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核密度估计中的窗宽选择解决方法
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核密度估计
《数据之魅：基于开源工具的数据分析》第2章单一变量：形状和分布，本章讲述由单个变量组成的简单数据集(或者一次只考虑一个变量)。本节为大家介绍核密度估计。
作者：黄权/陆昌辉等 译来源：清华大学出版社| 16:12
核密度估计
核密度估计(KDE)是一个相对较新的技术。与直方图和其他的一些数据分析方法相比，它更需要使用的现代计算机拥有强大的计算能力。即使是一个并不大的数据集，也不能够通过笔和纸手动计算。(看看计算和绘图能力的提高启发我们以新方式来考虑数据的过程，非常有趣。)
为了生成一个KDE，我们把一个核函数--也就是一个平滑的峰值突出的函数--放在每一个数据点的位置上。然后，我们把所有核函数的作用效果叠加起来，获得一条光滑的曲线，x轴方向上任意点的效果的叠加都可以算出来。
图2-4就是KDE的一个实例。这是图2-1所使用的数据集的另一个不同的表现形式。虚线框是数据集的直方图(框的宽度是 1)，实曲线是同一个数据集使用不同的带宽后得到的两个KDE (稍后将解释带宽的概念)。可以很清晰地看到单个核函数的形状，例如，你可以看看20以下的三个数据点。你还可以看到最终的曲线是如何由所有单个核组成的， 30到40之间的点尤为明显。
图2-5 一些常用的核函数图假设函数值的和为1，我们可以把任何光滑的峰值突出的函数用作一个核函数；换句话说，由单个核函数形成的曲线下面的面积必须是1。(这是为了确保生成的KDE已经经过归一化处理。)常用的核函数的例子如下(图2-5)：
在有限的范围之外，Box核函数和Epanechnikov核函数的值都是零，而Gaussian核函数的值在任何区域都是非零的，但是在有限范围之外，它的函数值非常小。实验证明，由KDE产生的曲线并非完全取决于核函数的选择，因此，我们可以随意使用任一可用的核函数。由于Gaussian核函数非常好用，因而它的应用最广泛。(更多关于Gaussian函数的信息，请参见附录B。)
构建一个KDE需要两个步骤。首先，我们必须适当地移动核函数，把它移到每个点所在的位置。例如，函数K(x-xi)在点xi处有它的峰值，而不是在0处。然后，我们必须选择核函数带宽(bandwidth)，它控制核函数函数的蔓延。为了确保曲线下的面积保持不变，我们必须调整带宽值，必须使曲线更高(或者更矮，如果增
图2-6& 三个不同带宽的高斯核。核的高度随着宽度的减少而增加，因此曲线下方的总面积保持不变加宽度的话)。对于重新调整过的核函数，带宽h的最终表达式为
这个表达式的值在点xi处达到峰值，其宽度接近h，曲线下面的面积还是1。图2-6展示了一些使用高斯核函数的实例。记住，这三条曲线下方的面积都是一样的。
通过上面的表达式，我们现在可以为任何数据集{x1，x2，x3，…，xn}的带宽为h的KDE写一个公式。这个公式可以用于计算沿x轴方向的任何点：
所有这些都非常简单，并且用任何语言都很容易实现。注意，对于大数据集(有成千上万个点)，所需要的核函数计算次数可能会导致性能问题。尤其是如果函数D(x)需要针对很多不同的位置计算时(即有许多不同的x值)。如果会造成问题，你可以选择一个简单的核函数，或者在x-xi的距离远远大于带宽h时不计算核函数。
现在我们可以解释图2-4中宽一点的灰线了：它是一个有更大带宽的KDE。大带宽的使用使其无法处理个别的数据点，但它强调的是整个区段的频率是更大或更小。带宽的选择完全取决于你的目的。
按刚刚描述的方法构建的KDE与传统的直方图相类似，但它避免了前述两个问题。对于给定的数据集和带宽，其KDE是惟一的；如果我们选择了一个平滑的核函数，例如Gaussian函数，KDE也会是平滑的。【责任编辑： TEL：（010）】&&&&&&
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什么是gis核密度计算
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均匀核函数 k(x)=1&#47： kh(x)=1/(2h)，权重较小，它的计算结果分布较平滑。在普通的点&#92;线密度分析中;[(xi/α)^α,-h≤x≤h伽马核函数 kxi(x)=[x^(α-1)exp{-xα/xi}]/2,-1≤x≤1 加入带宽h后，先对其求和,-h≤x≤h三角核函数 k(x)=1-|x|,-1≤x≤1 加入带宽h后： kh(x)=(h-|x|)&#47，落在搜索区域内的点或线有相同的权重;h^2，密度分析是根据输入要素数据计算整个区域的数据聚集状况。密度分析是通过离散点数据或者线数据进行内插的过程，落入搜索区的点具有不同的权重，靠近搜索中心的点或线会被赋予较大的权重，反之.Γ(α)]gis中的密度分析，分为核密度分析，点密度分析和线密度分析。通过密度分析，我们可以讲测量的来的点或者线生成连续表面，从而可以找出那些地方点或者线比较集中。也就是，根据插值原理不同，主要是分为核密度分析和普通的点&#92;线密度分析。核密度分心中核密度估计（kernel density estimation）是在概率论中用来估计未知的密度函数，属于非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。一些比较常用的核函数是。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。100个正态分布的乱数的核密度估计核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应。在单变量核密度估计的基础上，可以建立风险价值的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以建立不同的风险价值的预测模型
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