是（ a. 奇函数 b. 偶函数 c. 非奇非偶函数 d. 不能确定奇偶性的函数x y 10、 （ 2002）设函数 y
y ( x) 由方程 e
sin( xy) 确定，则 y x0 。- 33 -罗君秋个人资料3411、 （ 2002）函数 f ( x )
12、 （ 2002）已知 x 的单调增加区间为 ex。 x
t sin t ) dy ，求 。 dx t
t cost )41
(1 x )x , x
0 13、 （ 2002）设 f ( x)
，且 f ( x ) 在 x
0 点连续。
求（ 1） k 的值； （ 2） f ( x ) 。
1 2 14、 （ 2002）证明：当
时， cos x
1 x 成立。 2 2 15 、 （ 2002 ）已知某厂生产 x 件产品的成本为 c ( x)
产量 x 与价格 p 之间的关系为： p ( x )
440 1 2 x （元） ，产品 401 x （元） ，求： （ 1）要使平均成本最 20小，应生产多少件产品（ 2）要企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求 最大利润。 16、 （ 2003）已知 f ( x0 )
2 ，则 limh 0f ( x0
（ hd. －2 ））a.2b.4c.017、 （ 2003） y
x 2 ) ，则下列说法正确的是（ a. dy 1 x
x 2 dxc. dy dxd. y 1 x
x2 sin ax x0
0 为连续函数，则 a , b 满足（ 18、 （ 2003）已知函数 f ( x )
2 , b 为任意实数 c. a
b ）1 23 2d. a
1- 34 -罗君秋个人资料19、 （ 2003） y
y ( x) 由 ln( x
e xy 确定，则 y x0
20、 （ 2003）函数 y
9 的凹区间为 。 。35 x
ln(1 t 2 ) dy d 2 y , 21、 （ 2003）已知
，求 。 dx dx2
arctant22、 （ 2003）证明： xe
2 在 (0,1) 内有且仅有一个实根。x23 、 （ 2003 ）设计一个容积为 v 立方米的有盖圆柱形贮油桶。已知单位面积造价：侧面 是底面一半，盖又是侧面的一半，问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低 24、 （ 2004）直线 l 与 x 轴平行且与曲线 y
e 相切，则切点的坐标是xa． （ 1， 1） b、 （－ 1， 1） c、 （ 0，－ 1） d、 （ 0， 1） 25、 （ 2004）设 f ( x)
n )，则 f (0)
____。 26、 （ 2004）设函数 y＝ y(x)由方程 y
1 所确定，求d2y |x 0 的值。 dx 227、 （ 2004）甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸 40 公里， 乙城在河岸的垂足与甲城相距 50 公里，两城计划在河岸上合资共建一个污水处理 厂， 已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里 500 元和 700 元。 问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省 28、 （ 2005）设 x＝ 2 是函数 y
ax ) 的可导极值点，则 a＝（）1 21 1 c、
d、1 2 2 e x
__ 29、 （ 2005） lim x 0 x
sin x 30、 （ 2005） 对函数 f ( x)
ln x 在闭区间 [1,e]上应用 lagrange 中值定理， 求得的
＝ ____。a、－ 1 b、 f ( x ) 2 s xi n , x0
31 、（ 2005 ） 设 函 数 f ( x)
在 x＝0 处连续，其中 x
a,f( 0 ) 0 f ,
(0求 ) a。 6,32、 （ 2005）设函数 y
y ( x) 是由参数方程 3 x
cos t dy d 2 y , 所确定，求 。 dx dx 2
t cos t33、 （ 2005）证明方程 x
0 在 [-1,1]上有且仅有一个实根。 34、 （ 2005）设函数的图形上有一拐点 p（ 2，4） ，在拐点 p 处曲线的切线斜率为－ 3，又- 35 -罗君秋个人资料36知该函数的二阶导数 y
a, 求此函数。 章节测试 1. f ( x)
..... an1 x
， f ( n) (0)
。___ 。 2． y
x x ，则 y
__________3． y
cos x 在点 x
4.2处的切线方程。d ln x d x _________ 。5．已知 x 33是 f ( x)
a sin x 21 sin 3x 的极值点，则 a
______ 。 3。6． y
5 的拐点是 7．曲线 y x3 的渐近线是 ， x3 1 2x
