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问一道数学的数列题等差数列{an}中,a1=8,a4=2,（1）求等差数列{an}的通项公式（2）设Sn=a1的绝对值+a2的绝对值+.+an的绝对值,求Sn第一题答案就是10-2n嘛然后第二题分两种情况嘛,1,当1《n《5时,Sn=9n-n的平方2,当n>6时,设Tn=a1+a2+an=9n-n的平方Sn=2T5-Tn=,我的问题就是9n-n的平方不是1《n《5的时候算出来的吗,就是在1《n《5才可以用,为什么后面也可以用,
三人行ゝ例
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你没看出,专门设了个变量 Tn 它就是原数列的前 n 项的和,不仅对 1
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a(n+2)-2a(n+1)+an=0a(n+2)+an=2a(n+1)所以该数列为等差数列a4=a1+3d2=8+3dd=-2an=a1+(n-1)d=8-2(n-1)=10-2nan=10-2n>=0n<=5a5=a1+4d=8-2*4=0a6=a15d=8-2*5=-2<b...
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& 2014届高三数学二轮专题复习：专题综合检测三（Word有详解答案）
2014届高三数学二轮专题复习：专题综合检测三（Word有详解答案）
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资料概述与简介
专题综合检测三
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2013·天津十二区县联考)“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的(　　)
A．充分非必要条件　　　B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　“lgx，lgy，lgz成等差数列”2lgy＝lgx＋lgzy2＝xz，但y2＝xz/ 2lgy＝lgx＋lgz，选A.
(理)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　依题意，当d>|a1|时，数列{an}是递增的数列，无论a1的取值如何，Sn的最小值为S1，且Sn无最大值；反过来，当Sn的最小值为S1，且Sn无最大值时，如当a1＝1，d＝时，此时Sn的最小值为S1，且Sn无最大值，但不满足d>|a1|.综上所述，“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的充分不必要条件．
2．(2013·眉山市二诊)等比数列{an}的公比q>1，＋＝3，a1a4＝，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝(　　)
A．64　　 　B．31　　 　C．32　　 　D．63
[解析]　a2a3＝a1a4＝，＋＝3，
a2＋a3＝，q>1，a2＝，a3＝1，q＝2，
a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝＝63.
3．(文)(2013·榆林一中模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，a3＝7，S6＝51，则公差d的值为(　　)
[解析]　a3＝7，S6＝51，
a1＋2d＝7,6a1＋15d＝51，
a1＝1，d＝3，故选B.
(理)(2013·绍兴市模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝－4，a4＝3，则公差为(　　)
[解析]　a2＋S3＝－4，4a2＝－4，a2＝－1，
a4＝3，d＝2，故选C.
4．(文)(2013·德阳市二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　)
[解析]　S4＝8，
S8＝S4＋(S4＋16d)＝16＋16d＝20，d＝，
a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋10d×4＝8＋10××4＝18.
(理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为(　　)
[解析]　S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝12.
又S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．
即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，S30＝15.
5．(2013·保定市一模)已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3·a9＝2(a5)2，则q＝(　　)
[解析]　a3·a9＝a＝2a，
q2＝2，q>0，q＝.
6．(2013·北京西城区模拟)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1>0，若S2>2a3，则q的取值范围是(　　)
A．(－1,0)(0，)
B．(－，0)(0,1)
C．(－∞，－1)(，＋∞)
D．(－∞，－)(1，＋∞)
[解析]　S2>2a3，a1＋a1q>2a1q2，
a1>0，2q2－q－1<0，
－<qb，则双曲线－＝1的离心率e等于(　　)
[解析]　由已知可得a＋b＝5，ab＝6，
解得或(舍去)．
则c＝＝，故e＝＝.
