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你可能喜欢有限元分析中的剪切锁定(shear lock)，ANSYS结果不合理也许就是这货引起的
在进行有限元数值分析时有时候会遇到计算结果与理论分析不一致，或者计算结果不合理的情况，虽然也选择了合理的单元类型和材料本构模型，但得到的结果却就是无法解释，这时候可能就需要考虑所选用的单元插值函数是否合理了。这里来解释一下有限元数值分析中剪切锁定出现的原理及处理方法。
一、剪切锁定的概念
以受弯曲变形的梁来做为分析对象，在材料力学中有这样的假定，梁在受弯矩作用下发生纯弯曲变形时，变形前后平行于中截面的面仍然保持相互平行，且在变形前与中截面垂直的面在变形后仍然与中截面保持垂直。从连续梁中取一微小微元体分析，变形前后的图形示意如图1所示
图1 连续梁微元体域受弯曲材料的变形
从图1中可以看出，在受到弯矩作用下，梁顶面受拉而伸长为水平拉应力，底面受压而缩短为水平压应力，在变形前后竖直方向各线段长度不变，即竖直方向就没有应变，也就没有应力；此外，水平线与竖直线在变形前后仍然垂直，也就没有剪切变形，剪应力为0，这解释了材料力学的假定。需要注意一个重要现象就受拉压的上下边界在变形后是弯曲的。
图2 有限元分析得到的受弯曲材料的变形
当用有限元对连续介质进行分析时，需要把连续介质离散为很多小单元和结点，当选取单元型式为线性单元时，每个边由两个结点构成，单元在变形前后边仍然保持为直线。
假如以四结点四边形单元为例，受纯弯荷载之后变形情况如图2所示。从图2可以看出（图中虚线可以理解为通过高斯积分点的线），变形之后水平线仍然保持平行，水平线上面受拉应力而拉伸，下面受压应力而压缩。由于变形之后边界仍然要保持直线，竖直线与水平线不再保持垂直，而是有了增大或减小，这说明产生了剪切变形，而这个剪应变是不应该出现的，由于这个剪切变形要消耗一定的变形能，这就会导致梁不能再发生弯曲或者弯曲变形要小了，产生的弯曲绕度也要减小。
这种现象就称为剪切锁定现象，通常出现在用常规单元模拟以弯曲变形为主要变形的结构中。这也是为什么我们用平面四结点四边形单元模拟受纯弯或者以弯曲变形为主的构件时计算得到弯曲变形较理论值要小的原因。
二、剪切锁定现象有限元验证
上面对剪切锁定现象做了个解释，那有限元分析中是否真的存在如上分析的剪切锁定呢。来考查一个长1m，截面尺寸为0.1m*0.1m，两端简支的梁，中间受一个集中荷载(F=100kPa)的算例，结构示意图如图3所示，这样的例子材料力学是有理论解的(y=pl^3/(48EI)=2.5cm)。（当然这个问题是可以用梁单元直接模拟的，这里为了说明剪切锁定现象，采用平面实体单元来分析）
材料参数：E=1GPa，mu=0.2
图3 简支梁受集中荷载结构示意图
我们用平面应力问题，采用四结点四边形等参单元来离散，采用不同的网格划分密度进行分析，在长度方向上剖分10份，在厚度方向上分别剖分1份、2份、4份和8份，其中对厚度剖分8份的情况还进行了水平向剖分20份和50份的分析，有限元网格图如图4所示，然后取梁中间最下面一个结点的的竖直向位移与材料力学的理论解进行对比。
图4 梁结构有限元网格图
对上述不同有限元网格模型进行分析，采用PLANE182单元默认的积分方式，得到梁中间下面结点的竖直向位移如表1所示，表中ndivX为水平向剖分单元份数，ndivY为梁厚度方向剖分的单元份数。从表中可以看出，只有当梁采用非常密的网格时才能得到与理论解比较接近的值。这说明：1、对这种细长结构，采用实体单元进行离散是非常不经济的，而采用线性形状的梁单元只需要很少的单元就能够得到精确的结果；2、当单元比较少时，由于出现的剪切锁定现象导致计算结果偏小，这是由于剪切锁定消耗了一定的剪切能量，弯曲变形就小了。
表1 全积分计算结果（单位：cm）
通过上面的分析，我们可以看出在用有限元进行分析时，剪切锁定现象的确是存在的。如果我们不去很好的分析结构受力情况，而只是按照教程一步一步的做，然后把这个过程套用到其它研究分析中，可能也计算得到了结果，但很有可能结果就是错误的。
因此，一个问题就来了，那剪切锁定现象究竟在什么时候才会存在？通常情况下，所分析问题中是否会有剪力锁闭现象，大概与两个方面有关：一是单元形状有关，当离散后的单元长比与短边之比越大，单元越狭长，就越可能出现剪力锁闭；二是与单元受力有关，在前面一个条件满足时，当单元再承受垂直与长边的荷载（如上面的梁承受法向荷载），使单元的变形以弯曲变形为主，这时出现剪切锁定的可能性就大。
