A、一定是正三棱锥B、一定是正四面体C、不是斜三；错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认；（1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；（2）若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶；2F-V=4（3）若直线L⊥平面α，L∥平面β，；（4）命题“异面直线a,b不垂直，则过a的任一平；确的命题是（）；A、（2）（3）B、（1）（4）C、（1）（2）；错
A、一定是正三棱锥
B、一定是正四面体
C、不是斜三棱锥
D、可能是斜三棱锥 正确答案：（D）
错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D 24．（案中）给出下列四个命题：
（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
（2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V，面数F满足的关系式为
2F-V=4 （3） 若直线L⊥平面α，L∥平面β，则α⊥β
（4） 命题“异面直线a,b不垂直，则过a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正
确的命题是
A、（2）（3）
B、（1）（4）
C、（1）（2）（3）
D、（2）（3）（4） 正确答案：（A）
错误原因：易认为命题（1）正确
二填空题：
1. （如中）有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保
持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.
错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为πa。
这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为
，所以正确答案为：2πa2。
2. （如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，
椭圆的离心率为e=错解：答
，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。 2
ππ。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：。 63
3. （如中）已知正三棱柱ABC-ABC底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与
底面ABC成60角的截面面积是___________________。
S底=错解：学生用面积射影公式求解：
S100=S截＝底0=
错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是： 4. （如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。
错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。 正确答案是不能确定。
5. （如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，
则此直线垂直于另一个平面。
正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。
6. （如中）平面α外有两点A,B，它们与平面α的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，
且AP:PB=m:n，则点P到平面α的距离为_________________.
。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情
na+mbmb-na
况。正确答案是：。 或|
7. （如中）点AB到平面α距离分别为12，20，若斜线AB与α成30的角，则AB的长等于_____.
错解：16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64。
8. （如中）判断若a、b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面
与a、b都平行。
错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面时恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行。
9．(磨中)与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个。 正确答案：7个
错误原因：不会分类讨论
10．(磨中)在棱长为1的正方体ABCD――A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。
正确答案：
错误原因：不会找射影图形
11．(磨中)△ABC是简易遮阳板，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD面积最大，遮阳板ABC与地面所成角应为_________。
正确答案：50°
错误原因：不会作图
12．(磨中)平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为
圆，则角θ等于_______
正确答案：30°
错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。
13．(磨中)把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。
正确答案：(
错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上
14．（一中）AB垂直于?BCD所在的平面，AC=,AD=,BC:BD=3:4，当
?BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为。正确答案：
PC=2cm，PD=3cm，则P到棱l的距离为____________
15．（蒲中）在平面角为600的二面角α-l-β内有一点P，P到α、β的距离分别为
点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。 16．（蒲中）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，
且∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________ 答案：600
点评：以PD为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD与棱PC的夹角，利用
cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600，构造模型问题能力弱。
17．（蒲中）正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都
相等，试写出满足条件的一个截面____________ 答案：面AD1C 点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，
18．（江安中学）一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____议程。
设BD=x,AB=
CD⊥AB,∴BD⊥CD,AD⊥CD
∠ADB为二面角的平面角，∴∠ADB=
∴cos∠ACB=
误解：折叠后仍然BD⊥CD,AD⊥CD判断不了，找不到Rt?ADB,AB的长求不出。
19．（江安中学）某地球仪上北纬30，纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是_____cm，表面积是_____ cm2。
正解：4,192π
设地球仪的半径为R，纬线的半径为r 。
由已知2πr=12π，r=6
r=R?cos30 ,∴6=R?
,故R=43,S表=4πR2=4π?48=192π。 2
误解：误将2πR=12π得R=6,S=4πR=4π?36=144π
20．（江安中学）自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则
PA2+PB2+PC2=_____。
正解:4R2,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则PA+PB+PC应是矩
形对角线的平方,即球直径的平方。
误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。
21．（丁中）直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与l成450，AB?α,AC?β，则∠BAC=
。 错解：600
错因：画图时只考虑一种情况 正解：600或1200
22．（丁中）直线l与平面α成角为300，l?α=A,m?α,A?m则m与l所成角的取值范围是
错解：[ 300 , 1200]
错因：忽视两条直线所成的角范围是[0,90]
正解：[ 300 , 900] 23．（丁中）若AB的中点M到平面α的距离为4cm，点A到平面α的距离为6cm，则点B
到平面α的距离为_________cm。
错因：没有注意到点A、B在平面α异侧的情况。 正解：2、14
24．（薛中）已知直线L∩平面α=O，A、B∈L，OA= 4 ，AB=8；点A到平面α距离为1，则点B到平面α的距离为
答案：1或3
错因：考虑问题不全面，点A，B可能在点O的同侧，也可能在O点两侧。
25．（薛中）异面直线a , b所成的角为60?，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为60?，这样的直线L有
答案：三条
错解：一条
错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P作a'//a,b'//b,由a',b'确定一平面α，画a',b'相交所成角的平分线m、g，过m, g分别作平面α的垂面β,γ，则在β,γ中易找到所求直线共有3条。 26．（薛中）点P是?ABC所在平面外一点，且P在?ABC三边距离相等，则P点在平面ABC上的射影是?ABC的
答案：内心或旁心
错解：内心
错因：P在平面ABC内的正射影可能在?ABC内部，也可能在?ABC外部。 27．（案中）四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为
正确答案：（0，
错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x的隐藏范围。
28．（案中）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面为EF的距离为
正确答案：
错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。 29．（案中）点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是
正确答案：
错误原因：找不到解题思路
三、解答题：
1. （如中）由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为SABC
的外心，求证：OP⊥α。
错解：因为O为SABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以SPOA，SPOB，SPOC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝RT∠，所以OP⊥α。 错解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝RT∠，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。 正解：取BC的中点D，连PD，OD，
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二填空题：
1. （如中）有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.