(理)ABC的三边分别为a，b，c，若b既是a，c的等差中项，又是a，c的等比中项，则ABC是(　　)
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．直角三角形
[解析]　b是a，c的等差中项，b＝.又b是a，c的等比中项，b＝，()2＝ac，(a－c)2＝0，a＝c，b＝＝a，故ABC是等边三角形．
9．已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是(　　)
[解析]　S20＝×20＝100，a1＋a20＝10.
a1＋a20＝a7＋a14，a7＋a14＝10.
an>0，a7·a14≤()2＝25.当且仅当a7＝a14时取等号．
10．(文)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a6、a9、a15依次为等比数列{bn}的连续三项，若数列{bn}的首项b1＝，则数列{bn}的前5项和S5等于(　　)
[解析]　q＝＝＝＝＝2，
S5＝＝＝，故选A.
(理)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限内的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是(　　)
[解析]　由等差、等比数列的性质，可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，P1(2,2)，P2(3,4)，S△OP1P2＝1.
11．(文)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(nN*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
[解析]　b3＝－2，b10＝12，d＝2，bn＝2n－8，
由关系式：bn＝an＋1－an，得
b1＝a2－a1，
b2＝a3－a2，
b3＝a4－a3，
b7＝a8－a7，
a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋3＝3.
(理)(2013·吉大附中模拟)已知数列{an}中，a1＝b(b>0)，an＋1＝－(nN*)，能使an＝b的n可以等于(　　)
[解析]　a1＝b，an＋1＝－，
a2＝－，a3＝－，a4＝b，a16＝b，故选C.
12．(2013·贵阳市检测)已知曲线C：y＝(x>0)上两点A1(x1，y1)和A2(x2，y2)，其中x2>x1.过A1，A2的直线l与x轴交于点A3(x3,0)，那么(　　)
A．x1，，x2成等差数列
B．x1，，x2成等比数列
C．x1，x3， x2成等差数列
D．x1，x3，x2成等比数列
[解析]　直线A1A2的斜率k＝＝＝－，所以直线A1A2的方程为y－＝－(x－x1)，令y＝0解得x＝x1＋x2，x3＝x1＋x2，故x1，，x2成等差数列，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)
13．(文)(2013·黄浦区模拟)等差数列{an}的前10项和为30，则a1＋a4＋a7＋a10＝________.
[答案]　12
[解析]　S10＝＝5(a1＋a10)＝30，
a1＋a10＝6，
a1＋a4＋a7＋a10＝2(a1＋a10)＝12.
(理)(2013·天津六校联考)定义运算＝ad－bc，函数f(x)＝图象的顶点坐标是(m，n)，且k，m，n，r成等差数列，则k＋r的值为________．
[答案]　－9
[解析]　f(x)＝(x－1)(x＋3)＋2x＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7的顶点坐标为(－2，－7)，
m＝－2，n＝－7，k＋r＝m＋n＝－9.
14．(文)(2013·霍邱二中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋5(nN*)，那么数列{an}的通项an＝________.
[解析]　Sn＝2n＋5，a1＝S1＝7，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
(理)(2013·重庆一中模拟)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{}的前n项和Sn＝________.
[解析]　a4＝a1q3，81＝3q3，q＝3，
an＝3n，bn＝log3an＝n，
令cn＝，则cn＝＝－，
{cn}的前n项和Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝.
15．(2013·南京市二模)已知数列{an}的通项为an＝7n＋2，数列{bn}的通项为bn＝n2.若将数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{cn}，则c9的值是________．
[答案]　961
[解析]　设数列{an}中的第n项是数列{bn}中的第m项，则m2＝7n＋2，m，nN*.令m＝7k＋i，i＝0,1,2，…，6，kZ，则i2除以7的余数是2，则i＝3或4，所以数列{cn}中的项依次是{bn}中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c9＝b31＝312＝961.
如图是一个有n层(n≥2)的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，第n层每边有n个点，则这个点阵的点数共有________个．
[答案]　3n2－3n＋1
[解析]　设第n层共an个点，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＋1＝an＋6(n≥2，nN*)，则an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，nN*)，
前n层所有点数之和为Sn＝1＋＝3n2－3n＋1，故这个点阵的点数共有3n2－3n＋1个．
(理)已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记an＝log2f(n)(nN*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．
[答案]　－3
[解析]　将A、B两点坐标代入f(x)得
f(x)＝·2x.f(n)＝·2n＝2n－3.
an＝log2f(n)＝n－3.