如上面的分析中，水平方向分10份时，由于单元都比较狭长，因此，由于剪切锁定的存在导致结果都失真；当水平方向分50份时，单元形状接近正方形，不再是狭长单元，计算结果就接近真值。
三、消除剪切锁定现象的方法
那么，当单元形状和所受荷载不可避免剪力锁闭时，有没有好的解决办法？当然是有的，现在很多商业软件如ANSYS、ADINA、ABAQUS等都提供了相应的解决方法，大体上有两种，一是采用积分减缩，二是采用强化应变单元模式。这里以ANSYS来介绍一下几种方法。
3.1采用减缩积分来消除剪切锁定
用常规的线性实体单元，软件默认采用全积分格式，即在每一个方向存在两个高斯积分点，这样两点确定一条直线，在单元变形后每条边仍然是直线，就可能造成剪切锁定。如果对同一个单元只采用一个积分点，是不是就可以避免剪切锁定？这或许是可能的，但一个高斯积分点会不会降低计算精度呢？
通过计算分析来说明，仍然采用上面的分析模型，同样的计算网格。单元类型仍然取PLANE182号平面四结点等参单元，只是单元特性中将K2选项参数做些修改，改为Reduced Integration即减缩积分，如图5（在其它商业软件里也应该有类似的设置）。
图5 ANSYS中设置单元减缩积分模式
通过分析的结果如表2中减缩积分一列数值。从表2中可以看到，减缩积分模式下ANSYS的计算结果与理论解判别还是挺大，这个仅是针对本算例的结果，ANSYS帮助手册及其它理论文献中也都讲减缩积分对消除剪切锁定是有帮助的。ABAQUS入门手册中也给出了相应的分析数值，减缩积分后与理论解非常接近。
表2 消除剪力锁闭的计算结果（单位：cm）
这里值得一提的是当梁厚度方向只有一层单元时，减缩积分的结果居然出现63.36cm的值，完全失真。这是为什么？这是因为减缩积分会导致另外一个奇怪的现象，就是传说中的沙漏现象（hourglassing）。
再次考虑受弯单元减缩积分时的变形情况，如图6所示。单元由于采用了减缩积分模式，只有一个高斯积分点，通过单元高斯积分点的水平和垂直两条线代表了单元变形后的情况。在单元弯曲变形之后，由于两条线长度没变，相互之间的夹角也没有变，这就是说即没有产生正应变，也没有剪应变，因此，应变能为0，单元的弯曲变形成为一个零能量模式。
这种单元模式下没有刚度，不能够抵抗变形。当网格比较粗时，如上面的只有一层单元，就会产生一个无意义的结果（从理论上讲，由于沙漏现象的出现，完全没有刚度是无法计算的，但商业软件都采用了一些技术手段保证能有一个计算结果）。
当然，商业软件在处理这种没有刚度的减缩积分单元时会采取一些技术手段，如引入少量的人工“沙漏刚度”，让其限制沙漏模式的扩展。但是，即便如此，如果单元数量不够多的话，这种限制沙漏模式扩展的作用也不大，仍然会出现不理想的结果。只有当单元数量达到一定量后，才会起到明显的作用。
图6 受弯单元减缩积分时的变形
3.2采用强化应变单元模式（非协调单元）来消除剪切锁定
虽然减缩积分可以在一定程度上消除剪切锁定现象，但有时候效果不佳，有时候还会出现沙漏现象。这里再来介绍另外一种方法，就是强化应变单元模式（enhanced strain），也称为非协调单元。
常规的线性单元位移沿一个方向是线性变化的，应变沿一个方向是常量，这就导致当单元受弯曲变形时容易出现剪切锁定。那么，如果采取某种方式让应变沿一个呈线性变化是不是就可以解决剪切锁定？
是的，的确如此（二次单元剪切锁定就比较难出现，采用二次单元也是消除剪切锁定的方法之一）。基于这种思路，就有人提出了强化应变的概念，在单元位移模式上做文章，通过增加一些虚拟的附加自由度，让单元内部应变模式为线性变化，如图7所示。由于这种增加变形梯度完全是在单元内部，与单元节点无关，因此，即不增加求解结构的整体自由度数，也可以保证在边界上位移仍然是连续的。
图7 非协调单元模式（左）和常规单元模式（右）
在ANSYS中平面的PLANE182、三维的SOLID185等单元都是支持强化应变模式的，是通过修改单元的选项值来实现的。对本算例，采用PLANE182单元，通过修改其K3选项值为2来实现，如图5所示。计算结果如表2最后一列的强化应变单元。从表2中的结果可以看出，采用强化变形模式后有限元数值分析的结果与理论解非常接近，这说明强化应变单元的效果非常不错。
当然，强化应变单元也有它本身的限制和弱点，比如当单元形状比较畸形时计算结果会非常差，这里所说的畸形是指单元每条相邻两条线的夹角如果太大或太小，就可能导致非常不好的结果；若相邻两条边的夹角接近90度，则是采用强化应变单元，那是再好不过的。
3.3采用高次单元消除剪切锁定现象
通过前面的分析，知道了剪切锁定产生的本质原因是由于以弯曲变形为主要变形的结构在用有限元分析时，由于采用线性单元离散，在边界上仍然是线性变形。那么增加单元的形函数阶次，就可以在一定程度上消除剪切锁定现象。这当然是可以的，但问题就是由于单元节点增加，计算工作量就提高不少。