1 的水平渐近线是 。 2x 8．设函数 f ( x)
3)，则方程 f ( x )
0 有（a． 一个实根2）b．两个实根c．三个实根 ）d．无实根9． y
1) 在 (,) 上的极小值为（ a． 02b．1 ）c． 2d ．不存在10．函数 y
e x （ a．没有拐点b．有一个拐点 ）c．有两个拐点 d．有三个拐点4x 1 11．函数 y
2) 2a．只有水平渐进线 c．没有渐近线b．只有铅直渐近线 d．有水平并有垂直渐近线 ） c．2 d．3 ）312．函数 y
2 的极小值为（ a． 0 b．113．在区间 [-1， 1]上，下列函数不满足罗尔定理的是（ a ． f ( x)
ex2 21b． f ( x)
x )2c ． f ( x) xd． f ( x) 1 1
x2- 36 -罗君秋个人资料14． f ( x0 )
0, f ( x0 )
0 是函数 f ( x ) 在点 x
x0 处有极值的一个（ a．必要条件 b．充要条件 ） c．既有上凹又有下凹 ） c． e
exx37）c．充分条件d．无关条件15． y
2 在区间（ 0， 4）内（ a．上凹 b．下凹d．直线段16．下列条件中，对一切 x
1 均成立的是（ a． e x
1) x b． e x
exx17．设 y
f ( x) ，若 f ( x0 ) 存在，且 f ( x0 )
a ，则 lim a． a b． 2 a ｃ． a ）x
f ( x0 ) （ x a ｄ． 2）18．下列函数在点ｘ＝０处连续且可导的是（ ａ． f ( x) 3xｂ． f ( x ) 1 x 1ｃ． f ( x） 2 x
0d ． f ( x)
01 ) sin x 1 20. y
arctan ，求 y 。 x x 2 21. y
(arcsin ) ，求 y 219. lim( x 01 x22. y
x )12 arctan x，求 y23. y
2 cos x ，求 dy 24. f ( x)
25. f ( x)
x 2 ,x0 x arctan x, x
0,求 f ( x )1 (n) ，求 f (0) 1 2x 1 26. y
x ln x ，求 y x 27. y
2 x) ，求 y(0)- 37 -罗君秋个人资料381
1 28. f ( x)
，求 f ( ) 2
，求 y(1) 230. y arccos x 1
x ) 31. lim
e 32. limln( x ln x) , (a
xa33. 分析 y
1) 的单调性、凹凸性、极值、拐点 34. 讨论函数 e 在点 x
0 处是否可导有没有极值如果有求出其极值。 35. 设生产某种产品 x 个单位时，成本函数为 c( x)
100 x1 2 x
6 x （万元 /单位） 。当 4x =时，平均成本最小36. 某厂生产某产品，年产量为 x （百台） ，总成本 c (万元 )，其中固定成本为 2 万元， 每产 100 台成本增加 1 万元，市场上每年可销售此种产品 4 百台，其销售总收入 r ( x) 是1 2
4 。问每年生产多少台时总利润最大 x 的函数， r( x)
x4 8,37. 某工厂每天生产 x 台袖珍收音机总成本为 c( x) 1 2 x
100 （元） ，该种收音机 4独家经营， 市场需求规律为 x
3 p ， 其中 p 为单价， 问每天生产多少台时获利最大 此时每台收音机价格如何2 38. 求函数 f ( x)
2,4上的最大值与最小值。m 39．试证：若 m
nmna mn- 38 -罗君秋个人资料40．设 x
0 ，证明：392
x1 n 1 1 n 1 n 11 x2
x1 n41．证明不等式：a a a
1) ln aa ， （ a , 。 1 n1
） n2单元练习题 2 答案1、 dy
1)dx ， 2、 12 ， 3、 y
y 2 ， 4 、 y
f ( x0 ) ， 5 、 1 x 2
6 y 221 2 6、 (1, e ); (2,2e ) ， 7、 y
dy ， 9、 e
1 ， 10、 (1,) ， 11、 k12、 1 ， 13、 cos f sin f x
f sin f x cos f x
1 15、 c ， 16、 b ， 17、 c ， 18、 b，19、 a ， 20、 c ， 21、 b ， 22、 b ， 23、 c ， 24、 a 25、 y
2x cos( x2 1)esin( x 1) dx ，27、 y
cos x ln x
y x dx ， 29、 y 0
y ln y 30、解： y
3eu1 ，x 1 df x
3e x 1 dxu 1 31、解：设 u
t 32. 3 2 dx e
cos t 33. 解：dx dy dy et et
1e t ， e t
dt dt dt e 2e
e t dy dy 1 1 dy dt 1 k
2e 2e dx dx (2e
1) dt- 39 -罗君秋个人资料4034. 解： y