令an≤0，即n－3≤0，n≤3.
∴数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小．
S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2013·哈尔滨市模拟)已知正项数列{an}满足4Sn＝(an＋1)2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)4Sn＝(an＋1)2，
4Sn－1＝(an－1＋1)2(n≥2)，
相减得an－an－1＝2，又4a1＝(a1＋1)2，
a1＝1，an＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.
18．(本小题满分12分)(文)(2013·天津和平区模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝p(Sn－an)＋(p为大于0的常数)，且a1是6a3与a2的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若an·bn＝2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析]　(1)当n＝1时，S1＝p(S1－a1)＋，
当n≥2时，Sn＝p(Sn－an)＋，
Sn－1＝p(Sn－1－an－1)＋
由－得，an＝pan－1，即＝p(p>0)．
故{an}是首项为，公比为p的等比数列，
即an＝pn－1.
由题意得，6a3＋a2＝2a1，即3p2＋p＝1.
解得p＝或p＝－(舍去)．
an＝()·()n－1＝.
(2)由(1)，得bn＝＝(2n＋1)·2n，
则有Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)×2n－1＋(2n＋1)×2n，
2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)×2n＋(2n＋1)×2n＋1，
两式相减，得
－Tn＝3×2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)×2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)×2n＋1
＝－2－(2n－1)×2n＋1.
Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
(理)(2013·吉大附中模拟)已知等比数列{an}的公比q>1,4是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn＝log2an(nN*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
[解析]　(1)因为4是a1和a4的一个等比中项，
所以a1·a4＝(4)2＝32.
由题意可得
因为q>1，所以a3>a2.
解得所以q＝＝2.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由于bn＝log2an(nN*)，所以anbn＝n·2n，
Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.
①－得，－Sn＝1·2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1.
所以Sn＝2－2n＋1＋n·2n＋1.
19．(本小题满分12分)(2013·黄浦区模拟)已知数列{an}具有性质：a1为整数；对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝；当an为奇数时，an＋1＝；
(1)若a1为偶数，且a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；
(2)设a1＝2m＋3(m>3且mN)，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn≤2m＋1＋3；
(3)若an为正整数，求证：当n>1＋log2a1(nN)时，都有an＝0.
[解析]　(1)设a1＝2k，则a2＝k，
由条件知2k＋a3＝2k，a3＝0.
分两种情况讨论：
若k是奇数，则a3＝＝＝0，k＝1，a1＝2，a2＝1，a3＝0，
若k是偶数，则a3＝＝＝0，k＝0，a1＝0，a2＝0，a3＝0，
a1的值为2或0.
(2)当m>3时，a1＝2m＋3，a2＝2m－1＋1，a3＝2m－2，a4＝2m－3，a5＝2m－4，…，am＝2，am＋1＝1，am＋2＝…＝an＝0，
Sn≤Sm＋1＝1＋2＋…＋2m＋4＝2m＋1＋3.
(3)n>1＋log2a1，n－1>log2a1，2n－1>a1，
由定义可知：an＋1＝，
an＋1≤，≤.
∴an＝··…··a1≤a1，
an1＋log2a1(nN)时，都有an＝0.
20．(本小题满分12分)(文)(2013·苍南求知中学模拟)已知三个正整数2a,1，a2＋3按某种顺序排列成等差数列．
(1)求a的值；
(2)若等差数列{an}的首项、公差都为a，等比数列{bn}的首项、公比也都为a，前n项和分别为Sn，Tn，且>Sn－130，求满足条件的正整数n的最大值．
[解析]　(1)2a，a2＋3是正整数，a是正整数，
a2＋3>2a>1，
4a＝a2＋3＋1，a＝2.
(2)Sn＝2n＋·2＝n2＋n，
Tn＝＝2n＋1－2，＝2，
Sn<132，即n2＋n－132<0，－12<n1，
f(n)单调递增，从而f(n)min＝f(1)＝，
λ≥，因此实数λ的最小值为.