剪切锁定是否会产生，与结构受力、单元形状、单元模式选取等多因素相关，当剪切锁定不可避免时，可以采用减缩积分、强化应变单元、高次单元等方法去尽可能的消除这种现象，但也要了解每一种方法的适用范围、优缺点等，选取合适、正确的方法去进行分析，只有这样，才能得到合理的计算结果。
附本分析中用到的ANSYS命令流
ndivX=10 !水平向份数
ndivY=8 !竖直向份数
force=-100e3
mp,dens,1,density !定义材料
mp,ex,1,1e9
mp,nuxy,1,0.2
ET, 1, plane182,0,,0 !0全积分,1减缩积分,2强化应变
rect,0,len,0,h
lsel,s,loc,x,0.1,len-0.1
lesize,all,,,ndivX
lesize,all,,,ndivY
allsel,all
mshape,0,2d
/pnum,mat,1
antype,static
allsel,all
nsel,s,loc,x,0
nsel,r,loc,y,0
d,all,all,0
allsel,all
nsel,s,loc,x,len
nsel,r,loc,y,0
d,all,uy,0
allsel,all
nsel,s,loc,x,len/2.
nsel,r,loc,y,h
f,all,fy,force
nsel,s,loc,x,len/2.
nsel,r,loc,y,0
prnsol,u,y
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下载所得到的文件列表第五章：大变形问题的有限单元法.ppt
文档介绍：
第五章大变形问题的有限单元法
1. 弹性大变形问题的有限元法2. 弹性分支点稳定问题有限元分析3. 物质描述大变形增量问题的T.L 、U.L法
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大变形时平衡方程和虚位移原理
变形体初始和现时位形如图所示,以欧拉应力表述平衡时
这是现时位形空间描述的平衡条件。
在外荷为保守力系
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上式乘以J,由于
由复合函数求导数,平衡方程改写为
平衡方程成为
对任意j恒有
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同理可验证,对任意j恒有
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上述拉格朗日和克希荷夫应力表示的平衡条件都是以初始位形作参考的物质描述。
利用克希荷夫应力和拉格朗日应力的关系,可将平衡条件改为
哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
如果考虑到变形梯度和位移梯度间的关系,
对比小变形情况,可见大变形时变形对平衡的影响,是通过变形或位移梯度表现出来的。
则克希荷夫应力表达的平衡方程
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设现时位形微小虚位移在V内单值连续、在位移边界上为零。则外力总虚功为
考虑到位移边界虚位移为零和应力边界条件
空间描述的虚位移原理
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将平衡方程引入,考虑到虚位移微小,则
利用格林公式,可得
也即虚位移原理的虚功方程为
若虚位移用虚速度、虚应变用虚应变率代替,则
虚功率方程
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为建立物质描述虚功方程,先讨论能量共轭关系。
空间描述中
变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率
单位体积变形功率
因此克希荷夫应力和格林应变在能量上共轭。
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由于变形率和欧拉应力张量是对称的,因此
再利用欧拉和拉格朗日应力间关系,可得
因此拉格朗日应力和初始位形位移梯度在能量上共轭。
由此即可得到物质描述的虚功方程为
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