， 1 x x 11
1 n ! , n 1
235. 用莱布尼茨公式。 36. y n 1
2nx s i n x
0 37. 解： f x
n 0 h 0 h hf
lim h 01f h
h1 1 e1 h 1。所以 f
0 不存在。 38、解 f x
232 arctan x
11 h arctan f 2
2 h h- 40 -罗君秋个人资料f
lim因41h 0
lim arctan
2 故 f 2 不存在2 3
1 39、解： f x
02 x 3 x 1 , x
x 3 x 1 ,x 3
240、解： y
2 x3 x12 x 2 x 3 ln 2
2 x 3 ln 2
2 x 3 2 ln 2
1 0 h 10 h h 故 x
1 ， y 不可导 ; f
f 3 e h 4 h
lim h 3 0 h 3 0 h h f 3
lim h 3 0 h 3 0 h h f
不可导- 41 -罗君秋个人资料421 1
0 41、解（ 1） f x
limh 0 h 0 f h
lim h0 hh 2 sin h1 h 0（ 2） lim f
2 x sin x 0
0 处不连续 1 1
不存在 x x42、解 y ln y
0 ，方程两边对 x 求导ln ydy y
0 dx y ln y 1 y 1
1 对（ *）两端再次对 x 求导， 1 2 y ln y
0 ，得 y y
2 43、解： f ( x)
2 时间断，故 x
不可导。 44、解： （ 1） f ( x) x( g ( x)
x ，x0 x2 g (h)
e h 0 f (h)
f (0) g ( h)
lim h0 h 0 h 0 h h h2- 42 -罗君秋个人资料g (h)
lim h 0 h 0 2 2h 2 （ 2）当 x
0 时，由 g ( x ) 的连续性知 f ( x) 连续
lim g ( x)
x x 0 x 0 2x x g (0)
f (0) x 0 2 2 f ( x) 在 x
0 处连续。 综合得 f ( x) 在 (,) 上处连续。lim f ( x)
lim45．证明：设切点为 ( x0 , y0 ) 且满足 x0 3
a2 2 2 3432 3 2 3 dy x x
( ) 3 3 3 dx y111k
(y0 3 y ) ，切线方程为 y
( 0 ) 3 x0 x0 y0 3 x ) x0 ，令 y
( 0 ) 3 y0 。 x0 y01 111令 x
(切线于坐标轴之间的长度：l
32 2y0 x x0 ) 2
3 0 y 0 ) 2 x0 y02 2 2 2 ( y 0 3 ( y 0 3
x03 ( x0 3
y 0 3 ) 2 ( y0
axy' y xy' y x
2 yy' 1 2 x
2 yy' x2 46．解： ， 2 ，
2 2 2 y 2 2 x y x y x
y2 1 ( ) x x y
2 y' y
2 yy' ， y '
y ) g ( x)
cos x g ( x)
g (0) 47．解： （ 1） lim f ( x)
lim x 0 x 0 x
0 处连续，可知 a
lim f (x )
g (0)x 02 32 3 3 22 3 3 2- 43 -罗君秋个人资料44x( g( x)
sin x ) g (x ) cos x x2 f (h)
f (0) g (h)
g (0)h g (h)
g (0) f '(0)
lim 2 h 0 h 0 h 0 h h 2h g (h)
cos h g (0)
h 0 2 2 xf '( x)
g ( x) , g
0 处连续 48．解：当 x
0 时， g ( x )
x2（ 2）当 x
0 时， f '( x ) f (h)
f (0) g (h)
g (0) f (h)
f (0)h h g (0)
lim h0 h0 h0 h h h2 f (h)
f (0) f (h) f (0)
0 2h 2 2 xf ( x)
f ( x) f ( x) f (0)
因 lim g ( x)
lim 2 h 0 x 0 h 0 x 0 x 2x 2 2 f (0) 所以 lim g
g (0) ，故 g ( x ) 在 =0 处连续。 x 0 2综上所述 g(x)有一阶连续导数。1 1
x2 x x 49． (1).原式 = lim
lim 1. 2 x
arc cot x x
x2（ 2）原式 = e x0lim sinxlnx e x0lim x ln x e x0 1/ x
12limln xlim1/ x1
1) (3) 原式 = lim
lim x 1 x 1 1 1
x x x (ln x
x x . 1 x21 x1
2 x 1 1 x2 x ln x
lim (4) 原式 = lim x 1 (1
x) ln x x 1 (1
1)1 x ln x
。 2 x 1 x 1 2( x
1) x 1 2 2
1- 44 -罗君秋个人资料x(e x