错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为πa。
这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为2，所以正确答案为：2πa2。
2. （如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，
椭圆的离心率为e=
错解：答________。 ππ。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：。 63
1113. （如中）已知正三棱柱ABC-ABC底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与
底面ABC成60角的截面面积是___________________。
错解：学生用面积射影公式求解：S底=
0S100=S截＝底0=。
错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：。
4. （如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。
错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。 正确答案是不能确定。
5. （如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面。
正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。
6. （如中）平面α外有两点A,B，它们与平面α的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面α的距离为_________________. na+mb。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的m+n
na+mbmb-na或|| 情况。正确答案是：。 m+nm+n错解为：
7. （如中）点AB到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB与α成30的角，则AB的长等于_____.
错解：16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64。 0
8. （如中）判断若a,b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面
与a,b都平行。
错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面时恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行。
9．(磨中)与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个。
正确答案：7个
错误原因：不会分类讨论
10．(磨中)在棱长为1的正方体ABCD――A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。
正确答案：
错误原因：不会找射影图形
11．(磨中)△ABC是简易遮阳板，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD面积最大，遮阳板ABC与地面所成角应为_________。
正确答案：50°
错误原因：不会作图
12．(磨中)平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为1的椭2圆，则角θ等于_______
正确答案：30°
错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。
13．(磨中)把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。
正确答案：(+1)r
错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上
14．（一中）AB垂直于?BCD所在的平面，AC=,AD=,BC:BD=3:4，当
?BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱l的距离为____________ 15．（蒲中）在平面角为600的二面角α-l-β内有一点P，P到α、β的距离分别为13 5
点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。
16．（蒲中）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，
且∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________
点评：以PD为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD与棱PC的夹角，利用
cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600，构造模型问题能力弱。
17．（蒲中）正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角
都相等，试写出满足条件的一个截面____________
答案：面AD1C
点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，
18．（江安中学）一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____议程。 正解：2。 5
设BD=x,AB=22+42=25
AD=2-25= 58
CD⊥AB,∴BD⊥CD,AD⊥CD
∠ADB为二面角的平面角，∴∠ADB=π
∴AB=(285)2+(5)2
∴cos∠ACB=2)22= 2?2?45
误解：折叠后仍然BD⊥CD,AD⊥CD判断不了，找不到Rt?ADB,AB的长求不出。
19．（江安中学）某地球仪上北纬30，纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是_____cm，表面积是_____ cm2。 正解：43,192π
设地球仪的半径为R，纬线的半径为r 。
由已知2πr=12π，r=6
r=R?cos30 ,∴6=R?3,故R=4,S表=4πR2=4π?48=192π。
误解：误将2πR=12π得R=6,S=4πR2=4π?36=144π
20．（江安中学）自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则PA2+PB2+PC2=_____。
正解:4R,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则PA+PB+PC应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。
误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。
21．（丁中）直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与l成450，AB?α,AC?β，则∠BAC=
错因：画图时只考虑一种情况
正解：600或1200
22．（丁中）直线l与平面α成角为300，l?α=A,m?α,A?m则m与l所成角的取值范围是
错解：[ 300 , 1200]
错因：忽视两条直线所成的角范围是[00,900]
正解：[ 300 , 900]
23．（丁中）若AB的中点M到平面α的距离为4cm，点A到平面α的距离为6cm，则点B
到平面α的距离为_________cm。
错因：没有注意到点A、B在平面α异侧的情况。
正解：2、14
24．（薛中）已知直线L∩平面α=O，A、B∈L，OA= 4 ，AB=8；点A到平面α距离为1，则点B到平面α的距离为
答案：1或3
错因：考虑问题不全面，点A，B可能在点O的同侧，也可能在O点两侧。
25．（薛中）异面直线a , b所成的角为60?，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为60?，这样的直线L有
答案：三条
错解：一条
错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P作a'//a,b'//b,由a',b'确定一平面α，画a',b'相交所成角的平分线m、g，过m, g分别作平面α的垂面β,γ，则在β,γ中易找到所求直线共有3条。
26．（薛中）点P是?ABC所在平面外一点，且P在?ABC三边距离相等，则P点在平面→→2222
ABC上的射影是?ABC的
答案：内心或旁心
错解：内心
错因：P在平面ABC内的正射影可能在?ABC内部，也可能在?ABC外部。
27．（案中）四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为
，减区间为
正确答案：（0，2]
??6?，3? ??2?
错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x的隐藏范围。
28．（案中）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面为EF的距离为
正确答案：2 3
错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。
29．（案中）点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是
正确答案：270 5
错误原因：找不到解题思路
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