(理)(2013·江西八校联考)已知数列{an}的首项a1＝4，前n项和为Sn，且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(nN*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设函数f(x)＝anx＋an－1x2＋an－2x3＋…＋a1xn，f ′(x)是函数f(x)的导函数，令bn＝f ′(1)，求数列{bn}的通项公式，并研究其单调性．
[解析]　(1)由Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(nN＋)得Sn－3Sn－1－2n＋2－4＝0(n≥2)，
两式相减得an＋1－3an－2＝0，可得an＋1＋1＝3(an＋1)(n≥2)，
又由已知a2＝14，所以a2＋1＝3(a1＋1)，即{an＋1}是一个首项为5，公比q＝3的等比数列，所以an＝5×3n－1－1(nN*)．
(2)因为f ′(x)＝an＋2an－1x＋…＋na1xn－1，
所以f ′(1)＝an＋2an－1＋…＋na1
＝(5×3n－1－1)＋2(5×3n－2－1)＋…＋n(5×30－1)
＝5[3n－1＋2×3n－2＋3×3n－3＋…＋n×30]－
令S＝3n－1＋2×3n－2＋3×3n－3＋…＋n×30，
则3S＝3n＋2×3n－1＋3×3n－2＋…＋n×31，
作差得S＝－－，
所以f ′(1)＝－，
即bn＝－，
而bn＋1＝－，
作差得bn＋1－bn＝－n－>0，
所以{bn}是单调递增数列．
22．(本小题满分14分)(文)(2013·内江市二模)已知数列{an}的首项a1＝5，且an＋1＝2an＋1(nN*)．
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求数列f(x)在点x＝1处的导数f ′(1)．
[解析]　(1)证明：an＋1＝2an＋1，
an＋1＋1＝2(an＋1)，＝2，
数列{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列，
an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝6·2n－1＝3·2n，
an＝3·2n－1.
(2)f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，
f ′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1，
f ′(1)＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(3·21－1)＋2(3·22－1)＋3(3·23－1)＋…＋n(3·2n－1)
＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)，
令Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2，
Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，
f ′(1)＝3(n－1)·2n＋1－＋6.
(理)(2013·德阳市二诊)已知数列{an}满足an＋1＝－，a1＝－.
(1)求证{}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)设Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1.若Tn≥p－n对任意的nN*恒成立，求p的最大值．
[解析]　(1)证明：an＋1＝－，
an＋1＋1＝－＋1＝＝，
由于an＋1≠0，
{}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)题结论知：＝2＋(n－1)＝n＋1，
an＝－1＝－(nN*)．
(3)Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1≥P－n，
n＋an＋an＋1＋…＋a2n－1≥P，
即(1＋an)＋(1＋an＋1)＋(1＋an＋2)＋…＋(1＋a2n－1)≥p，对任意nN*恒成立，
而1＋an＝，
设H(n)＝(1＋an)＋(1＋an＋1)＋…＋(1＋a2n－1)，
H(n)＝＋＋…＋，
H(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
H(n＋1)－H(n)＝＋－＝－>0，
数列{H(n)}单调递增，
n∈N*时，H(n)≥H(1)＝，故P≤.
P的最大值为.
一、选择题
1．(文)在等比数列{an}中，an>0，若a1·a5＝16，a4＝8，则a5＝(　　)
[解析]　a1·a5＝a2·a4＝16，a4＝8，a2＝2，
q2＝＝4，an>0，q＝2，
a5＝a2q3＝2·23＝16.
(理)(2012·福建质检)等比数列{an}中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则a6＋a8等于(　　)
[解析]　＝＝q＝＝2，
a6＋a8＝(a2＋a4)q4＝10×24＝160.
2．(2013·东北三省二模)已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a3a5＝a1，且a4与a7的等差中项为，则S5等于(　　)
A．35　　　　
B．33　　　　
C．31　　　　
[解析]　设等比数列{an}的公比是q，所以a3a5＝aq6＝a1，得a1q6＝，即a7＝.又a4＋a7＝2×，解得a4＝2，所以q3＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝＝＝31，故选C.