lim x 0 x 0 x3 3x 2 e x
。 x 0 x 0 6 6x 6 x x 1 x cos x
(1 cos ) 1 cos sin 2
lim 2 21。 (6) 原式 = lim x 0 x 0 1 sin x (1 cosx )
cosx x 0 sinx 4 50、 (1) f ( x)
ln x 在区间 [1,1+x]上满足拉格朗日中值定理条件 , 故存在
x) ,使得 : 1 ln(1
x(5)原式 = lim45所以，x 1
x 。 1 x 3(2) f ( x)
x 在区间 [a,b]上满足拉格朗日定理条件 ,故存在
(a, b) ,使b3
a)所以 , 3a (b
a)2 3 3 2 2（ 3）令 f ( x)
x 2 ) x 1 x2x 1 x2 ln(x
0) 。故 f ( x) 在 x
0 上严格单调上升， f ( x)
0 即原命题得证。 （ 4 ）令 f ( x)
1) ， ， f (1)
0 ， f ( x)
x x x 所以 f ( x) 在 x
1 时严格单调上升，可知 f ( x)
0 ，即原命题得证。（ 5）令 f ( x)
1 x2 cosx, f (0)
0 因为 f ( x) 是偶函数，故只需考虑 0
x 2，f ( x)
0 （由例题结论） ，故 f ( x) 在 0
x p2上严格单调上升， f ( x)
0 ，故原命题得证。p（ 6）令 f ( x)
x) ，f ( x)
0 ，得 x p
(1 x ) p ，可得 x - 45 -1 ， 2罗君秋个人资料461 1 1 1 f (0)
p 1 ， 2 2 2 2 1 故在区间 0,1 上， f max
1 。 2 51、解： （ 1）定义域： x
0 ，垂直渐近线： x
0 。（ 2） y ' xe x
x2 x22 x x x2
1 e y' '
x4 x3 x3（ 3） y'
1 ， y ' '
0 无解， x
0 时， y' , y' ' 不存在 （ 4）列表xy yy ,0 0 0,111,
极值 拐点3y 1
e52． （ 1） y
0 解得 x （ 2）列表3 1 , ,0 4 2xy yy .0 0 1
拐点 拐点 极大值y
256- 46 -罗君秋个人资料53.解：设长为 2x，由勾股定理 h 47r2
x22x hs ( x)
x2 x)o图示 2.7 ，解得 x
x2 ， r （负舍去） 2r 2 r2 2 s (0)
0 ，故 s ( )
=r 。 r 2 2 254．解：设矩形长为 x ，高为 h1 ， 由相似定理知，h x l h h ， s ( x)
l ） l l l 2h s (0)
0 ， l hl lh lh
s max = 2 2 4 4 h1
h 55.解：设围成圆形的长度为 x ，面积记为 s1 ， 围成正方形的长度为 a
x ，而面积记为 s 2 ，h
h lh ll 图示l 2.8x 2 ax 2 ) ( ) 2 4 1 2 (a
a) 4 16 1 1 2a s ( x)
2 2a 2a s ( )
0 ，故 s ( )
s max 。 8
2 56．解：设圆桶底面半径 r ，为油桶高为 h ，则s ( x)
s 2 ( x) =
(- 47 -罗君秋个人资料482 rh
a ， a r ， 解得 h
2 ra ar v (r )
r3 ， 2 r 22 2rhv '(r ) a a
时容积最大，
此时， h 图示 2.91 a 。 3 57．解：设 bd
254 总费用 z ( x)
2 104 (10 x
25)4 z ' (x )
2 1 0 ( 1 0x 6
， ) 0 x 2
25解得 x 50
12.5 （公里） ，唯一驻点即为所求。 42 258．设切点为 ( x , y )
4 x 2 ) ，由 4 x
1 ，求导得8x
2 ydy dy 4x 4x 4x
dx dx y y 1 4x 2y a aob a1 4 x2
y 2 图示 2.10- 48 -x罗君秋个人资料切线方程为 y
2494x 1 4x 2(x
x ) ，令 x
1 4x 2 4x 2 1 4 x21 1 4 x 2。令 y
x 1 4x 2 1 1 1 1
4x 4x 2 1 4x 2 4x2求 s ( x ) 的最小即求 x 1
4 x 2 的最大，令 f
4 xf ' x
x4 x 1 4x 2 0 ，解得 x 1 2 2唯一驻点，即为所求。此时切点坐标为
。 259、解： （ 1）利润函数r
，唯一驻点，即为所求。 2 5 5 （ 2）政府税收总额 q
t ， q '
2 2 2r '
0 得 x 唯一驻点，即为所求。章节测试答案 1． 0, a0 n! 2． 3x
1)2 x x3. x
y 24.2 x5. a
2 8、ｂ 17、ｂ6.1,310、ｃ7.y
1 水平渐近 ;12、ｃx
1 垂直渐近 ; y
114、ｃ 15、ａ 16、ｃ9、ａ 18、ｂx 011、ｄ13、ｃ19．原式 = limsin x
