求数列前N项和的常用方法
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求数列前N项和的常用方法
核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2
解：Sn=a1+a2+a3+...+an
倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1
①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n(a2+an)
Sn=n(a1+an)/2
点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
二.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
例题2：求数列的前n项和Sn
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
例题3：求数列(n∈N*)的和
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和
解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1②
①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③
若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
若a ≠ 1则：
点拨：此数列的通项是nan,系数数列是：1，2，3……n，是等差数列；含有字母a的数列是：a,a2,a3,……，an,是等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过错位相减得到③式，这时考虑到题目没有给定a的范围，因此我们要根据a的取值情况分类讨论。我们注意到当a=1时数列变成等差数列，可以直接运用公式求值；当a≠1时，可以把③式的两边同时除以（1-a），即可得出结果。
五.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。
解：∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1
把各项相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) =
∴an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5
∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n =+ 5n
点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12 + 22 + … + n2=因此问题就容易解决了。
六.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例题6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N*)
解：①当n是偶数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2]
= - (1 + 2 + … + n) = -
②当n是奇数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2
= - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2
综上所述：S = (-1)n+1n(n+1)
点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。
七.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
例题7：求的和
点拨：本题的关键在于如何构造出等差或等比数列的特征的通项，在这道题的解法中巧妙的运用了这一转化，使得数列的通项具备了等比数列的特征，从而为解题找到了突破口。
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重新安装浏览器，或使用别的浏览器导读：《数列求和之错位相减法》教学设计，教学目标：，让学生能够理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n项和，教学重点：错位相减法的应用教学难点：，错位相减法的计算过程教学内容：一、课前复习，设计意图：由于应用错位相减法解题时必定会使用等比数列前n项和的通项公式求和，设计意图：由具体问题引入课题，解决方法：展示并叙述“错位相减法”的具体操作步骤，由此归纳“错位相减法”核心要领：乘公比，设计意图《数列求和之错位相减法》教学设计 教学目标： 让学生能够理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n项和。 教学重点： 错位相减法的应用 教学难点： 错位相减法的计算过程 教学内容： 一、课前复习 回顾等比数列前n项和的求和公式： 设计意图：由于应用错位相减法解题时必定会使用等比数列前n项和的通项公式求和，因此有必要做好复习铺垫工作。 二、问题探究 数列{an}的通项公式an?n，数列{bn}的通项公式bn?2n，求数列{an?bn}的前n项和。设计意图：由具体问题引入课题，引导学生观察题目中所求数列通项的特点，即“等差×等比”型。 解决方法：展示并叙述“错位相减法”的具体操作步骤，具体如下： 由此归纳“错位相减法”核心要领：乘公比，错位，相减。 设计意图：整个过程的完整展示，帮助学生建立一个清晰的计算步骤，以此学会解决此类型的数列求和问题，主要体现设计的实用性。 三、当堂练习
设计意图：为了巩固复习错位相减法，让学生对不同“长相”，但都属于“等差×等比”型题目能熟悉，从而确信并有意识强化学习。 四、归纳小结 1、首先进行使用“错位相减法”时易出错的4点进行归纳强调。 2、再整体上对此段的学习进行小结，再次提升 设计意图：有学习必有总结。任何一种解题方法都有其使用条件、适用范围，以及易错点等等。学生通过学习，也能自觉感知并总结，由此深化数学解题方法的学习。 五、作业布置
设计意图：课下练习，进一步巩固掌握“错位相减法” 包含总结汇报、外语学习、文档下载、人文社科、专业文献、经管营销、行业论文以及《数列求和之错位相减法》教学设计等内容。
相关内容搜索错位相减法数列求和教学设计；教学目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公；1、师生共同回忆等比数列前n项和公式利用错位相减；例1：已知数列{an}的通项公式an=n，数列{；n解：?cn=n?4又?sn=c1+c2+……+；nsn=1?4+2?42+3?4+……+n?4①；3n23nn?1；4sn=1?4+2?4+……+(n-1)?4+n；①-②:；-3
错位相减法数列求和教学设计 教学目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式 教学重点：错位相减法的初步应用 教学难点：错位相减法的初步应用 教学过程： 1、师生共同回忆等比数列前n项和公式利用错位相减法推导的过程。 2、典例分析 例1：已知数列{an}的通项公式an= n，数列{bn}的通项公式为bn=4若cn= an? bn,求数列{ cn}的前n项和 n解：?cn =n?4 又?sn=c1+c2+……+ cn ? nsn=1?4+2?42+3?4+……+ n?4
① 3n23nn?14 sn=
1?4+2?4+……+(n-1) ?4+n?4 ② ①-②: -3 sn=4 +
4+……+4- n?44(1?4n)n?1-3 sn=1?4- n?4 23nn?1 4?4n?1sn=9n?4n?1+3 n14n?1sn=(3-9)4+9
小结： 1、数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则求数列{ an? bn}的前n项和，用错位相减法。 2、错位相减法的步骤：（1）错位 （2）乘公比
（3）相减 （4）化简 三亿文库包含各类专业文献、中学教育、文学作品欣赏、外语学习资料、行业资料、生活休闲娱乐、专业论文、各类资格考试、应用写作文书、18错位相减法数列求和教学设计等内容。　
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错位相减法是怎么一回事啊
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错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。 分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。这句是什么意思啊&&&
已知数列{an}是通项公式为an=2^n-1的等比数列，an&0&&&&&&& {bn}是通项公式为bn=2n-1的等差数列&& 求数列{bn / 2an}的前n项和Sn 这题用错位相减法怎么做啊&&&&& 求过程&&
最后一波年终福利祭出 ，直降300，魅蓝 Note6 不惧全面屏
这个问题最好是手把手的说0.0。问老师就得了。因为要结合草稿纸和语言表达能力
就一项一项都写出来。。。Sn=...qSn=...然后减。。。右边很多项会消失
好像没有消失啊
大概是不是像等比数列推导那样 Sn=a q^ n-1 +a q^ n-2...&&&&&&&&
1qSn=a q^n + a qn-1...&&&&&&&&&&&&
22 - 1 q-1 Sn = q^n-1
除号不是乘号
错位相减法，最好是看书上关于等比数列求和公式的推导
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