3．(2012·东北三省四市第三次联考)已知等差数列{an}的公差d≠0，a1，a5，a17依次成等比数列，则这个等比数列的公比是(　　)
[解析]　解法1：由条件知a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，得a1＝2d，a5＝a1＋4d＝6d，q＝＝＝3，故选B.
解法2：q＝＝＝＝＝3，故选B.
4．已知等差数列1，a，b，等比数列3，a＋2，b＋5，则该等差数列的公差为(　　)
[解析]　由已知条件可得解得或当a＝－2时，a＋2＝0，其不可作为等比数列中的项，a≠－2，等差数列的公差为a－1＝4－1＝3，故应选C.本题考查了等差数列与等比数列基本量的求解问题，要注意等比数列的限制条件．
5．(2013·东北三省四市联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2013＝S，则a1＝(　　)
[解析]　Sa，所以a1007＝1，则d＝＝2，a1＝ad＝－2011，故选D.
6．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥2)，则Tn的最大值为(　　)
[解析]　由题意知S奇－2＝S偶·q，S奇＝，
S偶＝，q＝，a1＝2，q＝，
{Tn}为递减数列且a2＝1，ak2)，
T2＝a1a2＝2为最大值．
7．(2013·泗县双语中学模拟)在等差数列{an}中，7a5＋5a9＝0，且a5<a9，则使数列前n项和Sn取得最小值的n等于(　　)
[解析]　7a5＋5a9＝0，a50，且a1＝－d，
Sn＝na1＋d＝－nd＋d＝(n2－)，
当n＝6时，Sn取到最大值．
8．(文)数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2014＝(　　)
[解析]　由题可得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，…，所以数列{an}是一个周期为4的周期数列，又因为×4＋2，所以a2014＝a2＝，故选A.
(理)在数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋2(nN*)，则a10为(　　)
[解析]　由nan＋1＝(n＋1)an＋2，得
则有－＝2，
－＝2，累加得－a1＝2.
a1＝2，an＝4n－2，a10＝38.
9．(2012·浙江嘉兴测试一)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9>0，S100，a5>0.
又S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)<0，a5＋a6<0，即得a6a5，则数列{an}的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n≤5时，数列{}是递增的正数项数列，其最大项为，当n>6时，各项均为负数，即可得最大，故应选B.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a2＋a2014，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则下列各式中正确的是(　　)
A．S2015＝1
B．S2014＝
C．S2015＝
[解析]　A、B、C共线，且该直线不过O点，＝a2＋a2014，
－＝(a2－1)＋a2014，
即＝(a2－1)＋a2004＝k＝k－k，
由共线向量定理得a2－1＝－a2014，a2＋a2014＝1，
11．(文)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x、yR，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(nN*)，则数列{an}的前n项和Sn为(　　)
[解析]　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝()2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝()3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝()n，Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n＝＝1－()n，故选D.
(理)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前10项和为(　　)
[解析]　当n为奇数时，an＋2＝an＋1，这是一个首项为1，公差为1的等差数列；当n为偶数时，an＋2＝2an＋1，这是一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S18＝a1＋a2＋…＋a17＋a18＝(a1＋a3＋…＋a17)＋(a2＋a4＋…＋a18)＝9＋×1＋＝9＋36＋.
12．(2013·沈阳市质检)在等比数列{an}中，对于n∈N*都有an＋1·a2n＝3n，则a1·a2·…·a6＝(　　)
[解析]　在an＋1a2n＝3n中，令n＝2得，a3a4＝32，由等比数列的性质可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6＝(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3＝(a3)3(a4)3＝(a3·a4)3＝36，故选D.
二、填空题
13．(2013·霍邱二中模拟)等差数列{an}中，a1＋a2＋a8＝10，a14＋a15＝50，则此数列的前15项之和是________．
[答案]　180
∴S15＝15a1＋d＝180.
14．(文)数列{an}中，a1＝1，且a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是公比为的等比数列，那么an＝________.
[答案]　(1－)[解析]　由已知得an－an－1＝()n－1，
因此可得：a1＝1，a2－a1＝，a3－a2＝()2，…，an－an－1＝()n－1.