0 x sin x x 2x 2- 49 -罗君秋个人资料5020． y 1
x 1221． y
arcsin 2 2 x 2 4 x 1 42122． ln y
arctan x ln 1
arctan x , y y 1 x 1 x2 22y
x 2 1arctan x ln 1
2 cos x ln 2
2sec x sec x
ln 2dxx0 2 x,
x arctan x
0 h arctan h
1 2n n 0nx ，而 f
nfnn 0n!n 0 xn ，故fnn! 0
1nn 2n ，所以 f
1 2n n !26． y
x ln x ， y
x 21 1 1 1 1
2 1 x 2 2 x
x 2x2 21 2x- 50 -罗君秋个人资料27． y
512 4 16 ， y
16 2 3 1 2x 1
1 )， x28． ln y
x ln(1 y 1 1 1 1 1
1 x y x x 1 x 1 x 1 1 1 ) y
2129． y 1 x 1 1 (sin
] 2 2 x x 1 1 1 = (sin
sin(ln x) 2 2 2 cos
y ' ' (1)
1 y ''
， 1 xx30． y ' 1
x2 arccos x x2x
x2 x1 x 1 x2arccosx x 1
2 2 2 x x 1 x 1 x131．原式 = e1 lim [ln(1 x ) x 1] x0 xe1 ln(1 x ) 1 lim x x0 x e x0limln(1 x )
x x2e1 1 1
lim x x0 2 xe1 21 (ln x
1 x ln x 32．原式 = lim
ax ln x ax33． y
1x , 11 1,0- 51 -0 0,111,
罗君秋个人资料52y yy 拐点极小值 拐点 x 1
lim 1 34．解 f
lim x 0 x 0 h h f (h)
1 x 0 x 0 h h f (0) 不存在，即不可导x
0 时， y 取极小值 y(0)
135．解：平均成本 c ( x) 100 x
6 x 4c( x) 100 1
20 （负号舍去） x2 4c(20)
0 ，所以当 x
的最小值1 cmin
320 （万元 /单位） 4 36．解：设销售量为 x 百台， c( x)
4 利润函数 l( x)
1，计算0 x4 ，由 l( x )
2.5,l (4) 2, l(
9 由此可得 l max
l(3) 所以每年生产 3 百万台时总利润最大。 37．解：利润函数 l( x)
) x x 31 2 x
100 9- 52 -罗君秋个人资料4
) 9 8 l( x)
27 ， l(0)
224 9 此时 p
16（元 /台） 。 1 f ' 1 2x 1 2 38．解： ln f ( x)
) 3 f 3 x x6 2( x
3 2 x 2 ( x
6) 由 f ( x)
6 时 f ( x ) 不存在，端点 x
2,43 计算 f (0)
0 ， f (4)
4 ， f ( 2)
453比较上述函数值，故 f max
4 。 39．证明： f ( x)
x) nf ( x)
x) n1 (1)= x m1 (a
a, x ma mnf (0)
0, f (ma ma m ma n mm n n )( ) (a
a m n m n mn mn mn ( m
n)所以 f maxmmnn
a m n m n ( m
n) mm nn a m n ，得证。 (m
ln( 1 ) x 1 x 1 x 1f ( x)
f max 140．令 f ( x) 1
x- 53 -罗君秋个人资料541 u u ,
f (u ), 有 f (0)
1 u 1 2 1 u
， 3 3 1 u 1 u (1
1 u ， 2对于 u
0 ，成立 1 故 f (u )
0, 继而 f (u ) 严格单调递增，故 f (u)
0) 即 f ( x)
0) 即 ln( 1 ) 1 x1 x2
x。2 1 2 1 2u 令 g ( x)
g(u ) x 2x 1 x 2 1 2u x 1 2(2
u ) 2 1 4 2 2
0) ， 由于 (2
4u ，所以 2 1
u )即 g(u ) 在 u
0 时严格单调上升，故 g(u)
0) 即 g ( x)
0 即 ln(1 1 2 ) ( x
1综合可得：对 x
0 成立1 x2 1
x241. 令 f ( x)
1 上连续可导，由拉格朗日定理知1
1) 使得 f (n
a (1 n 1 1 n 112) ln aa a
a (12) ln a- 54 -罗君秋个人资料55所以a a a
n 1 ln a1 n 11 n1 n 11a2a ，即原式成立。 n21 n- 55 -
23:38:32 00:29:17 00:47:10 07:33:44 19:40:03 18:24:22 06:40:33 06:40:32 10:46:15 06:57:46}