各项相加得an＝1＋＋…＋()n－1
＝＝(1－)．
(理)已知数列{an}满足a1＝1，＝＋1，则a10＝________.
[答案]　－
[解析]　由＝＋1，得－＝1，又＝，故数列{}是首项为，公差为1的等差数列，故＝＋(10－1)×1，得a10＝－.
15．各项均为实数的等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.
[答案]　150
[解析]　设每10项一组的和依次组成的数列为{bn}，由已知可得：b1＝10，b1＋b2＋b3＝70.
设原等比数列{an}的公比为q，
同理：＝q10，＝q10，…，
{bn}构成等比数列，且公比q′＝q10.
由可得10＋10q′＋10(q′)2＝70，
即(q′)2＋q′－6＝0，解得q′＝2或q′＝－3.
q′＝q10>0，q′＝2.
{bn}的前4项依次是：10,20,40,80.
16．(文)(2013·广州模拟)设等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋a，等差数列{bn}的前n项和Tn＝n2－2n＋b，则a＋b＝________.
[答案]　－1
[解析]　由a1＝2＋a，an＝Sn－Sn－1＝2n－1得，a＝－1；由b1＝b－1，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋1得，b＝0，
a＋b＝－1.
(理)(2013·临沂模拟)定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，且称此常数为公积．已知在等积数列{an}中，a1＝2，公积为5，当n为奇数时，这个数列的前n项和Sn＝________.
[解析]　由题可知，等积数列{an}为2，，2，，…，当n为奇数时，其前n项和Sn，可分两部分组成，个2之和与个之和，所以Sn＝2×＋×＝.
三、解答题
17．已知正项数列{an}、{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an＋1成等差数列，bn、an＋1、bn＋1成等比数列，且a1＝10，a2＝15.
(1)求证：数列{}是等差数列；
(2)求数列{an}、{bn}的通项公式．
[解析]　(1)证明：由已知得2bn＝an＋an＋1，
a＝bn·bn＋1，
由得an＋1＝，
将代入得，对任意n≥2，nN*，
有2bn＝＋.
即2＝＋.{}是等差数列．
(2)解：设数列{}的公差为d，
由a1＝10，a2＝15.经计算得，b1＝，b2＝18.
d＝－＝3－＝.
＝＋(n－1)·＝(n＋4)．
bn＝，an＝.
18．(文)已知Sn为数列{an}的前n项和，且2an＝Sn＋n.
(1)若bn＝an＋1，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)证明：n＝1时，2a1＝S1＋1，a1＝1.
由题意，得2an＝Sn＋n,2an＋1＝Sn＋1＋(n＋1)，
两式相减可得2an＋1－2an＝an＋1＋1，
即an＋1＝2an＋1.
于是an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝a1＋1＝2.
所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知：bn＝2·2n－1＝2n，an＝2n－1，
Sn＝2an－n＝2n＋1－n－2，
Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n)－2n
＝－－2n＝2n＋2－4－－n2.
(理)已知点P(an，an＋1)(nN*)是函数y＝x2在点(1，)处的切线上的点，且a1＝.
(1)证明：{an＋}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解析]　(1)证明：函数y＝x2的导数为y′＝x，
函数y＝x2在点(1，)处的切线斜率为.
故函数y＝x2在(1，)处的切线方程为
y－＝(x－1)．
点P在此切线上，an＋1－＝(an－1)．
an＋1＋＝(an＋)．
a1＝，an＋≠0.
数列{an＋}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)解：由(1)知an＋＝()n－1，
an＝()n－1－.
Sn＝1＋＋()2＋…＋()n－1－
＝－＝2－－.
19．(文)已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4＋a2＝3S3；等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a4.
(1)求证：数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项；
(2)若a1＝2，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；
(3)在(2)的条件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由S4＋a2＝2S3，得4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d，
则an＝a1＋(n－1)d＝na1，b1＝2a1，b2＝4a1，
等比数列{bn}的公比q＝＝2，
则bn＝2a1·2n－1＝2n·a1，
2n∈N*，{bn}中的每一项都是{an}中的项．
(2)当a1＝2时，bn＝2n＋1，
cn＝＝2(－)
则Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝2(－＋－＋…＋－)
＝2(－)＝.
(3)f(n)＝log3Tn＝log3，
f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝log3＋log3＋…＋log3＝log3(··…·)＝log3≤log3＝－1，即f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值为－1.
(理)已知函数f(x)＝，
(1)若数列{an}、{bn}满足a1＝，an＋1＝f(an)，bn＝(n≥1)，求数列{bn}的通项公式；
(2)记Sn＝b1＋b2＋…＋bn.若≤m恒成立．求m的最小值．
[解析]　(1)an＋1＝f(an)，an＋1＝.
又bn＝，an＝－1，an＋1＝－1.
－1＝3－，化简得4bn＋1＝bn＋1，
4(bn＋1－)＝bn－，＝，
数列{bn－}是首项b1－＝，公比为的等比数列，
bn－＝()n－1，bn＝()n－1＋.
(2)Sn＝＋＝(1－)＋，
的最大值为，又≤m，
m的最小值为
20．(文)设数列{bn}满足：b1＝，bn＋1＝b＋bn，
(1)求证：＝－；
(2)若Tn＝＋＋…＋，求Tn的最小值．
[解析]　(1)证明：b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，对任意的nN*，bn>0，
有＝＝－，
(2)解：Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝2－.
bn＋1－bn＝b>0，bn＋1>bn，
数列{bn}是单调递增数列，
数列{Tn}关于n递增，Tn≥T1.
∵b1＝，T1＝＝，
Tn≥.∴Tn的最小值为.
(理)已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}．若{bn}也是等差数列，求非零常数c；
(3)对于(2)中得到的数列{bn}，求f(n)＝(nN*)的最大值．
[解析]　(1)数列{an}是等差数列．
a2＋a3＝a1＋a4＝14.又a2a3＝45，
公差d>0，a2＝5，a3＝9.
d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1.
an＝a1＋(n－1)d＝4n－3.
(2)Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，
数列{bn}是等差数列，2b2＝b1＋b3，
2·＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)．
显然{bn}成等差数列，符合题意，故c＝－.
(3)f(n)＝＝＝≤.即f(n)的最大值为.
21．(文)(2013·陕西文，17)设Sn表示数列{an}的前n项和．
(1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式．
(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
[解析]　(1)设{an}的公差为d，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
又Sn＝an＋an－1＋…＋a1
＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，
2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，
Sn＝na1＋d.
(2){an}是等比数列，证明如下：Sn＝，
an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn.
a1＝1，q≠0，当n≥1时，有＝＝q，
因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．
(理)(2013·陕西理，17)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1，将上式两边分别乘以q得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，
两式相减，则当q≠1时，
Sn＝或Sn＝
当q＝1时，a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.
综上知，当q＝1时Sn＝na1，当q≠1时，Sn＝.
(2)q≠1，假设数列{an＋1}为等比数列，
那么(a2＋1)2＝(a1＋1)·(a3＋1)
即(a1q＋1)2＝(a1＋1)·(a1q2＋1)，a1(q－1)2＝0，a1＝0或q＝1，均与题设矛盾，故数列{an＋1}不可能为等比数列．
22．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f ′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(nN*)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
(2)令bn＝，其中nN*，求{nbn}的前n项和．
[解析]　(1)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
f ′(x)＝2ax＋b，
由f ′(x)＝－2x＋7得：a＝－1，b＝7，
所以f(x)＝－x2＋7x，
又因为点Pn(n，Sn)(nN*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以有Sn＝－n2＋7n.
当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，
an＝－2n＋8(nN*)．
令an＝－2n＋8≥0得n≤4，
当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.
综上，an＝－2n＋8(nN*)，
当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.
(2)由题意得b1＝＝8，bn＝＝2－n＋4，
所以＝，即数列{bn}是首项为8，公比是的等比数列，
故{nbn}的前n项和Tn＝1×23＋2×22＋…＋n×2－n＋4，
Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2－n＋4＋n×2－n＋3，
①－得：Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n×2－n＋3
Tn＝－n·24－n＝32－(2＋n)24－n.
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